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WS 2016/17 Diskrete Strukturen Kapitel 5: Algebraische Strukturen (Endliche Körper) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/Diskrete_Strukturen _-_Winter_16
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WS 2016/17 Diskrete Strukturen · Kapitel 5: Algebraische Strukturen (Endliche Körper) •Polynomkörper: •Die Elemente des Körpers sind nicht mehr Zahlen, sondern Polynome. •Wir

May 20, 2020

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  • WS 2016/17

    Diskrete StrukturenKapitel 5: Algebraische Strukturen

    (Endliche Körper)

    Hans-Joachim Bungartz

    Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen

    Fakultät für Informatik

    Technische Universität München

    http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/Diskrete_Strukturen_-_Winter_16

  • Vorlesung Diskrete Strukturen WS 13/14Prof. Dr. J. Esparza – Institut für Informatik, TU München 2Diskrete Strukturen – WS 2016/2017

    H.-J. Bungartz (Folien nach J. Esparza)

    Kapitel 5: Algebraische Strukturen (Endliche Körper)

    • Algebraische Strukturen

    – Grundlagen

    – Gruppen

    – Endliche Körper

  • Vorlesung Diskrete Strukturen WS 13/14Prof. Dr. J. Esparza – Institut für Informatik, TU München 3Diskrete Strukturen – WS 2016/2017

    H.-J. Bungartz (Folien nach J. Esparza)

    Kapitel 5: Algebraische Strukturen (Endliche Körper)

    • Ringe und Körper:

    Definition: Eine Algebra 𝑆,⊕,⊙ mit zweistelligen Operatoren ⊕ und ⊙ heißt Ring,falls gilt:

    (1) 𝑆,⊕ ist eine abelsche Gruppe.

    (2) 𝑆,⊙ ist ein Monoid.

    (3) Die Distributivgesetze gelten:

    • 𝑎 ⊙ 𝑏⊕ 𝑐 = 𝑎⊙ 𝑏 ⊕ 𝑎⊙ 𝑐 ,

    • 𝑏 ⊕ 𝑐 ⊙ 𝑎 = 𝑏⊙ 𝑎 ⊕ 𝑐 ⊙ 𝑎 .

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    H.-J. Bungartz (Folien nach J. Esparza)

    Kapitel 5: Algebraische Strukturen (Endliche Körper)

    • Ringe und Körper:

    Definition: Eine Algebra 𝑆,⊕,⊙ mit zweistelligen Operatoren ⊕ und ⊙ heißt Körper, falls

    (1) 𝑆,⊕ ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 0.

    (2) 𝑆 ∖ 0 ,⊙ ist eine abelsche Gruppe.

    (3) Das Linksdistributivgesetz gilt:

    𝑎 ⊙ 𝑏⊕ 𝑐 = 𝑎 ⊙ 𝑏 ⊕ 𝑎⊙ 𝑐

    (das Rechtsdistributivgesetz folgt aus den übrigen

    Eigenschaften.)

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    H.-J. Bungartz (Folien nach J. Esparza)

    Kapitel 5: Algebraische Strukturen (Endliche Körper)

    • Ringe und Körper:

    Beispiele:

    • 〈ℤ,+,∗〉 ist Ring.

    • 〈ℤ𝑛, +𝑛,∗𝑛〉 ist Ring für alle 𝑛 ≥ 1.

    • 〈ℚ,+,∗〉 und 〈ℝ,+,∗〉 sind Körper.

    • 〈ℤ3, +3,∗3〉 ist Körper.

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    Kapitel 5: Algebraische Strukturen (Endliche Körper)

    • Ringe und Körper:

    Beispiel: Ein Körper mit vier Elementen.

