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Diskrete Mathematik Marcel Ern´ e Fakult¨ at f¨ ur Mathematik und Physik Vorlesung ur Studierende des Bachelor- und Master-Studienganges Mathematik Sommersemester 2011 2. Relationen und Digraphen 32
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Diskrete Mathematik - IAZDerne/diskret/dateien/DiskMath_2.pdf · Diskrete Mathematik Marcel Ern e Fakult at f ur Mathematik und Physik Vorlesung fur Studierende des Bachelor- und

Aug 21, 2019

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  • Diskrete MathematikMarcel Erné

    Fakultät für Mathematik und Physik

    Vorlesungfür Studierende des

    Bachelor- und Master-Studienganges Mathematik

    Sommersemester 2011

    2. Relationen und Digraphen

    32

  • Inhaltsverzeichnis

    2 Relationen und Digraphen 342.1 Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2 Digraphen und Ordnungsrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3 Relationenalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.4 Wege und Zusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    33

  • 2 Relationen und Digraphen

    2.1 Relationen

    Zur Erinnerung: Anschaulich ist eine Relation ein Beziehung zwischen gewissenObjekten; mathematisch gesehen ist eine (binäre) Relation eine Menge R vongeordneten Paaren. Im Falle R ⊆ X×Y spricht man von einer Relation zwischenX und Y , und im Spezialfall R ⊆ X×X von einer Relation auf X. Jede RelationR kann als Relation auf einer (nicht eindeutig bestimmten) Menge aufgefasstwerden. Statt (x, y) ∈ R schreibt man einfacher und suggestiver xR y und meintdamit “x steht in Relation zu y” ; entsprechend bedeutet x 6Ry das Gegenteil(x, y) 6∈ R. Der Ausdruck xR6= y steht für ”xR y und x 6= y”, hingegen xR=yfür ”xR y oder x=y”. Zu jeder Relation R auf X haben wir die komplementäreRelation

    Rc = {(x, y) ∈ X ×X | x 6Ry} ,nicht zu verwechseln mit der dualen oder konversen Relation

    Rd = {(x, y) ∈ X ×X | yR x} .

    ����R

    X

    X

    ����

    Rc

    X

    X

    ����

    Rd

    X

    X

    ����Rcd

    X

    X

    Sind mehrere Relationen R1, ..., Rn gegeben (die auch übereinstimmen dürfen),so schreibt man

    x0R1x1R2 ... xn−1Rnxn statt x0R1x1 und x1R2x2 und ... xn−1Rnxn.

    Diese Konvention ist uns z. B. bei Ungleichungsketten der Form x0 ≤ ... ≤ xngeläufig.

    Für je zwei Relationen R und S ist deren Produkt definiert durch

    RS = {(x, z) | ∃y (xR y und ySz)} .Statt RS schreiben wir auch S ◦R , wobei man die Reihenfolge zu beachtenhat, denn im allgemeinen ist RS von SR verschieden! Dies verallgemeinert dieVerknüpfung G ◦ F zweier Funktionen F : X −→ Y und G : Y −→ Z , beidenen es sich ja um spezielle Relationen handelt.

    Das Relationenprodukt ist zwar nicht kommutativ, aber stets assoziativ:

    R(ST ) = (RS)T .

    Denn es gilt

    xR(ST )w ⇔ ∃y (xR y STw) ⇔ ∃y∃z (xR yS z T w) ⇔ ... x (RS)T w.Die Diagonale, Identität oder Gleichheitsrelation

    ∆X = idX = 1X = {(x, x) | x ∈ X} = {(x, y) ∈ X×X |x = y}agiert als neutrales Element: Für jede Relation R auf X gilt 1XR = R1X = R.

    34

  • Zusammenfassend haben wir damit:

    Satz 2.1 Die Relationen auf einer Menge X bilden mit dem Relationenproduktein Monoid RX, d.h. eine Menge mit einer assoziativen Verknüpfung und demneutralen Element 1X .

    Außerdem können wir natürlich Vereinigung und Durchschnitt von Relationenbilden. Wir stellen eine Liste von nützlichen Rechenregeln zusammen.

    Satz 2.2 Für beliebige Relationen R,S, T gelten die Distributivgesetze:

    (R ∪ S)T = RT ∪ ST, T (R ∪ S) = TR ∪ TS ,(R ∩ S)T ⊆ RT ∩ ST, T (R ∩ S) ⊆ TR ∩ TS ,

    aber in den letzten beiden Fällen kann die Inklusion echt sein.

    Die Operatoren c und d erfüllen folgende Gleichungen:

    Rcc = R, Rdd = R, Rcd = Rdc, (RS)d = SdRd ,

    (R ∪ S)c = Rc ∩ Sc , (R ∩ S)c = Rc ∪ Sc ,(R ∪ S)d = Rd ∪ Sd , (R ∩ S)d = Rd ∩ Sd .

    Entsprechendes gilt für unendliche Vereinigungen und Durchschnitte.

    Folgerung 2.3 Sei X eine beliebige Menge.

    (1) Der Komplementierungsoperator c induziert einen selbstinversen dualenAutomorphismus des Potenzmengenverbandes RX = P(X×X).(1) Der Dualisierungsoperator d induziert einen selbstinversen Automorphismusdes Verbandes RX und eine Involution des Monoids RX.

    Definitionsgemäß ist eine Involution eines Monoids selbstinvers und ver-tauscht die Reihenfolge bei der Multiplikation (dies kennen wir z.B. beim Trans-ponieren und Invertieren von Matrizen).

    Wie in jedem Monoid definiert man induktiv Potenzen von Relationen auf einerMenge X:

    R0 := 1X , Rn+1 := RnR.

    Vorsicht: Man muß die Potenzen bezüglich des Relationenprodukts sorgfältig von kar-

    tesischen Potenzen unterscheiden; deshalb schreibt man für letztere auch nX statt Xn.

    Wegen des Assoziativgesetzes darf man bei Relationenprodukten mit mehre-ren Faktoren Klammern weglassen. Die Relation R1R2...Rn besteht anschaulichaus allen Paaren (x, y), für die ein Weg (x0, x1, ..., xn) der Länge n existiert mit

    x = x0R1 x1R2 ... xn−1Rn xn = y .

    Im Spezialfall einer einzigen Relation R = R1... = Rn spricht man von R-Wegen.xRny bedeutet also, dass es einen R-Weg von x nach y der Länge n gibt. EinWeg der Länge 0 ist von der Form (x), in Übereinstimmung mit xR0 y ⇔ x = y.

    35

  • Für Relationen auf einer endlichen Menge hat man zwei wichtige Darstel-lungsmöglichkeiten: Die eine, mittels Inzidenzmatrizen, ist von grundlegenderBedeutung bei der Implementierung im Computer. Die andere, mittels Dia-grammen, dient der Veranschaulichung und Intuition.

    Es seien X = {x1, ..., xm} und Y = {y1, ..., yn} endliche Mengen. DieInzidenzmatrix (auch Darstellungsmatrix oder Adjazenzmatrix) einer RelationR ⊆ X × Y ist diejenige m×n-Matrix DR , bei der in der i-ten Zeile und j-tenSpalte eine 1 steht, falls xiRyj gilt, und sonst eine 0. Speziell ist die Inzidenz-matrix einer Relation auf X eine quadratische 0-1-Matrix.

    In einem Pfeildiagramm einer Relation R auf X = {x1, ..., xm} wählt manfür die m Elemente x1, ..., xm ebenso viele Punkte (oder kleine Kreise) in derEbene und zeichnet einen Pfeil von dem Punkt, der xi entspricht, zu dem Punkt,der xj entspricht, falls xiRxj gilt.

    Beispiel 2.4 Ein Pfeildiagramm der Teilbarkeitsrelation auf der Menge 12:

    k1PPi@RAAAU

    CCCCCCW

    ?

    ���������

    ��������

    ���

    ���

    """

    """�

    ������9

    � k2?

    ��������

    ��

    ���

    ��+

    � HH

    HHY

    k3�

    ���

    � @@@@I

    k4� AAAAAAAK

    k5@@@

    @@@I

    k6

    6

    k7k8k9k10 k11k12

    Die Inzidenzmatrix zur natürlichen Nummerierung sieht so aus:

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 121 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 13 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 14 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 15 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 06 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 17 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 08 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 09 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 010 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 011 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 012 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

    36

  • Die Darstellungsmatrix DR hängt natürlich nicht nur von der Relation R,sondern auch von der Nummerierung der Elemente ab. Man sieht aber leicht:

    Lemma 2.5 Zwei 0-1-Matrizen A und B sind genau dann Darstellungsmatri-zen der gleichen Relation (oder zweier isomorpher Digraphen), wenn sie sichdurch eine Transformation mit einer Permutationsmatrix P unterscheiden:

    PTAP = B.

