Capitulo II Matemática II Objetivo 5. Aplicar las derivadas de orden superior a uno a problemas de optimización, a la representación gráfica de una función o a la aproximación de funciones mediante funciones polinómicas. Ejercicio 1 Dada la función : f → ℝ ℝ definida por: 4 3 2 () 1 12 6 x x fx x = + - + . a. Determinar los puntos de inflexión y los intervalos de concavidad y convexidad. b. Representar aproximadamente la gráfica de () fx . Solución Justificación: Primero quiero dejarte claro amiga y amigo estudiante con las palabras concavidad y convexidad en Matemática, ya que a mi juicio hay que dar 2 palabras y no una, al hablar de este aspecto, observa lo siguiente: Como puedes ver una curva puede ser cóncava y convexa, de manera, que si se te pide, diga cuando una curva es cóncava o convexa, no será suficiente información ya que una curva tiene ambas características. Ahora bien, ¿cómo resolver esta situación? Se resuelve así:
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Transcript
Capitulo II
Matemática II
Objetivo 5. Aplicar las derivadas de orden superior a uno a problemas de
optimización, a la representación gráfica de una función o a la aproximación de
funciones mediante funciones polinómicas.
Ejercicio 1
Dada la función :f →ℝ ℝ definida por: 4 3
2( ) 112 6
x xf x x= + − + .
a. Determinar los puntos de inflexión y los intervalos de concavidad y
convexidad.
b. Representar aproximadamente la gráfica de ( )f x .
Solución
Justificación: Primero quiero dejarte claro amiga y amigo estudiante con
las palabras concavidad y convexidad en Matemática, ya que a mi juicio hay
que dar 2 palabras y no una, al hablar de este aspecto, observa lo siguiente:
Como puedes ver una curva puede ser cóncava y convexa, de manera,
que si se te pide, diga cuando una curva es cóncava o convexa, no será
suficiente información ya que una curva tiene ambas características. Ahora
bien, ¿cómo resolver esta situación?
Se resuelve así:
Cuando la curva este así:
Y cuando la curva este así:
Observa como el problema se soluciono, solo con mencionar si la
característica es hacia arriba o hacia abajo. En el resto de esta guía cuando
hable de concavidad y convexidad, hablare de cóncava hacia arriba o hacia
abajo según sea el caso ó de convexa hacia arriba o hacia abajo, según sea el
caso.
Ahora comenzaré a dar respuesta al ejercicio número 1.
a. Los puntos de inflexión son aquellos donde la curva cambia de
cóncava hacia arriba a convexa hacia abajo ó de cóncava hacia abajo a
convexa hacia arriba.
Estos puntos ( ),x y de inflexión, SIEMPRE se consiguen de la siguiente
manera:
Para conseguir las abscisas de los puntos, es decir, las coordenadas
equis, se iguala a cero la segunda derivada y se resuelve la ecuación
generada, así: 4 3
2
4 1 3 1 3 2era ' 2 1 ' 1
3 1 2 1da '' 1 1 '' 2 1 0 2
( ) 112 6
4 31 derivada: ( ) 2 0 ( ) 2
12 6 3 2
3 22 derivada: ( ) 2.1 ( ) 2 2
3 2
x xf x x
x x x xf x x f x x
x xf x x f x x x x x x
− −−
− −−
= + − +
= + − + → = + −
= + − → = + − = + −
Ahora igualaremos a cero:
222
1
2
1 1 4.1.( 2)4 1 1 82 0
2 2.1 21 3 2
11 9 1 3 2 2
1 3 42 22
2 2
b b acx x x
a
xx
x
− ± − −− ± − − ± ++ − = → = = =
− + = = =− ± − ± = = = − − − = = = −
Una vez obtenidas las abscisas, se consiguen las ordenadas, es decir,
las coordenadas yes, con la función original, así:
Para 1 1x = :
4 3 4 32 21 1 1 1 6 12 18 1
( ) 1 1 1 1 112 6 12 6 12 6 72 72 4
x xf x x y
+= + − + → = + − + = + − + = = =
El primer punto de inflexión es: 1
1,4
Para 2 2x = − :
4 3 4 32 2( 2) ( 2) 4 8 4 16
( ) 1 ( 2) 1 4 1 3 1 3 412 6 12 6 12 6 12
x xf x x y
− − −= + − + → = + − − + = − − + = − = − − = −
El segundo punto de inflexión es: ( )2, 4− −
Después de conseguir estos puntos de inflexión, pasaremos a conseguir
los intervalos donde la curva es cóncava hacia arriba ó convexa hacia abajo y
cóncava hacia abajo ó convexa hacia arriba.