    ⊕ 0 1 𝑎 𝑏

    0 0 1 𝑎 𝑏

    1 1 0 𝑏 𝑎

    𝑎 𝑎 𝑏 0 1

    𝑏 𝑏 𝑎 1 0

    ⊗ 0 1 𝑎 𝑏

    0 0 0 0 0

    1 0 1 𝑎 𝑏

    𝑎 0 𝑎 𝑏 1

    𝑏 0 𝑏 1 𝑎

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    Kapitel 5: Algebraische Strukturen (Endliche Körper)

    • Zahlenkörper:

    Satz: Für alle 𝑛 ≥ 2:

    〈ℤ𝑛, +𝑛,∗𝑛〉 ist ein Körper gdw. 𝑛 ist eine Primzahl.

    Beweis: Für alle 𝑛 ≥ 2 erfüllt 〈ℤ𝑛, +𝑛,∗𝑛〉 alle Eigenschaften eines Körpers bis auf die

    Existenz von multiplikativen Inversen in

    〈ℤ𝑛 ∖ {0},∗𝑛〉.

    Diese existieren g.d.w. 𝑛 eine Primzahl ist.

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    Kapitel 5: Algebraische Strukturen (Endliche Körper)

    • Polynomkörper:

    • Die Elemente des Körpers sind nicht

    mehr Zahlen, sondern Polynome.

    • Wir erweitern die Begriffe Summe,

    Produkt, Division, Rest, Modulo und

    Primzahl auf Polynome.

    • Wir führen dann einen zweiten Satz über

    die Existenz endlicher Körper ein.

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    Kapitel 5: Algebraische Strukturen (Endliche Körper)

    • Polynome:

    Definition: Sei 〈𝐾, +,⋅〉 ein (kommutativer) Ring. Ein Polynom über 𝐾 in der Variablen 𝑥 ist ein Ausdruck der Gestalt

    𝑎𝑛 ⋅ 𝑥𝑛 +𝑎𝑛−1 ⋅ 𝑥

    𝑛−1 +⋯+ 𝑎1 ⋅ 𝑥 + 𝑎0,

    wobei 𝑛 ∈ ℕ0, 𝑎𝑖 ∈ 𝐾 und 𝑎𝑛 ≠ 0.

    Der Grad des Polynoms ist 𝑛 und seine Koeffizienten sind 𝑎0, … , 𝑎𝑛.

    𝐾[𝑥] bezeichnet die Menge der Polynome über dem Ring 𝐾 in der Variablen 𝑥.

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    Kapitel 5: Algebraische Strukturen (Endliche Körper)

    • Polynome:

    Definition: Ein Polynom𝑝 𝑥 = 𝑎𝑛 ⋅ 𝑥

    𝑛 +𝑎𝑛−1 ⋅ 𝑥𝑛−1 +⋯+ 𝑎1 ⋅ 𝑥 + 𝑎0

    induziert eine Funktion 𝑓𝑝: 𝐾 → 𝐾 definiert durch

    𝑓𝑝(𝑏) = 𝑎𝑛 ⋅ 𝑏𝑛 +𝑎𝑛−1 ⋅ 𝑏

    𝑛−1 +⋯+ 𝑎1 ⋅ 𝑏 + 𝑎0

    für alle 𝑏 ∈ 𝐾.

    Zwei Polynome sind gleich, wenn sie den gleichen

    Grad und die gleichen Koeffizienten haben.

    (Zu beachten: Verschiedene Polynome können

    dieselbe Funktion induzieren.)

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    Kapitel 5: Algebraische Strukturen (Endliche Körper)

    • Polynome:

    • In praktischen Anwendungen gilt 𝐾 = ℤ oder K =ℤ𝑛.

    • 𝑝(𝑥) = 0 hat Grad −∞.

    • Formal kann das Polynom

    𝑝 𝑥 = 𝑎𝑛 ⋅ 𝑥𝑛 +𝑎𝑛−1 ⋅ 𝑥

    𝑛−1 +⋯+ 𝑎1 ⋅ 𝑥 + 𝑎0auch mit der Folge (𝑎0, … , 𝑎𝑛) gleichgesetzt werden.

