INDICE
Dedicatoria.. 4Introduccin.. 5A) FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.. 61.
EL SENO Y LA COSECANTE ............. 62. EL COSENO Y LA SECANTE .
73. LA TANGENTE Y LA COTANGENTE 7B) FUNCIONES HIPERBOLICAS 81.
INTRODUCCION.. 82. DEFINICION Y GRAFICOS . 93. PROPIEDADES DE LAS
FUNCIONES 114. FUNCIONES HIPERBOLICAS INVERSO 115. RELACION CON LAS
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.. 116. DERIBADOS DE FUNCION HIPERBOLICAS
. 12C) CIRCUNFERENCIA 121. DEFINICION . 122. ECUACIONES DE LA
CIRCUNFERENCIA.. 123. ECUACIONES DE LA TANGENTE . 134. LONGITUD DEL
SEGMENTO DETERMINADO POR LS TSNGENTETRAZADO DESDE UN PUNTO
EXTERIOR.. 145. EJE RADICAL . 146. FAMILIA DE CIRCUNFERENCIAS .
15D) RAICES IRRACIONALES.. 161. METODO DE APROXIMACION 162. METODO
DE HORNER 18E) APLICACIN DE LA DERIVADA .. 201. FUNCION CRECIENTE Y
DECRECIENTE 202. VALORES EXTREMOS . 203. CRITERIO DE LA PRIMERA
DERIVADA 204. CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA 215. ALGUNOS USOS DE
LA ELECTRONICA .. 22CONCLUCION 27BIBLIOGRAFIA 28
Dedicatoria:
Primeramente a Dios por haberme permitido llegar hasta este
punto y haberme dado salud, ser el manantial de vida y darme lo
necesario para seguir adelante da a da para lograr mis objetivos,
adems de su infinita bondad y amor.
A mi familia por haberme apoyado en todo momento, por sus
consejos, sus valores, por la motivacin constante que me han
permitido ser una persona de bien, pero ms que nada, por el amor
que me brindan. Y a todos aquellos que contribuyeron directa o
indirectamente a realizar este documento.
INTRODUCCION
El anlisis matemtico es una materia de importancia capital en la
comprensin de los procesos reales de los que se ocupa cualquier
ciencia aplicada, como pueden ser la Economa, el marketing y la
Empresa. En este sentido el citado anlisis matemtico constituye una
herramienta sumamente til para ayudarnos a controlar losprocesos
mercantiles en el mundo cada vez ms interrelacionado y globalizado,
donde los grandes volmenes de cifras complican enormemente el
control de operaciones internacionales. Este libro es un mtodo
didctico para ensear anlisis de forma AUTODIDACTA y sistemtica. Es
un libro secuencial, es decir que conviene no avanzar excesivamente
si no se tienen bien cimentados los conocimientos anteriores. El
xito en este tipo de estudios pasa por hacer todos los problemas
resueltos antes de hacer los propuestos en todos y cada uno de los
captulos de que consta esta obra. Como este libro es continuacin
del libro Introduccin de anlisis matemtico I, y dado que en
general, los alumnos suelen tener una deficiente educacin
matemticas, se ha repetido la exposicin de los diversos temas y en
especial las derivadas parciales de forma sistemtica, es decir,
separando las operaciones de derivacin de las simplificaciones,
tratando de dejar stas lo ms claro posible en todos y cada uno de
los pasos de que consta la resolucin de los problemas. Una vez
dominado estos tipos de derivadas se pasa a complicarlas con el
estudio de la diferencial total as como a los diversos problemas de
las derivadas implcitas y la regla de la cadena.
