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Diskrete Strukturen Marcel Ern´ e Leibniz Universit¨ at Hannover Fakult¨ at f¨ ur Mathematik und Physik Vorlesung ur Studierende des Bachelor-Studienganges Angewandte Informatik Sommersemester 2010 3. Graphentheorie 1
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Diskrete Strukturen - IAZDerne/strukturen2/dateien/skript/Diskret_10_3a.pdf · Diskrete Strukturen Marcel Ern e Leibniz Universit at Hannover Fakult at f ur Mathematik und Physik

Aug 17, 2019

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  • Diskrete StrukturenMarcel Erné

    Leibniz Universität HannoverFakultät für Mathematik und Physik

    Vorlesungfür

    Studierende des Bachelor-StudiengangesAngewandte InformatikSommersemester 2010

    3. Graphentheorie

    1

  • Inhaltsverzeichnis

    3 Graphentheorie 33.1 Isomorphie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.2 Eulersche und Hamiltonsche Wege . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3 Bäume und Wälder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.4 Mehrfacher Zusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    2

  • 3 Graphentheorie

    In diesem Kapitel widmen wir uns einigen elementaren, aber reizvollen Themenaus der Theorie der (schlichten) Graphen, also der irreflexiven und symmetri-schen Digraphen (X,S). Die Relation S ist hier eindeutig durch die Menge

    ES = {xy = {x, y} | xS y}der Kanten (edges) festgelegt, und umgekehrt gibt es zu jeder Teilmenge E von

    P2X = {xy | x, y ∈ X,x 6= y} = {Y ⊆X | |Y | = 2},der Menge aller zweielementigen Teilmengen vonX, genau einen Graphen (X,S)mit E = ES , nämlich denjenigen mit der irreflexiven und symmetrischen Rela-tion S = {(x, y) | xy ∈ E}. Deshalb werden wir der gängigen Konvention folgen,auch die Paare (X,E) mit E ⊆ P2X Graphen zu nennen.

    Wie der Name schon sagt, lassen sich zumindest alle endlichen Graphen leichtgraphisch veranschaulichen, indem man die Ecken oder Knoten (vertices), alsodie Elemente der Grundmenge X, durch Punkte oder kleine Kreise in der Ebe-ne darstellt und je zwei solche durch eine Linie (Kante) verbindet, wenn dieentsprechenden Ecken des Graphen eine Kante xy bilden. Man sagt in die-sem Fall: x und y inzidieren mit der Kante xy, oder x und y sind adjazent(die deutsche Übersetzung “benachbart” vermeiden wir, um Verwechslungenmit dem gleichlautenden ordnungstheoretischen Begriff auszuschließen). Im FallX = {x1, ..., xm} ist die zugehörige (symmetrische!) Inzidenz- oder Adjazenz-matrix A = (aij) ∈ {0, 1}m×m gegeben durch

    aij = 1 ⇔ xixj ∈ E.Beachten Sie, dass in der Graphentheorie die gezeichneten Darstellungen eineandere Bedeutung haben als in der Ordnungstheorie: Während dort nur aufstei-gende Kanten vorkommen und stets als von unten nach oben gerichtet angese-hen werden, haben Kanten in der Graphentheorie keine Orientierung, könnenalso stets “in beiden Richtungen (und auch waagerecht) durchlaufen” werden.Trotzdem bestehen enge Verbindungen zwischen beiden Theorien: Indem manPfeilspitzen wegläßt, also die entsprechende Relation symmetrisiert, erhält man

    (1) zu jeder geordneten Menge (X,v)(2) den Vergleichbarkeitsgraphen (X,@s) mit x@s y ⇔ x @ y oder y @ x,(3) den Unvergleichbarkeitsgraphen (X,vcs) mit xvcs y ⇔ x 6v y und y 6v x,(4) den Nachbarschaftsgraphen (X,@∨s) mit x @∨s y ⇔ x@∨y oder y@∨x.

    Beispiel 3.1 Die geordnete Menge der Teiler von 12 und ihre Graphen

    s1s3s6 s2 s4s12

    JJ]JJ]JJ]

    JJ]JJ 6

    6���*

    ���

    ������

    (1)

    c1c3c6 c2 c4c12

    JJ

    JJ

    JJ

    JJJJ���

    ���

    �����

    (2)

    c1c3c6 c2 c4c12

    ���

    (3)

    c1c3c6 c2 c4c12

    JJ

    JJ

    JJ

    (4)

    3

  • 3.1 Isomorphie

    Von essentieller Bedeutung in der Graphentheorie (und überhaupt in allen struk-turellen Untersuchungen) ist die Möglichkeit zu entscheiden, wann zwei Struk-turen “im wesentlichen gleich” sind, d.h. durch geeignete Umbenennung ihrerElemente auseinander hervorgehen. Hierzu braucht man den Begriff der Isomor-phie (Gleichgestaltigkeit), den wir in Kapitel 1 schon kennengelernt haben.

    Es seien zwei Digraphen (X,R) und (X ′, R′) gegeben. Dann heißt eine Ab-bildung ϕ : X −→X ′

    • inzidenz-erhaltend, falls xR y ⇒ ϕ(x)R′ ϕ(y)• inzidenz-reflektierend, falls xR y ⇐ ϕ(x)R′ ϕ(y)• Quasi-Einbettung, falls xR y ⇔ ϕ(x)R′ ϕ(y)

    für alle x, y ∈ X gilt. Eine Einbettung ist eine injektive Quasi-Einbettung, undein Isomorphismus eine bijektive Einbettung. Entsprechend ist ein Isomorphis-mus zwischen Graphen (X,E) und (X ′, E′) eine Bijektion ϕ :X −→X ′ mit

    xy ∈ E ⇔ ϕ(x)ϕ(y) ∈ E′.

    Die Bezeichnungen

    ϕ+(R) = {(ϕ(x), ϕ(y)) | xR y} und ϕ−(R′) = {(x, y) ∈ X×X | ϕ(x)R′ϕ(y)}erlauben folgende kurze Charakterisierungen der obigen Eigenschaften:

    ϕ ist inzidenz-erhaltend ⇔ R ⊆ ϕ−(R′) ⇔ ϕ+(R) ⊆ R′ϕ ist inzidenz-reflektierend ⇔ R ⊇ ϕ−(R′)ϕ ist eine Quasi-Einbettung ⇔ R = ϕ−(R′)ϕ ist eine Einbettung ⇔ R = ϕ−(R′) und ϕ ist injektivϕ ist ein Isomorphismus ⇔ R = ϕ−(R′) und ϕ ist bijektiv.

    Beispiel 3.2 Zwei nicht-isomorphe geordnete MengenWir betrachten die Menge X = {1, 2, 3, 6}, einmal mit der Teilbarkeitsrelation| und einmal mit der gewöhnlichen linearen Ordnung ≤; so erhalten wir zweigeordnete Mengen G = (X, |) und G′ = (X,≤). Die Identität idX ist dann– inzidenz-erhaltend, aber nicht -reflektierend als Abbildung von G nach G′,

    – inzidenz-reflektierend, aber nicht -erhaltend als Abbildung von G′ nach G,

    denn es gilt x |y ⇒ x ≤ y für beliebige natürliche Zahlen x, y, während dieUmkehrung x ≤ y ⇒ x |y für x = 2 und y = 3 falsch ist.

    c1

    c3 c6

    c2

    JJ

    JJG

    c1c2c3c6

    ����:

    ����1

    PPPPq

    PPPqG′

    Beachten Sie, dass es keine inzidenz-erhaltende Bijektion zwischen den bei-den Diagrammen (aufgefaßt als Nachbarschaftsgraphen) gibt!

    4

  • Ein Graph T ist Teilgraph eines Graphen G, wenn sowohl seine Eckenmengeals auch seine Kantenmenge in der von G enthalten ist. Das bedeutet nichtsanderes, als dass die Inklusionsabbildung von T in G (die jede Ecke auf sichselbst abbildet) die Inzidenz erhält. Ist sie sogar eine Einbettung, so sprichtman von einem induzierten (Teil-)Graphen. Analog bildet man für Digraphen(X,R) und Teilmengen Y ⊆ X die von R auf Y induzierte Relation

    R|Y = R ∩ (Y ×Y )und nennt G |Y = (Y,R|Y ) einen induzierten Digraphen. Für einen GraphenG = (X,E) und eine Eckenmenge Y ⊆ X wird der auf X \ Y induzierte ”Rest-graph” mit G−Y bezeichnet. Entsprechend bezeichnet man für eine Kanten-menge K ⊆ E den Graphen (X,E \K) mit G−K.

    Beispiel 3.3 Einige Teilgraphen des vollständigen Graphen mit 5 Ecken

    cc ccc

    CC

    ��

    ���Z

    ZZ�� QQ

    ���

    BBB cc ccc���ZZZ�� QQ

    ���

    BBB

    (a)cc ccCC �����ZZZ(b)cc ccCC �����(c)c cc���

    BBB

    (d)

    c c(e)cc ccc

    CC

    ��

    ���ZZZ�� QQ

    (f)

    (a) Gleiche Eckenmenge, nicht induziert.(b) Verschiedene Eckenmenge, induziert.(c) Teilgraph, verschiedene Eckenmenge, nicht induziert.(d) eingebettet in (a), (b), (c), aber kein Teilgraph von (a), (b) oder (c).(e) Restgraph nach Entfernen der Knoten aus (d).(f) Restgraph nach Entfernen der Kanten aus (d).

    Viele wichtige Eigenschaften von Graphen lassen sich durch Existenz oderAusschluss bestimmter Teilgraphen charakterisieren. Spezielle induzierte Teil-graphen sind die sogenannten n-Ecke. Das sind die induzierten Teilgraphen mitn Ecken, die einen Zykel bilden. Ein Nachbarschaftsgraph ist stets “dreiecks-frei”, d.h. er enthält keine Dreiecke als Teilgraphen. Kein Vergleichbarkeitsgraphenthält ein induziertes n-Eck mit einer ungeraden Kantenzahl n > 3. (Warum?)

    Im Folgenden darf jeweils das Wort “Graph” durch “Digraph” ersetzt wer-den. Zwei Graphen G und G′ heißen isomorph, in Zeichen G ' G′, falls einIsomorphismus zwischen ihnen existiert. Dies liefert ein Äquivalenzrelation aufjeder Menge von Graphen; denn die Verknüpfung zweier Isomorphismen unddie zu einem Isomorphismus inverse Abbildung sind wieder Isomorphismen. DieIsomorphieklassen oder speziell ausgewählte Vertreter dieser Klassen nennt manauch Isomorphietypen.

