Discretizacin de sistemas con mantenedor de orden cero (z.o.h)Ing. Vctor Hugo Mosquera
Representacin en espacio de estados de un sistema dinmico.Ventajas de la Representacin en Variables de Estado
La representacin de sistemas de mltiples entradas y mltiples salidas es ms sencilla Toda la dinmica del sistema se representa por ecuaciones diferenciales de diferencia de primer orden. Simulacin con mtodos computacionales ms eficientes Nueva perspectiva sobre la dinmica de los sistemas Algunas de las tcnicas de control moderno se basan en este tipo de representacin.
Variables de estado
Las variables de estado son el conjunto ms pequeo de variables que pueden representar al sistema dinmico completo en un tiempo cualquiera
Variables de estadoPara sistemas dinmicos lineales invariantes en el tiempo (LTI), de mltiples entradas y mltiples salidas (MIMO), la representacin general del sistema en espacio de estados es:
Para sistemas dinmicos lineales invariantes en el tiempo (LTI), de simple entrada y simple salida (SISO), p = q =1.
Solucin de la ecuacin de estados
Ejercicio: Respuesta de un integrador a entrada escaln unitarioR(s) k/s Y(s)
Variables de estado:
Rep. SS
Ejercicio: Respuesta de un integrador a entrada escaln unitario
r(t)
y(t)
k k/s t x(0) t
Discretizacin con zohSe muestrear la solucin de la ecuacin de estados
x(t)
kh kh+h
t
Discretizacin con zoh1. Se muestrea la solucin de la ecuacin de estados cada h segundos, y se evaluar esta ecuacin para el intervalo de tiempo kh < t < kh+h
Discretizacin con zohLuego Donde:
Haciendo w = kh + h - s , se tiene:
Discretizacin con zoh2. Se muestrea la ecuacin de salida cada h segundos, y se evaluar esta ecuacin para el intervalo de tiempo kh < t < kh+h
Luego la representacin general de sistemas discretos representados en espacio de estados es:
Ecuaciones en diferencias
Discretizacin con zohLa discretizacin de sistemas dinmicos representados en espacio de estados se centra en el calculo de las matrices y . Clculo de y : 1. 2. 3. 4. Expansin en series. Mediante transformada de Laplace. Clculo numrico (MatLab). Matemtica Simblica.
Clculo de y : Expansin en series.Por expansin en series se tiene:
Luego:
Ejemplo 1. Discretizacin por aproximacin.Discretizar con zoh, el siguiente sistema:
Aplicando la expansin en series.
Ejemplo 1. Discretizacin por aproximacin.
Ejemplo 1. Discretizacin por aproximacin.
Luego el sistema en tiempo discretos es:
Clculo de y : Trasformada de Laplace.Para esto mtodo se inicia con la aplicacin de la Transformada de Laplace a la ecuacin de estados de un sistema dinmico en tiempo continuo L
Clculo de y : Trasformada de Laplace.L -1
Se concluye L
Ejemplo 2: Discretizacin por LaplaceDiscretizar con zoh, el siguiente sistema:
Se encuentra la transformada de Laplace de la exponencial
Ejemplo 2: Discretizacin por Laplace
L
-1
L
-1
Luego
Ejemplo 2: Discretizacin por LaplaceClculo de
Luego el sistema en tiempo discretos es:
Expansin de seno y coseno en series de Taylor
Si solo tenemos en cuenta los dos primeros trminos de la serie y se cambia la variable t por h, se tiene
Expansin de seno y coseno en series de Taylor (comparacin resultados)
Por series
Por Laplace
Reemplaza en la rta por Laplace, la aproximacin de series Taylor de y
Ejercicio 3. Discretizacin controlador en adelanto.
de
un
Discretizar con mantenedor de orden cero el siguiente controlador en adelanto
1.
Encontrar representacin en espacio de estados
Ejercicio 3. Discretizacin controlador en adelanto.Realizando operaciones sobre X(s)
de
un
Aplicando transformada inversa de Laplace
Ecu. de EstadosAplicando transformada inversa de Laplace a Y(s)
Ecu. de Salida
Ejercicio 3. Discretizacin controlador en adelanto.2. Discretizar controlador
de
un
3. Sistema en tiempo discreto
Ejercicio 3. Discretizacin controlador en adelanto.4. Resultados de simulacin% sistema en tiempo continuo A =-2 B =1; C =-0.5; D =0.5; % sistema en tiempo discreto h =0.1; % periodo de muestreo Ad =exp(-2*h); Bd =0.5*(1-exp(-2*h)); Cd =-0.5; Dd =0.5; % Simulacin sim('control',20) plot(y.time, y.signals.values), hold on plot(y1.time, y1.signals.values, 'r.-') legend('T. continuo','T. Discreto'), grid on
de
un
Ejercicio 3. Discretizacin controlador en adelanto.Step Add x' = Ax+Bu y = Cx+Du State -Space 5 s2 Transfer Fcn y To Workspace
de
un
Discrete Transfer Fcn
1 1Out1
5 s2 Zero -Order Hold Transfer Fcn 1 y1 To Workspace 1
In 1
Add 1 Discrete Transfer Fcn 1 1 1
Subsystem
Dd Gain 3 1 In 1 Bd Gain 1 Gain Ad Add Add 1x(kh +h)
1 Out 1
Integer Delayx(kh )
-1 Z Cd Gain 2
Ejercicio 3. Discretizacin controlador en adelanto.1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 T. continuo T. Discreto
de
un
h=0.10 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 T. continuo T. Discreto
h=0.050 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Ejercicio 3. Discretizacin controlador en adelanto.150 T. continuo T. Discreto 100
de
un
50
0
-50
h=1-100 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
