Capitol Ul 05

8/18/2019 Capitol Ul 05

1/28

Sorin VLASE 1

Capitolul 5

CENTRE DE GREUTATE (MASĂ)

5.1. Centrul de greutate (masă) al unui sistem de puncte materiale

Să considerăm un sistem de puncte materiale nPPP ,,, 21 K având vectorii de poziie nr r r

r

K

r r

,, 21 şi de greutăi respectiv

nGGG ,,, 21 K . Greutăile formând un sistem de fore paralele,rezultanta nGGGG +++= K21 poate fi aplicată în centrul forelor

paralele a cărui vector de poziie este dat de relaia:

∑

∑

=

==

n

i

i

n

i

ii

C

G

Gr

r

1

1

r

r

, (5.1)

inând seama că gmG iir

r

= se obine:

m

r m

m

r m

gm

gmr

r

n

i

ii

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

ii

C

∑

∑

∑

∑

∑ =

=

=

=

====

1

1

1

1

1

r r r

r

.

(5.2)deci centrul de greutate depinde de distribuia maselor situate înpunctele

iP de unde denumirea de centru de masă. Într-un sistem de

referină cartezian acesta va avea coordonatele:

m

zm

zm

ym

ym

xm

x

n

i

ii

C

n

i

ii

C

n

i

ii

C

∑∑∑===

===111 ;; (5.3)

5.2.Centrul de greutate (masă) al unui solid

În cazul unui corp continuu, îl vom considera divizat în volume

elementare care au masa im∆

. Vectorul de poziie al centrului degreutate este dat de:

Fig.5.1. Centrul de masă al

sistemelor de puncte

PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com

http://www.docudesk.com/http://www.docudesk.com/

8/18/2019 Capitol Ul 05

2/28

2 MECANICĂ. STATICA

∑

∑

=

=

∆

∆

=n

i

i

n

i

ii

C

m

r m

r

1

1

r

r

.

Dacă facem ca elementele de masă să devină din ce în ce mai mici, lalimită, sumele reprezintă sumeRiemann, deci se va putea scrie:

m

dmr

dm

dmr

r D

D

D

C

∫

∫

∫==

r r

r

(5.4)

cu componentele:

m

zdm

zm

ydm

ym

xdm

x DC

D

C

D

C

∫∫∫=== ;; (5.5)

5.3. Momente statice

Se numeşte moment static şi se notează cu S r

mărimea:

∫ ∫∫∫

+

+

==

R R R R

k zdm j ydmi xdmdmr S r r r

r

r

(5.6)

cu componentele:

∫∫∫ === R

z

R

y

R

x zdmS ydmS xdmS ;; (5.7)

Atunci centrul de masă va avea expresia:

Fig.5.2. Centru de greutate al

rigidului


8/18/2019 Capitol Ul 05

3/28

Sorin VLASE 3

m

S

m

dmr

r RC

r

r

r

==

∫ (5.8)

cu componentele:

m

S z

m

S y

m

S x z

C

y

C

x

C === ;; (5.9)

Momentele statice dau o măsură a distribuiei maselor în spaiu.

5.4. Formule pentru determinarea poziiei centrelor de greutate

În general, dacă rigidul are o densitate variabilă ρ(x,y,z) , inându-seseama de relaia dV dm ⋅= ρ unde dV reprezintă elementul de volum,va rezulta:

∫

∫

⋅

⋅⋅

=

D

D

C

dV

dV r

r ρ

ρ r

r

(5.10)

cu componentele:

∫

∫

∫

∫

∫

∫

⋅

=

⋅

=

⋅

=

D

D

C

D

D

C

D

D

C

dV

dV z

zdV

dV y

ydV

dV x

x ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

;; (5.11)

Dacă avem de-a face cu un corp omogen, deoarece ct = ρ , se obine:

V

dV r

V

dV r

r D DC

∫∫ ⋅=

⋅

⋅⋅

=

r r

r

ρ

ρ

(5.12)

cu componentele:

V

zdV

zV

ydV

yV

xdV

x DC D

C

D

C

∫∫∫=== ;; . (5.13)

În cazul în care avem de-a face cu plăci omogene de grosime constantă t(fig.5.3), se poate scrie dV = t dS şi atunci se obine:


8/18/2019 Capitol Ul 05

4/28


S

dS r

r DC

∫ ⋅=

r

r

(5.14)

cu componentele:

S

zdS

zS

ydS

yS

xdS

x DC

D

C

D

C

∫∫∫=== ;; (5.15)

Fig.5.3 Fig.5.4

În sfârşit, dacă se consideră o bară omogenă de seciune constantă S (fig.5.4), se poate scrie dV = S dL iar centrul de greutate va fi dat de:

L

dLr

r DC

∫=

r

r

(5.16)

cu componentele:

L

zdL

z L

ydL

y L

xdL

x DC

DC

DC ∫∫∫ === ;; (5.17)

5.5. Proprietăile centrelor de greutate (masă)

O serie de proprietăi care se demonstrează uşor uşurează calcululpoziiei centrului de greutate (masă).