    Unter einer Symmetrie oder einem Automorphismus eines Graphen G vestehtman einen Isomorphismus zwischen G und sich selbst. Jeder Graph besitzt einentrivialen Automorphismus, nämlich die Identität idX . Die Automorphismen ei-nes festen Graphen G bilden aus dem gleichen Grund wie oben eine Gruppe,die Symmetriegruppe S(G). Offenbar besitzt ein Graph G = (X,E) stets genaudie gleichen Symmetrien wir der komplementäre Graph

    G = (X,P2X \ E).

    5

  • Da die Summe der beiden Kantenzahlen von G und G bei m Ecken m(m−1)/2ergibt, kann ein Graph nur dann zu seinem Komplement isomorph sein, wennseine Kantenzahl m(m−1)/4 beträgt; das ist natürlich nur dann möglich, wennm(m− 1)/2 gerade ist, also z.B. nicht für m = 10.

    Bei der strukturellen Untersuchung eines Graphen G interessieren natur-gemäß zwei Zahlen:

    (1) die Anzahl a(G) der Automorphismen (Symmetrien) von G,

    (2) die Anzahl i(G) der zu G isomorphen Graphen mit gleicher Eckenmenge.

    Nach Satz 1.12 kann man jede dieser beiden Zahlen sofort aus der anderenberechnen:

    Satz 3.4 Für jeden endlichen (Di-)Graphen G mit m Ecken gilt

    m! = a(G)i(G).

    Wieviele Graphen gibt es auf einer festen Menge von m Ecken? Genau soviele, wie es Teilmengen von P2m gibt, also

    212 m(m−1).

    Eine erheblich schwierigere Frage ist, wieviele Isomorphietypen von Graphen mitm Ecken es gibt. Wir können diese Anzahl g(m) hier nicht allgemein berechnen,notieren aber die ersten Werte:

    m 1 2 3 4 5 6g(m) 1 2 4 11 34 156

    Für m = 1, 2, 3 sieht man das sofort, und für m = 4 und 5 stellen wir in Kürzeeine komplette Liste der Isomorphietypen auf.

    Aufgrund von Satz 3.4 gilt allgemein

    212 m(m−1)/m! ≤ g(m) ≤ 2 12 m(m−1),

    und obwohl m! schnell zu riesigen Zahlen anwächst, sind diese im Verhältnis zuden Zahlen 2m(m−1)/2 aller Graphen mit m Ecken doch verschwindend klein:

    log2(m!) =∑m

    k=1 log2(k) ≤ m log2(m)

    212 m

    2(1− 1m−2 log2 m

    m ) ≤ 2 12 m(m−1)/m! ≤ g(m) ≤ 2 12 m2(1− 1m ),log2 g(m) ≈ 12m

    2(1− 1m ), und2 log2 m

    m geht ebenso wie1m gegen 0.

    Zwei endliche Graphen sind genau dann zueinander isomorph, wenn sie eineübereinstimmende graphische Darstellung (eventuell mit unterschiedlicher Be-schriftung der Knoten) besitzen. Es ist aber keineswegs immer einfach, von zweiGraphen anhand gegebener Zeichnungen festzustellen, ob sie isomorph sind –denn ein Graph kann sehr verschieden aussehende Darstellungen besitzen.

    Beispiel 3.5 Isomorph oder nicht?Von den nachfolgend skizzierten sechs Graphen mit jeweils 10 Knoten sind keinezwei in einer Reihe zueinander isomorph, während je zwei Diagramme in einerSpalte erstaunlicherweise den gleichen Graphen darstellen!

    6

  • cc cccccccc���Z

    ZZ���

    BBB

    BBBB

    ����

    ���

    QQQ

    P �

    A�cc cccccccc

    BB

    ��

    ���

    BBB

    BBBB

    ����

    ���

    QQQ

    P �

    A�cc cccccccc

    BB

    ��

    �� QQ

    BBBB

    ����

    ���

    QQQ

    P �

    A�

    c cc cc cc ccc

    AAA

    ���

    ���

    AAA

    """b

    bb

    """

    bbb

    "" bb c cc cc cc ccc

    AAA

    ���

    ���

    AAA"

    ""b

    bb

    "" bb c cc cc cc cAAA

    ���

    ���

    AAAcc

    ""

    ""TT TTT

    Die beiden Bilder in der ersten Spalte zeigen den Petersen-Graph (P2M,E) mit{x, y} ∈ E ⇔ x ∩ y = ∅ für eine fünfelementige Menge M . Hier ist P2M dieEckenmenge, nicht die Kantenmenge!

    Einer von mehreren Isomorphismen zwischen den beiden Petersen-Graphenin Beispiel 3.5 klappt die waagerechte Kante des Drudenfußes nach oben undvertauscht seine beiden “Fußpunkte”. Bei den beiden mittleren Graphen mussman nur die obere waagerechte Kante verschieben. Im dritten Fall (rechts) bildetman das Außenfünfeck im oberen Graphen auf das linke und das Innenfünfeckauf das rechte im unteren Graphen ab (oder umgekehrt).

    Sehr mühsam kann der Nachweis werden, dass zwei gegebene Graphen nichtisomorph sind, denn ohne schlaue Ideen müsste man bei m Ecken im Prinzip m!Bijektionen testen. Glücklicherweise gibt es aber eine Vielzahl von sogenanntenInvarianten, die bei Isomorphie übertragen werden. Erweist sich eine dieserInvarianten für zwei vorgegebene Graphen als verschieden, so ist man sicher, dassdiese nicht isomorph sein können – ohne eine einzige Bijektion auszuprobieren!

    Die zwei offensichtlichsten Invarianten sind die Eckenzahl und die Kanten-zahl; denn ein Isomorphismus ϕ zwischen zwei Graphen (X,E) und (X ′, E′)liefert nicht nur eine Bijektion zwischen den Ecken, sondern wegen ϕ+(E) = E′

    auch eine zwischen den Kanten. Die Komponentenzahl ist eine weitere Invarian-te, da ein Isomorphismus ϕ jeden Weg zwischen x und y auf einen Weg zwischenϕ(x) und ϕ(y) abbildet. Daß diese Zahlen noch nicht sehr weit helfen, zeigendie Graphen in 3.5 (alle haben 10 Ecken, 15 Kanten und eine Komponente).

    Eine sehr viel feinere Invariante liefert die sogenannte Gradfolge. Die Zahlder zu einer Ecke x in einem Graphen G adjazenten Ecken nennt man Gradoder Valenz von x und bezeichnet sie mit d(x) oder genauer mit dG(x). Beieiner Ecke x eines Digraphen (X,R) unterscheidet man zwischen der positivenValenz (Anzahl der “hinauslaufenden Pfeile”) d+(x) = |{y : xR y}| und dernegativen Valenz (Anzahl der “hineinlaufenden Pfeile”) d−(x) = |{y : yR x}|.

    Die Gradfolge eines endlichen Graphen ist, wie der Name sagt, die Folge dereinzelnen Eckengrade (eventuell mit Wiederholungen), meist in aufsteigenderReihenfolge. Da Isomorphismen die Adjazenz übertragen, müssen isomorpheGraphen identische Gradfolgen haben. Bei weniger als 5 Ecken kann man anhandder Gradfolgen entscheiden, ob zwei Graphen isomorph sind oder nicht. Dienächste Seite zeigt alle Isomorphietypen von Graphen mit 4 oder 5 Ecken.

    7

  • cc cc 00000

    24

    cc cc��@@ 63333

    cc cc 10011

    4

    cc cc��@@ 52233

    cc cc 20112

    2

    cc cc��@@ 41223

    cc cc 21111

    8

    cc cc��@@ 42222

    cc cc@@ 30222

    6

    cc cc�� 31113

    cc cc 31122 2

    Kantenzahl

    Gradfolge

    Automorphismen

    cc ccc

    0

    00000120

    LLL

    cc ccc

    CC

    ��

    ���Z

    ZZ�� QQ

    ���

    BBB

    10

    44444

    cc ccc

    ��1

    0001112

    LLL

    PPPPPPP

    cc ccc

    CC

    ��

    ���Z

    ZZQQ

    ���

    BBB

    9

    33444

    cc ccc��

    ��2

    011118

    cc ccc

    CC���Z

    ZZQQ

    ���

    BBB

    8

    33334

    ����

    cc ccc

    �� QQ2

    001124

    cc ccc

    CC

    ��

    ���ZZZ���

    BBB

    8

    23344!!!!!!!

    ���

    BBB

    cc ccc��

    �� QQ3

    011222

    cc ccc

    CC���Z

    ZZ���

    BBB

    7

    22334

    ���

    BBB

    aaaaaaaa

    cc ccc

    �� QQ3

    111124

    cc ccc

    CC

    ��

    ���Z

    ZZ���

    BBB

    7

    23333!!!!!!!!

    aaaaaaaa

    cc ccc

    �� QQ3

    0022212

    cc ccc

    CC

    ��

    ���ZZZ���

    BBB

    7

    22244

    ���

    BBB

    cc ccc

    �� QQ

    ���

    3

    011136

    cc ccc

    CC

    ��

    ���ZZZBBB

    7

    13334!!!!!!!

    ���

    BBB

    cc ccc��

    �� QQ4

    112222

    cc ccc

    CC���Z

    ZZ���

    BBB

    6

    22233

    BBBB

    cc ccc

    �� QQ

    ��

    ZZZ 4

    022228

    cc ccc

    CC���

    ���

    BBB

    6

    22224

    AAA

    ``````````````̀

    cc ccc

    ��

    ��

    QQ4

    012232

    cc ccc

    CC���Z

    ZZ���

    BBB

    6

    12234

    AAA

    ���

    PPPPPPPPP

    cc ccc

    �� QQ

    ���

    �� 4

    111232

    cc ccc

    CC���ZZZBBB

    6

    12333!!!!!!!!

    ���

    cc ccc

    �� QQ4

    1122212

    cc ccc

    CC

    ��

    ���ZZZ���

    BBB

    6

    22233

    ���

    cc ccc

    �� QQ

    ���

    BBB

    4

    1111424

    cc ccc

    CC

    ��

    ���Z

    ZZ 6

    03333

    cc ccc

    CC

    ��

    �� QQ5

    22222 10cc ccc

    CC

    ��

    �� QQ5

    11233 2cc ccc

    CC

    ��

    QQ5

    12223 2cc ccc���Z

    ZZ��

    ���

    BBB

    5

    12223cc ccc

    CC

    ��

    ��� 5

    02233 4cc cccZZZ�� QQ

    ���

    BBB

    5

    11224

    8

  • In den beiden Diagrammen ist jeweils ein Paar komplementärer Graphenzu einem “Dominostein” verbunden. Dazu haben wir Kantenzahl, Gradfolgeund die Anzahl a der Symmetrien (Automorphismen) notiert. Im unterenDiagramm der fünfeckigen Graphen bedeuten die Verbindungskanten zwischenden einzelnen Dominosteinen, dass die jeweilige obere Hälfte des höheren Stei-nes in die des tieferen einbettbar ist, während es sich bei den unteren (kom-plementären) Hälften natürlich gerade umgekehrt verhält. Nur der viereckigeGraph in der rechten oberen Ecke und die beiden fünfeckigen Graphen in derlinken unteren Ecke sind zu ihrem eigenen Komplement isomorph!

