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O contedo deste curso de uso exclusivo de Nome99999999999, vedada, por quaisquer meios e a qualquer ttulo, a sua reproduo, cpia,divulgao e distribuio, sujeitando-se os infratores responsabilizao civil e criminal.
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Noes de Administrao Financeira - INSS
PROFESSOR CSAR FRADE
Prof. Csar de Oliveira Frade www.pontodosconcursos.com.br
1
Ol pessoal!
Primeiramente, irei fazer uma breve apresentao. Meu nome Csar de
Oliveira Frade, sou funcionrio de carreira do Banco Central do Brasil
BACEN aprovado no concurso de 1997.
Sou formado em Engenharia Civil pela Universidade Federal de Minas Gerais
UFMG. Possuo uma Ps-graduao em Finanas e Mercado de Capitais pelo
IBMEC, outra em Derivativos para Reguladores na Bolsa de Mercadorias e
Futuros BM&F e uma especializao em Derivativos Agrcolas pela Chicago Board of Trade CBOT1. Sou Mestre em Economia2 com nfase em Finanas na
Universidade de Braslia e o Doutorado, pela mesma Universidade, est faltando apenas a defesa da Tese3, sendo que os crditos j foram concludos.
Comecei no Banco Central trabalhando com a emisso de ttulos da dvida
pblica externa. De 2005 a 2008 fui Coordenador-Geral de Mercado de Capitais
na Secretaria de Poltica Econmica do Ministrio da Fazenda, auxiliando em
todas as mudanas legais e infralegais, principalmente aquelas que tinham
ligao direta com o Conselho Monetrio Nacional CMN. Voltei ao BACEN
para trabalhar na rea de risco com derivativos em um Departamento da rea
de Fiscalizao. No incio de 2012 fui cedido para a Presidncia da Repblica e
sou Coordenador da rea de Estudos e Planejamento na Secretaria de Aviao
Civil.
Sou professor de Finanas, Microeconomia, Macroeconomia, Matemtica,
Sistema Financeiro Nacional, Mercado de Valores Mobilirios, Estatstica e
Econometria. Leciono na rea de concursos pblicos desde 2001, tendo dado
aula em mais de uma dezena de cursinhos em vrias cidades do pas, desde
presenciais at via satlite.
1 A Chicago Board of Trade - CBOT a maior bolsa de derivativos agrcolas do mundo. 2A dissertao Contgio Cambial no Interbancrio Brasileiro: Uma Anlise Emprica defendida em 2003 foi publicada na Revista da BM&F, o paper aceito na Revista Estudos Econmicos e em alguns dos mais importantes Congressos de Economia da Amrica Latina LAMES. Versava sobre o risco sistmico a ser propagado via mercado de cmbio e as contribuies da Cmara de Compensao de Cmbio da BM&F para a mitigao desse risco. 3 Tese de Doutorado um parto e a gestao j est durando alguns anos. Acho que pode ser que ela no saia.
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2
Vamos ao que interessa! Como ser o curso? Essa uma matria muito ampla
e, no edital, o examinador apenas escreveu Noes de Administrao
Financeira. A pergunta que devemos fazer : o que so noes de alguma
coisa? E a resposta ser: depende do referencial. Para um aluno de 2 grau,
economia da graduao bem apertado, mas para um aluno de doutorado, a
graduao apenas uma noo do que a economia. Como o examinador no
foi claro, melhor irmos alm do que aqum, no mesmo? Dessa forma, estou
fazendo um curso bastante abrangente.
Possuo um estilo peculiar de dar aulas. Prefiro tanto em sala quanto em aulas
escritas que elas transcorram como conversas informais. Entretanto, quando
tenho que dar aulas de Teoria, gosto de explicar no apenas a matria, mas
tambm a forma como vocs devem raciocinar para acertar a questo.
Acredito que todos aqui esto muito mais interessados em passar no concurso
do que aprender tudo de Microeconomia.
Desta forma, estarei fazendo uma mescla entre um papo informal (papo que
ocorrer sempre que for possvel) e a teoria formal. Mas nunca deixarei de
ensinar qual o raciocnio que vocs devem utilizar para acertar as questes.
Acredito que a matria sendo exposta de forma informal torna a leitura mais
tranqila e isso pode auxiliar no aprendizado de uma forma geral. Exatamente
por isso, utilizo com freqncia o Portugus de uma forma coloquial.
Assim, a Aula Demonstrativa mostrar para vocs um pouco do que ser
esse curso. Ser uma aula menor que as outras, mas apenas para vocs
sentirem o gostinho de que essa matria no to complicada como a maioria
pensa. No h a necessidade de nenhum conhecimento prvio dos assuntos a
serem abordados.
Contedo Programtico (uma por semana): Aula 0 Risco x Retorno, Custo de Oportunidade
Aula 1 Anlise de Investimentos Parte 2: Processos de Deciso
Aula 2 Anlise de Investimentos Parte 3: Ferramentas Avanadas - Custo
de capital (taxa mnima de atratividade, custo mdio ponderado de capital
WACC e modelo de precificao de ativos - CAPM)
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3
Aula 3 Risco x Retorno, Custo de Oportunidade
Aula 4 Risco x Retorno, Custo de Oportunidade
Aula 5 Avaliao de Empresas e metodologia de avaliao (mtodos de
mltiplos de mercado, fluxo de caixa descontado, taxa de crescimento,
perpetuidade e valor de mercado).