8/18/2019 Capitol Ul 05

5/28

Sorin VLASE 5

• dacă toate masele punctelor se multiplică cu acelaşi scalar, poziiacentrului nu se schimbă (un corp omogen are acelaşi centru degreutate indiferent de matrialul din care este confecionat).

• dacă toate punctele unui sistem material se află pe o dreaptă sau într-un plan, centrul de masă este situat pe acea dreaptă sau în acelplan.

• dacă un sistem material are un plan de simetrie, centrul de masă seaflă în acel plan de simetrie.

• dacă un sistem de puncte admite o axă de simetrie, centrul de masă se află pe acea axă de simetrie.

• dacă un sistem de puncte materiale admite un centru de simetrie,

acesta va fi centrul de masă (exemplu: sfera are centrul de masă încentrul ei).• centrul de greutate (masă), fiind centrul unor fore paralele se

bucură de toate proprietăile enunate pentru acesta, inclusiv deaceea că nu depinde de sistemul de coordonate ales ci doar dedistribuia relativă a punctelor materiale componente.

5.6. Calculul poziiei centrelor de greutate (masă)

Bar ă. Pentru o bară dreaptă, cu seciune constantă, alcătuită dintr-unmaterial omogen, din considerentele de simetrie enunate mai sus,centrulde masă se va găsi în centrul ei.Triunghi. Un triunghi poate fi conceput ca fiind alcătuit din bare degrosime infinitezimală (fig.5.5). Pentrufiecare astfel de bară centrul de greutatese va afla la mijlocul ei. Dacă unimtoate aceste puncte se obine medianatriunghiului. Rezultă că centrul degreutate al triunghiului trebuie să segăsească pe mediana lui. Raionamentulpoate fi aplicat şi pentru celelalte două laturi ale triunghiului. Va rezulta că centrul de masă se găseste la interseciamedianelor. Din geometria analitică se ştie că pentru a determinacoordonatele acestui punct putem folosi relaiile:

Fig.5.5. Centrul de greutate se

a lă e mediană


8/18/2019 Capitol Ul 05

6/28


3

;3

321

321

y y y y

x x x x

C

C

++

=

++=

unde i x şi i y reprezintă coordonatele vârfului i altriunghiului.

Se cunoaşte că intersecia medianelor se află la o treime de bază şi două

treimi de vârf. Putem folosi acestă observaie pentru a determina poziiacentrului de masă pentru un triunghi dreptunghic. Astfel dacă împărimcele două catete în trei pări şi ducem paralele la ele prin punctele caredetermina prima treime a fiecărei catete, atunci punctul de intersecie alcelor două paralele ne va da centrul de masă (fig.5.6).

Dreptunghi. Pentru dreptunghi (şi paralelogram), datorită simetriei,centrul de masă se va găsi în

centrul de simetrie deci laintersecia diagonalelor(fig.5.7). Dacă dreptunghiul(paralelogramul) are oorientare oarecare în spaiu,iar ),( ii y x sunt coordonate-le vârfurilor, luate într-oordine de parcurgere orară

sau antiorară, atunci coordonatele centrului de greutate sunt date deformulele:

.22

;22

4231

4231

y y y y y

x x x x x

C

C

+=

+=

+=

+=

Arc de cerc. Pentru un arc de cerc dinfig.5.8, datorită simetriei, avem

Fig.5.6. Centrul de greutate al

triunghiului

Fig.5.7. Centrul de greutate al dreptunghiului


arcului de cerc


8/18/2019 Capitol Ul 05

7/28

Sorin VLASE 7

0=C x . Rămâne de calculat C y . Avem:

L

ydL

yC

∫=

Se observă că avem relaiile: θ cos R y = ; θ Rd dl = . Unghiul θ are ovariaie de la - α până la α, deci putem scrie:

α

α

θ

θ θ

α

α

α

α sincos

R

Rd

d R

yC ==

∫

∫

−

−

În cazul când avem de calculat centrul de masă a unei jumătăi dincircumferina unui cerc (fig.5.9), în formula anterioară facem α = π /2 şi se obine:

π π

π R

R yC

2

2

2sin

==

Dacă avem unsfert de

circumferină,atunci alegândsistemul de axeca în fig.5.9.b

putem scrieC C

y x = .Coordonata

C Y

a centrului degreutate faă de

o axă OY care este prima bisectoare va fi:

π π

π R

RY C

22

4

4sin

==

Fig.5.9. Centrul de greutate pentru jumătate,respectiv un sfert de circumferin ă


8/18/2019 Capitol Ul 05

8/28


iar coordonatele centrului de masă sunt:

π

π RY y x

C C C

2

4cos ===

Sector de cerc. Pentru coordonateC

x a centrului de masă, din cauzasimetriei se va putea scrie(fig.5.10):

C x = 0. Pentru

C y se va utilize

formula:

∫∫

=

dA

ydA y

C .

