離散化手法とスキームの基礎 と選択法 - Rikeni.riken.jp/wp-content/uploads/2015/06/secure_4650_0118...離散化手法とスキームの基礎 と選択法 2007/1/16

離散化手法とスキームの基礎離散化手法とスキームの基礎離散化手法とスキームの基礎離散化手法とスキームの基礎と選択法と選択法選択法選択法2007/1/16宇宙航空研究開発機構宇宙航空研究開発機構

情報・計算工学センター

嶋英志嶋英志

本講習の目的本講習の目的本講習の目的本講習の目的

基礎的な計算法の性質を述べ 各手法基礎的な計算法の性質を述べ、各手法の持つ長所短所を理解することによっ

手法 背景を理解 た 選択て、手法の背景を理解した正しい選択に近づくこと

「クーラン数」「風上差分」等の広い範囲のCFD技術に共通の概念について範囲のCFD技術に共通の概念について、その意味とイメージを把握すること

本講習の方針本講習の方針本講習の方針本講習の方針

様々な流体方程式の基礎となる移流方様々な流体方程式の基礎となる移流方程式を用いて色々な計算法の特徴を計算例を示しながら解説する算例を示しながら解説する

上記については十分理解できるように上記については十分理解できるように丁寧に説明する

圧縮性と非圧縮性 差分法と有限体積圧縮性と非圧縮性、差分法と有限体積法と有限要素法、各々で扱いの違う非線形性や多次 扱 は省略する線形性や多次元の扱いは省略する

目次目次目次目次

移流方程式とその離散化の基本移流方程式とその離散化の基本

◦ 移流方程式の位置付

差分法 有限体積法 有限要素法の関係◦ 差分法、有限体積法、有限要素法の関係

スキームの安定性、振幅誤差、位相誤差

実用コードでの高度なスキーム

◦ 陰解法

◦ 高次精度化と無振動化風上法

TVD法、ENO法、WENO法

CIP法

その他の手法その他の手法

目次目次目次目次

移流方程式とその離散化の基本移流方程式とその離散化の基本

◦ 移流方程式の位置付

◦ 差分法、有限体積法、有限要素法の関係

スキームの安定性、振幅誤差、位相誤差スキ ムの安定性、振幅誤差、位相誤差

実用コードでの高度なスキーム

陰解法◦ 陰解法

◦ 高次精度化と無振動化

風上法

TVD法、ENO法、WENO法

CIP法

流体の方程式と移流方程式流体の方程式と移流方程式流体の方程式と移流方程式流体の方程式と移流方程式一次元線形移流方程式（OLCE)

0=+ xt aqq )( atxfq −=線 )

0=+ xt EQ一次元圧縮性Euler方程式

0=+ qaq係数行列の直行分解

0=+ xkktk qaq二次元(非圧縮）NS方程式

高レイノル

upvuuuu xyxt Δ+=−++Re11

ρ

(

高レイノルズ数では小

ρ

移流方程式の離散化（１）移流方程式の離散化（１）移流方程式の離散化（１）移流方程式の離散化（１）

時空間の離散化T(時間）

時空間の離散化

Δt

n nn

qin+1qi-1n+1 qi+1n+1 時間発展

時間発展

x(空間)Δx

qin qi+1nqi-1n 時間発展

微分項の差分近似

x(空間)n

iqxitnq =ΔΔ ),(

微分項の差分近似

xqqq ii

x Δ−

≈ −+

211

tqqq i

ni

n

t Δ−

≈+1

xΔ2 tΔ

移流方程式の離散化（２）移流方程式の離散化（２）移流方程式の離散化（２）移流方程式の離散化（２）

微分方程式の離散化微分方程式の離散化

◦ 空間中心差分+Euler陽解法

)(62

42

11 xOqxqxqq

xxxxii Δ+

Δ+=

Δ− −+ ：二次精度

2111

ni

nin

in

iqq

qq −++ −−= λ

xta

ΔΔ

=λ ：Courant数2 xΔ

ii-1 i+1

移流方程式の離散化（３）移流方程式の離散化（３）移流方程式の離散化（３）移流方程式の離散化（３）

微分方程式の離散化微分方程式の離散化

◦ 空間風上差分+Euler陽解法

)(2

21 xOqxqxqq

xxxii Δ+

Δ−=

Δ− − ：一次精度

ii-1 i+1

( )ni

ni

ni

ni qqqq 1

1−

+ −−= λ

2xΔ

xqqqa

xqqa

xqqa iiiiiii

Δ+−

−Δ−

=Δ− −−+−+−

22

2111111

22

211111n

in

in

in

in

ini

ni

qqqqqqq −+−++ +−+

−−= λλ

移流方程式の離散化（３）移流方程式の離散化（３）移流方程式の離散化（３）移流方程式の離散化（３）有限体積法と差分法の比較 2/1+if2/1if有限体積法と差分法の比較

