Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0809 WS 2008/09 Diskrete Strukturen
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Prof. Dr. J. Esparza
Lehrstuhl für Grundlagen derSoftwarezuverlässigkeit und theoretische
InformatikFakultät für Informatik
Technische Universität München
http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0809
WS 2008/09
Diskrete Strukturen
Vorlesung Diskrete Strukturen WS 08/09Prof. Dr. J. Esparza – Institut für Informatik, TU München
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Kapitel V – Algebraische Strukturen • Algebraische Strukturen
– Grundlagen
– Gruppen
– Endliche Körper
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Kapitel V – Algebra; Gruppen • Sei A = S,◦ eine Gruppe. Dann gilt:
– S enthält genau ein neutrales Element e.
– Jedes a 2 S hat genau ein inverses Element a-1.
– Für alle a S: a = (a-1)-1 (Involutionsgesetz)
– Für alle a,b,c S (Kürzungsregel):
a ◦ c = b ◦ c a = b
c ◦ a = c ◦ b a = b
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Kapitel V – Algebra; Gruppen • Sei A = S,◦ eine Gruppe. Dann gilt:
– Für alle a,x,b S (eindeutige Lösung linearer Glgn.)
a ◦ x = b x = a-1 ◦ b
x ◦ a = b x = b ◦ a-1
– Für alle a,b,c S (Injektivität der Operation ◦)
a b a ◦ c b ◦ c c ◦ a c ◦ b
– Für alle a,b S (Surjektivität der Operation ◦)
( x)(a ◦ x = b) und ( y)(y ◦ a = b)
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Kapitel V – Algebra; Gruppen • Beweis:
Beweis der Eindeutigkeit von e:
Seien e1, e2 neutrale Elemente. Dann gilt
e1 = e1 ± e2 = e2 . ⃞
Beweis der Eindeutigkeit von a-1:
Seien i1, i2 inverse Elemente von a.
i1 = i1 ± e = i1 ± (a ± i2) = (i1 ± a) ± i2 = e ± i2 = i2.
⃞
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Kapitel V – Algebra; Gruppen • Beweis:
Beweis von: a = (a-1)-1 (Involutionsgesetz)
(a-1)-1 =: b = b ◦ e = b ◦ (a-1 ◦ a)
= (b ◦ a-1) ◦ a = e ◦ a = a. ⃞
Beweis von: a ◦ c = b ◦ c a = b (Kürzungsregel)
b = b ◦ (c ◦ c-1) = (b ◦ c) ◦ c-1 = (a ◦ c) ◦ c-1
= a ◦ (c ◦ c-1) = a. ⃞
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Kapitel V – Algebra; Gruppen • Verknüpfung eines Elements mit sich selbst
Definition:
Sei A = S,◦ eine Gruppe, a S, dann ist
a0 := e
an := a ◦ an-1 = an-1 ◦ a n 1
a-n := (a-1)n
Man bezeichnet an auch als die n-te Potenz des Elements a.
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Kapitel V – Algebra; Gruppen • Ordnung eines Gruppenelements
Definition:
Sei A = S,◦ eine Gruppe mit dem neutralen Element e. Sei a S ein Gruppenelement mit a e. Dann ist die Ordnung ord(a) von a die minimale Zahl r ℕ, so dass ar = e.
Falls kein solches r existiert, dann ist ord(a) := .
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Kapitel V – Algebra; Gruppen • Ordnung eines Gruppenelements
Beispiele:
ℤ,+ : ord(1) = .
ℤ12,+12 :
a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
ord(a) 1 12 6 4 3 12 2 12 3 4 6 12
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Kapitel V – Algebra; Gruppen • Ordnung eines Gruppenelements
Satz:Sei A = S,◦ eine endliche Gruppe. Dann hat auch jedes Element in S endliche Ordnung.Beweis:Sei a S beliebig. Mindestens zwei der Elemente a0,…,a|S| sind gleich (Schubfachprinzip). Wähle zwei Elemente aj= ak mit 0≤j<k, so dass k minimal ist.Durch Multiplikation mit a-j erhält man a0 = ak-j . Da k minimal gewählt wurde, kann dies nur für j=0 gelten, d.h. e=a0 =ak . Aus der Minimalität von k folgt dann ord(a) = k.
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Kapitel V – Algebra; Gruppen • Untergruppen
Definition:
Eine Unteralgebra H,◦ einer Gruppe G,◦ heißt Untergruppe von G, falls H,◦ ein Gruppe ist.
Beispiele:
ℤ, + ist Untergruppe von ℚ, + .
ℤn, +n ist nicht Untergruppe zu ℤ, + , da sich die Operationen unterscheiden.
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Kapitel V – Algebra; Gruppen • Untergruppen
Lemma:
Ist G eine Gruppe und H eine Untergruppe von G, dann sind die neutralen Elemente von G und H identisch.
Beweis: Seien eH und eG die neutralen Elemente von H und G. Dann gilt
eH ◦ eH = eH = eG ◦ eH
und daraus folgt eH = eG.
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Kapitel V – Algebra; Gruppen • Untergruppen
Satz:Jede Unteralgebra (bzgl. ◦) einer endlichen Gruppe ist eine Untergruppe.Beweis:Sei S,◦ eine Unteralgebra einer endliche Gruppe T,◦ . Sei b S, b e. Dann gilt:
bn S für alle n ℕ.
Sei m := ord(b). Dann gilt:e = bm = bm-1 ◦ b = b ◦ bm-1
d.h. bm-1 S ist das Inverse zu b. □
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Kapitel V – Algebra; Gruppen • Untergruppen
Satz:
Seien A1 = S1,◦ und A2 = S2,◦ Untergruppen von A = S,◦ . Dann ist auch A1 A2 = S1 S2,◦eine Untergruppe von A.
Beweis:
a S1 S2 a-1 S1 a-1 S2
a-1 S1 S2 □
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