El intervalo donde la función es cóncava hacia arriba ó convexa hacia
abajo SIEMPRE se obtiene así: ''( ) 0f x >
Curva así: ∪
Y el intervalo donde la curva es cóncava hacia abajo o convexa hacia
arriba es: ''( ) 0f x <
Curva así: ∩
Resolveré ''( ) 0f x > , es decir, 2 2 0x x+ − > . Sabemos del objetivo 3 de
Matemática 1, donde se explico en detalle la resolución de inecuaciones, que
debemos factorizar este polinomio para resolver la inecuación; pero, Para
factorizar este polinomio debemos conseguir las raíces, es decir, 2 2 0x x+ − = ,
pero éstas raíces ya las conseguimos, cuando calculamos las abscisas de los
puntos de inflexión, y son: 1 1x = y 2 2x = − , por lo tanto nuestro polinomio
factorizado queda: 2 2 ( 1)( 2)x x x x+ − = − + , así nuestra inecuación queda:
2 2 0
( 1)( 2) 0
x x
x x
+ − >− + >
Para resolver esta inecuación, estudiare los signos de este producto a
través del siguiente cuadro (LA EXPLICACIÓN DETALLADA DE LA
CONSTRUCCIÓN DE ESTE CUADRO SE ENCUENTRA EN EL OBJETIVO 3
DE MATEMÁTICA 1):
En la parte superior se ubican ordenadamente las raíces 1 1x = y 2 2x = − ,
como si estuvieran en el eje real, y siempre se completa en la parte izquierda
con menos infinito y en la parte derecha con más infinito.
En la parte izquierda del recuadro se colocan las expresiones
factorizadas ( 1) y ( 2)x x− + . SigI Significa, signo de la inecuación.
Ahora bien, primero se resuelve la primera fila del recuadro a través de:
( 1) 0 1x x− > → >
Esto indica que para toda equis mayor que uno la expresión ( 1)x − es
positiva, por lo tanto a partir de la línea vertical a la derecha, donde se
encuentra el 1 en la parte superior, se ubican signos positivos y de resto, es
decir, a la izquierda de esa misma línea signos negativos.
Procedemos de igual forma para:
( 2) 0 2x x+ > → > −
Esto indica que para toda equis mayor que menos dos la expresión
( 2)x + es positiva, por lo tanto a partir de la línea vertical a la derecha, donde
se encuentra el 2− en la parte superior, se ubican signos positivos y de resto,
es decir, a la izquierda de esa misma línea signos negativos.
Finalmente, se multiplican verticalmente, columna por columna, los
signos para obtener la última fila, donde se encuentra la notación SigI .