    Darstellungsmatrizen sind sehr gut geeignet, um verschiedene Operationenauf Relationen auszuführen (auch mit dem Computer). Offensichtlich gilt fürjede Relation R ⊆ X × Y = {x1, ..., xm} × {y1, ..., yn}:

    DRc = 1mn −DR, wobei alle Koeffizienten der Matrix 1mn gleich 1 sind,DRd = (DR)T , wobei generell AT die Transponierte der Matrix A bedeutet.

    Besonders hilfreich sind Darstellungsmatrizen bei der Berechnung von Produk-ten und Potenzen. Wir setzen für beliebige Zahlen a und Matrizen A = (aij):

    s(a) = 0, falls a ≤ 0, und s(a) = 1, falls a > 0,s(A) = (s(aij)).

    Nun definieren wir ein ”reduziertes Matrizenprodukt” durch

    A�B = s(AB), wobei AB das gewöhnliche Matrizenprodukt ist.

    Satz 2.6 Für endliche Mengen X,Y, Z sowie beliebige Relationen R ⊆ X×Yund S ⊆ Y×Z ist die Darstellungsmatrix des Relationenprodukts das reduzierteProdukt der einzelnen Darstellungsmatrizen:

    DRS = DR �DS.Insbesondere gilt im Falle X = Y für alle natürlichen Zahlen `:

    DR` = s(DR`).

    Beweis. Es sei X = {x1, ..., xm}, Y = {y1, ..., yn} und Z = {z1, ..., zp}. Danngilt für R ⊆ X×Y , S ⊆ Y×Z und das Produkt RS ⊆ X×Z mit den zugehörigenDarstellungsmatrizen DR = (dRij ), DS = (d

    Sjk) und DRS = (d

    RSik ):

    dRSik = 1 ⇔ xiRSzk ⇔ ∃ j (xiRyjSzk) ⇔ ∃ j (dRij = dSjk = 1)⇔∑nj=1 d

    Rij d

    Sjk 6= 0 ⇔ s(

    ∑nj=1 d

    Rij d

    Sjk) = 1.

    Dies ist aber gerade der entsprechende Koeffizient in der Matrix DR �DS . �Beispiele hierzu betrachten wir in 2.16 und 2.24.

    37

  • 2.2 Digraphen und Ordnungsrelationen

    Nicht nur in mathematischen Zusammenhängen, sondern auch in fast allen Be-reichen des täglichen Lebens spielen Ordnungsrelationen eine zentrale Rolle.Die wichtigste Eigenschaft solcher Relationen ist die Transitivität, die besagt,dass man ”weiterschließen” kann: steht x in Relation zu y und y in Relationzu z, so steht auch x in Relation zu z. (Nicht alle Relationen haben diese Ei-genschaft: z.B. folgt aus x 6= y und y 6= z nicht x 6= z!) Daneben sind einigeweitere relationentheoretische Eigenschaften von Interesse, die wir im Folgendenzusammenstellen wollen. Wir sagen, eine Relation R auf X sei

    • reflexiv, falls xRx für alle x ∈ X gilt,• irreflexiv, falls xRx für kein x ∈ X gilt,• symmetrisch, falls aus xR y stets yR x folgt,• antisymmetrisch, falls xR y und yR x nur für x = y möglich ist,• transitiv, falls aus xR y und yR z stets xR z folgt,• total, falls xR y oder yR x für beliebige x, y ∈ X gilt.

    Alle diese Eigenschaften lassen sich mit Hilfe der Operatoren c und d sowiedes Relationenprodukts sehr einfach ”elementfrei” beschreiben:

    Satz 2.7 Für eine Relation R auf X, R0 = idX und R6= = R \R0 gilt:R ist reflexiv ⇔ R0 ⊆ RR ist irreflexiv ⇔ R0 ⊆ Rc

    R ist transitiv ⇔ R2 ⊆ RR ist symmetrisch ⇔ Rd ⊆ RR ist antisymmetrisch ⇔ Rd6= ⊆ Rc

    R ist total ⇔ Rc ⊆ Rd.

    Ein Digraph ist ein Paar (X,R), bestehend aus einer Menge X (von Knotenoder Ecken) und einer beliebigen RelationR aufX (der Inzidenzrelation); die aufder Diagonale liegenden Paare (x, x)∈R heißen Schleifen. Ein (ungerichteter)Graph hat eine symmetrische Inzidenzrelation S; die Paare (x, y) ∈ S, odervereinfachend die entsprechenden Zweiermengen {x, y}, nennt man in diesemFall Kanten ; von einem schlichten oder schleifenlosen Graphen spricht man,wenn seine Relation irreflexiv und symmetrisch ist. Graphen und Digraphensind ein wesentliches Werkzeug der Informatik.

    Man nennt eine Relation R auf X

    • Quasiordnung, falls R reflexiv und transitiv ist,• Äquivalenzrelation, falls R reflexiv, transitiv und symmetrisch ist,• (Halb-)Ordnung, falls R reflexiv, transitiv und antisymmetrisch ist,• lineare Ordnung, falls R eine totale Ordnung ist.

    38

  • Das Paar (X,R) heißt quasi-, halb- oder linear geordnete Menge, je nachdem,ob R eine Quasi-, Halb- oder lineare Ordnung ist. Nichtleere linear geordneteMengen heißen auch Ketten.

    Beispiele 2.8 (1) Auf jedem System von Mengen ist die Teilmengenrelation ⊆eine Ordnung, aber meist nicht linear (d.h. total). Im Prinzip kann man alleOrdnungen R mit Hilfe von ⊆ beschreiben: Für die ”Hauptideale”

    Ry = {x|xR y}gilt nämlich:

    xR y ⇔ x ∈ Ry ⇔ Rx ⊆ Ry.

    (2) Die Relation ≤ auf der Menge R der reellen Zahlen oder einer belie-bigen Teilmenge, z.B. N, Z oder Q, ist eine lineare Ordnung. Die Relation <(“echt kleiner”) ist transitiv und irreflexiv, also keine Ordnung (sondern einesogenannte strikte Ordnung).

    (3) Auf einer endlichen Menge X = {x1, ..., xm} gibt es genauso viele lineareOrdnungen wie Permutationen: Ist σ eine Permutation von m, so wird durch

    xi ≤σ xj ⇔ σ(i) ≤ σ(j)eine lineare Ordnung auf X definiert, und jede lineare Ordnung entsteht aufdiese Weise aus genau einer Permutation (Beweis durch Induktion).

    (4) Auf der Menge der ganzen Zahlen ist die Teilbarkeitsrelation | eine Quasi-ordnung, aber keine Ordnung: Die Antisymmetrie ist wegen z |−z und −z |zverletzt. Hingegen ist die Teilbarkeitsrelation auf jeder Menge von positivenganzen Zahlen eine Ordnung, da für x, y ∈ N aus x | y stets x ≤ y folgt (manbeachte aber x | 0 im Gegensatz zu 0 ≤ x).

    (5) Für eine beliebige Abbildung f : X −→ Y wird durchx ∼f y ⇔ f(x) = f(y)

    eine Äquivalenzrelation auf X definiert. So ergibt sich beispielsweise für

    f : [−1, 1] −→ [−1, 1], x 7−→ x4 − x2

    die Äquivalenzrelation

    x ∼f y ⇔ (x2 − y2)(x2 + y2 − 1) = 0 ⇔ x = ± y oder x2 + y2 = 1.

    ����

    @@

    @@

    &%'$

    Daß man auf die in Beispiel 2.8 (5) beschriebene Weise alle Äquivalenz-relationen erhält, zeigt

    39

  • Satz 2.9 Für jede Äquivalenzrelation S auf X ist die Menge der Äquivalenz-klassen xS = {y |xSy} eine Partition von X (d.h. eine Zerlegung in paarweisedisjunkte nichtleere Teilmengen von X). Umgekehrt entsteht jede Partition Z aufdiese Weise aus genau einer Äquivalenzrelation: Die ”kanonische Surjektion”f : X −→ Z mit f(x) = Z, falls x in Z liegt, induziert eine Äquivalenzrelation∼f , deren Klassen genau die ursprüngliche Partition bilden.

