Capitulo II Matemática II Objetivo 7. Aplicar el método de Gauss-Jordan en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales o en el cálculo de la inversa de una matriz. Ejercicio 1 Usar el método de Gauss-Jordan para resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 3 5 2 3 2 3 2 7 x y x y x y = - = = Solución Justificación: Este primer problema lo desarrollaré con mucho detalle, el resto de los ejercicios, los desarrollare con menos detalles, claro está, siempre explicando cada paso. Es importante mencionarte que el método de Gauss-Jordan consiste básicamente en transformar una matriz, en la matriz identidad, la pregunta lógica es ¿Cuál matriz se transformará en la matriz identidad?. Pues, para responder esta pregunta, primero recuerda que las matrices identidad tienen la forma: 2 1 0 0 1 I = 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 I = 4 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 I = Observa que todas estas matrices son CUADRADAS, sin embargo, independientemente de la forma de la matriz que nos den en el ejercicio, siempre se puede aplicar el método de Gauss-Jordan. Ahora bien, repitiendo la pregunta: ¿Cuál matriz se transformará en la matriz identidad?, ésta respuesta dependerá del ejercicio, que normalmente son de 2 tipos en este objetivo 7. Ejercicios tipo 1: Buscar la matriz inversa, de una matriz dada. En este caso te dan una matriz, por ejemplo: 5 0 2 3 1 4 8 2 1 A - = - -
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Transcript
Capitulo II
Matemática II
Objetivo 7. Aplicar el método de Gauss-Jordan en la resolución de
sistemas de ecuaciones lineales o en el cálculo de la inversa de una matriz.
Ejercicio 1
Usar el método de Gauss-Jordan para resolver el siguiente sistema de
ecuaciones:
3
5
2 3
2
3 2 7
x y
x y
x y
+ = − = + =
Solución
Justificación: Este primer problema lo desarrollaré con mucho detalle, el
resto de los ejercicios, los desarrollare con menos detalles, claro está, siempre
explicando cada paso.
Es importante mencionarte que el método de Gauss-Jordan consiste
básicamente en transformar una matriz, en la matriz identidad, la pregunta
lógica es ¿Cuál matriz se transformará en la matriz identidad?. Pues, para
responder esta pregunta, primero recuerda que las matrices identidad tienen la
forma:
2
1 0
0 1I
=
3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
=
4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
I
=
Observa que todas estas matrices son CUADRADAS, sin embargo,
independientemente de la forma de la matriz que nos den en el ejercicio,
siempre se puede aplicar el método de Gauss-Jordan.
Ahora bien, repitiendo la pregunta: ¿Cuál matriz se transformará en la
matriz identidad?, ésta respuesta dependerá del ejercicio, que normalmente
son de 2 tipos en este objetivo 7.
Ejercicios tipo 1:
Buscar la matriz inversa, de una matriz dada.
En este caso te dan una matriz, por ejemplo:
5 0 2
3 1 4
8 2 1
A
− = − −
Primero SE ESCRIBIRÁ LA MATRI AMPLIADA:
1 0 0
0 1 0
0 0
5 0 2
3 1 4
18 2 1
−−−
Luego la matriz, que transformaremos en la matriz identidad será:
Ejercicios tipo 2:
Resolver un sistema de ecuaciones.
