離散時間系に対する 最適追従制御器および最適値の解析解ictrl.cs.kumamoto-u.ac.jp/files_okajima/slide2.pdf本研究の目的 5 離散時間線形時不変系（SISO）

1

離散時間系に対する最適追従制御器および最適値の解析解

○岡島寛（熊本大学），浅井徹（大阪大学），川路茂保（熊本大学）

第８回制御部門大会（京都）

2発表の流れ

研究背景，本研究の目的

問題設定

主結果（最適制御器と最適値）

数値例

まとめ

3発表の流れ

研究背景，本研究の目的

問題設定

主結果（最適制御器と最適値）

数値例

まとめ

4研究背景

制御器の調整を行ってもこれ以上性能を良くできない限界が存在

本質的な制御性能限界＝最適値

rPC

y

制御系設計

Set of achievable controllers

1 2 3, ,C C C

最適値を求めることは，性能評価の指標としても有用

評価関数： E

5本研究の目的

離散時間線形時不変系（SISO）

２自由度系１自由度系

( )P z( )C zˆ( )r z ( )P z( )C zˆ( )y z ˆ( )r z ˆ( )y z

制御系が安定，出力が参照信号に追従

追従誤差の最適値とそれを達成する制御器の解析解を求める

追従誤差の最適値（出力応答向上のため）

2

0

min ( ( ) ( ))k

J y k r k

偏差の が最小値を取る意味で最適

2l

制御系がそれぞれ満たすべき条件参照信号

制御出力

6最適値の解析解

LMIなどの数値解法

最適値を解析的に導出

•制御対象のパラメータ値が与えられなければ最適値が求まらない

•数値誤差

制御対象，参照信号の極や零点を変数として残したまま最適値を表現（J. Chen 2000など）•制御対象を制御しやすいものに設計する際の指標となる

•制御系の本質的な制御しやすさを捉えやすい

20

2Re( )nk

k k

zJ

z

零点の関数

0.25

1.3

sP

s

8J

7本研究の位置付け

２自由度系

１自由度系

ステップ 正弦波

[J. Chen 2000]

[J. Chen 2000]

[W. Su 2003,2006]連続時間

[岡島 2007] [岡島 2007]

[岡島 2007]

の関数形を残した

２自由度系

１自由度系

[J. Chen 2002]

[J. Chen 2002]

離散時間

ˆ( )r z

[W. Su 2007]

評価関数の最適値の解析解2

0

min ( ( ) ( ))k

J y k r k

2

0inf ( ( ) ( ))J y t r t dt

連続： 離散：

本発表

本発表

本発表

より広いクラスの信号

離散時間系では，不安定零点，不安定極だけでなく相対次数によっても最適値が異なる

さらに

参照信号制御系

8本研究の位置付け

1

1 2 3

( )( )

( )( )( )

K z aT z

z b z b z b

離散時間伝達関数

…相対次数２

( )T z

２ステップ値を持てない

相対次数に起因する制御性能劣化が存在

0

( )u k

k 0 k

( )y k

( )u k ( )y k

9

２自由度系

１自由度系

ステップ 正弦波

[J. Chen 2000] [W. Su 2003,2006]連続 [岡島 2007]

[岡島 2007]

２自由度系

１自由度系

離散時間

ˆ( )r z

[W. Su 2007]

本発表

本発表

本発表

[J. Chen 2002]

[J. Chen 2002]

[W. Su 2007]

相対次数の考慮

相対次数の考慮

相対次数の考慮

本研究の位置付け

の関数形を残した

評価関数の最適値の解析解

より広いクラスの信号

本研究で導出する解析解の特徴

１．扱える参照信号のクラスが従来のものより広い

２．制御対象の相対次数の影響を考慮した解である

10発表の流れ

研究背景，本研究の目的

問題設定

主結果（最適制御器と最適値）

数値例

まとめ

11問題設定制御対象 ( SISO )：

• 不安定零点 を持つ1, ,pm

( )P zˆ( )y zˆ( )u z

• 相対次数： ph

ˆ ˆ( ) ( ) ( )y z P z u z

：出力信号( )y k

( )u k ：入力信号

• 不安定極 を持つ1, ,

pn 仮定：極,零点はそれぞれ重複しない

ˆ( ) [ ( )]x z x k Z

( )P z

Z-変換：

10

1

( )( ) ( )

