Bab 4 Defleksi FIX ( )

DEFLECTION OF CURVED BARS APPARATUS

BAB IVDEFLECTION OF CURVED BARS APPARATUS

4.1 Dasar Teori

4.1.1 Definisi Defleksi

Defleksi adalah perubahan bentuk pada balok dalam arah vertical dan

horisontal akibat adanya pembebanan yang diberikan pada balok atau batang.

Sumbu sebuah batang akan terdeteksi dari kedudukannya semula bila benda

dibawah pengaruh gaya terpakai. Dengan kata lain suatu batang akan mengalami

pembebanan transversal baik itu beban terpusat maupun terbagi merata akan

mengalami defleksi.

Defleksi ada 2 yaitu :

1. Deflkesi Vertikal (Δw)

Perubahan bentuk suatu batang akibat pembebanan arah vertikal (tarik,

tekan) hingga membentuk sudut defleksi, dan posisi batang vertikal, kemudian

kembali ke posisi semula.

Gambar 4.1 Defleksi VertikalSumber: http//:www.wikipedia.com/defleksi

2. Defleksi Horisontal (Δp)

Perubahan bentuk suatu batang akibat pembebanan arah vertikal

(bending) posisi batang horizontal, hingga membentuk sudut defleksi,

kemudian kembali ke posisi semula.

LABORATORIUM FENOMENA DASAR MESIN 2012


Gambar 4.2 Defleksi HorizontalSumber : http://iktutaryanto.blogspot.com/2010/05/kekuatan-bahan-untuk-

defleksi-dengan.html

Hal-hal yang mempengaruhi terjadinya defleksi yaitu :

1. Kekakuan batang

Semakin kaku suatu batang maka lendutan batang yang akan terjadi pada

batang akan semakin kecil

2. Besarnya kecil gaya yang diberikan

Besar-kecilnya gaya yang diberikan pada batang berbanding lurus

dengan besarnya defleksi yang terjadi. Dengan kata lain semakin besar

beban yang dialami batang maka defleksi yang terjadi pun semakin kecil

3. Jenis tumpuan yang diberikan

Jumlah reaksi dan arah pada tiap jenis tumpuan berbeda-beda. Jika

karena itu besarnya defleksi pada penggunaan tumpuan yang berbeda-beda

tidaklah sama. Semakin banyak reaksi dari tumpuan yang melawan gaya

dari beban maka defleksi yang terjadi pada tumpuan rol lebih besar dari

tumpuan pin (pasak) dan defleksi yang terjadi pada tumpuan pin lebih besar

dari tumpuan jepit.

4. Jenis beban yang terjadi pada batang

Beban terdistribusi merata dengan beban titik, keduanya memiliki kurva

defleksi yang berbeda-beda. Pada beban terdistribusi merata slope yang

terjadi pada bagian batang yang paling dekat lebih besar dari slope titik. Ini

karena sepanjang batang mengalami beban sedangkan pada beban titik

hanya terjadi pada beban titik tertentu saja.

Macam-macam tumpuan, antara lain:

1. Engsel



Engsel merupakan tumpuan yang dapat menerima gaya reaksi

vertikal dan gaya reaksi horizontal. Tumpuan yang berpasak ini mampu

melawan gaya yang bekerja dalam setiap arah dari bidang.

Gambar 4.3 Tumpuan EngselSumber : http://tazziemania.wordpress.com/link-tazzie/

2. Rol

Rol merupakan tumpuan yang hanya dapat menerima gaya reaksi

vertikal. Jenis tumpuan ini mampu melawan gaya-gaya dalam suatu garis

aksi yang spesifik.

Gambar 4.4 Tumpuan Rol Sumber: http://tazziemania.wordpress.com/link-tazzie/

3. Jepit

Jepit merupakan tumpuan yang dapat menerima gaya reaksi

vertikal, gaya reaksi horizontal dan momen akibat jepitan dua penampang.

Tumpuan jepit ini mampu melawan gaya dalam setiap arah dan juga

mampu melawan suatu kopel atau momen.

Gambar 4.5 Tumpuan JepitSumber : http://tazziemania.wordpress.com/link-tazzie/

Jenis-jenis pembebanan, antara lain:

1. Beban terpusat

Titik kerja pada batang dapat dianggap berupa titik karena luas

kontaknya kecil.



Gambar 4.6 Pembebanan TerpusatSumber : http://tazziemania.wordpress.com/link-tazzie/

2. Beban merata

Disebut beban merata karena terdistribusi merata di sepanjang

batang dan dinyatakan dalam qm (kg/m atau kN/m)

Gambar 4.7 Pembebanan Terbagi MerataSumber : http://tazziemania.wordpress.com/link-tazzie/

3. Beban bervariasi uniform

Disebut beban bervariasi uniform karena beban sepanjang batang

besarnya tidak merata.

Gambar 4.8 Pembebanan Bervariasi UniformSumber : http://tazziemania.wordpress.com/link-tazzie/

4.1.2 Perbedaan Defleksi dan Deformasi

Seperti disebutkan diatas defleksi terjadi karena adanya pembebanan

vertical pada balok atau batang. Sedangkan deformasi tidak hanya terjadi karena

pembebanan vertical saja, tetapi karena adanya berbagai macam perlakuan yang

dialami balok atau batang. Selain itu defleksi yang terjadi pada balok hanya

merubah bentuk (lendutan) pada balok tersebut, sedangkan deformasi dapat

merubah bentuk dan ukuran balok tersebut.



Gambar 4.9 Defleksi pada BeamSumber : http://iktutaryanto.blogspot.com/2010/05/kekuatan-bahan-untuk-

defleksi-dengan.html

Gambar 4.10 Deformasi pada Sebuah BalokSumber: http://blog.ub.ac.id/shabazz/2011/12/01/

4.1.3 Macam-macam Deformasi

Deformasi dalah perubahan bentuk atau ukuran objek diterapkan karena

adanya gaya. Gaya ini dapat berasal dari kekuatan tarik, kekuatan tekan, geser dan

torsi. Deformasi dibagi menjadi dua, yaitu :

1. Deformasi Elastis

Deformasi elastis adalah perubahan yang terjadi bila ada gaya yang

bekerja, serta akan hilang bila beban ditiadakan. Dengan kata lain bila beban

ditiadakan, maka benda akan kembali ke bentuk dan ukuran semula

2. Deformasi Plastis

Deformasi plastis adalah perubahan bentuk yang permanen, meskipun

bebannya dihilangkan. Pada tinjauan mikro, deformasi plastis mengakibatkan

putusnya ikatan atom dengan atom tetangganya dan membentuk ikatan yang

baru dengan atom lainya. Jadi jika beban dilepaskan atom ini tidak kembali

ke ikatan awalnya.