A)FUNCIONESTRIGONOMTRICASUnafuncines PERIODICA con perodo P 0,
si sudominiocontiene al nmero (x + P) siempre que contenga a x y si
adems:f(x + P) = f(x) para todo xD(f).El mnimo nmero positivo P con
estapropiedadse denomina: periodo primitivo de f. Son ejemplos de
funciones peridicas las funciones trigonomtricas: seno, coseno,
secante y cosecante, tienen periodo P = 2, mientras que las
funciones tangente y cotangente tienen periodo P = .En efecto,Si
f(x) = Sen x, entonces, f(x + 2) = Sen (x + 2) = Sen x = f(x).Si
g(x) = Cos x, entonces, g(x + 2) = Cos (x + 2) = Cos x = g(x).Si
h(x) = Tan x, entonces, h(x + ) = Tan (x + ) = Tan x = h(x).1. EL
SENO Y LA COSECANTE:a. El Senof(x) = y = sen x:Funcin seno: funcin
real de variable realDominio: Dom(sen(x))=RRango: [-1,1]Paridad:
sen x = - sen(-x) [funcin impar]Periodo: 2mnimo)b. La cosecantef(x)
= y = cosec x = 1/sen xFuncin cosecante: Funcin real de variable
real:Dominio: Dom(cosec(x))= R-{x/x = k, k Z}Rango: R - Paridad:
cosec x = -cosec(-x) [funcin impar]Perodo: 2(mnimo)
2. EL COSENO Y LA SECANTE:a. El cosenof(x) = y = cos xFuncin
coseno: funcin real de variable realDominio: Dom(cos(x))=RRango:
[-1,1]Paridad: cos x = cos(-x) [funcin par]Periodo: 2(mnimo)b. La
secantef(x)= y = sec x = 1/cos xFuncin secante: Funcin real de
variable real:Dominio: Dom(sec(x))=R-{x/x = (2k+1)/2, k Z}Rango: R
- Paridad: sec x = sec(-x) [funcin par]Periodo: 2(mnimo)
3. LA TANGENTE Y LA COTANGENTEa. TangenteF(x) = y = tg x:Funcin
tangente: funcin real de variable realDominio: Dom(tg(x))=R - {x/x
= (2k+1)/2, k Z}Rango: RParidad: tg x = - tg(-x) [funcin
impar]Periodo: (mnimo)
b.- La cotangente:f(x) = y = ctg x = 1/tg xFuncin cotangente:
Funcin real de variable real:Dominio: Dom(ctg(x))= R -{x/x = k, k
Z}Rango: RParidad: ctg x = - ctg(-x) [funcin impar]Periodo:
(mnimo)
B) Funciones hiperblicas
1.- Introduccin
Al construir una circunferencia trigonomtrica (radio1), como en
la figura 1, se pueden obtener las funciones circulares, siendo un
caso especial lasfunciones trigonomtricas. La ecuacin de una
circunferencia de radio 1 (y centro en el origen) es x2 + y2 = 1 y
la ecuacin de una hiprbola equiltera de radio 1 (y centro el
origen) es x2 - y2 = 1. Como se puede observar, ambas son muy
parecidas, por lo que se definieron las funciones hiperblicas: Seno
hiperblico: Sh(x) =BC/OA Coseno hiperblico: Ch(x) =OB/OA Tangente
hiperblica: Th(x) =BC/OBDe la misma manera que en el caso de las
funciones trigonomtricas habituales, el rea sombreada de la
hiprbola que se corresponde con un ngulo 2 tomando OA como la
unidad, es . Llamemos x al rea del sector de ngulo 2 (que hemos
visto es igual a ).Entonces el sh = sh x = BC, ch = ch x = OB, th =
th x = ADTambin se puede establecer la nocin de estas funciones
hiperblicas en la grfica de una parbola, a partir de las
coordenadas que posee, asignndole a las abscisas elvalordel coseno
hiperblico y a las ordenadas el valor del seno hiperblico, lo cual
se aprecia a continuacin:
2.- Definicin y grficasEn ciertas ocasiones las combinaciones de
ex, e-x aparecen frecuentemente. En talesecuaciones, se acostumbra
escribir elmodelomatemtico que le corresponde utilizando las
funciones hiperblicas definidas como sigue:a. b. Seno hiperblico
(senh)c. Coseno hiperblico (cosh)
d. Tangente hiperblica (tanh)
e. Cotangente hiperblica (coth)f. Cosecante hiperblica
(csch)
Algunas observaciones de lasgrficas:1. senh(x) = 0, si x = 02.
