5. Modelo Multidimensional.bibing.us.es/proyectos/abreproy/5134/descargar... · discretización será temporal y espacial. Su complejidad hace que acudamos a paquetes ... (velocidad

5. Modelo Multidimensional.

PFC de José Manuel Álvarez Prieto. Modelo Multidimensional.

105

5.0 Introducción.

En el modelo multidimensional se usa la técnica de volúmenes finitos que necesita a las ecuaciones de fluidos en forma integral. Dicho método requiere de una discretización del volumen fluido mediante un mallado del mismo. El espacio queda así dividido en multitud de celdas a las que se le asocia la forma discreta de las ecuaciones. Dicha discretización será temporal y espacial. Su complejidad hace que acudamos a paquetes comerciales de CFD (Computational Fluid Dynamics). Uno de estos programas es el que usaremos aquí para hacer el modelo multidimensional. Fluent se encarga en nuestro caso de resolver el sistema de ecuaciones que resulte de nuestro diseño del mallado y de nuestra elección de parámetros del “Solver” (sistema segregado, distintas opciones para resolver la ecuación de presión, etc). Imponemos además las condiciones iniciales y de contorno.

5.1 Modelado con CFD.

5.1.1 Definición geométrica y mallado. 5.1.1.1 Definición geométrica. Los motores Stirling reales se diseñan de manera que la superficie de intercambio de calor en los focos sea la mayor posible. Sin embargo esto tiene como contrapartida un aumento de la pérdida de carga asociada a la fricción del gas con las paredes y a efectos geométricos. En la siguiente imagen se representa el foco frío de un motor Stirling modelo II de la NASA como el que se mencionó en la introducción:

En él observamos que está compuesto por una camisa anular refrigerada por agua en la que se insertan unos tubos de pequeño diámetro que sirven de pasaje para el gas de trabajo. De esta manera se consigue un área de intercambio importante con unas dimensiones totales del foco frío compactas.

Para el foco caliente del mismo motor se recurre a la siguiente geometría:

Figura 5.1. Intercambiador de calor para el foco frío del motor Stirling experimental modelo II de la NASA.


106

Donde se observa que la longitud de los conductos empleados en este foco son sensiblemente superiores a los que teníamos en el foco frío, con el fin de aumentar el área de intercambio.

El foco caliente se integra en el quemador de la siguiente forma:

Figura 5.2. Detalle de la geometría del intercambiador del foco caliente en el motor Stirling experimental modelo II de la NASA.

Figura 5.3. Foco caliente y quemador del motor modelo II de la NASA.


107

Y la estructura completa, con las cámaras de expansión y compresión, los focos y el regenerador se muestra en la siguiente figura:

Resulta obvio que modelar un motor como éste en Fluent tendría que hacerse en 3 dimensiones. Nuestro objetivo en cambio es el de hacer la simulación de un motor teórico con fines didácticos para conocer el ciclo Stirling y los factores que a éste le afectan. Estamos interesados además en probar las posibilidades que Fluent ofrece para su modelado. Por el mismo motivo, no sería práctico simular con todo lujo de detalles un motor real por la gran cantidad de celdas que se necesitarían y, por tanto, el gran tiempo de ejecución que consumiría. No ha de perderse de vista que se quiere que el motor funcione de forma estacionaria (velocidad angular media constante) y que para llegar a ese estado desde unas condiciones iniciales impuestas se han de completar varias vueltas. Por todo ello se ha juzgado conveniente partir de una geometría simplificada que pueda resolverse en Fluent en dos dimensiones y con ello obtener un sustancioso ahorro en el número total de celdas. Puesto que la superficie de intercambio en los focos ha de ser muy grande y se quería representar el motor completo en una sola pantalla, ha sido necesario desnaturalizar los intercambiadores de ambos focos definiéndolos como paredes anulares, sin espesor, con un lado isotermo (300 K para el foco frío y 923 K para el foco caliente) y otro lado adiabático.

5.1.1.2 Criterios para la realización de la malla.

Para la realización de la malla se ha atendido principalmente a la calidad de la misma y la reducción del número de celdas que la componen. Estos dos objetivos son opuestos y debemos llegar a un compromiso entre ambos.

De todas formas la calidad de la malla es el principal factor que determina la velocidad, fiabilidad y estabilidad de la solución en los modelos multidimensionales. Los programas comerciales proporcionan herramientas para realizar un mallado correcto que cumpla un compromiso aceptable entre la calidad y la rapidez de la solución. Sin embargo esto da al diseñador de la malla un importante grado de libertad en sus

Figura 5.4. Detalle de unos de los cilindros del motor modelo II de la NASA mostrando sus cámaras de expansión y compresión, los focos y el regenerador.


108

decisiones y tan sólo con la experiencia personal y un importante conocimiento del problema a tratar se puede llegar a una solución óptima entre todas las posibles.

Hemos elegido un modelo axisimétrico. De esta forma sólo se ha de mallar un área en dos dimensiones en lugar de un volumen en 3d. Con ello se consigue economizar el número de celdas a emplear.

No obstante, para la representación se ha obtenido una imagen especular respecto a un plano de simetría horizontal de manera que su visión sea la correspondiente a un corte longitudinal del motor. Esto se hace sin aumentar el número de celdas:

Puesto que las regiones cercanas a la pared están sujetas a fuertes gradientes de velocidad y temperatura se ha de poner un especial cuidado en la realización de la malla en esas zonas. Se ha de emplazar un mayor número de puntos de la malla dentro de la región de la capa límite, lo que conlleva usar una primera línea de celdas con unos centroides muy cercanos a la pared. Gracias a esta medida podremos modelar mejor la fricción y la transferencia de calor. Sin embargo, como contrapartida, habremos incrementado el número total de celdas de la malla.

Se han evitado así mismo cambios bruscos de volumen entre celdas adyacentes. Para ello se ha hecho uso de la función de escalado existente en Gambit para expandir suavemente el tamaño de las celdas desde el que tienen próximo a las paredes hasta el interior del conducto.

Figura 5.5. Mallado del modelo 2D axisimétrico.

Figura 5.6. Mallado del modelo 2D axisimétrico y su imagen reflejada respecto al eje de simetría.


109

El mallado del motor en el presente trabajo fue hecho con el programa Gambit. Consta de 74791 celdas repartidas de la siguiente forma:

- 7269 celdas para la zona de compresión “c” del motor (el 9.72 % de las celdas totales):

Donde se aprecia la diferencia entre el mallado del volumen barrido por el pistón izquierdo y la del volumen muerto perteneciente a esta cámara. Para el primero de han definido celdas cuadrangulares de altura (distancia perpendicular al pistón) constante, mientras que para el volumen muerto se ha impuesto un tipo de celda “pave” también cuadrangular pero de forma irregular que permita realizar la transición entre las celdas del volumen barrido y las introducidas para el mallado del foco frío.

- 31240 celdas para el foco frío (el 41.77 % de las celdas totales):

Figura 5.7. Detalle del mallado en la zona de compresión “c”.

Figura 5.8. Detalle del mallado en el foco frío.


110

donde nuevamente se han definido celdas rectangulares, esta vez más alargadas en el extremo izquierdo que en el derecho con el fin de cuidar la transición del tamaño de celdas hacia el regenerador.

- 15648 celdas para el regenerador (el 20.92 % de las celdas totales):

en el que se han usado las celdas cuadrangulares irregulares tipo “pave” más finas en las fronteras con los focos que en el centro.

- 16280 celdas para el foco derecho (el 21.77 % de celdas totales):

Esta vez las celdas rectangulares están más alargadas en el extremo izquierdo, en la frontera con el regenerador.

Figura 5.9. Detalle del mallado en el regenerador.

Figura 5.10. Detalle del mallado en el foco caliente


111

- 4250 celdas para la zona de expansión “e” (el 5.68 % de las celdas totales):

donde se han aplicado las mismas consideraciones que las tenidas en cuenta para la zona de compresión “c” con celdas cuadrangulares para el volumen barrido y tipo “pave” para el volumen muerto de esta cámara.

Se observa que el mayor porcentaje de celdas se encuentra en el foco izquierdo. Esto es debido a que allí la distancia radial entre anillos concéntricos consecutivos es más pequeña y ningún pasaje debe ser representado por menos de 5 celdas. Puesto que en ese foco habrá más volumen del mismo dentro de la capa límite, estamos obligados además a emplazar un mayor número de celdas en su interior.

El siguiente lugar en registrar mayor número de celdas es el foco derecho, con una cifra que es casi la mitad de la del foco izquierdo. Esto es debido a que la distancia radial entre anillos concéntricos es mayor (no son necesarias tantas celdas transversales al flujo, aunque su número continúa siendo mayor al recomendado de 5 celdas) y además la longitud (y el volumen) del intercambiador es menor.

Con un 20.92 % de las celdas totales encontramos al regenerador, donde la mayoría de las celdas se sitúan en las inmediaciones de los focos (con el fin de asegurar una transición de tamaño “suave” entre las celdas de los focos y las celdas centrales del regenerador, más grandes). Realmente, sin esta consideración, podríamos ahorrar aquí un gran número de celdas ya que Fluent modela el medio poroso añadiendo términos en las ecuaciones, y el comportamiento del fluido en el medio será sólo aproximado (la representación del comportamiento del fluido no mejora aunque tengamos un número mayor de celdas aquí).

Las zonas de compresión y de expansión presentan un inferior número de celdas ya que el criterio seguid en esta zona es que en las celdas cuadrangulares, el lado perpendicular al pistón tuviera una longitud mayor al doble del desplazamiento del pistón en cada paso. La mayor cantidad de celdas en estas zonas corresponden a sus respectivos

Figura 5.11. Detalle del mallado en la zona de expansión “e”.


112

volúmenes muertos, donde ha de efectuarse de nuevo una transición de tamaño entre la del foco y la respectiva zona de malla dinámica. El número de celdas de estas dos últimas zonas corresponden a la posición inicial elegida del motor (volumen total máximo y, por tanto, número total de celdas también máximo) pero variará entre un valor máximo y uno mínimo en ambos.

Debido a la gran diferencia entre longitudes máximas y mínimas en el motor, el mallado se ha hecho a una escala ampliada a 1000:1 con el fin de compensar la precisión de 32 bit del programa generador de mallas. Este escalado nos permite crear mallas más finas. Una vez que la malla ha sido creada satisfactoriamente volvemos a escalarla mediante una reducción de 1:1000 antes de exportarla al programa Fluent.

5.1.1.3 Parámetros de calidad.

En los modelos en 2D se recomienda usar elementos cuadrangulares al menos en la región de capa límite (esfuerzos de cortante importantes). Puede usarse la función “boundary layer” de Gambit para crear estas celdas próximas a la pared.