    Aus unserer Liste der Graphen mit 5 Ecken entnehmen wir, dass auch dieGradfolgen nicht ausreichen, um nicht-isomorphe Graphen stets zu unterschei-den: Der vorletzte Dominostein in der Liste zeigt zwei nicht-isomorphe, zusam-menhängende und zueinander komplementäre Graphen mit 5 Ecken und gleicherGradfolge. Die einzigen weiteren Beispiele von Gradfolgen, zu denen zwei nicht-isomorphe Graphen mit 5 Ecken gehören, sind (1, 1, 2, 2, 2) in der drittletztenZeile des Diagramms und (2, 2, 2, 3, 3) in der vorletzten Zeile des Diagramms.

    Weitere Invarianten sind die Vieleckfolgen (z1, ..., zm), wobei zn die Anzahlder n-Ecke des gegebenen Graphen ist. Speziell ist z1 die Zahl der Ecken, z2die der Kanten und z3 die der Dreiecke. Auch hierin unterscheiden sich die zweikomplementären Graphen im mittleren Dominostein der untersten Reihe: DieVielecksfolgen lauten (5, 5, 0, 1, 0) und (5, 5, 1, 0, 0), da der linke Graph ein Vier-eck, aber kein Dreieck enthält, während es bei dem rechten gerade umgekehrtist. An der Anzahl der Vierecke kann man auch die Nicht-Isomorphie der dreioberen Graphen auf Seite 7 (mit gleichvielen Ecken, Kanten und konstanterGradfolge (3,3,...)!) ablesen.

    Ein Graph ohne nicht-triviale Symmetrien heißt asymmetrisch oder starr.Gibt es überhaupt solche Graphen? Nach Definition ist jeder einpunktige Graphtrivialerweise starr, aber die Listen der Graphen mit 4 oder 5 Ecken halten ei-ne weitere kleine Überraschung bereit: Außer den einpunktigen Graphen gibtkeinen einzigen starren Graphen mit weniger als 6 Ecken. Darf man darausschließen, dass starre Graphen eine Rarität sind? Nein, im Gegenteil! Mit Me-thoden, die wir hier nicht erläutern können, läßt sich zeigen, dass der Anteil derstarren Graphen mit m Ecken bei wachsendem m sogar gegen 1 geht, also “fastalle” Graphen starr sind – getreu dem Motto von Donald Knuth:

    Don’t trust in small numbers!

    Beispiel 3.6 Ein starrer Graph

    cccc cccc cccc cccc cccc cccc cccc cccc cccc cccc cccc cccc cc

    9

  • 3.2 Eulersche und Hamiltonsche Wege

    Als älteste Aufgabe der Graphentheorie gilt das von Leonhard Euler stammende

    Königsberger Brückenproblem

    Gibt es einen Rundweg durch die Stadt Königsberg, bei dem man jede Brückegenau einmal besucht? (“ Über sieben Brücken musst du geh’n ...”)

    ��

    ����

    A

    B

    C

    D

    (1)

    ���

    @@@BB

    ��

    BB��

    ��BB

    ��BB

    cAcBcCcD(2)

    ���

    @@@BB

    ��

    BB��

    ��BB

    ��BB

    cAcBcCcDrrrr

    (3)

    Bei graphentheoretischer Reduktion dieses Problems “auf das Wesentliche” bie-ten sich die vier Stadtteile A,B,C,D als Knoten und die sieben Brücken alsKanten an. Es ergibt sich das vereinfachte Diagramm (2). Allerdings haben wires hier offenbar mit Mehrfachkanten, also mit keinem schlichten Graphen zutun. Das spielt aber bei der Lösung des Problems keine Rolle: Indem wir aufjede Mehrfachkante (oder sogar auf jede Kante) einen weiteren Knoten setzen,entsteht ein schlichter Graph (3). Nach einigem Probieren kommt man zu derÜberzeugung, dass es dennoch keine positive Lösung gibt: Stets bleibt man nachein paar Schritten in einem Stadtteil stecken, weil keine weiteren Brücken zurVerfügung stehen, um diesen wieder zu verlassen. Wir fragen daher:

    Wieviele zusätzliche Brücken müsste man bauen, um einen “Eulerschen Rund-weg” zu ermöglichen?

    Es ist naheliegend, dass an jeden Stadtteil eine gerade Anzahl von Brückenanschließen muss, damit man diesen stets wieder verlassen kann, nachdem mandort gelandet ist. Also bauen wir zwei weitere Brücken:

    ��

    ����

    A

    B

    C

    D

    � �� �� �

    ��

    � ��� �

    � � (4) ���

    @@@BB

    ��

    BB��

    ��BB

    ��BB

    cAcBc

    C

    cD(5)

    1 PP��6

    5

    7

    4

    @@@

    ���

    2 3

    9 8

    Und jetzt ist ein Rundweg schnell gefunden. Würden wir auf eine der beidenzusätzlichen Brücken 1 oder 6 verzichten, so bliebe immerhin noch ein Wegzwischen zwei Endpunkten, bei dem alle Brücken einmal besucht werden.

    10

  • Zur allgemeinen Formulierung und Lösung des zuvor beschriebenen Pro-blems nennt man eine Folge K = (x0x1, x1x2, ..., xn−1xn) von paarweise ver-schiedenen Kanten eines Graphen G = (X,E), wobei jeweils die nächste mitder vorherigen einen Endpunkt gemeinsam hat, einen Kantenzug. Eine Folge(x0, ..., xn) von Ecken heißt Eulerscher Weg , falls K = (x0x1, x1x2, ..., xn−1xn)ein Kantenzug mit E = {xi−1xi | i ∈ n} ist, also alle Kanten des Graphen ge-nau einmal “durchlaufen” werden (Ecken dürfen mehrfach besucht werden). DerWeg ist offen, falls x0 6= xn. Gilt hingegen x0 = xn, so spricht man von einemEulerschen Rundweg oder einer Euler-Tour des Graphen G.

    Beispiel 3.7 Das Haus vom Nikolausist das bekannteste Beispiel eines Graphen, der mehrere Eulersche Wege, aberkeinen Eulerschen Rundweg besitzt.

    ca

    cec

    b cdcc���

    @@@

    @@��

    a e

    b d

    c

    ���

    @@@

    @@

    ��

    Jeder Euler-Weg hat hier die Endpunkte a und e, da dies die einzigen Eckenmit ungeradem Grad sind; zum Beispiel: (a, b, c, d, e, b, d, a, e).

    Und nun zum klassischen Satz von Euler (1736):

    Satz 3.8 Ein endlicher zusammenhängender Graph besitzt genau dann eineEuler-Tour, wenn jede seiner Ecken einen geraden Grad hat.

    Beweis. Die Notwendigkeit dieser Gradbedingung ist offensichtlich, denn beieiner Euler-Tour tritt jede Ecke ebenso oft als Endpunkt wie als Anfangspunkteiner Kante auf.

    Um unter der Annahme, alle Eckengrade seien gerade, eine Euler-Tour zukonstruieren, kann man folgendermaßen vorgehen (und dieses Verfahren zu ei-nem exakten Algorithmus ausbauen): Man startet mit einer beliebigen Ecke undbildet durch schrittweises Anhängen von neuen Kanten einen Kantenzug. Lässtsich ein solcher nicht mehr weiter verlängern, so muss der Endpunkt der letztenKante mit der Startecke zusammenfallen (sonst würde der Endpunkt mit einerungeraden Anzahl von Kanten inzidieren).

    Enthält der so gebildete geschlossene Kantenzug K = (k1, ..., kn) noch nichtalle Kanten des Graphen, so gibt es wegen des Zusammenhangs eine Kante l1,die nicht zu K gehört, aber mit zwei aufeinanderfolgenden Kanten ki und ki+1eine gemeinsame Ecke besitzt. Da der durch Wegnahme von K entstehendeRestgraph H wieder lauter Ecken geraden Grades hat, können wir einen wei-teren geschlossenen Kantenzug L = (l1, ..., lm) in H bilden, der zusammen mitK einen längeren geschlossenen Kantenzug (k1, ..., ki, l1, ..., lm, ki+1, ...kn) liefert.Nach endlich vielen Iterationen dieses Verfahrens hat man alle Kanten des ge-samten Graphen ausgeschöpft und damit eine Euler-Tour gefunden. �

    11

  • d l1d dl4��

    dl3AA dl2��dQQQ dk6d dk1�� dk2

    k3��dk4AA d l5��dk5AAk7��� d

    Für das “Haus vom Nikolaus” und analoge Aufgaben braucht man die “offeneVariante” des Eulerschen Satzes:

    Satz 3.9 Ein endlicher zusammenhängender Graph besitzt genau dann einenoffenen Euler-Weg, wenn alle bis auf zwei Ecken einen geraden Grad haben.Diese sind dann die Endpunkte eines jeden Euler-Weges.

    Man führt diesen Satz einfach auf den vorigen zurück, indem man die bei-den Ecken ungeraden Grades mit einer neu hinzugefügten Ecke verbindet undso die Bedingung (a) in Satz 3.8 erfüllt. Der erweiterte Graph hat dann einenEulerschen Rundweg, und nach Wegnahme der “Hilfsecke” (und der beiden Ver-bindungskanten) bleibt ein Eulerscher Weg im ursprünglichen Graphen übrig.

    Auf die Zusammenhangsvoraussetzung in Satz 3.8 kann man noch verzich-ten, indem man die einzelnen Komponenten betrachtet. Unter einem Kreis ineinem Graphen versteht man eine Eckenfolge (x0, ..., xn), so dass xi−1xi stetseine Kante ist und xi 6= xj für alle i < j < n, aber x0 = xn und n ≥ 3 gilt.Alternativ nennt man auch den zugehörigen Kantenzug (x0x1, x1x2, ..., xn−1xn)oder den entsprechenden Teilgraphen einen Kreis.

    Satz 3.10 Für einen endlichen Graphen G sind folgende Aussagen äquivalent:

    (a) Der Grad jeder Ecke von G ist gerade.

