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Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910 WS 2009/10 Diskrete Strukturen
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WS 2009/10 Diskrete Strukturen - TUM - Chair VII ... Diskrete Strukturen WS 09/10 Prof. Dr. J. Esparza –Institut für Informatik, TU München 3 Kapitel IV –Graphen; Bäume •Bäume

Apr 02, 2018

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  • Prof. Dr. J. Esparza

    Lehrstuhl fr Grundlagen derSoftwarezuverlssigkeit und theoretische

    InformatikFakultt fr Informatik

    Technische Universitt Mnchen

    http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

    WS 2009/10

    Diskrete Strukturen

    http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws09http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws09

  • Vorlesung Diskrete Strukturen WS 09/10Prof. Dr. J. Esparza Institut fr Informatik, TU Mnchen

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    Kapitel IV Graphentheorie Graphentheorie

    Grundlagen

    Bume

    Eigenschaften von Graphen

    Graphen-Algorithmen

    Matchings

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    Kapitel IV Graphen; Bume Bume

    Definition: Ein ungerichteter Graph G = (V,E) heit Baum, falls G zusammenhngend und kreisfrei ist.

    Ein Knoten v mit deg(v) = 1 heit Blatt (leaf).

    Alle anderen Knoten heien innere Knoten.

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    Kapitel IV Graphen; Bume Graph oder Baum?

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    Kapitel IV Graphen; Bume Bume

    Die Bume mit hchstens 5 Knoten sind

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    Kapitel IV Graphen; Bume Ein Baum

    a

    b

    c

    d

    e

    f

    g

    h

    i

    j k l

    m

    no

    p

    q

    r

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    Kapitel III Graphen; Bume Wlder

    Definition:

    Ein Graph, dessen (Zusammenhangs-) Komponenten jeweils Bume sind, heien Wlder.

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    Kapitel IV Graphen; Bume Eigenschaften von Bumen

    Satz:

    Jeder Baum T = (V,E) mit |V| 2 enthlt mindestens zwei Bltter.

    Beweis (verifiziere anhand der vorletzten Folie):

    Nehme eine beliebige Kante und laufe nach links und rechts solange du kannst. Da man nicht in einen Zyklus geraten kann endet man irgendwann in einem Blatt.

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    Kapitel IV Graphen; Bume Eigenschaften von Bumen

    Satz:

    Ist T = (V,E) ein Baum mit |V| 2 Knoten und v V ein Blatt, so ist der Graph T := T[V \ {v}] ebenfalls ein Baum.

    Beweis:

    Durch Wegnahme eines Blattes bleibt der Baum kreisfrei. Da Pfade zwischen beliebigen Knoten u und w erhalten bleiben, ist der Graph T auch zusammenhngend.

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    Kapitel IV Graphen; Bume Eigenschaften von Bumen

    Definition:Ein Teilgraph T = (V,E) von G = (V,E) heit Spannbaumvon G, falls T ein Baum und V= V.

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    Kapitel IV Graphen; Bume Eigenschaften von Bumen

    Satz: Jeder zusammenhngende Graph G =(V, E) enthlt mindestens einen Spannbaum.

    Beweis: Durch Induktion ber |E|.

    Basis: |E|=0. Dann ist G ein Baum und auch ein Spannbaum.

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    Kapitel IV Graphen; Bume Eigenschaften von Bumen

    Schritt: |E| 1. Wir betrachten zwei Flle.

    Fall 1. G ist ein Baum. Dann ist G auch Spannbaum.

    Fall 2. G ist kein Baum. Dann enthlt G einen Kreis. Entferne eine beliebige Kante des Kreises. Das Ergebnis G ist noch zusammenhngend und enthlt einen Spannbaum T (Induktionsannahme). T ist auch Spannbaum von G.

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    Kapitel IV Graphen; Bume Eigenschaften von Bumen

    Satz:

    Die folgenden Aussagen sind quivalent:

    (1) G = (V,E) ist ein Baum

    (2) Je zwei Knoten u,v V mit u v sind durch genau einen Pfad verbunden

    (3) G ist zusammenhngend und |V| = |E| + 1.

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    Kapitel III Graphen; Bume(1) , (2)

    Kein Kreis , keine zwei Knoten sind durch zwei verschiedene Pfade verbunden.

    Zusammenhngend , jede zwei Knoten sind durch mindestens einen Pfad verbunden.

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    Kapitel III Graphen; Bume(1) (3)

    Sei G=(V,E) ein Baum. Wir zeigen |V|=|E|+1 durch Induktion ber |V|:

    Basis: |V|= 1. Dann gilt |E|= 0 und wir sind fertig.

    Schritt: |V| 2. Sei u ein Blatt von G (G hat mindestens zwei Bltter). Entferne u sowie die Kante, die u mit dem Rest von G verbindet. Sei G=(V,E) der resultierender Graph. G ist wieder ein Baum. Mit |V| < |V| gilt |V| = |E| + 1 (Induktionsannahme). Mit |V| = |V|+1 und |E| = |E|+ 1 gilt |V| = |E| + 1.

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    Kapitel III Graphen; Bume(3) (1)

    Sei G=(V,E) zusammenhngend mit |V|=|E|+1.

    G enthlt einen Spannbaum T = (V, E) . Nach dem eben Bewiesenen gilt |V| =|E| + 1. Aus |V|=|E|+1 und |V| =|E| + 1 folgt |E|=|E|.

