Capitulo II Matemática II Objetivo 6. Efectuar problemas que involucren las operaciones definidas con matrices o la acción de ciertas matrices 2x2 como transformaciones geométricas del plano 2 ℝ . Ejercicio 1 Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías: A, B y C, en los tamaños grande y pequeño. Produce diariamente 1000 estanterías grandes y 8000 pequeñas de tipo A, 8000 grandes y 6000 pequeñas de tipo B, y 4000 grandes y 6000 pequeñas de tipo C. Cada estantería grande lleva 16 tornillos y 6 soportes, y cada estantería pequeña lleva 12 tornillos y 4 soportes, en cualquiera de los tres modelos. a. Representar esta información en dos matrices. b. Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes necesarios para la producción diaria de cada uno de los seis modelos- tamaño de estantería. Solución Justificación: Si las filas de la matriz representan a los tres modelos de estanterías: A, B y C y las columnas a los tamaños grande y pequeño, entonces la matriz que representa la información es: 1000 8000 8000 6000 4000 6000 M = De igual modo, si las filas de la matriz representan a los tamaños grande y pequeño y las columnas a los tornillos y soportes, entonces la matriz que representa la información es: 16 6 12 4 N = La matriz que expresa el número de tornillos y soportes para cada modelo de estantería es:
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Capitulo II
Matemática II
Objetivo 6. Efectuar problemas que involucren las operaciones definidas
con matrices o la acción de ciertas matrices 2x2 como transformaciones
geométricas del plano 2ℝ .
Ejercicio 1
Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías: A, B y C,
en los tamaños grande y pequeño. Produce diariamente 1000 estanterías
grandes y 8000 pequeñas de tipo A, 8000 grandes y 6000 pequeñas de tipo B,
y 4000 grandes y 6000 pequeñas de tipo C. Cada estantería grande lleva 16
tornillos y 6 soportes, y cada estantería pequeña lleva 12 tornillos y 4 soportes,
en cualquiera de los tres modelos.
a. Representar esta información en dos matrices.
b. Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes
necesarios para la producción diaria de cada uno de los seis modelos-
tamaño de estantería.
Solución
Justificación: Si las filas de la matriz representan a los tres modelos de
estanterías: A, B y C y las columnas a los tamaños grande y pequeño,
entonces la matriz que representa la información es:
1000 8000
8000 6000
4000 6000
M
=
De igual modo, si las filas de la matriz representan a los tamaños grande
y pequeño y las columnas a los tornillos y soportes, entonces la matriz que
representa la información es:
16 6
12 4N
=
La matriz que expresa el número de tornillos y soportes para cada
modelo de estantería es:
1000 8000 1000 8000 1000 8000
8000 6000 8000 6000 8000
. . . .
. . . . . .
. .
6000
4000 6000 4000 6000 4000
16 12 6 416 6
16 12 6 412 4
16 1 6000. .
16000 96000 6000 32000
128
2
000 72000 4800
6 4
P M N
+ + = = =
+ + + +
+
+
+
112000 38000
0 24000 200000 72000
64000 72000 24000 24000 136000 48000
+ = + +
Respuesta:
a) La representación de la información en 2 matrices es:
1000 800016 6
8000 6000 y 12 4
4000 6000
M N
= =
b) La producción diaria de estanterías es:
112000 38000
200000 72000
136000 48000
P
=
Ejercicio 2
Dada la matriz 1 1
2 1A
− =
Hallar x e y , reales, para que se verifique que: 2 . .A x A y I= + ,
siendo I la matriz identidad de orden 2.
Solución
Justificación: En este caso debemos calcular las matrices: 2A , .x A y
.y I , para luego plantear la igualdad, entonces:
( )( )
2
2
1 2 1 11 1
1 2 1 1
1 1 1 1. . . .1 1
2. .
. . . .
1 2 1 1 1 2
1 2 12 2
2 2 2 1
1
1 4
1A A A
A
= = =
−−+ +
− − − − − = = + − +
− −− −
−
Luego:
( )1 1 .1 . 1. .
