Capitol Ul 07

8/18/2019 Capitol Ul 07

1/33

Sorin VLASE 1

Capitolul 7

STATICA SISTEMELOR DE SOLIDE

7.1. Echilibrul sistemelor de solide

7.1.1. Sisteme de solide

Prin sistem de solide se înelege un ansamblu de solide, aflate înlegătură, sau interaciune, unele cu altele. Se pot grupa forele careacionează asupra unui sistem de solide în felul următor: fore exterioare,care constituie aciuni ale altor corpuri, din exteriorul sistemului, asupra

sistemului dat şifore interioarecare pot fi grupateşi ele, la rândul lor, în fore de aciunede la distană şifore de legătură (inter-aciune prin

contact direct).Forele de legătură sunt fore delegătură exterioare,care provin dininteraciunea princontact direct asistemului cu alte

sisteme şi fore delegătură interioare,care reprezintă interaciuni directeale corpurilor carecompun sistemul. Conform principiului aciunii şi reaciunii foreleinterioare (de aciune la distană şi de legătură interioare) sunt egale şide sens contrar, deci se anulează două câte două. Pentru studiul

sistemelor de solide se utilizează trei metode, care vor fi prezentate încele ce urmează.

Fig.7.1. Echilibru unui sistem de solide

PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com

http://www.docudesk.com/http://www.docudesk.com/

8/18/2019 Capitol Ul 07

2/33

2 MECANICĂ. STATICA

7.1.2. Metoda izolării corpurilor

Teorema izol ă rii: Un sistem de solide se află în echilibru dacă şi numaidacă fiecare corp component este în echilibru

Pe baza acestei teoreme se poate formula regula de studiu aechilibrului unui sistem de solide. Astfel se izolează fiecare corp dinsistem, introducând forele exterioare şi forele de legătură, interioare şiexterioare. După aceea se scriu ecuaiile de echilibru pentru fiecare corp în parte. Pentru un sistem alcătuit din n solide rezultă un sistem de 6n ecuaii în cazul general şi un sistem de 3n ecuaii în cazul unei problemeplane.

Pentru un astfel de sistem se pot considera cele două cazuri clasice

ale mecanicii: problema directă, când se cunosc forele exterioare şi secere să se determine poziia de echilibru a sistemului şi problemainversă, când se cunosc poziiile de echilibru şi se cere să se determineforele care menin sistemul în acea poziie.

7.1.3. Metoda solidificării

Teorema solidifică rii: Condi ia necesar ă ca un sistem de corpuri să fie

în echilibru este ca torsorul for elor exterioare (date şi de legătur ă) să

fie egal cu zero.Cu alte cuvinte, dacă un sistem este în echilibru, corpul format prin

legarea rigidă a tuturor componentelor trebuie să fie în echilibru.

7.1.4. Metoda echilibrului părilor

Fig.7.2. Subsistemele de rigide aflate în echilibru


8/18/2019 Capitol Ul 07

3/33

Sorin VLASE 3

Teorema echilibrului pă r ilor: dacă un sistem de solide este în echilibru

sub ac iunea for elor exterioare date şi de legătur ă atunci orice parte a

sistemului va fi în echilibru sub ac iunea for elor care ac ionează

asupra acestei păr i (fig.7.2).

Exemplu: 1. Se consideră două sfere de rază egală cu r dar fabricate dinmateriale diferite (fig.7.3.a), unul având greutatea G1 iar celălaltgreutatea G2 , mai mică. Să se determine poziia de echilibru a acestordouă sfere dacă se introduc într-o cavitate sferică de rază R.

a) dacă se aplică metoda izolării corpurilor, ecuaiile de echilibrupentru cele două sfere vor fi:Sfera de greutate G1 :

∑ =−+= 0cos)cos(;0 1 θ θ α N N X (i) 0sin)sin(;0 11 =−−+=∑ G N N Y θ θ α (ii)Sfera de greutate G2 :

∑ =+−−= 0cos)cos(;0 2 θ θ α N N X (iii)0sin)sin(;0 22 =−+−=∑ G N N Y θ θ α (iv)

Din (i) rezultă:

)cos(

cos1

θ α

θ

+= N N

şi introducând în (ii) se obine:

1sin)sin()cos(

cosG N N =−++ θ θ α θ α

θ

Fig.7.3. a. Metoda izolării corpurilor


8/18/2019 Capitol Ul 07

4/33


sau:

α

θ α

θ α

θ α θ θ α θ

sin

)cos(;

)cos(

)cos(sin)sin(cos11

+==

+

+−+G N G N . (v)

Din (iii) rezultă:

)cos(

cos2

θ α

θ

−= N N

şi introducând în (iv) se obine:

2sin)sin()cos(

cosG N N

=+−− θ θ α θ α

θ

sau:

α

θ α

θ α

θ α θ θ α θ

sin

)cos(;

)cos(

)cos(sin)sin(cos22

−==

−

−+−G N G N (vi)

Relaiile (v) şi (vi) ne dau:

α

θ α

α

θ

sin

)cos(

sin

)cos(21

−=

+= GG N

)cos()cos( 21 θ θ α −=+ GG (vii)

Rezultă, prin dezvoltarea funciei cosinus, ecuaia trigonometrică:

θ α θ α θ α θ sinsincoscossinsincoscos 2211 GGGG +=−

cu soluia:

α θ ctgGG

GGtg

21

21

+

−= (viii)

b) dacă se aplică metoda solidificării, cele două corpuri suntconsiderate ca alcătuind un singur corp şi, scriindu-se ecuaiile de

echilibru pentru acesta (ecuaia de momente în punctul O), se obine:


8/18/2019 Capitol Ul 07

5/33

Sorin VLASE 5

2211 d Gd G = sau:

)cos()()cos()( 21 θ θ α −−=+− r RGr RG

adică relaia (7), obinută cu mult mai puin efort.