Gambar 4.11 Grafik Tegangan ReganganSumber : http://blog.ub.ac.id/shabazz/2011/12/01/

4.1.4 Teori Castigliano

Metode Castigliano adalah metode untuk menentukan perpindahan dari

sebuah system linear-elastis berdasarkan pada turunan parsial dari prinsip

persamaan energi. Konsep dasar teori yaitu bahwa perubahan energi adalah gaya

dikalikan perpindahan yang dihasilkan, sehingga gaya dirumuskan dengan

perubahan energi dibagi dengan perpindahan yang dihasilkan.

Ada 2 teorema dalam teori Castigliano, yaitu:

1. Teori Pertama Castigliano

Teori ini digunakan untuk menghitung gaya yang bereaksi dalam

struktur elastis, yang menyatakan:

“Jika energi regangan dari suatu struktur elastis dinyatakan sebagai

fungsi persamaan perpindahan qi , maka turunan parsial dari energi

regangan terhadap perpindahan memberikan persamaan gaya Qi.”

Dirumuskan dengan,

Qi=∂U∂ q i

Dimana, U = energi regangan

2. Teori Kedua Castigliano

Teori ini digunakan untuk menghitung perpindahan, yang

menyatakan:



“Jika energi regangan dari suatu struktur elastis dinyatakan sebagai

fungsi persamaan gaya Qi , maka turunan parsial dari energi regangan

terhadap persamaan gaya memberikan persamaan perpindahan qi ,

searah Qi”.

Dirumuskan dengan,

q i=∂ U∂Qi

Sebagai contoh, untuk beam kantilever lurus dan tipis dengan beban P

di ujung, dan perpindahan pada ujungnya dapat ditemukan dengan teori

kedua Castigliano:

δ=∂ U∂ P

δ= ∂∂ P

∫0

LM L2

2 EIdL= ∂

∂ P∫0

LP L2

2 EIdL

Dimana, E adalah Modulus Young dan I adalah momen inersia

penampang dan M(L) = P×L adalah pernyataan untuk momen pada titik

berjarak L dari ujung, maka:

δ=∫0

LP L2

EIdL=P L3

3 EI

(sumber: http://en.wikipedia.org/wiki/Castigliano’s_method)

4.1.5 Momen

Penyebab terjadinya gerak translasi adalah gaya. Sedangkan pada gerak

rotasi, penyebab berputarnya benda dinamakan momen gaya ( = torsi). Momen

Gaya ( ) adalah gaya kali jarak/lengan. Arah gaya dan arah jarak harus tegak

lurus.

Untuk benda panjang: τ=Fl

Untuk benda berjari jari: τ=Fr

Momen inersia (Satuan SI: kg.m2) adalah ukuran kelembaman suatu benda

untuk berotasi terhadap porosnya. Besaran ini adalah analog rotasi daripada

massa. Momen inersia berperan dalam dinamika rotasi seperti massa dalam

dinamika dasar, dan menentukan hubungan antara momentum sudut dan



kecepatan sudut, momen gaya dan percepatan sudut, dan beberapa besaran lain.

Lambang I dan kadang-kadang juga J biasanya digunakan untuk merujuk kepada

momen inersia.

Definisi sederhana momen inersia (terhadap sumbu rotasi tertentu) dari

sembarang objek, baik massa titik atau struktur tiga dimensi, diberikan oleh

rumus:

Dimana, m adalah massa dan r adalah jarak tegak lurus terhadap sumbu

rotasi.

Tabel 4.1 Momen Inersia Benda



Sumber: http://ejurnal.unud.ac.id

Untuk menentukan besarnya defleksi dari suatu struktur, dapat digunakan

metode luas momen. Metode luas momen diperkenalkan oleh Saint – Venant dan

dikembangkan oleh Mohr dan Greene.

Gambar 4.12 Prinsip metode momen areaSumber : http://tazziemania.wordpress.com/link-tazzie/

Gambar 4.13 Defleksi balok kantilever dengan diagram luas momenSumber : http://tazziemania.wordpress.com/link-tazzie/



1. Teori Momen Luas Pertama

Sudut θ antara tangen A dan tangen B sama dengan luasan diagram

antara kedua titik dibagi EI.

θ=∫B

AMdxEI

Keterangan: θ = sudut kemiringan

M = momen lentur dengan jarak x dari titik B

E = modulus elastisitas balok

I = momen-area kedua

Teori Momen Luas Pertama ini dipergunakan untuk:

- Menghitung lendutan

- Menghubungkan putaran sudut antara titik-titik yang dipilih sepanjang

sumbu balok

2. Teori Momen Luas Kedua

Jarak vertikal B pada kurva defleksi dan tangen A sama dengan

momen dikali jarak (centroid area) dibagi EI.

∆=∫B

AMx dx

EI

Dengan, = defleksi

Teori momen luasan kedua berguna untuk mendapatkan lendutan,

karena memberikan posisi dari suatu titik pada balok terhadap garis

singgung disuatu titik lainnya.

4.2 Tujuan Pengujian

1. Untuk mengetahui defleksi vertikal dari bermacam-macam batang lengkung

ketika mendapatkan sebuah pembebanan

2. Untuk mengetahui defleksi horizontal dari bermacam-macam batang lengkung

ketika mendapatkan sebuah pembebanan

3. Untuk mengetahui pengaruh penambahan beban terhadap defleksi yang terjadi



4.3 Spesifikasi Alat

1. Deflection of Bars Curved Apparatus

Alat yang digunakan pada percobaan ini adalah Devlection of Curved Bars

Apparatus.