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    Kapitel 5: Algebraische Strukturen (Endliche Körper)

    • Operationen auf Polynomen:

    • Seien zwei Polynome gegeben:𝑎 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥

    𝑛 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0,𝑏 𝑥 = 𝑏𝑛𝑥

    𝑛 +⋯+ 𝑏1𝑥 + 𝑏0.

    • Die Summe (𝑎 + 𝑏)(𝑥) ist das Polynom𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 𝑥

    𝑛 +⋯+ 𝑎1 + 𝑏1 𝑥 + 𝑎0 + 𝑏0 .

    • Die Differenz (𝑎 − 𝑏)(𝑥) ist das Polynom𝑎𝑛 − 𝑏𝑛 𝑥

    𝑛 +⋯+ 𝑎1 − 𝑏1 𝑥 + 𝑎0 − 𝑏0 ,

    wobei −𝑏𝑖 das inverse Element von 𝑏𝑖 bezüglich der Summe (im Ring 𝐾) darstellt.

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    Kapitel 5: Algebraische Strukturen (Endliche Körper)

    • Operationen auf Polynomen:

    Beispiele mit ℤ als Ring:

    Für 𝑎(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 + 5 und 𝑏 𝑥 = 4𝑥 + 2 ergibt sich

    𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 + 7,

    𝑎(𝑥) − 𝑏(𝑥) = 𝑥2 − 7𝑥 + 3.

    Für 𝑎(𝑥) = 𝑥3 + 1 und 𝑏(𝑥) = − 𝑥3 + 5 ergibt sich

    𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 = 6,

    𝑎(𝑥) − 𝑏(𝑥) = 2𝑥3 − 4.

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    H.-J. Bungartz (Folien nach J. Esparza)

    Kapitel 5: Algebraische Strukturen (Endliche Körper)

    • Operationen auf Polynomen:

    Beispiele mit ℤ6 als Ring:

    Für 𝑎(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 + 5 und 𝑏 𝑥 = 4𝑥 + 2 ergibt sich

    𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 + 1,

    𝑎 𝑥 − 𝑏 𝑥 = 𝑥2 + 5𝑥 + 3.

    Für 𝑎(𝑥) = 𝑥3 + 1 und 𝑏(𝑥) = − 𝑥3 + 5 ergibt sich

    𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 = 0,

    𝑎 𝑥 − 𝑏 𝑥 = 2𝑥3 + 2.

  • Vorlesung Diskrete Strukturen WS 13/14Prof. Dr. J. Esparza – Institut für Informatik, TU München 15Diskrete Strukturen – WS 2016/2017

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    Kapitel 5: Algebraische Strukturen (Endliche Körper)

    • Operationen auf Polynomen:Das Produkt zweier Polynome

    𝑎 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0,

    𝑏 𝑥 = 𝑏𝑚𝑥𝑚 +⋯+ 𝑏1𝑥 + 𝑏0

    erhält man durch Ausmultiplizieren und anschließendes Sortieren und Zusammenfassen der Koeffizienten, also

    𝑎 ⋅ 𝑏 𝑥 = 𝑎0𝑏0 + 𝑎1𝑏0 + 𝑎0𝑏1 𝑥 +⋯

    =

    𝑖=0

    𝑚+𝑛

    𝑗=0

    𝑖

    𝑎𝑗𝑏𝑖−𝑗𝑥𝑖 .

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    H.-J. Bungartz (Folien nach J. Esparza)

    Kapitel 5: Algebraische Strukturen (Endliche Körper)

    • Operationen auf Polynomen:

    Beispiel mit ℤ6 als Ring:

    Für 𝑎 𝑥 = 𝑥2+ 3𝑥 + 5 und 𝑏 𝑥 = 4𝑥 + 2ergibt sich

    𝑎 ⋅ 𝑏 𝑥 = 1 ⋅ 4 𝑥3 + 1 ⋅ 2 + 3 ⋅ 4 𝑥2 +

    3 ⋅ 2 + 5 ⋅ 4 𝑥 + 5 ⋅ 2= 4𝑥3 + 2𝑥2 + 2𝑥 + 4.

