WS 2009/10 Diskrete Strukturen - TUM - Chair VII ... Diskrete Strukturen WS 09/10 Prof. Dr. J. Esparza –Institut für Informatik, TU München 3 Kapitel IV –Graphen; Bäume •Bäume

Prof. Dr. J. Esparza

Lehrstuhl für Grundlagen derSoftwarezuverlässigkeit und theoretische

InformatikFakultät für Informatik

Technische Universität München

http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

WS 2009/10

Diskrete Strukturen



Vorlesung Diskrete Strukturen WS 09/10Prof. Dr. J. Esparza – Institut für Informatik, TU München

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Kapitel IV – Graphentheorie• Graphentheorie

– Grundlagen

– Bäume

– Eigenschaften von Graphen

– Graphen-Algorithmen

– Matchings


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Kapitel IV – Graphen; Bäume• Bäume

Definition: Ein ungerichteter Graph G = (V,E) heißt Baum, falls G zusammenhängend und kreisfrei ist.

Ein Knoten v mit deg(v) = 1 heißt Blatt (leaf).

Alle anderen Knoten heißen innere Knoten.


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Kapitel IV – Graphen; Bäume• Graph oder Baum?


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Kapitel IV – Graphen; Bäume• Bäume

Die Bäume mit höchstens 5 Knoten sind


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Kapitel IV – Graphen; Bäume• Ein Baum

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j k l

m

no

p

q

r


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Kapitel III – Graphen; Bäume• Wälder

Definition:

Ein Graph, dessen (Zusammenhangs-) Komponenten jeweils Bäume sind, heißen Wälder.


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Kapitel IV – Graphen; Bäume• Eigenschaften von Bäumen

Satz:

Jeder Baum T = (V,E) mit |V| 2 enthält mindestens zwei Blätter.

Beweis (verifiziere anhand der vorletzten Folie):

Nehme eine beliebige Kante und laufe nach „links“ und “rechts“ solange du kannst. Da man nicht in einen Zyklus geraten kann endet man irgendwann in einem Blatt. □


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Satz:

Ist T = (V,E) ein Baum mit |V| 2 Knoten und v V ein Blatt, so ist der Graph T´ := T[V \ {v}] ebenfalls ein Baum.

Beweis:

Durch Wegnahme eines Blattes bleibt der Baum kreisfrei. Da Pfade zwischen beliebigen Knoten u und w erhalten bleiben, ist der Graph T´ auch zusammenhängend. □


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Definition:Ein Teilgraph T = (V´,E´) von G = (V,E) heißt Spannbaumvon G, falls T ein Baum und V´= V.


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Satz: Jeder zusammenhängende Graph G =(V, E) enthält mindestens einen Spannbaum.

Beweis: Durch Induktion über |E|.

Basis: |E|=0. Dann ist G ein Baum und auch ein Spannbaum.


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Schritt: |E| ¸ 1. Wir betrachten zwei Fälle.

Fall 1. G ist ein Baum. Dann ist G auch Spannbaum.

Fall 2. G ist kein Baum. Dann enthält G einen Kreis. Entferne eine beliebige Kante des Kreises. Das Ergebnis G´ ist noch zusammenhängend und enthält einen Spannbaum T (Induktionsannahme). T ist auch Spannbaum von G. □


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Satz:

Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

(1) G = (V,E) ist ein Baum

(2) Je zwei Knoten u,v V mit u v sind durch genau einen Pfad verbunden

(3) G ist zusammenhängend und |V| = |E| + 1.


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Kapitel III – Graphen; Bäume(1) , (2)

Kein Kreis , keine zwei Knoten sind durch zwei verschiedene Pfade verbunden.

Zusammenhängend , jede zwei Knoten sind durch mindestens einen Pfad verbunden.


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Kapitel III – Graphen; Bäume(1) (3)

Sei G=(V,E) ein Baum. Wir zeigen |V|=|E|+1 durch Induktion über |V|:

Basis: |V|= 1. Dann gilt |E|= 0 und wir sind fertig.

Schritt: |V|¸ 2. Sei u ein Blatt von G (G hat mindestens zwei Blätter). Entferne u sowie die Kante, die u mit dem Rest von G verbindet. Sei G´=(V´,E´) der resultierender Graph. G´ ist wieder ein Baum. Mit |V´| < |V| gilt |V´| = |E´| + 1 (Induktionsannahme). Mit |V| = |V´|+1 und |E| = |E´|+ 1 gilt |V| = |E| + 1.


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Kapitel III – Graphen; Bäume(3) (1)

Sei G=(V,E) zusammenhängend mit |V|=|E|+1.

G enthält einen Spannbaum T = (V, E´) . Nach dem eben Bewiesenen gilt |V| =|E´| + 1. Aus |V|=|E|+1 und |V| =|E´| + 1 folgt |E|=|E´|.