Son funciones impares, [f(-x) = - f(x)] y por tanto sus grficas son
simtricas respecto al origen, las funciones: f(x) = senh x ; f(x) =
tgh x; f(x) = cotgh x; f(x) = cosch x3. Son funciones pares, [f(-x)
= f(x)] y por tanto sus grficas son simtricas respecto al eje y,
las funciones:
f(x) = cosh x; f(x) = sech x
3.-Propiedades de las funciones hiperblicas:1. coshx - senhx =
12. sechx + tghx = 13. cotghx - coschx = 14. senh (x y) = senh x
cosh y cosh x senh y5. cosh (x y) = cosh x cosh y senh x senh y6.
senh (2x) = 2 senh x cosh x7. cosh (2x) = coshh + senhx8. senh a +
senh b = 2 senh9. cosh a + cosh b = 2 cosh10. 2senh = cosh x - 111.
2cosh = cosh x + 112. (senh x + cosh x)n = senh (nx) + cosh (nx) ,
(Frmula de Moivre)4.- Funciones hiperblicas inversas:arcsenh(z) =
ln( z +(z 2 + 1) )arccosh(z) = ln( z(z 2 - 1) )arctanh(z) = 1/2 ln(
(1+z)/(1-z) )arccsch(z) = ln( (1+(1+z 2) )/z )arcsech(z) = ln(
(1(1-z 2) )/z )arccoth(z) = 1/2 ln( (z+1)/(z-1) )
5.- Relaciones con las Funciones Trigonometricassenh(z) = -i
sen(iz)csch(z) = i csc(iz)cosh(z) = cos(iz)sech(z) = sec(iz)tanh(z)
= -i tan(iz)coth(z) = i cot(iz)
6.-Derivadasde F, hiperblicasLas frmulas de derivacin para las
funciones hiperblciicas se deducen fcilmente aplicando las reglas
de derivacin de la funcin exponencial ex.
Proposicin 1:Las funciones hiperblicas son derivables en sus
correspondientes dominios y se tiene:a. Si f(x) = senh x, entonces,
f'(x) = cosh xb. c. Si f(x) = cosh x, entonces, f'(x) = senh xd. Si
f (x) = tgh x, entonces, f'(x) sechxe. Si f(x) = cotgh x, entonces,
f' (x) = - coschxf. Si f(x) = sech x, entonces, f'(x) = - sech x
tgh xg. Si f(x) = cosh x, entonces, f'(x) = - cosch x cotgh xEn
virtud de esta proposicin y de la regla de la cadena, si u = u(x)
es funcin diferenciable (respecto a la variable x) se obtiene el
siguiente corolario:Corolario 1:Si u = u(x) es diferenciable,
entonces:a. Dx (senh u) = cosh u. Dx(u)b. c. Dx (cosh u) = senh u.
Dx(u)d. Dx (tgh u) = sech u. Dx(u)C) Circunferencia1.-
DEFINICIN(Del latncircunferentia) Se llama circunferencia al lugar
geomtrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo
llamado centro . El radio de la circunferencia es la distancia de
un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro
2.- ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA
2.1 Ecuacin ordinariaSea P(x, y) un punto sobre la
circunferencia, "r" el radio y C(h, k) el centro. Entonces
partiendo de su definicin podemos afirmar que
Ejemplo: Si una circunferencia tiene por centro al punto C(2,4)
y su radio es cinco, entonces su ecuacin ordinaria es: (x - 2)2 +
(y - 4)2 = 25.
2.2 Ecuacin cannicaEs un caso particular de la ecuacin
ordinaria, cuando el centro es el eje coordenado, es decir, es
(0,0):x2 + y2 = r2
2.3 Ecuacin generalPara hallar la ecuacin general, hay que
desarrollar la ecuacin
ordinaria:x2-2xh+h2+y2-2yk+k2-r2=0x2+y2-2xh-2yk+h2+k2-r2=0Haciendo:
-2xh=D; -2yk=E; h2+k2-r2=F, se obtiene la ecuacin general de la
circunferencia:x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0 ; ( D 2 + E 2 4 F >
0 )Centro: Radio: Ejemplo 1:Ecuacin ordinaria de la circunferencia:
( x 1 ) 2 + ( y 2 ) 2 = 25Ecuacin general de la circunferencia: x 2
+ y 2 2 x 4 y 20 = 0
Casos particulares1 ) D 2 + E 2 4 F = 0 punto2 ) D 2 + E 2 4 F
< 0 ningn lugar geomtrico
3.- ECUACION DE LA TANGENTE1 ) Dado el punto de contacto P ( x 0
, y 0 ) :a ) Dada la ecuacin ordinaria de la circunferencia, la
ecuacin de la tangente en el punto P ( x 0 , y 0 ) de la
circunferencia, es :( x 0 h ) ( x h ) + ( y 0 k ) ( y k ) = r 2b )
Dada la ecuacin general de la circunferencia, la ecuacin general de
la tangente en el punto P ( x 0 , y 0 ) de la circunferencia, es
:
2 ) Dada la pendiente m de la tangente:a ) Dada la ecuacin
ordinaria de la circunferencia, las ecuaciones principales de las
tangentes de pendiente m son:y = m ( x h ) + k + ry = m ( x h ) + k
rEjemplo 2: Del ejemplo 1, ecuacin de la tangente en el punto P ( 5
, 1 ) : 4 x 3 y 23 = 0
Ejemplo 3: Del ejemplo 1, ecuaciones de las tangentes de m =
0,75: y = 0,75 x + 7,5; y = 0,75 x - 5
4.- LONGITUD DEL SEGMENTO DETERMINADO POR LA TANGENTE TRAZADA
DESDE UN PUNTO EXTERIORa ) Dada la ecuacin ordinaria de la
circunferencia, la longitud (d) del segmento que determina la
tangente a la circunferencia, trazada desde el punto P ( x 1 , y 1
) exterior a esta, es:
b ) Dada la ecuacin general de la circunferencia la longitud (d)
del segmento que determina la tangente a la circunferencia, trazada
desde el punto P ( x 1 , y 1 ) exterior a esta, es:
5.- EJE RADICALEl eje radical de dos circunferencias coplanares
y no concntricas, es el lugar geomtrico de todos los puntos de ese
plano, desde los cuales las tangentes a ellas, determinan segmentos
de igual longitud.Dadas las ecuaciones generales de dos
circunferencias no concntricas:x 2 + y 2 + D 1 x + E 1 y + F 1 = 0
; (D 1 D 2 E 1 E 2)x 2 + y 2 + D 2 x + E 2 y + F 2 = 0la ecuacin
general de su eje radical es:( D 1 - D 2 ) x + ( E 1 - E 2 ) y + F
1 - F 2 = 0Ejemplo 4:- Ecuacin general de la primera
circunferencia: x 2+y 2 - 2 x- 4 y- 20 = 0- Ecuacin general de la
segunda circunferencia: x 2+y 2- 24 x+2 y+129 = 0Ecuacin del eje
radical: 22 x 6 y - 149 = 0Las distancias del punto Pa los puntos
de tangencia son
6.-FAMILIADE CIRCUNFERENCIASDadas las ecuaciones generales de
dos circunferencias secantes:x 2 + y 2 + D 1 x + E 1 y + F 1 = 0x 2
+ y 2 + D 2 x + E 2 y + F 2 = 0La ecuacin dela familiade
circunferencias que pasan por los puntos de interseccin de esas dos
circunferencias secantes es:x 2 + y 2 + D 1 x + E 1 y + F 1 + K( x
2 + y 2 + D 2 x + E 2 y + F 2) = 0 ; (K 1)Si K= 1, se tiene la
ecuacin de la recta que contiene a la cuerda comn:(D 1 - D 2) x +
(E 1 - E 2) y + F 1 - F 2 = 0Ejemplo 5:Sean las ecuaciones de las
circunferencias secantes:x 2 + y 2 6 x 4 y 12 = 0; x 2 + y 2 4 y 24
= 0, la ecuacin de la familia de circunferencias que pasan por los
puntos de interseccin de las circunferencias anteriormente
citadas:x 2 + y 2 6 x 4 y 12 + K( x 2 + y 2 4 y 24 ) = 0 ( K 1
)Ecuacin de la recta que contiene a la cuerda comn: x = 2
D) RAICES IRRACIONALESSi una ecuacin entera posee races
irracionales, stas pueden determinarse por diversosmtodos. Dada una
ecuacin entera con coeficientes racionales, primeramente
aplicaremos elprocedimientodado para obtener las races racionales.
Es decir, separaremos todas las races nulas y (o) racionales, y
cualquier raz irracional existente la obtendremos de la ecuacin
reducida. Si la ecuacin reducida es cuadrtica las races se obtienen
fcilmente por medio de la frmula correspondiente. Por tanto, en el
siguiente estudio supondremos que el grado de la ecuacin reducida
es igualo mayor que 3.
1.-Mtodode aproximacin.-En este caso las races irracionales
vendrn dadas en forma decimal, y el grado de precisin depende del
nmero de cifras decimales obtenidas. Esteprocesoes, pues,
esencialmente, un mtodo de aproximacin.
El mtodo de aproximacin se llama interpolacin lineal. Est
fundado en lahiptesisde que un arco pequeo de una curva continua
puede sustituirse por un segmento rectilneo sin introducir un error
apreciable. Naturalmente esto es slo una aproximacin, pero tiene la
ventaja de que es posible mejorarla disminuyendo la longitud del
arco considerado.Para explicar el mtodo de interpolacin lineal
vamos a considerar la grfica de una funcin polinomial f (x) con
coeficientes reales. Sean a y b dos nmeros positivos muy prximos y
tales que b > a. Supongamos que f(a) = h > O, para x = a y
que f(b) = -k < O para x = b. Entonces f(x) tiene un cero entre
a y b. Esto se representa grficamente en la figura, en donde P(a,h)
y Q(b,-k) son dos puntos prximos de la curva. Los puntos A y B son
respectivamente los pies de las perpendiculares bajadas de P y Q al
eje X. Sea R el punto de interseccin de la prolongacin de P A con
la recta que pasa por Q paralela al eje X. Supongamos ahora que el
arco de la curva de la grfica de f(x) que une P y Q se sustituye
por una lnea recta, y sea C, entre A y B el punto en que AB corta
al eje X. Entonces la abscisa x1 del punto C es un valor aproximado
del cero de f(x) situado entre a y b. Este valor de x1 puede
calcularse fcilmente. En efecto: de
lostringulossemejantesPACyPRQ,obtenemos la relacin
y comoRQ=AB=b-a, AP=h,YRP=h+k,obtenemos
Ya quea, b, hYkson cantidades conocidas,ACpuede calcularse.
Aadiendo este valor aa,obtenemos el valor buscado de x1 o sea
laprimeraaproximacin de la raz. Partiendo de esta primera
aproximacin, podemos repetir el proceso para obtener una segunda
aproximacin ms precisa. El proceso puede repetirse tantas veces
como sea necesario hasta obtener el grado de precisin
deseado.Ejemplo. Demostrar que la ecuacinf(x)=x8-5x2+2x+ 6 = Otiene
una raz entre 1 y 2, Y calcularla con una cifra decimal.SOLUCION.
Por divisin sinttica encontramosf( 1) = 4 Yf(2) = -2, lo que
comprueba que la ecuacin (2) tiene una raz entre 1 y 2. En seguida
trazamos la grfica correspondiente como semuestraen la figura
40(a), en la cual se han utilizado las mismas literales que en la
figura anterior. Entonces, de la primera relacin tenemos
Nuestra primera aproximaci6n es, por tanto, x1 = 1 + 0.6 =
1.6.
Para asegurar la precisin de la raz buscada con una cifra
decimal, repetimos el proceso para obtener una segunda decimal. As
encontramosf(1.6)= 0.496 Yf(1.7)= -0.137, de modo que la ecuacin
tiene una raz entre 1.6 y 1.7. La grfica correspondiente aparece en
la figura 4O(b), en la cual se han utilizado de nuevo las mismas
literales. AquRQ= 0.1,AP= 0.496 YRP= 0.137 + 0.496 = 0.633. Por
tanto, por la relacin tenemos
Nuestra segunda aproximacin es, pues, x2 = 1.6 + 0.07 = 1.67.
Por tanto, la raz buscada; correcta con una cifra decimal, es
1.7.NOTAS.1. Debe probarse cuidadosamente cada aproximacin para
asegurarse de que la raz cae entre dosvaloresconsecutivos. Esto es
especialmente importante en la primera aproximacin, ya que all es
donde se considera el arco de mayor longitud y donde, por tanto, se
obtiene menor precisin. As, por ejemplo, en un caso particular, la
primera aproximacin puede indicar que hay una raz entre 1.6 y 1.7,
pero la sustitucin directa puede mostrar que la raz verdadera est
comprendida, por ejemplo, entre 1.2 y 1.3.2. Aunque el mtodo de
interpolacin lineal nos da cada vez ms precisin al tomar
aproximaciones sucesivas, es cierto que lasoperacionesaritmticas
necesarias tambin aumentan considerablemente.Sin embargo, este
mtodo tiene la ventaja muy apreciable de que puede utilizarse
tambin para aproximar las races irracionales de ecuaciones no
algebraicas, es decir, de ecuaciones trascendentes, tales como las
ecuaciones trigonomtricas y logartmicas.El trabajoaritmtico puede
reducirse en cierta medida utilizando tablas de funciones
ymquinascalculadoras.
2.- METODO DE HORNER.-Ahora vamos a calcular las races
irracionales por medio de un proceso conocido con el nombre demtodo
de aproximacin de Horner. Este mtodo slo es aplicable a las
ecuaciones enteras, pero tiene la ventaja de que los clculos
necesarios son ms sencillos que los usados en el mtodo de la
interpolacin lineal. La facilidad declculoes debida a que cada
cifra de la raz se determina individualmente.El razonamiento
fundamental del mtodo de Horner es muy sencillo. Supongamos que una
ecuacin entera dada f(x) = 0 tiene una raz irracional que, correcta
con 3 cifras decimales, es 2.124. Para determinar esta raz
primeramente veremos que la ecuacin dada tiene una raz entera.
Despus disminuiremos las races de f(x) = 0 en 2 unidades,
obteniendo la nueva ecuacin f1(x1)= 0 que tiene la raz 0.124.
Entonces hacemos ver quef1{Xl}= 0 tiene una raz entre 0.1 y 0.2 y
disminuimos sus races en 0.1, obteniendo una nueva ecuacin f2(x2) =
0 que tiene la raz 0.024. Repitiendo el paso anterior, mostramos
que f2(X2)= O tiene una raz entre 0.02 y 0.03 y disminuimos sus
races en 0.02, obteniendo una nueva ecuacin f3(x3) = O que tiene la
raz 0.004. Continuando este proceso, es posible obtener la raz con
el nmero de cifras decimales correctas que se desee. Los detalles
del mtodo los vamos a explicar en el ejemplo que sigue.Ejemplo.
Demostrar que la ecuacin(1)f(x)= x3+ 5x2-x-9 = 0tiene una raz entre
1 y 2, Y calcularla con 3 cifras decimales por medio del mtodo de
Horner.SOLUCION: Por divisin sinttica encontramosf(l)= -4 Yf(2)= 17
lo que significa que la ecuacin (1) tiene una raz entre 1 y 2.
Ahora disminuimos las races de la ecuacin (1) en 1.
