Capitulo II Matemática II Objetivo 2. Calcular límites cuando x tiende a infinito, cuando () fx tiende a infinito o límites de las formas indeterminadas: 0 0 , ∞ ∞ , ∞-∞ y 1 ∞ . Ejercicio 1 Calcular: 4 5 14 lim 2 x x x x → - - Solución Justificación: Expresión Matemática Operación realizada (29 4 5 14 4 5 4 14 lim 2 4 2 4 52 14 4 10 14 2 2 0 14 14 0 0 0 x x x x → + - + - = = - - + - + - = = - - = Primero se evalúa el límite para saber a que forma indeterminada nos enfrentamos 4 5 14 lim 2 x x x x → - - Límite original La conjugada del denominador es: 2 x (conjugar es cambiar de signo) 4 5 14 2 lim 2 2 x x x x x x → - + - + i Se multiplica por la conjugada tanto en el numerador como en el denominador para no alterar el ejercicio, es decir, 2 1 2 x x + = + , y al multiplicar por 1, no se altera el ejercicio original ( ( ( 29 ( 29 4 5 14 2 lim 2 2 x x x x x x → + - + - + La multiplicación de fracciones es lineal, es decir: ac ac bd bd = i i i ( ( ( 29 ( 29 ( 29 (29 ( 29 4 2 4 2 2 lim 2 2 2 14 14 2 2 1 5 5 li 4 5 2 m x x x x x x x x x x x x x x x → → + - + = - + + - + + - - i i En el numerador se aplica la propiedad distributiva y en el denominador el producto de la suma por su diferencia, es decir: ( 29 ( 29 2 2 b b a b a a - + = -
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Capitulo II
Matemática II
Objetivo 2. Calcular límites cuando x tiende a infinito, cuando ( )f x
tiende a infinito o límites de las formas indeterminadas: 0
0,
∞∞
, ∞ − ∞ y 1∞ .
Ejercicio 1
Calcular: 4
5 14lim
2x
x x
x→
+ −−
Solución
Justificación:
Expresión Matemática Operación realizada
( )4
5 14 4 5 4 14lim
2 4 2
4 5 2 14 4 10 14
2 2 0
14 14
0
0
0
x
x x
x→
+ − + −= =− −
+ − + −= =−
− =
Primero se evalúa el límite para saber
a que forma indeterminada nos
enfrentamos
4
5 14lim
2x
x x
x→
+ −−
Límite original
La conjugada del denominador es: 2x + (conjugar es cambiar de signo)
4
5 14 2lim
2 2x
x x x
x x→
+ − + − +
i
Se multiplica por la conjugada tanto en
el numerador como en el denominador
para no alterar el ejercicio, es decir,
21
2
x
x
+ =+
, y al multiplicar por 1, no se
altera el ejercicio original
( )( )( )( )4
5 14 2lim
2 2x
x x x
x x→
+ − + − +
La multiplicación de fracciones es
lineal, es decir: a c a c
b d b d= i
ii
( )( )( ) ( )
( ) ( )( )
4
24 2
2lim
2 2 2
14
14
2 2
1
5
5li
45
2
m
x
x
x
x
x
x
x x
x
x x
x
x
x x
→
→
+ − + = − +
+ − + + − −
i i
En el numerador se aplica la
propiedad distributiva y en el
denominador el producto de la suma
por su diferencia, es decir:
( )( ) 2 2b ba ba a− + = −
( )( )
2
4
5 14 2 10 28lim
4x
x x x x x x
x→
+ − + + − −
Resultado de ejecutar las operaciones
anteriores
( )4
5 14 2 10 28lim
4x
x x x x x x
x→
+ − + + − −
Se aplicó:
( )2
x x x x= =
( )4
7 4 28lim
4x
x x x x
x→
+ − − −
Se efectúo la suma algebraica de
términos semejantes
( )4
7 4 28lim
4x
x x
x
x x
→
+ − − −
Se destaco los elementos que
extraeré como factor común
( ) ( )( )4
4 4lim
7
4x
x x
x
x
→
− + − −
Se extrajo como factor común 2
elementos, a saber:
a) ( )4 4xx xx x=− −
b) ( )7 728 4 477x x x− = − = −i
( ) ( )( )4
4 47lim
4x
xx
x
x
→
− − + −
Se destaco el elemento que extraeré
como factor común
( ) ( )( )4
74lim
4x
x
x
x
→
+ −
−
Se extrajo como factor común 1
elemento, a saber:
a) ( ) ( ) ( ) ( )4 4 47 7x x xx x+ =− − +−
( ) ( )( )4
7l m
4i
4
x
x
x
x
→
+
−
−
Ahora observa los elementos
semejantes que se pueden simplificar,
tanto en el numerador como en el
denominador, los destaque en rojo
( )4
4limx
x
→
− ( )( )
7
4
x
x
+
−
( )4
lim 7x
x→
=
+
Se aplica la simplificación de los
términos semejantes.
( )4
lim 7 4 7 2 7 9x
x→
+ = + = + = Se evalúa de nuevo el límite para
conocer si se elimino la forma
indeterminada
Respuesta: 4
5 14lim 9
2x
x x
x→
+ − =−
Ejercicio 2
Calcular:
limx
x
x x x→∞ + +
Solución
Justificación:
Expresión Matemática Operación realizada
limx
x
x x x→∞
∞=+ + ∞ + ∞ + ∞∞ ∞= = =
∞ + ∞∞ + ∞ + ∞∞∞
Primero se evalúa el límite para saber
a que forma indeterminada nos
enfrentamos
limx
x
x x x→∞ + +
Límite original
En este tipo de formas indeterminadas se acostumbra dividir entre el término
de mayor exponente
lim lim
1lim lim
x x
x x
x
x
x
x
x x x x x x
x
x
x x x x x x
x xx x
→∞ →∞
→∞ →∞
= =+ + + +
=+ ++ +
Se procedió a dividir tal como indique,
toma en cuenta la aplicación de las
siguientes propiedades aplicadas de
los radicales, a saber:
a) x
xx
x=
b) x x x x
xx
+ +=
c) Se aplico la propiedad de la suma
de fracciones, que indica lo siguiente:
cuando tenemos el mismo
denominador sumamos los
numeradores y se deja el mismo
denominador, es decir:
a b a b
c c c
+ = + , esto se aplico en el
denominador:
x x x x x
x x x
x+ + += +
2
1 1lim lim
1 1
1 1lim lim
11 1 1 1
x x
x x
x x x x
x x x
x
x x
→∞ →∞
→∞ →∞
=+ + + +
= =
+ + + +
Se aplicaron las siguientes
operaciones:
a) 1x
x=
b) Se aplicó de nuevo lo explicado en
el punto “c” del paso inmediato
anterior acerca de las fracciones de
igual denominador:
x x x
x
x
x x
+ = +
c) Se aplicó la propiedad de los
radicales acerca de introducir un
elemento en un radical, es decir:
n
nn
x x
y y= , en nuestro caso particular
fue:
2
x
x
x
x=
d) Se simplifico en la ultima igualdad
obtenida en el denominador, a saber:
x2x
1
x=
1 1lim
1 11 1 1 1
1 1 1
1 1 21 0 1
x
x
→∞=
+ + + +∞
= = =++ +
Se evalúa de nuevo el límite para
conocer si se elimino la forma
indeterminada. Recuerda:
a) 1
0=∞
Respuesta: 1
lim2x
x
x x x→∞
=+ +
Ejercicio 3
Determinar 2
20
2limx
tg x
x→ si es que existe.
Solución
Justificación:
Expresión Matemática Operación realizada
( )2 2
2 20
2 02 2 0 0lim
0 0 0x
tg x tg
x→= = =
Primero se evalúa el límite para saber
a que forma indeterminada nos
enfrentamos
2
20
2limx
tg x
x→ Límite original
En este caso haremos uso del límite especial o notable 0
lim 1x
senx
x→= . Para ello
descompondremos la función tangente así: cos
senxtgx
x=
2 2
0 22 20
2 2lim lim
cosx x
tg x sen x
x x x→ →= Se aplicó
cos
senxtgx
x=
2
2 2
2
2
20 0 0
2
0 0
2 2lim lim lim
2lim l
c
im
os cos
cos
x x x
x x
sen x sen
x
x
x x
sen
x
x
x
x
→ → →
→ →
=
= =
i i
i
Se descompuso en multiplicación de
fracciones, porque nos conviene tener
la estructura senx
x para aplicar el límite
notable antes nombrado:
2 2
2 2
2 2
2 2
cos cos
sen x se
x x x
n x
x= i
También se aplicó la propiedad de
potenciación: nn
n
a a
b b
=
, en:
2
2 2sen x sen
x
x
x
=
( )2
22 21
cos 0 11 2 1 2= = =i i i
Sustituyendo para evaluar y obtener el
valor del límite. Recuerda que en este
paso se aplica:
a) 0
lim 1x
senx
x→=
b) cos0 1=
Respuesta: 2
20
2lim 2x
tg x
x→=
Ejercicio 4
Determinar 1
2
ln ( ) 2lim
x
x
e sen sen x sen x
senxπ
−
→
− .
Solución
Justificación: Primero sustituimos el valor de 2
π, para identificar a que
forma indeterminada nos enfrentamos:
121
2
ln ( ) 2ln ( ) 2 2 2
lim
2
x
x
e sen sen sene sen sen x sen x
senxsen
π
π
π π
π
−−
→
− − = =
ln 22 2
e senπ π − 2
π ( ) ( )( ) [ ]( )
12 2
0 0 0 01 1 2 2
senπ π π
π π − = = − = =
NOTA 1: En este límite puedes tomar en cuenta lo siguiente:
ln ln (1)xe x e x x= = = , acá se aplico la propiedad de la función logaritmo:
ln lnba b a=
NOTA 2: También puedes aplicar lo siguiente: 1( )sen sen x x− = . Cuando
tenemos una función trigonométrica y su inversa, esta se anula y queda el
argumento, es decir, se cumplen las siguientes propiedades:
1
1
1
1
1
1
( )
cos(cos )
( )
cot (cot )
sec(sec )
cos (cos )
sen sen x x
x x
tg tg x x
g g x x
x x
ec ec x x
−
−
−
−
−
−
=
==
==
=
En este caso no se generó ninguna forma indeterminada, por lo tanto:
Respuesta: 1
2
ln ( ) 2lim 0
x
x
e sen sen x sen x
senxπ
−
→
− =
Ejercicio 5
Usando las propiedades de límites paso a paso, calcular el siguiente