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Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0809 WS 2008/09 Diskrete Strukturen
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WS 2008/09 Diskrete Strukturen - TUM - Chair VII · Vorlesung Diskrete Strukturen WS 08/09 Prof. Dr. J. Esparza –Institut für Informatik, TU München 2 Kapitel V –Algebraische

May 20, 2020

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Prof. Dr. J. Esparza

Lehrstuhl für Grundlagen derSoftwarezuverlässigkeit und theoretische

InformatikFakultät für Informatik

Technische Universität München

http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0809

WS 2008/09

Diskrete Strukturen

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Kapitel V – Algebraische Strukturen • Algebraische Strukturen

– Grundlagen

– Gruppen

– Endliche Körper

• Zahlenkörper

• Polynomkörper

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Kapitel V – Algebra; Körper• Definition:

Eine Algebra mit zwei zweistelligen

Operatoren und heißt , falls

. ist eine abelsche Gruppe

mit neutralem Element 0 .

. ist ein Monoid mit neutral

Rin

em Element 1

g

R1

R2

R3.

(

A S, ,

S,

S

S, S.

a b c

) ( ) ( )

( ) ( ) (c )

a b a c a,b,c S

b c a b a a a,b,c S

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Kapitel V – Algebra; Körper• Definition:

Eine Algebra mit zwei zweistelligen

Operatoren und heißt , falls

. ist ein abelscher Gruppe

mit neutralem Element 0 .

. 0 ist eine abelsche

Körper

K1

K Gruppe mit

neutralem

2

A S, ,

S,

S

S \ ,

Element 1

. ( ) ( ) ( )

(Das Rechts-Distributivgesetz folgt aus den

übrigen Eigensch

K

afte

3

n.)

S.

a b c a b a c a,b,c S

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Kapitel V – Algebra; Körper• Beispiele

(wobei im weiteren Verlauf häufig durch + und ⊙ durch ersetzt werden)

2 2 2

: kommutativer (in Bezug auf ) Ring

1: kommutativer Ring

: Körper

: Körper

n n n

, ,

, , n ,n

, , , , ,

, ,

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Kapitel V – Algebra; Körper• Beispiel:

Setzt man K = {0,1,a,b} und definiert eine Addition und Multiplikation wie folgt:

so bildet K,⊕,⊙ einen Körper.

0 1 a b

0 0 1 a b

1 1 0 b a

a a b 0 1

b b a 1 0

⊙ 0 1 a b

0 0 0 0 0

1 0 1 a b

a 0 a b 1

b 0 b 1 a

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Kapitel V – Algebra; Körper• Endliche Körper sind in der Kryptographie und in

der Computer-Algebra sehr nutzlich.• Frage: wie findet man endliche Körper?• Wir werden eine erste Antwort durch diesen Satz

geben:Satz: Bezeichnet man mit +n und n die Addition bzw. Multiplikation Modulo n, so gilt:

ℤn, +n, n ist ein Körper n ist Primzahl.• Zur Vorbereitung brauchen wir einige

Grundeigenschaften des größten gemeinsamen Teilers zweier Zahlen.

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Kapitel V – Algebra; Körper• Größter gemeinsamer Teiler

Definition:

Seien a, b ℕ. Der größte gemeinsame Teiler von a und b ist die größte natürliche Zahl, die sowohl a als auch b teilt, d.h.

ggT(a, b) := max{k ℕ | k|a und k|b}

wobei k|m eine Abkürzung für „k teilt m“ ist.

Sind a1,…, an ℕ, n 3, dann definieren wir

ggT(a1,…, an) := ggT(ggT(a1,…, an-1), an).

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Kapitel V – Algebra; Körper• Größter gemeinsamer Teiler

Satz: Seien x, y 2 Nmit x · y :

1. Wenn y mod x = 0 dann ggT(x,y) = x

2. Wenn y mod x > 0 dann ggT(x,y) = ggT(x,y mod x)

Beweis:

1. Klar. Zu 2. : Es gilt y = (y mod x) + by/xc x. Daraus folgt für alle z 2 N:

(z|x und z|y) gdw. (z|x und z|(y mod x)).

Damit haben (x,y) und (x, y mod x) dieselben gemeinsamen Teiler, und so ggT(x, y) = ggT(x, y mod x).

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Kapitel V – Algebra; Körper• Größter gemeinsamer Teiler

Der Satz führt zum Euklidischen Algorithmus zur Berechnung vom ggT zweier Zahlen:

(Euklid von Alexandria, ca. 325–265 v. Chr.)