2. Într-un cilindru de rază R se găsesc două sfere egale, de rază r şigreutate G. Să se determine ce greutate P trebuie să aibă cilindrul astfel încât să nu se răstoarne (fig.7.4a).

Fig.7.4.a şi b

Fig.7.3.b. Metoda solidificării


8/18/2019 Capitol Ul 07

6/33


Fig.7.4.c

a) Metoda izolării corpurilor (fig.7.4c)Asupra bilelor acionează fore concurente şi atunci, în cazul echilibruluiforelor, ecuaia de momente este identic satisf ăcută. Deci pentru celedouă bile se vor scrie ecuaiile de echilibru pentru fore. Avem, pentruprima sferă:

∑ =+−= 0cos;0 21 α N N X (i)0sin;0 2 =−=∑ G N Y α (ii)

şi pentru cea de a doua:

∑ =−= 0cos;0 23 α N N X (iii)0sin;0 24 =−−=∑ G N N Y α (iv)

În cazul echilibrului cilindrului avem de-a face cu o problemă plană iar

ecuaiile de echilibru vor fi:

∑ =−= 0;0 13 N N X (v)0;0 5 =−=∑ P N Y (vi)

0)sin2(;0 13 =−++⋅−=∑ PRr r N r N M D α (vii)

Ecuaia de momente s-a scris pentru punctul D, în jurul căruia se va

produce răsturnarea. S-a considerat ecuaia de momente pentru echilibrulimită, deci oricare ar fi valoarea forei P mai mică decât cea obinută în


8/18/2019 Capitol Ul 07

7/33

Sorin VLASE 7

acest caz, ea va asigura echilibru. Fora totală a reaciunii solului N 5 acionează în D numai în momentul răsturnării, în rest ea fiind o foră distribuită pe conturul cercului de bază al cilindrului, cu poziia centruluide presiune între centrul cercului şi punctul D. Avem un sistem de şapteecuaii cu şase necunoscute, deci una din ecuaii poate fi folosită pentruverificarea rezultatelor. Din (v) se obine: 13 N N = şi, introducând în(vii):

α sin21 r R

N P =

Din (i) şi (ii) rezultă:

α α sincos12

G N N == ; α ctgG N ⋅=1 ,

de unde:

−=

−===

R

r G

r

r RG

R

r G

R

r r

R

GP 12

2

222cos

2sin2

sin

cosα α

α

α

b) Metoda echilibrului părilor (fig.7.4d)

Fig.7.4.d

Se consideră că cele două sfere alcătuiesc un singur corp. Dacă sescrie ecuaia de momente faă centrul sferei din stânga, O1 , se obine:

0cos2sin21 =⋅⋅−⋅⋅ α α r Gr N de unde:

α ctgG N N ⋅== 31 .Echilibrul după direcia verticală ne dă:


8/18/2019 Capitol Ul 07

8/33


G N 24 = .Ecuaiile scrise pentru cilindru rămân valabile, inclusive ecuaia demomente:

0)sin2(;013

=−++⋅−=

∑PRr r N r N M

A

α

care ne da va P.

În fig.7.4.b. s-a reprezentat un cilindru care are fund. În acest cazcilindrul nu se va mai răsturna deoarece centrul de greutate al figurii seva găsi pe axa cilindrului şi, prin capacul de pe fundul său, cilindrul vaapăsa în mod uniform asupra solului.

2. Se consideră un sistem alcătuit din două bare, una în formă de sfert decerc de rază a şi solicitată la mijloc cu o foră concentrată P, acionând la45o faă de orizontală iar cealaltă dreaptă, fiind solicitată de o foră distribuită, acionând perpendicular pe ea, de o intensitate p=P/a. Sepune problema determinării reaciunilor care vor apare în articulaiile A,B şi C (fig.7.5).

Mai întâi se înlocuieşte fora distribuită cu o foră concentrată Fcare, pentru situaia dată, va aciona în mijlocul barei drepte. Valoarea

forei F va fi:Pa

a

Pa pF 222 =⋅=⋅=

Dacă se separă sistemul în cele două corpuri AB şi BC şi se introducreaciunile impuse de articulaii în A, B şi C, se vor putea scrie ecuaiilede echilibru pentru fiecare dintre cele două bare. Se va obine:

022;0 =−+=∑ B A X P X X

Fig.7.5


8/18/2019 Capitol Ul 07

9/33

Sorin VLASE 9

02

2;0 =+−=∑ B A Y PY Y

0;0 =⋅−⋅=∑ a X aY M B AO

pentru bara în formă de sfert de cerc şi:

0;0 =+−=∑ C B X P X X 03;0 =+−=∑ C B Y PY Y

032;0 =⋅−⋅+−=∑ aY a X Pa M C C A

Rezultă:

PY P X PY

P X PY P X

C C B

B A A

0.0084;2.0146;1.7216

;-1.0146;-1.0146;1.7216-

===

===

Valorile negativepentru fore semnifică faptul că pe figură ele aufost puse invers decâtacionează în realitate.