En este caso te dan un sistema de ecuaciones, por ejemplo:
2 3 9
2 5 1
8 6 7 0
x y z
x y z
y z x
− + =− + + = − + =
Primero, DEBES TENER EL SISTEMA ORDENADO, Y EL QUE TE DI
EN ESTE EJEMPLO NO ESTA ORDENADO EN SU TERCERA FILA,
OBSERVA:
8
2 3 9
2 5
7 06
1
x y z
x y
z
z
y x
− + =− + + =
=+
−
Al ordenarla quedaría:
7
2 3 9
2 5
6 08
1
x y z
x y
y
z
x z
− + =− + + =
=−
+
Segundo, SE ESCRIBIRÁ LA MATRIZ AMPLIADA:
9
1
2 3 1
2 1 5
7 8 06
− −
−
Luego la matriz, que transformaremos en la matriz identidad será:
Retomando el ejercicio 1 planteado inicialmente, es decir, resolver el
sistema de ecuaciones dado; primero escribiremos la matriz ampliada del
sistema de ecuaciones; es IMPORTANTE recordar siempre, que el sistema
debe estar ordenado, es decir, las equis debajo de las equis, las yes debajo de
las yes, y así sucesivamente, para luego escribir la matriz ampliada y
posteriormente aplicar el método de Gauss-Jordan. En nuestro caso la matriz
ampliada será:
2 3
1 2
73 2
3
5
−
Observa amiga y amigo estudiante que la matriz que debemos
transformar en la matriz identidad es:
Ahora bien, te preguntaras ¿Cómo transformo esta matriz a la identidad
si no es cuadrada?, pues en estos casos lo que se desea obtener es la
siguiente transformación a matriz identidad:
1 0
0 1
0 0
Puede que te ayude pensar, que la matriz identidad a encontrar en este
caso, cuando la matriz dada en el ejercicio no es cuadrada, es realmente una
matriz cuadrada identidad pero faltante de la última columna, es decir,
Observa que esta estructura nos indica QUE PRIMERO
CONSEGUIMOS EL UNO EN LA PRIMERA COLUMNA Y LUEGO LOS
CEROS EN LA MISMA COLUMNA, LUEGO DE HABER CONSEGUIDO EL
UNO Y LOS CEROS, PASAMOS A LA SIGUIENTE COLUMNA A EJECUTAR
LO MISMO.
El método de Gauss-Jordan es mecánico y consiste en lo siguiente:
PASO 1: Primero se transforma en 1 (uno) el valor ubicado en la fila 1,
columna 1, es decir, el destacado en la siguiente matriz en azul y aumentado:
Esto se logra dividiendo entre 2, porque 2 entre 2 es igual a 1.
Pero no solamente se dividirá entre 2 únicamente el 2 destacado en azul
y grande, sino toda la fila donde se encuentra el 2 azul, SIEMPRE LAS
OPERACIONES A REALIZAR SE APLICAN A TODA LA FILA NUNCA A LA
COLUMNA, ES DECIR, SIEMPRE SE TRABAJA OPERANDO (SUMA, RESTA,
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN) POR FILA.
La forma de escribir la operación que pensamos realizar (dividir entre 2
para lograr el 1) es la siguiente:
11 2
FF →
Es importante que sepas interpretar esta notación matemática, por eso
la desglosaré:
11 2
FF→
El 1
2
F denota la operación que se efectuará, es decir, 1
2
F quiere decir
que toda la fila 1, se dividirá entre 2.
La parte 1F → indica que la operación de división por 2, anteriormente
planteada, quedará en una nueva fila 1 azul.
Efectuare la operación 1
2
F en nuestra matriz, observa:
Ahora observa que después de dividir nos queda la nueva fila, lo que te
mencione que corresponde a la parte 1F → , de manera que obtenemos:
IMPORTANTE: EL OBJETIVO DE ESTO, FUE EL PLANTEADO
INICIALMENTE EN ESTE PASO 1, QUE ES LOGRAR EL NÚMERO 1 EN LA
FILA 1, COLUMNA 1, DESTACADO EN AZUL Y GRANDE, observa la
siguiente matriz donde destaco este 1 al que me refiero:
PASO 2: Después de hacer el uno mencionado en el paso 1, se debe
hacer cero en todos los números debajo del uno azul grande generado en el
paso 1, destacaré los números, donde deben estar los ceros:
Para lograr estos ceros SIEMPRE NOS APOYAMOS EN EL UNO AZUL
QUE GENERAMOS EN EL PASO 1. (Por ésta razón siempre hay QUE HACER
PRIMERO EL UNO Y LUEGO LOS CEROS)
¿Cómo se hacen los ceros en el método de Gauss-Jordan?
Para hacer los ceros en la fila 2 y fila 3 de la columna 1, nos apoyamos
en el 1 azul de la siguiente manera:
• Se cambia el signo del número donde va el cero, en nuestro caso los
ceros van en el 1 y 3 rojos, por lo tanto se les cambia el signo a éstos
números, quedando 1− y 3− .
• Ahora se construye la siguiente operación con el primer número
cambiado de signo, el menos uno:
12 21FF F− +→
Observa como use en esta estructura la fila 2, porque es allí donde se
encuentra el 1 y donde quiero colocar el cero.
Explicaré a continuación el detalle de esta estructura, ya que es la que
siempre se usará para hacer los ceros:
Ahora fíjate como se construye la siguiente operación con el segundo
número cambiado de signo, el menos tres:
13 33FF F− +→
Observa que la estructura es muy semejante, lo único que varia es la fila
que ahora es tres, porque el número 3 se encuentra e la fila 3 de la matriz
dada.
Ahora aplicare cada una de estas operaciones por separado, para que
veas claramente como se aplica:
Aplicación de la estructura 12 21FF F− +→
Recuerda que ya se había hecho el 1 azul en el paso 1, y habíamos
llegado a la matriz:
1
3
3 3
2 22 5
2
1
7
−
Aplicare a ésta matriz la operación 12 21FF F− +→ , en detalle:
Observa como la fila 1 y 3 quedaron intactas, es decir, no cambiaron,
pues solo se ve afectada la fila 2.
Aplicación de la estructura 13 33FF F− +→
Ahora aplicaremos esta operación a la matriz:
0
3
3 3
2 27 7
2 22
1
7
−
En este caso se afectara solo la fila 3, aplicare esta operación en forma
un poco más directa:
1 1
1
3 3 3 3
3 3
3 3
3 33
3 3 3
10 3
3 3 3 3
2 2 2 27 7 7 7
2 2 2 22 7
3 3.
1 1
1
0
33 3 33 . 2 . 7
2 2
F FF
F F F FF F
FF F
F F F
− + − +− +
→ →→
− → → − − → + → + → +
+
− −
−
3 310 3
3 3 3 3
2 2 2 27 7 7 7
2 2 2 22 7 9 9
3 2 72
0
33
1 1
2
FF F
− → → − − − + +
− +
− +
3 1 30 3
3 3 3 3
2 2 2
0
3
1 12
7 7 7 7
2 2 2 22 7 9 4 9 14
2 20
FF F
− → → − − + − +
−
+
3 31
3 3 3 3
0 3 0
30
2 2 21 1
27 7 7 7
2 2 2 22 7 5 5
2 2
F FF
− → → − −
−
+
Hasta ahora tenemos la matriz:
3 31
2 27 7
02 25 5
02 2
− −
PASO 3: Ahora prácticamente repetiremos los pasos anteriores, pero
aplicados a la columna 2, RECUERDA QUE PRIMERO CONSEGUIMOS EL
UNO EN LA COLUMNA Y LUEGO LOS CEROS DE LA MISMA COLUMNA.
Si recuerdas que debemos llegar a la estructura:
1 0
0 1
0 0
Sabrás que en este tercer paso debemos hallar el UNO de la segunda
columna, y éste, se ubica en el número destacado en azul, observa:
3 31
2 27
02
5 50
2 2
7
2
−
−
Para lograr este uno multiplicamos toda la fila 2 por el reciproco de esta
fracción. Recuerda que reciproco significa invertir la fracción, en nuestro caso
tenemos la fracción 7
2− y su reciproco es: 2
7− . Observa que ciertamente al
multiplicarlas obtenemos el uno: 7 2 14. 1
2 7 14 − − = =
La operación que efectuaré se denota por 22
2
7F F→ −
Aplicando esta operación a la matriz, obtenemos:
2 22 22 222 277 7
2 2 2
2 2 7 2 7 2 2 7 2 7.(0) . . .(0) . .
7 7 2 7 2 7
3 313 32 2 12 2
5 55 50 0
2 22 2
31
2
7
2 7 2
140
14
FF FFF F
F F F
−→→ −→−
→ → → → − −
− − − − − − − −
33 3
122 2
5 55 050 2 222
140 1 1
14
→ − −
− −
PASO 4: Finalmente hacemos los ceros de esa columna, destacaré en
rojo, donde van los ceros en esta matriz:
31
3
2
5
1
50
2
20 1
2
−
−
Las operaciones para hacer los ceros, serán de la forma:
21 1
3
2F F F
− +→ y 23 3
5
2FF F+→
Aplicando éstas operaciones, tenemos:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2 2 2
2 22
1 1 1 1 1 1
3 3 3 33 3
3 3 32 2 2
1 1 11 1
5 553 3
2 22
33 3
2
2
3 3 3 3 3 313
2 2 2 2 2 22 5
52
5 55 5 520
0 1 1
10 1
31
20 1
2
1 0 1 1
0
2 2
5
222
F F FF F F F F F
F F FF FF FF F
F F FF F
F F
FF
F
F
F
→ → →
→
− − −+ +
++→
+
→+
→ → → → − → − → →→ →
− − −+ + +− +
+−− ++ +
−
−
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
3 3 3 3 3 3 3 3 31 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2
5 5 5 55 5 5 5 50 0
2 2 2 22 2 2 2 2
3 3 61 0 1 0 1 02 2
0 0 0 0
0 1 1 0 1 1
3
0 1 1 0 1 1 0 1 1
0 0 0 0
0 1 1
10 1
0
− − − −+ + + + +
−− − + +
→ − → −
+ + +
→ − → − → −
+
−
−
Una vez que se obtiene la matriz identidad posible en el ejercicio, en el
caso de sistema de ecuaciones, se rescribe el sistema original, recordando que
la primera columna corresponde a la variable equis y la segunda columna a la
variable ye.
En este caso obtendríamos:
NOTA: Una manera de saber si vas por buen camino, es que no se
altere ningún valor ya encontrado, es decir, si aplicas una operación y el 1 o el
cero que ya habías conseguido, se transforma en otro valor diferente, es que
dicha operación aplicada no es la correcta.
Respuesta: 3, 1x y= = −
Ejercicio 2
Un cajero automático contiene 95 billetes de 10, 20 y 50 Bs y un total de
2000 Bs. Si el número de billetes de 10 Bs es el doble que el número de billetes
de 20 Bs.
a) Plantear un sistema de ecuaciones lineales para determinar cuántos billetes
hay de cada tipo.
b) Resolver el sistema anterior utilizando el Método de Gauss-Jordan.
Solución
Justificación: Cuando se nos presenta un enunciado, que debemos
resolver a través de ecuaciones, el primer paso fundamental es darle nombre a
las variables, en este caso:
Sea x el número de billetes de Bs. 10
Sea y el número de billetes de Bs. 20
Sea z el número de billetes de Bs. 50
Observamos que hay 3 variables, es de esperar que necesitemos 3
ecuaciones para resolver el problema planteado, en este caso:
• En la frase: Un cajero automático contiene 95 billetes de 10, 20 y 50 Bs
nos lleva a escribir la ecuación: 95x y z+ + = .
• En la frase: un total de 2000 Bs nos permite escribir la ecuación:
10 20 50 2000x y z+ + = .
• La frase: el número de billetes de 10 Bs es el doble que el número de
billetes de 20 Bs, nos permite escribir: 2x y= .
Así le damos respuesta al apartado “a” escribiendo el sistema de
ecuaciones que permite resolver el problema planteado:
10 20 50 2000
2
95
x y
x y z
z
x y
+ + =
=
+ + =
Para dar respuesta al apartado “b” de la pregunta, debemos ordenar el
sistema, para poder aplicar el método de Gauss-Jordan, así:
95
10 20 50 2000
2 0 0
x y z
x y z
x y z
+ + = + + = − + =
Para resolver el sistema planteamos la matriz ampliada:
1 1 1 95
10 20 50 2000
1 2 0 0
−
Ahora procedemos a aplicar el método de Gauss-Jordan.
PASO 1: En este caso ya en la primera columna esta el número 1,
obsérvalo destacado en azul:
1 1 95
10 20 50 2
1 2 0 0
1
000
−
De manera que pasaremos a hacer los ceros en los números debajo del
uno azul, es decir, los ceros van en los números marcados en rojo:
1 1 95
20 50 2000
2 0 0
1
10
1
−
Para hacer éstos ceros, aplicaremos las siguientes operaciones:
( ) 12 210F F F− +→ y ( ) 13 31 FF F− +→
Así se obtiene:
1 1 95
10 20 10 50 10(95) 2000
1 2 1 0
10 10
1 95
1
01
− + − + − + − − − + − + +
− +−
1 1 95 1 1 95
10 40 950 2000 10 40 1050
3 1 95 3 1 90
1
0 0
1
0 5
− + = − − − − − −
PASO 2: Ahora procederé a hacer el uno correspondiente en la segunda
columna, destacare en azul donde ira este uno:
1 1 1 95
0 40 1050
0 3 1 95
10
− − −
Para hacer este uno, dividiremos toda la fila 2 entre 10, esto se denota
así:
22 10
FF →
Así nuestra matriz queda:
1 1 1 951 1 1 95
0 40 10500 4 105
10 10 100 3 1 95
0 3 1 95
101
10
= − − − − − −
PASO 3: Como ya hicimos el uno, procederemos a hacer los ceros en la
columna 2, destacaré en rojo, donde Irán estos ceros:
1 1 95
0 4 105
0 1 95
1
3
1
−
− −
Para hacer éstos ceros, aplicaremos las siguientes operaciones:
( ) 21 11 FF F− +→ y 23 33.FF F+→
Así se obtiene:
1.0 1 1.4 1 1.105 95
0 4 105
3.0 0 3.4 1 3.1
1
1
1. 1
3. 3 5 51 0 9
− +
−
− + − + − + + − −
1 4 1 105 95 1 3 10
0 4 105 0 4 105
0 12 1 315 95 0 11 220
1 1 0
3 3 0
1 1
− + − + − −
− +
−
= − −
PASO 4: Ahora procederé a hacer el uno correspondiente en la tercera
columna, destacare en azul donde ira este uno:
1 0 3 10
0 1 4 10
211
5
0 0 2 0
− −
Para hacer este uno, dividiremos toda la fila 3 entre 11, esto se denota
así:
33 11
FF →
Así nuestra matriz queda:
1 0 3 10 1 0 3 10 1 0 3 10
0 1 4 105 0 1 4 105 0 1 4 105
0 0 220 220 0 0 200 0
11
11 11 1
11
− − − − − − → →
PASO 5: Como ya hicimos el uno, procederemos a hacer los ceros en la
columna 3, destacaré en rojo, donde Irán estos ceros:
1 0 10
0 1 10
210 0
3
4 5
0
−
−
Para hacer éstos ceros, aplicaremos las siguientes operaciones:
31 13FF F+→ y ( ) 32 2.4F F F− +→
Así se obtiene:
3. 3
4. 4
1
1
1
3.0 1 3.0 0 3.20 10
4.0 0 4.0 1 4.20 105
0 0 20
+ + − − + − + −
−− + +
1 0 50
0 1 25
10 0
0
0
20
Recordando que la primera columna corresponde a las equis, la
segunda a la ye y la tercera a la “z”, así:
Respuesta: 50, 25 y 20x y z= = = .
Ejercicio 3
En la semana aniversario de un supermercado, un cliente ha pagado un
total de 156 Bs por 24 kg de azúcar, 6 kg de queso blanco y 12 kg de papa.
Además, se sabe que 1 kg de papa cuesta el triple que 1 kg de azúcar y que 1
kg de queso cuesta igual que 4 kg de papa más 4 Kg de azúcar.
a) Plantear un sistema de ecuaciones para determinar el precio en Bs.
de cada artículo.
b) Resolver el sistema anterior utilizando el Método de Gauss-Jordan
Solución
Justificación: Cuando se nos presenta un enunciado, que
debemos resolver a través de ecuaciones, el primer paso fundamental es darle
nombre a las variables, en este caso:
Sea x el precio del azúcar en bolívares
Sea y el precio del queso en bolívares
Sea z el precio de la papa en bolívares
Observamos que hay 3 variables, es de esperar que necesitemos 3
ecuaciones para resolver el problema planteado, en este caso:
• En la frase: un total de 156 Bs por 24 kg de azúcar, 6 kg de queso
blanco y 12 kg de papa nos lleva a escribir la ecuación:
24 6 12 156x y z+ + = .