Procedure ggT (x, y ℕmit x y)

if y mod x = 0 then return xelse return ggT(y mod x, x)

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Kapitel V – Algebra; Körper• Größter gemeinsamer Teiler

Satz: Seien x, y 2 N. Es gibt a, b 2 Zmit

ggT(x,y) = a x + b y

Beweis: Durch Induktion über max{x,y}.

Basis: max{x,y}=1.

Dann x=1=y und ggT(x,y) = 1 = 1 x + 0 y.

Schritt: max{x,y} > 1.

O.b.d.A. sei x · y. Wir betrachten zwei Fälle.

Fall 1. y mod x = 0. Dann ggT(x,y) = x = 1 x + 0 y.

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Kapitel V – Algebra; Körper• Größter gemeinsamer Teiler

Fall 2. y mod x > 0. In diesem Fall gelten x < y und ggT(x, y) = ggT(y mod x, x). Wir haben

max{y mod x, x} = x < y ·max{x,y}

und so (Induktionsannahme) gibt es a´, b´ 2 Zmit

ggT(x,y) = ggT(y mod x, x) = a´ (y mod x) + b´ x

Mit y mod x = y - by/xc x erhalten wir

ggT(x,y) = a´ (y -by/xc x) + b´ x

= (b´-by/xc a´) x + a´ y.

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Kapitel V – Algebra; Körper• Größter gemeinsamer Teiler

Der Beweis des Satzes führt zu einem Algorithmus für die Berechnung der Zahlen a und b, dem ErweitetenEuklidischen Algorithmus:

Procedure ErwggT(Zahlen x,y ℕmit x y)

if y mod x = 0 then return (1, 0)else

(a´, b´) Ã ErwggT(y mod x, x);(a , b) Ã (b´-by/xc a´ , a´);return (a, b)

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Kapitel V – Algebra; Körper• Größter gemeinsamer Teiler

Beispiel mit x= 45, y = 63.

ggT(45,63) 9 = (1 – b63/45c· (-2)) · 45 + (-2) · 63 = = 3 · 45 + (-2) · 63

ggT(18,45) 9 = (0 – b45/18c· 1) · 18 + 1 · 45 = = -2 · 18 + 1 · 45

ggT( 9,18) 9 = 1 · 9 + 0 · 18=9

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Kapitel V – Algebra; Körper• Eigenschaften von Körpern

Satz: In jedem Körper K gilt für alle a K :

a 0 = 0 a = 0

Beweis:

Es sei a ein beliebiges Element aus K. Dann folgt aus den Axiomen:

0 + (a 0) = a 0 = a (0 + 0) = (a 0) + (a 0).

Die Kürzungsregel ergibt 0 = a 0 □

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Kapitel V – Algebra; Körper• Eigenschaften von Körpern

Satz: In jedem Körper K gilt für alle a,b 2 K:

a b = 0 a = 0 oder b = 0.

(Körper sind nullteilerfremd)

Beweis:

Seien a,b mit a b = 0. Falls a 0, so existiert ein multiplikatives Inverses a−1 von a. Unter Verwendung des Satzes auf der letzten Seite folgt damit: b = 1 b = a−1 a b = a−1 0 = 0.

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Kapitel V – Algebra; Körper• Eigenschaften von Körpern

Satz: ℤn, +n, n ist ein Körper , n ist Primzahl.

Beweis:

()): Wir beweisen die Kontraposition. Sei n 2 N eine zusammengesetzte Zahl (also keine Primzahl). Dann gibt es Zahlen a,b, mit 1 < a · b < n und a b = n. Insbesondere gilt a 0 b.

Aus a b = n folgt a n b = 0. Damit gilt

a 0 b und a n b = 0. Aus dem Satz auf der vorigen Seite folgt, dass ℤn, +n, n kein Körper ist.

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Kapitel V – Algebra; Körper• Eigenschaften von Körpern

Satz: ℤn, +n, n ist ein Körper , n ist Primzahl.

Beweis:

((): Sei n 2 N beliebig. ℤn, +n ist eine abelscheGruppe. Darüber hinaus ist n assoziativ und kommutativ mit neutralem Element 1. Die Distributivgesetze gelten.

Wir zeigen: Wenn n eine Primzahl ist, dann hat jedes Element von ℤn ein inverses Element.

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Kapitel V – Algebra; Körper• Eigenschaften von Körpern

Beweis (Forts.):Sei n Primzahl. Zu zeigen ist : für jedes x ℤn gibt es ein y ℤn mit (x n y) 1.Sei x ℤn beliebig. Mit n Primzahl gilt ggT(x,n) = 1. Es existieren also Zahlen a, b 2 Zmit a · x + b · n = 1 (Erweiterter Euklidischer Algorithmus).Damit gilt (a n x) +n (b n n) ´ 1.Aus (b n n) ´ 0 folgt (a n x) ´ 1. Wähle y := a.