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C02: 連続と離散の融合によるロバストアルゴリズム構築
Jan 11, 2016
C02: 連続と離散の融合によるロバストアルゴリズム構築. 今回発表. 杉原 厚吉 ( 東京大学 ): 班代表 室田 一雄 ( 東京大学 ) 今井 浩 ( 東京大学 ) 松井 知己 ( 中央大学 ) 岩田 覚 ( 京都大学 ) 大石 泰章 ( 南山大学 ) 寒野 善博 ( 東京大学 ) 西田 徹志 ( 東京大学 ) 今堀 慎治 ( 東京大学 ). 担当分野： 量子情報科学での連続と離散によるロバストアルゴリズム構築. 研究遂行者 - PowerPoint PPT Presentation
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C02: 連続と離散の融合によるロバストアルゴリズム構築
杉原 厚吉 (東京大学 ): 班代表室田 一雄 (東京大学 ) 今井 浩 (東京大学 )松井 知己 (中央大学 )岩田 覚 (京都大学 )大石 泰章 (南山大学 ) 寒野 善博 (東京大学 )西田 徹志 (東京大学 )今堀 慎治 (東京大学 )
今回発表
担当分野：量子情報科学での連続と離散によ
るロバストアルゴリズム構築• 研究遂行者
– 今井浩( 東大情報理工 / ナノ量子情報エレクトロニクス研究機構 ; JST ERATO-SORST 量子情報システムアーキテクチャ )
• 研究協力者– 森山園子 ( 東大コンピュータ科学助教 )– 尾張正樹 ( 東大ナノ量子情報エレクトロニクス研究機構特任助教 )– David Avis (McGill University)– 伊藤剛志 ( 国立情報学研究所特任研究員 )– 中山裕貴 ( 慶應義塾大学 JSPS 特別研究員 )
2007 年 3 月まで
成果と展望• 成果
– 量子非局所性に関する一連の研究成果• カット凸多面体 , 半定値計画との邂逅
– 有向マトロイド実現可能性判定• 多項式計画の変現，半定値計画の適用
• 展望– 量子非局所性解析から量子情報処理プロトコルへ– 量子情報と対話証明・近似可能性
• 2-Prover 1-Round Game, Unique Game Conjecture
– Grassmann-Plücker 関係式を通した両テーマの融合
Correlation between 2 Events A,B
1)()()(
)()()()(
1)(),(),(0
, Events 2
ABPBPAP
BPABPAPABP
ABPBPAP
BA
)(Cut)(Cor 22 KK □
Correlation Polytopealso known as Boolean Quadratic Polytope)(AP
)(BP
)()(
BAPABP
(1,0,0)
(0,1,0)
(1,1,1)B
A
A, B
∅
space-))(),(),(( ABPBPAP
Cut Polytope
Correlation polytope ⇔ Cut polytope
)(Cor 2K□ )(Cut 2K□
A B
)(AP
X
)(BP
)(ABP
covariance mapping
23 KK
suspension
Correlation of a bipartite system of},{ and },{ 2121 BBAA
))(),( no(
)(),(),(),(
)(),( ),(),(
??? amongn Correlatio
2121
22122111
2121
BBPAAP
BAPBAPBAPBAP
BPBPAPAP
1A 1B)( 11BAP
2A 2B)( 22BAP
)( 21BAP )( 12BAP
Correlation polytope ⇔ Cut polytope
)(Cor 2,2K□ )(Cut 2,2K□
1A 1B
)( 1AP
X
)( 1BP
)( 11BAP
covariance mapping
2,22,2,1 KK
2A 2B)( 22BAP
)( 21BAP )( 2BP
suspension
この Facet: Bell 不等式 (CHSH 不等式 )
EPR paradox and Bell inequalitiesEPR paradox and Bell inequalities
• Einstein, Podolsky, Rosen (1935)– quantum entanglement vs. relativity theory
• Bell inequality (1964)– Entanglement/Nonlocalit violation⇒
• CHSH inequality (Clauser, Horne, Shimony, Holt 1969)– applicable to a bipartite system
• Aspect et al. (1982)– Experimental verification of violation of
CHSH inequality
• Tsirelson (1980): max. violation value
量子情報処理の力の源 ( の 1 つ )!!