    (b) Die Kantenmenge von G zerfällt in kantendisjunkte Kreise.

    (c) Jede Komponente von G besitzt eine Euler-Tour.

    Beweis. (a)⇒(b): Induktion nach der Anzahl der Kanten. Gibt es überhauptkeine Kanten, so ist nichts zu zeigen. Andernfalls findet man ähnlich wie imVerfahren zum Beweis von Satz 3.8 einen Kreis K, und im Restgraphen, derdurch Herausnahme von K entsteht, haben wieder alle Ecken einen geradenGrad. Nach Induktionsannahme kann die Kantenmenge dieses Restgraphen indisjunkte Kreise zerlegt werden. Durch Hinzunahme des Kreises K bekommenwir eine Zerlegung der Kantenmenge von G in Kreise.

    (b)⇒(c). Die Kantenmenge einer Komponente Z ist nach (b) disjunkte Verei-nigung von Kreisen (denn jeder Kreis ist zusammenhängend, liegt also ganz ineiner Komponente). Sei Y eine maximale Vereinigung solcher Kreise, die eineEuler-Tour (k1, ..., kn) enthält. Unter der Annahme, dass Y echt in Z enthaltenist, finden wir wegen des Zusammenhangs von Z eine Kante l1 in Z \ Y , diemit einer Kante ki aus Y einen Endpunkt gemeinsam hat. Diese Kante liegtdann auf einem zu Y kantendisjunkten Kreis L = (l1, ..., lm) von Z. Aber dannwäre wieder (k1, ..., ki, l1, ..., lm, ki+1, ..., kn) eine Euler-Tour, im Widerspruch zurmaximalen Wahl von Y . Der Schluss (c)⇒(a) ist wie im vorigen Beweis klar. �

    12

  • Stellen wir uns vor, das Brückenproblem sollte durch eine Rundfahrt per Busgelöst werden, und es gäbe Brücken, die nur in einer Richtung überfahren werdendürfen. Für diese Situation braucht man nur eine allgemeinere Definition vonDigraphen mit Mehrfachkanten. Die Aussagen und ihre Beweise können dannnahezu wörtlich übernommen werden.

    Man definiert daher einen allgemeinen Digraphen als Quadrupel (X,P, a, e),bestehend aus einer Menge X (von “Ecken” oder “Knoten”), einer Menge P(von “Pfeilen” oder “gerichteten Kanten”) und zwei Funktionen a : P −→X unde : P −→X, die jedem Pfeil p ∈ P einen “Anfangspunkt” a(p) und einen “End-punkt” e(p) zuordnen. Damit hat man alle Spezialfälle (inklusive Mehrfachkan-ten, Schleifen und Richtungen) erfasst. Einen gerichteten Weg definiert mandann zweckmäßigerweise als Folge (p1, ..., pn) von Pfeilen mit e(pi−1) = a(pi)für 1 < i ≤ n und spricht von einem Kantenzug, falls die Pfeile paarweise ver-schieden sind. Speziell ist ein solcher Kantenzug (p1, ..., pn) ein (gerichteter)Eulerscher Weg , falls er alle Pfeile des Graphen enthält. Entsprechend definiertman gerichtete Kreise, Pfade und Euler-Touren (bei denen noch e(pn) = a(p1)zu fordern ist). Schließlich erklärt man für jede Ecke x eines allgemeinen Digra-phen die positive Valenz d+(x) als Anzahl der Pfeile p mit Anfangspunkt x, d.h.a(p) = x, und die negative Valenz d−(x) als Anzahl der Pfeile p mit Endpunktx, d.h. e(p) = x. Der Eulersche Satz lautet für diesen Fall:

    Satz 3.11 Für einen endlichen Digraphen sind folgende Aussagen äquivalent:

    (a) Für jede Ecke von G ist die positive Valenz gleich der negativen Valenz.

    (b) Die Kantenmenge von G zerfällt in kantendisjunkte gerichtete Kreise.

    (c) Jede Komponente von G besitzt eine gerichtete Euler-Tour.

    Der Beweis bleibt, wie schon gesagt, im Wesentlichen der gleiche, man musslediglich statt ungerichteter Kanten Pfeile betrachten.

    d l1�d dl4���

    dl3AAK dl2���dQQQs dk6d -dk1��� dk2

    k3���dk4AAU d l5���dk5AAKk7���+ d

    Bei verallgemeinerten (symmetrischen) Graphen hat man statt der beidenFunktionen a und e nur eine Funktion e, die jeder Kante eine zweielementigeMenge (die der beiden “Endknoten”) zuordnet. Der Grad einer Ecke x ist danndie Anzahl aller Kanten k mit x ∈ e(k).

    Satz 3.10 und seine gleichlautende Verallgemeinerung auf Graphen mit Mehr-fachkanten läßt sich als Spezialfall von Satz 3.11 interpretieren, indem man ineinem (ungerichteten) Graphen, dessen sämtliche Ecken geraden Grad haben,jede Kante so orientiert, dass für alle Ecken die positive Valenz gleich der nega-tiven Valenz wird. Dass dies möglich ist, folgt aus der ‘ungerichteten’ Version,die zu jeder Komponente eine (ungerichtete) Euler-Tour liefert, entlang der mandie Orientierung der durchlaufenen Kanten definieren kann.

    13

  • Während bei Euler-Touren die Aufgabe darin besteht, jede Kante genau ein-mal zu durchlaufen, soll bei Hamilton-Kreisen jede Ecke des gegebenen Graphengenau einmal besucht werden. Das erste Beispiel für solche Problemstellungenstammt auch aus alten Zeiten:

    Hamilton’s Puzzle (1859) “Around the World”

    Auf dem Globus sind 20 Städte durch kreuzungsfreie Wege so verbunden, dassvon jeder Stadt drei Wege ausgehen und jede von Wegen berandete Fläche genaufünf Grenzwege hat. Finde einen Rundweg, auf dem jede Stadt genau einmalbesucht wird!

    Die Städte liegen auf den Ecken eines Dodekaeders (“Zwölf-Flächners”) (1). AusGründen der Übersichtlichkeit legen wir die 20 Ecken in die Zeichenebene, indemwir das Dodekaeder von einer der 12 Flächen aus betrachten und die äußerenKanten genügend dehnen (2).

    ����

    BBBB

    ZZZ

    ���

    �� PP

    TT

    ��

    BBBB

    ����

    ���

    QQ

    Q

    BBBB

    ����

    ���

    QQQ

    PPP���

    SSS

    ���

    ���

    \\\

    ���PPP

    aa !!

    TT��(1)

    s ss ssc cc ccccccc

    d

    d

    d

    dd

    QQ

    BBBBBB

    ������

    ��

    ���

    QQQQQ

    BB ��

    BB ��

    �� QQ�� QQ

    aa !!

    TT��

    P

    �A

    BB����

    ��

    BB ��

    �� QQ�� QQ

    BBBBBB

    ������

    ���

    ��

    QQQQQ

    TT��(2)

    BB����

    ��

    BB ��

    �� QQ�� QQ

    BBBBBB

    ������

    ���

    ��

    QQQQQ

    TT��(2)

    Ein Rundweg durch alle 20 Städte ist in das Diagramm (2) eingezeichnet.

    Dass es 12 Flächen sein müssen, besagt die

    Eulersche Polyederformel:Eckenzahl - Kantenzahl + Flächenzahl = 2,

    welche für alle kreuzungsfrei in die Ebene zeichenbaren Graphen gilt und leichtdurch Induktion (z.B. nach Anzahl der Kanten) zu beweisen ist.

    Allgemein nennt man eine Eckenfolge (x1, ..., xn) eines endlichen GraphenG = (X,E) einen Pfad, falls je zwei aufeinanderfolgende Ecken durch eine Kanteverbunden sind, d.h. xi−1xi ∈ E für jedes i ∈ n gilt, und einen Hamilton-Pfad, falls zusätzlich alle Ecken des Graphen genau einmal auftreten. Von einemHamilton-Kreis spricht man, wenn auch noch xnx1 ∈ E erfüllt ist. Ein Graphheißt Hamiltonsch, falls er einen Hamilton-Kreis besitzt.

    Beispiele 3.12 (1) Jedes m-Eck besitzt 2m Hamilton-Kreise (die alle durchzyklische Vertauschung oder Spiegelung auseinander hervorgehen).

    (2) Jeder vollständige Graph Km = (m,P2m) (auch m-dimensionales Simplexgenannt) mit m ≥ 3 ist Hamiltonsch: Hier ist für jede Permutation σ der Zahlen1, ...,m die Folge (σ(1), ..., σ(m), σ(1)) ein Hamilton-Kreis. Im m-Simplex gibtes also m! Hamilton-Kreise.

    14

  • cc ccc

    CC

    ��

    �� QQ

    ���Z

    ZZ���

    BBB

    CC

    ��

    �� QQ

    cc ccc

    CC

    ��

    �� QQ

    ���Z

    ZZ���

    BBB

    ���Z

    ZZ���

    BBB cc cc

    cCC

    ��

    �� QQ

    ���Z

    ZZ���

    BBB

    CC

    ��

    ���

    BBB

    Beachten Sie, dass ein m-Simplex nur für ungerades m eine Euler-Tour enthält!(Warum?)

    (3) Die Eckenmenge eines vollständig bipartiten (“zweigeteilten”) Graphenzerfällt in zwei disjunkte Teilmengen, so dass jede Ecke der einen Menge mit je-der der anderen verbunden ist, aber keine zwei Ecken innerhalb einer der beidenMengen eine Kante bilden. Man bezeichnet einen solchen Graphen mit Km,n,falls die eine Menge m und die andere n Elemente hat. Explizit ist ein solcherGraph bis auf Isomorphie gegeben durch

    Km,n = (m+n, {xy | x ∈ m, y ∈ m+n \m} = {m+1, ...,m+n}).

    Während Km,n nach Satz 3.8 genau dann eine Euler-Tour besitzt, wenn sowohlm als auch n gerade ist, hat Km,n genau dann einen Hamilton-Kreis, wenn mmit n übereinstimmt. Ein Hamilton-Pfad existiert auch für den Fall, dass sichm und n um 1 unterscheiden.

    cc c cc@@ ������HHHH@@ ��K2,3

    cc cc cc����HHHH��@@ ��@@K3,3

    ��@@��@@

    (4) Alle fünf Platonischen Körper besitzen Hamilton-Kreise. Beim Dodekaederhaben wir das zu Beginn dieses Abschnitts gesehen. Hier sind die vier anderen(in die Ebene gelegt und deshalb etwas verzerrt):

    c cccTTTT""

    ���� bb

    Tetraeder

    ���� bb c

    ccccc cc

    @�

    �@

    Hexaeder

    �@

    c ccc ccTTTT

    ���� A ��� @@̀̀

    ��BB

    Oktaeder

    �� @@̀̀

    ��BB c c

    cc ccT� T� �QQc c

    cc. cpqppc.������

    XX�� DD

    c

    ���

    ```̀

    ���

    LLL

    A\\\

    ��

    ��

    #

    TTTTTT��

    Ikosaeder

    AA\\\

    ��

    ��

    #

    TTTTTT��

    Ikosaeder

    Nur das Oktaeder besitzt einen Euler-Weg bzw. eine Euler-Tour!