• En la frase: 1 kg de papa cuesta el triple que 1 kg de azúcar nos permite
escribir la ecuación: 3z x= .
• La frase: 1 kg de queso cuesta igual que 4 kg de papa más 4 Kg de
azúcar, nos permite escribir: 4 4y x z= + .
Así le damos respuesta al apartado “a” escribiendo el sistema de
ecuaciones que permite resolver el problema planteado:
4 4
24 6 12 156
3
x y z
z
x z
x
y
=
= +
+ + =
Para dar respuesta al apartado “b” de la pregunta, debemos ordenar el
sistema, para poder aplicar el método de Gauss-Jordan, así:
24 6 12 156
3 0 0
4 4 0
x y z
x y z
x y z
+ + = − + + = − + − =
Para resolver el sistema planteamos la matriz ampliada:
24 6 12 156
3 0 1 0
4 1 4 0
− − −
Ahora procedemos a aplicar el método de Gauss-Jordan.
PASO 1: En este caso debemos hacer el uno en la primera columna,
esto lo logramos dividiendo toda la fila 1 entre 24, así:
11 24
FF →
24 6 12 156
24 24 24 243 0 1 0
4 1 4 0
− − −
Efectuando las divisiones, obtenemos:
1 1 13
4 2 23 0 1 0
1
4 1 4 0
− − −
241
246 6 1
24 24 412 12 1
24 24 2156 156 13
24 2
6
612
1212
1 224
= = = = =
÷÷
÷÷÷÷
= =
Ahora pasaremos a hacer los ceros en los números debajo del uno azul,
es decir, los ceros van en los números marcados en rojo:
1 1 13
4 2 20 1 03
04 4
1
1
−
−−
Para hacer éstos ceros, aplicaremos las siguientes operaciones:
12 23.FF F+→ y 13 34.FF F+→
Así se obtiene:
1 1 13
4 2 23 3 39
0 1 04 2 24 4 52
1 4 04 2 2
3
4
1
3
4
+ + + + − +
−
−
1 1 13 1 1 13
4 2 2 4 2 23 3 2 39 3 5 39
4 2 2 4 2 21 1 2 4 26 0 2 2
1
2
0 0
0
1
60
+ = + − + −
PASO 2: Ahora procederé a hacer el uno correspondiente en la segunda
columna, destacare en azul donde ira este uno:
1 1 131
4 2 25 39
02 2
0 2 2 26
3
4
−
Para hacer este uno, multiplicaremos por el reciproco de la fracción 3
4,
es decir, 4
3 toda la fila 2, esto se denota así:
2 2
4
3F F→
Así nuestra matriz queda:
1 11 1 13 114 24 2 2
4 5 4 39 40 . . . 0
3 2 3 2 3
3 3
40 2 2 26
= −
4
4.
3
13 1 11 13
2 4 22
5.4 39.4 100 26
2.3 2.3 326
2
1
6 0 2 20 2 2
= − −
PASO 3: Como ya hicimos el uno, procederemos a hacer los ceros en la
columna 2, destacaré en rojo, donde Irán estos ceros:
11 13
22
100 26
326
220
1
1
4
−
Para hacer éstos ceros, aplicaremos las siguientes operaciones:
21 1
1
4F F F
− +
→ y ( ) 23 3.2F F F− +→
Así se obtiene:
1 1 11
10 11 . 13
.4 4 263 22
100 2
44
2.
63
262 2 2.