3. Se consideră unsistem alcătuit din două bare AB şi BC încărcatecu fore concentrate şidistribuite ca în fig. 7.6.În punctul A avem o încastrare, în B o

articulaie iar în C unreazem. Ne propunem să determinăm care suntreaciunile care apar înpunctele A, B şi C.

Sarcinile distribuitetriunghiular pe bara AB se înlocuiesc, la o treime de

baza triunghiului, cu osarcină concentrată egală cu 3P/2. Sarcinile cu distribuie constantă de

Fig.7.6

Fig.7.7


8/18/2019 Capitol Ul 07

10/33


pe bara BC se înlocuiesc, la distana a de punctul C cu o foră concentrată egală cu 2P. În acest caz, dacă se introduc forele de legătură în încastrarea A, în articulaia B şi în reazemul din C, cele două bare vorfi solicitate la forele exterioare şi de legătură reprezentate în fig. 7.7.

Ecuaiile de echilibru, scrise pentru fiecare dintre cele două bare, vor fi:

02

3;0 =+−−=∑

P X X X B A

0;0 =−+=∑ PY Y Y B A

0232

2

3;0 =⋅+⋅+⋅−⋅−=∑ aY a X aPa

P M

B B A

0;0 =−=∑ P X X B 02;0 =+−−=∑ C B N PY Y

0232;0 =⋅+⋅−⋅−=∑ a N aPaP M C B .

De aici rezultă reaciunile necunoscute:

P N C 2

7=

; PY B 2

3=

; P X B =

; 2

P

X A =

; 2

P

Y A −=

; Pa M A 2=

4. Un corp în formă de paralelipiped dreptunghic este aşezat pe doicilindrii egali. Dacă se cunoaşte coeficientul de frecare la alunecare µ şi

coeficientul de frecare la rostogolire s se cere să se determine condiiile în care acest corp rămâne în echilibru.

Fig.7.8


8/18/2019 Capitol Ul 07

11/33

Sorin VLASE 11

Solu ie. Forele şi momentele care acionează asupra corpului şi a unuicilindru (problema fiind simetrică considerăm numai un singur cilindru)sunt reprezentate în fig.7.8. Dacă se consideră corpul paralelipipedicsuficient de îngust astfel încât să putem considera, în mod idealizat, că greutatea se împarte în două reaciuni egale, se pot scrie ecuaiile deechilibru:

0sin;0 '11 =−−=∑ T T P X α 0cos;0 '11 =−+=∑ α P N N Y

02222

;0 21'

111'

1 =−−−−⋅−⋅=∑ r r C M M h

T h

T L

N L

N M

0sin;0 21 =−+=∑ T GT X α 0cos;0 12 =−−=∑ α G N N Y

∑ =−−+= 0;0 2121 RT RT M M M r r O

0sin;0 '2'

1 =−+=∑ T GT X α 0cos;0 '1

'2 =−−=∑ α G N N Y

∑ =−−+= 0;0'

2'

1'2

'1 RT RT M M M r r O .

Forele de aderenă şi momentele de rostogolire trebuie să îndeplinească condiiile:

111 N T N µ µ ≤≤− '1

'1

'1 N T N µ µ ≤≤−

222 N T N µ µ ≤≤− '2

'2

'2 N T N µ µ ≤≤−

111

sN M sN r

≤≤− '1

'

1

'

1

sN M sN r

≤≤−

222 sN M sN r ≤≤− '2

'2

'2 sN M sN r ≤≤−

5. Un cilindru de rază R se sprijină pe două jumătăi de cilindru deaceeaşi rază R. Între semicilindrii şi planul orizontal există frecare,coefcienii de frecare fiind µ. Centrele celor trei cilindrii formează untriunghi isoscel cu unghiul la bază egal cu 45o. Dacă greutateasemicilindrilor este G să se determine greutatea maximă P pe care poate

să o aibă cilindrul superior astfel încât sistemul să rămână în echilibru.


8/18/2019 Capitol Ul 07

12/33


Solu ie: Pentru cilindrul superior putem scrie ecuaiile de echilibru:

04

sin2;0 1 =−=∑ P N Y π

de unde:2

21 P N =

Pentru cilindrul superior putem scrie ecuaiile de echilibru:

04

sin2;0 1 =−=∑ P N Y π

de unde:

2

21 P N =

Echilibrul după axa x nu oferă nici o informaie întrucât simetriaproblemei ne spune că cele două reaciuni sunt egale.

Pentru semicilindrul inferior avem la echilibru:

∑ =−= 04

cos;0 1π

N F X r

04

sin;0 21 =+−−=∑ N G N Y π

2 N F r µ ≤ de unde:

2

P

F r =

; 22P

G N +=

; )2(2

P

G

P+≤

µ .

Fig.7.9


8/18/2019 Capitol Ul 07

13/33

Sorin VLASE 13

Ultima condiie conduce la:

µ

µ

−≤

1

2 GP

7.2. Sisteme de bare articulate (grinzi cu zăbrele)

7.2.1. Generalităi

O structură de barearticulate este ostructură idealizată,alcătuită din bare,legate între ele prinarticulaii. Frecareadin articulaii seneglijează şi seconsideră că struc-tura este încărcată cu fore numai înarticulaii. În fig.7.10 se prezintă două astfel de structuri, foarte simple: una din bare

Fig.7.11 Fig.7.12

Fig.7.10. Două sisteme foarte simple de

bare articulate


8/18/2019 Capitol Ul 07

14/33


Fig.7.13

dispuse în plan iar cealaltă din bare care formează o structură tridimensională. În primul caz barele sunt legate între ele prin articulaiicilindrice iar în cazul al doilea prin articulaii sferice. În fig.7.11-7.13sunt prezentate câteva structuri alcătuite din bare articulate.

Barele sunt considerate drepte şi cu seciuni transversale dedimensiuni neglijabile. Fiecare dintre aceste bare poate fi supusă la unefort de întindere sau compresiune (fig.7.14). Astfel dacă la unul dincapetele barei ar mai exista o componentă a forei după direciaperpendiculară,atunci pentru cabara să rămână în echilibru, la

celălalt capăt artrebui să acioneze o foră egală şi de sensopus. Dar atunciperechea decomponenteperpendiculare pe bară vor provoca un moment care va roti bara, deci

echilibrul se pierde. Deci, în fiecare bară va exista un efort de traciunesau compresiune care se va manifesta asupra barei şi, conform

Fig. 7.14. Barele sunt solicitate numai axial


8/18/2019 Capitol Ul 07

15/33

Sorin VLASE 15

principiului aciunii şi reaciunii, şi asupra elementelor care faclegătura între bare(asupra bolurilor sauarticulaiilor sfericecare realizează legătura tehnologică dintre bare).În figura 7.12 estereprezentată oarticulaie cilindrică care face legăturadintre două bare ale

unei structuri plane.Este necesar caforele careacionează asupra bolului, care este considerat un punct material, să-şifacă echilibrul. Această observaie va conduce la una din metodele derezolvare a sistemelor de bare articulate şi anume metoda izolăriinodurilor.

În realitate, conexiunile între elemente în structurile reale nu se fac

numai prin articulaii ci sunt şi alte sisteme tehnice care se comportă, din

punct de vedere mecanic, ca şi articulaiile cilindrice, adică capacitateade a prelua momente de încovoiere este zero sau foarte redusă. Spreexemplu, în structura unui pod, barele sunt asamblate cu nituri, prinelemente suplimentare numite gusee sau prin sudură (fig. 7.16).Pentru studiul unui astfel de sistem ar trebui să-l descompunem în părilecomponente, să figurăm forele aplicate şi cele care apar în legăturile

dintre elemente şi să scriem ecuaiile de echilibru pentru fiecare element(bară sau bol).

Fig.7.15

Nituire(schi ă) Sudur ă(schi ă) Nituire(foto)

Fig. 7.16. Asamblarea prin nituri sau sudur ă se comport ă , aproximativ,ca o articula ie cilindrică nu reia momente încovoietoare


8/18/2019 Capitol Ul 07

16/33


Fig 7.19. Denumirea comercială a unor tipuri de structuri de barearticulate des utilizate


8/18/2019 Capitol Ul 07

17/33

Sorin VLASE 17

7.2.2. Metoda izolării nodurilor

Metoda izolării nodurilor se bazează pe observaiile care le-amf ăcut anterior, şi anume că barele sunt întinse saucomprimate, deci pot fi înlocuite cu o foră decompresiune sau întinderecare acionează asuprabolurilor structurii. Deciecuaiile de echilibru trebuiescrise numai pentru bolurile

care determină legăturiledintre elemente şi pe care în

continuare le vom numi noduri. A face echilibrul structurii revine la aface echilibrul fiecărui nod al structurii. Menionăm că într-un nodforele sunt concurente, deci se pot scrie doar două ecuaii de echilibru,reprezentând proieciile după două axe a ecuaiilor de echilibruvectorial. Ecuaiile de momente sunt identic satisf ăcute de foreleconcurente, în punctul de concurenă. Numărul de ecuaii obinut în

acest fel este 2n unde n este numărul de noduri ale structurii (câte două ecuaii pentru fiecare nod).