Aula 6 Alavancagem e Endividamento, Planejamento Financeiro e
Oramentrio, Administrao do Capital de Giro.
Aula 7 Fontes de Financiamento a Longo Prazo. Captao de recursos
prprios e de terceiros de longo prazo. Proposices Modigliani & Miller. Leasing
financeiro.
Espero que este curso seja bastante til a voc e que possa, efetivamente,
auxili-lo na preparao para o concurso do INSS e na conseqente conquista
da to sonhada vaga. As dvidas sero sanadas por meio do frum do curso, a
que todos os matriculados tero acesso. Caso tenha exerccios da matria e
queira me enviar, farei todos os esforos para que eles sejam, medida do
possvel, includo no curso. Envie para meu e-mail abaixo (e-mail do Ponto).
As crticas ou sugestes podero ser enviadas para: [email protected].
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O contedo deste curso de uso exclusivo de Nome99999999999, vedada, por quaisquer meios e a qualquer ttulo, a sua reproduo, cpia,divulgao e distribuio, sujeitando-se os infratores responsabilizao civil e criminal.
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Pessoal,
fundamental que saibamos uma boa parte da matemtica financeira para
podermos estudar Administrao Financeira.
Dessa forma, eu irei mostrar para vocs aquilo que tem que ser aprendido da
matemtica financeira para que possamos ter o perfeito desenvolvimento de
nossa matria, combinado?
1. Matemtica Financeira
A matemtica financeira tem como objetivo o estudo das mudanas das
variveis monetrias na linha do tempo.
Determinada pessoa que possui recursos financeiros empresta-o ou aluga-o a
outro agente e receber por isso uma quantia a ttulo de aluguel. Essa quantia
denominada juro.
Esses juros so necessrios porque o agente emprestador dever ficar por um
determinado tempo sem usufruir do benefcio que aquele recurso poderia lhe
trazer, incorrendo, portanto, em um custo de oportunidade.
Imagine a situao em que eu lhe solicito o seu apartamento emprestado por
dois anos uma vez que eu no possuo lugar para morar na sua cidade. claro
que voc se prontificaria a me emprestar, mas sabe que enquanto ele tiver
emprestado no ser possvel vend-lo e, portanto, incorrer em um custo de
oportunidade. Para fazer face a essa falta de liquidez do seu ativo
(apartamento) voc opta por exigir uma compensao financeira que
chamada de aluguel. Essa situao descrita uma prtica comum no Brasil e
que todos ns no vemos com maus olhos.
Entretanto, no h a menor diferena entre esse emprstimo do apartamento
com a devida remunerao do aluguel para o emprstimo do recurso financeiro
com a devida cobrana do juro.
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Sendo assim, podemos definir que o juro o aluguel devido pelo emprstimo
do recurso financeiro.
2. Juros
Determinada pessoa que possui certo capital poder coloc-lo disposio de
outra pessoa. Quando efetuar essa operao receber em um futuro prximo o
seu recurso de volta e mais um determinado valor a ttulo de aluguel.
Observe que tal fato anlogo ao aluguel de um apartamento. medida que
emprestamos o nosso apartamento a uma determinada pessoa, ela dever
pagar, frequentemente um aluguel e, no final do contrato, devolver o
apartamento, no mesmo? Vejam que a situao muito semelhante ao que
ocorre na matemtica financeira.
A quantidade de recursos que o emprestador ter no final do perodo ser
chamado de montante e se constitui pela soma dos juros com o capital inicial
emprestado.
Montante = Capital + Juros
Os juros so representados por uma taxa percentual por unidade de tempo.
Voltemos ao caso do apartamento. Quando voc aluga o apartamento, voc
aluga um bem que possui um valor de venda. Logo, a proprietria do
apartamento est impossibilitada de vender ou utilizar esse apartamento para
outro fim e, por isso, receber esse recurso que ser combinado como um
valor fixo. Entretanto, esse valor fixo combinado, de certa forma, guarda uma
proporo com o valor venal do apartamento. No h uma proporo fixa em
termos percentuais, mas h uma proporo de tal forma que o aluguel em
locais mais valorizados maior.
Enfim. A taxa de juros ser fixada em termos percentuais ao capital por
unidade de tempo. Ela poder ser mensal, bimestral, trimestral, semestral, e
assim por diante.
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Neste curso, utilizaremos a letra i para representar a taxa de juros. A letra i
vem da palavra interest, que significa juros em ingls.
Uma taxa de juros de 6% ao ms poder ter diferentes notaes, quais sejam:
5% ao ms
05,0100
5=
Se uma determinada pessoa efetuar um emprstimo de R$ 1.000,00 por um
ms a uma taxa de 5% ao ms, ela dever receber no ms seguinte o valor de
00,5005,01000 = a ttulo de juros. Entretanto, dever ser acrescido a esse valor
o capital emprestado.