    Den Beweis dieser wohlbekannten Tatsachen und des folgenden Satzesüberlassen wir dem Leser als instruktive Übungsaufgaben.

    Satz 2.10 Für beliebige Quasiordnungen Q ist Q∩Qd eine Äquivalenzrelation.Jede Quasiordnung entsteht auf genau eine Weise aus einer ÄquivalenzrelationS und einer Ordnung R auf der zugehörigen Partition, indem man die Quasiord-nung durch Q = {(x, y) |(Sx, Sy) ∈ R} festlegt (wobei Sx die Äquivalenzklassevon x ist). Man kann also jede Quasiordnung auf eindeutige Weise aus einerÄquivalenzrelation und einer Ordnung zusammensetzen.

    Statt mit Buchstaben bezeichnet man Ordnungen oft mit dem suggestiverenSymbol ≤, darf dies aber natürlich nicht mit der üblichen ”kleiner-oder-gleich”-Relation auf den reellen Zahlen durcheinander bringen. Zur Vermeidung vonVerwechslungen bietet sich das neutrale Symbol v an. Man schreibt

    x < y für x ≤ y 6= x, x ≥ y für y ≤ x und x > y für y < x, bzw.x @ y für x v y 6= x, x w y für y v x und x A y für y @ x.

    Betrachtet man auf einer Menge simultan mehrere Ordnungen, so sollte man fürdiese tunlichst unterschiedliche Symbole verwenden. Für Äquivalenzrelationensind Symbole wie ∼, ', ≈ oder ≡ gebräuchlich.

    Anstelle von Ordnungen untersucht man häufig auch sogenannte strikte Ord-nungen; das sind irreflexive und transitive (und folglich auch antisymmetrische)Relationen. Der Übergang von Ordnungen zu strikten Ordnungen und umge-kehrt geschieht einfach durch den Wechsel zwischen ≤ und

  • weg, da alle Pfeile aufwärts zeigen. Aber ist eine solche Zeichnung überhauptmöglich, und wie legt man sie an?

    Zunächst zeichnet man alle minimalen Elemente, also solche, unter denenkeine weiteren liegen (formal: diejenigen y, zu denen es kein anderes x mit xR ygibt), in eine Reihe nebeneinander. (Warum hat jede endliche geordnete Men-ge solche minimalen Elemente?) Im zweiten Schritt bestimmt man alle oberenNachbarn der minimalen Elemente, zeichnet sie in die nächsthöhere Reihe, ver-bindet sie durch Kanten mit ihren unteren Nachbarn, usw. Falls man die Höheeines Diagramms nicht von vorneherein abschätzen kann, empfiehlt sich manch-mal Zeichnen von oben nach unten, beginnend mit den maximalen Elementen.

    Aus dem Diagramm kann man ablesen, wann ein Element x bezüglich derOrdnung unter einem anderen Element y liegt: das ist genau dann der Fall, wennman von x aus durch einen aufwärts verlaufenden Kantenzug zu y gelangt.

    Beispiel 2.11 Im Fall unseres durch Teilbarkeit geordneten ”Ziffernblatts” 12aus Beispiel 2.4 bekommen wir das folgende, erheblich besser strukturierte Dia-gramm, unter Ausnutzung der Tatsache, dass eine natürliche Zahl x genau dannein unterer Nachbar von y ist, wenn y/x eine Primzahl ergibt:

    d1@@����

    ��

    ����

    ��

    �����

    ���d2

    @@����

    �� d3

    @@

    �� d

    5@@ d

    7d

    11dd4

    @@�� d

    6@@ d

    10d9

    d8d

    12

    Mit Hilfe von Satz 2.10 kann man auch Diagramme von Quasiordnungenzeichnen: Die Äquivalenzklassen der Symmetrisierung Q ∩Qd stellt man durch

    ”Klumpen” oder ”Moleküle” aus sich gegenseitig berührenden Knoten dar.

    dddd dddd@@ ��

    � @@

    Quasiordnung

    dddd dddd

    Partition

    d@@ ��d dd

    �� @@

    Ordnung

    Beispiel 2.12 Diagramm der ganzen Zahlen von −3 bis 6, quasigeordnet durchdie Teilbarkeitsrelation. (Man beachte, dass jede Zahl ein Teiler von 0 ist!)

    dd-1,1@@ ����

    ����

    dd-2,2@@

    �� dd

    -3,3@@ d

    5HH

    HHH

    HHHd

    4�� d

    6@@d

    0

    41

  • Darüberhinaus gibt uns Satz 2.10 die Möglichkeit, mit Hilfe der Stirling-zahlen die Anzahlen der Quasiordnungen auf endlichen Mengen aus denen derOrdnungen zu berechnen, und umgekehrt:

    Satz 2.13 Ist Q(n) die Anzahl der Quasiordnungen und Qo(n) die der Ord-nungen auf einer n-elementigen Menge, so gilt:

    Q(n) =n∑

    m=0

    Sn,mQo(m), Qo(n) =n∑

    m=0

    S−n,mQ(m) .

    Beispiel 2.14 Wir notieren alle Isomorphietypen von Ordnungen auf höchstensdreielementigen Mengen sowie deren Automorphismenzahlen in einer Tabelle.Daraus kann man alles Weitere berechnen (Zauberformel a(S) i(S) = n!):

    Anzahl derPunkte

    1 2 3

    Diagramm c c c cc c c c c cc c cc�A c ccA� cccOrdnung s s s ss6 s s s s ss6 s ss��AK s ss�� AK s6ss6�AK

    Anzahl derAutomorphismen 1 2 1 6 1 2 2 1

    Anzahl derisomorphen Kopien 1 1 2 1 6 3 3 6

    Gesamtzahlder Ordnungen

    1 3 19

    Gesamtzahlder Quasiordnungen

    1 1 · 1 + 3 = 4 1 · 1 + 3 · 3 + 1 · 19 = 29

    Siehe hierzu auch die Beispiele 2.33.

    Außer der offensichtlichen Tatsache, dass totale Relationen stets reflexivsind, bestehen keinerlei Implikationen zwischen den zu Beginn dieses Abschnittseingeführten sechs Eigenschaften. Wir wollen das anhand eines mit Beispie-len angereicherten Implikationsdiagramms belegen. Schleifen deuten wir durchschwarz ausgefüllte Kreise an. In dem großen Diagramm enthält jeder quadra-tisch gezeichnete ”Knoten” wieder ein kleines Pfeildiagramm einer Relation, diealle auf absteigenden Linien des großen Diagramms erreichbaren Eigenschafteninklusive der zum jeweiligen Quadrat gehörigen besitzt, aber keine der übrigenin dem Gesamtdiagramm vorkommenden Eigenschaften.

    42

  • Beispiele 2.15 Eigenschaften von Relationen

    t dd-����aa

    aaaa

    @@@

    ���!!

    !!!!

    Relation

    t tt-����aa

    aaaa

    ���!!

    !!!!

    reflexiv

    d dd-����aa

    aaaa

    !!!!

    !!

    irreflexiv

    t dd��� AAUXXX

    XXXXX

    XX

    aaaa

    aa

    !!!!

    !!

    antisymm.

    t dd��� AAU��� AAKaa

    aaaa

    ������

    ����

    symm.

    t td-���� AAKaa

    aaaa

    !!!!

    !!

    transitiv

    t tt-���� AAU!!

    !!!!

    total

    d dd��� AAU!!

    !!!!

    t tt��� AAUaa

    aaaa

    !!!!

    !!

    t tt��� AAU��� AAK���

    ������

    t ttt-���� AAKaa

    aaaa

    !!!!

    !!

    Quasiordnung

    d dd-� t dd-aa

    aaaa

    !!!!

    !!

    XXXXXX

    XXXX

    t td-�aa

    aaaa

    t tt���� AAU!!

    !!!!

    t tt-���� AAK!!

    !!!!

    d dd-��� AAU!!

    !!!!

    t tt��� AAKaa

    aaaa

    !!!!

    !!

    Ord-

    nung t tt-�aa

    aaaa

    Äquivalenz-

    relation t ddaa

    aaaa

    t tt-��� AAU!!