( )

p

p

i

j

m

i

n

j

zP z P z

z

0 ( ) :P z 安定，最小位相

12問題設定

• -変換（ ）が有理関数

• 有界l

( )r k

参照信号の不安定零点

1, ,p p rm m m

相対次数：rh

２．正弦波，三角波

３．減衰する指数信号

４．１～３の線形結合

ˆ( )r zZ

上記を満足する信号

参照信号 のクラス：

１．単位インパルス，有限のインパルス列，ステップ

13問題設定

• 有界l

参照信号の不安定零点

1, ,p p rm m m

相対次数：rh

２．正弦波，三角波

３．減衰する指数信号

４．１～３の線形結合

上記を満足する信号

１．単位インパルス，有限のインパルス列，ステップ

,p r p rm m m h h h と表記

• -変換（ ）が有理関数ˆ( )r zZ

( )r k参照信号 のクラス：

14問題設定１自由度制御系（単位フィードバック系）

( )P z( )C zˆ( )u z ˆ( )y z+

-

制御系が内部安定となるように を設計( )C z

ˆ( )r z

lim ( ) ( ) 0k

y k r k

も によって満たす

1( )G z

( )C z

15問題設定２自由度制御系

ˆ( )r z( )P z

FB( )C zˆ( )u s ˆ( )y z

2( )G z

( )T z

+

+ +

-

16問題設定２自由度制御系

ˆ( )r z( )P z

FB( )C zˆ( )u s ˆ( )y z

2( )G z

( )T z

+

+ +

-

1

2( ) ( ) ( )T z G z P z によらず が成立2

ˆ( )( )

ˆ( )

y zG z

r z

FB( )C z

2( ), ( )G z T z が安定かつプロパーとなるように を設計2( )G z

2( )G z

17最適追従制御問題

２自由度制御系の場合

ˆ( )r z( )P z が与えられたとする．，

追従偏差の の最適値およびそれを達成する制御器を求めよ

１自由度制御系の場合

22-DOFˆ ,, ( )( ) GP r zJ

1-DOFˆ( , , ( ))J P r C z

2

0

min (ˆ( , ) () ( ))k

y kJ P r r k

( )P z2( )G z

ˆ( )r z ( )P z( )C zˆ( )y z

ˆ( )r z ˆ( )y z( )T z

の解析解

の解析解

2l

18発表の流れ

研究背景，本研究の目的

問題設定

主結果（最適制御器と最適値）

数値例

まとめ

19導出手順

１. 系が安定，参照信号に追従する出力信号の集合を陽に求める

２. 集合を用いた計算から最適値を求める

の導出手順：*

ˆ( , )J P r

1. 目標信号に漸近的に追従し有界な入力で達成可能な出力のパラメトリゼーション

（岡島，浅井：システム制御情報学会論文誌 2007,1）

2. あるクラスの参照信号に対する追従性能限界の解析（岡島，浅井：計測自動制御学会論文集 2007,9）

連続時間系の場合と同じ手順で導出

20主結果

最適値

最適な制御器

２自由度制御系

１自由度制御系

最適値

最適な制御器

( )P zFB( )C z2( )G z

( )T z

( )P z( )C zˆ( )u z ˆ( )y z

+-

ˆ( )r z

ˆ( )u z ˆ( )y zˆ( )r z

21

1 2( ), ( )V k V k（ は予稿参照）

主結果（２自由度制御系）

2-DO2-D 2-DOFO FFˆ( ) ˆ, Jr JJ P

1 1

2-DOF1

m mi j

i j i j

q qJ

制御対象の相対次数に依らない部分

相対次数に依存

2-DO 1

1

F

2

2( ( ) ( ))ˆh

k

V kJ V k

1

1,

( 1)ˆ( )

( )

m

l ili im

i ll l i

q r

i

ˆ( )r z ：参照信号

：不安定零点

最適値( )P z2( )G zˆ( )r z ˆ( )y z

( )T z

22主結果（２自由度制御系）

1 1

2-DOF1

m mi j

i j i j

q qJ

1

1,

( 1)ˆ( )

( )

m

l ili im

i ll l i

q r

ˆ( )1

r

制御対象：

参照信号：ステップ目標値

1.2

ˆ( )1

zr z

z

ˆ(1.2) 6r

ˆ( 1.2) 0.55r

最適値

1.2 と の比較

1.2 （ステップの極に近い零点）では大きな追従誤差

2-DO2-D 2-DOFO FFˆ( ) ˆ, Jr JJ P

23主結果（２自由度制御系）

2-DO2-D 2-DOFO FFˆ( ) ˆ, Jr JJ P

1 1

2-DOF1

m mi j

i j i j

q qJ

制御対象の相対次数に依らない部分

制御対象の相対次数に依存

2-DO 1

1

F

2

2( ( ) ( ))ˆh

k

V kJ V k

1

1,

( 1)ˆ( )