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    Kapitel 5: Algebraische Strukturen (Endliche Körper)

    • Polynomgrad bei diesen Operationen:

    –Beispiel auf dem Ring 𝐾 = ℤ4:𝑎 𝑥 = 2𝑥 + 1, 𝑏 𝑥 = 2𝑥 + 2.𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 = 3, 𝑎 𝑥 ⋅ 𝑏 𝑥 = 2𝑥 + 2.

    –Summe von Polynomen:grad 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥≤ max grad 𝑎 𝑥 , grad 𝑏 𝑥 .

    –Produkt von Polynomen:grad 𝑎 𝑥 ⋅ 𝑏 𝑥 ≤ grad 𝑎 𝑥 + grad 𝑏 𝑥 .Für Polynome auf Körpern gilt hier „=“.

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    Kapitel 5: Algebraische Strukturen (Endliche Körper)

    • Operationen auf Polynomen:

    Die Polynomdivision ist analog zur Division mit Rest bei ganzen Zahlen.

    – Auch hier wird fortgesetzt jeweils der höchste Anteil des verbleibenden Polynoms eliminiert.

    Für gegebene Polynome 𝑎, 𝑏 (𝑏 ≠ 0) mit Koeffizienten aus einem Ring wird hierbei die Gleichung

    𝑎 𝑥 = 𝑞 𝑥 ⋅ 𝑏(𝑥) + 𝑟(𝑥)

    gelöst, wobei grad(𝑟) < grad(𝑏).

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    Kapitel 5: Algebraische Strukturen (Endliche Körper)

    • Operationen auf Polynomen:

    Beispiel:

    4 3 2 2

    4 3 2

    3 2

    3 2

    2

    2

    2 3 div 1 2 3

    (2 2 2 )

    2 3

    ( )

    3 3

    (3 3 3)

    x x x x x x x

    x x x

    x x x

    x x x

    x

    x x

    + + + + - = - +

    - + -

    - + + +

    - - - +

    +

    - + -

    3 6x- +

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    H.-J. Bungartz (Folien nach J. Esparza)

    Kapitel 5: Algebraische Strukturen (Endliche Körper)

    • Operationen auf Polynomen:

    Satz: Zu je zwei Polynomen 𝑎(𝑥) und 𝑏(𝑥)(mit invertierbarem Leitkoeffizienten 𝑏𝑚) gibt es eindeutig bestimmte Polynome 𝑞(𝑥) und 𝑟(𝑥), sodass 𝑎 𝑥 = 𝑞 𝑥 ⋅ 𝑏 𝑥 + 𝑟(𝑥)

    und 𝑟 = 0 oder grad 𝑟 < grad(𝑏).

    Beispiel:

    Im vorhergehenden Schema war das

    2𝑥4 + 𝑥3 + 𝑥 + 3= 2𝑥2 − 𝑥 + 3 𝑥2 + 𝑥 − 1 + −3𝑥 + 6 .

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    H.-J. Bungartz (Folien nach J. Esparza)

    Kapitel 5: Algebraische Strukturen (Endliche Körper)

    • Operationen auf Polynomen:

    Beweis: Gilt grad(𝑎) < grad(𝑏), setze 𝑞 = 0und 𝑟 = 𝑎. Sei also grad 𝑎 ≥ grad(𝑏).

    Induktion über grad(𝑎):

    Basis: grad(𝑎) = 0. Aus grad 𝑎 ≥ grad 𝑏folgt 𝑎(𝑥) = 𝑎0 und 𝑏 𝑥 = 𝑏0 mit invertierbarem 𝑏0 (insbesondere 𝑏0 ≠ 0).

    Wir können daher 𝑞(𝑥) = 𝑎0/𝑏0 und 𝑟(𝑥) = 0setzen.