Necunoscutele problemei sunt eforturile care apar în bare şi forele

de reaciune care apar în legăturile exterioare ale sistemului, care pot fireazeme sau articulaii. Dacă se notează cu b numărul de bare atunci

Fig.7.20. Structur ă legat ă de

exterior prin articula ii

Fig.7.21. Determinabilitatea echilibrului


8/18/2019 Capitol Ul 07

18/33


condiia ca numărul de ecuaii să corespundă cu numărul de necunoscuteeste ca 32 += bn dacă structura este în contact cu spaiul fix printr-oarticulaie şi un reazem (o articulaie introduce două necunoscutecomponente ale forei de reaciune iar un reazem introduce onecunoscută, reaciunea în reazem) şi 42 += bn dacă structura este înlegătură cu spaiul fix prin două articulaii (fiecare articulaie introducedouă necunoscute componente ale forei de legătură). În fig. 7.17structura este legată de sistemul fix printr-o articulaie şi un reazem, decise aplică prima formula care se constată că este verificată identic. Decinumărul de necunoscute este egal cu numărul de ecuaii şi, fiind vorbade un sistem linear, avem de-a face cu o singură soluie. În fig. 7.20structura este legată de spaiul fix prin două articulaii, deci este

aplicabilă a doua formulă, care se constată că este valabilă, deci numărulde necunoscute coincide cu numărul de ecuaii.

Când cele două formule prezentate sunt satisf ăcute, spunem că problema este static determinată. Există însă cazuri în care numărulecuaiilor este mai mic decât numărul necunoscutelor ( 32 +< bn sau

42 +< bn ) (fig.7.21.b). În acest caz spunem că problema este staticnedeterminată şi este nevoie de ipoteze suplimentare pentru a rezolvaproblema (spre exemplu ipoteze privind elasticitatea barelor). Se poate

întâmpla şi cazul în care numărul de ecuaii să fie mai mare decâtnumărul necunoscutelor ( 32 +> bn sau 42 +> bn ). În acest cazecuaiile de echilibru nu se mai pot scrie întrucât structura se mişcă (esteun mecanism)(fig.7.21.c).

Condiiile 32 += bn sau42 += bn sunt necesare dar

nu sunt şi suficiente. Spreexemplu, în fig.7.22 structura

îndeplineşte condiia32 += bn dar structura nu

este static determinată deoarece avem un mecanismlegat de o structură staticnedeterminată.

Metoda izolăriinodurilor constă deci în

înlocuirea barelor cu forelecare apar în ele, izolarea nodurilor şi scrierea ecuaiilor de echilibru

Fig.7.22


8/18/2019 Capitol Ul 07

19/33

Sorin VLASE 19

pentru fiecare nod în parte. Dacă se utilizează teorema solidificării, sepot scrie ecuaiile de echilibru pentru întrega structură şi aşa se potdetermina necunoscutele fore de legătură, care apar în legăturileexterioare ale structurii cu spaiul fix. Acest lucru se poate face numai încazul în care legăturile sunt asigurate de o articulaie şi un reazem cândnumărul de necunoscute este trei, întrucât dispunem doar de trei ecuaiide echilibru, două reprezentând proieciile ecuaiilor vectoriale deechilibru după cele două axe iar a treia ecuaia de momente.

Dacă legăturile sunt asigurate prin două articulaii,ecuaiile deechilibru exterior nu mai sunt suficiente şi trebuie f ăcut echilibrulfiecărui nod.

Exemple:E1. Vom efectuacalculul pentru bara dinfig. 7.17 analizată anterior. Numărul denoduri este n=5,numărul de bare esteb=7 , iar legăturile

exterioare (un reazemşi o articulaie)introduc 3 necunoscuteexterioare. Relaia de determinabilitate 32 += bn este satisf ăcută, decinumărul de ecuaii va coincide cu numărul de necunoscute. Secalculează reaciunile exterioare, scriindu-se ecuaiile de echilibrupentru întrega structură:

∑ =−= 0;0 2 A X P X 0;0 31 =−−+=∑ PPY N Y A B

012463;0 231 =⋅+⋅−⋅−⋅−=∑ a N aPaPaP M B A

Rezultă:

N N

N Y N X

B

A A

10,12

;90,7;10

=

== Fig.7.24.a

Fig.7.23


8/18/2019 Capitol Ul 07

20/33


Pentru nodul 1 (fig.7.24.a) putem scrie ecuaiile de echilibru:

0sin;0

0cos;0

1

21

=+=

=−+=

∑∑

A

A

Y S Y

X S S X

α

α

cu soluia: N S N S 95,15;95,9 21 =−= . Rezultă că efortul în bara 1 este de compresiune (inversdecât l-am pus pe figură) iar efortul în bara 2 estede întindere (direcia din figură corespunde).Avem:

6,05

3cos;8,0

5

4sin ==== α α

Pentru nodul 2 se poate scrie(fig.7.21.b):

∑ =++−= 0coscos;0 431 S S S X α α

0sinsin;0 131 =−−−=∑ PS S Y α α

cu soluia: N S N S 20,8;70,3 43 −== . Efortul în bara 3 este de întindere iar în bara 4 decompresiune.Pentru nodul 3 avem (fig.7.24.c):

0cos

cos;0

65

32

=++

+−−=∑S S

S S X

α

α

0sinsin;0 353 =−+=∑ PS S Y α α cu soluia: ;15,155 N S = N S 10,96 = .Eforturile în barele 5 şi 6 sunt de întindere.

