Capitol Ul 08

8/18/2019 Capitol Ul 08

1/48

Sorin VLASE 1

Capitolul 8

APLICAII ALE STATICII ÎN TEHNICĂ

Cunoştine empirice de statică au fost stăpânite încă de la începuturileistoriei când au apărut primele construcii, care au necesitat transportulşi manevrarea greutăilor. Fără a dispune de o viziune unitară şi o teorieasupra staticii, diverse civilizaii în epoci diferite, au avut realizări careimpuneau cunoaşterea temenică a unor maşini simple ca pârghia,scripetele, pana, planul înclinat, şurubul. Cu câteva noiuni empiricebine stăpânite prin intermediul experienei au fost realizate construcii

impresionante. În fig.8.1 -8.9 sunt prezentate câteva dintre acesterealizări deosebite ale ingeniozităii şi determinării umane.

Fig.8.1. Piramide în Egipt

PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com

http://www.docudesk.com/http://www.docudesk.com/

8/18/2019 Capitol Ul 08

2/48

2 MECANICĂ. STATICA

Fig.8.2. Partenonul

8.3. Podul lui Traian (reconstituire)


8/18/2019 Capitol Ul 08

3/48

Sorin VLASE 3

I. Maşini simpleMaşinile simple constituie primele aplicaii tehnice ale staticii,majoritatea cunoscute din antichitate şi au determinat dezvoltareacunoştiinelor de mecanică. În cele ce urmează vor fi prezentate acestemaşini simple.

8.1. PârghiaPârghia a reprezentat una din primele maşini simple utilizate în practică.Ea a fascinat gândirea antică prin faptul că, cu o greutate mai mică, seputea ridica o greutate mai mare şi a permis obinerea primelor noiuni şiprincipii de mecanică. Până în evul mediu s-a încercat, şi s-a obinut,explicarea tuturor celorlalte maşini simple utilizând principiul pârghiei.

a.

d.Fig.8.4. Exemple de pârghii de ordinul întâi

c.

e.

b.


8/18/2019 Capitol Ul 08

4/48


Pârghia este un corp rigid cu un punct fix (sau o axă fixă) asupra căruiaacionează o fora motoare P şi o fora rezistentă Q.Suporii celor două fore se găsesc într-un plan normal pe axa de rotaiea corpului şi nu se întâlnesc pe această axă. Clasificarea pârghiilor seface după poziia relativă a punctului fix O faă de forele P şi Q .a) Pârghiile de ordinul întâi (punctul fix între P şi Q ) (în fig.8.4 suntprezentate câteva exemple de pârghii deordinul întâi).Dacă p şi q sunt braele forelor P şiQ în raport cu punctul O (fig.8.5),atunci ecuaia de momente faă de O

dă:

0=−QqPp de unde:

Q p

qP = .

Dacă q < p rezultă P < Q, adică pârghia economiseşte fora. Estecazul în general utilizat. Când p =q avem P = Q (cazul balanelor cubrae egale).

Fig.8.6. Pârghii de ordinul al doilea

Fig.8.5. Pârghia de

ordinul întâi

a.

c.

b.


8/18/2019 Capitol Ul 08

5/48

Sorin VLASE 5

b) Pârghiile de ordinul al doileaÎn fig.8.6 sunt date câteva exemple

de pârgii de ordinul al doilea: roaba,cleştele sau laba piciorului. În acest cazpunctul fix se găseşte de o parte a forelorP şi Q cu p > q (fig.8.7).Din ecuaia de momente (fig.8.7) rezultă:

QQ p

qP

8/18/2019 Capitol Ul 08

6/48


Pentru acest tip de pârghii punctul fix se găseşte de o parte a forelor P şi Q cu p=

deci nu economisesc fora motoare. Seutilizează la unele mecanisme (spreexemplu la maşinile de cusut cu acionareprin picior, pensetă, mandubula umană).

Cele trei tipuri de pârghii analizatese regăsesc şi în arhitectura ansambluluimuşchi-schelet uman aşa cum este arătat în fig.8.10. De fapt mişcareacorpului uman este asigurată de numeroşi muşchi care acionează asupraoaselor scheletului ca o foră activă care permite învingerea rezisteneimediului şi mobilitatea.

Fig.8.10. R – reazem; E – for a activă; R – for a rezistent ă

Efectul frecă rii din lagă r. Dacă se ine seama de frecarea din lagăre,ecuaia de momente, pentru pârghia de ordinul întâi devine (fig.8.11):

0=−−

Nr QqPp µ unde:

Fig.8.9. Pârghia de

ordinul al treilea


8/18/2019 Capitol Ul 08

7/48

Sorin VLASE 7

α cos222 PQQP N ++= .

Rezultă:

( ) 22222 )cos2( r PQQPQqPp µ α ++=−

Dacă se ridică la pătrat primul termenşi se fac grupările după puterile lui Pse va obine:

0)()cos(2)( 2222222222 =−+−−− r qQr pqPQr pP µ α µ µ

de unde soluia care convine la acionarea pârghiei este cea cu semnulplus:

( ) ( )( )Q

r p

r qr pr pqr pqP

222

22222222222 cos

µ

µ µ µ α µ

−

−−−−+−=

Pentru celelalte două tipuri de pârghii calculul este analog.

8.2. Planul înclinatServeşte la

ridicarea şi coborâreacorpurilor în scopul dea utiliza o foră maimică pentru a puteamanevra o greutate mai

mare. Dacă pentru aridica greutatea Q peverticală, cu vitezaconstantă, este necesară o foră P=Q , în cazul în care îl ridicăm pe unplan înclinat,neglijându-se frecările, fora necesară este QQP

8/18/2019 Capitol Ul 08

8/48


0cos

0sin

=−

=−−

α

µ α

Q N

N QP

de unde:

ϕ

ϕ α

α ϕ α

α µ α

cos

)sin(

)costan(sin

)cos(sin

+=

=+=

=+=

Q

Q

QP

Frecarea face deci ca fora P să crească (se observă că

α ϕ ϕ α sin

cos)sin( QQ >+ ). Pentru ca planul să fie util trebuie ca P

8/18/2019 Capitol Ul 08

9/48

Sorin VLASE 9

Randamentul planului înclinat este raportul dintre lucrul mecanic util(pentru a ridica greutatea la înalimea h) hQ L

u ⋅= şi lucrul mecanic

consumatC

L . Deci:

α µ

α α µ α

η ctgh

Q

hQ L L

c

u

+=

⋅+

⋅==

1 1

sin)cos(sin

.