Alegem elementul de arie unsector de cerc cu deschidereainfinitezimală θ d . Aria acestuisector (asimilabil cu un

triunghi) va fi: θ Rd RdA ⋅=2

1

iar coordonata centrului de masă θ cos32

⋅= R yC . Unghiul θ are ovariaie de la -α până la α. Atunci:

α

α

θ

θ θ

α

α

α

α sin

3

2

2

1

2

1cos

3

2

2

2

R

d R

d R R

yC =

⋅

=

∫

∫

−

−

În cazul când avem de calculat centrul de masă a unei jumătăi dindiscul din fig.5.11.a, în formula anterioară facem

2

π α = şi se obine:

π π

π

3

4

2

2sin

3

2 R R y

C == .


sectorului de cerc


8/18/2019 Capitol Ul 05

9/28

Sorin VLASE 9

Dacă avemun sfert decircumferină atuncialegândsistemul deaxe ca înfig.5.11.bputemscrie

C C Y X = .

Coordonata

C Y acentrului de greutate faă de o axă OY care este prima bisectoare va fi:

π π

π

3

24

4

4sin

3

2 R RY

C == ,

iar coordonatele centrului de masă sunt:

π

π

3

4

4cos

RY y x

C C C === .

Sfert de elipsă. Pentrucalculul centrului degreutate ale sfertului dinelipsă de semiaxe a şi b

este convenabil a folosicoordonatele polaregeneralizate. Decif ăcând schimbarea decoordonate:

θ ρ θ ρ sin;cos b ya == ,elementul de arie dA poate fi scris:

.θ ρ ρ θ ρ d d bad Jd dydxdA ⋅⋅⋅⋅=⋅=⋅=

Fig.5.11. Centrul de greutate pentru

jumătate, respectiv un sfert de disc

Fig. 5.12. Transformarea domeniului prin

utilizarea coordonatelor polare


8/18/2019 Capitol Ul 05

10/28


Sfertul de elipsă definit de ecuaiile:

0,0

,12

2

2

2

>>

=+

y x

b

y

a

x

devine: ρ = 1 , ]2

,0[ π

θ ∈ ,

iar coordonatele centrului de masă vor fi date de:

==

∫∫

dA

xdA x

C =

∫∫∫∫

θ ρ ρ

θ ρ ρ θ ρ

d d ab

d d aba cos=

∫ ∫

∫ ∫

1

0

2

0

1

0

2

0

2

d

dcos

π

π

θ ρ ρ

θ θ ρ ρ

d

d

aπ 3

4a

şi în mod analog:π 3

4b yC = .

Calota sferică. Din cauza simetriei seobine imediat: 0==

C C y x . Mai

departe avem:

∫∫=

dA

zdA z

C .

Se va alege elementul de arie ca înfigură, deci care ar putea fi asimilată cu o fâşie de lungime 2π r şi grosime dL deci de arie: dA = 2 π r dL . Dacă se notează unghiul care determină elementul de arie cu θ şi

variaia lui cu d θ , atunci se obine:

,sin2,cos

,sin,2 θ θ π θ

θ θ

d RdA R z

Rr d RdL

==

=⋅=

unde R este raza calotei sferice. Se obine:


calotei s erice


8/18/2019 Capitol Ul 05

11/28

Sorin VLASE 11

=

−

−==

∫

∫α

α

α

α

θ

θ

θ θ π

θ θ π θ

0

0

0

2

0

2

2cos

2cos

4sin2

sin2cos R

d R

d R R

zC

2cos

2sin4

sin

cos1

2cos1

42

2

2 θ

α

α

α

α R

R R==

−

−=

Dacă se consideră o jumătate din suprafaa unei sfere, se obine:

22cos2

R R zC ==

π .

Semisfera plină. Să considerăm o semisferă de rază egală cu R . Dinconsiderente de simetrie rezultă imediat: 0==

C C y x (centrul de masă

se va găsi pe axa Oz) . Se alege elementul de volum ca în fig. 5.14, lacota z .El poate fi asimilat cu un cilindru derază egală cu 22 z Rr −= şi grosimedz . Centrul de masă va fi determinat curelaia:

R

dz z R

dz z R z

dzr

dzr z

V

zdV z

R

R

C 8

3

)(

)(

0

22

0

22

2

2

=

−

−

===

∫

∫

∫∫∫π

π

Optime de elipsoid . Dacă se alegcoordonatele sferice:

θ ρ

ϕ θ ρ

ϕ θ

cos

;sinsin

;cossin

c z

b y

a x

=

=

=

inând seama de formula Jacobianului înacest caz:


semisferei

Fig.5.15.Centrul de greutate al

optimii de elipsoid


8/18/2019 Capitol Ul 05

12/28


ϕ θ ρ θ ρ d d d dV ⋅⋅⋅= sin2 ,integrala triplă se transformă în trei integrale simple, obinându-se înfinal:

.8

3;

8

3;

8

3c zb ya x C C C ===

Con circular drept. Con. Să consideră un con circular drept cu razacercului de bază R şi cu înălimea H. Din considerente de simetrie

0== C C y x . Pentru calculul lui C z se alege un element de volum dV la înălimea z ca în fig. 5.16 , asimilabil cu un cilidru de rază r şi

înălime dz. Avem, din asemănare:

H

z H

R

r −=

de unde:

)( z H H

Rr −= .