Pentru nodul 4 se poate scrie (fig.7.24.d):

∑ =++−−=

0coscos;0 2754 PS S S X α α 0sinsin;0 75 =−−=∑ α α S S Y

Fig.7.24.c

Fig.7.24.b

Fig.7.24.d Fig.7.24.e


8/18/2019 Capitol Ul 07

21/33

Sorin VLASE 21

Din prima ecuaie rezultă N S 15,157 −= adică efortul în bara 7 este decompresiune. A doua ecuaie cât şi ecuaiile de echilibru scrise pentrunodul 5 trebuie să fie identic satisf ăcute, deci ele reprezintă o verificarea corectitudinii calculelor efectuate.

E2. Se dă structura din fig.7.25. Să se determine care sunt eforturile în

barele structurii. Se dau forele: ;101 N P = ;202 N P = ;103 N P = N P 204 = , iar a= 0,1m.

Solu ie: Structura este prinsă de spaiul fix prin două articulaii. Acesteaintroduc patru necunoscute şi, întrucât dispunem doar de trei ecuaii deechilibru, nu se pot determina prin scrierea ecuaiilor pentru echilibrulexterior. Se vor scrie, în acest caz, ecuaiile de echilibru pentru fiecarenod.

Pentru nodul 1:

02

2;0 421 =−−−=∑ PS S X

02

2;0 32 =−−=∑ PS Y

de unde:

14,14232 −=−= PS N ,28,8)(2 421 −=+−= PS S N.

Fig.7.25. O structur ă de bare articulate

Fig.7.26.a


8/18/2019 Capitol Ul 07

22/33


Ambele eforturi în bare sunt negative, deci vor avea sensul invers decâteste figurat, adică sunt eforturi de compresiune a barelor, rezultat normaldacă observăm modul de aciune al forelor P3 şi P4.

Pentru nodul 2:

0;0 61 =−=∑ S S X 0;0 32 =−−=∑ S PY

Rezultă: N PS N S S 20;28,8 2316 −=−=−== .Şi eforturile S6 şi S3 sunt de compresiune.

Pentru nodul 3:0

2

2

2

2;0 452 =−−=∑ S S S X

02

2

2

2;0 532 =++=∑ S S S Y

Se obine: N PPS 42,42)(414,1 325 =+⋅= ;

N S S S 56,56

2

2)( 524 −=−=

Pentru nodul 5:

0;0 104 =−=∑ S S X

0;0 19 =−=∑ PS Y Se obine: N S S 56,56410 −== ; N PS 1019 ==

Pentru nodul 4:

02

2

2

2;0 7856 =−−+=∑ S S S S X

02

2

2

2;0 895 =−−−=∑ S S S Y

Rezultă:

N S N S 70,7170,70 78 =−=

Fig.7.26.b

Fig.7.26.c

Fig.7.26.e

Fig.7.26.d


8/18/2019 Capitol Ul 07

23/33

Sorin VLASE 23

Pentru nodul 7:

022

;0

14810 =−+

=∑

S S S

X

022

;0

138 =+

=∑

S S

Y

Rezultă: N S 99,4913 = , N S 99,914 −=

În sfîrşit, pentru ultimul nod (nodul 6) se obine:

02

2;0 12117 =−−=∑ S S S X

022;0 1312 =−−=∑ S S Y

68,12170,70 1112 =−= S N S N.

În fig.7.27 sunt prezentate eforturile care apar în barele structurii.Barele comprimate sunt mai închise la culoare, cele întinse sunt figuratemai deschis.

Fig.7.26.f

Fig.7.26.g

Fig.7.27


8/18/2019 Capitol Ul 07

24/33


7.2.3. Metoda seciunilor(Ritter)

Metoda seciunilor se bazează pe teorema echilibrului părilor. Cuajutorul ei se pot determina eforturile care apar numai în anumite bare.În cazul problemelor plane, metoda constă în identificarea unei seciuni,care să împartă structura în două, astfel încât seciunea să intersectezenumai trei bare în care eforturile sunt necunoscute. După această operaie, dacă se face echilibrul uneia (oricare) dintre cele două seciuni,se obin trei ecuaii de echilibru din care se pot determina cele treieforturi necunoscute. Pentru scrierea ecuaiilor de echilibru, din celedouă seciuni, se alege aceea pentru care ecuaiile pot fi scrise cât maisimplu. Dacă este necesar şi posibil, operaia se poate repeta pentru a

determina alte trei eforturi. Metoda este prezentată prin exemple. Astfel,pentru structura din fig. 7.23, se pot alege două seciuni, ca în figura7.28. În cazul primei seciuni, după scrierea ecuaiilor de echilibru se potdetermina S 4 , S 5 , S 6 . Pentru seciunea a doua S 5 este deja determinat şi sepot calcula S 1 , S 3 , S 7 .