Gambar 4.14 Deflection of Bars Curved ApparatusSumber: Laboratorium Fenomena Dasar Mesin Fakultas Teknik UB

2. Dial Indicator

Alat ini digunakan untuk menentukan besarnya pergerakan secara vertikal

dan horisontal pada ujung bebas dari bermacam-macam batang lengkung yang

tipis ketika mendapat beban tunggal.

Gambar 4.15 Dial IndicatorSumber: Laboratorium Fenomena Dasar Mesin Fakultas Teknik UB

Spesimen :

Bahan : Baja 25,4 x 3,2 mm

E = 2 x 107 gr/mm

Spesimen 1: a = 75 mm R = 75 mm b = 75 mm

Spesimen 2 : a = 0 R = 150 mm b = 0

Spesimen 3 : a = 0 R = 75 mm b = 75 mm

Spesimen 4 : a = 150 mm R = 0 b = 150 mm

Beban tergantung = 0,16 kg

Beban awal = 50 gram

Penambahan beban = 50 gram



(1) (2)

(3) (4)

Gambar 4.16 Berbagai Jenis Spesimen PengujianSumber: Laboratorium Fenomena Dasar Mesin Fakultas Teknik UB

a = 75 mm

R = 75 mm

b = 75 mm

Sehingga perpanjangan E’E + FF = (Ra-r)dθ

Dan regangannya adalah

ε=(rn−r ) dθ

rθ

Sesuai sifat elastisitas karena beban

σ=εE=E(r A−r )dθ

rθ

Untuk gaya tangensial yang bekerja (normal terhadap benda)

∑Ft = 0

Atau

∫ σdA=∫A

❑ E (r A−r ) dθ

rθdA= Edθ

θ∫A

❑ r A−r

rdA



¿ Edθθ

¿¿

Luluh yang terjadi pada sumbu normal

r A=A

∫A

❑

( dAr

)

Karena lokasi dari sumbu normal sudah ditentukan distribusi beban dangan

mempertimbangkan momen dari sumbu z

∑ M 2=∫A

❑

σdAy=¿∫A

❑

σdA (r A−r )=0¿

Dari persamaan di atas diperoleh

∫A

❑ E(r A−r )2 dθrθ

dA=Edθθ

∫A

❑ (r A−r)2

rdA

Dari persamaan di atas diperoleh

Edθθ

= rσ

(r A−r )

Dengan defleksi horizontal ke persamaan di atas maka luluhnya diperoleh sebagai

berikut :

Sesuai persamaan di atas dapat ditulis :

Δ p=∂U∂ P

=∫0

π2 Pr2

3 cos2 θdθ=

Pr03 π

4 EI

Untuk defleksi horizontal kita perkenalkan gaya H.

Persamaan untuk momen menjadi :

M=Pr c cosθ+Hrc(1−sin θ) dan

∂ M∂ H

=rc (1−sin θ )

Jika

M∂ M∂ H

=Pr03(1−sinθ )cosθ



Maka diperoleh :

Δk=∂U∂ H

=∫0

π2 Pr2

3 (1−sin θ )cosθdθ

EI=

Prc3

2 EI

Δw=Wa2

3 EI+ WR

EI [ πa2

2+ πR2

4+2 aR ]+ W

EI[ a2b+2 ab2+bR2 ]

Dan

Δ p=WR2

EI [a( π2−1+ R

2 ]+ WEI [abR+bR2+ ab2

2+ b2 R

2 ]

4.4 Cara Pengambilan Data

1. Pasang specimen (2) pada klem (1)

2. Kendorkan blok (3) dan tempatkan ulang jika perlu untuk menempatkan

specimen. Kunci pada posisi yang tersedia.

3. Pasang beban (4) pada specimen. Tempatkan dial indicator (5) dan (6)

berhubungan dengan beban (4).



4. Indikator harus menunjukkan angka nol. Pembebanan dilakukan dengan

memberikan beban pada beban tergantung (4)

5. Kemudian catat perubahan yang terjadi. Tambahkan beban dan catat perubahan

yang terjadi.



Contoh perhitungan statistik:

y=∑Y

n=

7,07010

=0,7070

a. Regresi Linear (Y =a+bX )

a=(∑Y ) (∑ X2 )− (∑ X )(∑ XY )

n∑ X2−(∑ X2 )

¿(7,07 ) (3325000 )−(5000 )(4791,5)

10 (3325000 )−(3325000)=−0,01503

b=n (∑ XY )−(∑ X ) (∑Y )

n∑ X2−(∑ X2 )

¿10 ( 4791,5 )− (5000 )(7,07)10 (3325000 )−(3325000)

=4,199 ×10−4

Y= (−0,01503 )+(4,199 ×10−4)X

r2=∑ ( (Y − y )2 )−∑ ((Y−a−bX )2 )

∑ ((Y − y )2 )

¿1,91521−3,62772

1,91521=−0,894163706

b. Regresi Polinomial (Y =i+ jX+k X2 )

∑Y =¿+ j∑ X+k∑ X2=10i+5000 j+3325000 k (i)

∑ XY=i∑ X+ j∑ X2+k∑ X3=5000 i+3325000 j+2487500000 k (ii)

∑ X2Y =i∑ X2+ j∑ X3+k∑ X 4

¿3325000 i+2487500000 j+1,98336 ×1012 k (iii)

Dari persamaan i, ii, dan iii diperoleh harga:

i = -0,05514965 ; j = 1,52681836×10−3 ; k = -3,788058×10−9

Y= (−0,05514965 )+(1,52681836 ×10−3 ) X+(−3,788058× 10−9) X2



r2=∑ ( (Y − y )2 )−∑ ((Y −i− jX−b X2 )2 )∑ ( (Y− y )2 )

¿ 1,91521−0,001521,91521

=0,99921




y=∑Y

n=

15,34510

=1,5345


a=(∑Y ) (∑ X2 )− (∑ X )(∑ XY )

n∑ X2−(∑ X2 )

¿(15,345 ) (3325000 )−(5000 )(10417,25)

10 (3325000 )−(3325000)=−0,03556

b=n (∑ XY )−(∑ X ) (∑Y )

n∑ X2−(∑ X2 )

¿10 (10417,25 )−(5000 )(15,345)

10 (3325000 )−(3325000)=9,172 ×10−4

Y= (−0,03556 )+(9,172 ×10−4) X

r2=∑ ( (Y − y )2 )−∑ ((Y−a−bX )2 )