( )

m

l ili im

i ll l i

q r

最適値( )P z2( )G zˆ( )r z ˆ( )y z

( )T z

2-DOF :J参照信号の（単位円上）極と制御対象の不安定零点が近いと大きな値になる

i

ˆ( )r z ：参照信号

：不安定零点

24主結果（２自由度制御系）

最適な制御器* *

*

2

ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

ˆ ˆ( ) ( )

y z r z A z B z Q zG z

r z r z

ˆ( )r z( )P z

FB( )C zˆ( )u s ˆ( )y z

2( )G z

1

2 ( ) ( )G z P z

+

+ +

-

2( )G z

*( )Q z（ は予稿参照，手計算で導出可）

25主結果

最適値

最適な制御器

２自由度制御系

１自由度制御系

最適値

最適な制御器

( )P zFB( )C z2( )G z

( )T z

( )P z( )C zˆ( )u z ˆ( )y z

+-

ˆ( )r z

ˆ( )u z ˆ( )y zˆ( )r z

26主結果（１自由度制御系）

ˆ( )r z ( )P z( )C zˆ( )y z

1-DO1-D 1-DOFO FFˆ( ) ˆ, Jr JJ P

1 1

1-DOF1

m mi j

i j i j

q qJ

制御対象の相対次数に依らない部分

制御対象の相対次数に依存

1-DO 1

1

F

2

2( ( ) ( ))ˆh

k

k kJ

V V

1 1

1, 1

( 1) ( 1)ˆ( )

( ) ( )

p

p

m n

l i l il li im n

i l i ll l i l

q r

i

i

ˆ( )r z ：参照信号

：不安定極

：不安定零点

1 2( ), ( )k kV V（ は予稿参照）

最適値

（ただし，制御対象が不安定極を持たない場合，２自由度系と同じ最適値）

27主結果（１自由度制御系）

ˆ( )r z ( )P z( )C zˆ( )y z

1-DO1-D 1-DOFO FFˆ( ) ˆ, Jr JJ P

1 1

1-DOF1

m mi j

i j i j

q qJ

制御対象の相対次数に依らない部分

制御対象の相対次数に依存

1-DO 1

1

F

2

2( ( ) ( ))ˆh

k

k kJ

V V

1 1

1, 1

( 1) ( 1)ˆ( )

( ) ( )

p

p

m n

l i l il li im n

il i i lll l

q r

i

i

ˆ( )r z ：参照信号

：不安定極

：不安定零点

最適値

制御対象の極・零点が近いと が大きくなる1-DOFJ

28主結果（１自由度制御系）

最適な制御器*

* 1

*

1

* **

1

( )( )

( )(1 ( ))

ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

ˆ ˆ( ) ( )

G zC z

P z G z

y z r z A z B z Q zG z

r z r z

*( )Q z

( )P z( )C zˆ( )u s ˆ( )y z+

-

ˆ( )r z1( )G z

（ は予稿参照，手計算で導出可）

29発表の流れ

研究背景，本研究の目的

問題設定

主結果（最適制御器と最適値）

数値例

まとめ

30数値例（相対次数の影響，２自由度）相対次数の影響項

2-DO 1

1

F

2

2( ( ) ( ))ˆh

k

V kJ V k

( )P z

制御対象

(0) 0y となっている

2-DOFˆ 0.8043J

01.2( ) ( ) ( )P z z P z

2-DO2-D 2-DOFO FFˆ( ) ˆ, Jr JJ P

最適値

• の相対次数が０（細線）

( )P z• の相対次数が１（太線）

2-DOF 9.992J

（相対次数に起因する部分）

（零点などに起因する部分）

0h と の比較1h

参照信号

31

参照信号

数値例（様々な参照信号に対する最適出力）

制御対象：01.2( ) ( ) ( )P z z P z

参照信号最適な制御出力

•様々な参照信号に対して最適出力が求まっている

•同じ制御対象でも，参照信号によって追従しやすさ（過渡応答の良さ）は異なる

参照信号

参照信号参照信号

32

2

2 2

1-DOF

1.2 1ˆ(1.2 1) (1.2)

1.2J r

数値例（１自由度制御系）

ˆ( )r z ( )P z( )C zˆ( )y z

0

1.2( ) ( )

zP z P z

z

が に近いと が

制御対象：

1.2 1-DOFJ

（相対次数０）

1.5

参照信号

1.5

最適値

1.5 と の比較

1.5 で悪い過渡特性を示す

大きな値となる

実際

33まとめ

１自由度制御系，２自由度制御系のそれぞれについて追従偏差のｌ２ノルムの意味での最適値およびそれを達成する制御器を解析的に求めた

１．相対次数の影響を考慮した解

２．参照信号のクラスが広く，従来扱われていない信号を利用可能

リファレンスガバナの枠組みへの応用など

今後の課題

本発表では…

得られた解析解からわかること

• 参照信号の単位円上の極と制御対象の不安定零点が近いと最適値が大きくなる（＝制御しにくい）

• 制御対象の不安定極，零点が近いと与えられた参照信号に関らず制御が困難（1-DOF）