2 1 2.2 .1
x xx
x
x xx A
xx x
− − − = = =
y
1 0
0 1
0. .
0I
yy
yy
= =
Ahora sustituimos en la igualdad planteada en la pregunta:
2 .2
1 2 0
01.
4
x xx
x xy I
yA A
y = + → = +
− −
−
−
De esta igualdad tenemos:
0
0
1 2
4 1 22
x x
x x
y x y x
y x x y
− + + + −− − −
= = + + +
Ahora igualamos los elementos correspondientes de las dos
matrices, así:
14 2 4
2
1
1 2
2
1
x y
x
x
x
y
x x x
x
y
y
= → − + − =
− = +− − − −
=+
+
= −
De lo anterior observamos que obtenemos un sistema de 2
ecuaciones con 2 incógnitas, por lo tanto:
4
2 2
22
1
4
1
2x x
x
x
x
x
y
y
−
= ∴
−− == − ∴
=
= +
=
+=
Obsérvese como el valor de equis se obtiene de cualquiera de las
2 ecuaciones en la cual despejé equis, por lo tanto ya sabemos que
2x =
Ahora falta conseguir “ y ”, y esto se logra de la igualdad:
1 2 1 2 3y y− = + ∴ = − − = −
Respuesta:
2x = e 3y = −
Ejercicio 3
Sea
0 3 4
1 4 5
1 3 4
A
= − − −
. Calcular:
a) 3A
b) Demuestre que 33 0A I+ =
c) Teniendo en cuenta el apartado anterior, calcule 10A
Solución
Justificación:
a) Para obtener 3A , procedemos así: 3 2.A A A=
Pero: 2 .A A A=
Así:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
. .
. . . . .
0 3 4
1 4 5
1 3 4
0 1 1 3 4 3 4 5 4. . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . .
0 3 4
1 4 5
1 3 4
0 3 4 0 3 4 0 3 4
1 4 5
.
0 1 1 3 4 3 4 5 4
0 1
1 4 5 1 4 5
1 3 4 1 3 4 1 31 3 4 3 4 5 4 4.
A A A
A
= = =
+ + + + + += + + + + + +
+ + + +
− −−
− − − − − −− − −
− −−
− − −− − −
− +−+−
2
3 4 12 12 15 16 1 0 1
4 5 3 16 15 4 20 20 1 4 4
3 4 3 12 12 4 15 16 1 3 3
A
− − + − + − = − + + − + − = − − − + − − + − − −
Ahora:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3
23
0 3 4
1 4 5
1 3 4
0 1 1 3 4 3 4 5 4
0 1 1 3 4 3 4 5 4
0 1 1
1 0 1
1 4 4
1 3 3
1 0 1 1 0 1 1 0 1
1 4 4 1 4 4 1 4
. .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
3
4
1 3 3 1 4 3 43. . . . . 3 .1 3. .
A
A
AA
−
− − −
− −
= = = − −
−
+ + + + +− − −− − −
− −
−
− − −
+= + + + + + +
+ + − − − − + −+ + ( ) ( )
3
.
1 3 3 4 4 1 0 0
4 4 3 16 12 4 20 16 0 1 0
3 3 3 12 9 4 15 12
3
0 1
5 4
0
A
+
− − + − + − = − − + − + = − − + − + − − + − −
−
−
b) Ahora demostraremos que 33 0A I+ =
33
1 0 0 1 01 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0
0 0 1 0
0
0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 10
0 0 0
0 0 0
0 01
0
0
IA
+ + + + = → + = + + + = + + +
− − − − − −
c) Para calcular 10A conociendo los parámetros anteriores procedemos
así:
( )310 9 3. .A A A A A= =
pero de 3 33 30A I A I+ = → = −
Entonces:
( ) ( )3 310 9 33. . . .A A A A A I A I A A= = = − = − = −
Así, se tiene:
10
0 3 4 0 3 4
1 4 5 1 4 5
1 3 4 1 3 4
A A
− − = − = − − − = − − − −
Respuesta:
a) 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
A
− = − −
b) 33
0 0 0
0 0 0
0 0 0
IA
+ =
c) 10
0 3 4
1 4 5
1 3 4
A
− − = − − −
Ejercicio 4
Hallar una matriz B , sabiendo que su primera fila es ( )1,0 , y que
verifica:
1 0.