    Da E eine Teilmenge von E ist gilt E = E.

    Es folgt G = T.

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    Kapitel IV Graphen; Bume Eigenschaften von Bumen

    Korollar:Seien T = (V,E) ein Baum mit |V| = n und (d1, d2,, dn) die Gradfolge von T, dann gilt:

    1

    2 2 2 2 2n

    ii

    d E V n

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    Kapitel IV Graphen; Bume Spannbume

    Frage:

    Wieviele aufspannende Bume hat ein Graph?

    Satz:

    Fr vollstndige Graphen auf {1,2,,n} gilt:

    Die Anzahl aufspannender Bume ist t(n) = nn-2

    (Achtung: die Knoten sind unterscheidbar!)

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    Kapitel IV Graphen; Bume Spannbume des K2 und K3

    n = 2

    n = 3

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    Kapitel IV Graphen; Bume Spannbume des K4

    n = 4

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    Kapitel IV Graphen; Bume Satz von Cayley:

    Es gibt nn2 markierte Bume mit n Knoten.

    Beweis:

    Wir definieren eine Abbildung von der Menge der markierten Bume mit n Knoten in die Menge der Folgen der Lnge n2 mit Elementen aus {1, ... ,n}

    (siehe die nchsten Folien).

    Diese Abbildung ist eine Bijektion (ohne Beweis).

    Da es nn2 solche Folgen gibt, ist der Satz bewiesen.

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    Kapitel IV Graphen; Bume Die Abbildung: Prfer-Codes

    Gegeben sei ein markierter Baum T(V,E) mit Knotenmenge V = {1, 2, ..., n}, n 2.

    Wiederhole bis |V| = 2:

    Sei v V das Blatt mit der kleinsten Markierung in V.

    Sei u V der einzige Nachbar von v in V.

    Entferne v aus V und {u,v} aus E und

    gebe die Markierung von u aus.

    (Achtung!: die Markierung von u, nicht die von v)

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    Kapitel IV Graphen; Bume Prfer-Codes

    Die Ausgabe des Algorithmus auf der letzten Seite wird der Prfer-Code des Baumes genannt (Heinz Prfer 1896-1934).

    Der Prfer-Code eines Baums ist eine eindeutige Folge der Lnge n2 mit Elementen aus {1, ..., n}.

    Zu einem gegebenen Prfer-Code der Lnge n2 mit Elementen aus {1, ..., n} gibt es einen eindeutigen markierten Baum.

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    Kapitel IV Graphen; Bume Prfer-Codes

    Beispiel:

    http://mathworld.wolfram.com/PrueferCode.html

    http://mathworld.wolfram.com/PrueferCode.html

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    Kapitel IV Graphen; Bume Prfer-Codes

    Beispiel:

    http://mathworld.wolfram.com/PrueferCode.html

    http://mathworld.wolfram.com/PrueferCode.html

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    Kapitel IV Graphen; Bume Wurzelbume

    Definition:Ein Wurzelbaum (rooted tree) ist ein Tupel (T,v) wobei T = (V,E) ein Baum ist und v V ein Knoten, den man auch als Wurzel des Baumes bezeichnet.

    Da es in einem Baum zwischen je zwei Knoten genau einen Pfad gibt, gibt es in einem Wurzelbaum von jedem Knoten genau einen Pfad zur Wurzel.

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    Kapitel IV Graphen; Bume Wurzelbume: Beispiel

    a

    b

    c

    d

    e

    f

    g

    h

    i

    j k l

    m

    no

    p

    q

    r

    root

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    Kapitel IV Graphen; Bume Wurzelbume

    Im Bild eines Wurzelbaumes wird die Wurzel in der Regel oben angeordnet, und die Wege werden von der Wurzel weggerichtet betrachtet.

    Wurzelbume dienen zur graphischen Darstellung hierarchischer Strukturen, z.B. Vererbungen, Stammbume, grammatikalische Strukturen usw.

    A

    B E

    C D

    21

    1 2

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    Kapitel IV Graphen; Bume Wurzelbume

    Die Knoten entlang eines Pfades von v V zur Wurzel heien Vorgnger von v.

    Der zu v benachbarte Vorgnger heit unmittelbarer Nachbar oder auch Vater- bzw. Mutter-Knoten.

    Alle Knoten u V , von denen der Pfad zur Wurzel den Knoten v V enthlt, werden Nachfolger von v genannt.

    Die unmittelbaren Nachfolger werden auch Sohn-oder Kind-Knoten genannt.

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    Kapitel IV Graphen; Bume Wurzelbume

    Ein Binrbaum ist ein Wurzelbaum, in dem jeder Knoten hchstens 2 unmittelbare Nachfolger hat.

    Ein vollstndiger Binrbaum ist ein Binrbaum, in dem jeder innere Knoten genau zwei unmittelbare Nachfolger hat und alle Bltter denselben Abstand zur Wurzel haben.

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    Kapitel IV Graphen; Bume Wurzelbume

    Ein Suchbaum ist ein Binrbaum, bei dem die (direkten) Nachfolger eines Knoten geordnet sind.

    Die Knotenmenge ist eine linear geordnete Menge

    Fr alle inneren Knoten v gilt: Fr alle Knoten u im linken Unterbaum von v gilt: u < v

    Fr alle Knoten u im rechten Unterbaum von v gilt: u v

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    Kapitel IV Graphen; Bume Binrbume