∫ ∫Δ+

Δ=++

−

tn

tn

x

x xt dtdxaqqi

i

)1(0)(2/1

2/1時空間で積分

2/1+ifiq 1+iq1−iq

2/1−if

0)(1)(12/12/1

1 =−Δ

+−Δ −+

+ii

ni

ni ffqq

平均が正確なら下式は厳密

)()( 2/12/1ΔΔ + iiii ffx

qqt

∫+

−Δ= 2/1

2/1

1 i

i

x

xqdx

xq ∫

Δ+

ΔΔ=

tn

tnaqdt

tf

)1(1

1 nn

Δ 2/1ix Δtの近似次第で様々なスキームが定義可能f

111n

in

inn qq ++ −)(

21

12/1n

in

ii qqaf ++ +=2

111 iini

ni

qqqq −++ −= λ ：中心差分

)(1 ni

ni

ni

ni qqqq −−=+ λ ：風上差分{ })()(1

112/1nnnn qqaqqaf −++= )( iiii qqqq λ{ })()(

2 112/1 iiiii qqaqqaf +++ ++

移流方程式の離散化（４）移流方程式の離散化（４）移流方程式の離散化（４）移流方程式の離散化（４）有限要素法と差分法の比較

0)( =+∫ dxaqqW xti

この式は厳密。局所的にのみ値を持つWiを用いて局所的性質を抽出する。

仮定１ 頂点の間を線形補完(例）で近似

11 +++= iiii NqNqq仮定１：頂点の間を線形補完(例）で近似

仮定２：WiにNiと同じものを使用=ガラーキン法

( ) ( ) ( )( ) ( ) 0461

1111 =−Δ

+++ −++− iiititit qqx

aqqq

仮定 i i 同 を使用 ラ キ 法

tqqq i

ni

n

t Δ−

≈+1

( ) ( ) ( )( ) ( )itititit qqqq ⇒++ +− 11 461

：質量集中行列

2111 −++ −

−= iini

ni

qqqq λ ：中心差分と一致

FDM FEM FVMFDM FEM FVMの比較の比較FDM,FEM,FVMFDM,FEM,FVMの比較の比較

FEM FVMのメリットは計算メッシュFEM、FVMのメリットは計算メッシュに対する柔軟性

差分法用の格子 FVM、FEM用の格子

基本的離散化のまとめ基本的離散化のまとめ基本的離散化のまとめ基本的離散化のまとめ

次元の簡単なスキ ムについては一次元の簡単なスキームについては、差分法(FDM)、有限体積法(FVM)、有限要素法 は結局同じようなもの限要素法(FEM)は結局同じようなもの

したがって、今後は原則的にFDMを用したがって、今後は原則的に を用いて基礎的なスキームを説明する

ただし より洗練されたスキ ムではただし、より洗練されたスキームでは相互の変換は一般には不可能

FDM,FVM,FEM間で優れたスキームの相互移植は研究テーマになりうる互移植は研究テ マになりうる

目次目次目次目次

移流方程式とその離散化の基本移流方程式とその離散化の基本

◦ 移流方程式の位置付

◦ 差分法、有限体積法、有限要素法の関係

スキームの安定性、振幅誤差、位相誤差スキ ムの安定性、振幅誤差、位相誤差

実用コードでの高度なスキーム

陰解法◦ 陰解法

◦ 高次精度化と無振動化

風上法

TVD法、ENO法、WENO法

CIP法

スキームの安定性スキームの安定性(1)(1)スキームの安定性スキームの安定性(1)(1)