entanglement
measure(local)
statechange
instantly
faster than light
A 2-Prover 1-Round Interactive Proof System[Feige, Lovasz 1992]
Alice Bob
Victor (Verifier)
2 Provers
}1,0{t質問}1,0{s質問
• 事前戦略：回答を協力して練ってよい• 質問開始後：通信不可 (no-signaling)
}1,0{a答 }1,0{b答
事前戦略古典： shared randomness量子： entanglement
2 つの質問の内の1 つをランダムに聞く
Geometrical of 3 convex sets of behaviors
Set of all (no-signaling) behaviors
Set of quantum behaviors
Set of classical behaviors
set Q
Bell inequalities
⊆⊆
Convex polytope [Froissart 1981]
Convex set [Tsirelson 1993]
Convex polytope by definition
4
〈 A1B1 〉 + 〈 A1B2 〉 + 〈 A2B1 〉 - 〈 A2B2 〉 ≤ 2
(Dimension=8 for m=n=2; Dim=mn+m+n in general)
[Tsirelson 1993]
(correlation polytope)
Set of all behaviors
⊆
Cut polytope Cut(∇Km,n)[M.Deza 1960] [Barahona 1983]
[Avis, Imai, Ito, Sasaki 2005]
Set of quantum behaviorsQ=QCut(m,n)
Rooted semimetric polytopeRMet(∇Km,n)
[Padberg 1989] [M.Deza, Laurent 1997]
Quantum information Combinatorial optimization
Elliptope E(∇Km,n)[Goemans, Williamson 1995]
[Laurent, Poljak 1995]
Set of classical behaviors
＝
⊆
⊆
Elliptope E(Km,n)
Projection π π
Represented by expectation values
＝⊆ ⊇
[Tsirelson 1980]
Set of quantumcorrelation functions
＝X
A2 B2
A1 B1
Am Bn
・・
・
・・
・m n ⊆
⊆
Km,n∇Semidefiniterelaxation
Linearrelaxation
bridge
Our results
⊆
[Tsirelson 1980]
[Avis, Imai, Ito, Sasaki 2005]
Quantum information Combinatorial optimization
＝
⊆
Elliptope E(Km,n)Set of quantum
correlation functions
Projection π π
Represented by expectation values
＝
＝
(∇Km,n) RMet(∇Km,n)∩
⊆
Set of all behaviors
⊆
Set of quantum behaviorsQCut(m,n)
Set of classical behaviors
⊆
Cut polytope Cut(∇Km,n)
Rooted semimetric polytope RMet(∇Km,n)
E
量子非局所性関係発表論文1. David Avis, Hiroshi Imai, Tsuyoshi Ito, Yuuya Sasaki: Two-party Bell inequalitie
s derived from combinatorics via triangular elimination. Journal of Physics A: Mathematical and General 38(50):10971-10987, Dec. 2005.
2. Tsuyoshi Ito, Hiroshi Imai, David Avis: Bell inequalities stronger than the Clauser-Horne-Shimony-Holt inequality for three-level isotropic states.Physical Review A 73, 042109, Apr. 2006.
3. David Avis, Hiroshi Imai and Tsuyoshi Ito: Generating facets for the cut polytope of a graph by triangular elimination.Mathematical Programming, published online Aug. 2006.
4. David Avis, Hiroshi Imai, Tsuyoshi Ito: On the relationship between convex bodies related to correlation experiments with dichotomic observables.Journal of Physics A: Mathematical and General 39(36):11283-11299, Sept. 2006.
5. David Avis, Tsuyoshi Ito: New Classes of Facets of Cut Polytope and Tightness of Imm22 Bell Inequalities. arXiv: math.CO/0505143, 2005; Discrete Applied Math
ematics, to appear.
有向マトロイド (chirotope 版 ) の定義ランク r 、要素数 n の有向マトロイド χ ：写像 が公理を満たすもの
ex. ベクトル集合から得られる有向マトロイド (r=3, n=6)
x
yz
v1
v4
v6v2
v5
v3
これが有向マトロイドとなる
一方、有向マトロイド χ に対応するベクトル配置は基底
とおき、制約集合
の実行可能解となる（ POP として解く）
カイロトープが満たすべき性質（公理による定義）
(B0)
(B1)
(B2)
カイロトープの公理：
は交代性をみたす、つまり
3項 Grassmann-Plücker多項式の符号への抽象化：
以下を満たす はすべて、かつそれのみが有向マトロイド
3項 Grassmann-Plückerの恒等式（各 v はベクトル）
有向マトロイド実現可能性判定を多項式計画でInput: oriented matroid
set vector configuration
base
each index corresponds to constraints:
(ex. r = 3, n = 9)
Universality theorem [Mnëv ’88]
実は逆も多項式時間で可能 !
is realizable
is feasible
POP P(χ):
OM χ:
目標：既存手法より強力な実現不可能性判定法を作りたい。
⇒ 強力な BFP (Biquadratic Final Polynomial) に着目。
BFP : 恒等式を線形計画問題緩和
して、制約を作り、解を持たないことを示す。
本研究：
恒等式を半正定値計画問題緩和して、制約を作り、解を持たな
いことを示す。
半定値計画による実現不可能性検証[Miyata, Moriyama, Imai (2007)]
半正定値計画問題は線形計画問題より、詳細な条件を記述できる
条件緩和により、実現不可能性判定の計算困難さを克服する。
有向マトロイド関係発表論文• Komei Fukuda, Sonoko Moriyama and Yoshio Okamoto: The Holt-Klee c
ondition for oriented matroids. European Journal of Combinatorics, almost accepted.
• Komei Fukuda, Sonoko Moriyama and Hiroki Nakayama: Every non-Euclidean oriented matroid admits a biquadratic final polynomial, submitted.
• Hiroki Nakayama, Sonoko Moriyama, Komei Fukuda: Realizations of non-uniform oriented matroids using generalized mutation graphs, to be submitted.
• Hiroki Nakayama, Sonoko Moriyama, Komei Fukuda: Three characteristic rank-4 oriented matroids, submitted.
• Yoshitake Matsumoto, Sonoko Moriyama, Hiroshi Imai: Enumeration of Matroids by Reverse Search and Its Applications, KyotoCGGT, 2007..
• Hiroyuki Miyata, Sonoko Moriyama, Hiroshi Imai: Determining the non-realizability of oriented matroids by semidefinite programming, KyotoCGGT, 2007.
成果と展望 ( 再掲 )• 成果
– 量子非局所性に関する一連の研究成果• カット凸多面体 , 半定値計画との邂逅
– 有向マトロイド実現可能性判定• 多項式計画の変現，半定値計画の適用
• 展望– 量子非局所性解析から量子情報処理プロトコルへ– 量子情報と対話証明・近似可能性
• 2-Prover 1-Round Game, Unique Game Conjecture
– Grassmann-Plücker 関係式を通した両テーマの融合
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