1
2610
0 23
+ + + −
− + − −
−− + −
00 0
0 0
5 110 1 10 611 26 13 13 13 1
6 212 2 12 04 2 2 210 10 10
0 26 0 26 0 263 3 3
52 26 26 2620 20 6 26
0 2 0 03 3 3
41
1210
1 1 1
1 032
0
60
0
0
− − − + ++ − − + + = = = − + − −− − − − −
−
−
11
30 010
26 0 263
26 2626
0
0
3 3
1
0
− = − −−
PASO 4: Ahora procederé a hacer el uno correspondiente en la tercera
columna, destacare en azul donde ira este uno:
11 0
3 010
0 1 263
260
2
30
6
− −
−
Para hacer este uno, multiplicaremos por el reciproco de la fracción
26
3
−, es decir,
3
26− toda la fila 3, esto se denota así:
3 3
3
26F F
−→
Así nuestra matriz queda:
1 11 0 1 0
3 30 010 10
0 1 26 0 1 263 3
30 02
3 126 3. 26
3 26
0 06
.
− − =
− − −
−
PASO 5: Como ya hicimos el uno, procederemos a hacer los ceros en la
columna 3, destacaré en rojo, donde Irán estos ceros:
1
310
1 00
0 1 26
30 10
3
−
Para hacer éstos ceros, aplicaremos las siguientes operaciones:
31 1
1
3FF F+→ y 32 2
10.
3FF F
− +
→
Así se obtiene:
11 0 .3 0
310
0 1 .3 26
1 1
3 310 1
30 0 1
0
33
3
+
− +
−
+
−
1 0 1 0 1 0 1
0 1 10 26 0 1 16
0 0
0 0 3 0 0 3
0
1 1
0
+ − + =
Recordando que la primera columna corresponde a las equis, la
segunda a la ye y la tercera a la “z”, así:
Respuesta: 1, 16 y 3x y z= = = .
Ejercicio 4
Usar el método de Gauss-Jordan, para calcular si existe, la inversa de la
matriz:
2 1 2
1 1 2
1 0 1
A
− = − −
Solución
Justificación: En este ejercicio, explicare algunas variantes en las
operaciones del método de Gauss-Jordan, sin embargo, puedes seguir
trabajando éste método tal como lo veníamos haciendo y llegarás al mismo
resultado. En este caso, donde se nos pide conseguir la matriz inversa
escribiremos la matriz ampliada así:
2 1 2 1 0 0
1 1 2 0 1 0
1 0 1 0 0 1
− − −
Fíjate bien en lo siguiente:
y se procede, tal como explique detalladamente en el ejercicio 1 de este
objetivo 7, a reducir la matriz de la izquierda a la matriz identidad, aplicando
claro está, el método de Gauss-Jordan, observa:
PASO 1: En este caso debemos hacer el uno en la primera columna,
aplicare una variante válida, de cómo hacer el uno, y se puede aplicar esta
variante porque existe al menos un número 1 en la segunda fila de la primera
columna, denotaremos esta operación así:
1 2F F↔
Esto significa, que la fila 1 y la fila 2 se intercambian, aplicando esta
operación a nuestra matriz ampliada, obtenemos:
1 1 2 0 1 0
2 1 2 1 0 0
1 0 1 0 0 1
− − −
Claro está, que si procedes hacer el uno como lo veníamos haciendo,
llegaras al mismo resultado final, compruébalo.