Por usar Fluent el método de los volúmenes finitos, no es estrictamente necesario un mallado estructurado. Si se usara el método de las diferencias finitas el mallado tendría que estar estructurado en algún sentido para, mediante transformaciones, convertirlo en un mallado cartesiano normal. Sin embargo si que se recomienda el uso de mallas estructuradas siempre que sea posible con el fin de reducir el número total de celdas y el de aquellas mal definidas. Una malla estructurada aumenta considerablemente la convergencia de la solución.

La forma de la celda (incluido el “skewness” y la relación de aspecto “aspect ratio”) juega un papel decisivo en la precisión de la solución numérica. Celdas demasiado delgadas pueden disminuir la precisión y desestabilizar la solución. Se ha evitado en toda la malla una “delgadez” menor a 0.85.

Gambit nos da la posibilidad de analizar la malla según las siguientes especificaciones:

5.1.1.3.1 Área.

Esta especificación se aplica sólo en elementos 2D y representa la calidad de la malla en base al área del elemento. En nuestra malla se cumple que

446966.00 ≤≤ A .

5.1.1.3.2 Ratio.

5.1.1.3.2.1 Relación de Aspecto (Aspect Ratio).

La Relación de Aspecto es definida de manera diferente para cada tipo de elemento. En nuestro caso sólo hay elementos cuadrangulares, con lo que la definición del “Aspect Ratio” QAR se reduce a la siguiente

[ ][ ]n

nAR eee

eeeQ

,...,,min,...,,max

21

21= ,

donde ei es la longitud media de los lados en la dirección coordenada (i) local al elemento (véase la figura siguiente) y n es el número total de direcciones coordenadas asociadas con el elemento. Para elementos cuadrangulares, n = 2.


113

Figura 5.12. Definición de ei como la longitud media de los lados en la dirección coordenada (i) local

al elemento.

Por definición 1≥ARQ , donde 1=ARQ describe al elemento equilátero.

En nuestra malla se cumple que 7022.171 ≤≤ ARQ , aunque el 99.35 % de las celdas

tienen un 10≤ARQ .

5.1.1.3.2.2 La Relación de Diagonal (Diagonal Ratio).

La “Diagonal Ratio” (QDR) se aplica solamente a elementos cuadrangulares y se define como

[ ][ ]n

nDR ddd

dddQ

,...,,min,...,,max

21

21= ,

donde los di son las longitudes de las diagonales de los elementos. Para elementos cuadrangulares, n = 2. Por definición

1≥DRQ .

Mientras más alto sea el valor de QDR, más irregular será la forma del elemento asociado. Para elementos cuadrados perfectos 1=DRQ . En nuestro caso se cumple

que 40005.21 ≤≤ DRQ .

5.1.1.3.2.3 Relación de Lados (Edge Ratio).

El “Edge Ratio” es definido como

),...,,min(),...,,max(

21

21

n

nER sss

sssQ = ,

donde si representa la longitud del lado i del elemento, y n es el número total de lados asociados al elemento. Por definición

1≥ERQ .

Un valor más alto de QER, indica que la forma del elemento asociado es más irregular. Para elementos con forma equilátera, 1=ERQ . En nuestra malla se cumple

que 7022.171 ≤≤ ERQ , aunque el 99.35 % de las celdas tienen un 10≤ERQ .


114

5.1.1.3.3 Skew.

5.1.1.3.3.3.1 Distorsión Angular (EquiAngle Skew).

El “EquiAngle Skew” (QEAS) es una medida normalizada de la distorsión definida como

−

−−

=eq

eq

eq

eqEASQ

θθθ

θθθ minmax ,

180max ,

donde maxθ y minθ son los ángulos máximo y mínimos (en grados) entre los lados

del elemento, y eqθ es el ángulo característico correspondiente a una celda equilátera

de forma similar. Para elementos cuadriláteros, º90=eqθ .

Por definición 10 ≤≤ EASQ ,

donde 0=EASQ describe al elemento equilátero, y 1=EASQ describe al elemento

completamente degenerado (con una forma pobre). En la tabla siguiente se representa la relación entre QEAS y la calidad del elemento.

QEAS QEAS = 0 0<QEAS≤0.25 0.25<QEAS≤0.5 0.5<QEAS≤0.75 0.75<QEAS≤0.9 0.9<QEAS≤1 QEAS = 1

Calidad Equilatero (Perfecta)

Excelente Buena Suficiente Mala Muy mala Degenerada

% de elementos

- 98.26 % 1.73 % 0.01 % 0.00 % - -

En general, las mallas de alta calidad están hechas con elementos que tienen una QEAS media de 0.1 (en 2D). En nuestro caso se cumple que 772131.00 ≤≤ EASQ aunque el 94.95% de los

elementos estén en el rango 1.00 ≤≤ EASQ .

5.1.1.3.3.3.2 Distorsión de tamaño (EquiSize Skew).

El “EquiSize Skew” (QEVS) es una medida de distorsión que es definida como

( )eq

eqEVS S

SSQ

−= ,

donde S es el área (2D) del elemento de la malla, y Seq es el área máxima (2D) de una celda equilátera circunscrita en la misma circunferencia que el elemento en cuestión. Por definición, 10 ≤≤ EVSQ , donde 0=EVSQ describe un elemento equilátero, y

1=EVSQ describe un elemento completamente degenerado.

La relación entre QEAS y la calidad del mallado enseñado en la tabla anterior, se aplica también a QEVS. En general, las mallas de calidad poseen elementos cuya media de QEVS es de alrededor de 0.1 (2D). En nuestro caso 772131.00 ≤≤ EVSQ , aunque el 94.95% de los elementos de la

malla cumplen que 1.00 ≤≤ EVSQ .


115

5.1.1.3.3.3.3 Distorsión del Ángulo Medio (MidAngle Skew).

El “MidAngle Skew” (QMAS) se aplica solamente a elementos cuadrangulares y está definido por el coseno del mínimo ángulo (θ) que se forma entre los bisectores de los lados del elemento (véase la figura siguiente):

Figura 5.13. Obtención del ángulo θ en un elemento cuadrangular.

Para elementos cuadriláteros, θcos=MASQ .

Por definición, 10 ≤≤ MASQ , donde 0=MASQ describe a un elemento equilátero, y

1=MASQ describe a un elemento completamente degenerado.

En nuestro caso 772131.00 ≤≤ MASQ aunque se cumple que el 96.82% de los

elementos de la malla están en el rango 1.00 ≤≤ MASQ .

En la siguiente tabla representamos la relación entre QMAS y la calidad del elemento.

QMAS QMAS = 0 0<QMAS≤0.25 0.25<QMAS≤0.5 0.5<QMAS≤0.75 0.75<QMAS≤0.9 0.9<QMAS≤1 QMAS = 1

Calidad Equilatero (Perfecta)

Excelente Buena Suficiente Mala Muy mala Degenerada

% de elementos

3 % 99.59 % 0.40 % 0.01 % 0.00 % - -

5.1.1.3.4 Parámetros de calidad exclusivos de las mallas con elementos cuadriláteros.

5.1.1.3.4.1 Estirado (Stretch).

El “Stretch” es un parámetro de calidad de la malla que se aplica solamente a elementos cuadriláteros y se define como

( )( )n

mS ddd

sssKQ

,...,,max,...,,min

121

21⋅−= ,

donde di es la longitud de la diagonal i, sj es la longitud del lado j del elemento, y n y m son los números totales de diagonales y lados, respectivamente. Para elementos cuadriláteros, n = 2, m = 4, y K = 2. Por definición, 10 ≤≤ SQ , donde 1=SQ describe a un elemento completamente

degenerado. En nuestro caso se cumple que 920238.00 ≤≤ SQ aunque el 88.82%

de los elementos de la malla están en el rango 7.00 ≤≤ SQ .

5.1.1.3.4.2 Afilado (Taper).

El “Taper” es un parámetro de calidad de la malla que se aplica solo en elementos cuadriláteros y se define como sigue.


116

Para cualquier elemento cuadrangular, es posible construir un paralelogramo tal que la distancia entre cualquier esquina del paralelogramo y su más cercana esquina del elemento es un valor constante. Como resultado, cualquier vector, T

r, construido

desde una esquina del elemento hacia la más cercana esquina del paralelogramo posee una magnitud idéntica al resto de vectores similares en el mismo elemento (véase la figura siguiente).

Figura 5.14. Obtención del vector Tr

en un elemento cuadrangular.

Cada vector Tr

puede descomponerse en sus componentes Ti, que son paralelas a los bisectores del elemento. Para elementos cuadrangulares, hay dos componentes como estos para cada vector. La magnitud “Taper” (QT) es definida como el máximo normalizado de todos los componentes del elemento. Por definición, 10 ≤≤ TQ , donde 0=TQ describe un elemento equilátero, y

1=TQ describe a un elemento completamente degenerado.

En nuestro caso 629241.00 ≤≤ TQ aunque se cumple que el 99.42% de los

elementos de la malla están en el rango 1.00 ≤≤ TQ .

5.1.1.4 Mallado para flujo laminar.

Hay además ciertas recomendaciones específicas para la separación respecto de la pared de los centroides de la primera línea de celdas en un flujo laminar. Estas persiguen que la resolución de la malla en el contorno sea suficientemente fina para que el cálculo de la tensión tangencial y del coeficiente de transferencia de calor sea adecuado. La primera línea de celdas ha de cumplir que

1≤⋅∞

x

uyp ν

⇒ ∞

⋅≤u

xyp

ν,

donde:

comienzo. de punto el desde pared la sobre distancia x

fluido. del cinemática d viscosida

libre. flujo del velocidadu

pared. la a próxima más celda la de centroide al pared la desde distancia

===

=

∞

ν

py

Llamaremos z a la longitud adimensional ( ) ∞⋅ uxν .

Suponiendo que la velocidad del flujo libre sea de 10 m/s (las velocidades máximas observadas en el modelo no superan los 7.5 m/s) y la viscosidad cinemática del fluido sea de 15.89·10-6 m2/s en el foco frío, de 46.19·10-6 m2/s en el regenerador y de 107.178·10-6 m2/s en el foco caliente, obtenemos las siguientes gráficas de z y de yp:


117

20 30 40 50 60 70 80 90 100 1100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Distancia en mm respecto una referencia común

Val

ores

de

y p y d

e z

en m

m

Valores de yp y de z en mm

zfoco

frio

zregenerador

zfoco

caliente

yp

Figura 5.15. Comparación entre yp y la longitud adimensional z para cada intercambiador.

Eligiendo que los centroides de las celdas en contacto con las paredes de los focos estén a 0.01 mm de las mismas (lo que supone que dichas celdas rectangulares han de tener

una altura de 0.02 mm) logramos que ( ) ∞⋅≤ uxyp ν en el 99.47 % de la longitud del

foco frío, el 99.69 % de la longitud del regenerador y el 99.78 % de la longitud del foco caliente.

5.1.1.5 Malla dinámica.

Al presentar el motor un volumen variable de gas de trabajo debido al movimiento de dos pistones, hay que usar una función para la adaptación de la malla en las correspondientes zonas. Hemos optado por el “layering” que solo puede aplicarse sobre celdas rectangulares (en 2d) en las que el pistón desplace al flujo de manera perpendicular a su superficie. Se ha evitado el uso de adaptación de la malla y remallado para no ralentizar la solución en Fluent.