Scriem ecuaiile de echilibru pentru partea din stânga a structurii, încazul primei seciuni:

0cos;0 465 =−++=∑ A X S S S X α 0sin;0 315 =+−−=∑ AY PPS Y α

Fig.7.28


8/18/2019 Capitol Ul 07

25/33

Sorin VLASE 25

∑ =⋅−⋅+−−= 0sin2

3

2;0 354 aPaS

aS

aP M

A α

sau:106,0

465

++⋅ S S S 10,1290,71558,0 5 =−+=⋅ S

0158,02

3

2

15 54 =−⋅+−− S S

de unde: N S 20,84 −= ; N S N S 10,9;15,15 65 == . Pentru sectiunea adoua ecuaiile de echilibru se scriu sub forma:

0coscoscoscos;0 27531 =++−+−=∑ PS S S S X α α α α 0sinsinsinsin;0 17531 =−−−−−=∑ PS S S S Y α α α α ∑ =⋅−⋅−= 0sinsin;0 752 aS aS M α α

de unde, după înlocuirea mărimilor cunoscute, se obine: N S 95,91 = ; N S S 15,15;70,3 73 == .

Pentru structura din fig.7.29 am f ăcut mai multe seciuni, pentru adetermina succesiv triplete de eforturi.Pentru seciunea I ecuaiile de echilibru sunt:

02

2;0 4141211 =−−−−=∑ PS S S X

02

2;0 32112 =−−−−=∑ PPPS Y

032;0 32146 =⋅−⋅−−=∑ aPaPaS M

de unde se obin, prin calcul, S 11 , S 12 , S 14.Pentru seciunea II vom avea ecuaiile de echilibru:

02

2;0 41087 =−−−−=∑ PS S S X

0

2

2;0 3218 =−−−−=∑ PPPS Y

02;0 32104 =⋅−⋅−−=∑ aPaPaS M


8/18/2019 Capitol Ul 07

26/33


de unde se obin S 7 ,S 8 , S 10. În sfârşit, dacă se scriu ecuaiile de echilibrupentru seciunea III, rezultă:

0

2

2;0 4456 =−−−−=∑ PS S S X

02

2;0 325 =−−=∑ PPS Y

0;0 342 =⋅−−=∑ aPaS M

putându-se astfel calcula S 4 , S 5 ,S 6 . Este posibil acum de a considera şialte seciuni pentru a determina eforturile rămase necunoscute.

Fig.7.29


8/18/2019 Capitol Ul 07

27/33

Sorin VLASE 27

7.2.4. Structuri spaiale de bare articulate

O structură care nu se găseşte într-un plan poartă numele destructură spaială. Analiza unei astfel de structuri se complică datorită faptului că, în cazul unui nod trebuie să scriem trei ecuaii de echilibru.În acest fel numărul de ecuaii de rezolvat şi numărul de necunoscute dedeterminat se măreşte. Metoda izolării nodurilor se poate aplica cusucces şi în cazul unei astfel de structuri. În general, pentru structurisimple, se poate găsi un nod în care să intervină numai trei bare cueforturi necunoscute. În acest caz se pot scrie ecuaiile de echilibru şi sepot determina cele trei eforturi necunoscute. Problema se poate continuaapoi până la rezolvarea completă a structurii. Pentru structuri spaiale se

poate folosi cu succes şi metoda seciunilor, izolându-se bare pentru carese pot determina eforturile. În cele ce urmează vor fi prezentate câtevaexemple de calcul a unor structuri cu bare articulate spaiale.

Exemplul 1. Seconsideră structurade bare articulatedin fig.7.30. În

acest caz avem dea face cu structură foarte simplă, încare cele trei bare în care eforturilesunt necunoscute,sunt concurente.Din figură rezută

că putem scriepentru cele treifore expresiile:

109

310 jk S

AO

DO ADS

AO

AOS eS S

OOOOOO

r r

r

r −−=

+===

127

3310 ik S

AB

DB ADS

AB

ABS eS S

B B B B B B

r r

r

r −−=

+===

Fig.7.30


8/18/2019 Capitol Ul 07

28/33


109

310 ik S

AC

DC ADS

AC

AC S eS S

C C C C C C

r r

r

r +−=

+===

Pentru fora F

r

, dacă se analizează desenul, se poate scrie:

7

236 k jiF eF F

F

++==

r

r

Pentru cele patru fore concurente în A se pot scrie ecuaiile de echilibru,după cele trei axe ale unui sistem de coordonate, sub forma:

0

127

33

7

6=−

BS F

0109

3

109

3

7

3=+−

C OS S F

0109

10

127

10

109

10

7

2=−−−

C BOS S S F

sau, inând sema de valoarea lui F:

180046108,0 =⋅ BS 90028735,028735,0 =⋅−⋅

C OS S

60095783,088735,095783,0 =⋅+⋅+⋅C BO

S S S .

Rezultă: N S

B88,3903=

şi

20,2990

07,3132

−=+

=−

C O

C O

S S

S S

de unde: N S N S

C O13,3061;93,70 −==

Exemplul 2. Se consideră structura din fig. 7.31, alcătuită din şase barearticulate, încărcată la noduri cu forele F 1,... F 6 cu valorile date pefigură. Să se determine eforturile care apar în cele şase bare.


8/18/2019 Capitol Ul 07

29/33

Sorin VLASE 29

Solu ie: Se vor scrie succesiv ecuaiile de echilibru pentru nodurile C şiE. Mai dificil de analizat este efortul care apare în bara BE. Versorulacestei bare este:

k jii jk

e EB

r r r

r r r

r

625,0269,0733,05,775,24,6

5,775,24,6222 −+=

++

++−

= .