De esta manera se obtiene el siguiente cuadro:
Ahora observa el siguiente esquema explicativo:
Por lo tanto la función es cóncava hacia arriba ó convexa hacia abajo, en
el intervalo:
( ) ( ), 2 1,−∞ − ∪ ∞
Y el intervalo donde la curva es cóncava hacia abajo o convexa hacia
arriba en el intervalo:
( )2,1−
b. Gráfica aproximada:
Para hacer esta representación gráfica aproximada, dibujamos los
puntos de inflexión y con el conocimiento de los intervalos donde es cóncava
hacia arriba ó convexa hacia abajo, se tiene:
Gráfica 1
Respuesta: Los puntos de inflexión son: 1
1,4
y ( )2, 4− − . La función es
cóncava hacia arriba ó convexa hacia abajo, en el intervalo: ( ) ( ), 2 1,−∞ − ∪ ∞ y
cóncava hacia abajo o convexa hacia arriba en el intervalo: ( )2,1−
La gráfica aproximada es la representada en la gráfica 1.
Ejercicio 2
Supongamos que el rendimiento r en % de un estudiante UNA en una
prueba parcial de Matemática II que tiene una duración de 3 horas viene dado
por: .(3 )r t t= − , donde 0 3t< < es el tiempo en horas. Determinar:
a. ¿En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento?
b. ¿En qué momento el rendimiento es nulo?
c. ¿Cuándo se obtiene el mayor rendimiento y cuál es?
Solución
Justificación: Para:
a. En este caso nos están pidiendo donde la función crece y donde
decrece, a saber:
• La función crece cuando '( ) 0r t >
• La función decrece cuando '( ) 0r t <
Por lo tanto, calculamos la primera derivada, pero antes de calcularla,
efectuare la propiedad distributiva en la función original para que sea más
fácil el proceso de derivación: 2.(3 ) 3r t t t t= − = −
Derivando: 2 '.(3 ) 3 3 2r t t t t r t= − = − → = −
Por lo tanto la función crece cuando:
' 3( ) 0 3 2 0 3 2
2r t t t t> → − > → > → <
De esta última conclusión se deduce que la función decrece cuando
3
2t > .
Como la función esta definida en: 0 3t< < , la función crece en el
intervalo:
30
2t< <
Y decrece en el intervalo:
33
2t< <
b. El rendimiento es nulo cuando 0r = , es decir:
00
3.(3
0)
3r
t
tt t
t−
− ==
= = = ∴
Por lo tanto en 0 y 3t t= = el rendimiento se anula.
c. El mayor rendimiento se obtiene en la abscisa máxima, y para
calcularla primero se consiguen los puntos críticos a través de la igualdad: ' 0r =
Es decir:
' 33 2 0 2 3
2r t t t= − = ∴ = ∴ =
Para verificar la naturaleza de este valor, es decir, si es máximo o
mínimo, se procede a verificar con la prueba de la segunda derivada, a saber:
• Si al evaluar la segunda derivada en la abscisa crítica resulta positiva
concluimos que tenemos un mínimo.
• Si al evaluar la segunda derivada en la abscisa crítica resulta negativa
concluimos que tenemos un máximo.
La segunda derivada en este caso es: ' ''3 2 2r t r= − → = −
Como la derivada es siempre negativa, al evaluarla en la abscisa 3
2t =
nos dará negativa, por lo tanto se concluye que 3
2t = es un máximo.
El valor de la función, es decir, del rendimiento en este punto es:
3 3 3 3 6 3 3 3 9. 3 . .
2 2 2 2 2 2 2 4r
− = − = = =
Respuesta:
a. El rendimiento aumenta en: 3
02
t< < y disminuye en: 3
02
t< <
b. En 0 y 3t t= = el rendimiento es nulo.
c. El mayor rendimiento ocurre en 3
2t = y tiene por valor
3 9
2 4r =
.
Ejercicio 3
Se desea construir una caja abierta sin cara superior y de base cuadrada
con 108 pulgadas cuadradas de material. ¿Cuáles serán las dimensiones de la
caja para que el volumen sea máximo?
Solución
Justificación: Primero dibujamos la caja, para ayudarnos con dicha
imagen:
Observa algo muy importante, hay que darle nombre a las dimensiones,
en este caso por ser la base cuadrada, le di a su base la longitud x , y a la
altura, y . Observa que NO TIENE TAPA , de tenerla la hubiese destacado en
rojo.