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    Kapitel 5: Algebraische Strukturen (Endliche Körper)

    • Operationen auf Polynomen:

    Beweis (Fort.):

    Schritt: grad(𝑎) = 𝑛 > 0. Sei grad(𝑏) = 𝑚, 𝑚 ≤ 𝑛, und

    𝑎 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0, 𝑎𝑛 ≠ 0;

    𝑏 𝑥 = 𝑏𝑚𝑥𝑚 +⋯+ 𝑏1𝑥 + 𝑏0, 𝑏𝑚 invertierbar.

    Wir setzen

    𝑐 𝑥 = 𝑎 𝑥 −𝑎𝑛

    𝑏𝑚𝑥𝑛−𝑚 ⋅ 𝑏(𝑥).

    Dann gilt grad(𝑐) < grad(𝑎).

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    Kapitel 5: Algebraische Strukturen (Endliche Körper)

    • Operationen auf Polynomen:

    Beweis (Fort.):

    Nach Induktionsannahme gibt es 𝑞′(𝑥) und 𝑟′(𝑥)mit 𝑐 𝑥 = 𝑞′ 𝑥 ⋅ 𝑏(𝑥) + 𝑟′(𝑥) und 𝑟′(𝑥) = 0 oder grad 𝑟′ < grad(𝑏).

    Es gilt

    𝑎 𝑥 = ( 𝑎𝑛 𝑏𝑚)𝑥𝑛−𝑚 ⋅ 𝑏 𝑥 + 𝑞′ 𝑥 ⋅ 𝑏(𝑥) + 𝑟′(𝑥)

    = 𝑎𝑛 𝑏𝑚 𝑥𝑛−𝑚 + 𝑞′ 𝑥 ⋅ 𝑏(𝑥) + 𝑟′(𝑥)

    =: 𝑞 𝑥 ⋅ 𝑏(𝑥) + 𝑟(𝑥) .

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    Kapitel 5: Algebraische Strukturen (Endliche Körper)

    • Operationen auf Polynomen:

    Beweis (Fort.): Zur Eindeutigkeit:

    Seien 𝑞, 𝑟, 𝑞′, 𝑟′ mit 𝑞 ⋅ 𝑏 + 𝑟 = 𝑎 = 𝑞′ ⋅ 𝑏 + 𝑟′.

    Es folgt 𝑞 − 𝑞′ ⋅ 𝑏 = 𝑟 − 𝑟´ .

    Wenn 𝑞 ≠ 𝑞′, dann gilt:

    • grad 𝑞 − 𝑞′ ⋅ 𝑏 ≥ grad 𝑏 ;

    • grad 𝑟 − 𝑟′ ≤ max grad 𝑟 , grad 𝑟′ <grad(𝑏).

    Widerspruch! Also gilt 𝑞 = 𝑞′ und daher 𝑟 = 𝑟′. □

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    Kapitel 5: Algebraische Strukturen (Endliche Körper)

    • Teilbarkeit und Modulorechnung auf

    Polynomen:Definition:

    –𝑎(𝑥) teilt 𝑏(𝑥), wenn es ein Polynom 𝑞 𝑥 ∈ 𝐾[𝑥] gibt, sodass

    𝑏 𝑥 = 𝑞 𝑥 ⋅ 𝑎 𝑥 .

    –𝑎(𝑥) ist kongruent zu 𝑏(𝑥) modulo 𝜋(𝑥), bezeichnet durch 𝑎 𝑥 ≡ 𝑏 𝑥 mod 𝜋(𝑥),wenn 𝑎(𝑥) − 𝑏(𝑥) durch 𝜋(𝑥) teilbar ist.

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    Kapitel 5: Algebraische Strukturen (Endliche Körper)

    • Teilbarkeit und Modulorechnung auf

    Polynomen:

    Beispiel: Sei 𝐾 = ℤ3 und 𝜋(𝑥) = 𝑥2+ 1.

    Die möglichen Reste der Division durch 𝜋(𝑥)sind die Polynome mit Koeffizienten in ℤ3vom Grad 0 oder 1. Es gibt genau 9 davon:

    0, 1, 2, 𝑥, 𝑥 + 1, 𝑥 + 2, 2𝑥, 2𝑥 + 1, 2𝑥 + 2 .