周期的2重サイン波の伝搬問題周期的2重サイン波の伝搬問題

111n

in

inn qq ++ −λ ( )1+

中心差分+陽解法 風上差分+陽解法

2111 iin

in

iqq

qq −++ −= λ ( )ni

ni

ni

ni qqqq 1

1−

+ −−= λ

無条件不安定 条件安定

スキームの安定性スキームの安定性(2)(2)（矩形波）（矩形波）スキームの安定性スキームの安定性(2)(2)（矩形波）（矩形波）

中心差分+陽解法：無条件不安定

風上差分+陽解法：条件安定

矩形波やステップは最高波数を含むので高波数の誤差が顕著にわかる

スキームの安定性スキームの安定性(3)(3)（安定性解析）（安定性解析）スキームの安定性スキームの安定性(3)(3)（安定性解析）（安定性解析）

フォン・ノイマンの安定性解析フォン・ノイマンの安定性解析

◦ サイン波の一つの波数に着目

ｋ：波数 0≦k≦

)exp( xjikq ni Δ= j:虚数単位

◦ ｋ：波数 0≦k≦π◦ kΔx=πが扱える最高波数

Δx

スキームの安定性スキームの安定性(3)(3)（安定性解析）（安定性解析）スキームの安定性スキームの安定性(3)(3)（安定性解析）（安定性解析）

フォン・ノイマンの安定性解析フォン・ノイマンの安定性解析

)exp( xjikq ni Δ=

◦ 厳密解nn qAq =+1

iexacti qAq =

xkjxkxjktjakAexact

ΔΔ=Δ=Δ−=

λλλ sincos)exp()exp(

◦ 差分近似のA(増幅係数)

xkjxkxjk Δ−Δ=Δ−= λλλ sincos)exp(

xkjAc Δ−= sin12 λ中心差分+陽解法 常に|AC2|>1

xkjxkAu Δ−Δ−−= sin)cos1(11 λλ風上差分+陽解法 λ≦1で|AU1|≦1

増幅係数からわかる振幅誤差 位相誤差増幅係数からわかる振幅誤差 位相誤差増幅係数からわかる振幅誤差、位相誤差増幅係数からわかる振幅誤差、位相誤差

◦ 厳密解のA厳密解のA)exp()exp( exactexactexact jrxjkA θλ =Δ−=

1=r )tan()tan( xk Δ−= λθ◦ 差分近似のA

kjA Δi1 λ中心差分+陽解法

1exactr )tan()tan( xkexact Δ= λθ

xkjAc Δ−= sin12 λxkjxkAu Δ−Δ−−= sin)cos1(11 λλ

中心差分+陽解法

風上差分+陽解法

1

1.2

|A| Cn=0.4

1 5

2

t))

tan(θ)/tan(θexact))