Ahora bien, en este tipo de problema es clave que identifiques
SIEMPRE 2 funciones , a saber:
• Función condición.
• Función a optimizar. (esta función es la que se derivará y se le buscaran
las abscisas máximas o mínimas según el caso)
La función condición es la que se plantea en el enunciado y la función a
optimizar, se forma con lo que se pregunta, así:
Función condición
Cuando en el enunciado se menciona: 108 pulgadas cuadradas de
material, esto permite plantearse, que en material, es decir, el área de las caras
laterales más la base cuadrada debe ser igual a 2108 lgpu , y el área de las
caras laterales, son áreas de rectángulos, base por altura, en este caso:
.una caraA x y=
Como la caja tiene 4 caras laterales, el área total lateral será:
4 .lateralA x y=
Como también se gasta material en la base, debemos pues calcular el
área de la base, que como es un cuadrado, será:
2baseA x=
Por lo tanto el área total de TODA LA CAJA, es decir, GASTO TOTAL
DE MATERIAL, será:
2
2
4 . 108
4 8 . 10totalA x y
x y
x
x
= +
=
=
+
Es de esta función condición donde se despeja una de las variables,
para sustituirla en la función a optimizar, evidentemente la variable más fácil de
despejar en ésta ultima ecuación azul obtenida, es la variable ye, por lo tanto:
2108
4
xy
x
−=
Función a optimizar
Cuando se pregunta: ¿Cuáles serán las dimensiones de la caja para que
el VOLUMEN SEA MÁXIMO ?, Nos da la clave de que la función a optimizar es
el volumen de la caja, y sabiendo que el volumen de una caja es el producto
del área de la base por su altura, se tiene:
2.V x y=
Una vez conseguidas ambas funciones (condición y a optimizar) y haber
despejado una de las variables de la función condición, enseguida se procede
a sustituir dicho despeje en la función a optimizar, para tener una función con
una sola variable, observa:
22
2. .108
4V y
xx x
x−= =
por lo tanto la función QUE SE DERIVARÁ y se le conseguirán los
puntos críticos y la naturaleza de los mismos (máximos o mínimos) es:
22 2108.
4
xV x V x
x
−= → =
2108.
4
x
x
−
( )
2
3
108.
4
1 108
4
xx
V x x
−=
= −
Derivando esta última función:
( ) ( ) ( )3 ' 3 1 21 1 1108 108 3 108 3
4 4 4V x x V x x−= − → = − = −
Nota: para derivar se aplico: ( )' 1.n nx n x −=
Para ubicar el ó los puntos críticos, se iguala a cero ésta última derivada
y se procede a despejar equis:
( )' 2 2 2 21 108108 3 0 108 3 0 3 108 36 36 6
4 3V x x x x x= − = → − = → = → = = ∴ = =
Para conocer la naturaleza de este punto crítico, se procede a aplicar la
prueba de la segunda derivada, a saber:
• Si al evaluar la segunda derivada en la abscisa crítica resulta positiva
concluimos que tenemos un mínimo.
• Si al evaluar la segunda derivada en la abscisa crítica resulta negativa
concluimos que tenemos un máximo.
La segunda derivada en este caso es:
( ) ( ) ( )' 2 '' 2 11 1 1 3108 3 3 2 6
4 4 4 2V x V x x x− −= − → = − × = − =
Evaluando en la segunda derivada el punto crítico 6x = , obtenido se
tiene:
( )'' 36 .6 9 0
2V
−= = − <
Como da menor que cero, es decir, negativa, se tiene que el punto 6x =
es un máximo, que es precisamente lo que se quería, mayor volumen de la
caja.