1 0A B
=
, siendo 1 2 2
2 1 0A
− =
Solución
Justificación: Primero debemos aplicar el requisito fundamental para
poder multiplicar matrices, a saber: el número de columnas de la primera, debe
ser igual al número de filas de la segunda, además, el resultado es una matriza
cuyo orden es del número de filas de la primera y número de columnas de la
segunda, es decir,
Del esquema anterior (que siempre se cumple para la multiplicación de
matrices) se deduce claramente que en número de filas de la matriz B es 3,
mientras que su número de columnas es 2, por lo tanto la matriz B tiene
dimensión 3 2x , por lo tanto la matriz B tiene la estructura:
c d
B x y
z w
=
Pero ya nos indican su primera fila, en el enunciado del problema, por lo
tanto:
1 0
B x y
z w
=
Solo falta conseguir los valores de , , y x y z w , para ello efectuamos el
producto dado, es decir:
1 2 2
2 1 0
1 2
1 0
1 0
1 0
1 0 1 0. .
1 0 1 0
. . . . . . 1 2 2 2 2 1 0
. . .
2 1 2 2
2 1 0 2 1. . 0. 2 1 0
B x y
z w
x z y w
x z
x z y w
x
A
y yw
= → =
+ + + + − + + + = = = + + + + +
−
−
−
Como se conoce el resultado de dicho producto, de la igualdad de las
últimas 2 matrices, se tiene:
2 2 0 2 2 0 (2
0
0
1 2 2 1 (1)
1 2
2 1 2 1
(4)
2
3
1 )
( )x
x z
x z w
y x
y
y y w
+ +
= → + + =
− + + =− + +
==
Obtenemos un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas muy sencillo
de resolver, así:
De (4) se tiene directamente que 0y = , sustituyendo éste valor en la
ecuación (2) se obtiene:
( )2 2 0 2 0 2 0 2 0 0y w w w w+ = → + = → = ∴ =
De la ecuación (3) se tiene:
2 1 1 2 1x x+ = → = − = −
Y finalmente de la ecuación (1) se obtiene:
( )1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1
43 2 1 2 1 3 2 4 2
2
x z z z
z z z z
− + + = → − + − + = → − − + =
→ − + = → = + → = ∴ = =
Por lo tanto la matriz B buscada, que cumple con las condiciones
dadas, es:
Respuesta:
2
1 0
0
0
1B
=
−
Ejercicio 5
Verifica que la siguiente matriz es invertible:
2 3 1
3 2 3
0 2 2
A
=
Solución
Justificación: Para que una matriz sea invertible, es necesario y
suficiente que se cumpla lo siguiente:
EL DETERMINANTE DE LA MATRIZ INVERTIBLE ES DIFERENTE DE
CERO.
Por lo tanto nuestro problema se reduce a conseguir el determinante de
la matriz dada y verificar que es diferente de cero.
Para conseguir el determinante de una matriz puedes hacer uso de la
regla de Sarrus, del método de la lluvia o del método de los mínimos
cuadrados, yo conseguiré el valor del determinante por esos tres caminos y tu
amiga y amigo estudiante seleccionas el que más se ajuste a ti, es decir, el que
sea más sencillo para ti.
Para denotar el determinante de la matriz dada se usan dos rectas, en
este caso las destaque en azul, así:
Regla de Sarrus
Como el determinante de la matriz no tiene como resultado cero, sino
16− , se concluye que la matriz dada ES INVERTIBLE.