Condiia de autoblocare a corpului pe planul înclinat (deci să rămână fix

dacă asupra lui nu acionează P) este dată de relaiile de echilibru:

0cos

sin

=−

<

α

µ α

Q N

N Q

Rezultă: ϕ µ α tantan =< ϕ α < .

În cazul când fora P nu acionează paralel cu planul, ci face unghiul β cu acesta, rezultă:

)cos(-

)sin(

ϕ β

ϕ α

+

+= QP .

Pentru a economisi fora trebuie ca: P < Q , deci:

QQ <+

+

)cos(-

)sin(

ϕ β

ϕ α

Fig.8.15. Echilibrul pe planul înclinat, dacă for a de trac iune

ace un un hi cu lanul


8/18/2019 Capitol Ul 08

10/48


)2

sin()cos(-)sin( ϕ β π

ϕ β ϕ α −+=+

8/18/2019 Capitol Ul 08

11/48

Sorin VLASE 11

dar şi pentru a schimba direcia de aciune a forei. În general seciuneaprin pană este un triunghi isocel, unghiul f ăcut de cele două fee fiindegal cu 2α (fig.8.18).

Apasând cu fora P asupra penei, corpurile A şi B vor fi împinse cu ofora Q . În general pana realizează o multiplicare a forei P de caredispunem pentru a învinge o foră mare Q (superioară lui P ). În cazul în care nu avem frecare, ecuaiile de echilibru scrise pentru pană şi unuldin corpurile asupra căruia acionăm (din cauza simetriei se poateanaliza un singur corp) vor fi:

pentru pană:0sin2;0 =−=∑ P N Y α

pentru corpul A:0cos2;0 =−=∑ Q N X α .

Rezultă imediat:

α

α

α QtgQP 2

cos

sin2 == .

Dacă α este mic, fora necesară P va fi mică pentru o foră Q impusă şi va reprezenta o fraciune tg2 din Q .

În cazul în care avem frecare, sensul forei de frecare va depinde detendina de mişcare a penei. Dacă, de exemplu, fora P este suficient demare pentru a provoca deplasarea corpurilor A şi B , atunci sensulforelor de frecare este reprezentat în fig. 8.18 iar ecuaiile de echilibru

vor fi:

Fig.8.18.


8/18/2019 Capitol Ul 08

12/48


pentru pană:

0cos2sin2;0 =−+=∑ P N N Y α µ α

pentru corpul A:

0sincos;0 =−−=∑ Q N N X α µ α

Se obine:

)tan(2)cos(

)sin(2

sincos

cossin2 ϕ α

ϕ α

ϕ α

α µ α

α µ α +=

+

+=

−

+= QQQP .

Din această relaierezultă că pentruun unghi

2

π ϕ α =+

indiferent cât demare va fi fora de

apăsare P, nu vareuşi să clintească corpurile A şi B (sistemul se blochează). Menionăm că P trebuie să fie inferioară sau cel mult egală cu valoarea calculată pentru a aveaechilibru. În cazul în care se scoate pana, apasând cu fora Q (fig.8.19), scriind în mod analog ecuaiile de echilibru, fora P necesară pentru meninerea echilibrului limită este:

)tan(2 ϕ α −= QP

(în ecuaiile anterioare se schimbă sensul forei de frecare). Fora P vatrebui să fie superioară sau cel puin egală cu valoarea obinută. Pentruca pana să rămână autofixată după batere, trebuie ca P să fie nulă saunegativă (trebuie să tragem de pană pentru a o scoate), deci:

ϕ α <

Fig.8.19. Sensul for elor de frecare la

dezbaterea penei


8/18/2019 Capitol Ul 08

13/48

Sorin VLASE 13

Cele două relaii pe care le-am obinut pentru fora P şi consideraiilepe care le-am f ăcut, ne duc la concluzia că pentru o fora Q dată, foraP poate fi cuprinsă în următorul interval de valori pentru a asiguraechilibrul sistemului:

)tan(2)tan(2 ϕ α ϕ α +≤≤− QPQ .

Condiia ca la baterea penei foraP să fie multiplicată este: P < Q,deci QQ

8/18/2019 Capitol Ul 08

14/48


( ) ( ) Q N N =∆−∆ ∑∑ α µ α sincos

iar ecuaia de momente faă de axa de rotaie dă:

r N N Pl M α µ α cossin ∑∑ ∆+∆==

S-a notat cu r raza mediea şurubului. Dacă dinprima ecuaie se scoate∑∆ N rezultă, după

grupări şi calcule simple,momentul necesar pentrua realiza fora de apăsareQ:

)tan(

sin-cos

cossin

ϕ α

α µ α

α

+=

=+

=

Qr

Qr M

La deşurubare, forele de frecare î şi schimbă sensul şi momentul Mnecesar pentru ca şurubul să se mişte uniform sub aciunea forei Q

este: )tan( ϕ α −= Qr M

a) b) c)

Fig.8.21. Ş urubul utilizat pentru presă(a), cric(b), menghină (c)

Fig.8.22.


8/18/2019 Capitol Ul 08

15/48

Sorin VLASE 15

Condiia de echilibru pentru şurub este:

)tan()tan( ϕ α ϕ α +≤≤− Qr M Qr

Condiia de autofixare a şurubului este ca, lăsat liber (P = 0), el să rămână în echilibru, adică oricât de mare ar fi, fora de apăsare Q să nupoată să-l scoată afară din piuliă, deci:

0)tan( ≤−ϕ α Qr de unde:

ϕ α ≤ . Se mai observă că dacă 2

π ϕ α =+ atunci indiferent cât de mare

va fi momentul cu care se acioneaza, şurubul nu va putea fi introdus înpiuliă.

Se observă că mişcarea şurubului este echivalentă cu mişcareaunui corp pe un plan înclinat.