Ahora pasaremos a hacer los ceros en los números debajo del uno azul,
es decir, los ceros van en los números marcados en rojo:
1 1 2 0 1 0
1 2 1 0 0
0 1 0 0 1
2
1
− − −
Para hacer éstos ceros, aplicaremos las siguientes operaciones:
( ) 12 2.2F F F− +→ y 13 31.FF F+→
Así se obtiene:
( )1 1 2 0 1 0
2 1 2 2 2 2.02 2 1 2.1 0 2.0 0
1 1 0 1 10
− − + − − − − + − + − +
− +−
1 1 2 0 1 0 1 1 2 0 1 0
1 4 2 1 2 0 1 2 1 2 0
1 1 0 1 1 1 1 0
0
0 10 1
0
− − − − − = − − − −
PASO 2: Ahora procederé a hacer el uno correspondiente en la segunda
columna, destacare en azul donde ira este uno:
1 1 2 0 1 0
0 2 1 2 0
0 1 1 0 1
1
1
− − −
−
Para hacer este uno, multiplicaremos por 1− , toda la fila 2, esto se
denota así:
2 21.F F→ −
Así nuestra matriz queda:
1 1 2 0 1 0
0 2 1 2 0
0 1 1 0 1 1
1
− − − −
PASO 3: Como ya hicimos el uno, procederemos a hacer los ceros en la
columna 2, destacaré en rojo, donde Irán estos ceros:
1 2 0 1 0
0 2 1 2 0
0 1 0 11 1
1
1
− − − −
Una vez que hayas tomado destreza en el método de Gauss-Jordan, podrás
hacer los ceros de la siguiente manera:
• Para el cero de la fila 1, SE RESTA LA FILA 1 MENOS LA FILA 2, ya
que en este caso el uno rojo de la primera fila es IGUAL al uno azul de
la segunda fila, esto se denota: 21 1F FF→ −
• Para el cero de la fila 3, SE RESTA LA FILA 3 MENOS LA FILA 2, ya
que en este caso el uno rojo de la tercera fila es IGUAL al uno azul de la
segunda fila, esto se denota: 23 3F FF→ −
Esto es equivalente a lo que veníamos haciendo, es decir:
( ) 21 11 FF F− +→ y ( ) 23 3.1F F F− +→
Observa como:
( ) 21 11 FF F− +→ es equivalente a: 21 21 1F F FF F+ =− −→
y
( ) 23 31 FF F− +→ es equivalente a: 23 23 3F F FF F+ =− −→
Aplicando las operaciones anteriores, se obtiene:
( )
( )
( )
( )
1 2 0 10 1 2 1 2 0
0 1 2 1 2 0
0 1 2 1 2
1 0
0 11 1 00 1
− − − − − −−
−
− − − − −
− −−
−
−− −
0 1 2 1 2 0 0 1 2 1 2 0
1 2 2 0 1 1 0 1 0 1 1 0
0 1 2 0 1 1 1 0 1
0 0
0 0 1 1 1
− + + −
− − −
= − + + −
−−
−
PASO 4: Ahora procederé a hacer el uno correspondiente en la tercera
columna, destacare en azul donde ira este uno:
1 0 0 1 1 0
0 1 2 1 2 0
0 0 1 1 11
− − − −
Puedes observar claramente que afortunadamente, ya en la columna 3
se encuentra el uno azul que destaque y que necesitamos, pues siendo así las
cosas, no haremos ninguna operación para conseguir el uno azul.
PASO 5: Como ya existe el uno, procederemos a hacer los ceros en la
columna 3, destacaré en rojo, donde Irán estos ceros:
1 0 1 1 0
0 1 1 2 0
0 0 1 1 11
0
2
− − −
−
Observa que ya existe uno de los ceros, por lo tanto la fila 1, NO LA
MODIFICAREMOS, es decir, no se ejecutará ninguna operación.
Procederemos a construir el cero correspondiente a la tercera
columna en la segunda fila, así:
32 22.FF F+→
Así se obtiene:
( )1 0 1 1 0
0 1 2.1
0
1
1 2. 1 22 2.1 0
0 0 1 1 1
2
− − − + + −
−
1 0 1 1 0 1 0 1 1 0
0 1 2 1 2 2 2 0 0 1 1 0 2
0 0 1 1 1 0 0 1 1 1
0 0
0
1 1
0
− − − − + + = − −
En este tipo de ejercicio, donde se nos pide conseguir la matriz inversa,
después de haber transformado con el método de Gauss-Jordan la matriz de la
izquierda, hasta transformarla a la matriz identidad:
Resulta siempre , que la matriz que queda a la derecha, es precisamente
la matriz inversa, es decir:
Por lo tanto, la matriz inversa de la matriz A dada, es:
Respuesta:
1
1 1 0
1 0 2
1 1 1
A−
− = −
NOTA: En las evaluaciones, si tienes tiempo, puedes comprobar s tu respuesta
es correcta, porque SIEMPRE el producto de una matriz por su inversa, genera