0.2

0.4

0.6

0.8

|A|

FTCS

UPWIND0

0.5

1

1.5

θ)/tan(θexact

FTCS

UPWIND

0

0 1 2 3 4

kΔx

0

0 1 2 3 4tan(

kΔｘ

時間積分法の変更による中心差分の安定化時間積分法の変更による中心差分の安定化時間積分法の変更による中心差分の安定化時間積分法の変更による中心差分の安定化

予測子 修正子法（時間一次精度）予測子-修正子法（時間一次精度）

211

ni

nin

iiqq

qq −+ −−= λ

2

2111 −++ −

−= iini

ni

qqqq λ

3段階ルンゲ・クッタ（時間三次精度）

2

231 11

ni

nin

iiqqqq −+ −

−= λ

1 qq22

1 11 −+ −−= iin

iiqqqq λ

111+ − iinn qq2

111 −++ −= iini

ni

qqqq λ

予測子予測子 修正子法でのクーラン数の効果修正子法でのクーラン数の効果予測子予測子--修正子法でのクーラン数の効果修正子法でのクーラン数の効果

CN=0.1 CN=0.5

CN=0.9 CN=1.1

数値例：スキームによる矩形波伝搬の違い数値例：スキームによる矩形波伝搬の違い

中心差分+陽解法 中心差分+予測子 修正子法中心差分+陽解法 中心差分+予測子-修正子法

中心差分+三段階R-K 風上差分+陽解法

数値例：振幅誤差（散逸性）と数値例：振幅誤差（散逸性）と位相誤差（分散性）位相誤差（分散性）

中心差分+三段階R-K 風上差分+陽解法

高波数で位相誤差が顕著 高波数で位相誤差もあるがそれより減衰が顕著

簡単なスキームからの改良方向簡単なスキームからの改良方向簡単なスキームからの改良方向簡単なスキームからの改良方向

ク ラン数の制限を外したいクーラン数の制限を外したい

◦ 陰解法

高波数まで正しく解きたい

◦ ⇒高次精度法⇒高次精度法

振動を無くしたい

波数による移送速度の違いが振動の原因◦ 波数による移送速度の違いが振動の原因

◦ 正しくない波を消す必要がある

◦ 現実の問題では振動により破綻することが少なくない少

◦ ⇒TVD、ENO、WENO、CIP

目次目次目次目次

移流方程式とその離散化の基本移流方程式とその離散化の基本

◦ 移流方程式の位置付

◦ 差分法、有限体積法、有限要素法の関係

スキームの安定性、振幅誤差、位相誤差スキ ムの安定性、振幅誤差、位相誤差

実用コードでの高度なスキーム

陰解法◦ 陰解法

◦ 高次精度化と無振動化

風上法

TVD法、ENO法、WENO法

CIP法

陰解法陰解法陰解法陰解法中心差分+Euler陰解法

11

2

11

111

+−

+++ −

−=n

in

ini

ni

qqqq λ

nnnn +++ 111 λλ ni

ni

ni

ni qqqq =−+ +

−++

+1

111

1 22λλ

A 1

：連立一次方程式を解く

クランク・ニコルソン（時間二次精度）

xkjA

Δ+=

sin1 λ ：無条件安定

クランク・ニコルソン（時間二次精度）

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ −

+−

−=+

−+

+−++1

11

1111n

in

in

in

ini

ni

qqqqqq λ⎟⎠

⎜⎝ 222ii qq

xkjA

Δ− sin211 λ

無条件安定（|A|≡1）xkj

AΔ+

=sin

2112

λ：無条件安定（|A|≡1）

数値例（陰解法）数値例（陰解法）数値例（陰解法）数値例（陰解法）

中心差分+Euler陰解法 Cn=0.5 中心差分+Euler陰解法 Cn=2.0 中心差分+Euler陰解法 Cn=4.0

中心差分+C-N Cn=0.5 中心差分+C-N Cn=2.0 中心差分+C-N Cn=4.0

同じで位相誤差により振動が発生

CC--NN法の振幅誤差、位相誤差法の振幅誤差、位相誤差((クーラン数クーラン数=0.4=0.4の場合の場合))

|A| C =0 4 tan(θ)/tan(θexact))

振幅誤差 位相誤差

0 8

1

1.2

|A| Cn=0.4

1.41.61.8

2

θexact))

tan(θ)/tan(θexact))

0.2

0.4

0.6

0.8

|A|

FTCS

UPWIND

C-N0 20.40.60.8

11.2

tan(θ)/tan(θ

FTCS

UPWIND

C-N

0

0 1 2 3 4

kΔx

00.2

0 1 2 3 4

kΔｘ

陰解法でクーラン数が大きくとれても、時間発展が正確に計算できる訳ではない

δδフォームの陰解法とその改良フォームの陰解法とその改良δδフォームの陰解法とその改良フォームの陰解法とその改良

0)(1

=+Δ−+

QLt

QQ nn

差分近似 Lは何かのオペレーターΔt

0)( =QL 定常解の条件

nn QQQ −= +1δ

11 ∂L

δQの導入

δフォームの導入

0)(1)(1=

∂∂

++Δ

≈++Δ

QQLQLQ

tQQLQ

tδδδδ

LI ⎞⎛ ∂ )(QLQQL

tI

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+Δ

δ Δtによらず定常解は不変∴時間精度は定常解に関係ない

)(QLQQL

tI

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+Δ

δ)

右辺を近似しても定常解は不変Qt ⎠⎝ ∂Δ

実用的な陰解法はこのような手法を用いている

δδフォームの具体例フォームの具体例δδフォームの具体例フォームの具体例

2

11

111

+−

+++ −

−=n

in

ini

ni

qqqq λ中心差分+陰解法：

2ii qq

221111n

in

iiii

qqqqq −+−+ −−=

−+ λδδλδ

nn qq

中 分 陰解法δフォームの導入

左辺を風上差分に( )

211

1ii

iiiqqqqq −+

−−

−=−+ λδδλδ

( )2

1 111

ni

ni

iiqqqq −+

−−

−=−+ λλδδλ

を風 分

整理( )

21ii qq

一方向スィープで解け、メリット大

中心差分+Euler陰解法 Cn=2.0 中心差分+Euler風上陰解法 Cn=2.0

陰解法陰解法 まとめと注意まとめと注意陰解法陰解法 まとめと注意まとめと注意

陰解法はクーラン数を大きく取れ 特に定陰解法はクーラン数を大きく取れ、特に定常解を求めるのには有利

δフォ ムの陰解法では左辺側に近似形式δフォームの陰解法では左辺側に近似形式の可能

数を きく れ が 時 時クーラン数を大きく取れるが、同時に時間精度も急速に低下することに注意（特に時間 次精度 場合）間一次精度の場合）

一次元線形の場合には適用容易だが、非線形性や多次元の場合の適用法は自明ではなく、様々な工夫が必要

目次目次目次目次

移流方程式とその離散化の基本移流方程式とその離散化の基本

◦ 移流方程式の位置付

◦ 差分法、有限体積法、有限要素法の関係

スキームの安定性、振幅誤差、位相誤差スキ ムの安定性、振幅誤差、位相誤差

実用コードでの高度なスキーム

陰解法◦ 陰解法

◦ 高次精度化と無振動化

風上法

TVD法、ENO法、WENO法

CIP法

高波数の減衰の必要性高波数の減衰の必要性高波数の減衰の必要性高波数の減衰の必要性バーガース方程式(非線形）の場合バ ガ ス方程式(非線形）の場合

0=+ xt uuuxun sin=

1 xxxu tn 2sin

21cossin −=−=

xtxun 2sin1sin1 Δ−≈+非線形性から高波数が生じるxtxu 2sin

2sin Δ≈

中心差分+予測子修正子法 風上差分+陽解法

非線形性から高波数が生じる

中心差分+予測子修正子法 風上差分+陽解法

分子粘性および数値粘性分子粘性および数値粘性分子粘性および数値粘性分子粘性および数値粘性◦ 一次元移流拡散方程式（粘性流体）次元移流拡散方 （粘 流体）

xxxt qaqq ν=+

セルレイノルズ数 が十分小ならば安定化

DNSはこの流儀に近い

νxaΔDNSはこの流儀に近い

高レイノルズ数の実用問題では望み薄

◦ 数値粘性の付加◦ 数値粘性の付加

必要最小限度だけ粘性項を加える

数値粘性係数をどのように決めるかが問題

xxxxaxxaxt qqaqq )4()2( νν −=+

数値粘性係数をどのように決めるかが問題

風上差分の効果風上差分の効果風上差分の効果風上差分の効果

風上差分に含まれる偶数次の誤差項が数風上差分に含まれる偶数次の誤差項が数値散逸として働く

◦ 一次風上法

)( 32

1 Oxxqq ii ΔΔΔ−

◦ 三次風上法

)(62

31 xOqqqxqq

xxxxxxii Δ++−=

Δ−

◦ 三次風上法

)(126

632 43

211 xOqxqqqqqxxxxx

iiii Δ+Δ

+=Δ

+−+ −−+

だが それだけでは十分ではない・・・

)(126

qqx xxxxxΔ

だが、それだけでは十分ではない

高次精度無振動スキーム高次精度無振動スキーム高次精度無振動スキ ム高次精度無振動スキ ムゴドノフの定理

◦ 「単調な線形スキ ムは高々一次精度である」◦ 「単調な線形スキームは高々一次精度である」

◦ 一見、無振動高次精度スキームは不可能にみえるる。

◦ しかし「線形」の制限を外せば可能

3次風上+2段階R-K(線形スキーム) 3次精度TVD(C-O)+2段階R-K(非線形スキーム)

目次目次目次目次

移流方程式とその離散化の基本移流方程式とその離散化の基本

◦ 移流方程式の位置付

◦ 差分法、有限体積法、有限要素法の関係

スキームの安定性、振幅誤差、位相誤差スキ ムの安定性、振幅誤差、位相誤差

実用コードでの高度なスキーム

陰解法◦ 陰解法

◦ 高次精度化と無振動化

風上法

TVD法、ENO法、WENO法

CIP法

TVDTVD法法TVDTVD法法

TV安定(Total Variation Diminishing)TV安定(Total Variation Diminishing)n

in

i qq Δ≤Δ + ∑∑ 1

nΔ nΔ次ステ

十分条件

ni

ni

ni qqq −=Δ +

+1 1−Δ i

nq

inqΔ

1+Δ inq

1−Δ inq

inqΔ

1+Δ inq

次ステップ

十分条件

12/12/11

−+

−+

++ Δ−Δ+= iiii

ni

ni qdqcqq

10,0 2/12/1 ≥≥ −+ ii dc

12/12/1 ≤++ ii dc

nii

nii

niii

ni qdqcqdcq 12/112/12/12/1

1 )1( −−++−++ ++−−=

1−inq 1+i

nqi

nq 1+

一次精度風上法はTVDである

2/12/1 −+ ii

inq

q q

三次風上法の三次風上法のTVDTVD化化三次風上法の三次風上法のTVDTVD化化

三次風上法のFVM表記

)( 2/12/11

−++ −

ΔΔ

−= iin

in

i ffxtqq

三次風上法のFVM表記

制限関数の導入

( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ Δ−+Δ++= −

+++ 12/1 1

411

41

iiii qqqaf φφ ：Φ=1/3

制限関数の導入

◦ Chakravarthy-Osher法⎫⎧ ( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ Δ−+Δ++= −

+++ 12/1

~~141~1

41

iiii qqqaf φφ

)(minmod~ qqq +++ ΔΔ=Δ β )(minmod~~ +++ ΔΔ=Δ qqq β),(minmod 11 iii qqq −− ΔΔ=Δ β ),(minmod 1−ΔΔ=Δ iii qqq β

),(minmod <≤

⎪⎨

⎧= ab

baba

ba φβ −≤≤

31非線形性の導入

00),(minmod

≤<

⎪⎩

⎨ab

abbbaφ

β−

≤≤1

1

制限関数は何をしているのか？制限関数は何をしているのか？制限関数は何をしているのか？制限関数は何をしているのか？)( 2/12/1

1+−

+ −ΔΔ

+= iin

in

i ffxtqq )(

21

2 111

−−+ Δ+Δ

Δ=

Δ−

≈ iiii

x qqxx

qqq

xxxn

i qxxqqq 2φ++=

22 ΔΔ xx

)(12122

11−

−+ Δ−ΔΔ

=Δ

+−≈ ii

iixx qq

xxqqqq

2/1+if ( ) ( ) 12/1 1411

41

−++

+ Δ−+Δ++= iiii qqqq φφ

≤ qqn

iq( ) ( ) iii qqq +

−++ Δ≤Δ−+Δ+ 11

411

41 φφ

12/1 ++ ≤ ii qq

2/1−if44

ii qq +−

+ Δ−−

≤Δφφ

13

1

)13,min(~

111 iiii qqqq +−

+−

+−

+ Δ−−

Δ=Δ⇒Δφφ

)3mod(min~ qqq +++ Δ−

ΔΔφ )

1,mod(min 11 iii qqq −− Δ−

Δ=Δφ

TVDTVD類似の手法：類似の手法：ENO WENOENO WENOTVDTVD類似の手法：類似の手法：ENO,WENOENO,WENO

Essensially Non Oscilating ShemeEssensially Non-Oscilating Sheme

2/1+ifxxx

ni qxxqqq 2φ++=

niq

2/1−if 一次、二次の微係数から判断し最も変化の少ない=滑らかな内挿関数を使う（三次精度の場合）⇒ENO⇒ENO

滑らかな場合にはすべての関数の重み付き平均を使う。この場合最大5次精度⇒Weighted ENO

目次目次目次目次

移流方程式とその離散化の基本移流方程式とその離散化の基本

◦ 移流方程式の位置付

◦ 差分法、有限体積法、有限要素法の関係

スキームの安定性、振幅誤差、位相誤差スキ ムの安定性、振幅誤差、位相誤差

実用コードでの高度なスキーム

陰解法◦ 陰解法

◦ 高次精度化と無振動化

風上法

TVD法、ENO法、WENO法

CIP法

CIPCIP法（１）法（１）CIPCIP法（１）法（１）

Cubic Interpolated PolynomialCubic Interpolated Polynomial0=+ xt aqq )( atxgq −= ：移流方程式の解

q↓この関係を使う

区分的3次関数

移流速度

N+1ステップの値と微係数の取得aΔt

x

),(),)1((1 taxitngxitngq in Δ−ΔΔ=ΔΔ+=+

CIPCIP（２）（２）CIPCIP（２）（２）q

1

1

+

+

in

x

in

q

q

区分的3次関数n

inq

xq

区分的3次関数ixq

x

0=+ xt aqq ),(),)1((1 taxitngxitngq in Δ−ΔΔ=ΔΔ+=+

0)()( =+ xxtx qaq ),('),)1(('1 taxitngxitngq in

x Δ−ΔΔ=ΔΔ+=+

CIPCIP（３）：非線形の場合（３）：非線形の場合CIPCIP（３）：非線形の場合（３）：非線形の場合

非線形輸送方程式非線形輸送方程式

( ) 0=+ xt uρρ

( ) ( ){ } 012/12/1

1 =−−= ++

iiin

in uu ρρρρ

FVM的方法

( ) ( ){ }2/12/1Δ −+ iixρρρρ

CIP法法

ρρρ xxt uu −=+ ( ) ( ) xxxxxxtx uuu ρρρρ 2−−=+方程式

ρρ xt u−= ( ) xxxxtx uu ρρρ 2−−=①非移流ステップ

0 ( ) ( ) 0+0=+ xt uρρ ( ) ( ) 0=+ xxtx u ρρ②移流ステップ

数値例：ステップの伝搬数値例：ステップの伝搬数値例：ステップの伝搬数値例：ステップの伝搬

一次風上 C-O3次+RK2

ENO3次+RK2 CIPENO3次+RK2 CIP

数値例：二重サイン波の伝搬数値例：二重サイン波の伝搬数値例：二重サイン波の伝搬数値例：二重サイン波の伝搬

一次風上 C-O3次+RK2

ENO3次+RK2 CIPENO3次+RK2 CIP

高次精度無振動スキームのまとめ高次精度無振動スキームのまとめと注意と注意

TVD ENO CIP等の非線形スキ ムTVD、ENO、CIP等の非線形スキーム

を用いることで高次精度化と無振動化の両立が可能 あるの両立が可能である

高波数の波の伝搬を扱うにはENOや高波数の波の伝搬を扱うには OやCIPの方が良い

定常解に関しては２次精度以上のTVDは十分な精度を持っている

ご清聴ありがとうございましたご清聴ありがとうございましたご清聴ありがとうございましたご清聴ありがとうございました

その他その他その他その他

コンパクト差分（陰的差分）コンパクト差分（陰的差分）コンパクト差分（陰的差分）コンパクト差分（陰的差分）fとf’に関するTaylor展開

)()(61)(

21)( 432 xOfxlfxlfxlff li Δ+′′′Δ+′′Δ+′Δ+=+

)()(61)(

21)(

624)4(32 xOfxlfxlfxlff li Δ+Δ+′′′Δ+′′Δ+′=′+ 62

より、例えば、次の関係が成立

)()(32)(

121 4

1122 xOffx

ffx

f iiiii Δ+−Δ

+−Δ

−=′ −+−+

4次精度差分公式

( ) )(21

61

32

61 4

1111 xOffx

fff iiiii Δ+−Δ

=′+′+′ −++−陰的差分公式：

312 xx ΔΔ

2636 xΔ連立一次方程式を解くことでf’が求まる

コンパクト差分の評価（１）コンパクト差分の評価（１）コンパクト差分の評価（１）コンパクト差分の評価（１）fが三角関数であらわされる場合

)exp()exp( xjikjkxfi Δ==

jkff ′安定性解析とは異なり時間積分は考えていないことに注意

2次精度中心差分の場合

jkff =

2次精度中心差分の場合

( ) fjkfx

xjkxjkffx eii 211 2

)exp()exp(21

=Δ

Δ−−Δ=−

Δ −+

xkke ΔΔ

=sin

2

xx 22 ΔΔ

有効波数

xe Δ2

xkxk ΔΔ 2sin1sin44次精度中心差分の場合

xxk

xxkke Δ

Δ−

ΔΔ

=2sin

31sin

34

4

コンパクト差分の評価（２）コンパクト差分の評価（２）コンパクト差分の評価（２）コンパクト差分の評価（２）

⎞⎛

4次精度陰的差分公式：

fx

xkjfxjkxjkjki ΔΔ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ++Δ−

sin)exp(61

32)exp(

61

4

sin34

xkkiΔ

=)cos2(4 xkki Δ+

有効波数(L/Lexact)kΔxの比較

2

2.5

3

3.5

厳密

0.5

1

1.5

2 厳密

2次

4次

陰的4次

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5