Método de la lluvia
Método de los mínimos cuadrados
Este método consiste en reducir el determinante de 3x3 a 2x2, para ello,
se procede de la siguiente manera:
PASO 1: Se selecciona una fila o una columna, la que usted desee, por
lo general se toma aquella que tenga ceros y unos, o números pequeños, ya
que con estos valores los cálculos serán más sencillos, por ejemplo en nuestro
caso tomaré la fila 3 porque contiene el cero, la destacaré en rojo:
2 3 1
det 3
2 2
2 3
0
A =
Ahora se procede a multiplicar por cero el primer mínimo, éste mínimo
se obtiene tapando la fila 3 y columna 1, porque allí esta el cero, es decir:
Obsérvese que al tapar la fila y columna señalada se obtiene el
determinante con los números azules, es decir:
3 1
2 3
Al calcular este determinante se obtiene:
3 13.3 2.1 9 2 7
2 3− = − ==
Luego se multiplica el valor del determinante obtenido por 1− elevado a
la suma del número de fila y columna donde esta el cero, en este caso la fila 3
y columna 1, es decir:
( ) ( )3 1 4. 1 . 7 77 7 1 .1
+− = − = =
Finalmente se multiplica por cero este mínimo obtenido, es decir:
1 7.0 0Valor = =
PASO 2: Se repite el paso anterior, recuerda que en nuestro caso tomé
la fila 3, que destaqué en rojo:
2 3 1
det 3
2 2
2 3
0
A =
Ahora se procede a multiplicar por dos el segundo mínimo, éste mínimo
se obtiene tapando la fila 3 y columna 2, porque allí esta el dos, es decir:
Obsérvese que al tapar la fila y columna señalada se obtiene el
determinante con los números azules, es decir:
2 1
3 3
Al calcular este determinante se obtiene:
2 13.2 3.1 6 3 3
3 3− = − ==
Luego se multiplica el valor del determinante obtenido por 1− elevado a
la suma del número de fila y columna donde esta el dos, en este caso la fila 3 y
columna 2, es decir:
( ) ( ) ( )3 2 53 3. 1 . 131 . 3
+− = − = − = −
Finalmente se multiplica por dos este mínimo obtenido, es decir:
2 3.2 6Valor = − = −
PASO 3: Se repite el paso anterior, recuerda que en nuestro caso tomé
la fila 3, que destaqué en rojo:
2 3 1
det 3
2 2
2 3
0
A =
Ahora se procede a multiplicar por dos el segundo mínimo, éste mínimo
se obtiene tapando la fila 3 y columna 3, porque allí esta el dos, es decir:
Obsérvese que al tapar la fila y columna señalada se obtiene el
determinante con los números azules, es decir:
2 3
3 2
Al calcular este determinante se obtiene:
2 32.2 3.3 4 9 5
3 2− = − = −=
Luego se multiplica el valor del determinante obtenido por 1− elevado a
la suma del número de fila y columna donde esta el dos, en este caso la fila 3 y
columna 3, es decir:
( ) ( ) ( )3 3 6. 1 .5 1 . 15 55
+− = − =− − = −−
Finalmente se multiplica por dos este mínimo obtenido, es decir:
3 5.2 10Valor = − = −
Ahora el valor del determinante original dado, es la suma de los tres
valores obtenidos, es decir:
1 2 3
2 3 1
det 3 2 3 0 6 10 1
2
6
0 2
A valor valor valor= = + + = − − = −
Respuesta: La matriz es invertible porque su determinante no es nulo.
Ejercicio 6
Verifica que la siguiente matriz es invertible:
1 11
3 21 1 3
3 2 21
0 22
A
=
Solución
Justificación: Para que una matriz sea invertible, es necesario y
suficiente que se cumpla lo siguiente:
EL DETERMINANTE DE LA MATRIZ INVERTIBLE ES DIFERENTE DE
CERO.
Por lo tanto nuestro problema se reduce a conseguir el determinante de
la matriz dada y verificar que es diferente de cero.
Puedes usar cualquier método dado en el ejercicio anterior sobre cálculo
de determinante, yo utilizaré el método de Sarros, pero en forma directa, ya
que en el ejercicio anterior lo explique detalladamente. Te invito a que
desarrolles este ejercicio con el mismo detalle y c on los 3 métodos
anteriores, para que practiques y te identifiques m ás con alguno de ellos.
1 11
3 21 1 3
det 23 2 2
10 2
2
A = = 1.
2
3 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1.1 . .0 . . 0. . 1. . 2. .