    !!!!

    lineareOrdnung t tt��� AAU��� AAK-�All-relation d dd

    @@@

    t ttaa

    aaaa

    Gleichheits-relation

    leereRelation

    Rein rechnerisch kann man eine endliche Ordnung aus ihrem Diagramm mitHilfe der Darstellungsmatrizen zurückgewinnen: Ist A eine (m×m)-Inzidenz-matrix zum Diagramm, so bildet man ihre Potenzen und addiert diese. DieMatrix s(E +A+ ...+Am−1) ist die Inzidenzmatrix der zugehörigen Ordnung.

    Beispiel 2.16 Diagramm der Teiler von 12 und Darstellungsmatrizen

    d1

    @@

    ��d

    2

    @@

    �� d3@@d4

    �� d6@@d

    12

    A

    d1

    6

    @@@@I d

    2

    6

    d3@@@@Id

    4

    d6d12

    A2d1

    BBBBBBM

    d2

    d3d4 d6

    d12

    A3t1

    @@I���

    6

    BBBBBBM

    @@

    @@I t2

    @@I���

    6

    t3@@I@@@@It

    4

    ��� t6@@It

    12

    DR1

    2

    3

    4

    6

    12

    0 1 1 0 0 00 0 0 1 1 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 10 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0

    0 0 0 1 2 00 0 0 0 0 20 0 0 0 0 10 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0 30 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

    1 1 1 1 1 10 1 0 1 1 10 0 1 0 1 10 0 0 1 0 10 0 0 0 1 10 0 0 0 0 1

    43

  • 2.3 Relationenalgebra

    Von fundamentaler Bedeutung in der Relationenalgebra sind die Relationen-produkte RS = S ◦R und die Potenzen Rn, sowie die Hyperpotenzen

    R≥k =⋃{Rn : n ∈ Nk} =

    ⋃{Rn : n ∈ N0, n ≥ k} (k ∈ N0).

    Mit ihnen kann man viele Erkenntnisse ”elementfrei” gewinnen.

    Satz 2.17 Für eine beliebige Relation R und natürliche Zahlen k,m ∈ N0 gilt:

    Rk+m = RkRm, R≥k+m = RkR≥m = R≥kRm = R≥kR≥m,

    R k·m = (Rk)m, R≥ k·m = (R≥k)m = (R≥k)≥m, falls m > 0.

    Diese Regeln zeigt man entweder durch Angabe entsprechender R-Wege oderinduktiv (und elementfrei) unter Anwendung der Distributivgesetze

    (⋃{Ri : i ∈ I})S =

    ⋃{RiS : i ∈ I} und S(

    ⋃{Ri : i ∈ I}) =

    ⋃{SRi : i ∈ I}

    (siehe Satz 2.2). Wir leiten hier exemplarisch die Gleichung (R≥k)m = R≥ k·m

    aus der vorher zu beweisenden Gleichung R≥k+m = R≥kR≥m her. Der Fallm=1 ist klar. Aus (R≥k)m= R≥ k·m folgern wir

    (R≥k)m+1 = (R≥k)mR≥k = R≥ k·mR≥k = R≥ k·m+k = R≥k(m+1). �

    Warum werden die Gleichungen R≥ k·m = (R≥k)m = (R≥k)≥m für m=0 falsch?

    Aus einer gegebenen Relation gewinnt man durch einfache Konstruktionenneue Relationen mit erwünschten Eigenschaften. Meist geschieht dies durch An-wendung geeigneter Hüllen- oder Kernoperatoren. Dabei ist ein Hüllenoperatorauf einer Menge X (genauer: auf einer Potenzmenge PX) eine Abbildung

    H : PX → PX, Y 7→ Y−

    mit Y ⊆ Z− ⇔ Y −⊆ Z− für Y,Z ⊆ X.

    Dies gilt genau dann, wenn folgende drei Bedingungen simultan erfüllt sind:

    (1) Y ⊆ Y − (H ist extensiv)(2) Y

    −⊆ (Y ∪Z)− (H ist monoton oder inklusionserhaltend)(3) Y

    −−= Y

    −(H ist idempotent).

    Dual ist ein Kernoperator eine Abbildung

    K : PX → PX, Y 7→ Y◦

    mit Y ◦ ⊆ Z ⇔ Y ◦⊆ Z◦ für Y,Z ⊆ X.

    Ohne Beweis notieren wir:

    Satz 2.18 Indem man jedem Hüllenoperator sein Bild zuordnet, erhält maneine Bijektion zwischen Hüllenoperatoren und Hüllensystemen auf X, d.h. gegenbeliebige Durchschnitte abgeschlossenen Teilmengen von PX. Die umgekehrteBijektion ordnet jedem Hüllensystem H folgenden Hüllenoperator zu:

    H : Y 7→ Y − =⋂{A ∈ H | Y ⊆ A}.

    Entsprechend besteht eine Bijektion zwischen Kernoperatoren und Kernsystemenauf X, d.h. gegen beliebige Vereinigungen abgeschlossenen Teilmengen von PX.

    44

  • Typische Hüllenoperatoren auf dem n-dimensionalen Raum Rn entstehendurch Bildung der linearen, affinen oder konvexen Hülle, oder durch den topo-logischen Abschluss Y

    −. Entsprechend liefert das Innere Y ◦ (der offene Kern)

    einen Kernoperator. Wir sind im gegenwärtigen Kontext aber mehr an Hüllen-und Kernoperatoren auf X×X bzw. auf der Menge RX = P(X×X) der Rela-tionen auf X interessiert.

    Konstruktion Name Beschreibung

    Rr = R ∪R0 reflexive Hülle xRr y ⇔ xR y oder x=y ⇔ xR=yR i = R \R0 irreflexiver Kern xR iy ⇔ xR y und x 6=y ⇔ xR 6=yRs = R ∪Rd symmetrische Hülle xRs y ⇔ xR y oder y R xR∗ = R ∩Rd symmetrischer Kern xR∗y ⇔ xR y und y R xR t = R≥1 transitive Hülle xR ty ⇔ ∃n ∈ N (xRny)R∧ = R≥0 reflexiv-transitive Hülle xR∧y ⇔ xR ty oder x = y

    Diese Namensgebungen sind motiviert und gerechtfertigt durch den folgenden

    Satz 2.19 Für eine beliebige Relation R auf X gilt:

    (1) Die reflexive Hülle ist die kleinsteR umfassende reflexive Relation auf X.

    (2) Der irreflexive Kern ist die größte in R enthaltene irreflexive Relation.

    (3) Die symmetrische Hülle ist die kleinste symmetrische Relation S ⊇ R.(4) Der symmetrische Kern ist die größte symmetrische Relation S ⊆ R.(5) Die transitive Hülle ist die kleinste R umfassende transitive Relation.

    (6) Die reflexiv-transitive Hülle ist die kleinsteR umfassende Quasiordnung aufX.

    (7) Die Relation Rs∧ ist die kleinste R umfassende Äquivalenzrelation auf X.

    Somit sind r, s, t, rs, st, rt=∧ und rst= s∧ allesamt Hüllenoperatoren auf RX,während i, ∗ und i∗ Kernoperatoren auf RX sind.

    Hüllenoperatoren

    id�

    �@@

    r s t�

    �@@

    rs rt@

    @��

    st

    @@

    ��

    rst

    Hüllensysteme

    RX�

    �@@

    RrX SX TX�

    �@@

    SrX QX@

    @��

    TsX

    @@

    ��

    EX

    Elemente

    RX Relationen auf X

    RrX reflexive Relationen auf X

    SX symmetrische Relationen auf X

    TX transitive Relationen auf X

    SrX Toleranzrelationen auf X

    QX Quasiordnungen auf X

    TsX Äquivalenzrelationen auf Y ⊆ XEX Äquivalenzrelationen auf X

    45

  • Beweis: (1) und (2) sind offensichtlich und leicht zu begründen: Man nimmteinfach alle Schleifen hinzu bzw. weg.

    (3) Wegen (Rs)d = (R∪Rd)d = Rd∪Rdd = Rd∪R = Rs ist Rs symmetrisch. Fürbeliebige symmetrische Relationen S ⊇ R ergibt sich Rs = R∪Rd ⊆ S∪Sd = S.(4) beweist man analog.

    (5) R t = R≥1 ist transitiv wegen (R≥1)2 = R≥2 ⊆ R≥1.Ist T eine beliebige transitive Relation mit R⊆T , so ergibt sich induktiv Rn⊆T ,da aus Rn ⊆ T auch Rn+1 = RnR ⊆ TT ⊆ T folgt. Daher ist die transitive HülleR t =

    ⋃{Rn : n ∈ N} ebenfalls in T enthalten.