Putem calcula acum:

4

)(3

3

31

320

22

2

2

2

H

H R

dz z H z R

H R

dzr z

H R

zdV

z

R

C

=

−

=

=⋅

⋅

==

∫

∫∫π

π

π

deci centrul de masă se va găsi la o pătrime din înălimea de bază.

Rezultatul rămâne valabil şi dacă conul nu este circular sau drept.

Piramida regulat ă dreapt ă. Piramida. Pentru o piramidă, aplicându-seaceleaşi raionamente ca în cazul conului se va obine acelaşi rezultat:

4

H zC = .

Fig.5.16. Centrul de

greutate al conului

circular drept


8/18/2019 Capitol Ul 05

13/28

Sorin VLASE 13

Suprafa a laterală a unui con. Putem concepesuprafaa laterală a conului alcătuită dinsuprafee triunghiulare infinitezimale. Pentruun triunghi

oarecarecentrul degreutate se vagăsi la otreime de

bază şi două treimi de vârf, decidistantana de la acesta până la planulbazei va fi o treime din înălime.

Centrele de greutate ale tuturortriunghiurilor infinitezimale se va găsi într-un plan aflat la distana de H/3 debază deci va rezulta că şi centrul degreutate al întregii suprafaă se va găsi

în acest plan, adică 3

H z

C = .

Suprafa a laterală a unei piramide. Printr-un raionament similar rezultă

3 H

zC = .

5.7. Teoremele lui Pappus-GuldinCele două teoreme permit în unelecazuri uşurarea calculului unorcentre de greutate (masă). Calcululcentrelor de masă presupuncalculul unor integrale iar celedouă teoreme permit înlocuireacalculului unor integrale curezultate deja cunoscute. Să considerăm mai întâi un arc decurbă plană (C) (fig.5.19)Teoremă. Aria suprefeei generată prin rotirea completă a arcului decurbă în jurul unei axe din planul

său (pe care nu o intersectează)

Fig.5.17. Centrul de

greutate al piramidei

Fig.5.18. Centrul de greutate

al su ra e ei laterale a conului

Fig.5.19.Prima teoremă

Pappus-Guldin


8/18/2019 Capitol Ul 05

14/28


este egală cu lungimea arcului de curbă înmulită cu lungimea cerculuidescris de centrul de greutate al curbei. Demonstra ie. Elementul de arc ds generează prin rotaie o suprafaă care este egală, într-o aproximatie de ordinul întâi, cu produsul dintrelungimea cercului descris de coordonata y şi grosimea suprafeei ds:

ds ydA π 2= . (5.18)Întrega suprafaă va fi obinută prin însumarea tuturor suprafeelorelementare dA :

∫ ∫== L L

ydLdA A π 2 (5.19)

inând seama de formulele de definiie ale centrelor de greutate, seobine:

∫ = L

L yds ξ (5.20)

unde ξ este distana centrului de greutate la dreapta în jurul căreia seface rotaia. Rezultă:

L A ξ π 2= (5.21)

Să considerăm acum o suprafaă plană.

Teoremă. Volumul generat prinrotirea completă a suprafeei în jurul unei axe din planul său (pecare nu o intersectează) este egalcu aria suprafeei respective înmulită cu lungimea cerculuidescris de centrul de greutate al

suprafeei.

Demonstra ie. Elementul de arie dA generează prin rotaie un volumcare este egal, într-o aproximatie de ordinul întâi cu produsul dintrelungimea cercului descris de coordonata centrului suprafeei y şimărimea suprafeei ds:

dA ydV π 2= (5.22)Întregul volum va fi obinut prin însumarea tuturor volumelorelementare dV :

Fig.5.20. A doua teoremă Pappus-Guldin


8/18/2019 Capitol Ul 05

15/28

Sorin VLASE 15

∫∫ ==S S

dA ydV V π 2 . (5.23)

inând seama de formulele de definiie ale centrelor de greutate, seobine:

∫ =S

A ydA ξ (5.24)

unde ξ este distana centrului de greutate al suprafeei la dreapta în jurulcăreia se face rotaia. Rezultă:

AV πξ 2= (5.25)

Aplica ie. 1. Dacă se consideră suprafaa generată prin rotaia unuisemicerc în jurul diametrului (fig.5.21), se va obine o sferă de suprafaă

24 RS π = . Lungimea semicercului este R L π = .Aplicând prima teoremă se va obine poziia centrului de masă pentrulinia materială omogenă în formă de semicerc:

242

2

R R y

S L y

C

C

π π π

π

=

=

π

R yC

2=

Aplica ie. 2. Dacă se consideră volumul generatprin rotaia unei jumătăi de cerc în jurul diametrului(fig.5.22), se va

obine o sferă devolum

3

4 3 RV

π = .