Como se nos pide las dimensiones de la caja, y ya tenemos una, la
dimensión de la base: 6x = , faltaría la dimensión de la altura, es decir ye, para
obtenerla, hacemos uso de la función condición despejada:
2108
4
xy
x
−=
Sustituyendo 6x = , se tiene:
2108 6 108 36 723
4.6 24 24y
− −= = = =
Por lo tanto:
Respuesta: Las dimensiones de la caja para que el volumen sea máximo
son: 6x = y 3y = .
Ejercicio 4
Realizar el estudio completo y la representación gráfica de la función
4
2
1( )
xf x
x
+=
Solución
Justificación: Para realizar el estudio completo de la función, procederé a
analizar cada uno de los siguientes aspectos:
1) Dominio y Rango.
2) Continuidad.
3) Periodicidad.
4) Simetría.
5) Puntos de corte con los ejes coordenados.
6) Signo de la función.
7) Asíntotas.
8) Monotonía. Puntos máximos y mínimos e intervalos de crecimiento y
decrecimiento.
9) Curvatura. Puntos de inflexión e intervalos donde la curva es cóncava
hacia arriba o convexa hacia abajo y cóncava hacia abajo o convexa hacia
arriba.
10) Gráfica de la función.
NOTA: OBSERVA QUE DESTAQUE EN AZUL ALGUNOS
ASPECTOS, PORQUE CON ÉSTAS SON SUFICIENTES PARA
GRÁFICAR, LAS DEMÁS QUE NO ESTAN DESTACADAS, IGUAL
LAS CALCULARE, PERO SON OPCIONALES SEGÚN SE TE
EXIJA EN LA PREGUNTA, POR LO GENERAL NO SON
NECESARIAS CALCULARLAS.
En este caso, se tiene:
1) Dominio: El dominio de la función, son los valores de la variable
independiente (equis) para los cuales la función existe; si observamos la
estructura de la función:
4
2
1( )
xf x
x
+=
Notaremos claramente que el numerador 4 1x + es un polinomio, y se
sabe que todo polinomio tiene como dominio todos los números reales, por otro
lado el denominador 2x también es un polinomio y su dominio son los reales,
pero, por estar presente en el denominador de la función dada, debemos
excluir los puntos donde éste polinomio se anula, es decir,
2 0 0x x= → =
En conclusión el dominio de la función 4
2
1( )
xf x
x
+= son todos los
números reales menos el cero, matemáticamente esto se denota así:
( ) { }0Dom f = −ℝ
Rango: Antes de explicarte como calcularemos el rango de la función, es
importante mencionarte que el Rango es el mayor conjunto de llegada, que
debemos determinar completamente para graficar la función dada, porque
trabajaremos con todo el dominio ya calculado de la función; hago esta
aclaratoria porque a veces se restringe el dominio de la función, lo que causa
una restricción en las imágenes, causando pues obtener un conjunto de llegada
menor que el Rango.
Por ejemplo el dominio de la función ( ) 1f x x= + son todos los reales, y
el rango también, sin embargo, en un momento dado te podrías encontrar con:
[ ] [ ]: 2,7 / (1,8 ) 1f f x x−− → = +
Fíjate como el conjunto de llegada esta dado por el intervalo [ ]1,8− que
es menor que el rango que son todos los reales ( ),= −∞ ∞ℝ .
Hecha esta aclaratoria, procederé a conseguir el rango de la función
dada: 4
2
1( )
xf x
x
+= .
Para conseguir el rango de una función se acostumbra buscar el dominio
de la función inversa, sin embargo, hay que tener cuidado a la hora de analizar
dicho Intervalo, observa:
Calculare la función inversa, esto se logra intercambiando las variables y
luego despejando ye en función de equis, así:
4 4
2 2
1 1x yy x
x y
+ += → =
Ahora despejare ye en función de equis:
( )2
22 4 4 2 2 2 2 ( ) ( ) 4(1)(1)1 1 0 1 0
2(1)
x xxy y y xy y xy y
− − + − −= + → − + = → − + = → =
Observa que se llego a una ecuación de segundo grado en función de
2y , por ello se aplico la resolverte.