    (6) Aus (5) folgt: (R∧)2 = (R0 ∪ R t)2 = R0 ∪ R t ∪ (R t)2 ⊆ R0 ∪ R t = R∧. IstQ eine beliebige Quasiordnung mit R ⊆ Q, so schließen wir R∧= R0 ∪R t ⊆ Q.

    (7) Wir zeigen zuerst: Ist S symmetrisch, so auch S t und folglich auch S∧:

    (S t )d = (⋃{Sn |n ∈ N})d =

    ⋃{(Sn)d |n ∈ N} =

    ⋃{Sn |n ∈ N} = S t .

    Nach (3) ist S = Rs symmetrisch, und nach (6) ist Q = S∧ eine Quasiordnung;nach dem zuvor Gezeigten ist Q auch symmetrisch. Für jede ÄquivalenzrelationT folgt aus R ⊆ T sofort Rs ⊆ T s = T und daraus Rs∧ ⊆ T∧= T . �

    Zur Vermeidung von Missverständnissen sind einige Bemerkungen angebracht.

    (I) Es ist Rst = (Rs)t, also tatsächlich st = t ◦ s, aber st 6= ts!(II) Die Verknüpfung von Hüllenoperatoren liefert im allgemeinen keinenHüllenoperator, wie man an den Operatoren s und t sieht: R ts ist zwar stetssymmetrisch, aber nicht notwendig transitiv!

    t tt��� AAKR = R t Ordnung

    t tt��� AAU��� AAKR ts symmetrisch

    t tt��� AAU��� AAK-�Rst Äquivalenzrelation

    (III) Wie aus Satz 2.19 hervorgeht, erzeugen die Hüllenoperatoren r, s und teinen 8-achtelementigen Booleschen Verband, der zum Booleschen Verband derentsprechenden acht Hüllensysteme dual isomorph ist. Jedoch enthält das von r,s und t durch Verknüpfung erzeugte Monoid außer diesen acht Hüllenoperatorennoch zwei weitere Operatoren, die nicht idempotent sind, nämlich ts und rts.Überprüfen Sie durch Testen aller möglichen Produkte, dass wirklich keine wei-teren Operatoren hinzukommen! (Beachten Sie dabei, dass r mit jedem derbeiden anderen beiden Operatoren vertauschbar ist!)

    (IV) Eine Relation R ist genau dann eine Äquivalenzrelation, wenn gilt:RRd = R, d.h. ∃ z(xR z& yR z)⇔ xR y .

    ”Sind zwei Dinge einem dritten äquivalent, so sind sie untereinander äquivalent,und umgekehrt”.

    Dass eine Relation R mit RRd = R eine Äquivalenzrelation auf X ist, folgtaber nur dann, wenn X = {x | xRx} gilt. (Trugschluss: Ist R symmetrisch undtransitiv, so auch reflexiv, da aus xR y auch xR yRx und dann xRx folgt??)

    46

  • Im Prinzip muss man zur Bestimmung der (reflexiv-)transitiven Hülle belie-big hohe Potenzen der Relation berechnen. Im Falle einer endlichen GrundmengeX = {x1, ..., xm} genügt es allerdings, bis zur (m−1)-ten Potenz zu gehen:

    Satz 2.20 Die reflexiv-transitive Hülle einer Relation R auf X={x1, ..., xm} istR∧ = R0 ∪R ∪R2 ∪ ... ∪Rn = (idX ∪R)n für alle n ≥ m−1.

    Ihre Darstellungsmatrix ist daher gleich s((E +DR)n) für jedes n ≥ m−1.

    Beweis: Es reicht zu zeigen, dass zu (x, y) ∈ Rn mit n ≥ m ein k < n mit(x, y) ∈ Rk existiert (durch Iteration erreicht man dann schließlich k < m).Es gelte also x = x0Rx1...xn−1Rxn = y; wegen n ≥ m sind mindestens zweider n+1 Folgenglieder gleich, etwa xi = xj für i < j. Aber dann gilt bereitsx=x0Rx1...xi=xjRxj+1...R xn = y, also (x, y) ∈ Rk für k = n−(j−i) < n. �

    In der Praxis wird man versuchen, mit möglichst wenigen Matrizenmultipli-kationen auszukommen. Am ökonomischsten ist es, das kleinste k mit 2k ≥ m−1zu wählen und dann k-mal zu quadrieren:

    D0 = E +DR, Dj+1 = Dj2 ⇒ s(Dk) = s((E +DR)n) für n = 2k ≥ m−1.

    Man braucht demnach höchstens dlog2(m−1)eMultiplikationen, um die Darstel-lungsmatrix der transitiven Hülle zu berechnen. Manchmal reichen sogar nochweniger Multiplikationen; siehe Beispiel 2.16!

    Die praktische Bedeutung der reflexiv-transitiven Hülle besteht unter ande-rem darin, dass man durch sie sofort die Existenz von Wegen feststellen kann:

    xR∧y gilt genau dann, wenn ein R-Weg von x nach y existiert.

    Mit anderen Worten: R∧ entsteht durch Ergänzen aller Pfeile, die ”indirekte”Wege beschreiben. In gewissem Sinne umgekehrt verfahren wir, wenn wir allePfeile weglassen, zu denen es auch ”Umwege” gibt. Insbesondere entsteht so auseiner Ordnung R ihre Nachbarschaftsrelation R∨, die man beim Zeichnen vonDiagrammen benutzt. Allgemeiner kann man bei einer beliebigen Relation Rdas Weglassen aller Pfeile, die ”Umwege überbrücken”, formal kurz beschreibendurch den Übergang zu ihrer Nachbarschaftsrelation

    R∨ = R 6= \R 6=≥2.

    Eine Relation R ist genau dann transitiv, wenn folgende Inklusion erfüllt ist:

    R≥2 ⊆ R.Sinnvollerweise wird man deshalb eine Relation R intransitiv nennen, falls gilt:

    R≥2 ⊆ Rc.Diese Bedingung besagt R ∩ Rn = ∅ für n ≥ 2, und für n = 0 ist diese Glei-chung dann automatisch auch erfüllt (wegen R∩R0 ⊆ R∩R2: aus xRx folgtxRxRx). Konkret bedeutet dies, dass R keine Schleifen hat, also irreflexiv ist,und dass niemals xRy gilt, wenn ein ”indirekter” R-Weg von x nach y führt.

    47

  • Da eine intransitive Relation R irreflexiv und disjunkt zu R≥2 ist, erfüllt siedie Gleichung R∨= R. Genauer gilt:

    Satz 2.21 Für jede Relation R ist die Nachbarschaftsrelation R∨ intransitiv.Die intransitiven Relationen sind also diejenigen, die mit ihrer Nachbarschafts-relation übereinstimmen.

    Beweis: Für n ≥ 2 gilt definitionsgemäß (R∨)n ∩R∨ ⊆ R6=n ∩R∨ = ∅. �

    Es liegt nun nahe, einen Digraphen (X,S) mit einer intransitiven Relation Sein (Ordnungs-)Diagramm zu nennen. Während gezeichnete Diagramme geord-neter Mengen natürlich nicht eindeutig bestimmt sind, haben die mathematischdefinierten Diagramme mehrere eklatante Vorteile:

    • sie sind eindeutig durch die jeweilige Relation bestimmt,• man kann mit ihnen (oder ihren Darstellungsmatrizen) rechnen ,• die entsprechende endliche Ordnung lässt sich aus ihnen rekonstruieren.

    Und nun der exakte Zusammenhang zwischen endlichen Ordnungen und Dia-grammen:

    Satz 2.22 (1) Jede endliche Ordnung R ist die reflexiv-transitive Hülle ihrerNachbarschaftsrelation: R = R∨∧.(2) Für jede intransitive Relation S ist die reflexiv-transitive Hülle S∧ eine Ord-nung und S deren Nachbarschaftsrelation: S = S∧∨.

    (3) Vermöge (1) und (2) entsprechen endliche geordnete Mengen und endlicheDiagramme einander bijektiv.

    Wir verzichten hier auf einen Beweis, da wir in 2.31 eine stärkere Aussage zeigen.