∑ ((Y − y )2 )

¿9,15392−17,16642

9,15392=−0,87531


∑Y =¿+ j∑ X+k∑ X2=10i+5000 j+3325000 k (i)

∑ XY=i∑ X+ j∑ X2+k∑ X3=5000 i+3325000 j+2487500000 k (ii)

∑ X2Y =i∑ X2+ j∑ X3+k∑ X 4

¿3325000 i+2487500000 j+1,98336 ×1012 k (iii)


i = -0,13659726; j = 0,0033724417 ; k = -4,5447228×10−8

Y= (−0,13659726 )+(0,0033724417 ) X+(−4 , 5447228 ×10−8) X2



r2=∑ ( (Y − y )2 )−∑ ((Y −i− jX−b X2 )2 )∑ ( (Y− y )2 )

¿9,15392−0,02211

9,15392=0,997585




y=∑Y

n=

7,81510

=0,7815


a=(∑Y ) (∑ X2 )− (∑ X )(∑ XY )

n∑ X2−(∑ X2 )

¿(7,815 ) (3325000 )−(5000 )(5090,25)

10 (3325000 )−(3325000)=0,01783

b=n (∑ XY )−(∑ X ) (∑Y )

n∑ X2−(∑ X2 )

¿10 (5090,25 )−(5000 )(7,815)

10 (3325000 )−(3325000)=3,952 ×10−4

Y= (0,01783 )+(3,952 ×10−4) X

r2=∑ ( (Y − y )2 )−∑ ((Y−a−bX )2 )

∑ ((Y − y )2 )

¿1,70795−4,10599

1,70795=−1,404046


∑Y =¿+ j∑ X+k∑ X2=10i+5000 j+3325000 k (i)

∑ XY=i∑ X+ j∑ X2+k∑ X3=5000 i+3325000 j+2487500000 k (ii)

∑ X2Y =i∑ X2+ j∑ X3+k∑ X 4

¿3325000 i+2487500000 j+1,98336 ×1012 k (iii)


i = 0,069442152478; j = 0,001405216457391 ; k = 2,8419906×10−8

Y= (0,069442152478 )+(0,001405216457391 ) X+(2 ,8419906 × 10−8) X2



r2=∑ ( (Y − y )2 )−∑ ((Y −i− jX−b X2 )2 )∑ ( (Y− y )2 )

¿1,70795−0,01228

1,70795=0,99281




y=∑Y

n=

10,78510

=1,0785


a=(∑Y ) (∑ X2 )− (∑ X )(∑ XY )

n∑ X2−(∑ X2 )

¿(10,785 ) (3325000 )−(5000 )(7181,25)

10 (3325000 )−(3325000)=−1,54× 10−3

b=n (∑ XY )−(∑ X ) (∑Y )

n∑ X2−(∑ X2 )

¿10 (7181,25 )−(5000 )(10,785)

10 (3325000 )−(3325000)=5,977 ×10−4

Y= (−1,54 ×10−3 )+(5,977 × 10−4) X

r2=∑ ( (Y − y )2 )−∑ ((Y−a−bX )2 )

∑ ((Y − y )2 )

¿3,8833−8,14194

3,8833=−1,096655


∑Y =¿+ j∑ X+k∑ X2=10i+5000 j+3325000 k (i)

∑ XY=i∑ X+ j∑ X2+k∑ X3=5000 i+3325000 j+2487500000 k (ii)

∑ X2Y =i∑ X2+ j∑ X3+k∑ X 4

¿3325000 i+2487500000 j+1,98336 ×1012 k (iii)


i = 0,011224920257072; j = 2,067788807149×10−3 ; k = 1,00393011×10−7

Y= (0,0112249202571)+(2 , 06778881× 10−3 ) X+(1 , 00393011×10−7) X2



r2=∑ ( (Y − y )2 )−∑ ((Y −i− jX−b X2 )2 )∑ ( (Y− y )2 )

¿3,8833−0,00444

3,8833=0,998857




y=∑Y

n=

3,4110

=0,341


a=(∑Y ) (∑ X2 )− (∑ X )(∑ XY )

n∑ X2−(∑ X2 )

¿(3,41 ) (3325000 )−(5000 )(2246)

10 (3325000 )−(3325000)=3,6174 × 10−3

b=n (∑ XY )−(∑ X ) (∑Y )

n∑ X2−(∑ X2 )

¿10 (2246 )−(5000 )(3,41)

10 (3325000 )−(3325000)=1,807853 ×10−4

Y= (3,6174 ×10−3 )+(1,807853 ×10−4) X

r2=∑ ( (Y − y )2 )−∑ ((Y−a−bX )2 )

∑ ((Y − y )2 )

¿0,36174−0,80313

0,36174=−1,2208186


∑Y =¿+ j∑ X+k∑ X2=10i+5000 j+3325000 k (i)

∑ XY=i∑ X+ j∑ X2+k∑ X3=5000 i+3325000 j+2487500000 k (ii)

∑ X2Y =i∑ X2+ j∑ X3+k∑ X 4

¿3325000 i+2487500000 j+1,98336 ×1012 k (iii)


i = 0,0229559581 ; j = 5,9704267×10−4 ; k = 5,8714901×10−8

Y= (0,0229559581 )+ (5,9704267 ×10−4 ) X+(5,8714901× 10−8) X2



r2=∑ ( (Y − y )2 )−∑ ((Y −i− jX−b X2 )2 )∑ ( (Y− y )2 )

¿0,36174−0,00679

0,36174=0,98123




y=∑Y

n=

3,29510

=0,3295


a=(∑Y ) (∑ X2 )− (∑ X )(∑ XY )

n∑ X2−(∑ X2 )

¿(3,295 ) (3325000 )−(5000 )(2199,25)

10 (3325000 )−(3325000)=−1,34921 ×10−3

b=n (∑ XY )−(∑ X ) (∑Y )

n∑ X2−(∑ X2 )

¿10 (2199,25 )−(5000 )(3,295)

10 (3325000 )−(3325000)=1,84378 ×10−4

Y= (−1,34921× 10−3 )+(1,84378 ×10−4) X

r2=∑ ( (Y − y )2 )−∑ ((Y−a−bX )2 )

