Diskrete Mathematik II

Institut für Kartographie und GeoinformationProf. Dr. Lutz Plümer

Diskrete Mathematik IIVorlesung 1

SS 2001

Algorithmus von Dijkstra

Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 1 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 1

2 2

Übersicht über das Semester

• zwei besonders wichtige Algorithmen für GIS– kürzeste Wege in einem Netz– Überlagerung von Netzen, Bestimmung aller Schnittpunkte

• effiziente Zugriffsstrukturen für räumliche Objekte


3 3

Übersicht Vorlesung I

• der kürzeste Weg von A nach B in einem Netz• Beispiel• Problemstellung• Animation des Algorithmus• Formulierung des Algorithmus in Pseudocode• erforderliche Datenstrukturen


4 4

Algorithmus von Dijkstra: Beispiel

Do

Ha

W

Du

K

D

15

8015

80

20

3020


6 6

Do

Ha

W

Du

K

D

20

15

80

80

20 30

15

Beispiel


7 7

Kürzeste Wege: Idee

• Gegeben: Gerichteter Graph, dessen Kanten mit Zahlen (Kosten, z.B. km oder min.) beschriftet sind

• Aufgabe: Berechnung des kürzesten Weges x z von einem Startknoten x zu einem Zielknoten z

• erste Idee: Berechne alle Wege und wähle den kürzesten

• Beobachtung: wenn der kürzeste Weg von x nach z über y führt, sind die Teilwege x y und y z ebenfalls kürzeste Wege

• effiziente Lösung: berechne alle kürzesten Wege und wähle den von x nach z aus

• Algorithmus von Dijkstra: jeder Schritt sitzt („Greedy“-Algorithmus)


8 8

Do

Ha

W

Du

K

D

20

15

80

80

20 30

15



9 9

Do

Ha

Du 20

80

20 30

W

K

D

8015

15

Do

Du

Ha

Do


MinimalerAbstand von Do

Du

80

Ha

20


10 10

Do

Ha

W

Du

K

D

20

80

80

20 30

15

15

W


Do

Du Ha

80 20

W

15

MinimalerAbstand von DO

Do

Ha

W

Du

K

D

20

80

80

20 30

15

15

W


abgearbeitet

noch in Arbeit

noch nicht betrachtet


12 12

Do

Du Ha

W

80 20

15

15

Do

Ha

W

Du

K

D

20

80

80

20 30

15

Bereits vorhanden Du

Kürzester Weg



13 13

Du

Do

Ha

W

20

15

15

Do

Ha

W

Du

K

D

20

80

80

20 30

15

K

D

Du


30

K

80

D


14 14

Du D K

Do

Ha

W

20

15

30 80

D

Do

Ha

W

Du

K

D

20

80

80

20 30

15

15

Bereits vorhanden

kürzester Weg



15 15

Du K

Do

Ha

W

D

20

15

30 80

D

Do

Ha

W

Du

K

D

20

80

80

20 30

15

15


20


16 16

20

Do

Ha

W

Du

K

D

80

80

20 30

15

15

Bereits vorhanden


kürzester WegDu K

Do

Ha

W

D

20

15

30 80

20


17 17

Do

Ha

W

Du

K

D

20

80

80

20 30

15

15

D

K


KDu

Do

Ha

W

D

20

15

30 80

20


18 18

Do

Ha

W

D

K

Du

20

15

30

20

K

Do

Ha

W

Du

D

20

80

80

20 30

15

15

D

KK


15


19 19

Formulierung des Algorithmus

Bezeichnungen

S Startknoten

K beliebiger Knoten im Graphen

dist (K) Abstand des Knotens K vom Startknoten S

GRÜN Knotenmenge

BLAU Knotenmenge

succ (K) Menge der Nachfolger(-Nachbarn) von K

für alle Elemente

dist (K, K‘) Distanz (Zeit) der Kante (K, K‘)


20 20


algorithm Dijkstra (S)//berechne alle kürzesten Wege von S aus}

BLAU = ; GRÜN = {S}; dist(S) = 0;while( GRÜN ) {

wähle K GRÜN, so daß K‘ GRÜN:dist(K) dist(K‘);

färbe K blau;

for( Ki succ(K) ) { if (Ki (GRÜN BLAU) //noch nicht besuchter Knoten

färbe die Kante (K,Ki) rot;

färbe Ki grün;

dist(Ki) = dist(K) + dist(K,Ki); }


21 21



else {

if(Ki GRÜN) { // Ki erneut erreicht

if(dist(Ki) > dist(K) + dist(K,Ki)) {

färbe die Kante (K,Ki) rot;

färbe die bisher rote Kante zu Kigrün;


else {

färbe (K,Ki) grün }}}

else {

färbe (K,Ki) grün }}} // ki BLAU


22 22

soweit der Algorithmus, aber ...

• wie finde ich schnell alle Nachfolger eines Knoten?– for( Ki succ(K) )...

• wie finde ich schnell– K GRÜN, so daß K‘ GRÜN:

dist(K) dist(K‘);

• Datenstruktur für den Graphen• Datenstruktur für die grünen (aktiven) Knoten• der schrittweise Entwurf des Algorithmus läßt diese

Fragen zunächst absichtlich offen• zugunsten der Konzentration auf die wesentliche Idee


23 23

Ist der Algorithmus denn überhaupt korrekt?

• Für jeden grünen Knoten gilt:unter den rot-grünen Wegen ist der rote der kürzeste.

• Beweis: Induktion über die Folge der blau gefärbten Knoten

• Für jeden blauen Knoten gilt:unter allen Wegen ist der rote der kürzeste.

• Beweis: Induktion über die Folge der blau gefärbten Knoten

• Aufgabe: – Plausibilität am Beispiel

– versuchen Sie einen allgemeingültigen Beweis

Diskrete Mathematik II

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