    Beispiele 2.23 (1) Für die Relation ≤ auf N oder Z ist die Nachbarschafts-relation gegeben durch x ≤∨y ⇔ x+1 = y. Offenbar ist < die transitive und≤ die reflexiv-transitive Hülle dieser Relation (trotz unendlicher Grundmenge).Für die Ordnung ≤ auf Q oder R ist die Nachbarschaftsrelation hingegen leer !

    (2) Auf jeder Teilmenge X des n-dimensionalen Raumes Rn ist die kompo-nentenweise Ordnung ≤ erklärt durch

    x = (x1, ..., xn) ≤ (y1, ..., yn) = y ⇔ ∀ i ∈ n (xi ≤ yi).Dies ist für n ≥ 2 eine nicht lineare Ordnung. Im Falle X = Nn oder X = Znist die Nachbarschaftsrelation gegeben durch

    x ≤∨ y ⇔ ∃ j ∈ n (xj + 1 = yj und ∀ i ∈ n \ {j} (xi = yi)).In Qn und Rn gibt es hingegen wieder überhaupt keine benachbarten Punkte.

    (3) Bezüglich der Mengeninklusion ⊆ als Ordnung auf einer PotenzmengePM ist eine Teilmenge von M (also ein Element von PM) dann und nur dannoberer Nachbar einer anderen, wenn sie genau ein Element mehr hat. Auf PMstimmt ⊆ daher nur dann mit ⊆∨∧ überein, wenn M endlich ist.

    48

  • Tabelle: Relationen und DarstellungsmatrizenWir listen alle Operationen auf, die wir auf Relationen angewandt haben, undgeben die jeweils entsprechende Operation auf den Darstellungsmatrizen an.

    Relationen R ⊆ X×Y Matrizen DR = A = (aij)S ⊆ Y ×Z DS = B = (bij)

    Operation Beschreibung Operation Beschreibung

    Dualisierung Rd = {(x, y) |(y, x) ∈ R} Transposition AT = (aji)Komplement Rc = {(x, y) |(x, y) 6∈ R} Negation Ac = (1− aij)

    reflexive Hülle R= = R ∪R0 Diagonal-Addition s(A + E)irreflexiver Kern R 6= = R \R

    0 Diagonal-Subtraktion s(A− E)Durchschnitt R ∩ S elementweises Produkt A uB = (aijbij)Vereinigung R ∪ S reduzierte Summe A tB = (s(aij +bij))

    Differenz R \ S reduzierte Differenz A¬B = (s(aij−bij))symmetr. Hülle Rs = R ∪Rd obere Symmetrisierung A tAT

    symmetr. Kern R∗ = R ∩Rd untere Symmetrisierung A uAT

    Produkt RS = {(x, z) |∃y (xRySz)} reduziertes Produkt A�B = s(AB)Potenz Rk = R...R (k-mal) reduzierte Potenz A©k = s(Ak)

    nullte Potenz R0 = idX Einheitsmatrix E = (1−s(|i−j|))Hyperpotenz R≥k =

    ⋃{R` : ` ≥ k} Geometr. Reihe ab k s(

    ∑`≥k A

    `)

    transitive Hülle Rt = R≥1 Geometr. Reihe ab 1 s(∑

    `≥1 A`)

    refl.-trans. Hülle R∧ = R≥0 Geometr. Reihe ab 0 s(∑

    `≥0 A`)

    Nachbar-Relation R∨ = R 6= \R6=≥2 negierte geometr. Reihe A¬

    ∑k 6=1 s(A− E)

    k

    Beispiel 2.24 Eine Relation auf 3, Modifikationen und Darstellungsmatrizen

    1 2

    3

    t dd��� AAU-�R

    t dd��� AAK-�Rd

    d tt��� AAKRc

    t tt��� AAU-�R=

    d dd��� AAU-�R 6=

    t td��� AAK���-�R2

    t tt��� AAU��� AAK-�R3 = R∧d ddR∨ = ∅

    1 1 11 0 00 1 0

    1 1 01 0 11 0 0

    0 0 00 1 11 0 1

    1 1 11 1 00 1 1

    0 1 11 0 00 1 0

    1 1 11 1 11 0 0

    1 1 11 1 11 1 1

    0 0 00 0 00 0 0

    Abschließend bemerken wir, dass der Nachbarschaftsoperator ∨ zwar kon-traktiv und idempotent, aber leider nicht immer monoton ist:

    Beispiel 2.25 Für die folgenden beiden Relationen giltR⊆S, aber nichtR∨⊆S∨:

    d dd-R ⊆

    d dd��� AAU-S

    d dd-R∨=R 6⊆

    d dd��� AAUS∨

    49

  • 2.4 Wege und Zusammenhang

    Eine Folge (x0, x1, ..., x`) von Knoten in einem Digraphen (X,R) hatten wireinen R-Weg der Länge ` genannt, falls xj−1Rxj für alle j ∈ ` gilt. Die Anzahlsolcher Wege bestimmt man leicht mit Hilfe der Darstellungsmatrix:

    Satz 2.26 Für jede Darstellungsmatrix DR einer Relation R auf einer MengeX = {x1, ..., xn} gibt der Koeffizient d (`)ij in der i-ten Zeile und j-ten Spalte der`-ten Potenz DR` die Anzahl der R-Wege der Länge ` von xi nach xj an.

    Beweis. In der Einheitsmatrix DR0 = E = (δij) gibt δij die Anzahl der R-Wegeder Länge 0 von xi nach xj an, nämlich δij = 1 für i= j und δij = 0 für i 6= j.Nehmen wir nun an, wir hätten für alle i und j schon gezeigt, daß d (`)ij dieAnzahl der R-Wege der Länge ` von xi nach xj angibt. Ist xi0Rxi1R ....R xi`ein beliebiger Weg der Länge ` mit Start xi = xi0 und Ziel xi` = xj , so kanndieser genau dann zu einem Weg xi0Rxi1R ....R xjRxk der Länge `+ 1 von xinach xk verlängert werden, wenn djk = 1 gilt. Die Summe

    d(`+1)ik =

    ∑nj=1 d

    (`)ij djk

    ist also die Anzahl der R-Wege der Länge `+ 1 von xi nach xk, und der Induk-tionsschluss von ` auf `+ 1 ist vollzogen. �

    Analog zeigt man, daß die Anzahl der Wege xi=xi0R1xi1R2 ...R` xi` =xj derLänge ` von xi nach xj durch den Koeffizienten in der i-ten Zeile und j-tenSpalte der Produktmatrix DR1 ...DR` gegeben ist.

    Bei Wegen (x0, ..., xn) in Digraphen unterscheidet man zwischen offenen We-gen, deren Anfangs- und Endpunkte verschieden sind (x0 6= xn), und geschlos-senen Wegen, die wieder zum Anfangspunkt zurückführen (x0 = xn).

    d -d��� d���dAAU d���d - doffen (Pfad) dx0 xn−1 xn d -d��� d

    ���dAAU d���d� geschlossen (Zykel)dx0 xn−1

    Einen geschlossenen Weg (x0, x1, ..., xn), dessen Knoten x1, ..., xn paarweiseverschieden sind, nennt man (in Verallgemeinerung der Permutationszykel)einen Zykel der Länge n ; er hat n Knoten und n Pfeile. In einem Zykel darf alsokein Knoten ”mehrfach durchlaufen werden”, während dies bei geschlossenenWegen durchaus erlaubt ist.

    d x10�d x9��� dx8

    ���

    dx7AAK dx6���d- geschlossener Weg,aber kein Zykeld

    x11d

    x0 = x12

    -dx1���dx2 ��� dx3AAU dx4���dx5

    � dEin Digraph (X,R) oder seine Relation R heißt azyklisch, falls er keine echten

    Zykel, d.h. Zykel positiver Länge hat. Algebraisch bedeutet das R 6=≥1 ∩R0 = ∅,

    denn ein geschlossener Weg minimaler positiver Länge ist stets ein Zykel.

    50

  • d -d��� d���dAAU d���d-. . .. . .‖intransitiv d -d��� d�

    ��dAAU d���d� . . .. . .‖ azyklisch

    In Programmabläufen und Algorithmen sind Zykel (Endlosschleifen) un-erwünscht, in Beweisen sind sie manchmal nützlich (beim Nachweis derÄquivalenz von mehreren Aussagen), manchmal wertlos (Zirkelschlüsse). Eineeinfache Rechnung zeigt:

    Satz 2.27 Eine Relation ist genau dann azyklisch, wenn ihre transitive Hülleantisymmetrisch, ihre reflexiv-transitive Hülle also eine Ordnung ist.