În acest caz efortul din bara BE este:

k S jS iS i jk

S eS S EB EB EB EB EB EB EB

r r r

r r r

r

r

625,0269,0733,05,775,24,6

5,775,24,6222

−+=

++

++−==

Fig.7.31

Pentru nodul C ecuaiile de echilibru sunt:

0;0 1 =+−=∑ CE S F X 0sinsin;0 2 =−−=∑ α α CB AC S S F Y

0coscos;0 3 =+−−=∑ α α CB AC S S F Z

;394785,0tan1

tansin;4297,04,6

75,2tan 2 =+=== α

α α α


8/18/2019 Capitol Ul 07

30/33


91877,0tan1

1cos

2 =

+

=

α α

Din prima ecuaie rezultă:;1401 N F S CE ==

iar celelalte două vor deveni:

98,189=+CB AC

S S

96,97=+−CB AC

S S de unde:

N S N S AC CB 01,46;97,143 ==

Pentru nodul E se poate scrie:0;0 5 =−+=∑ EBxCE S F S X

0sin

sin;0 4=+−

−−=∑ EBy DE

EF

S S

S F Y

α

α

0cos

cos;0 6

=++

++−=∑ EBz DE

EF

S S

S F Z

α

α

cu soluia: N S EB

71,354= ; ;18,222 N S EF

= N S DE

76471,51−= Dacă barele cu eforturi de compresiune şi cele de întindere se figurează cu culori diferite se obine fig. 7.32, în care se indică barele comprimate

cu culoare mai închisă iar barele întinse cu oculoare deschisă.

August Ritter (1826-1908) a fost, din 1856, profesorla Scoala Politehnică din Hanovra. Din 1870 semută la Scoala superioară din Aachen ca profesor deMatematici pentru ingineri şi Mecanică. Numele luieste atribuit metodei seciunilor. Interesul său s-amanifestat însă şi în alte domenii ale fizicii. Ritter afost şeful catedrei de Mecanică din Aachen până în1899. Continuatorul lui la catedră, din 1900, a fost

cunoscutul fizician Arnold Sommerfeld.

Fig.7.32

.

Fig.7.33. August Ritter


8/18/2019 Capitol Ul 07

31/33

Sorin VLASE 31

Exemplul 3: pentru podul din figură, dacă deschiderea dintre două grinziverticale este de a = 10 m, iar în mijlocul podului se consideră unautocamion de 20 to, să se determine solicitările grinzilor când 50 % dingreutate se consideră concentrată în centrul podului iar 25% + 25% dingreutate în cele două articulaii adiacente centrului.

Fig.7.34 În fig.7.35 este prezentată o

schemă a unei jumatăi simetricedin structură, unde P = 0,125 F, Ffiind greutatea autocamionului.Neglijăm greutăile grinzilor, care în realitate pot fi destul de însemnate ca să conteze înobinerea rezultatului.

Neavând solicitare după

direcia orizontală, avem doar două ecuaii echilibru:PY N Y B A 4;0 =+=∑

04322;0 =⋅+⋅−⋅−⋅−=∑ aY aPaPaP M B A Rezultă:

P N PY A B

2;2 == .Dacă se numerotează nodurile şi barele şi se aplică metoda izolăriinodurilor, se obin ecuaiile de echilibru scrise pentru fiecare nod în

parte:Nodul 1:

Fig.7.35


8/18/2019 Capitol Ul 07

32/33


Fig.7.36

;02

2;0 21 =+=∑ S S X

;02

2;0 2 =+=∑ S N Y A

Rezultă: PS PP N S A

2;8284,2222 12 =−=−=−= .

Nodul 2: ;0;0 41 =+−=∑ S S X ;0;0 3 =−=∑ PS Y

Se obine: PS PS 2; 43 == Nodul 3:

;02

2

2

2;0 652 =++−=∑ S S S X

;022

22;0 532 =−−−=∑ S S S Y

PS PPS 3;414,12 65 −=== Nodul 4:

;0;0 86 =+−=∑ S S X ;0;0 7 ==∑ S Y PS S S 3;0 687 −===

Nodul 5:


8/18/2019 Capitol Ul 07

33/33

Sorin VLASE 33

;02

2

2

2;0 10954 =++−−=∑ S S S S X

;022

2

2

2;0 795 =−++=∑ PS S S Y

PS PS 2;2 109 == Nodul 6:

;0;0 1210 =+−=∑ S S X ;0;0 11 =−=∑ PS Y

PS PS 2; 1211 == Nodul 7:

;022

22;0 1398 =+−−=∑ S S S X

de unde: ;8284,22213 PPS −=−= Verificare. Ecuaia de proiecii după axa y si ecuaiile de echilibru scrisepentru nodul 8 constituie ecuaii de verificare a calculelor:

;02

2

2

2;0 13119 =−−−=∑ S S S Y sau:

;02222

222 =+−− PPP

Nodul 8:

;02

2222;0

2

2;0 1312 =+−=−−=∑ PPS S X

022

222;0

2

2;0 13 =+−=+=∑ PPY S Y B

În fig.7.37 barele comprimate sunt reprezentate în culoare deschisă iarbarele întinse cu culoare închisă.

Fig.7.37

Capitol Ul 07

Documents