Observe que para calcularmos o valor a ser pago de juros devemos utilizar o
formato decimal da taxa.
3. Regimes de Capitalizao e Denominaes
O regime de capitalizao a forma como adicionamos os juros ao capital
aplicado.
Existem trs regimes de capitalizao. So eles:
capitalizao simples;
capitalizao composta; e
capitalizao contnua.
Neste curso iremos estudar os dois primeiros e as suas relaes.
Vamos agora definir as grandezas que iremos utilizar ao longo dessas aulas:
Capital (C): tambm chamado de valor presente ou valor vista de um
ativo. Ser o valor emprestado no instante zero.
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Taxa de juros (i): a taxa peridica cobrada pelo emprstimo do capital a
outra pessoa.
Juros (J): o valor produzido, em reais, a ttulo de emprstimo do capital a
uma determinada taxa de juros.
Montante (M): o valor a ser devolvido ao proprietrio do recurso financeiro.
Ser constitudo do capital mais os juros relativos ao emprstimo.
Tempo (n): o nmero de perodos em que os recursos ficaram
emprestados.
Vamos a um exemplo para tentarmos definir todas essas grandezas. Suponha
que o Srgio v a um Banco e capte um emprstimo de R$ 1.000,00 pelo
prazo de 1 ano. A taxa de juros cobrada pelo Banco de 20% ao ano.
Se esta operao acontecesse, o Srgio teria captado um emprstimo de R$
1.000,00 e deveria devolver ao Banco, dentro de um ano, o valor emprestado
e outro valor a ttulo de juros.
O capital seria de R$1.000,00. A taxa de juros da operao seria de 20% ao
ano. A operao ocorreria pelo prazo de um ano e como devemos, neste caso,
determinar o nmero de perodos em anos, teramos 1 perodo. E o montante
seria o valor a ser devolvido pelo Srgio ao Banco. Poderamos representar da
seguinte forma:
C = 1.000,00
i = 10% ao ano
n = 1 ano 001001001000 ,, ==J
M = C + J = 1.000,00 + 100,00 = 1.100,00
4. Capitalizao Simples
O regime de capitalizao simples se caracteriza pelo fato de o capital de um
determinado perodo ser idntico ao do perodo inicial. Ou seja, o tempo
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O contedo deste curso de uso exclusivo de Nome99999999999, vedada, por quaisquer meios e a qualquer ttulo, a sua reproduo, cpia,divulgao e distribuio, sujeitando-se os infratores responsabilizao civil e criminal.
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vai passando e com isso os juros gerados vo sendo incorporados ao
Montante, mas no aumentam o capital sobre o qual incidiro no perodo
seguinte. O capital estar sempre fixo independentemente do perodo em que
estejamos.
sempre muito mais fcil mostrar matematicamente do que descrever o que
ocorre. Portanto, vamos l. Vamos tentar compreender o que ocorre por meio
de um exemplo.
Srgio foi a um Banco e captou um emprstimo de R$ 10.000,00 pelo prazo de
5 anos. Por esse emprstimo, pagar uma taxa de juros de 20% ao ano.
Inicialmente, vamos definir as grandezas existentes:
Capital (C) = R$ 10.000,00
Prazo (n) = 5 anos
Taxa de Juros (i) = 20% ao ano = 20% a.a.
A frmula utilizada para o clculo dos juros no regime de capitalizao simples
:
niCJ =
Portanto, no exemplo que estamos desenvolvendo, o resultado dos juros seria
igual a:
00000212000000010 ,.,,. ===
J
niCJ
Entretanto, importante observar que este o valor devido a ttulo de juros
para cada perodo. Quando estamos no perodo 2, h um acmulo de mais
R$2.000,00. Como o valor do perodo 1 era o mesmo, h um juros acumulado
nos dois perodos da ordem de R$ 4.000,00.
Se estivermos interessados em saber qual o valor devido a ttulo de juros no
final de cinco anos, basta proceder da seguinte forma:
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000001052000000010 ,.,,. ===
J
niCJ
Da mesma forma, podemos desenvolver a frmula para o clculo do montante
devido a ttulo de juros e principal em um perodo qualquer:
niCCM
JCM
+=
+=
( )niCM += 1
Observe que se desejarmos determinar o valor devido no final do quinto
perodo basta procedermos da seguinte forma:
( )
( )( )
0000020
1100010
5200100010
1
,..
,.
=
+=
+=
+=
M
M
M
niCM
Veja o desenvolvimento dos juros e montante devidos perodo a perodo
utilizando o regime de capitalizao simples:
Observe que o capital em todos os perodos se mantm constante, ou seja, se
mantm em R$10.000,00. Com isso, os juros de cada perodo sero
constantes e equivalero a R$2.000,00. Essa uma caracterstica nica do
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regime de capitalizao simples, pois o montante do perodo 1 no se
transformar em capital do perodo seguinte.
Para fazer esse exemplo, tive que usar uma premissa, a de que estamos
sempre no incio do perodo. Ou seja, o recurso emprestado na data focal
zero e o primeiro perodo ocorrer h um ano da data de hoje. Portanto,
quando digo que os recursos esto no perodo 1, estou afirmando que aquele
valor ocorre h um ano da data atual.
5. Capitalizao Composta
O regime de capitalizao composta se caracteriza pelo fato de o capital de
um determinado perodo ser exatamente igual ao montante do perodo
anterior. Ou seja, os juros proporcionados em um determinado perodo
passaro a compor o montante e, consequentemente, o capital do perodo
subseqente.
A frmula utilizada para o caso do regime de capitalizao composta :
( )niCM += 1
exatamente a operao de exponenciao que faz com que haja a ocorrncia
de juros sobre juros. Observe que no primeiro perodo, os juros incidem
apenas sobre o capital emprestado e, portanto, ser igual a R$2.000,00, como
nos juros simples. Entretanto, esse valor dever ser somado ao capital inicial
para a formao do Montante no perodo 1 e, em seguida, transformado no
capital do perodo 2. Logo, a nova incidncia de juros ocorrer sobre o capital
inicial e os juros at ento incorridos e no pagos.
Se utilizarmos o mesmo exemplo do Srgio com o Banco, temos o seguinte
resultado.
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Acompanhe pelas setas azuis que o montante de um perodo passa a ser o
capital do perodo subseqente.
Apesar das crticas sobre a existncia do anatocismo4 nesta prtica, h uma
lgica por trs dela.
Imagine que o Srgio tenha solicitado um emprstimo de R$10.000,00 nesse
banco e que alguma ordem judicial proba o banco da cobrana dos juros sobre
juros. Restariam duas opes. A primeira delas seria o aumento da taxa de
juros de tal forma que o resultado final a ser pago, ao final de 5 anos, seja
igual a R$24.883,20 na aplicao de juros simples. A segunda opo, e
provavelmente a que seria utilizada, seria a obrigatoriedade de pagamento dos
juros a cada final de perodo e a obteno de um novo emprstimo.
Com isso, vemos que a medida seria incua. At porque a partir do momento
em que h a ocorrncia dos juros, esses se tornam uma dvida e seu no
pagamento faz com que haja uma incorporao ao saldo devedor.
Uma medida como essa seria acompanhada de outra medida das instituies
financeiras que obrigariam as pessoas, nesse caso o Srgio, a quitar
anualmente os juros sobre o capital relativos quele perodo. Se o tomador
no tivesse recursos seria obrigado a captar um novo emprstimo e, nesse
caso, ao invs de ter um emprstimo de R$ 10.000,00 passaria a ter um
emprstimo de R$ 10.000,00 e outro de R$ 2.000,00 sendo que este ltimo foi
obtido com o intuito de quitar os juros relativos ao primeiro.
4 Anatocismo a prtica do juros sobre os juros e isto ocorre porque ele incorporado ao capital.
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6. Juros Simples x Juros Compostos
um exerccio muito interessante montar uma tabela comparativa que tem
como objetivo comparar os dois regimes de capitalizao. Entretanto,
usaremos para esse mesmo exemplo perodos de capitalizao menores, iguais
e maiores do que 1 e um capital constante e igual a R$ 10.000,00.
Observe que iremos utilizar as frmulas dadas para a capitalizao composta e
simples, usando a taxa de juros de 20% ao ano e capital de R$10.000,00.
Variaremos os perodos (n) e encontraremos os resultados para o montante e
juros.
Veja a Tabela abaixo:
Observe que se utilizarmos perodos inferiores a um, os juros proporcionados
pela capitalizao simples so maiores que aqueles da capitalizao composta.
Isto ocorre porque quando usamos a exponenciao para nmeros inferiores a
um estamos nos utilizando da radiciao. Ou seja, elevar um nmero a outro
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menor do que um provoca resultado idntico ao de fazer uma operao com
raiz.
Faamos uma comparao simples:
16416
8501650 ==
=,
,
Se utilizarmos perodos superiores a um, os juros obtidos com o regime de
capitalizao simples sero sempre menores que aqueles obtidos no regime de
capitalizao composta.
Se utilizarmos perodos iguais a um, os juros obtidos com o regime de
capitalizao simples sero idnticos queles obtidos no regime de
capitalizao composta.
Resumindo:
Se n < 1 Juros Simples > Juros Compostos
Se n = 1 Juros Simples = Juros Compostos
Se n > 1 Juros Simples < Juros Compostos
Veja o que relatei, graficamente:
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No grfico acima, utilizei uma taxa de 100% e um capital inicial de
R$10.000,00. Optei por trocar o valor da taxa de juros apenas para que ficasse
mais evidente o grfico. Apenas por motivos didticos.
Observe que os juros simples formam uma reta enquanto que os compostos
formam uma curva.
7. Classificao das Taxas de Juros
As taxas de juros so classificadas em vrios tipos, quais sejam:
taxa proporcional;
taxa equivalente;
taxa nominal;
taxa efetiva;
taxa real; e
taxa aparente
Em um dos livros mais famosos de matemtica financeira, seu autor, Jos
Dutra Vieira Sobrinho diz que:
No mercado financeiro brasileiro, mesmo entre os tcnicos e
executivos, reina muita confuso quanto aos conceitos de taxas de
5000
10000
15000
20000
25000
30000
0 1 2 3
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juros, principalmente no que se refere s taxas nominal, efetiva e
real. O desconhecimento generalizado desses conceitos tem
dificultado o fechamento de negcios pela conseqente falta de
entendimento entre as partes.
Dentro dos programas dos diversos cursos de matemtica financeira
existe uma verdadeira poluio de taxas de juros. Alm das
mencionadas, temos ainda a simples (ou linear), a composta (ou
exponencial), a equivalente, a proporcional, a aparente, a antecipada,
etc, (...).
As causas da confuso reinante so antigas e numerosas, em cujo
mrito no entraremos. Preferimos concentrar-nos nas medidas que
entendemos necessrias para amenizar e, se possvel, solucionar o
problema existente. E a medida principal reside justamente numa
conceituao simples e clara das taxas mencionadas, que nos
propomos fazer.
a) Taxas Proporcionais
Segundo Sobrinho:
O conceito de taxas proporcionais utilizado somente para
capitalizao simples, no sentido de que o valor dos juros
proporcional apenas ao tempo.
Assim, a taxa proporcional de:
3% ao ms para 10 meses de 30%: %meses ms ao % 30103 = ;
Isso significa que a taxa proporcional a 3% ao ms para o perodo de 10
meses a taxa de 30%. Observe que essa taxa de 30% no ao ms, mas
sim para o perodo de 10 meses.
12% ao ano para 3 meses de 3%: %meses meses
ano ao %33
12
12=
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O contedo deste curso de uso exclusivo de Nome99999999999, vedada, por quaisquer meios e a qualquer ttulo, a sua reproduo, cpia,divulgao e distribuio, sujeitando-se os infratores responsabilizao civil e criminal.
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Isso significa que a taxa proporcional a 12% ao ano para o perodo de 3 meses
a taxa de 3%.
E assim sucessivamente. Observe que as taxas proporcionais variam de forma
linear e, exatamente, por esse motivo devem ser utilizadas nas transformaes
da capitalizao simples.
b) Taxas Equivalentes
Segundo Sobrinho:
A conceituao de equivalncia de taxas estabelece que duas taxas,
referentes a perodos distintos de capitalizao, so equivalentes
quando produzem o mesmo montante no final de determinado
tempo, pela aplicao de um capital inicial de mesmo valor.
Com isso, se aplicarmos um capital a uma taxa mensal pelo prazo de 12 meses
e esse mesmo capital a uma taxa anual pelo prazo de 1 ano e as duas
aplicaes resultarem no mesmo montante, temos que as taxas anuais e
mensais utilizadas so equivalentes.
Matematicamente, temos:
( )( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )112
112
1
12
11
11
1
1
am
am
aa
mm
ii
iCiC
iCM
iCM
+=+
+/=+/
=+=
+=am M anual taxa com MontanteM mensal taxa com Montante
Como no dia-a-dia os perodos a que se referem as taxas que se tem e as
taxas que se quer so os mais variados, vamos apresentar uma frmula
genrica, que possa ser utilizada para qualquer caso, ou seja:
( ) 11 += t
q
tq ii
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Sendo:
iq taxa que se quer
it taxa que se tem
q perodo da taxa que se quer
t perodo da taxa que se tem
c) Taxa Nominal
Segundo Sobrinho:
A taxa nominal a taxa calculada com base no valor nominal da
aplicao ou do emprstimo, ou seja, com base no valor explicitado
no ttulo ou no contrato; caso ela seja conhecida, podemos afirmar
que a taxa que incide sobre o valor nominal da aplicao ou do
emprstimo.
muito simples identificar uma taxa nominal. Sempre que uma taxa for
nominal a sua unidade ser diferente da unidade de capitalizao do capital. J
sei. Voc no sabe o que unidade de capitalizao, certo?
Pois ento. Vimos que no regime de capitalizao composta, montante de um
perodo ser o capital do perodo seguinte, concorda? Ento, o perodo de
capitalizao de quanto em quanto tempo o montante de um perodo passa a
ser o capital do perodo seguinte. Importante ressaltar que quanto menor for
esse prazo maior ser o montante final.
Imagine que determinada pessoa captou um emprstimo de R$10.000,00 a
uma taxa de 12% ao ano. Observe qual ser o montante a ser pago no final de
2 anos nos mais diferentes tempos de capitalizao.
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Observe que tnhamos uma taxa nominal de 12% ao ano. O primeiro passo foi
encontrar a taxa proporcional a 12% ao ano no perodo da capitalizao e,
posteriormente, pudemos efetuar nossos clculos utilizando a capitalizao
composta. Vamos fazer o exemplo da capitalizao mensal.
Pegamos a taxa anual de 12% ao ano com capitalizao mensal e encontramos
a taxa proporcional a essa ao ms. Para encontrar, basta dividir por 12 uma
vez que um ano tem 12 meses5. Logo, a taxa proporcional encontrada foi de
1%. Como o perodo total de 2 anos, temos que o nmero de perodos a
serem utilizados de 24 meses. Com isso, basta fazermos o seguinte clculo:
( )( ) 3569712010100010
124 ,.,. =+=
+=
M
iCMn
Importante observar as setas presentes na Tabela. Elas nos mostram que
quanto menor for o prazo da capitalizao menor ser a taxa mas por outro
lado maior ser o prazo, pois mais rapidamente o montante de um perodo
virar capital do perodo seguinte. Dessa forma, conclumos que quanto menor
for o prazo de capitalizao maior ser o montante ao final de um determinado
tempo.
5 Observe que quando fizemos a taxa diria, utilizamos um ano com 360 dias.
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d) Taxa Efetiva
Segundo Sobrinho:
obtida pela diviso dos juros pagos pelo valor do capital
efetivamente colocado pelo banco disposio da empresa na data
do contrato.
Observe que a aplicao de R$10.000,00 pelo prazo de dois anos a uma taxa
de 12% ao ano com capitalizao mensal resultou em um montante de
R$12.697,35. Desse valor, R$2.697,35 foram devidos aos juros. Logo, a taxa
efetiva para o perodo de dois anos foi de 26,97%.
%,10.000,002.697,35
10.000,0010.000,00-12.697,35
Efetiva Taxa 9726===
Suponha que o capital de R$10.000,00 seja aplicado pelo perodo de um ano a
uma taxa de 12% ao ano com capitalizao mensal. Dessa forma, taxa efetiva
ser dada por:
( )
( )
ano ao %,,.,.
,.,.,.
Efetiva Taxa
,.M,,.M
,,.M
i1CM
68120000010
252681
0000010
00000102526811
2526811
0110000010
12
12010000010
12
12
==
=
=
=
+=
+= n
Portanto, a taxa efetiva da aplicao de um taxa nominal de 12% ao ano com
capitalizao mensal de 12,68% ao ano.
e) Taxa Aparente
a taxa encontrada dividindo-se o valor de resgate (montante) pelo capital.
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f) Taxa Real
Segundo Sobrinho:
O clculo feito de forma anloga, dividindo-se o juro real pelo
capital inicial corrigido com base na taxa de inflao do perodo. O
juro real obtido pela diferena entre o valor de resgate e o capital
inicial corrigido pela inflao do perodo; o capital inicial corrigido
igual ao capital inicial adicionado da correo monetria do perodo.
a taxa encontrada utilizando-se a seguinte equao:
Inflao1Aparente Taxa
Real Taxa+
+=
1
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QUESTES RESOLVIDAS Enunciado para a questo 1
Tendo em vista que um emprstimo no valor de R$ 32.000,00, que foi
entregue no ato, sem prazo de carncia, ser amortizado pelo sistema Price,
taxa de juros de 60% ao ano, em 8 prestaes mensais e consecutivas, e
considerando 0,68 e 1,80 valores aproximados para 1,05e 1,05,
respectivamente, julgue os itens subsequentes.
Questo 1
(CESPE BRB Escriturrio 2011) A taxa efetiva anual do emprstimo
superior a 75%.
Enunciado para as questes 2 a 6
Acerca de juros e taxas de juros, julgue os itens a seguir.
Questo 2
(CESPE BRB Escriturrio 2011) Se o capital de R$ 5.000,00 for aplicado
por 3 anos, taxa de juros compostos de 12% ao ano com capitalizao
trimestral, o juro auferido por essa aplicao, em reais, ao final do perodo,
ser igual a 5.000 (1,0412 - 1).
Questo 3
(CESPE BRB Escriturrio 2011) No regime de juros simples, as taxas de
3% ao ms e 36% ao ano, aplicadas sobre o capital de R$ 100,00 e pelo prazo
de dois anos, so proporcionais, pois ambas produzem o montante de R$
172,00.
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22
Questo 4
(CESPE BRB Escriturrio 2011) Se um investidor aplicar a quantia de
R$ 500,00 em uma instituio financeira, pelo prazo de 2 anos, taxa de juros
simples de 4% ao ano, e, ao final desse prazo, ele reinvestir todo o montante
recebido na mesma aplicao, por mais 2 anos e nas mesmas condies
iniciais, ento, ao final desses 4 anos, esse investidor receber o montante de
R$ 580,00.
Questo 5
(CESPE BRB Escriturrio 2011) Se uma aplicao de R$ 10.000,00 pelo
perodo de um ano produzir juros no valor de R$ 3.200,00, e se a inflao
nesse perodo for de 20%, ento a taxa de juros real da aplicao nesse
perodo ser inferior a 11%.
Questo 6
(CESPE BRB Escriturrio 2011) O montante produzido pela aplicao de
R$ 1.000,00 em uma instituio financeira, em 2 anos, taxa de juros
compostos de 10% ao ano, ser de R$ 1.210,00 na data do resgate.
Enunciado para as questes 7 e 8
Considere que um capital de R$ 10.000,00 tenha sido aplicado em
determinado investimento, em regime de juros simples, pelo perodo de 5
meses. Com base nessas informaes, julgue os itens que se seguem.
Questo 7
(CESPE CBM/ES Oficial 2011) Obtendo-se a quantia de R$ 13.000,00
ao final do perodo, correto afirmar que a taxa de juros simples mensal da
aplicao foi de 6%.
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Questo 8
(CESPE CBM/ES Oficial 2011) Se a taxa de juros mensal da aplicao
for de 5%, ento o montante auferido no perodo ser de R$ 12.000,00.
Enunciado para as questes 9 e 10
Uma dvida de R$ 8.000,00, contrada em um banco que pratica taxas de juros
nominais anuais com capitalizao mensal, no regime de juros compostos, foi
paga em um ano, por R$ 12.800,00. Tomando 1,04 como o valor aproximado
de 1,6 , julgue os itens seguintes.
Questo 9
(CESPE PC/ES Perito 2011) O valor dessa dvida, aplicado por um ano
a determinada taxa de juros simples mensais, produziria a mesma quantia a
ser paga pelo devedor. Nesse caso, essa taxa de juros simples seria inferior a
4,8% ao ms.
Questo 10
(CESPE PC/ES Perito 2011) A taxa de juros nominal anual praticada
pelo banco nessa transao foi superior a 45%.
Questo 11 (Cesgranrio Petrobrs Distribuidora Tcnico em Administrao 2010)
Um capital C, submetido ao regime de juros simples durante 5 meses, propicia
um rendimento correspondente metade de C. A taxa mensal de juros
utilizada de
a) 2%
b) 5%
c) 10%
d) 20%
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e) 50%
Questo 12
(Cesgranrio Petrobrs Tcnico em Administrao e Controle Jnior 2009)
Hugo emprestou certa quantia a Incio a juros simples, com taxa mensal de
6%. Incio quitou sua dvida em um nico pagamento feito 4 meses depois. Se
os juros pagos por Incio foram de R$ 156,00, a quantia emprestada por Hugo
foi
a) menor do que R$ 500,00.
b) maior do que R$ 500,00 e menor do que R$ 1.000,00.
c) maior do que R$ 1.000,00 e menor do que R$ 2.000,00.
d) maior do que R$ 2.000,00 e menor do que R$ 2.500,00.
e) maior do que R$ 2.500,00.
Questo 13
(Cesgranrio BNDES Contador 2009) Um investidor aplicou, no Banco
Atlntico, R$ 10.000,00, por um perodo de 17 dias, a uma taxa de juros
simples de 1,2% ao ms. No dia do resgate, a rentabilidade obtida pelo
investidor, em reais, foi
a) 60,00
b) 64,20
c) 65,60
d) 66,00
e) 68,00
Enunciado para as questes 14 e 15
Considere a situao a seguir para responder s questes de nos 22 e 23.
Henrique aplica R$ 750,00, durante 2 meses, com taxa de juros compostos de
20% ao ms. Ao final desse perodo, Henrique resgatou o montante M
proporcionado por essa aplicao.
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Questo 14
(Cesgranrio Petrobrs Tcnico em Administrao e Controle Jnior 2009)
O ganho obtido por Henrique nessa aplicao, em reais, foi
a) 330,00
b) 320,00
c) 310,00
d) 300,00
e) 290,00
Questo 15
(Cesgranrio Petrobrs Tcnico em Administrao e Controle Jnior 2009)
Para que Henrique aplique a mesma quantidade e obtenha, sob regime de
juros simples, o mesmo montante M aps 4 meses, preciso que a taxa
mensal de juros seja de
a) 21%
b) 20%
c) 11%
d) 10%
e) 5%
Questo 16 (Cesgranrio Petrobrs Distribuidora Tcnico em Administrao 2010)
Um capital de R$ 2.400,00 ser aplicado taxa de 5% ao ms, durante 2
meses, sob regime de juros compostos. O valor final obtido, em reais, ser
a) 2.520,00
b) 2.640,00
c) 2.646,00
d) 2.650,00
e) 2.652,00
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Questo 17
(Cesgranrio BNDES Contador 2009) O investimento, que proporcionou
a um investidor obter um montante de R$ 15.000,00 aplicado a uma taxa de
juros compostos de 1,5% ao ms, pelo perodo de seis meses, em reais, foi
a) 12.222,22
b) 13.718,13
c) 13.761,46
d) 14.061,75
e) 14.138,93
Questo 18
(Cesgranrio Petrobrs Biocombustvel Administrador Jnior 2010) Um
investimento foi remunerado taxa de juro nominal bruta ps-fixada de IGP
(ndice Geral de Preos) acrescida de 5% ao ano. O prazo do investimento foi
de um ano e, neste ano, o IGP teve variao de 4%. A alquota de imposto de
renda do investimento de 20% e incide sobre o ganho nominal bruto de
capital. As taxas de juros nominal e real anuais lquidas do investimento so,
respectivamente,
a) 7,20% e 3,07%
b) 7,20% e 5,00%
c) 7,36% e 3,23%
d) 9,00% e 5,00%
e) 9,20% e 5,00%
Questo 19
(Cesgranrio Petrobrs Distribuidora Tcnico em Administrao 2010)
Um capital foi aplicado, sob regime de juros compostos, durante dois meses,
taxa de juros de 20% ao ms. A taxa de inflao, durante esse mesmo
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perodo, foi de 8%. A verdadeira taxa de rendimento obtida nessa aplicao
de, aproximadamente,
a) 30%
b) 32%
c) 33%
d) 35%
e) 36%
Questo 20
(Cesgranrio Banco do Brasil 2009) Um investimento obteve variao
nominal de 15,5% ao ano. Nesse mesmo perodo, a taxa de inflao foi 5%. A
taxa de juros real anual para esse investimento foi
a) 0,5%.
b) 5,0%.
c) 5,5%.
d) 10,0%.
e) 10,5%.
Questo 21
(Cesgranrio Petrobrs Administrador Pleno 2005) Qual a taxa
trimestral equivalente taxa de 10% ao ms?
a) 30%
b) 30,2%
c) 31,1%
d) 32%
e) 33,1%
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QUESTES RESOLVIDAS Enunciado para a questo 1
Tendo em vista que um emprstimo no valor de R$ 32.000,00, que foi
entregue no ato, sem prazo de carncia, ser amortizado pelo sistema Price,
taxa de juros de 60% ao ano, em 8 prestaes mensais e consecutivas, e
considerando 0,68 e 1,80 valores aproximados para 1,05e 1,05,
respectivamente, julgue os itens subsequentes.
Questo 1
(CESPE BRB Escriturrio 2011) A taxa efetiva anual do emprstimo
superior a 75%.
Resoluo:
Para encontrarmos a taxa efetiva anual devemos pegar a taxa mensal de 5% e
aplicarmos pelo perodo de 12 meses, da seguinte forma:
1 1 1 1,05
No entanto, o enunciado da questo nos informou que 1,0512 igual a 1,80.
Portanto, temos:
1 1,05 1,80
1,80 1 80%
Portanto, a taxa efetiva anual igual a 80% e, assim, a questo est CERTA.
Em geral, os dados fornecidos pelo enunciado das
questes de matemtica do CESPE so utilizados.
Gabarito: C
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29
Enunciado para as questes 2 a 6
Acerca de juros e taxas de juros, julgue os itens a seguir.
Questo 2
(CESPE BRB Escriturrio 2011) Se o capital de R$ 5.000,00 for aplicado
por 3 anos, taxa de juros compostos de 12% ao ano com capitalizao
trimestral, o juro auferido por essa aplicao, em reais, ao final do perodo, ser igual a 5.000 (1,0412 - 1).
Resoluo:
Essa questo pode ser resolvida de duas formas. A primeira , simplesmente,
olhando para ela e verificando o absurdo demonstrado. A segunda efetuando
as contas.
Veja que a questo solicita o valor do juro e diz que ele ser o produto do
capital por (1,0412 1). Isso mostra que a taxa de juro do perodo da ordem
de 4,12%. Entretanto, o capital foi aplicado pelo prazo de 3 anos com uma
taxa anual nominal de 12% ao ano. Com isso, a taxa efetiva anual maior do
que 12% ao ano e, portanto, o resultado da taxa de juro tem que ser maior
que esse valor.
Logo, j conseguimos ver, sem fazer qualquer tipo de operao matemtica,
que a questo est errada.
Vamos aos clculos. Se a taxa de 12% ao ano com capitalizao trimestral, o
simples fato de a unidade do prazo ser diferente da unidade de capitalizao
faz com que a taxa seja considerada nominal. O primeiro passo achar a taxa
ao trimestre.
12%#$#%$4'()*+'(*+
3%#$'()*+'(*
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O contedo deste curso de uso exclusivo de Nome99999999999, vedada, por quaisquer meios e a qualquer ttulo, a sua reproduo, cpia,divulgao e distribuio, sujeitando-se os infratores responsabilizao civil e criminal.
AULA 00
Noes de Administrao Financeira - INSS
PROFESSOR CSAR FRADE
Prof. Csar de Oliveira Frade www.pontodosconcursos.com.br
30
Como o capital ficar aplicado pelo prazo de 3 anos, e como cada ano tem 4
trimestres, esse capital ficar aplicado pelo prazo de 12 trimestres. Dessa
forma:
-$%'#%'* .#/'#0 1
Sendo:
Capital = 5.000,00
Taxa (i) = 3% ao trimestre
Prazo (n) = 12 trimestres
- 5.000 1,03 - 5000 1,4258 7.129,00
Como a questo nos solicita o valor dos juros, temos:
-$%'#%'* .#/'#0 56($+ 56($+ 7.129 5.000 2.129,00
Sendo assim, a questo est ERRADA.
Observe que o examinador queria que voc fizesse a questo da primeira
forma, sem resolv-la, tanto que ele nem se preocupou em definir o valor de 1,03.
Gabarito: E
Questo 3
(CESPE BRB Escriturrio 2011) No regime de juros simples, as taxas de
3% ao ms e 36% ao ano, aplicadas sobre o capital de R$ 100,00 e pelo prazo
de dois anos, so proporcionais, pois ambas produzem o montante de R$
172,00.
Resoluo:
No
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