En este tipo de mallado, cuando el movimiento del pistón hace disminuir el volumen, las celdas próximas a la superficie del émbolo colapsan y se fusionan reduciéndose el número total. Cuando el movimiento es de expansión del gas encerrado, el volumen se incrementa y se crean nuevas celdas en las inmediaciones del pistón.

Todo el proceso se controla definiendo los siguientes parámetros: - La altura ideal de la celda (hideal). - El factor de escisión (αs). Se permite que la altura de la celda crezca hasta que su

valor alcanza (1+ αs)hideal. - El factor de colapso (αc). Las celdas pueden comprimirse hasta que su altura es

menor de αchideal. Puesto que las alturas de las celdas adyacentes al pistón son uniformes, podemos usar el método de la “Altura constante” según el cual Fluent añade o elimina capas de celdas con altura constante.

A efectos prácticos hay que tener en cuenta que ha de quedar al menos una línea entera de celdas rectangulares (2d) al utilizar el método “layering” para que éste funcione correctamente cuando el volumen sea mínimo.

Se ha de ser cuidadoso también en la elección del paso temporal para que el desplazamiento de la pared móvil en una iteración de tiempo no sea excesivo. Como regla general se debe ajustar el paso temporal de manera que el desplazamiento del pistón no sobrepase nunca en longitud a la mitad de la altura de las celdas adyacentes a la pared móvil. En nuestro caso la evolución del desplazamiento relativo del pistón respecto al ángulo girado por el cigüeñal es:


118

Con valores máximos de 0.2249 mm por paso. Esto contrasta favorablemente con la altura elegida de 0.5489 mm para las celdas de la malla dinámica.

5.1.2 Solver.

5.1.2.1 Introducción.

A continuación se introducirán las ecuaciones del fluido en la forma que nos interesa, también veremos su discretización, linealización y resolución dentro del programa Fluent.

Puesto que las ecuaciones de Navier-Stokes están fuertemente acopladas han de ser resueltas utilizando procedimientos iterativos. En la literatura ingenieril se encuentran varios métodos aunque descritos de una manera un tanto superficial y oscura. Por supuesto programas comerciales como Fluent no nos proporcionan en su tutorial más detalles acerca de los algoritmos que emplean, limitándose a nombrarlos y a describirlos someramente (a menudo usando la notación que se emplea en la fuente de la que procede sin dar siquiera explicaciones de qué representa cada símbolo empleado ni diciendo cómo se ha obtenido). Tan solo podemos aspirar a seguir sus recomendaciones para elegir las opciones que mejor se adapten al problema que tenemos entre manos y entender de manera genérica el funcionamiento de los cálculos que hace. Comencemos pues a describir el “Solver” en Fluent justificando las elecciones que hemos tomado.

Fluent provee tres diferentes formulaciones del “solver”:

- Segregado. - Acoplado implícito. - Acoplado explícito.

Las tres formulaciones aseguran buenos resultados para una amplia gama de flujos, pero en algunos casos una formulación estará mejor adaptada (por ejemplo da la solución más rápidamente) que las otras. Los “solvers” segregado y acoplado difieren en la manera en que las ecuaciones de continuidad, cantidad de movimiento, y energía son resueltas; el “solver” segregado resuelve esas ecuaciones secuencialmente (segregadas unas de otras), mientras que el “solver” acoplado las resuelve simultáneamente (acopladas las unas con las otras). Ambas formulaciones resuelven las ecuaciones para los escalares adicionales (en el caso de turbulencia o radiación) secuencialmente. Los

0 50 100 150 200 250 300 350 400-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

Ángulo θ en º

Des

plaz

amie

nto

rela

tivo

del p

istó

n en

mm

Incremento del desplazamiento del pistón respecto a un paso anterior

∆xc

∆xe

Figura 5.16. Incremento del desplazamiento del pistón en las zonas de compresión y expansión respecto a un paso anterior.


119

“solvers” acoplados implícito y explícito difieren en la manera en que linealizan las ecuaciones acopladas. Por defecto, FLUENT usa el “solver” segregado. Para flujos compresibles a altas velocidades, flujos altamente acoplados con fuerzas sobre el cuerpo (convección libre o fuerzas rotacionales), o flujos que deban ser resueltos con mallas muy finas, se ha de considerar en su lugar el “solver” acoplado implícito. Este “solver” acopla las ecuaciones del flujo y de la energía, lo que da a veces como resultado una más rápida convergencia hacia la solución. Por el contrario el uso del “solver” acoplado implícito hace uso de mayor memoria (de 1.5 a 2 veces) que con el uso del “solver” segregado. Para el caso en que el uso del “solver” acoplado implícito sea deseable, pero el ordenador no tenga suficiente memoria, se puede usar el “solver” segregado o el “solver” acoplado explícito en su lugar. El “solver” acoplado explícito también acopla las ecuaciones del flujo y de la energía, pero requiere menor memoria que el “solver” acoplado implícito. Tomará, sin embargo, normalmente más tiempo alcanzar la convergencia hacia la solución con el “solver” acoplado explícito que con el “solver” acoplado implícito.

5.1.2.2 Ecuaciones del fluido.

Agrupamos aquí las ecuaciones del fluido en la forma en que Fluent va a usarlas. Dichas ecuaciones son las conocidas de Navier – Stokes más la ecuación de estado del gas ideal. En ellas hay que considerar los siguientes aspectos:

- El flujo fluido se encuentra en régimen transitorio. Por tanto las ecuaciones tienen términos temporales.

- El fluido es Newtoniano y por lo tanto el tensor de esfuerzos de viscosidad se describe en función de los coeficientes primero y segundo de viscosidad (µ y λ respectivamente)

( )Ivrr

⋅∇+= λγµτ 2 .

- El fluido es compresible. Hay que considerarlo así pues, aunque el número de Mach se mantiene como Ma < 0.3 en todo momento, el fluido está encerrado en una cámara de volumen variable y las variaciones de presión son suficientemente grandes para que no se pueda modelar la densidad como constante o sólo dependiente de la temperatura.

- Han de expresarse en coordenadas cilíndricas en 2 dimensiones, pues la cámara de volumen variable es un tubo horizontal representado por su sección longitudinal.

Puesto que Fluent usa en la discretización el método de los volúmenes finitos, partimos de las ecuaciones del fluido en forma integral:

Ec. de continuidad.

0 =∫ VdDt

DV

ρ , ó bien ∫∫ =⋅+∂∂

0 AdvdVtV

rrρρ.

Ec. de conservación de la cantidad de movimiento.

∫∫∫∫ +⋅+⋅−=VV

dVFAdτAdIp dVvρ Dt

D rrrr,


120

donde I es la matriz identidad, τ es el tensor de esfuerzos de viscosidad, y Fr

es el vector de fuerzas debido a campos exteriores (como el gravitatorio) que actuan sobre la totalidad de la masa del elemento y que no tendremos en cuenta en nuestro modelo. Si a la ecuación anterior le sumamos la de continuidad premultiplicada por v

r

obtendremos (sin el término que contiene a Fr

)

( ) ( ) AdτAdIp Adv vρ dVt

vρ V

rrrrrr

⋅+⋅−=⋅+∂

∂∫∫∫∫ .

Para su aplicación en el medio poroso modificamos la ecuación de conservación de la

cantidad de movimiento para incorporarle un término fuente Sr

que representa la pérdida de carga por unidad de longitud del medio que atraviesa

( ) ( ) ∫∫∫∫∫ +⋅+⋅−=⋅+∂

∂VV

dVSAdτAdIp Adv vρ dVt

vρ rrrrrr

r

.

En esta ecuación aplicamos la velocidad física. Sin embargo Fluent expresa el término fuente según la velocidad superficial

( ) ( ) ( )

+−= ∑ ∑

= =

3

1

3

1lsuperficialsuperficialsuperficia 2

1

j jjmagijjiji vvCvDS ρµ ,

donde Si es el término fuente para el i-ésimo (x, y, ó z) ecuación de conservación de la

cantidad de movimiento, D y C son matrices y ( ) lsuperficialsuperficia vvmag

r= . Este término de

cantidad de movimiento contribuye al gradiente de presiones en la celda porosa, creando una pérdida proporcional a la velocidad del fluido (o a la velocidad al cuadrado) en la celda. Para recoger el caso de medio poroso homogéneo simple

+−= lsuperficialsuperficia2lsuperficia 2

1vvCvSrrrr

ραµ

,

donde α es la permeabilidad y C2 es el factor de resistencia inercial, simplemente especificando D y C como matrices diagonales con 1/α y C2, respectivamente, en las diagonales (y ceros en los otros elementos). Si queremos expresar el término fuente para el medio homogéneo según la velocidad física haremos

+−= vvCvSrrrr

22 2

1 ργγαµ

.

Aunque Fluent nos avisa de que, independientemente de la formulación de velocidad

que elijamos, los coeficientes necesarios para el cálculo de Sr

deberán ser introducidos de acuerdo con la formulación superficial.

Por otra parte Fluent permite que definamos el término fuente mediante el “Power – Law”. Puesto que nuestro modelo no está basado en ningún motor real, y sólo disponemos de la pérdida de carga estimada con el modelo en Matlab, haremos uso de esta opción para calcular el término fuente en la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento, con lo cual sólo son requeridos los valores empíricos C0 y C1 para definirla, según la ecuación

( )i

CC

i vvCvCS1

0011 −−=−=

.


121

Donde C0 debe estar en unidades del Sistema Internacional, consistente con el valor de C1.

Puesto que en el motor no se dan altas velocidades del gas, despreciaremos las pérdidas inerciales y haremos C1 = 1. Esto implica hacer

1

0

0

2 2

1vCuvCuSi

r

43421

r −=

+−=

=

ραµ

.

Prosiguiendo

αµ

αµ =⇒/−=/−= 00 C uCuSi .

Observando la expresión de la ley de Darcy, lo que se está haciendo es

C

C

lsuperficiaal0superfici

lsuperficiaal0superfici

lsuperficialsuperficialsuperficia

lsuperficia

x

xx

nu

pnu

pnup

∆∆=⇒

=

∆∆=⇒∆=∆

αµ

αµ

αµ

.

Si sustituimos xn∆ por L , que es la longitud del regenerador, en la expresión de

al0superficiC

al0superficilsuperficiaCuL

p =∆.

Nosotros hemos introducido el coeficiente C0 = 25887.23 basándonos en la pérdida de carga encontrada en el modelo unidimensional en Matlab.

Ec. de energía.

La expresión de la ecuación de la energía es

( ) ( )∫∫∫∫ ⋅⋅+⋅∇=⋅+∂∂

AdvAdTkAdvhdVet V

rrrrrr τρρ 00 .