8.5. Scripei8.5.a. TroliulTroliul reprezintă o maşină utilizată la ridicarea greutăilor. Dacă se

neglijează frecările, ecuaia de momente faă de axa de rotaie va da:

0=−Qr PR

Fig.8.23. Troliul Fig.8.24. Troliu cu rază

variabilă


8/18/2019 Capitol Ul 08

16/48


de unde: Q R

r QP

8/18/2019 Capitol Ul 08

17/48

Sorin VLASE 17

sau:0)()cos(2)( 2222222222 ≤−+−−− r RQr RPQr RP µ α µ

Inegalitatea este îndeplinită dacă P este cuprins între valorile:

21 PPP ≤≤ unde:

)(

)()cos()cos(222

22222222222

1r R

r Rr Rr RP

µ

µ α µ α µ

−

−−+−+=

şi:

)()()cos()cos(

222

22222222222

2r R

r Rr Rr RP

µ µ α µ α µ

−

−−+++=

Dacă P=P1 atunci tendina de mişcare este în sens antiorar (Q tinde să rotească scripete trăgând de P) iar dacă P=P2 atuncitendina de mişcare este în sens orar (Ptinde să rotească scripete trăgând de Q).

Dacă forele P şi Q sunt paralelerezultatele se simplifică: QP N += iarinegalitatea care exprimă echilibrul devine:

r QP Nr r F

RQP Nr r QP

f )(

)()(

+=≤=

=−≤=+−

µ µ

µ µ

Rezultă că, pentru echilibru, P trebuie să segăsească în intervalul:

)(

)(

)(

)(

r R

r RQP

r R

r RQ

µ

µ

µ

µ

+

−≥≥

−

+

Dacă se ia în considerare şi rigiditatea firului atunci relaiile se vorschimba. Această rigiditate se manifestă prin aceea că firul trebuie să-şi

păstreze forma şi anume la înf ăşurare se va îndepărta puin de scripeteiar la desf ăşurare va căuta să-şi păstreze forma de cerc. Se va considera

Fig.8.25. Scripetele fix


8/18/2019 Capitol Ul 08

18/48


cazul mai simplu când fora activă şi cea rezistentă sunt paralele, cazul în care ele fac un unghi putând fi tratat analog.Ecuaiile de echilibru vor fi:

QP N += si:

0)()( 12 =−−++− r F e RPe RQ f

unde: N F f µ ≤ .

Rezultă:

r QP Nr e RPe RQ )()()( 12 +=≤−++−

µ µ sau:

)()( 21 r e RQr e RP µ µ ++≤−− deci:

+++≅

≅

−−

+++=

−−

++≤

R

r eeQ

r e R

r eeQ

r e R

r e RQP

µ

µ

µ

µ

µ

21

)(

21

)(

)(

21

1

21

1

2

Dacă se notează:

12

1;21 ≥++=+

= R

r k

R

ee µ λ λ

rezultă: P = k Q > Q.

Avem: 2)06,002,0( d −=λ pentru funii de cânepă şi:2

)09,006,0( d −=λ pentru cabluri de oel.

b) Scripetele mobil (fig.8.27) are rolul de a demultiplica fora. Ecuaiade momente scrisă în punctul A va da:

02 =−QR RP de unde:

2

QP =

Fig.8.26.


8/18/2019 Capitol Ul 08

19/48

Sorin VLASE 19

în absena frecărilor. Dacă se utilizează un scripete ca în fig. 8.28, încare cele două fire fac un unghi α, deoarece S = P ecuaia deechilibru dă:

02cos2 =− α

PQ

deci:

2

2

cos2

QQP >=

α

Deci fora minimă se obine când α = 0 , adică forele sunt paralele.Dacă se va ine seama şi de frecări, atunci se poate scrie: P = k S şi:

02

cos2

cos =−+ QPS α α

deci:

Fig.8.27. Scripetele mobil Fig.8.28. Scripetele mobil la

care firele fac un unghi α


8/18/2019 Capitol Ul 08

20/48


2cos)1( α

+

=

k

kQP

8.5.c. Sisteme de scripei

Sistemele de scripei sunt utilizate pentru a ridica şi transportagreutăi mari. Ele sunt utilizate încă din antichitate, alături de alte maşiniutilizate pentru economisirea forei, pentru ridicarea şi transportareagreutăilor foarte mari. Vor fi prezentate câteva sisteme de scripei culargă utilizare în tehnică. În fig.8.29-8.31 sunt prezentate ruinele de laBaalbek şi modul în care greutăile de până la 38 to au fost transportatepe locul lor în monument.

Fig.8.29.Blocuri de piatr ă uria şe, din epoca romană(Baalbek). Pentru

compara ie pe blocul din dreapta este a şezat un om.

Fig.8.30. Baalbek, t ăierea, transportarea şi punerea blocurilor trilithonului

pe locul lor(schemă după J.P. Adam)


8/18/2019 Capitol Ul 08

21/48

Sorin VLASE 21

Fig.8.31. Baalbek, punerea blocurilor trilithonului pe locul lor(după J.P. Adam). 1. Masivul funda iilor;2.Ş an de funda ie;3. Sol antic; 4. Rambleu

pentru şantier; 5. Cabestan pentru 32 de oameni şi grapa de ancorare.

8.5.d. Palanul factorial

Este alcătuit dintr-un sistem de scripei legai de două mufle A şi B.Una din mufle este fixă, iar cealaltă, mobilă, susine greutatea.Prezentăm două variante constructive ale palanului factorial, pentruambele calculul fiind acelaşi (fig.8.32 şi fig.8.33).Dacă tragem cu fora P şi mufla de jos urcă, vom avea relaiile:

;;; 32211 kT T kT T kT P ===


8/18/2019 Capitol Ul 08

22/48


.;; 655443 kT T kT T kT T ===

cu 1>k . Rezultă tensiunile din fire:

33221;;

k

PT

k

PT

k

PT ===

665544;;

k

PT

k

PT

k

PT ===

Mufla de jos trebuie trebuie să se afle în echilibru, ceea ce conduce larelaia:

=+++++= 654321 T T T T T T Q

Fig.8.32. PalanulFig.8.33. Variant ă de

palan cu mufle


8/18/2019 Capitol Ul 08

23/48

Sorin VLASE 23

=

+++++=

5432

111111

k k k k k k

P

)1(

)1(1

1

11

6

66

−

−=

−

−

=k k

k P

k

k

k

P

şi:

)1(

)1(6

6

−

−=

k

k k QP

Dacă, în general, avem n scripei pe o muflă, se obine:

)1(

)1(2

2

−

−=

n

n

k

k k QP

la urcare şi:

( )k k k

Q

k

k k QPn

n

n

1

1

)1

1

(

)11

(1

2

2

2

−

−=

−

−

=

la coborâre. Pentru a se obine ecuaiile de echilibru la coborâre se înlocuieşte k cu 1/k deoarece se schimbă sensul de mişcare al corpurilor.Pentru echilibru sistemului trebuie să avem îndeplinită relaia:

( )k k k

QPk

k k Q

nn

n

1

1

)1(

)1(22

2

−

−≥≥

−

−

Dacă se ia k = 1,2 se obine: 0,3007 Q > P > 0,0829 Q iar dacă se ia k= 1,1 rezultă: 0,2296 Q > P > 0,1178 Q . S-a considerat n=3.