2 3 2 3 2 2 2 2 2 3 3
1 3 2 1 3 2 det 1 0 0 1
12 4 9 12 4 9A
+ + − − −
= + + − − − = + − −
Calculando el mínimo común denominador, que no es más que el
mínimo común múltiplo de los denominadores, se tiene:
. . (12,4,9) 2.2.3.3 4.9 36m c m = = = , por lo tanto:
1 3 2 36 3 27 8 39 35 4 2 1det 1
12 4 9 36 36 36 18 9A
+ − − −= + − − = = = = =
Respuesta: Se verifica que la matriz dada es invertible, porque su
determinante es diferente de cero.
Ejercicio 7
Determina, si es posible, una matriz a b c
Ax y z
=
tal que:
1 1 0 1 2
1 0 1 0 1A
= −
Solución
Justificación: En este caso sustituimos en la multiplicación planteada la matriz
A , así:
1 1 0 1 2.
1 0 1 0 1
a b c
x y z
= −
Ahora procedemos a efectuar la multiplicación:
1 1.
1 0
a b c a x b y c z
x y z a b c
+ + + =
Ahora igualamos este resultado, con el dado en el enunciado:
0 1 2
1 0 1
a x b y c z
a b c
+ + + = −
Finalmente igualamos cada componente correspondientemente y
resolvemos el sistema de ecuaciones, así:
(1)
(2)
2 2
0
0
(3)
(4)
(5)
(
1
1
1
1 1
6)
0
0
1
a ab
b y
c z c
a x
a x b
c
y
b
z
c
++ + = = →
+ =+
=
=
+− = −
=
Este sistema de ecuaciones es sencillo, de hecho las últimas 3
ecuaciones (4), (5) y (6) tienen resultados directos, es decir:
, 01 1 y ba c=− ==
Sustituyendo estos valores en las ecuaciones (1), (2) y (3), se obtiene:
0 1
1
1
2
0
y
x
z
+ =
− ++ =
=
Resolviendo este sistema, se tiene:
0 1 1
1 1
0
2 2
1 1
1
y y
z
x x
z
+
+ == → = − =
→ =− + → =
=
Por lo tanto la matriz buscada es:
1 0 1
1 1 1
a b cA
x y z
− = =
Respuesta: La matriz es: 1 0 1
1 1 1A
− =
Ejercicio 8
Dadas las matrices:
1 2
3 4
5 6
A
=
3 2
1 5
4 3
B
− − = −
Hallar:
p q
D r s
t u
=
De manera que A B D+ − sea la matriz nula.
Solución
Justificación: En este caso nos plantean que 0A B D+ − = , es decir:
01 2
3 4
5 6
0
0 0 0
0 0
3 2
1 5
4 3
p q
D r s
t u
BA
− −
−
+
− = → + − =
Se observa que se pueden efectuar las sumas y restas, ya que todas las
matrices son del mismo orden ó de la misma dimensión, así:
0 0 0 0
0 0 0 0
1
0 0 0 0
2 0
2 0 0
4 1 0 0
9 9
3 2 3 2
1 5 1 5
4 3 4
2 1 2
3 4 3 4
5 6 5
0 0
6 3
p q p q
r s r s
t u t u
p p
p q
r s Igualando
t u
− − − − − + − +
+ − = → = →
− − = ∴ = −
− − − − − − = →
− − − −
− −
− −
+
2
0 0
4 0 4
1 0 1
9 0 9
9 0 9
q q
r r
s s
t t
u u
− = ∴ = − = ∴ = − − = ∴ = − − = ∴ =
− = ∴ =
Por lo tanto la Matriz D , buscada es:
Respuesta:
2 0
4 1
9 9
D
− = −
Ejercicio 9
Resolver la siguiente ecuación matricial:
1 2 4 23
0 1 1 10X
− − + =
Solución
Justificación: Para poder sumar y restar matrices, todas deben tener el
mismo tamaño, es decir, la misma dimensión u orden, por lo tanto la matriz
incógnita será de la forma:
a bX
c d
=
Sustituyendo en nuestra ecuación matricial, se tendría: