Analisis matematico inecuaciones

ANALISIS MATEMATICO

E

INECUACIONES

CONTENIDO_A1ANÁLISIS MATEMÁTICO I

UNIDAD I. Tema 11.0 Conjuntos numéricos. Recta Real. Intervalos. Operaciones con Intervalos. Desigualdad. Solución de una

desigualdad1.1 Relación y función. Gráfica de una función. Dominio y Rango de una función

1.2 Función Inyectiva, Sobreyectiva, Biyectiva1.3 Inversa de una función y Función Inversa

1.4 Álgebra de funciones: Suma, Resta, Producto, Cociente1.5 Función Compuesta

UNIDAD I. Tema 22.1 Funciones polinómicas: signo de la función, crecimiento y decrecimiento de una función, función

constante, identidad, lineal, cuadrática2.2 Funciones especiales: valor absoluto, función distancia, escalón unitario, entero mayor

2.3 Funciones trascendentes: función exponencial, función logaritmo, funciones trigonométricas(Crecimiento y decrecimiento. Signo de las funciones trigonométrias)

2.4 Funciones hiperbólicasUNIDAD I. Tema 3

3.1 Inecuaciones - Lineales

- Cuadráticas- De grado n- Racionales- Irracionales

- Con valor absoluto- Especiales

3.2 Dominio y rango de funciones compuestas3.3 Región solución de sistemas de inecuaciones en el plano

3.4 Modelación matemática

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UNIDAD IITema 1

1.1 Sucesiones1.2 Sucesiones monótonas

1.3 Cotas, conjunto acotado y sucesiones acotadas1.4 Entorno de un punto y punto de acumulación

1.5 Límite de una sucesión1.6 Sucesiones convergentes y divergentes

1.7 Teoremas sobre sucesiones unicidad y existencia1.8 El número e

Tema 22.1 Límite de una función

2.2 Límites infinitos y límites al infinito2.3 Límites laterales

2.4 Teorema de encaje2.5 Propiedades de cálculo del límite de funciones

2.6 Igualdades simbólicas. Formas determinadas e Indeterminadas2.7 Cálculo de límites

Tema 33.1 Continuidad de una función

3.2 Álgebra de las funciones continuas3.3 Tipos de discontinuidad

3.4 Teoremas sobre funciones continuas: Teorema del valor intermedio. Teorema de Bolzano. Teorema de acotación

3.5 Asíntotas de una función

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UNIDAD IIITema 1

1.1 Incremento y cociente incremental1.2 Derivada de una función en un punto

1.3 Derivadas laterales1.4 Interpretación geométrica y física de la derivada

1.5 Función derivada1.6 Teorema sobre derivabilidad de una función continua

Tema 22.1 Fórmulas y reglas de derivación

2.2 Derivadas de funciones implícitas2.3 Derivadas de orden superior

2.4 Derivación paramétrica 2.5 Problemas de aplicación de la interpretación geométrica de la derivada

2.6 Diferenciales2.7 Rapidez de variación

Tema 33.1 Valores extremos: absolutos y relativos

3.2 Teorema sobre la existencia de los extremos absolutos3.3 Números críticos

3.4 Teorema sobre la existencia de extremos relativos3.5 Teorema de Rolle y Lagrange

3.6 Crecimiento y decrecimiento de una función3.7 Criterio de la primera derivada para determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento

3.8 Relación entre el comportamiento de una función y los números críticos3.9 Criterio de la segunda derivada para determinar extremos relativos

3.10 Concavidad y convexidad de una función3.11 Teorema que permite determinar los intervalos de concavidad y convexidad de una función

3.12 Puntos de inflexión3.13 Estudio analítico - gráfico de una función

3.14 Regla de L´Hopital3.15 Problemas de Optimización (Máximos y Mínimos)

CONJUNTOS NUMÉRICOS

Uno de los conceptos más importantes en la Matemática moderna es el de Conjunto, es una idea primitiva, y por tanto no se puede definir.La asignatura llamada Cálculo descansa sobre tres conceptos básicos: Variable, Función y Límite. El cálculo se basa en las propiedades de los números reales, por esto es necesario conocer los conjuntos numéricos que constituyen los números reales.

N = { 1, 2, 3, 4, 5, ... } Conjunto de los números naturales

N * ={ 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } Conjunto de los números naturales, incluyendo el CERO0

Z = { ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } Conjunto de los números enteros

Z * = { ... -3, -2, -1, 1, 2, 3, ... } Conjunto de los números enteros, excluyendo el CERO

Q = { ... -3/2, -2/2, -1/2, 0, 1/2, 2/2, 3/2, ... } Conjunto núneros racionales. Q = a / b, "b"diferente de cero, "a" y "b" pertenecientes a los enteros.

I = { ... ... } Conjunto de los núneros irracionales

R = Q U I Conjunto de los núneros REALES

RECTA REAL

Representación geométrica de los números reales.

RELACIÓN BIUNÍVOCA: a cada número real le corresponde un único punto en la recta real y cada punto en la recta real corresponde a un único número real.

INTERVALOS

Representan subconjuntos de los números reales. Describiremos nueve tipos de intervalos, cuatro de ellos finitos y cinco infinitos. En la definición de intervalos finitos, a y b son números reales, siendo a < b.

Nota: Un extremo abierto, como puede observarse, se representa con paréntesis ( ). La representación también puede hacerse usando circunferencias " O ". Un extremo cerrado se representa con corchetes [ ]. La representación también puede hacerse usando círculos ( círculo:superficie plana contenida dentro de la circunferencia, circunferencia: línea curva cerrada, cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto interior llamado centro ).

OPERACIONES CON INTERVALOS

INTERSECCIÓN: La intersección de dos intervalos A y B, se expresa por:

y se lee " A intersección B ", y representa un nuevo conjunto formado por elementos que están en A y en B ( elementos comúnes)._____________________________________________________________

Ejemplo 1:

Sea A = ( -3, 2 ] y B = [ -1, 5 )de A y B.

_____________________________________________________________

UNIÓN: La unión de dos intervalos

y se lee " A unión B ", y representa un nuevo conjunto formado por elementos que están en en B (comúnes y no comúnes).______________________________

Ejemplo 2:

Sea A = ( -3, 2 ] y B = [ -1, 5 )B.

De la gráfica del ejemplo Nº 1, se fija la unión de

_____________________________________________________________

1, 5 ) dos intervalos. Determinar el intervalo solución de la intersección

__________________________________________

La unión de dos intervalos A y B, se expresa por:

, y representa un nuevo conjunto formado por elementos que están en (comúnes y no comúnes).

_____________________________________________________________

1, 5 ) dos intervalos. Determinar el intervalo solución de la unión de

De la gráfica del ejemplo Nº 1, se fija la unión de A y B como el intervalo ( - 3, 5 )

____________________________________________

dos intervalos. Determinar el intervalo solución de la intersección

__________________________________________

, y representa un nuevo conjunto formado por elementos que están en A ó

_______________________________

dos intervalos. Determinar el intervalo solución de la unión de A y

3, 5 ).

____________________________________________

Ejemplo 3:

Sea A = ( -5, -3 ) U ( 2, 7 ) y A y B.

_____________________________________________________________

Ejemplo 4:

Sea A = ( -5, -3 ) U ( 2, 7 )

_____________________________________________________________

DESIGUALDADES

Si a y b son números reales y esto es equivalente a decir que DE DESIGUALDAD y expresiones como

( 2, 7 ) y B = ( -7, 0 ). Determinar el intervalo solución de la intersección de

_____________________________________________________________

( 2, 7 ) y B = ( -7, 0 ). Determinar el intervalo solución de la unión de

_____________________________________________________________

son números reales y a - b es positivo, se dice que a es mayor que besto es equivalente a decir que b es menor que a (b < a). Los símbolos < y > se llaman

y expresiones como a > b y b < a se llaman DESIGUALDADES.

. Determinar el intervalo solución de la intersección de

_____________________________________________________________

. Determinar el intervalo solución de la unión de A y B.

_____________________________________________________________

b, y se escribe a > b, ). Los símbolos < y > se llaman SIGNOS

DESIGUALDADES.

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

Si a y b son números reales, entonces:

a) Si a > b y b > c, entonces a > cb) Si a > b, entonces a + c > b + c

c) Si a > b, entonces a - c > b - cd) Si a > b y c es positivo, entonces ac > bce) Si a > b y c es negativo, entonces ac < bc

SOLUCIÓN DE UNA DESIGUALDAD

Resolver una desigualdad con una variable significa determinar los números ( del universo de la variable ) para los cuales la desigualdad resulta una proposición verdadera. El conjunto de números del universo para los que es verdadera la desigualdad, constituye la solución de la desigualdad. Por ejemplo: la solución de la desigualdad siguiente, 3x > 9, en el universo de números reales, es la totalidad de números reales mayores que 3, es decir:

En secciones siguientes se estudiará la resolución de desigualdades del tipo f (x) > 0, conocidas como INECUACIONES

RELACIÓN Y FUNCIÓN

RELACIÓN

Sean A y B dos conjuntos, se define relación a toda CORRESPONDENCIA o regla que permite asignar a elementos de A elementos de B.

Estas CORRESPONDENCIAS se pueden expresar en forma de pares ordenados, donde la primera componente pertenece al CONJUNTO DE PARTIDA y la segunda al CONJUNTO DE LLEGADA ( imágenes ):

g = { (1,b) (2,b) (3,c) }

f = { (1,a) (1,c) (2,b) (3,c) (4,c) }

DOMINIO DE LA RELACIÓN

Sean A y B dos conjuntos, se define dominio de la relación a todos aquellos elementos pertenecientes a A a los que se les hace corresponder elementos pertenecientes a B.

Dg = { 1, 2, 3 }

Df = { 1, 2, 3, 4 }

RANGO DE LA RELACIÓN

Sean A y B dos conjuntos, se define rango de la relación a todos aquellos elementos pertenecientes a B que son IMÁGEN de elementos pertenecientes a A.

Rg = { b, c }

Rf = { a, b, c }

FUNCIÓN

Sean A y B dos conjuntos, una FUNCIÓN " f " de un conjunto A a un conjunto B es una CORRESPONDENCIA que asigna a TODOS Y CADA UNO de los elementos pertenecientes a Aun ÚNICO elemento perteneciente a B.

Toda función es una relación, pero no necesariamente toda relación es función. En toda función, DOMINIO es igual al CONJUNTO DE PARTIDAy se denota f (x) ( notación que se lee como

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN

Como toda función es una relación, el concepto de dominio y rango de una fual concepto de dominio y rango de una relación.

¿ CÓMO DETERMINAR SI UNA RELACIÓN ES UNA FUNCIÓN ?

Existen dos procedimientos: gráficamente y analíticamente.

GRÁFICAMENTE ( prueba de la recta vertical )

Dada la gráfica de la relación sgráfica en más de un punto, se puede concluir que la relación no es función. Si por el contrario, la recta vertical corta a la gráfica en un único punto, la relación si es función.

Toda función es una relación, pero no necesariamente toda relación es función. En toda función, MINIO es igual al CONJUNTO DE PARTIDA. El elemento " y " de B es el valor de

( notación que se lee como " f de x " ).

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN

Como toda función es una relación, el concepto de dominio y rango de una función es equivalente al concepto de dominio y rango de una relación.

¿ CÓMO DETERMINAR SI UNA RELACIÓN ES UNA FUNCIÓN ?

Existen dos procedimientos: gráficamente y analíticamente.

GRÁFICAMENTE ( prueba de la recta vertical )

Dada la gráfica de la relación se procede a trazar una recta VERTICAL. Si dicha recta corta a la gráfica en más de un punto, se puede concluir que la relación no es función. Si por el contrario, la recta vertical corta a la gráfica en un único punto, la relación si es función.

Toda función es una relación, pero no necesariamente toda relación es función. En toda función, el es el valor de f en " x "

nción es equivalente

. Si dicha recta corta a la gráfica en más de un punto, se puede concluir que la relación no es función. Si por el contrario, la

ANALÍTICAMENTE

Se fijan dos pares ordenados genéricos, ( a, b ) y ( a, c ), con la misma primer componente. Para que estos dos puntos pertenezcan a una misma función debe ocurrir que b = c. El procedimiento se traduce entonces en generar dos ecuaciones a partir de la expresión de la relación y los dos pares ordenados genéricos. El sistema de estas ecuaciones se resuelve, si el resultado señala que b = c, sin ningún otro tipo de solución que indique lo contrario, entonces se puede concluir que la relación si es una función._____________________________________________________________

Ejemplo 1:

Sea f : R -------> R / f (x) = x + 1. Determinar analíticamente si esta relación es una función.

Se parte de los dos puntos genéricos, se sustituyen en la expresión de la relación:( a, b ) f (a) = b = a + 1( a, c ) f (a) = c = a + 1 restando ambas ecuaciones:

b - c = a - a + 1 - 1

b - c = 0b = cConclusión: La relación dada SI representa una función._____________________________________________________________

Ejemplo 2:

Sea f : R -------> R / . Determinar analíticamente si esta relación es una función.

Se parte de los dos puntos genéricos, se sustituyen en la expresión de la relación:

restando ambas ecuaciones ( b - c )( b + c ) = 0b - c = 0b + c = 0 b = cb = - c

Conclusión: La relación dada NO representa una función.

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN - DOMINIO Y RANGO

A partir de la representación gráfica de una función se puede establecer, por inspección, su dominio y rango:

Df = R Rgof = R Df = R Rgof = [ 1, + )

Df = R Rgof = [ -1, 1 ] Df = R - { 2 } Rgof = R - { 0 }

FUNCIÓN INYECTIVA

Sea f una función de A en B, se dice que f es inyectiva si a cada par de elementos distintos del dominio le corresponden imágenes diferentes. En otras palabras, una función es inyectiva si todos y cada uno de los elementos del conjunto de llegada son imágen a lo sumo de un elemento del conjunto de partida.

¿ CÓMO DETERMINAR SI UNA FUNCIÓN ES INYECTIVA?

Existen dos procedimientos: gráficamente y analíticamente.

GRÁFICAMENTE ( prueba de la recta horizontal )

Dada la gráfica de una función se procede a trazar una la gráfica en más de un punto, se puede concluir que la función no es inyla recta horizontal corta a la gráfica en un único punto, la función si es inyectiva.

ANALÍTICAMENTE

Se fijan dos pares ordenados genéricos, que estos dos puntos pertenezcan a una función inyectiva debe ocurrir que se traduce entonces en generar dos ecuaciones a partir de la expresión de la relación y los dos pares ordenados genéricos. El sistema de estas ecuaciones se resuelve, si el resultado a = b, sin ningún otro tipo de solución que indique lo contrario, entonces se puede concluir que la

¿ CÓMO DETERMINAR SI UNA FUNCIÓN ES INYECTIVA?

mientos: gráficamente y analíticamente.

GRÁFICAMENTE ( prueba de la recta horizontal )

Dada la gráfica de una función se procede a trazar una recta HORIZONTAL. Si dicha recta corta a la gráfica en más de un punto, se puede concluir que la función no es inyectiva. Si por el contrario, la recta horizontal corta a la gráfica en un único punto, la función si es inyectiva.

Se fijan dos pares ordenados genéricos, ( a, c ) y ( b, c ), con la misma segunda componente. Para enezcan a una función inyectiva debe ocurrir que a =

se traduce entonces en generar dos ecuaciones a partir de la expresión de la relación y los dos El sistema de estas ecuaciones se resuelve, si el resultado

sin ningún otro tipo de solución que indique lo contrario, entonces se puede concluir que la

. Si dicha recta corta a ectiva. Si por el contrario,

la recta horizontal corta a la gráfica en un único punto, la función si es inyectiva.

, con la misma segunda componente. Para = b. El procedimiento

se traduce entonces en generar dos ecuaciones a partir de la expresión de la relación y los dos El sistema de estas ecuaciones se resuelve, si el resultado señala que

sin ningún otro tipo de solución que indique lo contrario, entonces se puede concluir que la

función es inyectiva._____________________________________________________________

Ejemplo 1:

Sea f : R -------> R / f(x) = x + 1. Determinar analíticamente si esta función es inyectiva.

Se parte de los dos puntos genéricos, se sustituyen en la expresión de la relación:( a, c ) f (a) = c = a + 1( b, c ) f (b) = c = b + 1 restando ambas ecuaciones:

c - c = a - b + 1 - 1

a - b = 0a = b

Conclusión: La función dada SI es inyectiva._____________________________________________________________

Ejemplo 2:

Sea f : R -------> R / f(x) = . Determinar analíticamente si esta función es inyectiva.

Se parte de los dos puntos genéricos, se sustituyen en la expresión de la relación:

restando ambas ecuaciones ( a - b ) ( a + b) = 0a - b = 0a + b = 0a = ba = - b

Conclusión: La función dada NO es inyectiva

FUNCIÓN SOBREYECTIVA

Sea f una función de A en B, se dice que f es sobreyectiva si todos y cada uno de los elementos del conjunto de llegada son imágen por lo menos de un elemento del conjunto de partida. Esto es

equivalente a decir que el rango de dicha función tiene que ser igual al conjunto de llegada ( Rgof= B ).

Si una función no es sobreyectiva existe la posibilidad de redefinir el conjunto de llegada, de esta manera se puede obligar a que la función si sea sobreyectiva.

FUNCIÓN BIYECTIVA

Sea f una función de A en B, se dice que f es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez. A este tipo de función se le da el nombre de " función uno a uno ".

INVERSA DE UNA FUNCIÓN Y FUNCIÓN INVERSA

Sea f una función de A en B BIYECTIVA:

Se define la inversa de la función f y se denota por a toda regla o correspondencia que permite obtener los valore de x A a partir de los valores de y B:f : A B / y = f (x)

: B A / x = ( y) , alternativamente se pueden intercambiar las variables para expresar la función inversa de la siguiente manera:

: B A / = (x)

Es importante recordar que para definir la FUNCIÓN inversa de una función f es absolutamente esencial que f sea BIYECTIVA. Si f no es inyectica o no es sobreyectiva, la inversa de f se puede determinar, sin embargo, ésta sería sólamente una RELACIÓN.

¿ CÓMO DETERMINAR LA INVERSA DE UNA FUNCIÓN ?

1. Verificar que " f " es biyectiva ( si se quiere que la inversa sea función ).2. Despejar " x " en términos de " y " de la ecuación y = f (x).3. Intercambiar las variables

Nota: En esta sección uno de los aspectos básicos consiste en dominar a cabalidad las diferentes técnicas de despeje._____________________________________________________________

Ejemplo 1:

Sea f : R R / f (x) = 3x - 5. Encontrar la función inversa de f.

f (x) = 3x - 5 es biyectiva ( verificar )

Se despeja la variable independiente x: y = 3x - 5 x = ( y + 5 ) / 3

Intercambio de las variables: = ( x + 5 ) / 3

Conclusión: : R R / (x) = ( x + 5 ) / 3_____________________________________________________________

RELACIÓN ENTRE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Y LA GRÁFICA DE SU INVERSA

En las tres gráficas presentes en la parte anterior se puede observar, en cada caso, que la gráfica de la función f y la gráfica de la función inversa son simétricas respecto a la recta y = x.

ÁLGEBRA DE FUNCIONES

Sean f y g dos funciones para las cuales las correspondientes de x sean f (x) y g (x), respectivamente. Denotemos los correspondientes dominios de f y de g, por Df y Dg. Definimos entonces las cuatro funciones expresadas por:

f + g, f - g, f . g, f / g

de la manera siguiente ( donde Df Dg )

f + g = { ( x, y ) / y = f (x) + g (x), x ( Df Dg ) }

f - g = { ( x, y ) / y = f (x) - g (x), x ( Df Dg ) }

f . g = { ( x, y ) / y = f (x) . g (x), x ( Df Dg ) }

f / g = { ( x, y ) / y = f (x) / g (x), x ( Df Dg ) y g (x) 0 }_____________________________________________________________

Ejemplo 1:

Hállese f + g, f - g, f . g, f / g donde: f = { (4,3), (5,6), (0,5) (3,2), (8,11) } y g = { (5,-4), (0,6), (3,3) (8,9), (7,10) }.

f + g = { (5,2), (0,11), (3,5), (8,20) }f - g = { (5,10), (0,-1), (3,-1), (8,2) }f . g = { (5,-24), (0,30), (3,6), (8,99) }f / g = { (5,-3/2), (0,5/6), (3,2/3), (8,11/9) }_____________________________________________________________

Ejemplo 2:

Dadas las funciones f (x) = y g (x) = 4 , hallar las ecuaciones para f + g, f - g, f . g, f / g

f (x) + g (x) = + 4

f (x) - g (x) = - 4

f (x) . g (x) = . 4f (x) / g (x) = 1 / 4x_____________________________________________________________

FUNCIÓN COMPUESTA

Sean los conjuntos A = { 1, 2, 3, 4 }, B = { 0, 2, 3, 4, 6, 8 }, C = { 0, 6, 9, 12, 18, 24 }, y las

funciones f y g definidas por:

Definición: Sean f : A B y g : B C dos funciones. Se llama compuesta de f y g y se

denota por ( g o f ) a la función h definida por h : A C / y = g [ f (x) ]

¿ CÓMO DETERMINAR LA FUNCIÓN COMPUESTA ?

Ejemplo 1:

Sean las funciones f (x) = 2x y g (x) = 3x. Determinar ( g o f ).( g o f ) = g [ f (x) ] = g [2x] = 3(2x) = 6x

Nota: En ( g o f ) actúa primero f (x), o sea, 2x. Luego, sea lo que sea f, debe sustituir a todas y cada una de las x que aparezcan en g(x). Aquí, uno de los aspectos más importantes es el cuidado que debe tenerse al hacer la sustitución._____________________________________________________________

Ejemplo 2:

_____________________________________________________________

Ejemplo 3:

Sean f = { (1,7), (5,4), (3,5) (4,6) } y g = { (0,-3), (3,5), (4,1) }, determinar ( f o g ).( f o g ) = f [g] = { (3,4), (4,7) }

Se observa en el ejemplo Nº 3 que en " g " hay sólo dos pares ordenados cuyas segundas componentes aparecen como primera en " f ", estos son ( 3, 5 ) y ( 4, 1 ). Por esto, el dominio de f [g] es { 3, 4 }._____________________________________________________________

Ejemplo 4:

Sean las funciones f (x) = 2 + x - 1 y g (x) = x - 2. Determinar ( f o g )

( f o g ) = f [ g (x) ] = f [ x - 2 ] = 2 - 8x + 8 + x - 3 = 2 - 7x + 5_____________________________________________________________

PROPIEDADES DE LA COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

1.- La composición de funciones, en general, no es conmutativa ( f o g ) ( g o f )2.- La composición de funciones es asociativa ( f o g o h ) = ( f o g ) o h = f o ( g o h )

3.- Sea f : A B / y = f (x) una función biyectiva, entonces ( o f ) = I ó ( f o

) = II = función identidad

4.- Composición con la función identidad ( I o f ) = f ó ( f o I ) = f

APLICACIÓN DE LAS PROPIEDADES DE LA COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Sabemos como definir la función compuesta a partir de dos funciones dadas. Ahora se presenta el problema de determinar una de las funciones a partir de la otra y la compuesta:

( f o g ) y f (x) son conocidas, ¿ cómo determinar g (x) ?

Para resolver este problema se pueden usar las propiedades de la composición de funciones:

Se determina , entonces:

( o f o g ) = ( o f ) o g = ( I o g ) = g (x)

El problema se traduce, entonces, en determinar la inversa de f y componerla con la compuesta dada. El resultado de esta composición representa la función que se deseaba determinar._____________________________________________________________

Ejemplo 1:

FUNCIONES POLINÓMICAS

SIGNO DE LA FUNCIÓN

El signo de la función se refiere a definir donde f (x) > 0, f (x) < 0 ó donde f (x) = 0. Esto se hace indicando el rango de valores de la variable independiente para los cuales se dan las condiciones citadas anteriormente. En otras palabras, estudiar el signo de una función se refiere a

determinar para que valores de " x " la " y " es positiva ( + ), negativa ( - ) o cero.

CRECIMIENTO - DECRECIMIENTO DE LA FUNCIÓN

Una función f es CRECIENTE en un intervalo I si:

Una función f es DECRECIENTE en un intervalo I si:

Una función f es CONSTANTE en un intervalo I si:

Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento se refiere a definir el rango de valores de la variable independiente para los cuales se dan las condiciones citadas anteriormente._____________________________________________________________

Ejemplo 1:

Dada la siguiente gráfica, determinar:a) intervalos de crecimiento y decrecimiento, b) estudiar el signo de la función:

Solución:

f (x) es creciente para toda x ( - / 2, / 2 ) U ( / 2, 3 / 2 ) U ( 3 / 2, 2 )f (x)es decreciente para toda x ( - 3 / 2, - / 2 )f (x) > 0 para toda x ( - 3 / 2, - ) U ( 0, / 2 ) U ( , 3 / 2 )f (x) < 0 para toda x ( - , 0 ) U ( / 2, ) U ( 3 / 2, 2 )f (x) = 0 para x = - , x = 0, x = , x = 2_____________________________________________________________

FUNCIÓN CONSTANTE

f : R R / f (x) = bDf = R, Rgof = b

Ejemplo: f (x) = 1Signo de la función: f (x) > 0 para toda x RCrecimiento - decrecimiento de la función: f no crece ni decrece, f es constante.

FUNCIÓN IDENTIDAD

Esta función asigna como imágen el mismo valor de la variable independiente.

f : R R / f (x) = xDf = R, Rgof = R

f (x) > 0 para toda x ( 0 , + )f (x) < 0 para toda x ( - , 0 )f (x) = 0 para x = 0 f crece en todo su dominio

FUNCIÓN LÍNEA RECTA ( Función Afin )

Forma general: f (x) = m x + b , donde " m " representa la pendiente de la reta y " b " el corte con el eje " y".

f : R R / f (x) = x + 1Df = R, Rgof = R

f (x) > 0 para toda x ( - 1, + )f (x) < 0 para toda x ( - , - 1 )f (x) = 0 para x = - 1f crece en todo su dominio

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Raíz de un polinomio: Valores de la variable independiente ( generalmente " x" ) que hacen que el polinomio se anule ( f (x) = 0 ).

Estudiar el signo de la función cuadrática implica conocer las raíces del polinomio y para esto se emplea la Ecuación de Segundo Grado. Una vez conocida la existencia o no de raíces reales, se procede al estudio del signo de la función.

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CASO I:

Signo de la función: fuera de las raíces el signo de f (x) es el mismo signo de " a ". Dentro de las raíces el signo de f (x) es contrario al signo de " a".

f : R R / f (x) = - 4x + 3

f (x) = - 4x + 3 = ( x - 1 )( x - 3 )f (x) > 0 para toda x ( - , 1 ) U ( 3, + )f (x) < 0 para toda x ( 1, 3 )f (x) = 0 para x = 1, x = 3

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CASO II:

Signo de la función: el signo de f (x) es el mismo signo de " a ", excepto en la raíz.

f : R R / f (x) = - 4x + 4

f (x) = - 4x + 4 = ( x - 2 )( x - 2 )f (x) > 0 para toda x ( - , 2 ) U ( 2, + )f (x) = 0 para x = 2

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CASO III:

Signo de la función: el signo de f (x) es el mismo signo de " a ".

f : R R / f (x) = - 2x + 2f (x) > 0 para toda x R

Consideración: Cuando el polinomio sea de un grado superior ( 3, 4, 5...... ), el signo de la función se puede analizar evaluando valores de " x " directamente en el polinomio. Primero se grafican las raíces, se toma un valor cualquiera de cada intervalo y se determina el valor de f (x)correspondiente.

FUNCIONES ESPECIALES

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

Se define como función módulo o valor absoluto a la función:

Lo más característico de esta función es que el rango está representado por los números reales positivos, incluyendo el cero._____________________________________________________________

Ejemplo 1:

Df = R, Rf = [ 0 , + )Signo de la función:f (x) > 0 para toda x ( - , 2 ) U ( 2 , + )f (x) = 0 para x = 2f crece para toda x ( 2 , + )f decrece para toda x ( - , 2 )

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Ejemplo 2:

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PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO

FUNCIÓN DISTANCIA

Sean A y B dos puntos sobre una recta coordenada " m ", y " a y b" sus coordenadas respectivas. La distancia entre A y B se denota por d ( A, B ) y está dada por:

FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO

Observación: El rango está representado por dos valores sólamente, 0 y 1. A menudo se tiende a confundir el rango diciendo que son todos aquellos valores entre 0 y 1, lo cual es incorrecto._____________________________________________________________

Ejemplo 1:

_____________________________________________________________

Ejemplo 2:

_____________________________________________________________

FUNCIÓN ENTERO MAYOR ( PARTE ENTERA )

Se define cada intervalo cerrado a la izquierda y abierto a la derecha de tal forma que:

R = ...[ -4,-3 )U[ -3,-2 )U[ -2,-1 )U[ -1,0 )U[ 0,1 )U[ 1,2 )U[ 2,3 )U[ 3,4 )...

REGLA: A cada número real, contenido entre dos enteros consecutivos, se le asignará como imágen el entero contenido en el intervalo. Cabe destacar que cada intervalo representado contiene un único número entero, el del extremo izquierdo. El símbolo de la función se representa con corchetes [ ].

_____________________________________________________________

Ejemplo 1:

_____________________________________________________________

Ejemplo 2:

f : R R / f (x) = [ - 3x +2 ]

Se deja al alumno la deducción de la gráfica._____________________________________________________________

Ejemplo 3:

Se deja al alumno la deducción de la gráfica._____________________________________________________________

GRÁFICAS COMBINADAS DE FUNCIONES ESPECIALES

Para desarrollar la gráfica de este tipo de funciones es necesario estudiar cada término de la expresión por separado. El estudio se basa en la definición de valor absoluto, escalón unitario, entero mayor, dependiendo del caso que se trate. Toda esta información se representa en la recta real para luego graficar por intervalos.

Ejemplo 4:

FUNCIONES TRASCENDENTES

FUNCIÓN EXPONENCIAL

Existen dos casos de la función exponencial: 1) cuando 0 < a < 1, 2) cuando a > 1.

CASO I: 0 < a < 1

CASO II: a > 1

PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

1. Las imágenes de la función exponencial pertenecen a los reales positivos.2. La función es CRECIENTE en su dominio cuando a > 1.3. La función es DECRECIENTE en su dominio cuando 0 < a < 1.

FUNCIÓN LOGARITMO

Representa la función inversa de la función exponencial.

Para que la función f sea biyectiva es necesario redefinir el conjunto de llegada:

Despejando la variable independiente x:

Existen dos casos de la función logaritmo: 1) cuando 0 < a < 1, 2) cuando a > 1.

CASO I: 0 < a < 1

CASO II: a > 1

PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN LOGARITMO

_____________________________________________________________

Ejemplo 1:

Aplicación de las propiedades de la función logaritmo.

_____________________________________________________________

Ejemplo 2:

Aplicación de las propiedades de la función logaritmo.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Los valores de las funciones trigonométricas se relacionan con las coordenadas de los puntos de una circunferencia de radio 1 ( Círculo Trigonométrico ):

Observación: Hay que recordar la condición de BIYECTIVIDAD que debe estar presente en la determinación de funciones inversas. Esta característica garantiza que la inversa, efectivamente, es una función.

f : R R / f (x) = sen(x)

f : R R / f (x) = cos(x)

f : R - { x / cos(x) = 0 } R / f (x) = tan(x)

f : R - { x / sen(x) = 0 } R / f (x) = csc(x)

f : R - { x / cos(x) = 0 } R / f (x) = sec(x)

f : R - { x / sen(x) = 0 } R / f (x) = cot(x)

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.ESTUDIO DEL SIGNO DE LAS LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.

Resulta particularmente interesante el estudio de estas características en las funciones trigonométricas, debido al caracter periódico que presentan las mismas. Se hace necesario deducir expresiones genéricas para poder señalar, por ejemplo, donde la función seno es positiva, o donde la función coseno es decreciente.

Periodo de la función seno = 2k , k ZPeriodo de la función coseno = 2k , k ZPeriodo de la función tangente = k , k Z

_____________________________________________________________

Función seno:

1 ) Dónde la función seno es positiva (

Observando la gráfica podemos notar que existen infinitos intervalos donde la función seno es positiva ( o sea, existen infinitas regiones donde la gráfica se encuentra por encima del eje coordenado x ):

Entonces, f (x) > 0 para toda

No resulta práctico expresar la solución de esta forma. Sería más interesante definir un intervalo único donde cada una de sus dos componentes este representada por una fórmula genérica. Para establecer dichas expresiones basconsiderar que cada extremo de dicho intervalo vuelve a repetirse periódicamente:

Seleccionamos el intervalo ( 0,

f (x) > 0 para toda x ( 0 + 2k

Dónde la función seno es positiva ( f (x) > 0 )?

Observando la gráfica podemos notar que existen infinitos intervalos donde la función seno es positiva ( o sea, existen infinitas regiones donde la gráfica se encuentra por encima del eje

para toda x ( -2 , - ) U ( 0, ) U ( 2 , 3 ) ...

No resulta práctico expresar la solución de esta forma. Sería más interesante definir un intervalo único donde cada una de sus dos componentes este representada por una fórmula genérica. Para establecer dichas expresiones basta con seleccionar un intervalo cualquiera que sea solucion, y considerar que cada extremo de dicho intervalo vuelve a repetirse periódicamente:

( 0, ), éste se repite cada 2k , por lo tanto:

( 0 + 2k , + 2k ), con k Z

Observando la gráfica podemos notar que existen infinitos intervalos donde la función seno es positiva ( o sea, existen infinitas regiones donde la gráfica se encuentra por encima del eje

) ...

No resulta práctico expresar la solución de esta forma. Sería más interesante definir un intervalo único donde cada una de sus dos componentes este representada por una fórmula genérica. Para

ta con seleccionar un intervalo cualquiera que sea solucion, y considerar que cada extremo de dicho intervalo vuelve a repetirse periódicamente:

2 ) Dónde la función seno es negativa ( El procedimiento es similar al anterior, entonces:

Seleccionamos el intervalo (

f (x) < 0 para toda x (

3 ) Dónde la función seno se anula (

La función seno se anula en:los valores de " x " se repiten cadaf (x) = 0 para toda x = k

4 ) Dónde la función seno es creciente

5 ) Dónde la función seno se decreciente_____________________________________________________________

Dónde la función seno es negativa ( f (x) < 0 )?El procedimiento es similar al anterior, entonces:

, 2 ), éste se repite cada 2k , por lo tanto:

+ 2k , 2 + 2k ), con k Z

Dónde la función seno se anula ( f (x) = 0 )?

........ x = -2 , x = - , x = 0, x = , x = 2se repiten cada k , por lo tanto:

, con k Z

Dónde la función seno es creciente?

Dónde la función seno se decreciente? Se deja como ejercicio._____________________________________________________________

= 2 ........ ,

Se deja como ejercicio._____________________________________________________________

Función tangente:

1 ) Dónde la función tangente es positiva (

El resto del análisis se deja como ejercicio.

_____________________________________________________________

Función secante:

1 ) Dominio de la función:

Dónde la función tangente es positiva ( f(x) > 0 )?

El resto del análisis se deja como ejercicio.

__________________________________________________________________________________________________________________________

2 ) Dónde la función secante es positiva (

Como puede observarse, la func

3 ) Dónde la función secante es creciente

Dónde la función secante es positiva ( f(x) > 0 )?

Como puede observarse, la función secante es positiva donde la función coseno sea positiva.

Dónde la función secante es creciente?

ión secante es positiva donde la función coseno sea positiva.

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Las expresiones de una misma fila son equivalentes.

1

sen(x) -sen(-x)

cos(x) cos(-x)

tan(x) -tan(-x)

sen(2x) 2 sen(x) cos(x) -sen(-2x)

sen(3x)

cos(2x) cos(-2x)

cos(3x)

sen(a+b)

sen(a) cos(b) + sen(b) cos(a)

sen(a-b)sen(a) cos(b) - sen(b)

cos(a)

cos(a+b)cos(a) cos(b) - sen(a)

sen(b)

cos(a-b)cos(a) cos(b) + sen(a)

sen(b)

tan(a+b)

tan(a-b)

tan(2a)

FUNCIONES HIPERBÓLICAS

Los valores de las funciones hiperbólicas se relacionan con las coordenadas de los puntos de una hipérbola equilatera. Las funciones seno y coseno hiperbólico tienen asociadas expresiones

exponenciales: senh(x) = , cosh(x) = . A partir de estas expresiones se pueden deducir las formas equivalentes para el resto de las funciones hiperbólicas.

f : R R / f (x) = senh(x)

f : R R / f (x) = cosh(x)

f : R R / f (x) = tanh(x)

f : R - { 0 } R / f (x) = csch(x)

f : R R / f (x) = sech(x)

f : R - { 0 } R / f (x) = coth(x)

IDENTIDADES HIPERBÓLICAS

Las expresiones de una misma fila son equivalentes.

1

cosh(x) + senh(x)

cosh(x) - senh(x)

senh(2x) 2 senh(x) cosh(x)

cosh(2x)

senh(x)-

senh(-x)

cosh(x) cosh(-x)

tanh(x)-

tanh(-x)

senh(x + y)

senh(x) cosh(y) + senh(y) cosh(x)

cosh(x + y)

cosh(x) cosh(y) + senh(x) senh(y)

FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS

Las funciones hiperbólicas están definidas en términos de funciones exponenciales. Las funciones hiperbólicas inversas se pueden expresar, por lo tanto, en términos de la función logaritmo natural ( ln ), denominadas funciones extendidas.

INVERSA DEL senh(x)

INVERSA DEL cosh(x)

INVERSA DE LA tanh(x)

INVERSA DE LA csch(x)

INVERSA DE LA sech(x)

INVERSA DE LA coth(x)

Unidad I. Tema 3_____________________________________________________________

Antes de considerar el estudio del dominio y rango de funciones compuestas es necesario revisar lo relacionado con la resolución de inecuaciones. Determinar el dominio o rango de funciones, básicamente se traduce en la resolución de inecuaciones.

INECUACIONES

Las inecuaciones son desigualdades del tipo f (x) > 0. Resolver una inecuación con una variable significa encontrar los números ( del universo de la variable ) para los cuales la desigualdad resulta una proposición verdadera. El conjunto de números del universo para los que es verdadera la desigualdad, constituye la solución de la inecuación.

Inecuaciones a ser consideradas en esta sección:

INECUACIONES LINEALES

Son de la forma . Su resolución se logra aplicando propiedades de las desigualdades que permitan despejar la incógnita.

Recordando las propiedades de las desigualdades:

Si a y b son números reales, entonces:

a) Si a > b y b > c, entonces a > cb) Si a > b, entonces a + c > b + cc) Si a > b, entonces a - c > b - cd) Si a > b y c es positivo, entonces ac > bce) Si a > b y c es negativo, entonces ac < bc

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Ejemplos:

No olvidemos que estos intervalos se pueden representar en la recta real._____________________________________________________________

INECUACIONES CUADRÁTICAS

Son de la forma

. Su resolución se logra determinando el signo de la función polinómica._____________________________________________________________

Ejemplo 1:

+ 4x +3 > 0 determinando las raíces del polinomio x = -1, x = -3

Recordando: fuera de las raíces el polinomio tiene el mismo signo que el coeficiente de :

Solución: + 4x +3 > 0 para toda x ( - , -3 ) U ( -1, + )

La inecuación del ejemplo 1 se puede resolver por otro método: método del mapa de signos. Este método consiste en factorizar el polinomio, para luego, mediante el uso de una tabla o mapa de signos, analizar el signo de cada factor:

+ 4x +3 > 0 ( x + 1 )( x + 3 ) > 0x + 1 > 0 x > -1x + 3 > 0 x > -3Con estos datos se elabora el mapa.La solución está representada por aquellos valores de " x " donde el producto de los signos es ( + )

Solución: + 4x +3 > 0 para toda x ( - , -3 ) U ( -1, + )

_____________________________________________________________

Ejemplo 2:

- + 3x - 2 < 0 determinando las raíces del polinomio x = 1, x = 2

Solución: - + 3x - 2 < 0 para toda x ( - , 1 ) U ( 2, + )

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INECUACIONES DE GRADO " n "

Su resolución se logra determinando el signo de la función polinómica._____________________________________________________________

Ejemplo 1:

A continuación se presenta la gráfica de:

Como puede observarse, el estudio de signos permite definir donde el polinomio es < 0. Gráficamente, también se puede verificar. La gráfica de la derecha es una ampliación de la original para constatar que, efectivamente, entre x = 1/2 y x = 2/3 el polinomio es negativo.

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INECUACIONES RACIONALES

Su resolución se logra determinando el signo tanto del numerador como del denominador. El signo del cociente se puede determinar haciendo uso de un mapa de signos._____________________________________________________________

Ejemplo 1:

La solución está representada por aquellos valores de x para los cuales el cociente es positivo o cero. No se puede olvidar que en x = 0 y x = 3 el cociente no está definido. A continuación se presenta la gráfica de la función racional:

INECUACIONES RACIONALES (continuación)

Ejemplo 2:

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INECUACIONES IRRACIONALES

Son de la forma Procedimiento de resolución:

a.- Determinar el dominio para la existencia de las expresiones irracionales

b.- La inecuación se convierte en ecuación: c.- La ecuación irracional se convierte en ecuación racional:

d.- Calcular las raíces de la ecuacióne.- Verificar que las raíces obtenidas sean realmente raíces de la inecuación irracionalf.- Determinar el signo de la inecuación irracional graficando en la recta real las raíces verificadas en el punto "e" junto con el dominio de las expresiones irracionales_____________________________________________________________

Ejemplo 1:

A continuación se presenta la gráfica de:

NOTA: Si " n " es impar no es necesario realizar todo el procedimiento. Bastaría con elevar ambos lados de la desigualdad a dicha potencia para eliminar la raíz, considerando que el sentido de la desigualdad no cambiaría. Se resulve la inecuación resultante por cualquiera de los procedimientos estudiados anteriormente, dependiendo del tipo de desigualdad que resulte.

_____________________________________________________________

Ejemplo 2:

_____________________________________________________________

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Son de la forma . En este tipo de inecuaciones, por estar involucrada la función valor absoluto, es necesario aplicar la definición o propiedades del valor absoluto para lograr su resolución. Recordando:

A continuación se resuelve una inecuación con Valor Absoluto, primero aplicando propiedades de la función módulo, y luego por definición._____________________________________________________________

Ejemplo 1:

Ahora, el mismo ejemplo, pero aplicando definición de la función valor absoluto:

INECUACIONES ESPECIALES

Estas inecuaciones involucran funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. Para dar solución a una inecuación de este tipo, es necesario tener presente las propiedades de la función involucrada, y no olvidar los diferentes métodos de resolución que ya han sido estudiados. A continuación se presentan diferentes ejemplos:_____________________________________________________________

Ejemplo 1:

NOTA: El lado izquierdo de la inecuación no es una función polinómica, sin embargo, mediante un cambio de variable, puede obtenerse una estructura polinómica de dicha expresión. El objetivo es conseguir la expresión factorizada de la inecuación, para llevar a cabo un estudio de signos, semejante a los hechos anteriormente, y de esta manera poder dar solución a la inecuación. La aproximación de las raíces se hace por comodidad para manipular la expresión factorizada. No podemos olvidar un aspecto importante que debe estar presente durante la resolución de la inecuación, y es el hecho de que la función ln(x) existe sólo para valores de " x " mayores que cero.

_____________________________________________________________

Ejemplo 2:

_____________________________________________________________

Ejemplo 3:

Nota: como puede observarse, en esta inecuación irracional no se uso de forma estricta el procedimiento de resolución para este tipo de inecuaciones, descrito en una sección anterior. Esto se debe a que ambos factores de la desigualdad son siempre positivos, por lo tanto, al elevar al cuadrado ambos lados estamos 100 % seguros de que el sentido de la desigualdad se mantendrá.

Entonces, se eleva al cuadrado y se continua resolviendo la inecuación resultante usando el procedimiento que sea necesario._____________________________________________________________

Ejemplo 4:

DOMINIO Y RANGO DE FUNCIONES COMPUESTAS

Estos conceptos han sido manejados en secciones anteriores. En esta parte se tocará lo que es propiamente la determinación de dominio y rango de funciones. Es importante, para lograr un avance significativo en esta sección, dominar lo relacionado con la solución de Inecuaciones.

Para determinar el dominio de funciones es necesario considerar las diferentes restricciones que se presentan al momento de desarrollar las operaciones aritméticas.

_____________________________________________________________

Ejemplo 1:

Determinar el dominio ( campo de existencia ) de la siguiente función:

Ahora, se intersectan todas las soluciones: s las soluciones:

El gráfico inferior es una ampliación del gráfico original._____________________________________________________________

Ejemplo 2:

Nota: La solución de la restricción " b " ya esta incluida en la solución._____________________________________________________________

Ejemplo 3:

Nota: La solución de las restricciones " b " y " c " están incluidas en la solución de " a ".

_____________________________________________________________

Ejemplo 4:

Ejemplo 5:

Gráficamente se puede observar que la la región donde la secante es positiva es solución, además de toda la región donde la secante es negativa que este por encima de la línea

icamente se puede observar que la sec(x) es mayor que -2 de la línea azul la región donde la secante es positiva es solución, además de toda la región donde la secante es negativa que este por encima de la línea azul. Entonces, es necesario ubicar los valores de

azul hacia arriba. Toda la región donde la secante es positiva es solución, además de toda la región donde la secante es

rio ubicar los valores de " x "

que determinan dicha línea.

RANGO de f(x):Se determina la función inversa de f(x) y a ésta se le determina el dominio:

Nota: La solución de la restricción " b " ya está incluida en la solución de " a ".

REGION SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE INECUACIONES EN EL PLANO

Hasta ahora se han estudiado inecuaciones de la forma f (x) > 0, donde la solución está representada por un conjunto de valores de " x " que satisfacen la inecuación. En esta sección se tratarán inecuaciones de la forma f (x,y) > 0. La solución de este tipo de inecuaciones esta dada por una región en el plano, debido a que la misma debe contemplar valores, tanto para " x " como para " y ".

Procedimiento de resolución:

1. Cada inecuación del sistema se convierte en ecuación2. Se toma la primera ecuación y se representa gráficamente. La gráfica será de trazo

continuo si la inecuación relacionada con la ecuación presenta un símbolo de desigualdad mayor o igual que, menor o igual que. La gráfica será de trazo segmentado si la inecuación relacionada con la ecuación presenta un símbolo de desigualdad mayor que, menor que. ( En los ejemplos presentados más adelante, el trazo continuo está representado por líneas de color negro, y el trazo segmentado por líneas de color blanco )

3. La gráfica de la ecuación divide al plano en varias regiones, hay que determinar qué región representa la solución de la inecuación. Esto se hace evaluando un punto cualquiera de cada región directamente en la inecuación. Aquel punto que genere una desigualdad cierta será indicativo de que la región de donde salió dicho punto es la solución de la inecuación

4. El procedimiento se repite con el resto de las ecuaciones, hasta obtener una región solución global común a todas las inecuaciones. Dicha región representa la solución del sistema de inecuaciones.

_____________________________________________________________

Ejemplo 1:

Representar la región solución del siguiente sistema de inecuaciones:

Se grafica y = x con una línea de trazo continuo ya que el símbolo de la desigualdad es mayor o igual que (en nuestro caso el trazo continuo será equivalente a una línea de color negro)

La recta y = x divide al plano en dos regiones. Se toma un punto de una de las regiones, por ejemplo P( 0, 2 ), y se verifica la inecuación. La desigualdad se cumple para este punto, por lo tanto, la región solución para esta inecuación es: (color verde)

Se grafica y = - x con una línea de trazo segmentado ya que el símbolo de la desigualdad es mayor que (en nuestro caso el trazo segmentado será equivalente a una línea de color blanco)

La recta y = - x divide al plano en dos regiones. Se toma un punto de una de las regiones, por ejemplo P( 0, 2 ), y se verifica la inecuación. La desigualdad se cumple para este punto, por lo tanto, la región solución para esta inecuación es: (color verde). No necesariamente tiene porque escogerse el mismo punto. Recordemos que puede ser cualquier punto de cualquiera de las regiones.

Por último, intersectando ambas regiones se obtiene la región solución del sistema de inecuaciones, (color verde):

_____________________________________________________________

Ejemplo 2:

Representar la región solución del siguiente sistema de inecuaciones:

Región solución:

_____________________________________________________________

Ejemplo 3:

Representar la región solución del siguiente sistema de inecuaciones:

Región solución:

_____________________________________________________________

Ejemplo 4:

A continuación se presentan diferentes sistemas de inecuaciones con sus respectivas regiones ( se deja al estudiante la verificación de las soluciones ). El alumno no debe olvidar que la gráfica será de trazo continuo si la inecuación relacionada con la ecuación presenta un símbolo de desigualdad mayor o igual que, menor o igual que. La gráfica será de trazo segmentado si la inecuación relacionada con la ecuación presenta un símbolo de desigualdad mayor que, menor que.

MODELACIÓN MATEMÁTICA

Entre los objetivos básicos del estudio de esta primera unidad, se encuentra conocer y comprender las diferentes funciones matemáticas para luego, a partir de ellas, generar modelos matemáticos que nos permitan representar situaciones reales para su posterior análisis. A partir de este instante, y seguramente durante el transitar del estudiante de Ingeniería por los diferentes cursos de su carrera, una de sus herramientas más poderosas estará representada por los modelos matemáticos. Sobre un modelo matemático determinado se pueden realizar diferentes estudios, cuyos resultados nos permitan concluir, por ejemplo, cuál será el menor costo de alguna situación en particular, dónde una función alcanza un valor máximo, cómo es la variación de una función en un punto. Los modelos matemáticos también nos ayudarán en el diseño y construcción de un puente, de una torre de destilación, de una planta de tratamiento de agua, de circuitos eléctricos, de dispositivos mecánicos, etc.

Los modelos matemáticos representan el punto de enlace entre el fenómeno o problema y los datos necesarios para generar conclusiones y tomar las mejores decisiones.

Una decisión correcta está sustentada en la información. Un modelo matemático puede ser generador de valiosa información.

Para comenzar a generar modelos matemáticos de situaciones particulares, es necesario recordar una serie de ecuaciones matemáticas, muchas ya conocidas por todos, como ecuaciones de áreas de figuras planas, ecuaciones de volúmenes de sólidos, expresiones para determinar superficies y perímetros, etc.

A continuación se presenta una lista de algunas de éstas expresiones que resultarán de gran utilidad:

A = área, P = perímetro, S = superficie, V = volumen

Distancia entre dos puntos CircunferenciaTriángulo rectángulo (Teorema Pitágoras)

Triángulo Teorema del cosenoRectángulo

Trapecio Círculo

* Paralelepípedo rectáng.

V = abc S = 2ab + 2ac + 2bc

Cilindro circular recto EsferaCono circular recto

* En un paralelepípedo rectángulo las caras son rectángulos. Si las caras son cuadrados el paralelepípedo es un CUBO.

PROCEDIMIENTO PARA GENERAR UN MODELO MATEMÁTICO

No podemos hablar de un procedimiento riguroso para generar un modelo matemático de alguna situación en particular, pero si podemos mencionar una serie de recomendaciones que facilitarán el trabajo:

Elaborar un esquema o dibujo del problema a tratar. Ubicar las ecuaciones matemáticas individuales, si fuese el caso, para cada elemento

particular del esquema, ecuaciones tales como las señaladas en el recuadro superior u alguna otra.

Identificar la variable central a la cual se le quiere asociar una expresión matemática o modelo.

Combinar las ecuaciones matemáticas individuales, haciendo las consideraciones necesarias para generar el modelo solución del problema en cuestión.

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Ejemplo 1:

Se tiene un cubo de arista " a ". Determinar una expresión para el volumen del cubo como una función de su superficie V = f ( S ).

V = abc, S = 2ab + 2ac + 2bc

Como se trata de un cubo de arista " a ":

El problema lo que pide es: V = f ( S ), entonces:

que representa el modelo matemático solución del problema.

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Ejemplo 2:

Se desea construir un tanque horizontal de acero para almacenar gas propano, con forma de cilindro circular recto de 3 m de largo con una semiesfera en cada extremo. El radio " r " no esta definido. Obtener una expresión para el volumen de dicho tanque en función del radio " r " ( V = f ( r ) ).

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Ejemplo 3:

Dos barcos zarpan al mismo tiempo de un puerto. Uno viaja al oeste a 20 km/h y el otro hacia el sur a 15 km/h. Sea " t " el tiempo ( en horas ) después de la salida. Expresar la distancia " d " entre las embarcaciones como una función del tiempo ( d = f ( t ) ).

Según el esquema, el barco que va al oeste recorre una distancia " a ", el barco que va hacia el sur recorre una distancia " b " y la distancia que los separa es " d ".

Como puede observarse, estas tres distancias forman un triángulo rectángulo. Usando el Teorema de Pitágoras dichas distancias se pueden relacionar:

De manera que la distancia entre las embarcaciones queda expresada en función de las distancias recorridas por cada barco. Sin embargo, lo que se quiere obtener es d = f ( t ), por lo que se hace necesario encontrar dos expresiones tales que, a y b queden en función del tiempo. Este detalle queda resuelto si consideramos que Velocidad = distancia / tiempo:

_____________________________________________________________

Ejemplo 4:

Se desea construir una caja sin tapa a partir de una hoja de cartón rectangular de 20 cm x 30 cm. Para ello se recortarán cuatro ( 4 ) cuadrados idénticos, uno en cada esquina, y se doblaran hacia arriba los lados resultantes. Expresar el volumen de la caja formada como una función de la longitud de corte de los cuadrados V = f ( x ).

x = longitud de corte ( cm )

El volumen de esta caja estará representado por: V = (30-2x) (20-2x)x, resolviendo:

_____________________________________________________________

Ejemplo 5:

Se desea tender un cable desde el punto tiene un costo de 10.000 $/kmuna expresión para el COSTOen función de la distancia x, C = f ( x )

Análisis: Existen diferentes altepensar en tirar el cable en línea recta de agua ( más costoso ). Otra alternativa sería sacar el cable en dirección vertical a tierra y lforma horizontal hasta B. Lo importante es hacer ver que existen diferentes combinaciones de tendido y cada una tiene asociada un costo. En el esquema se presentan algunas de estas combinaciones:

Para ubiar una forma general que abarque las difercomo referencia:

De esta forma queda determinada la variable

Tanto d1 como d2 se pueden expresar en función de

_____________________________________________________________

Se desea tender un cable desde el punto A al punto B (ver esquema). El cable que va por 10.000 $/km, y el que va por agua tiene un costo de 12.500 $/km

COSTO asociado con este proyecto. ( El costo tiene que quedar expresado C = f ( x ) ).

: Existen diferentes alternativas para tender el cable desde A hasta Bpensar en tirar el cable en línea recta de A a B, lo que implica que sólamente se usaría cable para agua ( más costoso ). Otra alternativa sería sacar el cable en dirección vertical a tierra y l

. Lo importante es hacer ver que existen diferentes combinaciones de tendido y cada una tiene asociada un costo. En el esquema se presentan algunas de estas

Para ubiar una forma general que abarque las diferentes alternativas, se fija un punto móvil

De esta forma queda determinada la variable " x ", y las distancias mostradas en el esquema.

se pueden expresar en función de " x ":

_____________________________________________________________

(ver esquema). El cable que va por tierra12.500 $/km. Determinar

asociado con este proyecto. ( El costo tiene que quedar expresado

B. Alguien podría , lo que implica que sólamente se usaría cable para

agua ( más costoso ). Otra alternativa sería sacar el cable en dirección vertical a tierra y luego en . Lo importante es hacer ver que existen diferentes combinaciones de

tendido y cada una tiene asociada un costo. En el esquema se presentan algunas de estas

entes alternativas, se fija un punto móvil C

, y las distancias mostradas en el esquema.

Una vez conocidas estas expresiones para las distancias, se puede determinar un modelo matemático que permita expresar el costo en función de la variable x (C=f(x)) :

MODELACIÓN MATEMÁTICA (continuación)

Ejemplo 6:

Exprese el área de un cuadrado como una función de su perímetro A = f ( P ).

_____________________________________________________________

Ejemplo 7:

A las 9 am, el barco B se encuentra a 65 millas al este del barco A. El barco B navega hacia el oeste a 10 millas por hora y A hacia el sur a 15 millas por hora. Si continúan en sus cursos respectivos, determinar un modelo matemático que exprese la distancia que existe entre ellos en cualquier instante de tiempo ( d = f ( t ) ).

Gráficamente, el planteamiento es el siguiente:

Ao = Posición inicial del barco AAt = Posición del barco A en un instante de tiempo Bo = Posición inicial del barco BBt = Posición del barco B en un instante de tiempo

Se asigna un nombre a cada distancia:

Como se puede notar, tenemos un trián

Ahora es necesario expresar "d = f ( t ). Este detalle queda resuelto si consideramos que

Gráficamente, el planteamiento es el siguiente:

= Posición inicial del barco Arco A en un instante de tiempo t

= Posición inicial del barco BPosición del barco B en un instante de tiempo t

El movimiento se lleva a cabo de la siguiente forma:

Se asigna un nombre a cada distancia:

Como se puede notar, tenemos un triángulo rectángulo, aplicando Pitágoras:

Ahora es necesario expresar " a " y " b " en función del tiempo " t " para obtener lo que nos piden, . Este detalle queda resuelto si consideramos que Velocidad = distancia / tiempo

El movimiento se lleva a cabo de la

" para obtener lo que nos piden, Velocidad = distancia / tiempo: