Maxwell 方程式の離散解法（ FDTD 法）と 並列シミュレーション １日目 松本 正晴 大学院情報理工学系研究科コンピュータ科学専攻 計算科学アライアンスサマースクール 2017年8月23日（水）～25日（金）
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Transcript
Maxwell方程式の離散解法（FDTD法）と並列シミュレーション
１日目
松本正晴大学院情報理工学系研究科コンピュータ科学専攻
計算科学アライアンスサマースクール2017年8月23日（水）～25日（金）
講義資料について
本スライドのPDFファイルhttp://sudalab.is.s.u-tokyo.ac.jp/~matsumoto/SS2017
講義に関する質問は随時メールをください。
講義の進め方
• 基本的にコードを書かせるような演習はしません。
• まず講義を聴いてもらって、（明日以降の）演習はこちらで用意したサンプルプログラムを実行してもらう、という形になります。
• かなり基礎的な部分も含みますので、知ってる人にとってはつまらないかも・・・。
• 明日以降の演習ではコードの中身をよく見て、どこで何を計算しているのか理解してもらいたい。
1日目の内容（座学）
• 物理現象を記述する偏微分方程式
• 差分法の基礎
• Maxwell方程式の離散化とFDTD法アルゴリズム
• 電磁波解析の例
物理現象を記述する偏微分方程式
偏微分方程式の分類（1/5） 3個の独立変数（x1, x2, x3），未知関数u（x1, x2, x3） その2階までの偏導関数を含む方程式G = 0を2階の偏微分方程式（Second order Partial Differential Equation）と言う
方程式が未知関数と全ての導関数について線形であるとき，方程式は線形（linear）であると言う。線形でない方程式は非線形（non-linear）
恒等的にc = 0の場合，方程式は同次または斉次（homogeneous），そうでない場合，非同次または非斉次（inhomogeneous）
0,,,,,,,...,,,,, 321
32131
2
21
2
2
3
2
2
2
2
2
1
2
xxxu
x
u
x
u
x
u
xx
u
xx
u
x
u
x
u
x
uG
0,,,,,, 321
3
1
321
3
1,
2
321
xxxcx
uxxxb
xx
uxxxa
i i
i
ji ji
ij
偏微分方程式の分類（2/5）
未知関数uが滑らかな関数である場合，下記が成立
その場合，実数aijについて対称性aij = ajiが成り立つため，以下の3次正方行列Aの固有地は全て実数となる
点r（x1, x2, x3）における行列A（r）の固有値分布を考える• 0固有値一つ以上を含む：方程式は点rにおいて放物型（Parabolic）• 異符号固有値含む：方程式は点rにおいて双曲型（Hyperbolic）• 全固有値が同符号：方程式は点rにおいて楕円型（Elliptic）
ijji xx
u
xx
u
22
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
偏微分方程式の分類（3/5）
理工学的問題においては，2階線形偏微分方程式が他の形の方程式よりも頻繁に現れる。2次元，すなわち独立変数をx，y，未知関数をu（x, y）とした場合の2階線形偏微分方程式の一般形は次式で表される。
正方行列Aは以下のように表される
固有値をλとすると，この行列の特性方程式は以下のように表される
yxcuy
u
x
u
y
uC
yx
uB
x
uA ,2
2
22
2
2
:0
:0
:0
2
2
2
BAC
BAC
BAC
双曲型（Hyperbolic）方程式
楕円型（Elliptic）方程式
放物型（Parabolic）方程式
CB
BAA
22 BACCACB
BA
IA
偏微分方程式の分類（4/5）
0
2
2
2
2
yx
楕円型• 2次元Poisson方程式
• 2次元Laplace方程式
• 2次元Helmholtz方程式
• 定常２次元熱伝導方程式
02
2
2
2
yx
2階の偏微分方程式で記述される現象は多い（以下は独立変数が２つの場合）
02
2
2
2
2
Ak
y
A
x
A
02
2
2
2
Q
y
T
x
T
楕円型方程式は現象が時間に依存しない定常状態にある際の物理量の状態を記述している。
偏微分方程式の分類（5/5）
放物型• 非定常1次元熱伝導方程式 Q
x
T
t
TC
2
2
2階の偏微分方程式で記述される現象は多い（以下は独立変数が２つの場合）
双曲型• 1次元波動方程式（2階波動方程式）
• 非定常1次元移流方程式（1階波動方程式）
2
22
2
2
x
fc
t
f
x
fc
t
f
放物型と双曲型方程式は物理量が空間的に拡がってゆく速さによって特徴づけられる（時間）発展過程（非定常状態）を記述している。
熱伝導現象に見る偏微分方程式（1/4）
とある物体（体積要素ΔV = ΔxΔyΔz）で熱の流れが生じている場合の物体内部で満たすべき熱量収支の式を求める。
x
y
z
Qx
Qx+ΔQx
Qy
Qy+ΔQy
Qz
Qz+ΔQz
Δt時間に各軸に垂直な面から出入りする熱量を左図のように書くとすると、出入りする熱量の差は、
Δzz
QΔy
y
QΔx
x
Q
ΔQΔQΔQ
ΔQQΔQQΔQQQQQΔQ
zyx
zyx
zzyyxxzyx
物体に熱がたまると物体の温度が上昇する。今、時刻tにこの要素の温度がTであり、Δt時間後にT+ΔTに温度が上昇したとする。
・・・（１）
熱伝導現象に見る偏微分方程式（2/4）
x
y
z
Qx
Qx+ΔQx
Qy
Qy+ΔQy
Qz
Qz+ΔQz
Δtt
TΔxΔyΔzCΔTΔVCΔQ
この温度上昇分ΔTのために必要な熱量ΔQを求めるには、物体の比熱をC、密度をρとすると、比熱と物体の質量ρΔVに上昇温度をかければよい。
一方、n方向へ単位時間単位面積当たりに流れる熱量qnは、n方向の温度勾配と熱伝導率λに比例（フーリエの法則）し、これを熱流束（heat flux）という（熱は高温から低温に流れるので、温度勾配の負の方向）。
z
Tq
y
Tq
x
Tq zyx
,,
熱流束ベクトルq =（qx, qy, qz）を用いると、
T q
・・・（２）
熱伝導現象に見る偏微分方程式（3/4）
x
y
z
Qx
Qx+ΔQx
Qy
Qy+ΔQy
Qz
Qz+ΔQz
zz
yy
xx
qΔxΔyΔtQ
qΔzΔxΔtQ
qΔyΔzΔtQ
Qx, Qy, Qzを熱流束qx, qy, qzを用いて書くと、
上式を用いて（１）式は、
ΔxΔyΔzΔtz
qΔxΔyΔzΔt
y
qΔxΔyΔzΔt
x
qΔQ zyx
したがって、上式と（２）式より、
z
T
zy
T
yx
T
xt
TC
z
q
y
q
x
q
t
TC
t
TC
zyx
q
熱伝導現象に見る偏微分方程式（4/4）密度ρや比熱C，熱伝導率λは物質によって定まる物性値であり、温度変化があまり大きくなければ一般に定数とみなしてよい。
Tt
T
z
T
y
T
x
T
t
T
z
T
y
T
x
T
t
TC 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Cここで、 は温度拡散率と呼ばれる。
一方、体積要素内に強さS（x,y,z,t）の熱源（heat source）が存在する場合、熱伝導方程式は、
St
TC
q
熱伝導方程式は放物型方程式の代表例だが、温度が時間に依存しない場合（定常現象）では、楕円型方程式となる。つまり、偏微分方程式の分類と物理方程式は必ずしも一致しない。
S
z
T
y
T
x
TS
2
2
2
2
2
2
q
熱伝導方程式の各変数の次元（SI単位系）
Sz
T
zy
T
yx
T
xt
TCS
z
q
y
q
x
q
t
TC zyx
時間t ：s距離x,y,z ：m温度T ：K比熱C ：J/（kg・K）密度ρ ：kg/m3
熱伝導率λ ：W/（m・K）熱流束q ：W/m2
熱源S ：W/m3
3
3
/ mW
s
K
m
kg
Kkg
J
2/ mW
m
K
Km
W
（単位体積当たりに増減する熱量） （単位面積当たりに流入出する熱量）
差分法の基礎
差分法
偏微分方程式の近似解法の一種• 計算領域を小領域（格子，メッシュ，セル，グリッド，etc…）に分割• 離散化（Discretization）
（有限）差分法（Finite Difference Method, FDM）• 偏微分係数を差分近似（Taylor展開）
Δx
yxfyΔxxf
Δx
yxfyΔxxf
x
f
Δx
,,
,,lim
0
差分格子と1階偏微分係数の差分近似（1/3）
i, ji-1, j i+1, j
i, j+1
i, j-1
Δy
x
y Δx
0
今、f = f（x, y）が下図のように格子で分割された領域で与えられているものとする。x方向への格子番号をi，y方向への格子番号をjとする。
点（x, y）の格子点番号を（i, j）とし，そこでのfの値f（x, y）をfi,jと表すと，
前進差分近似
Δy
ff
y
f
Δx
ff
x
f
jiji
jiji
,1,
,,1
差分格子と1階偏微分係数の差分近似（2/3）
i, ji-1, j i+1, j
i, j+1
i, j-1
Δy
x
y Δx
0
今、f = f（x, y）が下図のように格子で分割された領域で与えられているものとする。x方向への格子番号をi，y方向への格子番号をjとする。
点（x, y）の格子点番号を（i, j）とし，そこでのfの値f（x, y）をfi,jと表すと，
後退差分近似
Δy
ff
y
f
Δx
ff
x
f
jiji
jiji
1,,
,1,
差分格子と1階偏微分係数の差分近似（3/3）
i, ji-1, j i+1, j
i, j+1
i, j-1
Δy
x
y Δx
0
今、f = f（x, y）が下図のように格子で分割された領域で与えられているものとする。x方向への格子番号をi，y方向への格子番号をjとする。
点（x, y）の格子点番号を（i, j）とし，そこでのfの値f（x, y）をfi,jと表すと，
中心差分近似
Δy
ff
y
f
Δx
ff
x
f
jiji
jiji
2
2
1,1,
,1,1
2階偏微分係数の差分近似（1/3）
例えば、中心差分近似を用いると∂2f/∂x∂yは、
ΔxΔy
ffff
Δx
Δy
ff
Δy
ff
Δx
y
f
y
f
y
f
xyx
f
jijijiji
jijijiji
jiji
4
2
22
2
1,11,11,11,1
1,11,11,11,1
,1,12
i, ji-1, j i+1, j
i, j+1
i, j-1
Δy
x
y Δx
0
i+1, j+1
i+1, j-1
i-1, j+1
i-1, j-1
2階偏微分係数の差分近似（2/3）
同様に、∂2f/∂x2はまず下図の×印の点における中心差分近似を求め、その更に中心差分を行う。
2
,1,,1
,1,,,1
,2/1,2/1
2
2
2
Δx
fff
Δx
Δx
ff
Δx
ff
Δx
x
f
x
f
x
f
xx
f
jijiji
jijijiji
jiji
i, ji-1, j i+1, j
i, j+1
i, j-1
Δy
x
y Δx
0
i+1, j+1
i+1, j-1
i-1, j+1
i-1, j-1
2階偏微分係数の差分近似（3/3）
∂2f/∂y2も∂2f/∂x2と同様。
2
1,,1,
1,,,1,
2/1,2/1,
2
2
2
Δy
fff
Δy
Δy
ff
Δy
ff
Δy
y
f
y
f
y
f
yy
f
jijiji
jijijiji
jiji
i, ji-1, j i+1, j
i, j+1
i, j-1
Δy
x
y Δx
0
i+1, j+1
i+1, j-1
i-1, j+1
i-1, j-1
差分近似の誤差（1/2）2変数関数のTaylor展開によりf（x+Δx, y）とf（x-Δx, y）をTaylor級数に展開すると以下のようになる。
ΔxOΔx
ff
x
f
x
fΔx
x
fΔx
Δx
yΔxxfyxf
x
f
x
fΔx
x
fΔx
x
fΔxyxfyΔxxf
ΔxOΔx
ff
x
f
x
fΔx
x
fΔx
Δx
yxfyΔxxf
x
f
x
fΔx
x
fΔx
x
fΔxyxfyΔxxf
jiji
jiji
,1,
3
32
2
2
3
33
2
22
,,1
3
32
2
2
3
33
2
22
...!3!2
,,
...!3!2
,,
...!3!2
,,
...!3!2
,,
（前進差分）
（後退差分）
打切り誤差がΔx（1次）のオーダー
打切り誤差がΔx（1次）のオーダー
差分近似の誤差（2/2）
2,1,1
3
32
3
33
2
22
3
33
2
22
2
...!32
,,
...!3!2
,,
...!3!2
,,
ΔxOΔx
ff
x
f
x
fΔx
Δx
yΔxxfyΔxxf
x
f
x
fΔx
x
fΔx
x
fΔxyxfyΔxxf
x
fΔx
x
fΔx
x
fΔxyxfyΔxxf
jiji
（1階の中心差分）
打切り誤差がΔx2（2次）のオーダー
（2階の中心差分）
2
2
,1,,1
2
2
4
42
22
2
2
...12
,,2,
ΔxOΔx
fff
x
f
x
fΔx
Δx
yΔxxfyxfyΔxxf
x
f
jijiji
打切り誤差がΔx2（2次）のオーダー
更に高次精度の差分近似
Δx
ffff
x
f
Δx
ffff
x
f
jijijiji
jijijiji
6
632
6
236
,2,1,,1
,1,,1,2
もちろん2次精度以上の差分近似も存在するが、実用的には2次精度程度で抑えることが多い。
3次精度
Δx
ffff
x
f jijijiji
12
88 ,2,1,1,2
4次精度
2
,2,1,,1,2
2
2
12
163016
Δx
fffff
x
f jijijijiji
4次精度
1階微分
2階微分
格子幅と差分精度の関係
10-4 10-3 10-2 10-110-14
10-12
10-10
10-8
10-6
10-4
10-2
100
102
Δx
Err
or
1st order 2nd order 3rd order 4th order
差分近似をTaylor級数で表したときの打切り誤差（1次精度や2次精度）の意味は、数学的な微分の厳密解と差分近似の誤差から理解できる。
N
i
i FDMxfN
error1
1
ここで、f(x) = sin(2πx)とし、領域0 ≤ x ≤ 1
をN等分して、格子幅Δx=1/Nの時の1階微分の誤差を計算したものが右図。
誤差の傾きが精度の次数を表していることがわかる。またΔxが小さくなるほど、誤差がゼロへ近づいていることもわかる。
差分精度が良ければよい近似解が得られる、訳では決してないことに注意！
Maxwell方程式とFDTD法
Maxwell方程式
Gaussの法則
磁場に対するGaussの法則
Faradayの法則
Ampereの法則
tt
tt ,
,, rJ
rDrH
t
tt
,,
rBrE
tt ,, rrD
0, trB
E:電場 [V/m]
D: 電束密度 [C/m2]
H: 磁場 [A/m]
B: 磁束密度 [T]
J: 電流密度 [A/m2]
ρ: 電荷密度 [C/m3]
ε: 誘電率 [F/m]
μ: 透磁率 [H/m]
σ: 導電率 [S/m]
SI単位系
構成方程式（媒質が等方・非分散）
EJHBED ,,
電磁場の振る舞いを記述する古典電磁気学の基礎方程式
Finite-Difference Time-Domain（FDTD）Method
日本語では、時間領域差分法とか有限差分時間領域法とか。でもFDTD
法と呼ぶことが多い。
波源や散乱体を囲むように解析領域を取り、解析領域全体をcellに分割し、cell上に電磁場を定義する。
Maxwell方程式（Ampereの法則とFaradayの法則）の微分方程式を全cell上で離散化し、電場と磁場を時空間方向に交互に計算していくYeeのアルゴリズムに従って、数値的に解く（電場と磁場のGaussの法則は直接的には使われない束縛条件）。
電磁波の伝播の様子を時間・空間的に可視化できる、アルゴリズムが理解しやすい、などのメリットがある一方、cell幅が波の波長に依存するので、
解析領域に対して波長が短い場合は解析が困難であったり、分散性媒質の取り扱いが難解であったりする。
FDTD法で解けるいろいろな波動方程式
pK
t
p
Kt
p
pt
2
2
2
v
v
uuu
v
2
2
2
,,,,
,,,
t
zyxqpp
v
q
v
z
v
y
v
x
v
t
zyxpzyxt
qp
pqzyxpq
zpypxp
運動方程式+
連続の式
音波に関する波動方程式
Faradayの法則+
Ampereの法則
地震波（弾性波）に関する波動方程式
EE
BE
EB
2
2
2 1
1
t
t
t
運動方程式+
応力の時間微分
電磁波に関する波動方程式
vu
t
FDTD法における時間方向に対する差分の取り方
nnn
nnnnn
nnn
nnnn
Δt
Δt
Δt
Δt
t
t
EHH
HEEEE
EHH
HEEE
EH
HEE
1
1
2
1
1
1
1
2/12/1
2
111
2/12/1
2
1
2
11
構成方程式を用いて、2式を以下のように書き換える。時間方向に対して2次
精度中心差分で離散化することを考えると、電場と磁場は時間的に交互に配置されるべき。
n – 1 n – 1/2 n n + 1/2
E
H
Time
Index
既知 未知
電場Eが整数ステップとすれば、磁場Hは半整数ステップ
nnn
nnn
Δt
Δt
Δt
Δt
Δt
EHH
HEE
2/12/1
2
1
1
21
21
21
Leap-Frog法
電磁場の定義位置（Yee cell, FDTD cell）
x
yz
(i, j, k) (i+1, j, k)
(i, j, k+1) (i+1, j, k+1)
(i, j+1, k) (i+1, j+1, k)
(i, j+1, k+1) (i+1, j+1, k+1)
Ex
Ey
Ez
Hx
Hz
Hy
空間座標も2次精度中心差分で離散化することを考えると、電磁場はやはり空間的にも交互に配置されるべき。
1cell内の電磁場の定義位置と格子番号
電場はcellの各辺に沿って定義される 磁場は面の中心に垂直に割り当てられる 電場の回転（rot）が磁場を、磁場の回転が電場を作る、というMaxwell方程式を満たす配置
Ex i+1/2, j, k , Ey i, j+1/2, k , Ez i, j, k+1/2
Hx i, j+1/2, k+1/2 , Hy i+1/2, j, k+1/2 , Hz i+1/2, j+1/2, k
電磁場の各成分の格子点位置（左図参照）
EH
HE
Maxwell方程式の成分表示
y
E
x
E
t
H
x
E
z
E
t
H
z
E
y
E
t
H
y
H
x
HE
t
E
x
H
z
HE
t
E
z
H
y
HE
t
E
t
t
xyz
zxy
yzx
xy
zz
zxy
y
yzx
x
1
1
1
1
1
1
1
1
EH
HEE
3次元
y
E
x
E
t
H
x
HE
t
E
y
HE
t
E
x
E
t
H
y
E
t
H
y
H
x
HE
t
E
xyz
zy
y
zx
x
zy
zx
xy
zz
1
1
1
1
1
1
2次元（z方向一様）
TM波
TE波
2次元FDTD法話を簡単にするため、波源も物体の構造もz軸方向に変化がないとして、これを2次元問題として取り扱う。電磁波をx, yの2次元で考える場合、以下の2
種類に分かれる。
Ez, Hx, Hy成分のみを持ちHz = 0のTransvers Magnetic mode（TM波） Ex, Ey, Hz成分のみを持ちEz = 0のTransvers Electric mode（TE波）
Ez
Hx
Hy
(i, j) (i+1, j)
(i, j+1) (i+1, j+1)
TM波
(i, j+1/2)
(i+1/2, j)
HzEy
Ex
(i, j) (i+1, j)
(i, j+1) (i+1, j+1)
TE波
(i, j+1/2)
(i+1/2, j)
(i+1/2, j+1/2)
2次元TM_FDTD法2次元TM波の差分式の導出。3次元も同様の議論で導出可能。
Δx
EEΔtHH
Δy
EEΔtHH
Δt
ΔtJ
Δy
HH
Δx
HH
Δt
ΔtE
Δt
Δt
E
Δx
EE
Δt
HH
Δy
EE
Δt
HH
JEE
Δy
HH
Δx
HH
Δt
EE
x
E
t
H
y
E
t
H
JE
y
H
x
H
t
E
n
jiz
n
jizn
jiy
n
jiy
n
jiz
n
jiz
xx
ext
z
n
jix
n
jix
n
jiy
n
jiy
n
jiz
n
jiz
n
jiz
n
jiz
n
jiy
n
jiy
n
jiz
n
jizxx
ext
z
n
jiz
n
jiz
n
jix
n
jix
n
jiy
n
jiyn
jiz
n
jiz
zy
zx
ext
zz
xyz
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
,,12
1
,2
12
1
,2
1
,1,
2
1
2
1,
2
1
2
1,
2
1
.2
12
1
.2
1
1
,,
,,1
2
1
,2
12
1
,2
1
,1,
1
,,
2
1
2
1,
2
1
2
1,
2
1
.2
12
1
.2
11
,,
2
1
2
1,
2
1
2
1,
2
1
2
1,
2
1
2
1,
21
21
21
21
1
1
2
1
1
1
1
Ez
Hx
Hy
(i, j) (i+1, j)
(i, j+1) (i+1, j+1)
TM波
(i, j+1/2)
(i+1/2, j)
2次元TE_FDTD法2次元TE波の差分式の導出。3次元も同様の議論で導出可能。
HzEy
Ex
(i, j) (i+1, j)
(i, j+1) (i+1, j+1)
TE波
(i, j+1/2)
(i+1/2, j)
(i+1/2, j+1/2)
Δy
EE
Δx
EEΔt
HH
Δt
ΔtJ
Δx
HH
Δt
ΔtE
Δt
Δt
E
Δt
ΔtJ
Δy
HH
Δt
ΔtE
Δt
Δt
E
Δy
EE
Δx
EE
Δt
HH
J
Δx
HHEE
Δt
EE
J
Δy
HHEE
Δt
EE
y
E
x
E
t
H
J
x
HE
t
E
J
y
HE
t
E
n
jix
n
jix
n
jiy
n
jiyn
jiz
n
jiz
ext
y
n
jiz
n
jiz
n
jiy
n
jiy
ext
x
n
jiz
n
jiz
n
jix
n
jix
n
jix
n
jix
n
jiy
n
jiy
n
jiz
n
jiz
ext
y
n
jiz
n
jiz
n
jiy
n
jiy
n
jiy
n
jiy
ext
x
n
jiz
n
jiz
n
jix
n
jix
n
jix
n
jix
xyz
ext
yzy
y
ext
xzx
x
,2
11,
2
1
2
1,
2
1,1
2
1
2
1,
2
12
1
2
1,
2
1
2
1
2
1,
2
12
1
2
1,
2
1
1
2
1,
2
1,
2
1
2
1,
2
12
1
2
1,
2
1
1
,2
1,
2
1
,2
11,
2
1
2
1,
2
1,1
2
1
2
1,
2
12
1
2
1,
2
1
2
1
2
1,
2
12
1
2
1,
2
11
2
1,
2
1,
1
2
1,
2
1,
2
1
2
1,
2
12
1
2
1,
2
1
1
,2
1,
2
1
1
,2
1,
2
1
21
21
21
21
21
21
21
21
1
1
2
1
2
1
1
1
入射波源電磁波の入射波源として、電流源や磁流源を用いる場合がある（独立磁荷は存在しないので、磁流は存在しない。あくまで仮想的な量）。
extn
nn
ext
Δt
Δt
Δt
Δt
Δt
Δt
t
JHEE
JHE
E
21
21
21
21
1
2
1
1ext
m
nnn
ext
m
ΔtΔt
t
JEHH
JEH
2
1
2
1
1
平面波を入射させることによっても波を立たせることが可能。
x
y
z
inc
zH
incE
yxr ˆsinˆcosˆ000
0̂r
0
00
000
00
0
0
ˆˆcosˆsin,
ˆ,
tc
rtpyxEt
tc
rtp
Z
EtH
inc
inc
z
rrE
rr
p(t)はサインやコサイン、expなどの任意の関数
吸収境界条件
波源
x
y
z
• FDTD法で開放領域の問題を扱う場合には、解析領域外へ伝播していく電磁波の取り扱いに注意。
• 解析領域から外へ伝播していく波は、境界で反射せずにそのまま消え去っていくように設定したい場合、境界に吸収境界条件を与える必要がある。
• あらかじめ境界を波源から十分に離しておいて、境界での波の反射が起こる前（もしくは波が戻ってくる前）に計算を終わらせる方法もあるが、解析領域を無駄に広く取る必要がある。
• 吸収境界が十分でないと、反射波が解析領域内に戻り、誤差の原因となる。
×○
吸収境界
解析領域
Perfectly Matched Layer（PML）
解析領域の外に余分に数～１０数cellを取り、そこで波を吸収させる方法。最も有効な吸収境界条件の一つ。
x
y
zPML層解析領域内
Hz
Ey
ε0, μ0 ε0, μ0
σ, σ*
真空中の波動インピーダンスZ0と媒質中の波動インピーダンスZは、
j
jZZ
0
*
0
0
00 ,
なので、インピーダンスのマッチング条件Z0 = Zより、
0
*
0
を満たせば周波数に無関係に反射係数はゼロになり、電磁波は反射無しで媒質へ浸透する。しかもσ, σ*を十分大きく取ればすぐに減衰する。このような媒質で解析領域を囲めばよい。 σ*は導磁率であり、これも現実にはない仮想的な値。
PMLの基本概念
PML吸収層内部の支配方程式（2次元TE）PML層に対して斜めに入射してくる波に対応するために、伝播する波をx方向とy方向にそれぞれ分けて考える必要があり、それぞれに新たな導電率σx, σy, 導磁率σx
*, σy*を導入す
るので、PMLは非物理（人工）的であり、Maxwell方程式は成立しない。
y
EH
t
H
y
HHE
t
E
x
HHE
t
E
x
EH
t
H
xzyy
zy
zyzx
xyx
zyzx
yx
y
y
zxxzx
*
*
（x方向に進む平面波）
（y方向に進む平面波）
zyzxz HHH
波源
x
y
z 吸収境界
解析領域
σx, σx* = 0
σx, σx* = 0
σy,
σy*
= 0
σy,
σy*
= 0
xx
PML
M
PML
PML
PML
M
PML
PML
x
ΔxLnxmaxxΔxL
ΔxLnxmaxx
ΔxLxΔxL
xΔxL
*
max
max
0 （解析領域内）
PML層の数
x方向の格子点数
σy, σy*はy方向に上記と同様。
数値安定性を保つためのCFL条件
FDTD法は陽解法なので、Δtの取り方に以下の制限がある。
222
22
111
1
11
1
ΔzΔyΔxc
Δt
ΔyΔxc
Δt
c
ΔxΔt1次元計算
2次元計算
3次元計算
FDTD法の数値分散性（1/2）
Δx
EE
Δt
HH
Δx
HH
Δt
EE
x
E
t
H
x
H
t
E
n
iy
n
iy
n
iz
n
iz
n
iz
n
izn
iy
n
iy
yz
zy
1
2
1
2
12
1
2
1
2
1
2
12
1
2
11
1
1
1
1
この時、以下に示される解を上記の2つの差分式に代入する。
ΔxikΔtnjn
iz
ΔxkiΔtnjn
iy
eHH
eEE
2
1
2
1
02
1
2
1
1
0
1
2sin
2sin
2sin
2sin
00
00
xkΔ
Δx
EΔt
Δt
H
xkΔ
Δx
HΔt
Δt
E
最後に両辺をそれぞれ乗算して、以下の式を得る。
22
2sin
1
2sin
1
xkΔ
Δx
Δt
tcΔ
この式は時空間分割ΔtとΔxが与えられた時の角周波数ωと波数kの関係を表し、ω = ckからの差が離散的な数値解析における誤差（数値分散誤差）を示す。
FDTD法は時空間を2次精度中心差分で近似しているが、FDTD法を用いる際にどの程度の数値誤差が含まれているかを事前に知っておくことは重要。
FDTD法の数値分散性（2/2）
kΔx
ωΔt
22
2sin
1
2sin
1
xkΔ
Δx
Δt
tcΔ
c
ΔxΔt 95.0
c
ΔxΔt 8.0
数値分散誤差ck真空中を伝わる電磁波
の分散関係
FDTD法では時間ステップを細かくしても精度は向上しない。
一方で、空間格子は（解くべき波の波長に対して）細かくするほどよく、概ねΔx = λ/20程度で誤差1%程度となる。
2
x
4
x
8
x に相当
c
ΔxΔt ＣＦＬ条件
FDTD法のアルゴリズムの流れ
初期条件の設定
Start
解析領域内の電場のupdate（n-1 ⇒ n）（& PML吸収層内の電場のupdate ）
解析領域内の磁場のupdate（n-1/2 ⇒ n+1/2）（& PML吸収層内の磁場のupdate ）
データファイルの出力
End
波源の計算
Mainloop解析領域内にある（完全）導体の境界条件の設定
FDTD法による電磁波解析例
電磁波の回折ホイヘンスの原理により、波は障害物の陰に回りこんで進んでいくという性質がある（波の回折）。周波数が高い（波長が短い）ほど、回り込む度合いが小さい。※携帯電話のプラチナバンド（800MHz）
[m] [m] [m]
[m]
[m]
[m]
f = 750MHz f = 1.5GHz f = 3GHz
電磁波の回折ホイヘンスの原理により、波は障害物の陰に回りこんで進んでいくという性質がある（波の回折）。周波数が高い（波長が短い）ほど、回り込む度合いが小さい。※携帯電話のプラチナバンド（800MHz）
[m] [m] [m]
[m]
[m]
[m]
f = 750MHz f = 1.5GHz f = 3GHz
x x x
y y y
ダイポールアンテナケーブルの先（給電点）に2本の直線状の導線（エレメント）を左右対称につけたアンテナであり、最も構造が簡単なアンテナである。原理上の各エレメントの長さは1/4波長（全体で1/2波長）。
FDTD法におけるダイポールアンテナのモデル化
給電点
f = 1.0GHz
ダイポールアンテナケーブルの先（給電点）に2本の直線状の導線（エレメント）を左右対称につけたアンテナであり、最も構造が簡単なアンテナである。原理上の各エレメントの長さは1/4波長（全体で1/2波長）。
FDTD法におけるダイポールアンテナのモデル化
給電点
f = 1.0GHz
[m]
[m]
x
y
八木・宇田アンテナ素子の数により調整できる指向性アンテナであり、一番後に反射器（リフレクタ）、その前に輻射器（給電する部品。ラジエータ）、その前に導波器（ディレクタ）の素子（エレメント）を並べた構造になっている。
5素子（輻射器・反射器・導波器3つ）2素子（輻射器・反射器のみ）
八木・宇田アンテナ素子の数により調整できる指向性アンテナであり、一番後に反射器（リフレクタ）、その前に輻射器（給電する部品。ラジエータ）、その前に導波器（ディレクタ）の素子（エレメント）を並べた構造になっている。
5素子（輻射器・反射器・導波器3つ）2素子（輻射器・反射器のみ）
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