∑ ((Y − y )2 )

¿0,37157−0,76574

0,37157=−1,060823


∑Y =¿+ j∑ X+k∑ X2=10i+5000 j+3325000 k (i)

∑ XY=i∑ X+ j∑ X2+k∑ X3=5000 i+3325000 j+2487500000 k (ii)

∑ X2Y =i∑ X2+ j∑ X3+k∑ X 4

¿3325000 i+2487500000 j+1,98336 ×1012 k (iii)


i =−¿6,7974386×10−3 ; j = 6,801521×10−4 ; k = −1,1364174 × 10−8

Y= (−6,7974386 ×10−3 )+(6,801521 ×10−4 ) X+¿



r2=∑ ( (Y − y )2 )−∑ ((Y −i− jX−b X2 )2 )∑ ( (Y− y )2 )

¿0,37157−0,00256

0,37157=0,99311




y=∑Y

n=

6,68010

=0,668


a=(∑Y ) (∑ X2 )− (∑ X )(∑ XY )

n∑ X2−(∑ X2 )

¿(6,68 ) (3325000 )−(5000 )(4487,50)

10 (3325000 )−(3325000)=−7,569 ×10−3

b=n (∑ XY )−(∑ X ) (∑Y )

n∑ X2−(∑ X2 )

¿10 ( 4487,50 )− (5000 )(6,68)10 (3325000 )−(3325000)

=3,8346 ×10−4

Y= (−7,569 ×10−3 )+(3,8346 ×10−4) X

r2=∑ ( (Y − y )2 )−∑ ((Y−a−bX )2 )

∑ ((Y − y )2 )

¿1,59841−3,18068

1,59841=−0,9899025


∑Y =¿+ j∑ X+k∑ X2=10i+5000 j+3325000 k (i)

∑ XY=i∑ X+ j∑ X2+k∑ X3=5000 i+3325000 j+2487500000 k (ii)

∑ X2Y =i∑ X2+ j∑ X3+k∑ X 4

¿3325000 i+2487500000 j+1,98336 ×1012 k (iii)


i =−¿1,71057×10−4 ; j = 1,228023×10−3 ; k = −1,628865×10−7

Y= (−1,71057 ×10−4 )+(1,228023 ×10−3 ) X+(1,628865× 10−7) X2



r2=∑ ( (Y − y )2 )−∑ ((Y −i− jX−b X2 )2 )∑ ( (Y− y )2 )

¿1,59841−0,00094

1,59841=0,999412




y=∑Y

n=

16,15010

=1,615


a=(∑Y ) (∑ X2 )− (∑ X )(∑ XY )

n∑ X2−(∑ X2 )

¿(16,15 ) (3325000 )−(5000 )(10961)

10 (3325000 )−(3325000)=−3,6967 ×10−2

b=n (∑ XY )−(∑ X ) (∑Y )

n∑ X2−(∑ X2 )

¿10 (10961 )−(5000 )(16,15)10 (3325000 )−(3325000)

=9,6441 ×10−4

Y= (−3,6967 ×10−2)+(9,6441 ×10−4) X

r2=∑ ( (Y − y )2 )−∑ ((Y−a−bX )2 )

∑ ((Y − y )2 )

¿10,1124−18,99658

10,1124=−0,87854


∑Y =¿+ j∑ X+k∑ X2=10i+5000 j+3325000 k (i)

∑ XY=i∑ X+ j∑ X2+k∑ X3=5000 i+3325000 j+2487500000 k (ii)

∑ X2Y =i∑ X2+ j∑ X3+k∑ X 4

¿3325000 i+2487500000 j+1,98336 ×1012 k (iii)


i =−0,0528749424 ; j = 3,0133104×10−3 ; k = 4,84871443 × 10−7

Y= (−0,0528749424 )+( 3,0133104 ×10−3 ) X+(4,84871443× 10−7) X2



r2=∑ ( (Y − y )2 )−∑ ((Y −i− jX−b X2 )2 )∑ ( (Y− y )2 )

¿10,1124−0,00424

10,1124=0,999581



4.5 Hasil Pengujian

4.5.1 Contoh Perhitungan

1. Untuk spesimen 1 (a = 75 mm, R = 75 mm, b = 75 mm) dengan W = 150

gram

Defleksi vertikal (∆ w)

∆ w=W a2

3EI+ WR

E I [ π a2

2+ π R2

4+2aR ]+ W

EI[ a2b+2 a b2+b R2 ]

¿ 150 . 752

3.2 ×107 .1

12.25,4 . (3,2 )3

+ 150 .75

2 ×107 .1

12.25,4 . (3,2 )3

[ 3,14 .752

2+ 3,14 .752

4+2.75 .75]+ 150

2×107 .1

12.25,4 . (3,2 )3

[752 .75+2.75 . 752+75.752 ]

¿0,38135 mm

Defleksi horizontal (∆ p)

∆ p=W R2

EI [a( π2−1)+ R

2 ]+ WEI [abR+b R2+ ab2

2+ b2 R

2 ]

¿ 150.752

2× 107 .1

12.25,4 . (3,2 )3

[75( 3,142

−1)+ 752 ]+ 150

2 ×107 .1

12.25,4 . (3,2 )3

[75.75.75+75.752+ 75.752

2+ 752 .75

2 ] ¿0,18567 mm

2. Untuk spesimen 2 (a = 0, R = 150 mm, b = 0) dengan W = 150 gram


∆ w= πW R3

4 EI= 3,14.150 .1503

4.2× 107 .1

12.25,4 . (3,2 )3



¿0,28649 mm Defleksi horizontal (∆ p)

∆ p=W R3

2 EI= 150 . 1503

2 .2×107.1

12.25,4 . (3,2 )3

¿0,18247 mm

3. Untuk spesimen 3 (a = 0, R = 75 mm, b = 75 mm) dengan W = 150 gram


∆ w= πW R3

4 EI+ Wb R2

EI

¿ 3,14 .150 .753

4 .2 ×107 .1

12.25,4 . (3,2 )3

+ 150 . 75 .752

2×107.112

.25,4 . (3,2 )3

¿0 ,08143 mm


∆ p=W R3

2 EI+ WbR

EI(R+ b

2)