Es importante destacar que la resolvente se trabaja solo con el signo +,
no con el ± , la razón de esto es que se esta buscando una FUNCIÓN inversa,
no una RELACIÓN inversa. Continuando:
2 2 22 4 4 4
2 2 2
x x x x x xy y
+ − + − + −= ∴ = =
Por lo tanto la función inversa es:
21 4( )
2
x xf x− + −=
Para conseguir el dominio de esta función se trabaja con las
restricciones que generan las raíces cuadradas, en este caso:
2 4 0x x+ − ≥ y 2 4 0x − ≥
NOTA: RECUERDA QUE LA SOLUCIÓN DE ESTAS INECUACIONES
CORRESPONDEN AL RANGO, ES DECIR A LAS IMÁGENES DE LA
FUNCIÓN ORIGINAL 4
2
1( )
xf x
x
+= .
Para resolviendo la primera inecuación: 2 4 0x x+ − ≥ , debemos
factorizar : 2 4x − , así:
2 2 24 ( 2)( 2) se aplico: ( )( )x x x a b a b a b− = − + − = − +
Ahora nuestra inecuación queda:
( 2)( 2) 0x x x+ − + ≥
Observa que esta inecuación esta compuesta por la suma de 2
expresiones:
1era expresión: x
2da expresión: ( 2)( 2)x x− +
y esta suma debe ser positiva, ya que nos indican que
( 2)( 2)x x x+ − + debe ser mayor o igual que cero.
De aquí se desprende que x debe ser positiva para que al sumarse al
número positivo ( 2)( 2)x x− + nos genere pues un número positivo.
Por lo tanto 0x ≥ y ( 2)( 2) 0x x− + ≥ .
La expresión 0x ≥ se cumple para el intervalo [ )0,∞ , mientras que la
expresión ( ) ( )2 2
( 2)( 2) 0 ( 2)( 2) 0 ( 2)( 2) 0x x x x x x− + ≥ → − + ≥ → − + ≥
Para resolver esta última inecuación, estudiare los signos de este
producto a través del siguiente cuadro (LA EXPLICACIÓN DETALLADA DE LA
CONSTRUCCIÓN DE ESTE CUADRO SE ENCUENTRA EN EL OBJETIVO 3
DE MATEMÁTICA 1):
En la parte superior se ubican ordenadamente las raíces 1 2x = y
2 2x = − , como si estuvieran en el eje real, y siempre se completa en la parte
izquierda con menos infinito y en la parte derecha con más infinito.
En la parte izquierda del recuadro se colocan las expresiones
factorizadas ( 2) y ( 2)x x− + . SigI Significa, signo de la inecuación.
Ahora bien, primero se resuelve la primera fila del recuadro a través de:
( 2) 0 2x x− > → >
Esto indica que para toda equis mayor que 2 la expresión ( 2)x − es
positiva, por lo tanto a partir de la línea vertical a la derecha, donde se
encuentra el 2 en la parte superior, se ubican signos positivos y de resto, es
decir, a la izquierda de esa misma línea signos negativos.
Procedemos de igual forma para:
( 2) 0 2x x+ > → > −
Esto indica que para toda equis mayor que menos dos la expresión
( 2)x + es positiva, por lo tanto a partir de la línea vertical a la derecha, donde
se encuentra el 2− en la parte superior, se ubican signos positivos y de resto,
es decir, a la izquierda de esa misma línea signos negativos.
Finalmente, se multiplican verticalmente, columna por columna, los
signos para obtener la última fila, donde se encuentra la notación SigI .
De esta manera se obtiene el siguiente cuadro:
Por lo tanto la inecuación ( 2)( 2) 0x x− + ≥ , en el intervalo:
( ) ( ), 2 2,−∞ − ∪ ∞
Ahora bien, por un lado tenemos que 0x ≥ se cumple para el intervalo
[ )0,∞ , y ( 2)( 2) 0x x− + ≥ que se cumple en el intervalo ( ) ( ), 2 2,−∞ − ∪ ∞ .