Aria jumătăii de sferă este2

2 RS π = .

Aplicând a doua teoremă se va obinepoziia centrului de masă pentru o jumătate de cerc:

V S yC =π 2 sau:

Fig.5.21 Fig.5.22

Fig.5.23. Calcululvolumului torului


8/18/2019 Capitol Ul 05

16/28


32

3

4

22 R

R y

C π π

π =

Rezultă:

π 3

4 R y

C = .

Aplica ie. 3. Folosind teoremele anterioare se poate calcula cu uşurină suprafaa laterală şi volumul torului (fig.5.23), (corpul obinut prinrotaia unui disc în jurul unei axe din planul său).Dacă se notează cu R raza discului iar cu a distana dintre centrulacestuia şi axa în jurul căreia se va face rotaia, aplicând prima teoremă se obine:

S Ra =π π 22

sau: RaS 24π = .

Aplicând cea de-a doua teoremă, se va obine:

V Ra =22 π π deci 222 RaV π = .

5.8. Centrul de masă al figurilor compuse

Să considerăm un corp care poate fi considerat ca fiind compus dindouă corpuri R1 şi R2 (fig.5.24.a). Ne propunem să determinăm legăturadintre poziia centrului de greutate pentru întregul corp şi poziiilecentrelor de greutate ale corpurilor componente. Scriind expresiacentrului de greutate pentru întregul corp şi inând seama de proprietăilede aditivitate ale integralei, se obine:

a) b)

Fig.5.24. Centrul de masă al figurilor compuse


8/18/2019 Capitol Ul 05

17/28

Sorin VLASE 17

21

2211

21

21

mm

r mr m

dmdm

dmr dmr

dm

dmr

r

R R

R R

R

R

C +

+=

+

+

==

∫∫

∫∫

∫

∫ r r r r

r

r

(5.26)

Am folosit relaiile:

2

2

1

121 ;m

dmr

r m

dmr

r R R

∫∫==

r

r

r

r

de unde:

2211

21

; r mdmr r mdmr R R

== ∫∫ r r

(5.27)

Pe componente, se va putea scrie:

21

2211

21

2211

21

2211 ;;mm

zm zm z

mm

ym ym y

mm

xm xm x

C C C +

+=

+

+=

+

+= (5.28)

În cazul în care avem de-a face cu n corpuri, formulele vor deveni:

m

r mr mr mr nn

C

r

K

r r

r +++=

2211 , (5.29)

sau, pe componente:

;12211m

xm

m

xm xm xm x

n

i

ii

nn

C

∑=

=+++

= K

;12211m

ym

m

ym ym ym y

n

i

ii

nn

C

∑=

=+++

= K

(5.30)

m

zm

m

zm zm zm z

n

i

ii

nn

C

∑=

=+++

=12211 K

rezultatele putând fi demonstrate prin inducie matematică.Dacă avem de-a face cu corpuri omogene, densitatea, fiind

constantă, poate fi simplificată şi vom avea formulele:

;12211V

V x

V

V xV xV x x

n

i

ii

nn

C

∑=

=+++

= K


8/18/2019 Capitol Ul 05

18/28


V

V y

V

V yV yV y y

n

i

ii

nn

C

∑=

=+++

=12211 K ; (5.31)

V

V z

V

V zV zV z z

n

i

ii

nn

C ∑==+++= 12211 K .

În cazul în care avem plăci plane cu aceeaşi grosime, rezultă formulele:

;12211

A

A x

A

A x A x A x x

n

i

ii

nn

C

∑=

=+++

= K

A

A y

A

A y A y A y y

n

i

ii

nn

C

∑=

=+++

=12211 K ; (5.32)

A

A z

A

A z A z A z z

n

i

ii

nn

C

∑=

=+++

=12211 K .

iar dacă avem de-a face cu o linie materială omogenă:

;12211 L

L x

L

L x L x L x x

n

i

ii

nn

C

∑==

+++=

K

L

L y

L

L y L y L y y

n

i

ii

nn

C

∑=

=+++

=12211 K (5.33)

L

L z

L

L z L z L z z

n

i

ii

nn

C

∑=

=+++

=12211 K

În cazul în care corpul R poate fi considerat ca fiind alcătuit dintr-un sistem R1 din care lipseşte al doilea R2 (fig.5.24.b), inând seama deaceeaşi proprietate de aditivitate a integralei, se poate scrie:

21

2211

21

21

mm

r mr m

dmdm

dmr dmr

dm

dmr

r

R R

R R

R

R

C −

−=

−

−

==

∫∫

∫∫

∫

∫ r r r r

r

r

(5.34)

sau, pe componente:


8/18/2019 Capitol Ul 05

19/28

Sorin VLASE 19

21

2211

21

2211

21

2211 ;;mm

zm zm z

mm

ym ym y

mm

xm xm x

C C C −

−=

−

−=

−

−= (5.35)

Aplicaii: 1. Să se determine centrul de greutate al unei figuri alcătuită din trei linii materiale omogene, în formă de jumătate de cerc, ca în fig.5.25.Soluie: Efectuăm calculul tabelar:

;06

0

1

1===

∑

∑

=

=

a L

L x

xn

i

i

n

i

ii

C π

π π

a

a

a

L

L y

yn

i

i

n

i

ii

C

2

6

12 2

1

1===

∑

∑

=

= .

2. Să se determine centrul de greutate plăcii plane omogene din fig.5.26.

Corpul

xi yi Li xiLi yiLi

1 0 π

a6 aπ 3 0 218a

2 a π a4

− aπ 2 22 aπ 28a−

3 -2a π a2

aπ 22 aπ − 22a Σ X X aπ 6 0 212a

N

r.

xi yi Ai xiAi yiAi

1 0 π 38a

22 aπ 03

16 3a

2 a π 34a

− 2

2aπ

2

3aπ 3

2 3a−

3 -a π 34a

2

2aπ

−

2

3aπ

3

2 3a−

Σ X X 22 aπ 3aπ 34a

Fig.5.25

Fig.5.26


8/18/2019 Capitol Ul 05

20/28


;22 2

3

1

1 a

a

a

A

A x

xn

i

i

n

i

ii

C ===

∑

∑

=

=

π

π

π π

a

a

a

A

A y

yn

i

i

n

i

ii

C

2

2

42

3

1

1===

∑

∑

=

=

3. Să se determine poziia centrului de greutate pentru corpul compusdin plăci omogene din fig.5.27.

Soluie: Corpul poate fi consideratca fiind compus din triunghiulAOC, triunghiul AOB, semicerculde diametru OC şi jumătatea desuprafaă cilindrică definită depunctele OBCD. Centrele de masă ale celor patru plaăci vor avea

coordonatele: ),3

2,0(1 a

aC ;

),0,2(2 aaC (pentru triunghidreptunghic centrul de masă se vagăsi ducând paralele la catete, la distana de o treime din cateta

perpendiculară) )34

,,0(3 π

aaC − (pentru jumătate din disc am folosit

formula 4R/3π); )2

,,3(4π

aaaC − (pentru jumătatea de suprafaă cilindrică,

dacă este privită din faă are aspectul unei linii materiale omogene înformă de jumătate de circumferină, pentru care se aplică formula 2R/ π ).Facem calculul tabelar.

Nr.

corp xi yi zi Ai xiAi yiAi ziAi

1 0 32a

a 3a2 0 2a3 3a3

2 2a 0 a 9a2 18a3 0 9a3

3 0 a π 34a

− 2

2aπ

0 2

3aπ

3

2 3a−

4 3a a π a2

− 26 aπ 318 aπ 36 aπ -12a3

Σ X X X2

2

1312 a

+

π

)1(18 3 π +a

3

2

132 a

+

π

32 3a

−

Fig.5.27


8/18/2019 Capitol Ul 05

21/28

Sorin VLASE 21

;2294,2

2

1312

)1(18

2

1312

)1(18

2

3

1

1 aa

a

a

A

A x

xn

i

i

n

i

ii

C =

+

+=

+

+==

∑

∑

=

=

π

π

π

π

;0032,0

2

1312

2

132

2

1312

2

132

2

3

1

1 a

a

a

a

A

A y

yn

i

i

n

i

ii

C =

+

+

=

+

+

==

∑

∑

=

=

π

π

π

;0206,0

213123

2

21312

3

2

2

3

1

1 aa

a

a

A

A z

zn

i

i

n

i

ii

C −=

+

−=

+

−

==

∑

∑

=

=

π π

4. Să se determine centrul de greutate al corpului alcătuit din plăciomogene ca în fig. 5.28.

Soluie: Sistemul poate fi descompus în pările sale constitutive ca înfig.5.29. Calculul este condus tabelar:

;3333,03

2

32

2

3

1

1 aa

a

a

A

A x

xn

i

i

n

i

ii

C ====

∑

∑

=

=

;2747,09

7

63

6

7

42

23

6

7

42

33

1

1 aa

a

a

aa

A

A y

yn

i

i

n

i

ii

C =

+−=

+−

=

+−

==

∑

∑

=

= π

π π

;3805,03

2

33

22

2

34

2

33

1

1 aaa

a

aa

A

A z

zn

i

i

n

i

ii

C −=

+−=

+−

=

+−

==

∑

∑

=

= π

π π


8/18/2019 Capitol Ul 05

22/28


Nr.corp

xi yi zi Ai xiAi yiAi ziAi

13

a 0 3

a 2

2a 6

3a 0 6

3a

2π 3

4a π 3

4a 0 4

2aπ

3

3a

3

3a

03

0 2a

2

a 2

a 0 2

3a

2

3a

40 π 3

4aa −

π 3

4aa − -

4

2aπ

0 34

33aa

+−π

34

33aa

+−π

Σ X X X 23 2a

2

3a

6

7

4

33aa

+−π 3

3

4a

a+−

π

5. Să se determine ce înălime H trebuiesă aibă un con aşezat peste o semisferă de rază R ca în fig. 5.30 astfel încât să rămână în echilibru indiferent cum îl

aşezăm pe o suprafaă orizontală.

Soluie: Figura este alcătuită dintr-uncon de rază R şi înălime H şi osemisferă de rază R. Pentru ca figura să rămână în echilibru oricum am aşeza-ocu semisfera pe planul orizontal estenecesar ca centrul de greutate să fie în

centrul semisferii ( z c= 0 ).Pentru semisferă avem:

Fig.5.28. Fig.5.29.

Fig.5.30


8/18/2019 Capitol Ul 05

23/28

Sorin VLASE 23

3

4

2

1;

8

3 311

RV

R z

π =−=

iar pentru con:

3;

4

2

22

H RV

H z

π ==

de unde rezultă:

=+

+=

21

2211

V V

V zV z z

C

( )( ) H R

H R

R

R

H R R

H R H R R

+

+−=

+

+−

=2

3

4

33

4

2

1343

421

83 22

2

2

23

23

π

π

π π

π π

Condiia ca z c= 0 conduce la :

0322

=+− H R de unde:

3 R H =

6. Să se determine ce înălime H trebuie să aibă o piramidă aşezată peste unsemicilindru de rază R şi înălime 2R ca în

fig. 5.31 astfel încât să rămână în echilibru indiferent de unghiul subcare îl aşezăm pe o suprafaă orizontală.

32

11 2

2;

3

4 R

R RV

R z π

π

π ==−=

3

4;

4

2

22

H RV

H z ==

Fig.5.31


8/18/2019 Capitol Ul 05

24/28


( )( )

043

4

3

43

4

43

422

23

23

21

2211=

+

+−=

+

+−

=+

+=

H R

H R

H R R

H R H R

R

V V

V zV z z

C π

π

π π

R H 2=

7. Să se determine centrul de masă al vasului din fig.5.32. Să sedetermine centrul de masă al vasului plin, dacă se umple cu un lichidastfel încât raportul dintre greutatea lichidului şi a vasului gol este de 3.

Soluie: Datorită simetriei centrul de masă se va găsi în planul Oyz. Încazul vasului gol, corpul 1 este o jumătate dintr-o calotă semisferică.Pentru acesta se cunoaşte poziia centrului de masă zc=R/2 . Dacă seconsideră că acesta provine din două jumătăi care au centrul la înălimea z1 (fig.5.33) rezultă că trebuie să avem relaia:

222

221

11 R z

V V

V z

V z

zC

==

+

+

=

deci centrul de masă are aceeaşi cotă ca şi calota semisferică. După axay valoarea ordonatei va fi aceeaşi, datorită simetriei figurii. Deci, pefigura 5.32, avem:

Fig.5.32


8/18/2019 Capitol Ul 05

25/28

Sorin VLASE 25

Fig.5.33

221

11

44

1

;2

;2

R R A

R z R y

π π ==

−=−=

În ceea ce priveştesuprafaa semicilindrică,

este evident că centrulde masă va trebui să segăsească pe verticalacare trece prin interseciadiagonalelor seciuniidreptunghiulare princilindru. Privită din faă suprafaa semicilindrică

va arăta ca un arc de cerc, deci centrul de greutate se ga găsi la distana2R/ π de centrul cercului (fig.5.34).Rezultă că vom avea următoarele relaii:

;2

;2 22π

R z R y −==

22 4422

1 R R R A π π =⋅=

Suprafaa conică poate fi considerată ca fiind obinută prin alăturarea

unor arce de cerc cu raze din ce în ce mai mici. Pentru fiecare arc decerc centrul de greutate se va găsi la distana de 2r/ π de axa conului