    Es gilt z.B. 𝑥3+ 1 ≡ (2𝑥 + 1) mod 𝜋(𝑥).

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    Kapitel 5: Algebraische Strukturen (Endliche Körper)

    • Teilbarkeit und Modulorechnung auf Polynomen:Die Kongruenzrelation ≡ teilt 𝐾[𝑥] in Äquivalenzklassen:

    𝐾 𝑥 𝜋 𝑥 ∶= {𝑓 𝑥 ∈ 𝐾 𝑥 ∣ grad(𝑓) < grad(𝜋)}.

    Wenn 𝐾 endlich ist, dann ist 𝐾 𝑥 𝜋 𝑥 auch endlich. Es gilt dann:

    𝑓 𝑥 +𝜋(𝑥) 𝑔 𝑥 := 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 mod 𝜋 𝑥 ,

    𝑓 𝑥 ⋅𝜋(𝑥) 𝑔 𝑥 := 𝑓 𝑥 ⋅ 𝑔 𝑥 mod 𝜋 𝑥 .

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    Kapitel 5: Algebraische Strukturen (Endliche Körper)

    • Polynomkörper:

    Es gilt: 〈ℤ𝑛, +𝑛,∗𝑛〉 ist Körper ⇔ 𝑛 ist Primzahl.

    Wann ist 〈𝐾 𝑥 𝜋 𝑥 , +𝜋 𝑥 ,∗𝜋 𝑥 〉 ein Körper?

    Satz (ohne Beweis): Ist 𝐾 ein endlicher Körper und (𝑥) ein Polynom in 𝐾[𝑥]. Dann gilt:

    〈𝐾 𝑥 𝜋 𝑥 , +𝜋 𝑥 ,∗𝜋 𝑥 〉 ist Körper

    𝜋(𝑥) ist irreduzibel.

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    Kapitel 5: Algebraische Strukturen (Endliche Körper)

    • Polynomkörper:Definition: Ein Polynom 𝜋 𝑥 ∈ 𝐾[𝑥] mit 𝜋 𝑥 ≠ 0 heißt irreduzibel, falls für alle 𝑓(𝑥), 𝑔 𝑥 ∈ 𝐾[𝑥] gilt: Wenn 𝜋 𝑥 = 𝑓 𝑥 ⋅ 𝑔(𝑥), dann grad 𝑓 = 0 oder grad 𝑔 = 0.

  • Vorlesung Diskrete Strukturen WS 13/14Prof. Dr. J. Esparza – Institut für Informatik, TU München 30Diskrete Strukturen – WS 2016/2017

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    Kapitel 5: Algebraische Strukturen (Endliche Körper)

    • Polynomkörper:Beispiel 1: Sei 𝐾 = ℤ2 und 𝜋(𝑥) = 𝑥

    2+ 𝑥 + 1.

    ℤ2 𝑥 𝜋 𝑥 besteht aus allen Polynomen in ℤ2[𝑥]mit Grad 0 oder 1: ℤ2 𝑥 𝜋 𝑥 = {0, 1, 𝑥, 𝑥 + 1}.

    Die Verknüpfungstabellen sehen wie folgt aus:

    +𝜋 𝑥 0 1 𝑥 𝑥 + 1

    0 0 1 𝑥 𝑥 + 1

    1 1 0 𝑥 + 1 𝑥

    𝑥 𝑥 𝑥 + 1 0 1

    𝑥 + 1 𝑥 + 1 𝑥 1 0

    ∗𝜋 𝑛 0 1 𝑥 𝑥 + 1

    0 0 0 0 0

    1 0 1 𝑥 𝑥 + 1

    𝑥 0 𝑥 𝑥 + 1 1

    𝑥 + 1 0 𝑥 + 1 1 𝑥

  • Vorlesung Diskrete Strukturen WS 13/14Prof. Dr. J. Esparza – Institut für Informatik, TU München 31Diskrete Strukturen – WS 2016/2017

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    Kapitel 5: Algebraische Strukturen (Endliche Körper)

    • Polynomkörper:Beispiel 2: Sei 𝐾 = ℤ2 und 𝜋(𝑥) = 𝑥

    2 + 1.