En la que no se ha incluido el término que refleja posibles reacciones químicas y radiación por no considerarse en este modelo. Fluent usa la forma conservativa (convirtiendo las integrales de superficie en integrales de volumen mediante el teorema de Gauss, o de la divergencia)

( ) ( ) ( )dVvdVTkdVvhdVet VVVV ∫∫∫∫ ⋅⋅∇+∇⋅∇=⋅∇+

∂∂ rrrrrr

τρρ 00 .

Y para el medio poroso hace modificaciones que incluyan los efectos de la inercia térmica de la región sólida en el término transitorio y de la conductividad en el término de conducción

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )Tkvvht

eeeffff

ssff ∇⋅∇+⋅⋅∇=⋅∇+∂

−+∂ rrrrrrτρ

ργγρ0

00 1.


122

Donde el subíndice f indica “fluido” y el subíndice s indica “sólido”. keff es la conductividad efectiva que se introdujo en el capítulo del “Regenerador”.

Ec. de estado.

Emplearemos la ecuación de estado del gas ideal

RTp ρ= .

Ecuación general del transporte.

En los libros consultados se prefiere explicar la discretización de las ecuaciones sobre la ecuación general del transporte, que es más simple y no tiene algunos de los inconvenientes que tiene la ecuación de cantidad de movimiento, que se explican aparte

( ) ( ) ( )4342143421

rr

43421

rr

43421fuente Términodifusivo Términoconvectivo Términoio transitorTérmino

∫∫∫∫ +⋅∇Γ=⋅+∂

∂VV

dVSAdAdvdVt φφρφρφ

,

donde:

t∂∂ρφ

= forma conservativa de la derivada, respecto al tiempo, de la variable de

transporte φ . ρ = densidad.

vr

= vector de velocidad ( jviuv ˆˆ +=r en coordenadas cilíndricas 2D).

Ar

= vector de superficie.

φΓ = coeficiente de difusión para φ .

φ∇r

= gradiente de φ ( ( ) ( ) jrix ˆˆ ∂∂+∂∂=∇ φφφr

en coordenadas cilíndricas 2D).

φS = fuente de φ por unidad de volumen.

5.1.2.3 Discretización y linealización de las ecuaciones.

5.1.2.3.1 Métodos existentes.

La discretización de ecuaciones puede seguir uno de los métodos del siguiente esquema:

volúmenes. Usan finitos. elementos de método

finitos. volúmenesde método

integral.

formaen

ecuaciones de

cióndiscretiza

puntos.Usan finitas. sdiferencia de método

l.diferencia

formaen

ecuaciones de

cióndiscretiza

→→→

→→

Fluent usa el método de los volúmenes finitos. Esto hace que las ecuaciones que se usan sean en forma integral (se integra sobre el volumen de la celda).

La diferencia fundamental entre la forma integral y diferencial de las ecuaciones es que la integral no requiere continuidad matemática, mientras que la forma diferencial la asume. Esto hace que sea más apropiado usar la forma integral en flujos que incluyan


123

ondas de choque. Por esta razón, la forma integral de las ecuaciones puede considerarse como más fundamental que la forma diferencial.

Las ecuaciones discretizadas por el método de los volúmenes finitos son básicamente las mismas que las que se obtendrían por el procedimiento de las diferencias finitas. Por ser ecuaciones que describen el estado transitorio, la discretización habrá de ser temporal y espacial.

La manera en que las ecuaciones son linealizadas es siempre “implícita” con el “solver” segregado. Los términos implícito y explícito se refieren a la discretización temporal. En ambos casos habrá tantos sistemas de ecuaciones como variables. Y el número de ecuaciones y el número de incógnitas en cada sistema ha de ser el mismo que el número de celdas de la malla. La única diferencia entre ambos (formulación implícita y explícita) es que con la implícita cada incógnita aparecerá en más de una ecuación del sistema, mientras que con la explícita cada incógnita aparecerá en una sola ecuación, de manera que las incógnitas pueden resolverser secuencialmente de una en una.

5.1.2.3.2 Discretización temporal implícita.

Si reordenamos la ecuación general del transporte para expresar el término de evolución temporal en función de los términos de evolución en el espacio (convectivo, difusivo y fuente)

( ) ( ) ∫∫∫∫ +⋅∇Γ+⋅−=∂

∂VV

SAdt

dV Adv dV φφφρρφ rrrr.

Si la expresamos en forma diferencial

( ) ( ) ( ) φφρφρφSv

t+∇Γ⋅∇+⋅∇−=

∂∂ rrrr

.

De forma más genérica podemos expresar la evolución en el tiempo de una variable λ cualquiera como

( ) ( )λλF

t=

∂∂

.

Donde la función F incorpora cualquier discretización espacial. Por usar una malla especial con zonas deformables (malla dinámica), Fluent sólo nos permite usar diferencias progresivas para discretizar el término temporal. Tendremos por tanto una fórmula de primer orden en el error de truncamiento

( )λλλF

t

nn

=∆−+1

,

donde: λ = la cantidad escalar. n+1 = valor en el tiempo tt ∆+ n = valor en el tiempo t

Por haber elegido el método segregado, Fluent sólo ofrece la posibilidad de evaluar la función F en el nivel temporal n+1


124

( )11

++

=∆− n

nn

Ft

λλλ.

Es decir, todos los términos convectivos, difusivos y fuente son evaluados a partir de los campos evaluados en el tiempo n+1

∫ ∫∫∫++++++ +⋅∇Γ+⋅−=

∂∂

V

nnnnnn

VdVSAdAdvdV

t111111

φφ φφρρφ rrrr.

Esto hace que la integración sea “implícita” pues 1+nλ en una celda dada está relacionada con 1+nλ en celdas vecinas mediante ( )1+nF λ

( )11 ++ ∆+= nnn tF λλλ .

Esta ecuación implícita puede ser resuelta iterativamente inicializando 1=iλ a nλ e iterando la ecuación

( )ini tF λλλ ∆+= .

Cuando iλ converja, asignaremos iλ a 1+nλ . La ventaja del esquema implícito que acabamos de describir es que es incondicionalmente estable con respecto al tamaño del paso temporal.

5.1.2.3.3 Discretización espacial.

Como hemos visto, con la discretización temporal

( ) ( ). 111111

1

∫∫∫

∫∫++++++

+

+⋅∇Γ+⋅−=

==∂

∂

V

nnnnnn

V

n

V

dVSAdAdv

dVFdVt

φφ φφρ

ϕρφ

rrrr

Sin embargo, la discretización espacial de las ecuaciones de gobierno puede ser ilustrada más fácilmente considerando la ecuación estacionaria de conservación para el transporte de una cantidad escalar φ . Esto es mostrado con la siguiente ecuación escrita en forma integral para un volumen de control arbitrario V como sigue

∫ ∫ ∫+⋅∇Γ=⋅V

dVSAdAdv φφ φρφrrrr .

Donde todos los términos están evaluados en el tiempo n+1 y por tanto se ha simplificado la notación suprimiendo los superíndices. Siendo:

volumende unidadpor de fuente S

2D) scilíndrica scoordenadaen ˆˆx

( para gradiente

paradifusión de ecoeficient

lsuperficia área de vector A

2D) scilíndrica scoordenadaen jviu v( es velocidadde vector v

densidad

φ

φφφφφ

φ

ρ

φ

φ

=

∂∂+

∂∂=∇=∇

=Γ

=

+==

=

jr

irr

r

r

rr


125

La ecuación anterior es aplicada a cada volumen de control, o celda, en el dominio computacional. La celda triangular de dos dimensiones enseñada en la siguiente figura es un ejemplo de un volumen de control.

Figura 5.17. Celda triangular de dos dimensiones.

La discretización de la ecuación anterior en una celda dada nos da

( ){

fuente. Término

centrales) sdiferenciacon resuelto (

difusivo. Término

)regresivas sdiferenciacon resuelto (

.convectivo Término

V

ff

φ

φ

φ

φ

φφρ SAAvNfaces

ffn

Nfaces

fffff +⋅∇Γ=⋅ ∑∑

44 344 21

rr

44 344 21

rr ,

donde:

( )celda. la de volumen V

f. cara la a normal de magnitud

2D.en ˆˆA f, cara la de área A

cara. la de travésa másico flujo

f. cara la de travésa convectado de valor

celda. la aencierran que caras de número

f

f

f

=∇=∇

+==

=⋅

=

=

φφ

ρφφ

rr

r

rr

n

yx

ff

faces

jAiA

Av

N

Las ecuaciones resueltas por Fluent toman la misma forma general que la dada arriba y se aplican fácilmente a mallas multidimensionales, sin estructurar, compuestas de poliedros arbitrarios.

Por defecto, Fluent guarda los valores discretos del escalar φ en los centros de las celdas (“colocated grid arragement”).

Malla estructurada. Malla sin estructurar.

Figura 5.18. Diferencia entre una malla estructurada y otra sin estructurar.


126

5.1.2.3.3.1 Discretización de una cantidad escalar fφ en la cara de una celda.

En la discretización de la ecuación de transporte hemos visto que debemos hacer uso del valor de la cantidad escalar φ en el centroide de las caras de las celdas (cantidades fφ ).

El valor de fφ se evaluará en Fluent según sea para el término difusivo o el convectivo.

5.1.2.3.3.1.1 Discretización de fφ para el término difusivo.

fφ para el término difusivo aparece en la ecuación de transporte discretizada cuando

usamos el teorema de Green-Gauss para evaluar el gradiente, de forma que

( ) ∑=∇f

ffc AV

rrφφ 1

0 ,

donde fφ es el valor de φ en el centroide de la cara, y el sumatorio es sobre todas las

caras que rodean la celda. Por defecto el valor de fφ en la ecuación anterior es tomada como la media aritmética

de los valores en los centros de las celdas vecinas.

5.1.2.3.3.1.2 Discretización de fφ para el término convectivo.

El término difusivo es derivado usando diferencias centrales y por tanto es siempre de segundo orden. Sin embargo el valor fφ requerido por el término convectivo debe ser

interpolado a partir de los valores de φ en los centros de las celdas contiguas. Fluent

usa el esquema de diferencias regresivas “aguas arriba” para calcular fφ . Esto implica

que fφ es calculado a partir del valor de φ almacenado en la celda que está “aguas

arriba” de dicha cara, relativa a la dirección de la velocidad normal vn en la ecuación anterior. Fluent nos permite elegir entre varios esquemas “aguas arriba”; first-order upwind, second-order upwind, power law, y QUICK. 5.1.2.3.3.1.2.1 Para resolver la ecuación de continuidad.

5.1.2.3.3.1.2.1.1 Velocidad fvr

.

Fluent usa un procedimiento similar al atribuido a Rhie y Chow en el que se sustituye la interpolación lineal entre los valores de v en las celdas vecinas por otro en el que se usan pesos basados en los coeficientes Pa utilizados para la discretización de la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento. La documentación de Fluent no da más detalles al respecto.