    Leider kennt man im Gegensatz zur Gradbedingung für Eulersche Graphenkein einfaches Kriterium, das genau die Hamiltonschen Graphen charakterisiert.Allerdings gibt es einige ziemlich gute Bedingungen an die Grade, die in vielenFällen die Existenz eines Hamilton-Kreises sichern. Soviel ist klar: Je mehr Kan-ten ein Graph hat, desto größer ist die Chance, einen Hamilton-Kreis zu finden.Genauer gesagt: Ist G = (X,E) Hamiltonsch, so auch jeder Graph G′ = (X,E′)mit E ⊆ E′. Wir erwähnen hier nur den einprägsamen Satz von Dirac (1952):

    Satz 3.13 Ist jede Ecke eines Graphen G = (X,E) mit m ≥ 3 Ecken zu min-destens der Hälfte aller Ecken adjazent (d. h. d(x) ≥ m2 für alle x ∈ X), so hatG einen Hamilton-Kreis.

    15

  • 3.3 Bäume und Wälder

    Was ist die graphentheoretische Abstraktion eines Baumes? Man stellt sich einzusammenhängendes, verzweigtes Gebilde vor, bei dem “nie zwei Äste wiederzusammenwachsen”. Deshalb nennt man einen zusammenhängenden und kreis-freien Graphen (also einen ohne Kreise) einen Baum. Ein Wald ist ein kreisfreierGraph, also eine disjunkte Vereinigung von Bäumen (die Kreisfreiheit überträgtsich offenbar auf die Komponenten, und umgekehrt). Die Komponenten einesWaldes sind genau seine maximalen Bäume.

    Bäume und Wälder treten in einer Vielzahl von Anwendungsbereichen auf:nicht nur in der Botanik, sondern auch der Chemie, der Genetik, der Paläonto-logie, der Logik, und natürlich nicht zuletzt in der Informatik. Wir können hiernur einen kleinen Ausschnitt der interessanten Theorie der Bäume ansprechen.

    In einem Graphen nennt man die Knoten vom Grad 1 anschaulich Blätter(oder Endknoten).

    Beispiel 3.14 Blätterwald.

    d@ r�d r ddd@ r�d r ddd@ r��d r r�� d@�ddd

    @ r�d r d@�ddd

    @ r�d r r��d

    @�dd rd�d ddr@�rd

    Das “Abpflücken” von Blättern geht graphentheoretisch folgendermaßen:Für beliebige Graphen G = (X,E) und jeden Knoten y ∈ X bezeichnet manden auf X \ {y} induzierten Teilgraphen mit G− y. Dann gilt die folgende, fürviele Induktionsbeweise nützliche Beziehung:

    Lemma 3.15 Sei G ein Graph und y ein Blatt von G. Genau dann ist G einBaum, wenn G− y ein Baum ist.

    Beweis. Bei Wegnahme eines Blattes von einem Baum bleibt offenbar ein kreis-freier zusammenhängender Graph übrig, während Herausnahme von Knoten miteinem Grad > 1 den Zusammenhang zerstört (sonst hätte G einen Kreis).

    Umgekehrt entsteht aus einem Baum G− y durch Hinzufügen von y wiederein Baum, falls y mit genau einem Knoten x vonG−y direkt verbunden wird (derZusammenhang bleibt bestehen, da y dann mit allen Knoten von G − y durcheinen über x verlaufenden Weg verbunden werden kann, und Kreise könnennicht entstehen, da y nur einen Nachbarn hat). �

    Wir kommen nun zu drei weiteren wichtigen Charakterisierungen von Bäumen.Dazu nennen wir einen Graphen

    • maximal kreisfrei, wenn er keine Kreise besitzt, aber die Hinzunahme einerbeliebigen Kante einen Kreis erzeugt,

    • minimal zusammenhängend, wenn er zusammenhängend ist, aber die Weg-nahme einer beliebigen Kante den Zusammenhang zerstört.

    16

  • Satz 3.16 Für einen Graphen G = (X,E) sind die folgenden vier Aussagenäquivalent:

    (a) G ist ein Baum.

    (b) Je zwei Knoten von G sind durch genau einen Pfad verbunden.

    (c) G ist minimal zusammenhängend.

    (d) G ist maximal kreisfrei.

    Beweis. (a)⇒(b). Wegen des Zusammenhangs sind je zwei Knoten x und ydurch mindestens einen Pfad verbunden. Wären x und y durch zwei verschiedenePfade (x0, ..., xn) und (y0, ..., yk) verbunden, so wäre

    (x=x0, x1, ..., xn =y=yk, yk−1, ..., y1, y0 =x)

    ein geschlossener Weg, aus dem man einen Kreis herausschneiden könnte.

    (b)⇒(c). Natürlich ist G zusammenhängend. Wäre für eine Kante xy der GraphG−xy = (X,E \{xy}) immer noch zusammenhängend, so könnte man x und ydurch einen Pfad (x0, ..., xn) verbinden, in dem die Kante xy nicht vorkommt.

    (c)⇒(a). Hätte G einen Kreis, so könnte man aus diesem eine Kante xy entfer-nen und behielte immer noch einen zusammenhängenden Graphen: denn jederWeg (x0, ..., xn), der die Kante xi−1xi = xy benutzt, kann durch einen anderenWeg ersetzt werden, indem die Kante xy durch den Rest des Kreises ausge-tauscht wird, auf dem sie liegt.

    (b)⇒(d). Hätte G einen Kreis (x0, ..., xn−1, xn =x0), so wären x0 und xn−1durch die beiden verschiedenen Pfade (x0, ..., xn−1) und (x0, xn−1) verbunden.Aber durch Hinzufügen einer Kante xy entsteht ein Kreis, da x und y schonvorher durch einen Pfad verbunden waren.

    (d)⇒(a). Gäbe es in G zwei durch keinen Weg verbundene Knoten x und y, sowäre G + xy = (X,E ∪ {xy}) immer noch kreisfrei, denn ein Kreis (x0, ..., xn)in G+ xy müsste die neue Kante xy enthalten, d.h. es wäre xi−1xi = xy für eini, etwa x = xi und y = xi−1 (sonst umgekehrter Durchlauf). Dann wäre aber(x=xi, xi+1, ..., xn, x0, x1, ..., xi−1 =y) ein Weg in G zwischen x und y. �

    Für endliche Bäume gibt es noch zwei besonders einfache Beschreibungen.Zunächst notieren wir eine Eigenschaft endlicher zusammenhängender Graphen:

    Lemma 3.17 Ein endlicher zusammenhängender Graph G mit m Knoten hatmindestens m−1 Kanten.

    Beweis. Die Aussage ist richtig für m = 1. Wir gehen induktiv vor und betracheneinen Pfad maximaler Länge in einem zusammenhängenden Graphen G mit mKnoten, etwa (x0, ..., xn). In G sind je zwei von x0 verschiedene Knoten durchWege verbunden, die x0 nicht enthalten (sonst wäre x0 ein “innerer” Punkteines Verbindungsweges, und man könnte den bei x0 beginnenden maximalenPfad verlängern). Deshalb ist G − x0 immer noch zusammenhängend. NachInduktionsannahme hat G − x0 mindestens m − 2 Kanten, also G mindestensm−1 Kanten (denn mindestens eine an x0 hängende Kante kommt ja hinzu). �

    17

  • Satz 3.18 Für einen endlichen Graphen G mit m Knoten sind äquivalent:(a) G ist ein Baum.(e) G ist zusammenhängend und hat genau m−1 Kanten.(f) G ist kreisfrei und hat genau m−1 Kanten.

    Beweis. (a)⇒(e) und (f). Die Entfernung einer Kante xy bewirkt nach Satz 3.16(a)⇒(c) den Zerfall in zwei Komponenten. Jede der beiden Komponenten istnatürlich immer noch kreisfrei, also jeweils ein Baum. Nach Induktionsannahmehaben beide jeweils eine Kante weniger als Knoten. Nach “Restaurieren” derKante xy gilt das dann auch für den Graphen G.

    (e)⇒(a). Hat man eine Kante weniger als Knoten zur Verfügung, so ist Gminimal zusammenhängend, denn ein Graph mit m Knoten und weniger alsm−1 Kanten ist, wie wir sahen, unzusammenhängend.

    (f)⇒(a). Jede Komponente ist kreisfrei und zusammenhängend, also einBaum. Nach dem schon Bewiesenen hat sie jeweils eine Kante weniger als Kno-ten. Das geht aber bei insgesamt m−1 Kanten nicht, außer es war überhauptnur eine einzige Komponente vorhanden (denn für jede Komponente wird 1abgezogen). Also ist G zusammenhängend und damit ein Baum. �

    Das letzte Argument zusammen mit Lemma 3.17 liefert auch noch eine ver-blüffend einfache Charakterisierung endlicher kreisfreier Graphen:

    Folgerung 3.19 Die endlichen Wälder sind genau diejenigen endlichen Gra-phen, die die folgende “Euler-Gleichung” erfüllen:

    Anzahl der Knoten = Anzahl der Kanten + Anzahl der Komponenten.

    Fassen wir zusammen:

    (1) Nach Wegnahme einer Kante aus einem Wald bleibt ein Wald übrig, dergenau eine Komponente mehr als der ursprüngliche hat. Insbesondere zerfälltein Baum nach Wegnahme einer Kante in zwei Bäume. Umgekehrt entstehtdurch Verbinden zweier Bäume durch eine Kante ein einzelner Baum.

    (2) Nach Wegnahme eines Blattes und der damit inzidierenden Kante voneinem Baum (bzw. Wald) bleibt ein Baum (bzw. Wald) übrig. Umgekehrt wirdaus einem Baum durch Hinzufügen einer Kante zwischen einem schon vorhan-denen und einem neuen Knoten wieder ein Baum.