5Fig.5.35

Fi .5.34


8/18/2019 Capitol Ul 05

26/28


unde r este raza semicercului respectiv. Mulimea tuturor aceste centreva fi o dreaptă care trece prin vârful conului şi prin punctul de cotă 2R/ π aflat la baza conului (fig.5.35). De asemenea conul poate fi considerat cafiind obinut prin alăturarea unor triunghiuri cu vârful în vârful conuluişi baza pe baza conului. Aceste triunghiuri au centrul de greutate situatla o treime de bază şi două treimi de vârf. De aici rezultă că centrul degreutate al suprafeei laterale a semiconului se va găsi într-un planparalel cu baza, situat la o distană de o treime din înălimea conului faă de planul bazei. Intersecia dintre acest plan şi dreapta centrelor degreutate stabilită anterior va da coordonatele centrului de masă pentruaceastă suprafaă:

2

17

2

1;2

3;3

16 2

333

RG R A

R z R y

π π π =⋅=−==

Se obine:

R

R

R R R

R R R R R

R

A

A y

y yn

i

i

n

i

ii

I C 52,2

2

1741

)2

1758

2

1(

2

174

2

17

3

1642

22

22

222

1

1=

++

++−

=

++

++−

===

∑

∑

=

=

π π π

π π π

R

R

R R R

R R R

R R

R

A

A z

z zn

i

i

n

i

ii

I C 4425,0

2

1741

)4

1738

2

1(

2

174

2

17

2

34

2

22

22

222

1

1−=

++

++

−=

++

++

−===

∑

∑

=

= π π

π π π

π

π π

π π

Dacă tot corpul este plin, atunci corpul 1 este o jumătate dintr-osemisferă. Pentru acesta se cunoaşte poziia centrului de masă zc=3R/8.Dacă se consideră că acesta provine din două sferturi de sferă care aucentrul la înălimea z1 (fig.5.33) rezultă că trebuie să avem relaia:

8

3

22

221

11 R z

V V

V z

V z

zC ==

+

+

=

După axa y valoarea ordonatei va fi aceeaşi, datorită simetriei figurii.

Deci, pe figura 334

4

1;8

3;8

3 33

111

R R

V

R

z

R

y

π π ==−=−=


8/18/2019 Capitol Ul 05

27/28

Sorin VLASE 27

În ceea cepriveşte vo-lumul semi-cilindric, lafel ca şipentru supra-faa semici-lindrică, cen-trul de masă va trebui să se găsească pe verticala care treceprin intersecia

diagonalelor seciuniidreptunghiulare princilindru. Privită dinfaă suprafaa semici-lindrică va arăta ca unsemicerc, deci centrul de greutate se va găsi la distana 4R/3π de centrulcercului (fig.5.37).Rezultă că vom avea următoarele relaii:

;3

4;2 22

π

R z R y −==

322 242

1 R R RV π π =⋅=

Volumul jumătăii decon poate fi consideratca fiind obinută prin

alăturarea unor semi-cercuri cu raze din ce în ce mai mici. Pentru fiecare semicerc centrul degreutate se va găsi la distana de 4r/3 π de axa conului unde r este razasemicercului respectiv. Mulimea tuturor aceste centre va fi o dreaptă care trece prin vârful conului şi prin punctul de cotă 4R/3 π aflat la bazaconului (fig.5.38). Jumătatea de con are centrul de greutate situat la opătrime de bază şi trei pătrimi de vârf. De aici rezultă că centrul degreutate al suprafeei laterale a semiconului se va găsi într-un plan

paralel cu baza, situat la o distană de o pătrime din înălimea conuluifaă de planul bazei. Intersecia dintre acest plan şi dreapta centrelor de

Fig.5.36

Fig.5.37

Fig.5.38


8/18/2019 Capitol Ul 05

28/28


greutate stabilită anterior va da coordonatele centrului de masă pentruaceastă suprafaă:

32

333 22

1

;;5 R H RV R

z R y π π π =⋅=−==

Rezultă atunci pentru coordonatele centrului de greutate al figurii pline:

R

R

R R R

R R R R R R

V

V y

y yn

i

i

n

i

ii

II C 20,3

223

1

)1048

1(

223

252238

3

333

333

1

1=

++

++−

=

++

⋅++−

===

∑

∑

=

=

π π π

π π π

şi:

R

R

R R R

R R

R R R R

V

V z

z zn

i

i

n

i

ii

II C 37,0

43

1

)2

3

8

8

1(

223

223

4

38

3

333

333

1

1−=

+

++

−=

++

++

−===

∑

∑

=

= π π

π π π

π π

π π

π

Centrul de greutate al vasului plin cu lichid se obine cu formula:

R y y

GG

G yG y

GG

G yG y y II I

I I

I II I I

II I

II II I I

C 03,3

43

33

=+

=+

+=

+

+=

R z z

GG

G zG z

GG

G zG z z II I

I I

I II I I

II I

II II I I

C 39,0

4

3

3

3=

+=

+

+=

+

+=

Problemă propusă: Să se determine centrul de greutate al perimetrului

unui triunghi.

Capitol Ul 05

Documents