¿ 150 . 753

2. 2 ×107 .1

12.25,4 . (3,2 )3

+ 150 .75 .75

2 ×107 .1

12.25,4 . (3,2 )3

(75+ 752 )

¿0,09124 mm

4. Untuk spesimen 4 (a = 150 mm, R = 0, b = 150 mm) dengan W = 150 gram


∆ w=W a2

EI( a

3+b)

¿ 150 . 1502

2× 107 .1

12.25,4 . (3,2 )3

( 1503

+150)



¿0,48660 mm


∆ p=W ab2

2 EI

¿ 150. 150.1502

2. 2 ×107 .1

12.25,4 . (3,2 )3

¿0,18247 mm



4.5.3 Grafik dan Pembahasan

1. Grafik Hubungan antara Beban dengan Defleksi Horizontal (∆p) dan

Vertikal (∆w) Spesimen 1 (a = 75 mm, R = 75 mm, b = 75 mm)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000.000

0.500

1.000

1.500

2.000

2.500

3.000

3.500

f(x) = − 4.18741221040494E-21 x² + 0.00254231175099771 x − 2.80866677486136E-16R² = 1

f(x) = − 4.54545454545468E-08 x² + 0.00337242424242425 x − 0.136598484848486R² = 0.997584277851016

f(x) = − 1.18687201223212E-20 x² + 0.00123778666098288 x − 6.31950024343806E-16R² = 1

f(x) = − 3.78787878788267E-09 x² + 0.00152681818181819 x − 0.0551496212121216R² = 0.999205483123696

Grafik Hubungan antara Beban dengan Defleksi Horizontal (∆p) dan Vertikal (Δw) Spesimen 1

defleksi horizontal aktualPolynomial (de-fleksi horizontal aktual)defleksi horizontal teoritisPolynomial (de-fleksi horizontal teoritis)defleksi vertikal aktualPolynomial (de-fleksi vertikal aktual)defleksi vertikal teoritis

Beban (gram)

Def

lek

si (

mm

)

Gambar 4.17 Grafik Hubungan antara Beban dengan Defleksi Horizontal (∆p) dan Vertikal (∆w) Spesimen 1

Analisa grafik:

Grafik di atas menunjukkan hubungan antara defleksi horizontal dan

defleksi vertikal yang terjadi (aktual dan teoritis) akibat pembebanan yang

diberikan pada Curved Bars Apparatus dengan dimensi spesimen 1 (a = 75

mm, R = 75 mm, b = 75 mm), dimana semakin besar beban yang diberikan

maka defleksi horizontal dan defleksi vertikal yang terjadi juga semakin

besar.

Pada setiap bahan mempunyai modulus elastisitas yang merupakan

perbandingan antara tegangan yang diperlukan untuk menghasilkan suatu

regangan pada bahan yang bersangkutan. Selama masih dalam batas

proporsional (batas elastisitas bahan) tegangan memanjang menimbulkan

regangan yang besarnya sama dimana modulus young dirumuskan dengan :



Y = δε

.

FA∆ll 0

= F x l 0∆ l. A

Ket : δ = Tegangan

ε = Regangan

Jika batas proporsional belum terlampaui,perbandingan tegangan

tegangan terhadap regangan konstan dan karena itu hukum Hooke sama

maknanya dengan ungkapan bahwa dalam proporsional, modulus elastisitas

bahan adalah konstan bergantung hanya pada sifat bahan.

Pada proses defleksi, salah satu faktor penting yang juga

mempengaruhi nilai dari defleksi spesimen adalah inersia penampang bahan

itu sendiri. Inersia bisa diartikan juga sebagai kecenderungan suatu material

untuk mempertahankan kondisi awalnya ketika dilakukan pembebanan.

Inersia suatu bahan dapat diketahui dari dimensi luasan penampangnya,

misalkan untuk penampang berikut:

h

b

Maka, inersia spesimen tersebut adalah 1

12 . b. h3 dan faktor faktor tersebut

sesuai dengan rumus :

∆ p=W R2

EI [a( π2−1)+ R


2+ b2 R

2 ]Dan untuk defleksi vertikal,

∆ w=W a2

3EI+ WR

EI [ π a2

2+ π R2

4+2aR ]+ W

EI[ a2b+2 a b2+b R2 ]

Dari rumus diatas dapat diketahui bahwa defleksi horizontal (∆ p)

dan defleksi vertikal (∆ w) berbanding lurus dengan pembebanan yang

diberikan (W). Pada grafik ini juga menunjukan bahwa nilai defleksi

horizontal dan vertikal aktual yang lebih besar daripada teoritisnya, dimana

garis defleksi aktual berada di atas defleksi teoritis. Hal ini disebabkan

karena:



a. Perubahan Modulus Young pada spesimen yang sering dipakai

sehingga menyebabkan spesimen lebih mudah terdefleksi

b. Perubahan inersia penampang spesimen yang disebabkan adanya

perubahan dimensi benda karena pembebanan statis, sedangkan dalam

perhitungan teoritis E dan I bernilai konstan




Vertikal (∆w) Spesimen 2 (a = 0, R = 150 mm, b = 0)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000.000

0.500

1.000

1.500

2.000

2.500

f(x) = 2.82855298777214E-21 x² + 0.00190990177665169 x + 1.54476672617375E-15

f(x) = 1.00378787878788E-07 x² + 0.00206780303030303 x + 0.0112225378787881

f(x) = − 1.48809211178548E-20 x² + 0.00121649794691192 x − 1.26390004868761E-15

f(x) = 2.84090909090878E-08 x² + 0.00140522727272728 x + 0.0694403409090903



Beban (gram)

Def

lek

si (

mm

)


Analisa grafik:

Grafik hubungan antara beban dengan defleksi horizontal (∆p) dan

vertikal (∆w) spesimen 2 menunjukkan hubungan antara defleksi horizontal

dan defleksi vertikal yang terjadi (aktual dan teoritis) akibat pembebanan

yang diberikan pada Curved Bars Apparatus dengan dimensi spesimen 2 (a

= 0, R = 150 mm, b = 0), dimana semakin besar beban yang diberikan maka

defleksi horizontal dan defleksi vertikal yang terjadi juga semakin besar.








Y = δε

.

FA∆ll 0

= F x l 0∆ l. A

Ket : δ = Tegangan

ε = Regangan











h

b




∆ p=W R3

2 EI

Dan untuk defleksi vertikal,

∆ w= πW R3

4 EI

Dari rumus diatas dapat diketahui bahwa defleksi horizontal (∆ p

) dan defleksi vertikal (∆ w) berbanding lurus dengan pembebanan yang




karena:



a. Perubahan Modulus Young pada spesimen yang sering dipakai sehingga

menyebabkan spesimen lebih mudah terdefleksi







Vertikal (∆w) Spesimen 3 (a = 0, R = 75 mm, b = 75 mm)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000.000

0.100

0.200

0.300

0.400

0.500

0.600

0.700

0.800

f(x) = 4.1751740856653E-23 x² + 0.00054286220880944 x − 1.05325004057301E-16R² = 1

f(x) = − 1.13636363636316E-08 x² + 0.000680151515151512 x − 0.0067973484848481R² = 0.993105061066226f(x) = − 1.36916391375961E-21 x² + 0.000608248973455956 x − 2.10650008114602E-16R² = 1

f(x) = 5.87121212121257E-08 x² + 0.000597045454545451 x + 0.0229554924242428R² = 0.981220921271095



Beban (gram)

Def

lek

si (

mm

)


Analisa grafik:



diberikan pada Curved Bars Apparatus dengan dimensi spesimen 3 (a = 0, R

= 75 mm, b = 75 mm), dimana semakin besar beban yang diberikan maka









Y = δε

.

FA∆ll 0

= F x l 0∆ l. A

Ket : δ = Tegangan

ε = Regangan











h

b




∆ p=W R3

2 EI+ WbR

EI(R+ b

2)


∆ w= πW R3

4 EI+ Wb R2

EI






karena:





b.Perubahan inersia penampang spesimen yang disebabkan adanya




Vertikal (∆w) Spesimen 4 (a = 150 mm, R = 0, b = 150 mm)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000.000

0.500

1.000

1.500

2.000

2.500

3.000

3.500

f(x) = 1.54106324345111E-20 x² + 0.00324399452509841 x + 1.68520006491682E-15R² = 1

f(x) = 4.84848484848483E-07 x² + 0.00301333333333334 x − 0.0528787878787885R² = 0.999581192247621

f(x) = − 1.48809211178548E-20 x² + 0.00121649794691192 x − 1.26390004868761E-15R² = 1

f(x) = 1.62878787878785E-07 x² + 0.00122803030303031 x − 0.00017234848484862R² = 0.99941125205294


defleksi horizontal aktualPolynomial (de-fleksi horizontal aktual)defleksi horizontal teoritisPolynomial (de-fleksi horizontal teoritis)defleksi vertikal aktualPolynomial (de-fleksi vertikal aktual)

Beban (gram)

Def

lek

si (

mm

)


Analisa grafik:



diberikan pada Curved Bars Apparatus dengan dimensi spesimen 4 (a =150

mm, R = 0, b = 150 mm), dimana semakin besar beban yang diberikan maka









Y = δε

.

FA∆ll 0

= F x l 0∆ l. A

Ket : δ = Tegangan

ε = Regangan











h

b




∆ p=W ab2

2 EI


∆ w=W a2

EI( a

3+b)








karena:






5. Grafik Hubungan antara Beban dengan Defleksi Horizontal (∆p) Berbagai

Spesimen

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000.00000

0.20000

0.40000

0.60000

0.80000

1.00000

1.20000

1.40000

f(x) = − 2.2216009648373E-21 x² + 0.0012165 x − 5.00000000064025E-06R² = 1

f(x) = 1.16920641870557E-21 x² + 0.000608251515151515 x − 7.5757575763021E-07R² = 0.999999999801438

f(x) = − 2.2216009648373E-21 x² + 0.0012165 x − 5.00000000064025E-06R² = 1f(x) = 1.51515151511006E-11 x² + 0.0012377703030303 x + 3.81060606047621E-06R² = 0.999999999957806

Grafik Hubungan antara Beban dengan Defleksi Horizontal (∆p) berbagai Spesimen

spesimen 1Polynomial (spes-imen 1)spesimen 2Polynomial (spes-imen 2)spesimen 3Polynomial (spes-imen 3)spesimen 4

Beban (gram)

Def

lek

si (

mm

)

Gambar 4.21 Grafik Hubungan antara Beban dengan Defleksi Horizontal (∆p) Berbagai Spesimen

Analisa grafik:

Pada grafik hubungan antara pembebanan dengan defleksi horizontal

dari berbagai spesimen, menunjukkan bahwa semakin besar beban yang

diberikan maka defleksi yang terjadi semakin besar.

Pada grafik tersebut, defleksi horizontal spesimen 1 lebih besar

daripada spesimen 2, 3, dan 4. Hal ini disebabkan karena pada spesimen 1

memiliki lengan a dan b serta kelengkungan jari-jari (R) yang masing-



masing 75 mm, sehingga memiliki daerah lengan penampang horizontal

yang paling panjang. Akibatnya pada spesimen 1 beban yang diberikan

lebih terdistribusi ke daerah lengan dan jari-jarinya. Kemudian diikuti oleh

spesimen 2 (a = 0, R = 150 mm, b = 0) dan 4 (a = 150 mm, R = 0, b = 150

mm) yang memiliki nilai defleksi yang sama, terletak dalam satu garis

dalam grafik. Defleksi yang terjadi pada spesimen 2 dan 4 ini sedikit lebih

rendah dari spesimen 1, hal ini disebabkan karena pada spesimen 2 dan 4

daerah lengan horizontal yang menerima beban lebih pendek dibanding

spesimen 1 dan pada spesimen 4 defleksi yang terjadi akan cenderung

vertikal (searah dengan pembebanan). Kemudian defleksi horizontal yang

paling rendah dialami oleh spesimen 3. Hal ini disebabkan karena pada

spesimen 3 (a = 0, R = 75 mm, b = 75 mm) memiliki panjang lengan sama

dengan nol, sehingga jarak antara lengan pembebanan menjadi lebih kecil

sehingga defleksinya pun mengecil.

Hubungan antara pembebanan dengan dimensi spesimen terhadap

defleksi horizontal yang terjadi dirumuskan dengan:

∆ p=W R2

EI [a( π2−1)+ R


2+ b2 R

2 ]Dengan rumus di atas diperoleh nilai defleksi horizontal (∆p) untuk

W maksimum 950 gram, pada spesimen 1 yaitu sebesar 1,17590 mm, pada

spesimen 2 dan 4 sebesar 1,15567 mm, dan pada spesimen 3 sebesar

0,57784 mm yang merupakan ∆p terkecil.



6. Grafik Hubungan antara Beban dengan Defleksi Vertikal (∆w) Berbagai

Spesimen

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000.00000

0.50000

1.00000

1.50000

2.00000

2.50000

3.00000

3.50000

f(x) = − 2.2727272726338E-11 x² + 0.00324401727272727 x − 2.07954545468615E-06R² = 0.999999999995602

f(x) = − 3.78787878812637E-12 x² + 0.000542866212121212 x − 8.46590909243919E-07R² = 0.999999999694012

f(x) = − 1.0756229931077E-21 x² + 0.0019099 x + 5.0000000004296E-06R² = 1

f(x) = 2.27272727268048E-11 x² + 0.00254228272727273 x + 7.07954545413272E-06R² = 0.999999999992839

Grafik Hubungan antara Beban dengan Defleksi Vertikal (∆w) berbagai Spesimen

spesimen 1Polynomial (spes-imen 1)spesimen 2Polynomial (spes-imen 2)spesimen 3Polynomial (spes-imen 3)spesimen 4Polynomial (spes-imen 4)

Beban (gram)

Def

lek

si (

mm

)

Gambar 4.22 Grafik Hubungan antara Beban dengan Defleksi Vertikal (∆w) Berbagai Spesimen

Analisa grafik:

Pada grafik hubungan antara pembebanan dengan defleksi vertikal

dari berbagai spesimen, menunjukkan bahwa semakin besar beban yang

diberikan maka defleksi yang terjadi semakin besar.

Pada grafik tersebut, defleksi vertikal spesimen 4 lebih besar

daripada spesimen 1, 2, dan 3. Hal ini disebabkan karena pada spesimen 4

memiliki kelengkungan jari-jari (R) sama dengan nol dan lengan a dan b

sama dengan 150 mm, sehingga beban hanya terdistribusi pada lengan a

tanpa adanya penahanan pada daerah kelengkungan (R) seperti pada

spesimen lainnya. Akibatnya defleksi yang ditimbulkan cenderung searah

dengan pembebanan yang diberikan, yaitu vertikal. Kemudian diikuti oleh

spesimen 1 (a = 75 mm, R = 75 mm, b = 75 mm), 2 (a = 0, R = 150 mm, b =

0) dan 3 (a = 0, R = 75 mm, b = 75 mm) yang memiliki nilai defleksi

vertikal yang semakin rendah. Pada spesimen 1 dan 2 memiliki

kelengkungan (R) sehingga beban yang diterima juga didistribusikan pada



daerah ini yang menyebabkan defleksi vertikalnya masih lebih rendah dari

spesimen 4. Sedangkan pada spesimen 3 tidak memiliki lengan a dan

memiliki kelengkungan (R) sehingga defleksi vertikal yang terjadi lebih

rendah, karena jarak pembebanan pada lengan lebih pendek.

Hubungan antara pembebanan dengan dimensi spesimen terhadap

defleksi vertikal yang terjadi dirumuskan dengan:

∆ w=W a2

3EI+ WR

EI [ π a2

2+ π R2

4+2aR ]+ W

EI[ a2b+2 a b2+b R2 ]

Dengan rumus di atas diperoleh nilai defleksi vertikal (∆w) untuk W

maksimum 950 gram, pada spesimen 1 yaitu sebesar 2,41520 mm, pada

spesimen 2 sebesar 1,81441 mm, pada spesimen 3 sebesar 0,51572 mm, dan

pada spesimen 4 sebesar 3,08179 mm yang merupakan ∆w terbesar.

4.6 Kesimpulan dan Saran

1. Kesimpulan

Dari pembahasan sebelumnya dapat disimpulkan bahwa semakin besar

pembebanan yang diberikan pada spesimen, maka defleksi horizontal maupun

vertikalnya juga akan semakin besar karena defleksi berbanding lurus dengan

beban yang diberikan (W). Hal ini sesuai dengan persamaan umum defleksi

horizontal:

∆ p=W R2

EI [a( π2−1)+ R


2+ b2 R

2 ]Dan untuk defleksi vertikal,

∆ w=W a2

3EI+ WR

EI [ π a2

2+ π R2

4+2aR ]+ W

EI[ a2b+2 a b2+b R2 ]

Defleksi horizontal yang terjadi pada spesimen 1 adalah yang paling

besar karena memiliki jarak antara lengan pembebanan yang paling panjang.

Kemudian diikuti spesimen 2 dan 4 yang mengalami defleksi yang sama besar,

dan defleksi horizontal pada spesimen 3 adalah yang paling kecil karena

memiliki panjang lengan sama dengan nol, sehingga jarak antara lengan

pembebanan menjadi lebih kecil sehingga defleksinya pun mengecil.

Defleksi vertikal yang terjadi pada spesimen 4 adalah yang paling besar

karena beban hanya terdistribusi pada lengan a tanpa adanya penahanan pada



daerah kelengkungan (R) seperti pada spesimen lainnya. Akibatnya defleksi

yang ditimbulkan cenderung searah dengan pembebanan yang diberikan, yaitu

vertikal. Kemudian diikuti spesimen 1, 2, dan 3 yang mengalami defleksi yang

paling kecil.

2. Saran

- Lakukan pengujian sesuai dengan prosedur yang disarankan

- Dalam pengambilan dan pengolahan data praktikum harus dilakukan

dengan cermat agar data yang dihasilkan lebih akurat

- Saat praktikum sebaiknya pergunakan spesimen yang masih baru dan

belum pernah dilakukan pembebanan


Bab 4 Defleksi FIX ( )

Documents

defleksi vertikal sumber

defleksi pada beam sumber

defleksi horizontal

dan posisi batang vertikal

defleksi ada

tumpuan jepit sumber

tumpuan engsel sumber

macammacam tumpuan