    (3) In allen anderen Fällen bewirkt die Wegnahme eines Knotens und der mitihm inzidierenden Kanten den Zerfall in ebensoviele Komponenten, wie Kantenentfernt wurden. Umgekehrt wird aus einem Wald ein Baum, wenn man je einenKnoten aus den Komponenten mit einem gemeinsamen neuen Knoten verbindet.

    d@@ r��r r r�� d@@��@@ drd dd

    (0)d@@ r��r r r�� d@@��@@ drd dd

    (1)d@ r��d r r�� d@@ ��drdd

    (2)dd r d�� d@@ ��@@ drd dd

    (3)

    18

  • Die Isomorphietypen von Bäumen mit maximal 7 KnotenAutomorphismenzahl a und Anzahl i der isomorphen Kopien

    d��d dddd d��

    7207

    d��d ddddd

    24210

    dd dddd d

    12420

    dddddd d

    6840

    d ddddd d

    8630

    ddddddd4

    1260

    dddddd d

    22520

    ddddddd

    6840

    dddddd d

    15040

    d

    ddddd d

    22520

    d ddddd d

    22520

    16807 = 75

    ���

    d��d dddd1206 �����

    ���

    AAA

    XXXXXXXXXX

    dd dddd

    6120 �����

    PPPPPPPP

    dddddd

    890

    ��������

    QQQQ

    XXXXXXXXXX

    d dddd d

    2360

    ����������

    ���

    ����

    BBB

    ddddd d

    2360 �

    ��

    @@@

    d dddd d

    2360 1296 = 64

    ��

    d dddd

    245

    ���������

    �@@

    XXXXXXXX

    dddd d

    260 �

    �@@

    dddd d

    260 125 = 53

    ��

    @@

    dddd

    64 �

    �@@

    dddd

    212 16 = 42

    ��

    @@

    ddd

    23 3 = 31

    dd2

    1 1 = 2 0

    d1

    1 1 = 1−1

    19

  • Während bei den zuvor eingeführten graphentheoretischen Bäumen keineRichtung der Kanten vorgegeben ist, stellt man sich bei einem “echten” Baumvor, dass er “von unten nach oben auseinander wächst”. Dieser Anschauungwird eine ordnungstheoretische Variante des Baumbegriffes gerecht, die wir jetztbetrachten wollen. Wir verstehen unter einem Wurzelbaum eine diskrete geord-nete Menge (X,v) mit einem kleinsten Element w (der Wurzel), so dass keinezwei unvergleichbaren Elemente unter einem gemeinsamen Element liegen, oderandersherum (durch Kontraposition) ausgedrückt:

    (Ψ) x v z und y v z ⇒ x v y oder y v x.Eine diskrete geordnete Menge mit der Eigenschaft (Ψ) nennen wir Wurzelwald,falls jedes Element über einem minimalen liegt. (Beachten Sie den Unterschiedzwischen minimalen und kleinsten Elementen: Ein kleinstes Element liegt unterallen anderen, während ein minimales nur die Eigenschaft hat, dass kein ande-res darunter liegt!) Ein Wurzelbaum heißt unär (binar, ternär), wenn all seineElemente höchstens einen bzw. zwei bzw. drei obere Nachbarn haben.

    Beispiel 3.20 Ein Wurzelwald mit einem unären, einem binären und einemternären Wurzelbaum.

    cccc

    1

    2

    3

    4

    c∅c0 c1c00 c01 c10 c11c000 c001 c010 c011 c100 c101 c110 c111

    @@��

    AA��

    AA��

    CC��

    CC��

    CC��

    CC��

    c∅HHHH ����c

    pco ct

    cpoCC �� cot ctoCC ��cpop cpot cott ctop ctotcottocpopo cpott c

    toto

    Satz 3.21 Eine geordnete Menge ist genau dann ein Wurzelwald, wenn ihreKomponenten Wurzelbäume sind.

    Beweis. Sind die Komponenten Wurzelbäume, so überträgt sich (Ψ) von diesenauf die Gesamtmenge (denn die Voraussetzung x v z und y v z erzwingt, dassx und y in der gleichen Komponente liegen).

    Umgekehrt ist jede Komponente B eines Wurzelwaldes zusammenhängendund erfüllt (Ψ). Wir wählen ein minimales y in der geordneten Menge B undbehaupten, dass y unter jedem anderen x ∈ B liegt. Wegen des Zusammenhangsvon B gibt es eine Folge (x=x0, x1, ..., xn =y) minimaler Länge n mit xi−1 @ xioder xi @ xi−1 für jedes i ∈ n. Nun ist xn−1 @ y wegen der Minimalität von yausgeschlossen; also muss der Fall y @ xn−1 eintreten. Die kleinstmögliche Wahlvon n erzwingt unter der Annahme n > 1 die Beziehung xn−2 @ xn−1 (sonstkönnte man xn−1 wegen der Transitivität weglassen). Aber nun liefert (Ψ) fürxn−2 statt x zusammen mit der Minimalität von y die Beziehung y v xn−2, undwir könnten xn−1 doch weglassen. Also ist nur n ≤ 1 und y v x möglich. �

    cx=x0

    cxn =yc

    xn−2

    c xn−1c ��@@�� @@

    20

  • Wurzelbäume und -wälder werden vielfach auf den Kopf gestellt (dualisiert). DieDiagrammdarstellung liefert dann ein nach unten verzweigtes Wurzelgeflecht.

    c c c cc c cc cc

    JJ

    JJ

    JJ JJ

    JJ

    Wir wollen uns überlegen, wie die Bäume der Graphentheorie mit den Wur-zelbäumen der Ordnungstheorie zusammenhängen. Erinnern wir uns daran, dassder Nachbarschaftsgraph (X,E) einer geordneten Menge (X,v) durch Symme-trisierung der Nachbarschaftsrelation @∨ entsteht, also indem man nur die un-gerichteten Kanten zwischen benachbarten Elementen betrachtet:

    E = {xy | x @∨ y}.

    Satz 3.22 Der Nachbarschaftsgraph eines Wurzelbaumes (X,v) ist ein Baum,und die Ordnung ist durch diesen Baum und die Wurzel w festgelegt:

    (W) x v y ⇔ x liegt auf dem Pfad von w nach y.Umgekehrt gibt es zu jedem Knoten w eines Baumes B = (X,E) genau einenWurzelbaum mit Wurzel w, dessen Nachbarschaftsgraph B ist, nämlich dendurch (W) definierten. Aus jedem Baum mit m Knoten entstehen also genaum Wurzelbäume durch Festlegung der Wurzel.

    t@ r�d r drdw

    xy

    Beweis. Für einen Wurzelbaum (X,v) ist der Graph (X,E) mit E= {xy|x@∨y}wegen der endlichen Verkettung zusammenhängend. Wäre (x0, x1, ..., xn = x0)ein Kreis in (X,E) minimaler Länge, so könnte nicht für jedes i < n die Bezie-hung xi @∨xi+1 gelten (sonst wäre x0 @ xn), also gibt es ein i mit xi−1 @∨xiund xi+1 @∨xi (wobei x−1 = xn−1 und xn+1 = x1 zu setzen ist). Aber wegender Bedingung (Ψ) wäre dann xi−1 mit xi+1 vergleichbar, und xi wäre zu einemdieser Elemente nicht benachbart. Also kann (X,E) keine Kreise enthalten.

    Nun sei B = (X,E) ein Baum und w ein fest gewählter Knoten. Wir defi-nieren eine Relation v auf X durch (W) und beachten, dass es nach Satz 3.16stets einen eindeutigen Pfad zwischen w und y gibt. Die Relation v ist offen-bar reflexiv und transitiv. Antisymmetrisch ist sie wegen der Nichtexistenz vonKreisen: Im Falle x @ y @ x gäbe es einen geschlossenen Weg durch x und y,und dieser enthielte einen Kreis. Die so entstehende geordnete Menge (X,v) istein Wurzelbaum mit Wurzel w, denn nach Definition gilt w v y für alle y ∈ X,und im Falle x v z und y v z liegen x und y auf dem Pfad von w nach z,und es folgt x v y oder y v x. Der Nachbarschaftsgraph der Ordnung v ist derursprüngliche Baum B (wegen der Eindeutigkeit der verbindenden Pfade). �

    21

  • Aufgrund des letzten Satzes kann man die Wurzelbäume mit “Stamm-bäumen” identifizieren; das sind Paare (G,w), die aus einem Baum G und einemfestgewählten Knoten w bestehen.

    Wurzelbäume und Wurzelwälder lassen sich ebenso einfach wie Bäume undWälder rekursiv aufbauen, indem man die folgenden beiden Schritte iteriert:

    (A) Aus jedem Wurzelwald entsteht durch Hinzufügen eines disjunkten Bau-mes ein neuer Wurzelwald.

    (B) Aus jedem Wurzelwald entsteht durch Hinzufügen einer Wurzel, die mitallen Wurzeln der Komponenten verbunden wird, ein Wurzelbaum.

    t@ r�d r dd(A) + =t@ r

    �d r ddt@ r��d r r�� d@�ddd

    t@ r�d r dd(A) + = t@ r�

    d r ddt@ r�d r ddt@ r��d r r�� d@�ddd

    t@ r�d r dd(B)

    + =

    t@ r�d r dd

    t@@@ ���r@ r�d r ddr@ r�d r dd

    @@@ t���

    Konstruktion (B) kann man noch erweitern, indem man auf jeden Knoteneines Wurzelbaumes einen weiteren Wurzelbaum “aufpfropft”.

    Der nächste Satz ist anschaulich einleuchtend, bedarf aber doch eines Beweises:

    Satz 3.23 Eine diskrete geordnete Menge ist genau dann ein Wurzelbaum,wenn sie ein kleinstes Element besitzt und jedes andere Element genau einenunteren Nachbarn (“Vorgänger”) hat.

    Beweis. Ist (X,v) ein Wurzelbaum und (w=x0, ..., xn =y) der eindeutige Pfadvon der Wurzel w nach y, so ist xn−1 der eindeutige untere Nachbar von y.

    Hat umgekehrt eine diskrete geordnete Menge (X,v) das kleinste Elementw und die genannte Nachfolge-Eigenschaft, so muss (Ψ) gelten: Zu x v z undy v z finden wir Pfade (z=x0, ..., xk =x) und (z=y0, ..., yn =y) mit xi @∨ xi−1für i ∈ k und yi @∨ yi−1 für i ∈ n. Sei i der größte Index mit xi = yi. Im Fallei < k und i < n wäre dann auch noch xi+1 @∨ xi und yi+1 @∨ xi erfüllt, alsoxi+1 = yi+1 im Widerspruch zur Wahl von i. Also xv xi = y oder yv yi = x. �

    Vorsicht! Bei einem dualisierten Baum sind die “Vorgänger” Nachfolger!

