Propädeutikum Diskrete Mathematik (MA 1503) - Flüsse und ...€¦ · Propädeutikum Diskrete Mathematik (MA 1503) Flüsse und der Algorithmus von Ford und Fulkerson TinaJanneSchmidt

Propädeutikum Diskrete Mathematik (MA 1503)Flüsse und der Algorithmus von Ford und Fulkerson

Tina Janne Schmidt

Technische Universität München

Wintersemester 2012/2013

Tina Janne Schmidt (TU München) Diskrete Mathematik WS 12/13 Seite 1

Gerichtete Graphen

Definition gerichteter GraphG = (V,A) ist ein gerichteter Graph, wenn A ⊂ V × V (und nicht E ⊂

(V2

)).

Definiere N−(x) = {y ∈ V : (y, x) ∈ A} und N+(x) = {y ∈ V : (x, y) ∈ A}.

In A sind Tupel, deren Elemente eineReihenfolge haben, enthalten, in EMengen. D.h. eine Kante einesgerichteten Graphen hat einen Anfangs-und einen Endknoten, z.B. wird dieKante (a, b) durch einen Pfeil von a nachb dargestellt.In gerichteten Graphen ist (a, b) 6= (b, a);in ungerichteten Graphen ist{v, w} = {w, v}. In gerichteten Graphensind Kanten von einem Knoten zu sichselbst möglich, z.B. (a, a); inungerichteten Graphen gibt es keineKanten der Form {v, v}.

e

a

d

b

c

A = {(a, b), (a, e), (b, c), (b, e),(c, c), (c, d), (e, b), (e, d)}

N+(a) = {b, e}, N−(d) = {e, c}


Netzwerke und Flüsse

Definition NetzwerkEin Netzwerk ist ein Tupel N = (V,A, s, t, c), wobei (V,A, c) ein gerichteterGraph mit Kapazitätsfunktion c : A→ R≥0 ist, s ∈ V Quelle und t ∈ V Senkezwei ausgezeichnete Knoten sind.

Definition FlussSei N = (V,A, s, t, c) ein Netzwerk. Eine Abbildung f : A→ R≥0 heißt s, t-Fluss(flow) in N , wenn

1 Flusserhaltung∑y∈N−(x)

f((y, x)) =∑

y∈N+(x)

f((x, y)) ∀ x ∈ V \ {s, t}

2 Zulässigkeitf((x, y)) ≤ c((x, y)) ∀ (x, y) ∈ A.


Netzwerke und Flüsse

Definition NetzwerkEin Netzwerk ist ein Tupel N = (V,A, s, t, c), wobei (V,A, c) ein gerichteterGraph mit Kapazitätsfunktion c : A→ R≥0 ist, s ∈ V Quelle und t ∈ V Senkezwei ausgezeichnete Knoten sind.

Definition FlussSei N = (V,A, s, t, c) ein Netzwerk. Eine Abbildung f : A→ R≥0 heißt s, t-Fluss(flow) in N , wenn

1 Flusserhaltung∑y∈N−(x)

f((y, x)) =∑

y∈N+(x)

f((x, y)) ∀ x ∈ V \ {s, t}

2 Zulässigkeitf((x, y)) ≤ c((x, y)) ∀ (x, y) ∈ A.


Netzwerke und Flüsse - Beispiel

gerichteter Graph mit zwei ausgezeichneten Knoten

Kapazitätsobergrenze c : A→ R≥0

s, t- Fluss f : A→ R≥0

s t

a b

c d






s t

a b

c d

1

4

2

3

2

4

1






s t

a b

c d

1

4

2

3

2

4

1

1/

3/






s t

a b

c d

1

4

2

3

2

4

1

1/

3/1/

2/






s t

a b

c d

1

4

2

3

2

4

1

1/

3/

1/

1/

2/






s t

a b

c d

1

4

2

3

2

4

1

1/

3/

1/

1/

2/

1/






s t

a b

c d

1

4

2

3

2

4

1

1/

3/

1/

1/

2/

3/

1/


FlüsseVereinbarung:Schreibe f(x, y) statt f((x, y)) und c(x, y) statt c((x, y)).

Bemerkung:In Zukunft gehen wir davon aus, dass für alle x, y ∈ V gilt

f(x, y) > 0 ⇒ f(y, x) = 0.

a b c d

4

3

⇓

a b c d

1

0




f(x, y) > 0 ⇒ f(y, x) = 0.

a b c d

4

3

⇓

a b c d

1

0




f(x, y) > 0 ⇒ f(y, x) = 0.

a b c d

4

3

⇓

a b c d

1

0


Wert eines Flusses

Definition WertDer Wert eines Flusses f ist definiert als

val(f) =∑

y∈N+(s)

f(s, y) −∑

y∈N−(s)

f(y, s).

Der Fluss f hat maximalen Wert im Netzwerk N , wenn val(f) ≥ val(f ′) für alleFlüsse f ′ in N gilt.

s t

a b

c d

1

4

2

3

2

4

1

1/

3/

1/

1/

2/

3/

1/

val(f) = (3 + 1)− 0 = 4

PropositionJedes Netzwerk besitzt einenFluss maximalen Werts.


Wert eines Flusses


val(f) =∑

y∈N+(s)

f(s, y) −∑

y∈N−(s)

f(y, s).


s t

a b

c d

1

4

2

3

2

4

1

1/

3/

1/

1/

2/

3/

1/

val(f) = (3 + 1)− 0 = 4



Wert eines Flusses


val(f) =∑

y∈N+(s)

f(s, y) −∑

y∈N−(s)

f(y, s).


s t

a b

c d

1

4

2

3

2

4

1

1/

3/

1/

1/

2/

3/

1/

val(f) = (3 + 1)− 0 = 4



Restnetzwerk

Definition RestnetzwerkSei N = (V,A, s, t, c) ein Netzwerk und f ein Fluss in N . Wir erweitern zunächstdie Kapazitätsfunktion zu c : V × V → R≥0 durch c(x, y) = 0 für alle (x, y) /∈ A.Das Restnetzwerk Nf = (V,Af , s, t, cf ) ist definiert durchAf = {(x, y) : cf (x, y) > 0} und

cf (x, y) =

c(x, y)− f(x, y), falls f(x, y) > 0c(x, y) + f(y, x), falls f(y, x) > 0c(x, y), sonst.


Restnetzwerk - Beispiel

cf (x, y) =




s t

x

y

5

5

1

55

5

2



cf (x, y) =




s t

x

y

5

5

1

55

5

2

4/

0/

1/

3/0/

1/

2/



cf (x, y) =




s t

x

y

5

5

1

55

5

2

4/

0/

1/

3/0/

1/

2/

Restkapazitäten cf : A→ R≥ 0


s t

x

y

1

4

6

28

4

1

2


Wege im Restnetzwerk

Definition gerichteter WegSei G = (V,A) ein gerichteter Graph. Dann heißt (v1, v2, v3, . . . , vl) gerichteterWeg in G falls (vi, vi+1) ∈ A für alle i ∈ [l − 1].

s t

x

y

1

4

6

28

4

1

2


Fluss erhöhen - BeispielFluss

s t

x

y

5

5

1

55

5

2

4/

0/

1/

3/0/

1/

2/

Restnetzwerk

s t

x

y

1

4

6

28

4

1

2



s t

x

y

5

5

1

55

5

2

4/

0/

1/

3/0/

1/

2/

Weg im Restnetzwerk

s t

x

y6

8

4

4/

4/

4/



s t

x

y

5

5

1

55

5

2

4/

0/

1/

3/0/

1/

2/

Weg im Restnetzwerk

s t

x

y6

8

4

4/

4/

4/

erhöhter Fluss

s t

x

y

5

5

1

55

5

2

4/

4/

1/

3/4/

5/

2/



s t

x

y

5

5

1

55

5

2

4/

0/

1/

3/0/

1/

2/

Weg im Restnetzwerk

s t

x

y6

8

4

4/

4/

4/

erhöhter Fluss

s t

x

y

5

5

1

55

5

2

4/

3/

0/

0/1/

5/

2/


Fluss erhöhen

SatzWenn f ein Fluss in N und W ein gerichteter s, t-Weg im Restnetzwerk Nf ist,dann kann f entlang W zu einem Fluss f ′ erhöht werden mit

val(f ′) = val(f) + δ,

wobei 0 < δ = min{cf (e) :W benutzt Kante e}.

SatzSei f Fluss in N . Wenn es in Nf keinen gerichteten s, t-Weg mehr gibt, dann hatf maximalen Wert.


Fluss erhöhen

SatzWenn f ein Fluss in N und W ein gerichteter s, t-Weg im Restnetzwerk Nf ist,dann kann f entlang W zu einem Fluss f ′ erhöht werden mit

val(f ′) = val(f) + δ,

wobei 0 < δ = min{cf (e) :W benutzt Kante e}.

SatzSei f Fluss in N . Wenn es in Nf keinen gerichteten s, t-Weg mehr gibt, dann hatf maximalen Wert.