210 cc

f

φφφ +=

Figura 5.19. Cálculo de fφ para el término difusivo.


127

5.1.2.3.3.1.2.1.2 Densidad fρ .

Cuando el fluido es compresible, Fluent usa una interpolación aguas arriba para calcular la densidad en una cara de una celda. Da a elegir entre tres esquemas diferentes, del cual elegimos el QUICK.

5.1.2.3.3.1.2.2 Para resolver la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento.

Para resolver las ecuaciones de conservación de la cantidad de movimiento se necesita un esquema que permita calcular la presión en las caras a partir del valor en el centro de la celda.

5.1.2.3.3.1.2.2.1 Presión.

Nosotros usaremos el esquema PRESTO! (PREssure STaggering Option) de entre los “Pressure Interpolation Schemes” que nos ofrece Fluent. No podríamos usar otro esquema como el “Second-Order Upwind” pues tenemos en nuestro modelo una zona porosa que impone una discontinuidad en el gradiente de presiones. Este esquema es similar en espíritu a las mallas escalonadas descritas en Patankar para la evaluación de velocidades aunque, recordémoslo, Fluent usa el “colocated scheme”. El esquema PRESTO! se aplica con niveles de seguridad similares a todos los tipos de malla que se manejan en Fluent.

En la imagen anterior se ha representado la diferencia entre “Colocated grid” y “Staggered grid” para el caso de evaluación de velocidades. En el primero, las velocidades se guardan en los centroides de las celdas. En el segundo, las velocidades se guardan en los centros de las caras.

5.1.2.3.3.1.2.3 Para resolver las ecuaciones escalares.

El resto de ecuaciones (llamadas ecuaciones escalares) tales como la energía o turbulencia (si la tenemos activada), se resuelven usando un esquema del tipo “First-Order Upwind”, “Second-Order Upwind” o “QUICK”.

5.1.2.3.3.1.2.3.1 Esquema de diferencias regresivas de primer orden.

Con este esquema, las cantidades en cada cara de la celda son determinadas asumiendo que los valores del centro de la celda de cualquier campo de variables representan el valor medio en la celda y se mantiene en toda la celda; las cantidades en las caras son

“Colocated grid” “Staggered grid”

Figura 5.20. Diferencia ente los esquemas “Colocated” y “Staggered”.


128

idénticas a las cantidades en la celda. Entonces cuando se selecciona el “first-order upwinding”, los valores fφ de las caras son iguales a los valores φ del centro de la

celda aguas arriba colindante con ella.

5.1.2.3.3.1.2.3.2 Esquema de diferencias regresivas de segundo orden.

Cuando se desea un esquema de segundo orden, las cantidades en las caras de la celda son calculadas usando un método de reconstrucción lineal multidimensional. En este método, una precisión de mayor orden es alcanzada en las caras de la celda gracias a una expansión en serie de Taylor de la solución centrada en la celda alrededor de su centroide. Entonces, cuando se selecciona el “second-order upwinding”, el valor fφ de

la cara es calculado usando la siguiente expresión

sf

rr∆⋅∇+= φφφ ,

donde φ y φ∇r

son el valor centrado en la celda y su gradiente en la celda aguas arriba respectivamente, y s

r∆ es el vector de desplazamiento desde el centroide de la celda que está aguas arriba al centroide de la cara. Esta formulación requiere la determinación del

gradiente φ∇r

en cada celda. Este gradiente es calculado usando el teorema de la divergencia, que en su forma discreta se escribe como

∑=∇Ncaras

ff A

V

rrφφ 1

.

Aquí los valores fφ de las caras son calculados haciendo la media de φ entre las dos

celdas adyacentes a la cara. Finalmente, el gradiente φ∇r

es limitado, con lo que no se introduce ningún nuevo valor máximo o mínimo.

5.1.2.3.3.1.2.3.3 Esquema QUICK.

Para mallas con elementos cuadriláteros o hexaédricos, donde las únicas caras aguas arriba y aguas abajo pueden ser identificadas, Fluent provee el esquema QUICK para calcular los valores de la variable φ de convección en la cara con un mayor grado de presición. El esquema QUICK está basado en una media del “Second-Order Upwind” y de interpolaciones centrales de la variable. Para la cara e de la figura siguiente, si el flujo es de izquierda a derecha, el valor puede ser escrito como

( )

+−

++−+

++

+= W

cu

cP

cu

cuE

dc

cP

dc

de SS

S

SS

SS

SS

S

SS

S φφθφφθφ 21 .

Figura 5.21. Volumen de Control Unidimensional.


129

El valor 1=θ en la ecuación anterior da como resultado una interpolación central de segundo orden mientras que 0=θ da un valor de diferencia regresiva de segundo orden. El esquema QUICK tradicional se obtiene haciendo 81=θ . El esquema QUICK es normalmente más preciso en mallas estructuradas alineadas con la dirección del flujo. De todas formas Fluent permite también el uso del esquema QUICK para mallas no estructuradas o híbridas; en dichos casos será usado el esquema de discretización “Second-Order Upwind” para las caras de las celdas no cuadriláteras (o no hexaédricas en 3D).

5.1.2.3.4 Sistema de ecuaciones lineales.

Se ha de escribir para cada variable un sistema de ecuaciones lineales con tantas incógnitas como celdas tenga la malla.

La ecuación general de transporte discretizada es

( ) ( )( ) ( ) V V1 1111111 +++++++ +⋅∇Γ=⋅+−∆ ∑∑ n

f

Nfaces

ffn

nnNfaces

ff

nf

nf

nf

nn SAAvt

rrrr φφρρφρφ φ .

Pero, para simplificar, hacemos que ρ en el primer término del miembro izquierdo sea evaluado en n en lugar de en n+1. Es decir

( ) ( ) V V1 1111111nn +++++++ +⋅∇Γ=⋅+−∆ ∑∑ n

f

Nfaces

ffn

nnNfaces

ff

nf

nf

nf

n SAAvt

rrrr φφρφφρ φ .

Para evitar escribir tantos superíndices cambiamos la notación para hacerla más manejable

( ) ( ) VV1 00

f

Nfaces

ffn

Nfaces

ffff SAAv

t f+⋅∇Γ=⋅+−

∆ ∑∑rrrr φφρφφρ φ .

Donde 0ρ y 0φ están evaluados en el tiempo n y todo lo demás en el tiempo n+1. Esta ecuación contiene a la variable escalar desconocida φ en el centro de la celda además de los valores desconocidos de las celdas vecinas que la rodean. Esta ecuación será, en general, no lineal con respecto a estas variables. Una forma linealizada puede ser escrita como

∑ +=nb

nbnbPP baa φφ ,

donde los subíndices nb se refieren a “neighbor cells” (celdas vecinas), y aP y anb son los coeficientes linealizados para Pφ y nbφ .

Para la malla en 2D axisimétrica:

W

N

S

E r

x

e w

n

s

Figura 5.22. Relación de una celda en 2D con sus vecinas.


130

Podemos expresarla como

baaaaa SSNNWWEEPP ++++= φφφφφ .

Donde la forma de los coeficientes a depende del esquema que hayamos escogido para discretizar el término de convección. En general será

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ).

;

;

;0,

;0,

;0,

;0,

0

00

00

θ

φθ

θρ

α

α

α

α

∆∆∆−++++=

+∆∆∆=

∆∆∆∆

=

+=

−+=

+=

−+=

xrrSaaaaaa

axrrSb

xrrt

a

FPDa

FPDa

FPDa

FPDa

PPSNWEP

PPC

PP

sssS

nnnN

wwwW

eeeE

Donde CS y PS pertenecen al término fuente, que se linealiza de la siguiente manera

PPC SSS φ+= .

Los coeficientes SNWE aaaa , , , representan la influencia de la convección y difusión en

las cuatro caras del volumen de control en términos de la relación de flujo F y de la conductancia D. El término 00

PPa φ es el contenido conocido de φ en el volumen de control (y almacenado en el centroide P en el tiempo t) dividido por el paso temporal.

Los flujos F y conductancias D son definidos como

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) .

;

;;

;;

;;

s

ss

ss

n

nnnn

w

wwww

e

eeee

r

xrD

xrvF

r

xrDxrvF

x

rrDrruF

x

rrDrruF

δθθρ

δθ

θρ

δθ

θρ

δθ

θρ

∆∆Γ=

∆∆=

∆∆Γ=∆∆=

∆∆Γ=∆∆=

∆∆Γ=∆∆=

Habiéndose utilizado las siguientes definiciones:


131

Número de Peclet y la función α(|P|)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ).1exp;

;1exp

;

;1exp

;

;1exp

;

−=

Γ==

−=

Γ==

−=

Γ==

−=

Γ==

s

ss

s

ss

s

ss

n

nn

n

nn

n

nn

w

ww

w

ww

w

ww

e

ee

e

ee

e

ee

P

PP

rv

D

FP

P

PP

rv

D

FP

P

PP

xu

D

FP

P

PP

xu

D

FP

αδρ

αδρ

αδρ

αδρ

Donde podemos representar la función ( )Pα de la siguiente forma:

La celda P (no confundir con el número de Peclet) y sus vecinas forman la llamada molécula computacional. Los coeficientes anb dependen de las cantidades geométricas, de las propiedades del fluido, y para ecuaciones no lineales, de los valores de las variables mismas. b contiene a todos los términos que no contienen valores desconocidos de las variables; se asume como conocido. El número de ecuaciones y de variables desconocidas ha de ser igual. Tiene que haber una ecuación para cada celda. De esta forma tendremos un largo conjunto de ecuaciones algebraicas, que debe ser resuelto de forma numérica. Este sistema es “disperso”, indicando esto que cada ecuación contiene sólo algunos de las variables desconocidas. El sistema puede escribirse usando la notación matricial como

bA =φ ,

donde A es la matriz cuadrada de coeficientes dispersos, φ es el vector (o matriz columna) que contiene los valores de las variables en las celdas de la malla, y b es el vector que contiene los términos conocidos.

La estructura de la matriz A depende del orden de las variables en el vector φ . Para mallas estructuradas, si las variables son recorridas empezando en una esquina y pasamos línea a línea de una manera regular (orden lexicográfico), la matriz tendrá una estructura polidiagonal. Para el caso de una molécula computacional de cinco puntos, todos los coeficientes distintos de cero estarán en la diagonal principal, las dos

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

nº de Peclet |P|

func

ión

α(|P

|)

Variación de α con el número de Peclet

Figura 5.23. Variación de α con el número de Peclet.