    22

  • Wir wollen uns nun der Frage zuwenden, wie man Bäume und Wälder co-dieren, d.h. durch geeignete Zahlenfolgen eindeutig beschreiben kann. Der Ein-fachheit halber nehmen wir dabei an, dass die Knotenmenge m = {1, ...,m} ist.Das naheliegendste Codierungsverfahren wird durch Satz 3.23 geliefert: DieVorgängerfunktion eines Wurzelwaldes ordnet jedem nichtminimalen Knoten sei-nen eindeutigen unteren Nachbarn zu. Die Nachbarschaftsrelation eines Wurzel-baumes ist allerdings dual zur Vorgängerfunktion, also eine Nachfolgerfunktion !Erinnern wir uns daran, dass Funktionen nichts anderes als spezielle Relationensind, nämlich solche Relationen F , bei denen zu jedem x höchstens ein y mitxF y existiert, und dass dieses y mit F (x) bezeichnet wird. Der Definitionsbe-reich von F ist dann die Menge aller x, für die es ein solches y gibt. Irreflexivitätbedeutet für eine Funktion F , dass sie keinen Fixpunkt hat (also F (x) = x nieauftritt). Weiter ist F genau dann intransitiv, wenn F (x) = F k(x) nur für k = 1möglich ist. Solche Funktionen beschreiben gerade die Wurzelwälder:

    Satz 3.24 Für eine Relation F ⊆ m×m sind äquivalent:

    (a) F ist die Vorgängerfunktion eines Wurzelwaldes mit Knotenmenge m.

    (b) F ist eine intransitive Funktion.

    (c) F ist eine irreflexive und azyklische Funktion, d.h. x 6= F k(x) für k ∈ N.

    Beweis. (a) ⇔ (b) folgt unmittelbar aus Satz 3.23 und der bekannten Tatsache,dass die endlich veketteten Ordnungen durch Übergang zu Nachbarschaftsrela-tionen bijektiv den intransitiven Relationen entsprechen.

    Die Äquivalenz von (b) und (c) beweist man durch Kontraposition:

    (b)⇒(c). Aus k ≥ 1 und x = F k(x) folgt k+1 > 1 und F (x) = F k+1(x).(c)⇒(b). Aus k+1 > 1 und F (x) = F k+1(x) folgt für y = F (x): y = F k(y). �

    Folgerung 3.25 Man erhält eine Bijektion zwischen Wurzelwäldern mit Kno-tenmenge m und intransitiven Funktionen von Teilmengen der Menge m nachm, indem man jedem Wurzelwald seine Nachfolgerfunktion zuordnet. Dabei ent-sprechen den Wurzelbäumen diejenigen intransitiven Funktionen, deren Defini-tionsbereich genau ein Element von m (die Wurzel) nicht enthält.

    Beispiel 3.26 Der Vorgängercode des Wurzelwaldes

    t5

    @ r8�d4 d9 t7

    @ r2d3 r1d6

    lautet

    F =(

    1 2 3 4 6 8 92 7 2 8 1 5 8

    )Hingegen kann die an der Stelle 2 abgeänderte Funktion

    23

  • F̃ =(

    1 2 3 4 6 8 92 6 2 8 1 5 8

    )wegen F̃ 3(2) = 2 kein Nachfolgercode eines Wurzelwaldes sein. In der Tatenthält der zugehörige Digraph einen Zykel:

    t5

    @R r8�d4?

    d9t7

    @R r2d3

    ??

    ��@Ir1d6

    Ein Vorteil der zuvor beschriebenen Codierung ist, dass man den zugehörigenWurzelwald sehr schnell rekonstruieren kann. Allerdings sieht man einer Funk-tion (bzw. der entsprechenden endlichen Folge) nicht immer sofort an, ob sieüberhaupt einen Wurzelwald bzw. -baum beschreibt. Man kann jedoch alle Wur-zelwälder durch einen sehr einfachen Algorithmus gewinnen: Beginnend mit denm Knoten 1, ...,m und der leeren Kantenmenge, fügt man Schritt für Schritt einenummerierte und gerichtete Kante hinzu. Die einzige zu beachtende Vorschriftist dabei, dass in jedem Schritt die neu anzufügende Kante zwischen zwei ver-schiedenen Komponenten des bis dahin entstandenen Wurzelwaldes verlaufenmuss. Für die k-te Kante (in Richtung der Vorgängerfunktion) hat man zwarm Möglichkeiten, den Endpunkt zu wählen, aber nur noch m−k Möglichkeitenbei der Auswahl des Anfangspunktes (denn dieser darf weder zuvor verwendetworden noch Wurzel der Komponente des Endpunktes sein – sonst entsteht einZykel). Insgesamt gibt es also∏m−1

    k=1m(m− k) = (m−1)!mm−1

    Möglichkeiten der nummerierten Kantenwahl. Am Schluss ist ein Wurzelbaumentstanden, dessen Kanten mit einer Permutation der Zahlen von 1 bis m−1belegt sind. Da es (m− 1)! solche Permutationen gibt, bleiben nach Entfer-nen der Nummerierung der Kanten mm−1 Wurzelbäume. Damit ist der folgendeberühmte Satz von Cayley (1889) gezeigt:

    Satz 3.27 Auf einer festen Menge von m Knoten gibt es genau mm−1 Wur-zelbäume und folglich mm−2 Bäume.

    Die vielleicht eleganteste Codierung von Bäumen geschieht mit Hilfe dessogenannten Prüfer-Codes. Die simple, aber wirkungsvolle Grundidee bestehtdarin, schrittweise die Blätter mit den kleinsten Nummern abzupflücken undgleichzeitig die Folge der zum jeweiligen Blatt benachbarten Knoten zu notieren,bis nur noch zwei Knoten übrigbleiben. (Aufgrund unserer Konvention, m alsKnotenmenge zu nehmen, sind die Nummern die Blätter selbst.)

    Satz 3.28 Zu einem gegebenen Baum G = (m,E) definiere man induktiv zweiFolgen (bi | i = 1, ...,m−2) und (ai | i = 1, ...,m−2) durch die Festlegung, dass bidas kleinste Blatt des Baumes Gi = G− {bj | j < i} und ai sein Nachbar in Giist. Auf diese Weise erhält man eine Bijektion zwischen der Gesamtheit allerBäume mit der Knotenmenge m und der Menge mm−2 aller (m−2)-stelligenFolgen (a1, ..., am−2) mit Werten in m.

    24

  • Dies bestätigt den Satz von Cayley. Die oben konstruierte Folge (a1, ..., am−2)heißt Prüfer-Code des Baumes G. Um Satz 3.28 zu begründen, müssen wiruns vergewissern, dass jede Folge (a1, ..., am−2) in m wirklich als Prüfer-Codeeines eindeutig bestimmten Baumes auftritt. Zu diesem Zweck rekonstruierenwir den gesuchten Baum wie folgt. Wir setzen am−1 := am−2 und bestimmen diezugehörigen Blätter rekursiv durch die Vorschrift, dass bi das kleinste Elementder folgenden Restmenge sei:

    m \ {b1, ..., bi−1, ai, ai+1, ..., am−1} (i = 1, ...,m−1).Der letzte Knoten bm ist dann der noch übrig gebliebene, und die Kanten desBaumes sind die Zweiermengen aibi (i = 1, ...,m−1).

    Beispiel 3.29 Wir betrachten die Folge (3, 7, 3, 7, 3) und bauen schrittweiseden zugehörigen Baum mit der Knotenmenge 7 auf:

    5 = min(7 \ {1, 2, 3, 4, 7})

    bi 1

    3

    2

    7

    4

    3

    5

    7

    6

    3

    7

    3ai

    @ d3d1

    7 \ {3, 7}

    @ d3d1 d7 2d�7 \ {1, 3, 7}

    @ d3d1 d7 d2�

    d4

    7 \ {1, 2, 3, 7}

    @ d3d1 d7d5 d2�

    d4

    7 \ {1, 2, 3, 4, 7}

    d6

    @ d3d1 d7d5 d2�

    d4

    7 \ {1, 2, 3, 4, 5}

    d6

    @ d3d1 d7d5 d2�

    d4

    7 \ {1, 2, 3, 4, 5, 6}

    “Minimales Abblättern” führt auf die ursprüngliche Codierung:

    d6

    @ t3d1 d7d5 d2�

    d4

    �@ d

    6

    d3t7d5 d2�

    d4

    ��

    d6

    t3d7d5 d�

    4� d

    6

    d3t7d5d6

    t3d7 d3d7

    Wir wollen noch eine Formel für die Anzahl aller Bäume mit Knotenmengem und fest vorgegebenen Gradzahlen di = dG(i) (i = 1, ..,m) aufstellen. Da dieAnzahl der Kanten m−1 beträgt, muss die folgende Gleichung erfüllt sein:

    (K)∑m

    i=1 di = 2m−2 bzw.∑m

    i=1(di−1) = m−2.Dabei ist stets di−1 ≥ 0, weil kein Knoten den Grad 0 hat. Mit der Gleichung(K) läßt sich häufig leicht entscheiden, ob eine gegebene Folge die Gradfolgeeines Baumes sein kann oder nicht. Mit Hilfe eines Induktionsbeweises, den wirhier weglassen (Blätter schrittweise abpflücken!) erhält man die folgende Formel:

    25

  • Satz 3.30 Zu jeder Folge (k1, ..., km) von ganzen Zahlen ki mit 0≤ki

  • 3.4 Mehrfacher Zusammenhang

    Dieser Begriff ist für die Theorie der Netzwerke, Kommunikations- und Trans-portsysteme (also generell für die Informatik) von großer Bedeutung, dochkönnen wir hier nur kurz auf einige wenige Aspekte eingehen.

    Ein Netzwerk (bestehend aus Knoten und Verbindungen) ist umso stabi-ler, je mehr Verbindungen zur Verfügungen stehen. So wird man sich häufigwünschen, dass durch Ausfall einiger “Stationen” oder “Leitungen” nicht dieKommunikation oder der Transport zusammenbricht. Der graphentheoretischeBegriff, der diese “Robustheit” beschreibt, ist der mehrfache Zusammenhang.Genauer nennt man einen Graphen G = (X,E) k-fach eckenzusammenhängendoder k-zusammenhängend, wenn er mehr als k Ecken hat und nach Herausnahmeeiner beliebigen Menge Y von k−1 Ecken immer noch einen zusammenhängendenGraphen auf der Restmenge X \Y induziert. Entsprechend heißt G k-fach kan-tenzusammenhängend, falls nach Entfernen von je k−1 Kanten immer noch einzusammenhängender Graph übrigbleibt.