Interceptando estas 2 soluciones, se tiene:
Se observa claramente que la intercepción se da en el intervalo: ( )2,∞ .
La otra inecuación, 2 4 0x − ≥ , no es necesario resolverla porque es
equivalente a la ya resuelta: ( 2)( 2) 0x x− + ≥
Por lo tanto el rango de la función 4
2
1( )
xf x
x
+= es el intervalo [ )2,∞ .
2) Continuidad:
La función 4
2
1( )
xf x
x
+= es continua en todo su dominio, porque esta
compuesta por funciones polinómicas, que por definición son continuas.
Entonces, el único punto de discontinuidad es donde la función no esta
definida, es decir, 0x = .
3) Periodicidad:
En matemática, una función es periódica si los valores de la función se
repiten conforme se añade a la variable independiente un determinado
período , o sea:
( ) ( )f x f x P= +
donde P es el período.
En nuestro caso:
4
2
1( )
xf x
x
+=
y
4 4 3 2 2 3 4
2 2 2
( ) 1 4 6 4 1( )
( ) 2
x P x x P x P xP Pf x P
x P x xP P
+ + + + + + ++ = =+ + +
Se observa claramente que la función no es periódica, ya que:
( ) ( )f x f x P≠ +
4) Simetría.
Una función es simétrica respecto del eje de las ordenadas o eje ye, si
es par, es decir, si se cumple: ( ) ( )f x f x− = .
Por otro lado, una función es simétrica respecto del origen, si es impar,
es decir, si se cumple: ( ) ( )f x f x− = −
Veamos si nuestra función es par o impar.
Verificando si es par, se tiene:
4 4
2 2
( ) 1 1( ) ( )
( )
x xf x f x
x x
− + +− = = =−
Se observa que nuestra función es par.
Recuerda que base negativa, exponente par, el resultado siempre es positivo.
Verificando si es impar, se tiene:
4 4
2 2
( ) 1 1( ) ( )
( )
x xf x f x
x x
− + +− = = = +−
Se observa que: ( ) ( )f x f x− ≠ − , por lo tanto nuestra función no es
impar.
De éste análisis concluimos que la función es simétrica respecto del eje
de las ordenadas.
5) Puntos de corte con los ejes coordenados.
Para conseguir el corte de la función 4
2
1( )
xf x
x
+= con el eje “Y” se
hace 0x = .
Para conseguir el corte de la función 4
2
1( )
xf x
x
+= con el eje “X” se
hace 0y = .
Calculo del corte de la función con el eje Y
4 4
2 2
1 0 1 1
0 0
xy y
x
+ += → = = = ∃
Sabemos que la división entre cero no existe, por lo tanto la función no
corta al eje Y.
Calculo del corte de la función con el eje X
44 4 4
2
10 1 0 1 1
xx x x
x
+= → + = → = − → = − = ∃
Sabemos que la raíz de índice par de un número negativo no existe, por
lo tanto la función no corta al eje X.
6) Signo de la función.
Saber los intervalos donde la función dada es positiva o negativa es muy
útil a la hora de graficar, sin embargo, como esta función no tiene cortes con el
eje “X”, quiere decir que siempre es POSITIVA o siempre es NEGATIVA. Esto
se sabe resolviendo la inecuación:
4
2
1( ) 0
xf x
x
+= >
Observamos que la solución de esta inecuación son todos los reales
menos el cero, porque todo número elevado a un exponente par, siempre es
positivo y al sumarle el 1 positivo, pues da positivo, en fin, la solución de esta
inecuación es: { }0−ℝ .
Esta información nos indica que la grafica de la función esta ubicada
toda por encima del eje de las equis.
7) Asíntotas.
Hay 3 tipos de asíntotas, a saber, vertical, horizontal y oblicua, veamos