132

diagonales vecinas, y las otras dos diagonales estarán distanciadas de la principal por N posiciones, donde N es el número de nodos en una dirección. Todos los demás coeficientes son cero. Esta estructura permite el uso de métodos iterativos eficientes. Si ordenamos las entradas del vector φ empezando desde la esquina suroeste del dominio, procediendo hacia el norte en cada columna de la malla y después hacia el este a lo largo del dominio, tendremos una distribución como la siguiente:

Para la malla estructurada

aD aH aL aP aC aG aK aO aB aF aJ aN aA aE aI aM

recorrida de la manera siguiente

aD aH aL aP aC aG aK aO aB aF aJ aN aA aE aI aM 1º 2º 3º 4º

obtendremos una matriz como esta:

=

POL

PONK

ONMJ

NMI

PLKH

OLKJG

NKJIF

MJIE

LHGD

KHGFC

JGFEB

IFEA

HDC

GDCB

FCBA

EBA

aaa

aaaa

aaaa

aaa

aaaa

aaaaa

aaaaa

aaaa

aaaa

aaaaa

aaaaa

aaaa

aaa

aaaa

aaaa

aaa

A

Donde todos los elementos no representados de la matriz anterior, son cero.

Esta matriz tiene las siguientes características derivadas de la forma de la malla anterior:

- Tiene 5 subdiagonales (esquema de 5 puntos). - Tiene submatrices 4x4 pues en cada columna de la malla hay 4 elementos.


133

De una manera más general, centrándonos en la molécula computacional de 5 celdas, si las denominamos:

N W P E S

donde: - P es la celda central. - N = norte. - S = sur. - E = este. - W = oeste (west).

Podemos representar el sistema de ecuaciones en forma matricial como:

En el caso de mallas no estructuradas la matriz de coeficientes seguirá siendo dispersa, pero no estará dividida en submatrices como la de la figura anterior.

5.1.2.3.5 Particularidades de la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento.

La ecuación de conservación de la cantidad de movimiento tiene particularidades respecto a la ecuación general de transporte que hacen más difícil linealizarla. Estos son:

- Presencia de la presión. - El término de tensiones debido a viscosidad incluye pero no se identifica con el

término difusivo de la ecuación general. Si observamos la ecuación de conservación de cantidad de movimiento diferencial conservativa

( ) ( ) mfpvvt

v rrrrrrr

ρτρρ +⋅∇+∇−=⋅∇+∂

∂.


134

La linealizamos de manera similar a como se hizo con la ecuación general de transporte, pasando de ser

( ) ( ) ∫∫∫∫∫ +⋅+⋅−=⋅+∂

∂VVFp

t

vdV AdAdI Adv v dV

rrrrrrr

τρρ,

a ser

.

;

∑ ∑

∑ ∑

+−=

+−=

nbfnbnbPP

nbfnbnbPP

SApvava

SApuaua

r

r

Para la malla en 2D axisimétrica expuesta anteriormente (y que volvemos a reproducir aquí abajo):

queda como

,)(

;)(

θ

θ

∆∆−−++++=

∆∆−−++++=

xrppbvavavavava

rrppbuauauauaua

snrSSNNWWEEPP

wexSSNNWWEEPP

donde los términos a se calculan de la misma manera en que estaban definidos en la ecuación general del transporte y las presiones p se evalúan en las caras (de ahí que los subíndices sean con letra minúscula) mediante el esquema PRESTO! de Fluent.

Las ecuaciones siguen un esquema del tipo

∑−= ff ApbvArrr

.

5.1.2.3.6 Sustitución de la ecuación de continuidad por una ecuación de presión.

Es necesario sustituir la ecuación de continuidad por una ecuación de presión. Para el caso de fluido compresible se hace uso de la ecuación de estado.

Ahora estamos en posición de obtener una fórmula para la corrección de la presión p′ insistiendo en que el campo de velocidades debe satisfacer la ecuación de continuidad. De todas formas, debemos recordar que el método de corrección de la presión es un proceso iterativo, y por tanto no existe una razón inherente para que la fórmula designada para predecir p′ de una iteración a la siguiente sea físicamente correcta; más bien, estamos preocupados con sólo dos aspectos:

- La fórmula para p’ debe proporcionar el valor correcto, en la solución convergida.

W

N

S

E r

x

e w

n

s

Figura 5.24. Relación de una celda en 2D con sus vecinas.


135

- En el límite de la solución convergida, la fórmula para p’ debe reducirse a la físicamente correcta ecuación de continuidad. Esto es, estamos permitiendo la construcción de una fórmula para p’ que es simplemente un artificio numérico diseñado para acelerar la convergencia del campo de velocidades hacia una solución que satisfaga la ecuación de continuidad. Cuando esta convergencia es alcanzada, 0=′p , y la fórmula para p’ se reduce a la ecuación de continuidad físicamente correcta.

Convirtamos, pues, la ecuación de continuidad en una ecuación para la corrección de la presión. Para el propósito de esta derivación, asumiremos que la densidad ρ no depende directamente de la presión. La ecuación de continuidad es

( ) 0=⋅∇+∂∂

vt

rrρρ

,

que en coordenadas cilíndricas (y en 2D) se expresa

( ) ( )0

1 =∂

∂+∂

∂+∂∂

r

vr

rx

v

trx ρρρ

.

Llamando xvu = y rvv = tenemos que

( ) ( )0

1 =∂

∂+∂

∂+∂∂

r

vr

rx

u

t

ρρρ.

Nosotros la integraremos en el volumen de control señalado en la figura siguiente (en 2D):

Para la integración del término t∂∂ρ , asumimos que la densidad Pρ es homogenea sobre todo el volumen de control. Además, los componentes de la velocidad como ue localizados en las caras del volumen de control, se suponen que son homogeneos en la cara completa. En conformidad con la discretización implícita, los nuevos valores de velocidad y densidad (los tomados en el tiempo tt ∆+ ) se supone que son constantes durante todo el paso temporal; la vieja densidad 0

Pρ (la del tiempo t) aparecerá

solamente en el término t∂∂ρ .

x

r

N

S

E W P

vn

vs

ue uw

Figura 5.25. Volumen de control, su centroide P y los centroides de las celdas vecinas N, S, E y W.


136

Con estas decisiones, la forma discreta de la ecuación anterior se convierte en

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 00

=∆∆−+∆∆−+∆

∆∆∆−xrvvrruu

t

xrrsnwe

PP θρρθρρθρρ.

Análogamente a lo hecho hasta ahora con otras ecuaciones, podemos escribir la ecuación discretizada para p’ como

bpapapapapa SSNNWWEEPP +′+′+′+′=′ ,

donde

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ,

;

;

;

;

;

****0

xrvvrruut

xrrb

aaaaa

xrda

xrda

rrda

rrda

nsewPP

SNWEP

ssS

nnN

wwW

eeE

∆∆−+∆∆−+∆

∆∆∆−=

+++=

∆∆=

∆∆=

∆∆=

∆∆=

θρρθρρθρρ

θρ

θρ

θρ

θρ

donde los valores de la densidad ρ en la interfase son obtenidos a partir de los valores de ρ almacenados en los centroides de las celdas vecinas según el esquema elegido de entre los que proporciona Fluent. Siendo los valores d unos pesos obtenidos a partir del área A de la cara correspondiente y de los pesos a de la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento. Por ejemplo, para de

e

ee a

Ad ≡ .

5.1.2.4 Método de resolución.

5.1.2.4.1 Segregado.

En el método de solución segregado, las ecuaciones linealizadas para la velocidad, corrección de presión, temperatura y otras variables escalares son resueltas en turnos. Mientras se resuelve para una variable, las otras variables son tratadas como conocidas. El método de resolución del “Segregated Solver” se resume en:


137

Figura 5.26. Diagrama de flujo para el método Segregado.

Usando este enfoque, las ecuaciones son resueltas secuencialmente (segregadas unas de otras). Debido a que las ecuaciones son no lineales (y acopladas), se han de realizar diversas iteraciones antes de llegar a la convergencia de la solución. 5.1.2.4.2 Acoplamiento presión – velocidad PISO.

Para tratar el acoplamiento presión-velocidad usamos el método PISO.

Por haber elegido el método segregado secuencial, Fluent nos pide que elijamos entre tres sistemas para manejar el acoplamiento entre la presión y la velocidad. Estos son el SIMPLE, SIMPLEC y PISO. Nosotros elegimos el método PISO por ser el recomendado para cálculos de estados transitorios con un paso temporal grande. El método PISO (Pressure Implicit with Splitting of Operators) fue propuesto por Issa (1985). Básicamente es una estrategia que incluye pasos de predicción-corrección para resolver las ecuaciones discretizadas de Navier-Stokes dependientes del tiempo de una manera secuencial y desacoplada. Nosotros aplicamos el método a la forma compresible de las ecuaciones con un esquema “centrado” (colocated) de la malla, según la cual tanto los valores de presión como los de velocidad se almacenan en el centroide de cada celda. Una vez resuelta la ecuación de continuidad actualizamos los valores de presión y flujos másicos.

La diferencia principal entre PISO y SIMPLE es que en PISO hay al menos dos (ó tres) ecuaciones de corrección de presión. La segunda o posterior se diferencia de la primera en que el término Pm′∆− & puede ser calculado usando la primera corrección de velocidad

iu′ . La secuencia es la siguiente:

1. Comenzamos el cálculo con los campos en el nuevo tiempo 1+nt usando las

últimas soluciones niu y np como estimaciones iniciales para 1+niu y 1+np . Como

sólo son estimaciones las denotaremos por *iu y *p respectivamente.


138

2. Resolvemos el sistema lineal de ecuaciones algebraicas para los componentes de la velocidad (ecuaciones de conservación de la cantidad de movimiento) para obtener iu′ .

3. Debido a que se obtuvieron a partir de *p , los valores de iu′ no satisfarán

generalmente la ecuación de continuidad. Es por esto que debemos resolver el sistema lineal de ecuaciones algebraicas de corrección de la presión para obtener p′ .

4. Corregimos las velocidades y la presión para obtener el campo de velocidades miu , el cual satisface la ecuación de continuidad, y la nueva presión mp

« corregida »

.

;*

*

iimi

m

uuu

ppp

′+=

′+=

Para el algoritmo PISO, se resuelve la segunda ecuación de corrección de la presión y se corrigen las velocidades y presiones de nuevo.

5. Volvemos al paso 2 y repetimos, usando miu y mp como estimaciones

mejoradas para 1+niu y 1+np , hasta que todas las correcciones sean muy

pequeñas. Avanzamos un nuevo paso temporal cuando esto se haya conseguido. Nosotros hemos elegido el método PISO iterativo secuencial, que sigue el esquema:

Figura 5.27. Diagrama de flujo para el método PISO.

Se utilizan un paso de predicción y dos o más pasos correctores. Supongamos, en las expresiones que siguen, que los asteriscos denotan valores intermedios durante el proceso. Los cálculos se realizan siguiendo los siguientes pasos.

Previamente explicamos cómo se obtiene la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento que vamos a usar en el método: Ecuación de conservación de la cantidad de movimiento en forma diferencial


139

( ) ( ) mfpvvvt

rrrrrrr ρτρρ +⋅∇+∇−=⋅∇+∂∂

.

Agrupando los términos convectivo y difusivo

( ) ( )( ) mfpvvvt

rrrrrrr ρτρρ +∇−⋅∇+⋅∇−=∂∂

.