    Beispiele 3.33 (1) Ein 2-fach eckenzusammenhängender Graph ist stets auch2-fach kantenzusammenhängend, aber die Umkehrung gilt nicht! Der folgendeGraph ist 2-fach kanten-, aber nicht 2-fach eckenzusammenhängend:

    d ddd d

    JJ

    JJ

    (2) Bäume sind niemals 2-fach zusammenhängend, da es (außer im Extrem-fall von höchstens zwei Ecken) immer einen Knoten gibt, der kein Blatt ist, undnach Entfernen eines solchen Knotens zerfällt der Baum. Aus einem ähnlichenGrund sind Bäume auch nie 2-fach kantenzusammenhängend (siehe die Dia-gramme nach 2.21).

    (3) Ein n-Eck (mit n > 2) ist stets 2-fach, aber niemals 3-fach ecken- bzw. kan-tenzusammenhängend. Allgemeiner ist jeder Hamiltonsche Graph 2-zusammen-hängend und jeder Eulersche Graph 2-fach kantenzusammenhängend.

    c cc cc cc c@@

    �� @@

    �� cc cc cc c�� @@

    �� cc cc cc��

    �� c cc cc cc c@@

    �� @@

    �� c cc cc cc c@@

    �� @@

    ��

    (4) Am stärksten zusammenhängend sind natürlich die vollständigen Graphen(Simplexe) Km = (m,P2m). Definitionsgemäß sind sie zwar nicht m-zusammen-hängend (da es nur m Knoten gibt), aber sie sind sowohl (m−1)-ecken- als auch(m−1)-kantenzusammenhängend. Für den Eckenzusammenhang ist das klar,weil alle induzierten Teilgraphen wieder Simplexe sind. Für den Kantenzusam-menhang beweisen wir ein stärkeres Resultat:

    27

  • Satz 3.34 Jeder Graph mit m Knoten und mindestens

    (m−1)(m−2)/2 + k = m(m−1)/2− (m−k−1)Kanten ist k-fach kantenzusammenhängend.

    Nach Herausnahme von m−k−1 Kanten aus einem vollständigen Graphen Kmbleibt also noch ein k-fach kantenzusammenhängender Graph übrig.

    Beweis. Zerfällt ein Graph mit m > k Knoten nach Entfernen von k−1 Kantenin mindestens zwei Komponenten, von denen eine n Elemente hat, so besitztder Restgraph maximal

    n(n−1)/2 + (m−n)(m−n−1)/2 = m(m−1)/2−n(m−n) ≤ (m−1)(m−2)/2Kanten. Der Ausgangsgraph hat also höchstens (m−1)(m−2)/2 + k−1 Kanten.Durch Kontraposition folgt die Behauptung. �

    Beispiel 3.35 Ein 3-fach kantenzusammenhängender Graph, der nach Entfer-nen von drei Kanten zerfällt, also nicht 4-fach kantenzusammenhängend ist:

    cc cc��@@ cc cc��@@�� cc cc��@@ cc cc��@@Im Folgenden konzentriert sich unser Interesse auf 2-fachen Zusammenhang.

    Deinitionsgemäß ist ein Graph mit mindestens drei Knoten genau dann 2-zusammenhängend, wenn das Entfernen einer beliebigen Ecke den Zusammen-hang nicht zerstört. Solche Graphen besitzen eine naheliegende und einfacheCharakterisierung:

    Satz 3.36 Ein Graph ist genau dann 2-zusammenhängend, wenn je zwei seinerEcken auf einem Kreis liegen.

    Beweis. Wenn letzteres der Fall ist, kann man eine beliebige Ecke löschen, undes bleibt mindenstens ein Weg zwischen je zwei Ecken des Restgraphen (dasie auf einem Kreis des ursprünglichen Graphen liegen). Die Umkehrung istnicht so einfach zu sehen, man beweist sie zum Beispiel per Induktion überden Abstand (die Länge eines kürzesten verbindenden Pfades) zwischen zweiEcken x und y. Ist dieser gleich 1, so ist xy eine Kante, und nach Entfernenderselben bleibt ein Pfad zwischen x und y, der zusammen mit xy einen Kreisliefert, auf dem x und y liegen. Ist die Aussage für alle Eckenpaare vom Abstand< k bewiesen, so findet man für zwei beliebige Ecken x, y mit Abstand k einenkürzesten Verbindungspfad (x = x0, ..., xk = y). Da x und xk−1 den Abstandk−1 haben, liegen sie nach Induktionsannahme auf einem Kreis K in G. DerRestgraph G− xk−1 ist zusammenhängend und enthält daher einen Pfad von xnach y. Aus einem Teil dieses Pfades und einem Teil des Kreises K bastelt mannun einen Kreis, der x und y enthält, gemäß der nachfolgenden Skizze:

    28

  • c ccx cc cxk−1c c@@

    �� @@

    ��

    cyc ccx cc cc c

    @@

    ��

    ����ccy c ccx cc cxk−1c c@@

    �� @@

    ��ccy

    Man kann alle 2-zusammenhängenden Graphen sukzessive generieren, in-dem man, mit einem Kreis startend, schrittweise neue Pfade anhängt, deren(verschiedene!) Endpunkte in dem jeweils zuletzt konstruierten Graphen liegen,während alle anderen (”inneren”) Ecken des Pfades neu hinzukommen.

    Beispiel 3.37 Anfügen von “Ohren”

    cc cc c cc cc cc c@@

    �� @@

    ��cc c cc cc cc c@@

    �� @@

    ��cc ccc ccc c

    @@

    �� @@

    �� c cc cc cc c@@

    �� @@

    ��cccc

    �� @@

    ccc ccc c

    @@

    �� @@

    ��

    Etwas anders formuliert, hat man folgende Charakterisierung:

    Satz 3.38 Ein endlichen Graph ist genau dann 2-zusammenhängend, wenn eraus einem Dreieck durch wiederholtes Hinzufügen von Kanten und Unterteilenvon bereits vorhandenen Kanten (d.h. Einfügen von neuen Ecken auf diesenKanten) hervorgeht.

    Zu Satz 3.36 gibt es eine wichtige Verallgemeinerung auf k-fachen Zusam-menhang, den berühmten Satz von Menger (1927). Zu seiner Formulierung brau-chen wir sogenannte trennende Ecken- bzw. Kantenmengen. Man sagt, eine Teil-menge T von Ecken trennt zwei nicht in T liegende Ecken x und y eines GraphenG = (X,E), falls x und y in dem Restgraph G−T durch keinen Weg verbundenwerden können, also in zwei verschiedenen Komponenten liegen. Mit anderenWorten: Jeder x mit y verbindende Weg enthält eine Ecke aus T . Entsprechendtrennt eine Kantenmenge K die Ecken x und y, falls x und y in verschiedenenKomponenten des Restgraphen G−K liegen. Offenbar sind Ex = {z | xz ∈ E}und Ey = {z | yz ∈ E} stets trennende Eckenmengen für x und y, sofern x undy nicht adjazent sind. Entsprechend sind {e ∈ E |x ∈ e} und {e ∈ E |y ∈ e}trennende Kantenmengen für x und y, manchmal sogar die einzigen.

    Beispiele 3.39 (1) Ein Graph mit drei von acht zweielementigen trennendenEckenmengen und zwei von fünf zweielementigen trennenden Kantenmengen fürx und y:

    29

  • cs scc cc c

    �� @@

    @@

    @@

    @@

    ��

    @@ ��

    @@ ��

    x

    y

    sc ccs cc c

    �� @@

    @@

    @@

    @@

    ��

    @@ ��

    @@ ��

    x

    y

    sc ccc cs c

    �� @@

    @@

    @@

    @@

    ��

    @@ ��

    @@ ��

    x

    y

    cc ccc cc c

    �� @@

    @@

    @@

    @@

    ��

    @@ ��

    @@ ��

    x

    y

    @@@@

    @@@@ cc ccc cc c

    �� @@

    @@

    @@

    @@

    ��

    @@ ��

    @@ ��

    x

    y

    @@@@

    @@@@

    (2) Ein Graph mit drei von elf trennenden Eckenmengen und zwei von viertrennenden Kantenmengen minimaler Mächtigkeit 3 für x und y:

    c ccs sc cc

    ccs

    �� @@

    @@ ��

    ��@@

    @@��

    �� @@

    @@ ��x

    y

    c csc cs sc

    ccc

    �� @@

    @@ ��

    ��@@

    @@��

    �� @@

    @@ ��x

    y

    s csc cc sc

    ccc

    �� @@

    @@ ��

    ��@@

    @@��

    �� @@

    @@ ��x

    y

    c ccc cc cc

    ccc

    �� @@

    @@ ��

    ��@@

    @@��

    �� @@

    @@ ��x

    y

    �� @@

    c ccc cc cc

    ccc

    �� @@

    @@ ��

    ��@@

    @@��

    �� @@

    @@ ��x

    y

    @@ ��

    (3) Ein Graph mit einer eindeutigen zweielementigen trennenden Eckenmengeund nur zwei trennenden Kantenmengen minimaler Mächtigkeit 3 für x und y:

    c cc cc

    css

    ���

    AAAA

    AA

    ���

    �� @@

    @@ ��x

    y

    c cc cc

    ccc

    ���

    AAAA

    AA

    ���

    �� @@

    @@ ��x

    y

    �� @@

    c cc cc

    ccc

    ���

    AAAA

    AA

    ���

    �� @@

    @@ ��x

    y

    @@ ��

    Zwei Wege zwischen x und y heißen eckendisjunkt, falls sie außer den End-ecken x und y keinen weiteren gemeinsamen Ecken haben, und kantendisjunkt,falls sie keine gemeinsamen Kanten haben. Die Verallgemeinerung des Satzes3.36 von 2 auf k lautet nun:

    Satz 3.40 Für je zwei nichtadjazente Ecken x und y in einem endlichen Gra-phen G ist die maximale Anzahl eckendisjunkter Wege von x nach y gleich derMinimalzahl trennender Ecken. Analoges gilt für Kanten statt Ecken.

    Beweisidee. Eine trennende Eckenmenge muss natürlich mindestens so viele Ele-mente haben, wie es disjunkte Wege zwischen x und y gibt (sonst könnte mansich auf einem Weg an dieser Trennmenge “vorbeimogeln”). Zu zeigen ist also,dass die Existenz einer x und y trennenden Menge T mit einer Minimalzahl vonk Ecken auch k eckendisjunkte Wege zwischen x und y garantiert. Dies beweistman durch eine raffinierte Induktion über die Anzahl m der Ecken des Graphen,worauf wir hier aber verzichten wollen.

    30