    Jede Ordnung, erst recht jede strikte Ordnung ist also azyklisch. Natürlichsind Ordnungen nie intransitiv, und strikte Ordnungen sind es nur, falls alleWege höchstens die Länge 1 haben.

    Um Satz 2.22 auch auf gewisse unendliche Ordnungen erweitern zu können,nennen wir einen Digraphen (X,R) oder seine Relation R maximal verkettet,falls zu jedem (x, y) ∈ R ein maximaler R6=-Weg von x nach y existiert, d.h. einer,der nicht Teilfolge eines anderen R 6=-Weges von x nach y ist. Die maximalen R 6=-Wege sind offenbar genau die R∨-Wege.

    dx0-6

    dx1 dx3?

    - dx2- d

    x4

    (x0, x1, x2, x3, x4) maximaler Weg

    (x0, x3, x4) kein maximaler Weg

    Eine Relation R ist daher genau dann maximal verkettet, wenn sie in derreflexiv-transitiven Hülle ihrer Nachbarschaftsrelation enthalten ist, in Zeichen:

    R ⊆ R∨∧.Jede endliche Ordnung ist sicher maximal verkettet (da sich jeder Weg nurendlich oft verfeinern lässt), aber nicht umgekehrt.

    t

    t

    d�� d�� d��d�� d�� d��d�� d�� d��d�� d�� d��d�� d�� d��d�� d�� d��d�� d�� d��d�� d�� d��d�� d�� d��

    ��

    ��

    Ein Weg durch benachbarte Punkte im Gitter N3

    Wie wir in den Beispielen 2.23 (1) und (2) sahen, sind Nn und Zn durch dieProduktordnung maximal verkettet, Qn und Rn dagegen nicht.

    51

  • In der angewandten Mathematik meint man mit ”Diskretisierung” grob ge-sprochen die Zurückführung auf endliche Strukturen, Prozesse oder Algorith-men. Deshalb kann man maximal verkettete Ordnungen auch diskret nennen,denn man gelangt von einem Element zu einem größeren stets über einen end-lichen Weg, dessen einzelne Schritte benachbarte Elemente verbinden. Das be-deutet allerdings nicht, dass alle Ketten zwischen zwei Punkten endlich sind!

    Beispiel 2.28 Auf der Teilmenge { an ,bn ) : n ∈ N, a, b ∈ {−1, 1}} der Ebene

    R2 ist die komponentenweise Ordnung maximal verkettet, da je zwei Elementex ≤ y durch einen maximalen endlichen Weg verbunden sind. Trotzdem ist{(− 1n ,−

    1n ) : n ∈ N}∪{(

    1n ,

    1n ) : n ∈ N} eine maximale unendliche Kette zwischen

    (−1,−1) und (1, 1).

    dddddd

    ppppppd d d d d dp p p p p p@@

    @@@

    �����

    @@@

    ���@@ ��

    �����

    @@

    @@@

    ���

    @@@

    �� @@ (1,−1)(−1, 1)

    (1, 1)

    (−1,−1)

    Im Gegensatz zu den endlichen geordneten Mengen gibt es viele endlicheDigraphen, die nicht maximal verkettet sind, nämlich solche mit echten Zykeln.

    Satz 2.29 Jede intransitive Relation ist maximal verkettet. Jede maximal ver-kettete Relation ist azyklisch, und umgekehrt ist jede endliche azyklische Relationauch maximal verkettet.

    Beweis: Bei intransitiven Relationen R ist jeder R6=-Weg schon maximal.Ist (x0, x1, ... , xk=x0) ein echter Zykel, so ist kein R 6=-Weg von x0 nach x1

    maximal, denn durch Einschieben des Zykels entsteht ein längerer R 6=-Weg. Beimaximal verketteten Relationen sind also echte Zykel ausgeschlossen.

    Sei nun R eine endliche azyklische Relation. Zu (x, y) ∈ R gibt es dann einemaximale endliche Menge {x0, ..., xn} mit x = x0R 6= ... R6=xn = y. Dieser Weg(x0, x1, ..., xn) ist bereits maximal, denn wäre (x0, x1, ..., xk, y1, ..., xk+1, ..., xn)ein längerer Weg, so müßte y1 mit einem der xi übereinstimmen, und man hätteeinen echten Zykel, nämlich

    (xj , ..., xk, y1 =xj) für j < k bzw. (xj , y2, ..., xk+1, ..., xj=y1) für k < j. �

    Aufgrund der bisherigen Überlegungen bestehen folgende Implikationen:

    endliche Ordnung ⇒ diskrete Ordnung ⇒ Ordnung ⇒ transitiv⇓ ⇓

    intransitiv ⇒ maximal verkettet ⇒ azyklisch ⇒ antisymmetrisch

    52

  • Keine dieser Implikationen lässt sich allgemein umkehren, wie man an einfachenBeispielen erkennt. Jedoch können wir zeigen:

    Satz 2.30 Für eine beliebige Relation R gilt:

    (1) R∧= R∨∧ ⇔ R ist maximal verkettet ⇒ R ist azyklisch ⇒ R∨= R∧∨.(2) R = R∧∨ ⇔ R ist intransitiv.(3) R = R∨∧ ⇔ R ist eine diskrete Ordnung.

    Beweis: (1) Nach 2.19 (6) ist R genau dann maximal verkettet, d.h. R⊆R∨∧,wenn R∧⊆R∨∧gilt. Aus der allgemein gültigen Inklusion R∨⊆R folgt R∨∧⊆R∧.Nach Satz 2.29 ist eine maximal verkettete Relation R azyklisch, d.h.

    R 6=≥1 ∩R0 = ∅ und R∧ 6= = R 6=

    ≥1 (da R∧6= ⊆ (R6=∪R0)≥1 \R0 ⊆ R6=≥1).

    Hieraus ergibt sich nun R∧∨= R 6=≥1 \ (R6=

    ≥1)≥2 = R6= \R6=≥2 = R∨.

    (2) Nach (1), 2.21 und 2.29 gilt: R = R∧∨⇔ R = R∨ ⇔ R ist intransitiv.(3) Für eine diskrete (maximal verkettete) Ordnung gilt nach (1): R=R∧=R∨∧.Wird umgekehrt die Gleichung R = R∨∧ vorausgesetzt, so ist R sowohl eineQuasiordnung (da R∨∧nach 2.19 (6) eine ist) als auch maximal verkettet, insbe-sondere azyklisch (siehe 2.29) und damit antisymmetrisch, also eine Ordnung.

    �Zusammenfassend gelangen wir zu folgendem Hauptergebnis, welches in Ver-

    allgemeinerung von Satz 2.22 den umkehrbaren Wechsel zwischen diskreten Ord-nungen und intransitiven Relationen erlaubt:

    Satz 2.31 (1) Die Nachbarschaftsrelation R∨ einer diskreten Ordnung R istintransitiv, und R ist ihre transitive Hülle: R = R∨∧.

    (2) Die reflexiv-transitive Hülle S∧ einer intransitiven Relation S ist eine dis-krete Ordnung, und S ist deren Nachbarschaftsrelation: S = S∧∨.

    (3) Die Zuordnungen R 7→ R∨ und S 7→ S∧ liefern zueinander inverse Bijektio-nen zwischen diskreten Ordnungen und intransitiven Relationen.

    Beispiel 2.32 Diagramme aller Ordnungen auf vier Elementen

    Diagramm c c c c c c cc c c cc�A c c ccA� c ccc cc cc cc@@ cc cc@@�� ccAutomorphismen 24 2 2 2 1 2 1 4

    isomorphe Kopien 1 12 12 12 24 12 24 6

    Diagrammc c ccAA �� c c cc�� AA ccc c� c ccc� c ccc�Q cc ccQ� cQ�c cc�Q

    ccccAutomorphismen 6 6 1 1 2 2 2 1

    isomorphe Kopien 4 4 24 24 12 12 12 24

    Damit haben wir 16 Isomorphietypen und insgesamt 219 Ordnungen. Mit Satz2.13 ergeben sich daraus 1 · 1 + 7 · 3 + 6 · 19 + 219 = 355 Quasiordnungen auf 4.