Discretizando en el punto P

( ) ( ){ } ( ) in

ini

ni

ni SpuHuu

t+∆−=− +++ 1111 ρρ

δ.

5.1.2.4.2.1 Paso de predicción en la ecuación de conservación de cantidad de movimiento.

La ecuación de conservación de la cantidad de movimento es resuelta implícitamente, usando las presiones y densidades del paso de tiempo anterior

( )t

uSpuHu

a

t

ni

n

in

iiin

nP

δρρ

ρδ++∆−=

− ** '1

. Ec. 5-1

Es implícita pues *iu aparece en ambos miembros de la ecuación. Hay que resolver de

manera iterativa para que *iu en ambos miembros nos den lo mismo.

Podríamos verlo en la forma matricial acostumbrada si hacemos

( )

n

ni

ni

n

iiin

nP

pbuA

pt

uSuHu

a

t

∇−=

∆−

+=−

−

rrr

44344214444 34444 21

*

** .'1

δρρ

ρδ Ec. 5-1b

El operador H’ es la representación en diferencias finitas de los flujos convectivo y difusivo espaciales de cantidad de movimiento, de los que se ha quitado el término central *

iPua (que ha pasado al miembro izquierdo). Es decir

( ) ( ) *******' NNSSWWEEPPii uauauauauauHuH +++=−= . Ec. 5-2

Y en los que se supone que los coeficientes ai son constantes en el intervalo dt (aunque realmente no lo son) con el fin de linealizar la expresión.

Este campo de velocidades *iu no satisfará, en general, la ecuación de continuidad.

5.1.2.4.2.2 Primer paso de corrección de cantidad de movimiento.

La ecuación de conservación de la cantidad de movimiento es ahora escrita en una forma explícita

( )t

uSpuHu

a

t

ni

n

iiiinP

δρρ

ρδ++∆−=

− ***** '1

. Ec. 5-3


140

Ahora **iu es explícito y puedo expresarlo en función de todo lo demás. El único “pero”

es que aún no sabemos el valor de *p . Por este motivo obtendremos una ecuación de corrección de presión de la siguiente forma: Sustraemos la Ec. 5-1 a la Ec. 5-3 y la expresamos de forma alternativa como

( ) *****1ppuu

a

t in

iin

inP ∆−∆=−

− ρρρδ

, Ec. 5-4a

o bien

( )

−

−∆−=−

nP

ni

in

ia

t

ppuu

ρδ

ρρ1

***** .

Ec. 5-4

La ecuación de continuidad es tomada ahora como

( ) ( ) 01 **** =∆+− ii

n ut

ρρρδ

, Ec. 5-5a

o bien

( ) ( )nii t

u ρρδ

ρ −−=∆ **** 1. Ec. 5-5

Tomando la divergencia de la Ec. 5-4 e invocando a la Ec. 5-5

( ) ( ) ( )ni

ni

nP

ni

i tu

a

t

pp ρρδ

ρ

ρδ

−+∆=

−

−∆∆ *** 1

1, Ec. 5-6

donde r* debe ser eliminado a favor de p* para permitir la solución de la ecuación. Esto se consigue mediante la ecuación de estado. Nosotros usamos la del gas perfecto

nRT

p** =ρ . Ec. 5-7

Sustituyendo Ec. 5-7 en Ec. 5-6 nos dará la ecuación de incremento de presión requerida

( ) ( ) ( )***

1i

nin

n

nP

ni

i utRT

pp

a

t

pp ρδ

ρδ

∆=

−−

−

−∆∆ . Ec. 5-8

Al resolver la Ec. 5-8 obtenemos el campo de presiones p*. Con las presiones p* hallamos r* a través de la Ec. 5-7 y usando la Ec. 5-4 hallaremos ui

** .


141

La forma matricial equivalente para resolver la Ec. 5-8 sería

( ) ( )

( )*

*

**

p hallamos

p hallamos

.

↓−

↓∆=−

n

in

in

p

uppA ρ

5.1.2.4.2.3 Paso de predicción en la ecuación de energía.

La ecuación de la energía total e0

( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) QuJpueGeet

ni

nii

nnn ++∆−=− ++++ 11100

10

1 ρρδ

, Ec. 5-9

ha de resolverse de forma implícita

( ) ( ) ( )t

eQuJupeGe

b

t

nn

i

n

iiP

δρρ

ρδ0**1****

0*0

**

'1 +++∆−=

−+

. Ec. 5-10

Análogamente a lo que ocurría con H’ en la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento, el operador G’ es la representación en diferencias finitas de los flujos convectivo y difusivo espaciales de cantidad de movimiento, de los que se ha quitado el término central *

0ebP (que ha pasado al miembro izquierdo). Es decir

( ) ( ) *0

*0

*0

*0

*0

*0

*0' NNSSWWEEPP ebebebebebeGeG +++=−= , Ec. 5-11

en los que se supone que los coeficientes bi son constantes en el intervalo dt (aunque realmente no lo son) con el fin de linealizar la expresión. El valor T0

* puede ser evaluado ahora a partir de e0* y ui

** . 5.1.2.4.2.4 Segundo paso de corrección de cantidad de movimiento.

Para este paso, la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento es

( )t

uSpuHu

a

t

ni

n

iiiiP

δρρ

ρδ++∆−=

− **********

'1

, Ec. 5-12

que, en forma incremental, se convierte en

( ) ( )

−−−∆−−

−=−−

***

******

1

********* '

1in

n

PiiiP

ii uappuuHa

tuu

ρρρ

ρδρρ

Ec. 5-13

Combinando esta ecuación con la de continuidad

( ) ( )nii t

u ρρδ

ρ −−=∆ ******* 1, Ec. 5-14

se obtiene la siguiente ecuación de presión


142

( ) ( )

( ).

11

1

'

1

*

*

*

***

***

*

***

*

***

−+

−

−−−∆=

=−−

−

−∆∆

nP

in

n

Pii

i

P

ii

TTtR

p

a

t

uauuH

tRT

pp

a

t

pp

δρδ

ρρρ

δρδ

Ec. 5-15

Para llegar a la relación anterior se ha hecho uso de la ecuación de estado

*

****

RT

p=ρ . Ec. 5-16

La solución de Ec. 5-13 da p** , mientras que la Ec. 5-14 y Ec. 5-11 sirven para obtener r** y ui

*** , respectivamente. Junto a T* representan el campo de valores para el nivel temporal n+1.

Con todo ello completamos el esquema de dos etapas. Dicho esquema es de segundo orden de magnitud (en errores de discretización). Para llegar a un orden mayor, se han de completar más etapas del proceso introduciendo T*, ui

*** , p** , y r** como los campos que han de ser actualizados. Sin embargo el mismo Issa (1985) sugiere que el método de dos etapas es suficiente para la mayor parte de los casos.

Issa (1985) expone los errores asociados con el método y argumenta que los errores de truncado son suficientemente pequeños como para que se puedan obtener soluciones seguras en el tiempo sin completar más etapas. 5.1.2.4.3 Factores de relajación. Criterios de convergencia.

A causa de la no linealidad del conjunto de ecuaciones a resolver, es necesario un control del cambio de λ . Esto se consigue usando factores de relajación, que reducen el cambio de λ producido en cada iteración. De forma simple, el nuevo valor de la variable λ dentro de la celda depende del viejo valor n

old λλ = , del incremento de λ

calculado λ∆ (es decir, nn λλ −+1 calculado anteriormente), y del factor de relajación α , como sigue

λαλλ ∆+= old .

El factor de relajación α para cada una de las variables tiene un valor fijado por defecto que viene a ser el óptimo para un gran número de casos. Fluent recomienda comenzar los cálculos usando los valores prefijados y observar los residuales. Si estos continúan incrementándose después de 4 ó 5 iteraciones, habrá que reducir los factores de relajación. De forma análoga podemos juzgar nuestra elección del paso temporal observando el número de iteraciones necesarias para llegar a la convergencia en cada paso. Si Fluent necesita más de 10 iteraciones, el paso temporal es demasiado grande. Si por el contrario se necesitan menos de 5 iteraciones, podemos incrementar el paso temporal.


143

Igualmente, si se observa un comportamiento inestable o divergente, tendremos que reducir los factores de relajación para la presión (a 0.2) y para el cantidad de movimiento (a 0.5). En problemas donde la densidad está fuertemente acoplada con la temperatura es prudente también relajar la ecuación de temperatura y/o la de densidad.

5.1.2.4.4 Resolución de la ecuación de presión.

Hasta ahora hemos visto una y otra vez que podemos discretizar y linealizar las ecuaciones que gobiernan los flujos fluidos en cada una de las celdas de volumen finito y como todas juntas forman sistemas de ecuaciones lineales que se pueden expresar como

bArr

=φ ,

donde la matriz A de coeficientes es una matriz dispersa. Debido a que dicha matriz tiene normalmente dimensiones considerables, viene a ser impensable resolver el sistema anterior de forma directa

bArr

1−=φ ,

por ser prohibitivo el costo computacional para calcular la matriz inversa 1−A . En su lugar se usan métodos iterativos como el de Gauss – Seidel punto – implícito que pasamos a describir a continuación.

El método de Gauss – Seidel es una técnica para resolver, de forma iterativa, sistemas de ecuaciones lineales. Está definido en matrices con diagonales distintas de cero, pero la convergencia sólo se garantiza si la matriz es diagonal dominante, es decir, si se cumple la condición

n1,2,...,i =∀>∑≠ij

ijii aa ,

o simétrica y (semi) definida positiva. Sin embargo, las condiciones anteriores, solamente son suficientes pero no necesarias. Es decir, existen sistemas de ecuaciones que no cumplen con la condición anterior pero que sí convergen hacia la solución. Por otra parte es posible a veces convertir un sistema que no cumpla con la condición de ser diagonalmente dominante mediante un intercambio por filas. Para encontrar la solución del sistema de ecuaciones lineales

bArr

=φ , la iteración de Gauss – Seidel es

( ) ( ) ( ) n.1,2,...,i , 1 11

=

−−= ∑ ∑

< >

++

ij ij

kjij

kjiji

iii aab

a

k

φφφ ,

donde para el cálculo de ( )1+kiφ se usan solamente los elementos de ( )1+kφ que han sido

calculados y aquellos elementos de ( )kφ que tienen todavía que ser avanzados a la iteración k+1. La iteración continúa generalmente hasta que los cambios hechos en una iteración estén por debajo de una determinada tolerancia.

La forma en la que esto se implementa en la práctica es la siguiente:


144

El sistema de ecuaciones anterior se puede expresar como

....

· ·

· ·

· ·

;...

;...

2211

22222121

11212111

nnnnnn

nn

nn

baaa

baaa

baaa

=+++

=+++=+++

φφφ

φφφφφφ

De la ecuación 1 despejaremos 1φ , de la ecuación 2 despejaremos 2φ , …, de la ecuación

n despejaremos nφ . Esto nos da el siguiente conjunto de ecuaciones

....