Algorithmus 1 : Algorithmus von Ford und FulkersonInput : Netzwerk N = (V,A, s, t, c)Output : Fluss f mit maximalem Wert in N

for (x, y) ∈ A do1

f(x, y)← 0;2

endwhile Es gibt einen s, t-Weg W in Nf do3

Erhöhe f entlang von W ;4

end


Input : Netzwerk N = (V,A, s, t, c)Output : Fluss f mit maximalem Wert

in N


f(x, y)← 0;2

endwhile ∃ s, t-Weg W in Nf do3


ends Quelle, t Senke

s t

v w

x y



in N


f(x, y)← 0;2



ends Quelle, t Senkec Kapazitätsobergrenze

s t

v w

x y

1

4

2

3

2

4

1



in N


f(x, y)← 0;2



end

s Quelle, t Senkec Kapazitätsobergrenzef Fluss

s t

v w

x y

1

4

2

3

2

4

1



in N


f(x, y)← 0;2



end


s t

v w

x y

1

4

2

3

2

4

1

0/

0/

0/

0/

0/

0/

0/



in N


f(x, y)← 0;2



end


s t

v w

x y

1

4

2

3

2

4

1

0/

0/

0/

0/

0/

0/

0/

cf Restkapazität

s t

v w

x y

1

4

2

3

2

4

1



in N


f(x, y)← 0;2



end


s t

v w

x y

1

4

2

3

2

4

1

0/

0/

0/

0/

0/

0/

0/

cf Restkapazität

s t

v w

x y

1

4

2

3

2

4

1



in N


f(x, y)← 0;2



end


s t

v w

x y

1

4

2

3

2

4

1

0/

0/

0/

0/

0/

0/

0/

cf Restkapazität

s t

w

x2

2

2



in N


f(x, y)← 0;2



end


s t

v w

x y

1

4

2

3

2

4

1

0/

2/

0/

0/

2/

2/

0/

cf Restkapazität

s t

w

x2

2

2



in N


f(x, y)← 0;2



end


s t

v w

x y

1

4

2

3

2

4

1

0/

2/

0/

0/

2/

2/

0/

cf Restkapazität

s t

v w

x y

1

2 2

2

3

2 22

1



in N


f(x, y)← 0;2



end


s t

v w

x y

1

4

2

3

2

4

1

0/

2/

0/

0/

2/

2/

0/

cf Restkapazität

s t

v w

x y

1

2 2

2

3

2 22

1



in N


f(x, y)← 0;2



end


s t

v w

x y

1

4

2

3

2

4

1

0/

2/

0/

0/

2/

2/

0/

cf Restkapazität

s t

v w

x y

1

1

1

1

1



in N


f(x, y)← 0;2



end


s t

v w

x y

1

4

2

3

2

4

1

1/

2/

1/

1/

1/

2/

1/

cf Restkapazität

s t

v w

x y

1

1

1

1

1



in N


f(x, y)← 0;2



end


s t

v w

x y

1

4

2

3

2

4

1

1/

2/

1/

1/

1/

2/

1/

cf Restkapazität

s t

v w

x y

1

2 2

1

1

21

11 2

2

1



in N


f(x, y)← 0;2



end


s t

v w

x y

1

4

2

3

2

4

1

1/

2/

1/

1/

1/

2/

1/

cf Restkapazität

s t

v w

x y

1

2 2

1

1

21

11 2

2

1



in N


f(x, y)← 0;2



end


s t

v w

x y

1

4

2

3

2

4

1

1/

2/

1/

1/

1/

2/

1/

cf Restkapazität

s t

w

x1

11



in N


f(x, y)← 0;2



end


s t

v w

x y

1

4

2

3

2

4

1

1/

3/

1/

1/

2/

3/

1/

cf Restkapazität

s t

w

x1

11



in N


f(x, y)← 0;2



end


s t

v w

x y

1

4

2

3

2

4

1

1/

3/

1/

1/

2/

3/

1/

cf Restkapazität

s t

v w

x y

1

1 3

1

1

21

2 13

1



in N


f(x, y)← 0;2



end


s t

v w

x y

1

4

2

3

2

4

1

1/

3/

1/

1/

2/

3/

1/

cf Restkapazität

s t

v w

x y

1

1 3

1

1

21

2 13

1



in N


f(x, y)← 0;2



end

s Quelle, t Senkec Kapazitätsobergrenzef Flussval(f) = 1 + 3− 0 = 4

s t

v w

x y

1

4

2

3

2

4

1

1/

3/

1/

1/

2/

3/

1/

cf Restkapazität

s t

v w

x y

1

1 3

1

1

21

2 13

1

val(f) = 1 + 3− 0 = 4


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