Dacă se neglijează frecările (k=1) se obine:

n

QP

2=

Dacă n = 3 se obine în acest caz P=0,1667 Q, iar dacă n = 2 se obineP=0,25 Q. În fig. 8.33bis.a este prezentată o variantă constructivă


8/18/2019 Capitol Ul 08

24/48


folosită în navigaie de foarte multă vreme iar în fig. 8.33bis.b şi c, variante moderne.

a. b. c.Fig. 8.33bis

8.5.e. Palanul exponenial

Dacă seanalizează fig.8.34.a se potscrie, la urcarealui Q, dacă seconsideră şifrecările, relaiile:

665

65443543

2213211

)1(

)1(

)1(

T k T T Q

kT T T k T T T kT T

k T T T T kT T kT P

+=+=

=+=+==

+=+===

Din aceste relaiiva rezulta simplu:

;

)1(

;;

23

221

k

k P

T

k

PT

k

PT

+

=

==

a. b.

Fig.8.34. Palanul exponen ial


8/18/2019 Capitol Ul 08

25/48

Sorin VLASE 25

4

2

6

3

2

5

34

)1(

;)1(

;)1(

k

k PT

k

k PT

k

k PT

+=

+=

+=

3

4

4

3

)1(

;)1(

+=

+=

k k

QP

k

k PQ

În cazul în care de-a face cu n scripei mobili, prin inducie matematică,se obine relaia:

n

n

k

k

Q

P

)1(

1

+=

+

Dacă se neglijează frecările (k=1) se obine:

nQ

P

2

1=

adică fora se multiplică de 2n ori (de aici denumirea de palanexponenial).

La coborâre relaia dintre P şi Q se obine schimbând pe k cu 1/k.Avem atunci:

nn

n

k k

k

k

Q

P

)1(

1

)11

(

11

+=

+

=

+

.

Rezultă că pentru echilibru, în general, este necesar să avem

relaia:n

n

n k

k

Q

P

k k )1()1(

1 1

+≤≤

+

+

.

Dacă se consideră n=3 şi k =1,2 se obine:

QPQ 0783,01947,0 ≥≥ iar dacă k =1,1:

QPQ 0981,01581,0 ≥≥


8/18/2019 Capitol Ul 08

26/48


faă de o foră P = 0,125 Q în absena frecărilor.În fig.8.34.b este prezentată o variantă a palanului exponenial,

relaia dintre P şi Q pentru echilibru obinându-se în mod analog.

8.5.f. Palanul diferenial (macaraua diferenială)

Palanul diferenial se compune din troliul A cu razele R şi r şiun scripete mobil cu raza r 1 (fig.8.35). În absena frecărilor avem:

21 T T =

QT T =+ 21 RT r T PR 12 =+

)(2

r RQ

PR −=

R

r RQP

)(

2

−=

Mărimea R

r R f

2

)( −= poartă numele de raport de demultiplicare

şi este direct proporional cu diferena R-r . Pentru un raport dedemultiplicare mic trebuie ca r să fie apropiat de R .

Palanul dublu (fig.8.36) este o variantă constructivă obinută prin

alăturarea a două palane simple. Sarcina care poate fi ridicată este în

Fig.8.35. Palanul diferen ial

Fig.8.36. Palanul dublu


8/18/2019 Capitol Ul 08

27/48

Sorin VLASE 27

acest caz dublă. Scripete S are rolul de a egaliza cele două ramuri alecablului.

8.6. RoataAtunci când avem de transportat un corp pe un teren orizontal se

constată că este mult mai convenabil sa-l transportăm folosindu-ne denişte roi pe care să aşezăm corpul decât să-l târâm. Această observaiese exprimă prin fraza „frecarea de rostogolire este mai mică decâtfrecare de alunecare”, care nu este foarte corectă din punct de vederemecanic dar exprimă sugestiv o realitate fizică. Descoperirea roii areprezentat o invenie de o importană deosebită în istoria umanităii.Utilizarea ei la transportul greutăilor foarte mari, în civilizaia antică

romană, este ilustrată mai jos[1]:

Fig.8.37.a. Sisteme de transport a greut ă ilor. Vedere laterală

Fig.8.37.b. Sisteme de transport a greut ă ilor. Vedere în perspectivă


8/18/2019 Capitol Ul 08

28/48


a) Roata trasă Se consideră un cilindru de masă m şi raza R tras, în centru, de o

foră orizontală constantă F (fig.8.38).Ecuaiile de echilibru vor fi:

=−

=−

=−

0

00

r M RT

G N

T F

alături de condiiile impuseexperimental:

sGsN M G N T r =≤=≤ ; µ

Pot exista mai multe moduri de rupere a legăturii cu frecare:i) În cazul în care avem rostogolire f ără alunecare presupunem

îndeplinită condiia G N T =≤ iar momentul de rostogolire(care seopune rostogolirii roii) devine determinat prin ruperea legăturii:

sG M r = . Ecuaiile de echilibru devin:

=

=−

R

sGT

T F 0 ,

de unde, prin adunare, rezultă fora de traciune minimă necesară pentruruperea legăturii (deci pentru mişcarea cu viteză constantă a roii):

G R

sF = .

Frecările trebuie să asigure îndeplinirea relaiei GG R

sT µ ≤= de unde

rezultă condiia de rostogolire, f ără alunecare, sub aciunea unei fore F: µ <

R

s şi G

R

sF ≥

ii) Rostogolire cu alunecareÎn acest caz, la limită, GT µ = , sG M

r = , iar ecuaiile de echilibru devin:

=−

=−

0

0

sG RF

GF µ

Rezultă:

Fig.8.38. Roata trasă


8/18/2019 Capitol Ul 08

29/48

Sorin VLASE 29

µ = R

s ; GF µ = .

Roata va aluneca cu viteză constantă şi se va rostogoli cu viteză constantă. În general egalitatea între cei doi coeficieni de frecare se întâmplă rar. Dacă este îndeplinită această condiie, corpul se găseşte înechilibru cu tendina de mişcare de alunecare şi rostogolire în acelaşitimp. Echilibrul se rupe dacă există relaiile:

µ = R

s ; G

R

sF GF >> ; µ

când corpul va avea o mişcare de alunecare şi rostogolire.iii) Alunecare f ără rostogolire. Acest mod de mişcare este teoretic

posibil dar mai rar întâlnit în practică. Legătura se rupe, permiândalunecarea cilindrului dar nu şi rostogolirea lui. Avem: G N T µ µ == ,

sG M r ≤ iar ecuaiile de echilibru devin:

=−

=−

0

0

r M RF

GF µ

de unde: GF µ = şi R

s≤ µ .

În fig.8.39 sunt reprezentate zonele de echilibru ale roii trase pe planul

orizontal.

Fig.8.39. Reprezentarea zonelor de echilibru


8/18/2019 Capitol Ul 08

30/48


Roaba reprezintă o aplicaie la roata trasă. Cu ajutorul unei roabe setransportă greutăi (fig.8.40). Scopul este de atransporta o greutatecât mai mare în roabă utilizând fora unui om.Acesta va trebui să ridice cu ajutorulmânerelor roaba de pesol după care să o împingă pe planulorizontal, învingând

forele de rezistenă care apar în timpul rostogolirii roii. În fig. este prezentat modelulmecanic al unei roabe, compus din două corpuri, unul reprezentândcadrul încărcat cu greutatea cadrului, cutiei şi a greutăii de transportat şial doilea reprezentând roata. Cel care manevrează roaba are de efectuatdouă mişcări: mai întâi ridicatul roabei, când trebuie să aibă foranecesară de a o ridica şi apoi împingerea roabei pe orizontală, cândtrebuie să susină roaba şi să o împingă orizontal. Fora de susinere a

roabei în timpul mişcării va scădea faă de fora necesară pentruridicarea ei. Fora de împingere orizontală, prin momentul ei, face să scadă această foră, lucru care se va vedea după scrierea ecuaiilor.

Fig. 8.41. Descompunerea sistemului în păr ile componente

La ridicarea roabei, fora de aderenă T este nulă întrucât nu există componenta orizontală. Componenta verticală F y se obine din ecuaia

Fig. 8.40. Roaba


8/18/2019 Capitol Ul 08

31/48

Sorin VLASE 31

de momente, scrisă pentru întreaga roabă în punctul de contact cu solul B. Rezultă:

0=⋅−⋅ c y xGd F

de unde:

d

xGF c

y ⋅= .

Dacă roaba începe să se mişte, vom putea scrie ecuaiile de echilibrupentru cele două pări ale roabei. Se obin seturile de ecuaii:

=−−⋅

=+−

=−

.0

;0

;0

d F cF xG

Y GF

X F

y xC

A y

A x

=⋅−

=−

=−

.0

;0

;0

RT M

Y N

T X

r

A

A

Deoarece roata se rostogoleşte: sN M r = . Rezultă:

;;;d

cF GxF F T F X xC

y x x A

−===

;)(

d

cF xd GF GY xC

y A

+−=−= [ ]cF xd G

d N

xC +−= )(1

;

[ ]cF xd Gd s

RF M xC xr +−== )( Pentru a avea rostogolire pură trebuie ca N F T x ≤= . Dacă

această condiie nu este îndeplinită putem avea rostogolire cu alunecarea roii roabei.

Din ultima relaie rezultă fora minimă F x necesară pentru a împinge roaba pe orizontală:

sc Rd xd GsF C

x−−= )( .

Dacă luăm ca parametru distana xc care defineşte poziia încărcăturii pe roabă, vom putea reprezenta forele F x şi F y ca funcie de xc (fig.8.42).


8/18/2019 Capitol Ul 08

32/48


Fig.8.42. Reprezentarea for elor necesare pentru sus inerea roabei şi

împingerea ei

Se alege, atunci când se proiectează roaba, un xc care să asigure oforă de susinere mică F y (pentru un anumit xc aceasta poate devenichiar 0), dar şi o foră de împingere mică F x. Compromisul îl stabileşteproiectantul, în funcie de valorile pe care le au dimensiunile roabei, razaroii şi coeficientul de frecare la rostogolire.

b) Roata motoare

Roata este supusă unui moment motor ce face să apară o foră deaderenă T între roată şi planul orizontal, care va propulsa roata spre înainte. Presupunem că există o foră care se opune mişcării roii (o foră de traciune F). Există deci doi parametrii care vor determina echilibrulcorpului, momentul motor M m şi fora de traciune F . Ecuaiile deechilibru vor fi:

=−−

=−

0

0

r m M RT M

F T

unde, pentru echilibru este necesar să fie respectate şi condiiile:

sGsN M G N T r

=≤=≤ ; µ µ

După pierderea echilibrului pot exista următoarele moduri de mişcare:i) Rostogolire f ără alunecare:

sGsN M G N T r

===≤ ; µ µ ;


8/18/2019 Capitol Ul 08

33/48

Sorin VLASE 33

Eliminând T şi înlocuind M r rezultă:

GF

R

sGRsG RF M m

µ

µ

≤

+=+= ;)(

Condiia de rostogolire f ără alunecare este îndeplinită dacă semăreşte masa corpului care serostogoleşte, la un drum dat, a căruiaderenă este definită de coeficientul de frecare la alunecare şi larostogolire.

ii) Rostogolire cu alunecare:

sGsN M GT r

=== ; µ .În acest caz aderena este ruptă, fora T devine egală cu fora limită

de frecare GT µ = (şi indiferent de valoarea momentului nu poate depăşiaceastă valoare) iar ecuaiile de echilibru dau:

GF µ = ; )( RsGRsG RG M m +=+= µ µ .

Acest caz reprezintă o situaie cu totul particulară în care suntcondiionate ca valoare atât fora F cât şi momentul M m.

iii) alunecare f ără rostogolire:

sGsN M G N T r

=≤== ; µ µ .

Rezultă:GF µ = ; )(

R

sGR M

m +≤ µ

Această situaie poate fi întâlnită la un automobil atunci când roata estefrânată.

c) automobilul reprezintă o aplicaie foarte importantă pentruroata „motoare”. Să presupunem un automobil care are traciune faă.Roile din spate sunt roi „trase”. Rezistenele sunt reprezentate de

coeficientul de frecare la rostogolire (pe care-l considerăm acelaşi pe

8.43. Roata motoare


8/18/2019 Capitol Ul 08

34/48


faă şi pe spate) şi rezistena aerului. Automobilul se mişcă cu viteză constantă.

Fig. 8.34’. Automobilul şi solicit ările la care este supus

a. roata trasă b. corpul automobilului c.roata motoareFig. 8.34’’. Descompunerea în păr ile componente

Ecuaiile de echilibru pot fi scrise dacă se analizează fig. 8.34’’ Pentru roile motoare:

0;0

0;00;0

111

11

11

=−−=

=−=

=−=

∑∑∑

RT M M M

Y N Y F T X

r mO

Pentru roile trase:

0;0

0;0

0;0

222

22

22

=−=

=−=

=−=

∑

∑∑

RT M M

Y N Y

T F X

r O

Pentru corpul automobilului rezultă:


8/18/2019 Capitol Ul 08

35/48

Sorin VLASE 35

0;0

0;0

022;0

112212

21

21

=−+−−=

=−+=

=−−=

∑

∑∑

d F d F cF aY bY M

GY Y Y

F F F X

aC

a

Dacă ne propunem să determinăm momentul motor necesar pentrudeplasarea automobilului cu viteză constantă, este suficient să reinemdin setul de ecuaii doar relaiile:

022

00

0

0

21

22

22

11

11

=−−

=−

=−

=−−

=−

a

r

r m

F F F

RT M

T F

RT M M

F T

sau, după transformări:

022

022

022

0222

022

21

22

22

11

11

=−−

=+−

=−

=−−

=−

a

r

r m

F F F

T R

M

T F

T R

M

R

M

F T

Prin adunarea relaiilor se obine:

0222

11=−−−

a

r r m F R

M

R

M

R

M ,

de unde rezultă momentul motor necesar furnizat de motor:

RF M M M ar r m ++= 21 222 .

II. Alte aplicaii

8.7. Sisteme de pârghii.a. Frâna cu saboiÎn cele ce urmează este prezentat, după Vâlcovici [20], calculul

unei frâne cu saboi. În fig. 8.44 este schematizată o astfel de frână.Sistemul este descompus în pările componente (fig.8.45) şi suntintroduse reaciunile. Se pune problema determinării forei de frânare Pdacă se cunoaşte fora care trebuie frânată Q, geometria sistemului şicoeficientul de frecare la alunecare . Întrucât nu se cer toate forele

care apar în articulaii, prin scrierea corespunzătoare a ecuaiilor deechilibru se pot evita o serie de calcule. Barele AE şi CF sunt bare


8/18/2019 Capitol Ul 08

36/48


articulate f ără să fie încărcate pe deschidere, deci pot fi secionate şi înlocuite cu eforturile S 1 şi S 2. Dacă se scrie ecuaia de momente apârghiei faă de punctul O1 se obine:

02;011

=−=∑ PLlS M O

de unde:

l

LPS

21 =

Pentru pârghia AB scriind ecuaia demomente în punctul B rezultă:

0cos)(;0 111 =−+−=

∑ e N baS a N M B µ α

de unde:

)(2

cos)(cos)(11

eal

baPL

ea

baS N

µ

α

µ

α

−

+=

−

+= .

În mod analog, scriindu-se ecuaiile demomente pentru pârghia CD se obine:

0cos)(;0 212 =++−=∑ e N baS a N M D µ α

de unde:

)(2

cos)(cos)(12

eal

baPL

ea

baS N

µ

α

µ

α

+

+=

+

+=

Pentru tambur, ecuaia de momente faă de centrul tamburului este:

( ) 0;0 21 =−+=∑ Qr R N N M O µ µ

Dacă se înlocuiesc N 1 şi N 2 cu valorile calculate anterior se va obine:

α µ µ

cos)()(

222

ba RLaearlQP

+−= .

Fig.8.44. Frâna cu sabo i


8/18/2019 Capitol Ul 08

37/48

Sorin VLASE 37

Dacă se aleg µ şi e astfel încât diferena )( 222 ea µ − să fie f ăcută cât maimică se va obine o valoare mică pentru P care asigură frânarea.

Fig.8.45

b. Balana cu brae egaleCentrul de greutate al balanei îl presupunem în punctul C , sub punctulO. Dacă ar fi deasupra, echilibrul sistemului va fi echilibru instabil.Dacă se găseşte exact în O avem echilibru indiferent. Balana este opârghie de ordinul întâi cu p = q . Dacă frecarea în ax este neglijabilă atunci P = Q . Exactitatea unei balane este calitatea ei de a avea braul

perfect orizontal atunci când platanele sunt neîncărcate sau când pe celedouă talere se pun greutăi egale. Exactitatea se asigură prin egalitateaperfectă a braelor p=q, egalitatea greutăilor platanelor şi o frecarefoarte mică în axa de rotaie (rezemarea se face pe cuite). Sensibilitateaeste calitatea unei balane de a-şi modifica poziia braului atunci cândpe cele două platane sunt aşezate greutăi diferite. Dacă notăm cu θ unghiul f ăcut de braul balanei cu orizontala atunci când punem ogreutate ∆P suplimentară acesta va reprezenta o măsură a sensibilităii.

Dacă d este distana de la centrul de greutate la punctul de reazem,avem:


8/18/2019 Capitol Ul 08

38/48


0sincoscos)( =−−∆+ θ θ θ Gd PllPP de unde:

d G

lPtg

⋅

⋅∆=θ

Deci o balană este cu atât mai sensibilă cu cât braele sunt mai lungi iargreutatea G este mai mică şi situată aproape de punctul de suspensie.

c. Cântarul roman

Este o pârghie de gradul întâi cu brae inegale (fig.8.47). Dacă cântaruleste neîncărcat, în stare de echilibru, avem:

0=− bPaG .Dacă punem greutatea Q, atunci deplasăm P spre dreapta:

Fig. 8.46. Balan a cu bra e egale

Fig.8.47. Cântarul roman


8/18/2019 Capitol Ul 08

39/48

Sorin VLASE 39

;)(21 B BbPlPaGQl o+==+ Rezultă:

11 l

P

Q

P

PbaGQl B Bo

=−+

=

adică B Bo este directproporional cu Q . Aceastarelaie permite etalonarea tijei

B Bo astfel încât să indicegreutatea reală Q .

d. Cântarul zecimal

Ideea cântarului zecimaleste prezentată sugestiv infig.8.48 unde sunt utilizată proprietăile pârghiilor pentru ademultiplica fora (PauloCasati,Terra machinis mota,Roma, 1658) .

În figura 8.49 esteprezentat un astfel de cântarutilizat pentru determinareagreutăilor mari. În cazulcântarului zecimal, pentru o greutate oarecare este necesar să se pună peplatan, pentru echilibrare, o greutate de zece ori mai mică. Barelearticulate sunt secionate şi înlocuite cu eforturile care apar în ele S 1 şiS 2. Ecuaia de momente scrisă pentru placa pe care se aşează greutatea Q

dă imediat:

ed

eQS

+=1 .

Fora de reaciune N 1 se obine cu relaia:

ed

ed QS Q N

+

−=−= 11

Pentru a determina S2 se scrie ecuaia de momente pentru a douacomponentă orizontală a cântarului, rezultând:

Fig.8.48. Demultiplicarea for ei


8/18/2019 Capitol Ul 08

40/48


))((12 g f ed

df Q

g f

f N S

++=

+=

Ecuaia de momente scrisă pentru partea superioară a cântarului dă P:0

21

=−− cS bS Pa

sau: 0))((

=++

−+

−g f ed

dfcQ

ed

ebQPa

++

+=

)()( g f

dfceb

ed

QPa

de unde:

++−=

=

++−=

)(

)()(

g f

dfcdblb

al

Q

g f

dfcbd l

al

QP

Pentru ca procesul decântărire să nu depindă de

poziia lui Q pe cântar (deci de d )trebuie ca:

g f

fcb

+= deci:

g f

f

c

b

+= .

În acest caz:

a

bQ

P

⋅=

Dacă se ia

10

1=

a

b, atunci pe platanul

cântarului este necesar să se aşeze ogreutate de 10 ori mai mică decât Q.

Fig.8.50. Cricul apare în cartea de

Mecanică scrisă de Galileo Galilei în sec.

Fig.8.49. Cântarul zecimal


8/18/2019 Capitol Ul 08

41/48

Sorin VLASE 41

XVI-lea dar era cunoscut probabil mai devreme

8.8. Lagăre şi rulmeni

Un lagăr este alcătuit dintr-un arbore care se roteşte în interiorulunei suprafee cilindrice. Să considerăm mai întâi lagărele cu joc. Încazul rotaiei, să presupunem că contactul dintre cele două suprafee se

realizează într-un punct. Fiind vorba deun contact real există frecare iarsuprafeele sunt deformabile. Dinaceastă cauză apar fore de frecare lacontactul dintre cele două suprafee

care se vor manifesta printr-un momentde frecare în lagăr care se opunemişcării şi un moment de rostogolire,datorat deformabilităii suprafeelor,care se manifestă la fel, printr-oopoziie la rotaie. Să studiem pe rândaceste două momente care se opunmomentului care învârte axul.

a) Lagă rul radial. Momentul de rostogolire Dacă lagărul are joc avem situaia din fig. 8.51. Axul este antrenat

de un moment motor Mm şi suportă rezistene din partea mecanismuluipe care-l antrenează concretizate într-un moment rezistent Mrez. Asupraaxului acionează o foră F (care poate fi constituită din greutăilepărilor susinute de arbore şi alte fore active) şi o foră de aderenă.Existena forei de aderenă face ca punctul teoretic de contact dintrearbore şi suprafaa interioară a lagărului să nu fie în prelungirea forei F.

Să scriem ecuaiile de echilibru (lagărul funcionează în regim staionar):

∑ =−= 0sin;0 α F T X 0cos;0 =−=∑ α F N Y

0)(;00 =−−+=∑ rezmr M M M Tr M

Întrucât axul se roteşte, sunt rupte ambele legături cu frecare, deci avem

relaiile limită:

Fig.8.51


8/18/2019 Capitol Ul 08

42/48


N T µ = ; sN M r =

Din primele trei ecuaii rezultă:

α sinF T = ; α cosF N = ; sinFr M M M rezmr −−= .Considerând pentru T şi M r expresiile empirice scrise anterior, rezultă unghiul α între normala la punctul de contact şi fora F:

=tg

şi momentul M m- M rez care asigură mişcarea uniformă a arborelui:

( ) rF r s

srF sr F M M rezm 21

)(tancoscossin µ

µ α α α α

+

+

=+=+=−

Menionăm că unghiul α rămâne acelaşi indiferent dacă arborele semişcă uniform sau accelerat. Problema poate fi simplificată în felulurmător: se poate considera că nu există rostogolire şi măricorespunzător coeficientul de frecare la alunecare astfel încât rezistana

la rotire datorată frecării de alunecare şi frecării de rostogolire să fieconsiderată doar efectul frecării de alunecare cu un coeficient de frecaremărit

o µ . Dacă considerăm formula momentului de frecare într-o

articulaie scris sub forma:

Nr M o f µ =

şi scriem momentul care provoacă rotirea:

+=−

R

s Nr M M

rezm µ

şi egalăm cele două expresii, se obine:

R

so += µ µ

Observa ii: Uneori se ia în locul normalei, în formula momentului defrecare în articulaie, fora F . Acest lucru nu este corect întrucât, datorită

forei de aderenă care apare, arborele se deplasează din punctul teoretic


8/18/2019 Capitol Ul 08

43/48

Sorin VLASE 43

de contact iar normala este, din acest motiv, în general mai mică decâtfora F .

b) Rulmen i. Frecarea în lagă re de rostogolireÎn acest caz, dacă studiem bila (rola) cu indicele i şi considerăm că

avem frecare de rostogolire, f ără alunecare, iar fora care solicită corpulde rostogolire este N i , momentele de frecare la rostogolire vor fi ri M şi