Da E´ eine Teilmenge von E ist gilt E = E´.

Es folgt G = T. □


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Korollar:Seien T = (V,E) ein Baum mit |V| = n und (d1, d2,…, dn) die Gradfolge von T, dann gilt:

1

2 2 2 2 2n

ii

d E V n


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Kapitel IV – Graphen; Bäume• Spannbäume

Frage:

Wieviele aufspannende Bäume hat ein Graph?

Satz:

Für vollständige Graphen auf {1,2,…,n} gilt:

Die Anzahl aufspannender Bäume ist t(n) = nn-2

(Achtung: die Knoten sind unterscheidbar!)


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Kapitel IV – Graphen; Bäume• Spannbäume des K2 und K3

n = 2

n = 3


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Kapitel IV – Graphen; Bäume• Spannbäume des K4

n = 4


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Kapitel IV – Graphen; Bäume• Satz von Cayley:

Es gibt nn−2 markierte Bäume mit n Knoten.

Beweis:

Wir definieren eine Abbildung von der Menge der markierten Bäume mit n Knoten in die Menge der Folgen der Länge n−2 mit Elementen aus {1, ... ,n}

(siehe die nächsten Folien).

Diese Abbildung ist eine Bijektion (ohne Beweis).

Da es nn−2 solche Folgen gibt, ist der Satz bewiesen.


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Kapitel IV – Graphen; Bäume• Die Abbildung: Prüfer-Codes

Gegeben sei ein markierter Baum T(V,E) mit Knotenmenge V = {1, 2, ..., n}, n 2.

Wiederhole bis |V| = 2:

Sei v V das Blatt mit der kleinsten Markierung in V.

Sei u V der einzige Nachbar von v in V.

Entferne v aus V und {u,v} aus E und

gebe die Markierung von u aus.

(Achtung!: die Markierung von u, nicht die von v)


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Kapitel IV – Graphen; Bäume• Prüfer-Codes

Die Ausgabe des Algorithmus auf der letzten Seite wird der Prüfer-Code des Baumes genannt (Heinz Prüfer 1896-1934).

Der Prüfer-Code eines Baums ist eine eindeutige Folge der Länge n−2 mit Elementen aus {1, ..., n}.

Zu einem gegebenen Prüfer-Code der Länge n−2 mit Elementen aus {1, ..., n} gibt es einen eindeutigen markierten Baum.


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Beispiel:

http://mathworld.wolfram.com/PrueferCode.html



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Beispiel:




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Kapitel IV – Graphen; Bäume• Wurzelbäume

Definition:Ein Wurzelbaum (rooted tree) ist ein Tupel (T,v) wobei T = (V,E) ein Baum ist und v V ein Knoten, den man auch als Wurzel des Baumes bezeichnet.

– Da es in einem Baum zwischen je zwei Knoten genau einen Pfad gibt, gibt es in einem Wurzelbaum von jedem Knoten genau einen Pfad zur Wurzel.


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Kapitel IV – Graphen; Bäume• Wurzelbäume: Beispiel

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j k l

m

no

p

q

r

root


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Im Bild eines Wurzelbaumes wird die Wurzel in der Regel oben angeordnet, und die Wege werden von der Wurzel weggerichtet betrachtet.

– Wurzelbäume dienen zur graphischen Darstellung hierarchischer Strukturen, z.B. Vererbungen, Stammbäume, grammatikalische Strukturen usw.

A

B E

C D

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1 2


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– Die Knoten entlang eines Pfades von v V zur Wurzel heißen Vorgänger von v.

– Der zu v benachbarte Vorgänger heißt unmittelbarer Nachbar oder auch Vater- bzw. Mutter-Knoten.

– Alle Knoten u V , von denen der Pfad zur Wurzel den Knoten v V enthält, werden Nachfolger von v genannt.

– Die unmittelbaren Nachfolger werden auch Sohn-oder Kind-Knoten genannt.


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– Ein Binärbaum ist ein Wurzelbaum, in dem jeder Knoten höchstens 2 unmittelbare Nachfolger hat.

– Ein vollständiger Binärbaum ist ein Binärbaum, in dem jeder innere Knoten genau zwei unmittelbare Nachfolger hat und alle Blätter denselben Abstand zur Wurzel haben.


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– Ein Suchbaum ist ein Binärbaum, bei dem die (direkten) Nachfolger eines Knoten geordnet sind.

• Die Knotenmenge ist eine linear geordnete Menge

• Für alle inneren Knoten v gilt: – Für alle Knoten u im linken Unterbaum von v gilt: u < v

– Für alle Knoten u im rechten Unterbaum von v gilt: u v


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Kapitel IV – Graphen; Bäume• Binärbäume

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