    ℤ2 𝑥 𝜋 𝑥 besteht aus allen Polynomen in ℤ2[𝑥]mit Grad 0 oder 1: ℤ2 𝑥 𝜋 𝑥 = {0, 1, 𝑥, 𝑥 + 1}.Die Verknüpfungstabellen sehen wie folgt aus:

    +𝜋 𝑥 0 1 𝑥 𝑥 + 1

    0 0 1 𝑥 𝑥 + 1

    1 1 0 𝑥 + 1 𝑥

    𝑥 𝑥 𝑥 + 1 0 1

    𝑥 + 1 𝑥 + 1 𝑥 1 0

    ∗𝜋 𝑛 0 1 𝑥 𝑥 + 1

    0 0 0 0 0

    1 0 1 𝑥 𝑥 + 1

    𝑥 0 𝑥 1 𝑥 + 1

    𝑥 + 1 0 𝑥 + 1 𝑥 + 1 0

  • Vorlesung Diskrete Strukturen WS 13/14Prof. Dr. J. Esparza – Institut für Informatik, TU München 32Diskrete Strukturen – WS 2016/2017

    H.-J. Bungartz (Folien nach J. Esparza)

    Kapitel 5: Algebraische Strukturen (Endliche Körper)

    • Polynomkörper:Der Grund, warum ℤ2 𝑥 𝜋(𝑥) für 𝜋 𝑥 = 𝑥

    2 + 1

    die Körpereigenschaften nicht erfüllt, ist der

    folgende:

    𝜋(𝑥) ist reduzibel über 𝐾 = ℤ2, d.h. 𝜋(𝑥) lässt sich als Produkt zweier Polynome vom Grad

    größer gleich 1 über ℤ2 schreiben:𝜋 𝑥 = 𝑥2 + 1 = 𝑥 + 1 ⋅ 𝑥 + 1 .

    Dies ist für 𝑥2 + 𝑥 + 1 jedoch nicht der Fall.

  • Vorlesung Diskrete Strukturen WS 13/14Prof. Dr. J. Esparza – Institut für Informatik, TU München 33Diskrete Strukturen – WS 2016/2017

    H.-J. Bungartz (Folien nach J. Esparza)

    Kapitel 5: Algebraische Strukturen (Endliche Körper)

    • Polynomkörper:

    Satz: Sei 𝐾 ein Körper mit 𝑛 Elementen, und sei 𝑔 𝑥 ∈ 𝐾 𝑥 , 𝑑 = grad 𝑔 ≥ 1.

    Dann besitzt 𝐾[𝑥]𝑔 genau 𝑛𝑑 Elemente.

    Satz: Zu jeder Primzahl 𝑝 und zu jeder natürlichen Zahl 𝑘 ≥ 1 gibt es einen endlichen Körper mit 𝑝𝑘 Elementen; dieser wird mit 𝐺𝐹(𝑝𝑘) bezeichnet. Notation: GF = Galois Field, nach Evariste Galois (1811–1832).

  • Vorlesung Diskrete Strukturen WS 13/14Prof. Dr. J. Esparza – Institut für Informatik, TU München 34Diskrete Strukturen – WS 2016/2017

    H.-J. Bungartz (Folien nach J. Esparza)

    Kapitel 5: Algebraische Strukturen (Endliche Körper)

    Praktische Anwendungen in der Informatik:

    • Arithmetische Operationen im Rechner

    basieren auf diskreten und endlichen

    Zahlsystemen.

    • Algebraische Kurven und algebraische

    Geometrie

    • Kryptographie und Codierungstheorie

    • Computeralgebra-Systeme