'ri

M . Aceste momente de rostogolire trebuie să fie egale cu momentuldat de forele tangeniale care rostogolesc bila (sau rola) şi care este datde formula:

Tr M 2= unde r este raza bilei (rolei). Ecuaia de momente scrisă pentru corpul de

rostogolire ne va da: r T M M iriri

2'=+

Fig.8.52. Frecarea în rulmen i

Dacă s şi 's sunt coeficienii de frecare la rostogolire avem:

r T ss N Tr N ssN iiii 2)'(;2' =+=+ Dacă R este raza inelului interior iar M m momentul care învârte axullagărului, se poate scrie:

∑∑∑∑ +=+= iiriim N sT R M RT M Dacă adunăm toate momentele de frecare care apar pentru fiecare corpde rostogolire în parte, se obine:

∑∑ =+ r T ss N ii 2)'( de unde:


8/18/2019 Capitol Ul 08

44/48


∑ ∑+

=r

N ssT

i

i 2

)'(

deci:

( )∑∑∑ ++

=++

= iiim N Rs

r ss R N s N

r ss R M

2 '2 '

Momentul necesar pentru a învinge forele de frecare din rulment seobin cu formula de mai sus şi depinde de raza lagărului, razarulmentului, coeficienii de frecare la rostogolire şi sarcina care solicită bilele. Problema nu este încă rezolvată. În expresie apare suma ∑ i N acarei valoare minimă este P, fora care solicită lagărul, în cazul în carecontactul s-ar face pe o bilă. Dar întrucât acest contact se face în mod

normal pe câteva bile, această valoare este mai mare, valoarea ei fiinddeterminată de legea de distribuie, aleasă empiric, a forei de apăsare Ppe bilele rulmentului.

Toate frecările, care sunt de rostogolire, pot fi echivalate teoreticcu o frecare la alunecare care, în prezena unor fore normale de apăsarepe inelul interior al rulmentului, fac să apară fore de frecare care vor daun moment de frecare egal cu cel calculat anterior. Acest coeficient defrecare la alunecare echivalent trebuie să fie:

R

s

r

sso +

+=

2' µ

şi dă momentul de frecare la alunecare:

∑= iom N R M µ . 8.9. Bolta

Bolta reprezintă o soluieconstructivă care permiteobinerea unor deschideri marila clădiri, poduri, etc. Greutateaconstruciei de deasupra nu estepreluată de o grindă, soluieclasică în începuturile realizăriide clădiri, ci de o structură alcătuită din mai multe blocuri, în general depiatră, care se sprijină unele pe altele. În final greutatea se distribuie pesol dar în acelaşi timp apare şi o încărcare pe direcie orizontală

(fig.8.53). Componenta din centrul structurii poartă numele de cheie de

Fig.8.53. Bolta


8/18/2019 Capitol Ul 08

45/48

Sorin VLASE 45

boltă. Dacă acest element este scos din cadrul structurii, bolta se dărâmă.Variante constructive sunt prezentate în fig. 8.54.

Fig. 8.54. Variante constructive de boltă Fig.8.55. Arhitectură miceniană.

Este un element mult utilizat, începând cu Egiptul antic, continuând încivilizaia greacă, romană şi islamică. Deschiderea boltei este limitată derezistena materialului utilizat la construcia ei, în general piatra. Dacă sedepăşesc anumite dimensiuni bolta se prăbuşeşte sub propria greutate.

Fig.8.56. Arhitectură egipteană Fig. 8.57. Arhitectură gotică


8/18/2019 Capitol Ul 08

46/48


În decursul timpului formele constructive au evoluat, în diverseleşcoli de arhitectură utilizându-se cu precădere soluii caracteristice, darcare în esenă utilizează aceleaşi principii mecanice.

Fig.8.58. Arhitectură romană Fig.8.59. Arhitectură islamică

Bolta catedralei Sfânta Sophia din Istanbul, care timp de 1000 de ani arămas cea mai mare catedrală din lume, cu un diametru iniial de31.24 m, este prezentată în fig. 8.60.

8.60. Arhitectur ă bizantină. Bolta catedralei Sfânta Sofia


8/18/2019 Capitol Ul 08

47/48

Sorin VLASE 47

În cele ce urmează vom urmări, pe o structură simplă, modul în care serepartizează forele în cazul unei bolte. Frecarea constituie un elementimportant al problemei, ea contribuind la stabilitatea construciei.

Fig.8.61. Calculul for elor dintr-o structur ă tip bolt ă

Pentru cheia de boltă, dacă se scrie ecuaia de echilibru după direciaverticală, se obine:

PF N f

=+6

cos26

sin2 11π

;

fora de frecare trebuind să satisfacă condiia: 11 N F f µ ≤ pentruechilibru. În momentul ruperii legăturii 11 N F f = .

Pentru unul din corpurile laterale, dacă se scriu ecuaiile de echilibrudupă două direcii, orizontală şi verticală, se obine:

,06sin6cos

;06

sin6

cos

112

112

=−−

=+−

π π

π π

N F N

F N F

f

f f

unde 22 N F f µ ≤ pentru echilibru şi 22 N F f µ = în momentul în care se

rupe legătura. Din prima şi a treia ecuaie rezultă imediat:

22P

N =

adică greutatea piesei centrale se transmite egal pe cele două reazeme.Stabilitatea structurii este asigurată de frecare. În momentul în care se

pierde stabilitatea, ecuaiile de echilibru devin:


8/18/2019 Capitol Ul 08

48/48


11 N F f = ; 22 N F f = ;

P N N =+ 311 µ ; ;02

1

2

3

2 11 =+− N N

P µ µ

rezultă:;

311 µ +=

P N ;03232 =−+ µ µ

de unde se poate determina coeficientul de frecare minim pentru a existaechilibru pentru această aplicaie:

57,03

3

3

1≈== µ

(soluia negativă nu convine din punct de vedere fizic). Dacă această condiie nu este asigurată, stabilitatea poate fi asigurată introducândfore orizontale care să echilibreze componentele orizontale ale forelorcare apar. Referine: en.wikipedia.org/wiki/Vault_(architecture).

Capitol Ul 08

Documents