.

.

.

;...

;...

11111

22

212122

11

122211

nn

nnnnn

nn

nn

a

aab

a

aab

a

aab

−−−−−=

−−−=

−−−=

φφφ

φφφ

φφφ

El último conjunto de ecuaciones conforman las fórmulas iterativas que comentamos antes. Para comenzar el proceso iterativo, le damos el valor cero a las variables

nφφ ,...,2 ; esto nos dará un primer valor para 1φ . Más precisamente, tenemos que

11

11 a

b=φ .

A continuación, sustituimos este valor de 1φ en la ecuación 2, y las variables nφφ ,...,3

siguen teniendo un valor de cero. Esto nos da el siguiente valor para 2φ

22

11

1212

2 a

a

bab

−

=φ .

Estos últimos valores de 1φ y 2φ , los sustituimos en la ecuación 3, mientras que los demás φ siguen teniendo valor cero; y así sucesivamente hasta llegar a la última ecuación. Todo este paso, nos dará una lista de primeros valores para nuestras incógnitas, las cuales forman el primer paso de nuestro proceso iterativo. Tenemos

.

·

·

·

;

;

n

22

11

nαφ

αφαφ

=

==


145

Si repetimos el proceso, pero sustituyendo esta vez los últimos datos en vez de los ceros que introdujimos al inicio, obtendremos una segunda lista de valores para cada una de las incógnitas. Ahora tenemos

.

·

·

·

;

;

n

22

11

nβφ

βφβφ

=

==

De esta forma, podemos calcular los errores aproximados relativos, respecto a cada una de las incógnitas. La lista de errores es la siguiente

.%100

;%100

;%100

,

2

222,

1

111,

×−=

×−=

×−=

n

nnna

a

a

βαβε

βαβε

βαβε

Se repite el proceso hasta que se cumpla

1,2,...ni , =∀< sia εε ,

donde sε es una cota prefijada suficientemente pequeña.

Normalmente este método funciona bien hasta cierto número de iteraciones, momento a partir del cual la convergencia se ralentiza. Se ha observado que los autovectores que

corresponden a los autovalores más bajos del sistema de ecuaciones lineal bArr

=φ son los responsables de dicho comportamiento. Estos autovalores y autovectores cumplen como siempre que

vvArr λ= ,

y podemos expresar la solución del sistema bArr

=φ como una combinación de autovalores λ y autovectores v

r.

Podemos acelerar la convergencia del sistema usando el AMG Multigrid que, aunque es un método algebraico (y no geométrico) es equivalente a resolver el sistema correspondiente a una malla más gruesa, con menos elementos y con autovalores de valor mínimo más altos que en la malla original. Los métodos Multigrid se basan por tanto en la idea de que los errores de baja frecuencia podrán ser vistos como errores de frecuencia más alta en una malla más gruesa.


146

Los métodos Multigrid reducen efectivamente la distribución de los errores de baja frecuencia, esto lo hacen ser el ingrediente ideal para ser usado con los métodos usuales

de solución de sistemas bArr

=φ .

Podemos ver el “Algebraic Multigrid Method” (AMG) como una “caja negra” para solucionar sistemas de ecuaciones lineales con matrices dispersas. Es decir, AMG construye su jerarquía de operadores directamente sobre la matriz del sistema algebraico que resulta de la discretización de las ecuaciones en derivadas parciales. Se da la circunstancia de que dicha matriz es dispersa (y en el caso de que se use una malla regular con celdas cuadradas o cúbicas, será más concretamente pentadiagonal) como ya se expuso en su correspondiente apartado.

Del sistema de ecuaciones lineal

0=+ bA exact

rrφ .

Queremos obtener exactφr

. Sin embargo antes de resolverlo solo tenemos φr

, y por tanto

se cumple que

dbArrr

=+φ ,

de donde podemos sacar una ecuación de corrección

0=+ dArrψ .

Al pasarlo a la malla basta, “coarse” en inglés, el sistema será

0=+ dRA HHrrψ ;

0=+ dRRAP Hrrψ ;

0=+ dRRAR HTrrψ .

Aunque P y R son independientes, normalmente se elige TRP = . Y se resuelve para obtener Hψ . Se actualiza a la malla fina haciendo

Hnew Pψφφ rrr+= ,

o bien

HTnew R ψφφ rrr+= ,

donde Hψ es

.

;

ψψ

ψψ

rr

rr

=

=

HT

H

R

P

Realmente, el método se aplicará de manera que sean posibles las visitas a mallas gruesas varias veces, definiendo ciclos, hasta que se alcancen los criterios de


147

convergencia deseados. De forma general esto se hace de la manera siguiente (para una jerarquía de sólo dos niveles):

1) Fluent quiere resolver el problema

0=+ bArr

φ .

2) En lugar de en este sistema, Fluent se centra en la ecuación de corrección

0=+ dArrψ .

3) Y como 01 =β por defecto en “AMG Solver” (donde 1β define el número de iteraciones del método de resolución de ecuaciones en el nivel inicial fino) se pasa a aplicar directamente una restricción convirtiendo al sistema anterior en

0=+ dRA HHrrψ .

4) Aplica una (o dos) iteraciones de Gauss – Seidel en el nivel actual (grueso) según sea el ciclo V o W respectivamente. Estos dos ciclos se definen en Fluent con el parámetro 2β , siendo el valor 12 =β para el ciclo V y el valor 22 =β

para el ciclo W. De esta forma hallamos Hψr . 5) Volvemos a la malla fina anterior haciendo una prolongación

Hnew Pψφφ rrr+= .

6) Hacemos una iteración de Gauss – Seidel en la malla fina

0=+ bArr

φ .

El número de iteraciones en este nivel viene definido por el parámetro 3β siendo

por defecto en “AMG Solver” su valor de 13 =β .

7) Volvemos al paso 2).

Repetimos el procedimiento completo hasta que el residual sea reducido al nivel deseado.


148

En general la jerarquía anterior se construye sobre más de dos niveles, pudiendo representarse el proceso con la siguiente ilustración:

5.1.2.5 Parámetros del Solver.

Se resumen a continuación algunas de las características usadas en el modelo:

Se ha usado la versión 6.2.16 del paquete comercial Fluent en la que se ha definido el modelo como axisimétrico, en doble precisión, segregado, con malla dinámica, flujo laminar y transitorio. Se han habilitado las ecuaciones de flujo y de la energía. La formulación de la velocidad es física.

El paso temporal está determinado por el equilibrio dinámico de fuerzas (de la inercia de las masas, del gas y de un par de fricción introducido como función de la velocidad angular del cigüeñal). Se ha definido un paso angular constante de un grado (≈ 0.01745 radianes) en el archivo auxiliar “piston.c” que usa Fluent. El número máximo de iteraciones de flujo permitidas por cada paso angular es de 40, aunque en la práctica este número no suele superar las 8 ó 10 iteraciones por paso, como el propio Fluent nos recomienda.

Los factores de relajación introducidos son de 0.7 para la presión, 0.3 para la cantidad de movimiento y de 1 para la densidad, fuerzas sobre el cuerpo y energía. El resto de características se encuentran en las siguientes tablas:

“Solver” lineal.

Variable. Tipo de “Solver”. Criterio de

Terminación. Tolerancia del

Residual. Presión. Ciclo en V 0.1 -

Cantidad de movimiento en x.

Flexible 0.1 0.7

Cantidad de movimiento en y.

Flexible 0.1 0.7

Energía. Flexible 0.1 0.7

1

2

3

R e s t r i c c i ó n

P r o l o n g a c i ó n

nivel 1 mallado fino

nivel 2

nivel 3 mallado grueso

1

2

3

Figura 5.28. Ejemplo de jerarquía de tres niveles de la estrategia AMG.


149

Esquema de discretización. Variable. Esquema. Presión. PRESTO!

Densidad. Diferencias regresivas de primer orden. Cantidad de movimiento. Diferencias regresivas de primer orden.

Energía. Diferencias regresivas de primer orden.

Límites de la solución. Cantidad. Límite.

Presión Absoluta Mínima. 1 Pascal. Presión Absoluta Máxima. 5·1010 Pascales.

Temperatura Mínima. 1 K. Temperatura Máxima. 5000 K.

5.1.2.6 Condiciones iniciales.

La estrategia seguida para resolver el modelo ha sido la siguiente:

Inicialmente se han definido unas condiciones iniciales para resolver el modelo con el motor parado en su punto de volumen máximo. De esta manera se establecerán gradientes de temperatura en el interior del mismo. Después de que se haya establecido una situación próxima al equilibrio térmico reiniciamos la simulación pero dándole una velocidad inicial al cigüeñal y esperamos a que la velocidad del mismo se estabilice en algún valor. Diremos entonces que el motor funciona de forma estacionaria y paramos la simulación para tomar valores y comparar con el otro modelo.

Podemos decir por tanto que las condiciones iniciales para el modelo con movimiento son las condiciones finales del modelo sin movimiento. Estas son:

Para el modelo sin movimiento se ha tomado una temperatura total inicial uniforme de 466 K y una presión absoluta también uniforme de 152789.3 Pascales.

Para el inicio del modelo con movimiento la presión sigue siendo uniforme y del mismo valor 152789.3 Pascales, pero la temperatura total ha cambiado observándose una distribución como la de la siguiente figura:

Figura 5.29. Estado inicial de temperaturas para el modelo con movimiento.


150

5.1.2.7 Condiciones de contorno.

Los focos se han definido como un grupo de anillos concéntricos en los que, para cada pasaje anular, la pared del anillo exterior es isotermo y la del interior es adiabático. Para los anillos isotermos del foco frío la temperatura es de 300 K y para los anillos isotermos del foco caliente la temperatura es de 923 K.

La pérdida de carga del gas en la zona porosa se ha definido mediante el “Power – Law” con las siguientes características:

Material. Cobre. Porosidad γ. 0.708

C0 (basado en velocidad superficial) 25887.23 C1 1

Las paredes correspondientes a la superficie de los pistones se han definido como móviles, con una ley que depende del equilibrio de fuerzas del gas, fuerzas dinámicas de la inercia de las masas de los eslabones cinemáticos y un par resistente exterior que modela las fuerzas de fricción que ha de vencer el motor funcionando en vacío.

5.2 Conclusión. En este capítulo se ha descrito el modelo multidimensional y el proceso que éste sigue, partiendo de las ecuaciones, para llegar a la solución final. Las ecuaciones son las generales en forma tensorial e integral y el procedimiento de discretización y resolución del sistema debe ser conocido y entendido de antemano por quien maneja el paquete comercial Fluent para hacer una elección adecuada de entre las múltiples posibilidades que ofrece.

5. Modelo Multidimensional.bibing.us.es/proyectos/abreproy/5134/descargar... · discretización será temporal y espacial. Su complejidad hace que acudamos a paquetes ... (velocidad

Documents