    53

  • Neben den ”gerichteten“ Wegen (x0, ..., xn) mit x0Rx1... R xn, bei denenalle Pfeile die gleiche Richtung haben, betrachtet man in der Graphentheoriehäufig auch ”ungerichtete” Wege, bei denen es nicht auf die Richtungen dereinzelnen Pfeile ankommt. Formal sind das genau die Rs-Wege, wobei Rs =R ∪ Rd die symmetrische Hülle von R ist (siehe 2.19(3)). Im Falle xRsy sagtman, x und y seien (bezüglich R) vergleichbar. Man nennt Rs deshalb auchVergleichbarkeitsrelation. Sie ”vergisst die Richtung der Pfeile” und gibt nur an,ob zwei Elemente zueinander in Relation stehen (egal in welcher Richtung).

    Wie wir in Satz 2.19 (7) gezeigt haben, ist die reflexiv-transitive Hülle vonRs die kleinste Äquivalenzrelation, die R umfasst. dabei bedeutet xRs∧y, dassx und y durch einen ungerichteten Weg verbunden sind. Die Äquivalenzklassender Relation Rs∧ nennt man Zusammenhangskomponenten, Wegkomponentenoder einfach Komponenten des Digraphen (X,R). Zwei Elemente liegen alsogenau dann in der gleichen Komponente, wenn sie durch einen ungerichtetenWeg verbunden sind. Gibt es nur eine einzige Komponente, nennt man denDigraphen oder seine Relation zusammenhängend. Dies bedeutet offenbar, daßRs∧ die Allrelation X×X ist.

    Eine geordnete Menge mit einem größten oder einem kleinsten Element iststets zusammenhängend. Unter den Äquivalenzrelationen ist natürlich nur dieAllrelation zusammenhängend.

    Beispiele 2.33 Quasiordnungen auf einer 3-elementigen Menge

    Diagramme Ordnungstyp Anzahl Komp.

    ccc lineare Ordnungen (zusammenhängend) 6 1c�� BB cc oder c��BB cc nicht lineare zusammenhängende Ordnungen 6 1c cc nicht lineare unzusammenhängende Ordnungen 6 2ccc cccoder totale, nicht antisymmetrische Quasiordnungen 6 1ccc nichttriviale Äquivalenzrelationen (unzusammenh.) 3 2c c c Gleichheitsrelation (unzusammenhängend) 1 3ccc Allrelation (zusammenhängend) 1 1

    Von den insgesamt 29 Quasiordnungen sind also sowohl 19 Ordnungen als auch19 zusammenhängend. Aber das ist ein Zufall! Auf 4 Elementen gibt es schon

    355 Quasiordnungen,

    233 zusammenhängende Quasiordnungen (siehe Beispiel 2.38) und

    219 Ordnungen (siehe Beispiel 2.32).

    54

  • Man nennt eine Teilmenge Y eines Digraphen zusammenhängend, wenn je zweiihrer Elemente durch einen ganz in Y verlaufenden ungerichteten Weg verbun-den sind.

    Beispiel 2.34 In dem nachfolgend dargestellten Digraphen ist die TeilmengeY total unzusammenhängend, d.h. keine zwei ihrer Punkte sind innerhalb vonY durch einen Weg verbunden, obwohl es zwischen je zwei ihrer Elemente sogareinen gerichteten Weg in dem gesamten Digraphen gibt.

    d AAUd

    ���� d��� dAAU d

    AAU� dYSatz 2.35 Die Komponenten eines Digraphen sind die maximalen zusammen-hängenden Teilmengen. Diese bilden eine Partition des Digraphen.

    Beweis: Sei K eine Komponente des Digraphen (X,R), d.h. eine Äquivalenz-klasse xS bezüglich der Relation S = Rs∧. Dann sind je zwei Elemente dieserKlasse äquivalent, d.h. durch einen Rs-Weg verbunden. Da Elemente außerhalbder Komponente nicht mit x verbunden sind, müssen diese Wege ganz in Kverlaufen, und K ist maximal zusammenhängend.

    Sei umgekehrtK eine maximale zusammenhängende Teilmenge. Da einpunk-tige Mengen sicher zusammenhängend sind, können wir ein x ausK wählen. Nunist jedes Element aus K mit x durch einen Rs-Weg verbunden, also jedenfalls inder Komponente xS enthalten. Da diese ebenfalls zusammenhängend ist, folgtaus der Maximalität von K bereits K = xS. �

    Wir wollen noch kurz andeuten, wann und wie man zusammenhängendeTeilstücke ”zusammenkleben” kann. Dazu definieren wir für jeden Digraphen(X,R) die Zusammenhangsrelation ./R auf dem System PX \ {∅} aller nicht-leeren Teilmengen durch

    Y ./RZ ⇔ es gibt y ∈ Y und z ∈ Z mit y = z oder yR z oder zR y.Dann kann man folgendes allgemeine Resultat beweisen (was wir hier nicht tun):

    Satz 2.36 (X,R) sei ein beliebiger Digraph, und X sei die Vereinigung einesSystems Z zusammenhängender nichtleerer Teilmengen. (X,R) ist genau dannzusammenhängend, wenn Z bezüglich der Relation ./R zusammenhängend ist.

    � � � ��

    ��

    � �� �����

    � �� �����ws sl lsss

    s ss ss ss ss s

    @�

    H�

    H�

    55

  • Welche kombinatorischen Schlüsse lassen sich aus der Zerlegung in Kompo-nenten ziehen? Anders gefragt: Wie verhält sich die Anzahl AE(n) aller Rela-tionen auf n-Mengen mit einer gewissen Eigenschaft E zur Anzahl AZE(n) allerzusammenhängenden Relationen mit dieser Eigenschaft? Eine präzise Antwortist nur unter der Voraussetzung möglich, dass E genau dann auf eine Relation Rbzw. den Digraphen (X,R) zutrifft, wenn alle Komponenten diese Eigenschafthaben. Beispiele solcher Eigenschaften sind (wie man leicht nachprüft):

    reflexiv irreflexivsymmetrisch antisymmetrsichtransitiv intransitivQuasiordnung azyklischÄquivalenzrelation Ordnung

    Dagegen überträgt sich die Totalität nicht von den Komponenten auf die gesam-te Relation – denn Relationen mit mehr als einer Komponente sind nie total.

    Satz 2.37 Sei E eine Eigenschaft von Relationen oder Digraphen, die genaudann erfüllt ist, wenn alle Komponenten die Eigenschaft E haben. Dann ist dieAnzahl aller Digraphen bzw. Relationen mit dieser Eigenschaft

    AE(n) =n∑

    m=1

    (n−1m−1

    )AZE(m)AE(n−m) = n!

    ∑ n∏k=1

    1mk!

    (AZE(k)k!

    )mk,

    wobei über alle n-Tupel (m1, ...,mn) ∈ Nn0 mit∑nk=1 k ·mk = n summiert wird.

    Beweis. Die erste Formel sieht man durch Selektion der Komponente eines fe-sten Elements (z.B. n) und Kombination mit beliebigen Relationen auf derRestmenge, welche die Eigenschaft E haben. Die Anzahl der Partitionen vomTyp (m1, ...,mn) ist

    n!∑ n∏

    k=1

    1mk!

    (1k!

    )mk.

    Auf jedem Block der Partition mit k Elementen gibt es AZE (k) Relationen mitder Eigenschaft E, und aufgrund der Voraussetzung über E lassen sich dieseRelationen beliebig zu einer Relation auf n mit der Eigenschaft E kombinieren,und jede Relation mit der Eigenschaft E entsteht so auf genau eine Weise. Da esbei festem Typ (m1, ...,mn)

    ∏nk=1A

    ZE(k)

    mk solche Kombinationen gibt, ergibtsich die Gesamtzahl AE(n) gemäß der behaupteten Summation. �

    Beispiel 2.38 Mit Hilfe dieses Satzes kann man die Anzahl QZ(n) derzusammenhängenden Quasiordnungen auf maximal vier Elementen aus den bis-her errechneten Zahlen gewinnen:

    QZ(1) = Q(1) = 1, QZ(2) = Q(2)−(11

    )QZ(1)Q(1) = 4− 1 · 1 · 1 = 3,

    QZ(3) = Q(3)−(20

    )QZ(1)Q(2)−

    (21

    )QZ(2)Q(1) = 29− 1 · 1 · 4− 2 · 3 · 1 = 19,

    QZ(4) = Q(4)−(30

    )QZ(1)Q(3)−

    (31

    )QZ(2)Q(2)−

    (32

    )QZ(3)Q(1)

    = 355− 1 · 1 · 29− 3 · 3 · 4− 3 · 19 · 1 = 233.

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