BARISAN DAN DERET, KEKONVERGENAN BARISAN DAN DERET, DERET TAYLOR
DAN DERET LAURENT
TUJUAN:a. Mahasiswa dapat memahami tentang barisan dan deret
bilangan kompleksb. Mahasiswa dapat memahami tentang deret Taylor
dan deret Maclaurinc. Mahasiswa dapat memahami tentang deret
Laurentd. Mahasiswa dapat memahami tentang deret Taylor, deret
Maclaurin dan deret Laurent dalam soalPada makalah ini akan
disajikan dua konsep dasar yaitu barisan dan deret bilangan
kompleks. Konsep-konsep tersebut sebagai landasan dalam pembahasan
selanjutnya. Dalam penyajiannya akan diuraikan pengertian barisan
dan deret bilangan kompleks serta kekonvergenannya, dan beberapa
teorema yang menyangkut kekonvergenan. Selanjutnya akan di bahas
pula tentang deret Taylor, deret Maclaurin dan deret Laurent.A.
Barisan Bilangan KompleksSebelum membicarakan kekonvergenan barisan
bilangan kompleks, terlebih dahulu akan di perkenalkan pengertian
barisan bilangan kompleks yang disajikan pada definisi berikut.
DEFINISI A.1 (Barisan Bilangan Kompleks)Diberikan himpunan .
Barisan bilangan kompleks adalah suatu fungsi yang didefinisikan
dengan untuk setiap .Nilainilai fungsi dengan untuk setiap dapat
dinyatakan dengan , , ...,. Fungsi dengan untuk setiap adalah suatu
barisan yang dapat dinyatakan dengan notasi . Bilanganbilangan
disebut sukusuku barisan dan suku disebut suku umum (suku ke-)
barisan. Sebagai contoh, fungsi dengan untuk setiap adalah suatu
barisan yang dinotasikan dengan yang sering pula dinyatakan dengan
.Secara geometri ini berarti bahwa untuk nilai yang cukup besar,
titik terletak dalam lingkungan tertentu dari . Karena kita dapat
memilih yang sangat sangat kecil, ini berarti bahwa titik akan
berubah-ubah di dekat karena kenaikan indeks . Nilai secara umum
akan tergantung pada nilai Untuk mengetahui apakah suatu barisan
itu konvergen atau tidak, perlu diperiksa apakah barisan tersebut
mempunyai limit atau tidak. Hal ini disebabkan bahwa suatu barisan
dikatakan konvergen jika barisan tersebut mempunyai limit (limitnya
ada).
DEFINISI A.2 (Barisan yang Konvergen):Diberikan barisan bilangan
kompleks . Barisan dikatakan konvergen ke jika dan hanya jika untuk
setiap bilangan terdapat bilangan asli sehingga jika berlaku .
Bilangan kompleks z yang memenuhi definisi di atas disebut limit
barisan . Notasi barisan konvergen ke z adalah .Barisan dikatakan
divergen, jika barisan tidak konvergen. Dengan kata lain, barisan
divergen ( tidak konvergen ke z ) jika dan hanya jika untuk setiap
terdapat bilangan sehingga untuk setiap bilangan asli terdapat
bilangan kompleks sehingga berlaku .
Contoh 1 :Selidiki kekonvergenan barisan .Penyelesaian
:Diberikan . Diperoleh untuk .Jadi terdapat bilangan asli sehingga
berlaku
Jadi barisan konvergen ke 1 .
TEOREMA 1Diberikan bilangan untuk setiap dan . jika dan hanya
jika dan
Bukti : Diberikan bilangan sebarang. Diketahui , berarti
terdapat bilangan asli sehingga jika berlaku Dengan demikian untuk
sebarang di atas, terdapat bilangan asli sehingga jika n
berlakudan.Jadi terbukti bahwa
Diberikan bilangan sebarang.Diketahui dan , berarti terdapat
bilangan asli dan sehingga jika n berlaku Dan jika n berlaku
Diambil = maks , sehingga jika n berlaku
Jadi terbukti bahwa .Dari teorema di atas dapat kita tuliskan
bahwa
Contoh 2 : Periksa kekonvergenan barisan .Penyelesaian :Namakan
dengan dan , sehingga diperoleh dan Akibatnya ,
Jadi barisan konvergen ke 2 .
Contoh 3 :Periksa kekonvergenan barisan Penyelesaian:Namakan
dengan dan , sehingga diperoleh
Jadi barisan konvergen ke .
B. Deret Bilangan KompleksDiberikan barisan bilangan kompleks .
Kemudian dari barisan di bentuk barisan lain yang suku-sukunya
didefinisikan dengan
.........................................
........................................dan seterusnya .Jika
seterusnya barisan mempunyai limit, diperoleh jumlah tak
berhingga
Jadi dalam simbol dituliskan dengan disebut deret tak berhingga
(deret bilangan kompleks). Bilangan-bilangan dinamakan suku-suku
deret, dan dinamakan suku ke-n (suku umum). Barisan dengan
dinamakan jumlah bagian ke dari deret .Sebuah deret tak hingga
bilangan kompleks konvergen ke jika barisan jumlah bagiannya
konvergen ke , dapat dituliskan
Catatan bahwa sebuah barisan dapat mempunyai paling banyak satu
limit (limit tunggal), sebuah deret dapat mempunyai paling banyak
satu jumlah. Ketika sebuah deret tidak konvergen, maka disebut
divergen.Kekonvergenan suatu deret ditentukan oleh ada atau
tidaknya limit barisan jumlah bagiannya . Kekonvergenan deret
tersebut disajikan pada definisi berikut ini.
DEFINISI B.1Deret dikatakan konvergen ke jika dan hanya jika
.Deret dikatakan divergen ke jika dan hanya jika tidak ada .
Contoh 4 :Tunjukkan bahwa deret konvergen ke .Penyelesaian
:.Jumlah bagiannya adalah
.............................................................................................
Diperoleh,
Jadi terbukti bahwa konvergen ke i . Dengan kata lain deret
konvergen ke .
TEOREMA 2 (Kekonvergenan Deret Kompleks)Diberikan barisan untuk
dan maka jika dan hanya jika dan .
Teorema ini dapat dituliskan sebagai berikut.
Jika diketahui bahwa dua deret di kanan dan di kiri sama-sama
konvergen.
Bukti:Untuk membuktikan teorema ini, kita tulis jumlah
parsialnya
dimana dan .Dari definisi dikatakan konvergen jika dan hanya
jika dan dari teorema 1 maka berlaku dan .Karena dan adalah jumlah
bagi dari deret maka teorema terbukti.
Dengan mengingat dalam kalkulus bahwa suku ke- dari deret
konvergen bilangan real mendekati nol ketika cenderung tak hingga.
Dengan kata lain sebuah kondisi yang diperlukan agar deret
konvergen adalah
Kita asumsikan bahwa deret adalah konvergen mutlak. Yaitu ketika
, maka deretnya sebagai berikut
dari bilangan real konvergen, karena dan Kita tahu bahwa dari
uji perbandingan dalam kalkulus bahwa dua deret dan harus
konvergen. Selain itu, karena konvergensi mutlak dari deret
bilangan real mengimplikasikan konvergensi dari deret itu sendiri,
berarti bahwa ada bilangan real dan yang konvergen. Menurut teorema
maka deret konvergen. Akibatnya konvergensi mutlak dari deret
bilangan kompleks menyiratkan konvergensi dari deret itu.Dalam
membangun fakta bahwa jumlah deret bilangan yang diberikan maka
kita tentukan sisa setelah suku yaitu
Jadi dan karena , kita lihat bahwa deret konvergen ke sebuah
bilangan jika dan hanya jika barisan sisa cenderung mendekati nol.
Bentuk deretnya
dimana dan koefisien adalah konstanta kompleks dan mungkin
setiap titik yang menyatakan daerah yang memuat . Dalam deret
tersebut melibatkan variabel , kita akan menunjukkan jumlah, jumlah
bagian dan sisa dengan , dan berturut-turut.
Contoh 5 :Dengan bantuan sisa akan ditunjukkan bahwa dimana Kita
ingat kembali identitas (Exercise 10, Sec 7)
Untuk menuliskan jumlah bagiannya
Karena jika maka
Jadi .dan jelas bahwa sisa cenderung ke nol ketika tetapi tidak
ketika . Jadi rumus penjumlahan ada.
C. Deret Taylor dan Deret MaclaurinDeret pangkat dengan
jari-jari kekonvergenan tidak nol dapat dinyatakan sebagai fungsi
analitik di setiap titik pada daerah kekonvergenannya. Pada pasal
ini akan dibahas bahwa setiap fungsi analitik dapat dinyatakan
dengan suatu deret pangkat. Situasi tersebut disajikan pada teorema
berikut.
TEOREMA 3 (Deret Taylor)Jika fungsi analitik pada daerah terbuka
, maka untuk setiap dapat dinyatakan ke dalam deret pangkat. ,
(1)dengan
Dengan mengekspansikan ke dalam deret Taylor pada titik pusat .
Seperti yang telah kita kenal deret Taylor dalam Kalkulus, juga
digunakan pada variabel kompleks. Dengan ketentuan bahwa dan Maka
deret (1) dapat ditulis
dengan disebut deret Taylor di titik dan daerah disebut daerah
kekonvergenan atau keanalitikan deret. Bila fungsi entire maka
daerah keanalitikan deret yaitu
Bukti:Diambil lintasan , , dan Karena Maka
Menurut pengintegralan Cauchy, jika analitik ada dan , Maka dan
oleh karena itu, dengan .(1)akan dibuktikan . Dari persamaan (1),
diperoleh
Karena analitik pada , maka terdapat bilangan real sehingga
berlaku untuk setiap . Oleh karena itu diperoleh , Sedangkan untuk
setiap berlakuMenurut teorema bahwa dengan Oleh karena itu
diperoleh
dengan Karena , maka jadi (2)Dari persamaan (1) dan (2)
diperoleh
.Deret analitik pada daerah disebut deret taylor untuk fungsi
disekitar .
Jika , diperoleh deret analitik pada daerah disebut deret
Maclaurin.
Dalam mengekspansikan suatu fungsi kompleks, akan lebih mudah
dilakukan asalkan kita sudah mempunyai perderetan dari fungsi
tertentu. Caranya dengan melihat pola dasar bentuk perderetan suatu
fungsi tertentu tersebut dan daerah keanalitikannya.
Contoh 6:1. Nyatakan dalam deret Maclaurin.Penyelesaian:Fungsi
merupakan fungsi entire sehingga daerah keanalitikannya dan maka
Oleh karena itu .(1)Jika maka persamaan (1) menjadi , 2. Nyatakan
dalam deret MaclaurinPenyelesaian:Fungsi merupakan fungsi entire,
sehingga daerah keanalitikan .Dengan menggunakan bentuk ( maka
diperoleh deret :(. Oleh karena itu, didapatkan: dengan mengganti
dengan kita peroleh
Contoh 7:Tentukan deret Maclaurin dari dan Penyelesaian:Ingat
kembali definisi pada fungsi trigonometri
Untuk menemukan deret Maclaurin dari fungsi , kita bisa
mengekspansikannya menjadi
Tetapi jika genap, dan dengan demikian kita dapat mengganti
Karena dan Sehingga fungsinya menjadi ..(*)Untuk nilai , kita dapat
dengan menurunkan persamaan (*) diperoleh
..(**)
Contoh 8:Tentukan deret Taylor dari fungsi dan
Penyelesaian:Ingat subbab fungsi hiperbolik kita hanya perlu
mensubstitusi dengan pada setiap ruas dari persamaan (*) dan
kalikan hasilnya dengan sehingga diperoleh
Dengan cara yang sama, karena , maka dari persamaan (**)
diperoleh
Contoh 9:1. Ekspansikan fungsi ke dalam deret
MaclaurinPenyelesaian:Fungsi gagal analitik di , sehingga daerah
keanalitikannya .
.
Jadi , 2. Ekspansikan fungsi ke dalam deret
MaclaurinPenyelesaian:fungsi tidak analitik di sehingga daerah
keanalitikan , 3. Ekspansikan fungsi ke dalam deret
MacLaurinPenyelesaian:Kita tahu bahwa ..Dengan mengganti dengan
diperoleh..|z-1|