La ecuacin transformada(2)f(x)= x13+ 8x12 + 12x1 - 4= 0tiene una
raz entre O y 1 que procederemos a determinar entre dos dcimas
sucesivas. Ya que la raz de (2) es pequea, su cubo y cuadrado son
an ms pequeos, por lo que, para una primera aproximacin, podemos
despreciar los trminos enX13yX12,obteniendo as laecuacin modificada
12x1-4 = O que tiene la solucin X1 = 0.3+. Ya que esto es slo una
aproximacin, debemos probarla en la ecuacin (2). Por divisin
sinttica encontramosf1(0.3)= 0.347 Yf1(0.2)= -1.272. Por tanto, la
ecuacin (2) tiene una raz entre 0.2 y 0.3. A continuacin
disminuimos las races de la ecuacin (2) en 0.2. Al efectuar esta
operacin conviene dejar espacio suficiente para las decimales
necesarias, como se indica:
La ecuacin transformada: (3)f2(X2)=X23+8.6x22+15.32x2- 1.272 =
O, tiene una raz entre O y 0.1 que procederemos a localizar entre
dos centsimas sucesivas. De los ltimos dos trminos de (3),
obtenemos la ecua cin modificada 15.32x2 - 1.272 = 0 que tiene la
solucin x2 =0.08+. Por divisin sinttica encontramos f2(0.08)=
0.009152, f2(0.07)=-0.157117. Por tanto, la ecuacin (3) tiene una
raz entre 0.07 y 0.08. Ahora disminuimos las races de (3) en
0.07:
La ecuacin transformada es(4) f3(x3)=
x33+8.81x32+16.5387x3-0.157117= 0tiene una raz entre 0 y 0.01 la
cual debemos localizar entre dos milsimas sucesivas. De los ltimos
dos trminos de (4), tenemos la ecuacin modificada 16.5387X3 -
0.157117 = 0, con la, solucinX3 = 0.009+. Por divisin sinttica
encontramos f3(0.009)= -10.007554361 y f3(0.01)= 0.009152. Por
tanto, la ecuacin (4) tiene una raz entre 0.009 y0.011Ahora
disminuimos las races de la ecuacin (4) en 0.009. Se deja como un
ejercicio mostrar que la ecuacin transformada es(5) f4(x4)=x43 +
8.837x42+16.697523x4 - 0.007554361 = 0.De la ecuacin
modificada16.697523x4.- 0.007554361 = O, obtenemos la solucinx4.=
0.0004+. En este punto, ya que la raz de (5) es muy pequea, la
solucin de la ecuacin modificada es suficientemente precisa. Por:
tanto, la raz buscada esx= 1 + 0.2 + 0.07 + 0.009 + 0.0004 =
1.2794y, con precisin de 3 decimales, es 1.279.NOTAS.1. Por motivos
deexposicin, la resolucin del ejemplo anterior se ha descrito en
forma ms extensa de lo necesario. En la prctica se puede hallar la
solucin en forma ms breve, mostrando solamente las operaciones de
disminucin de las races y omitiendo las ecuaciones transformadas de
cuyos coeficientes ya se dispone.2. Es muy importante probar cada
cifra sucesiva de la raz buscada para asegurarse de que la raz de
cada ecuacin transformada est entre dos valores sucesivos.3.
Conforme se avanza en la determinacin de aproximaciones por el
mtodo de Horner, las races de las ecuaciones transformadas se hacen
ms y ms pequeas por lo que las ecuaciones modificadas se hacen ms y
ms precisas y a menudo pueden usarse para obtener cifras decimales
adicionales.4. Para hallar una raz negativa def(x)= O por el mtodo
de Horner, se calcula la raz positiva correspondiente def (-x)= O Y
se le cambia el signo.
E) APLICACIONES DE LA DERIVADA
1.- Funciones crecientes y decrecientesCuando se tiene la grfica
de una funcin continua resulta bastante fcil sealar en qu intervalo
la funcin es creciente, decreciente o constante. Sin embargo, no
resulta fcil decir en qu intervalo la funcin es creciente,
decreciente o constante sin la grfica de la funcin. El uso de la
derivada de una funcin puede ayudar a determinar si una funcin es
creciente, decreciente o constante en un intervalo dado.
1.1.Teorema:Sea f una funcin derivable en el intervalo (a,b).
Luego,i) Si f(x)>0 para todo x en el intervalo abierto (a,b), f
es creciente en (a,b).ii) Si f(x)f(x) para todo x en el intervalo
[a,b].Si f(c) es el mximo de f en el intervalo [a,b] se dice que f
alcanza su mximo en c, y en ese caso, el punto (c,f(c)) es el punto
ms alto de la grfica. Valor mnimo o mnimo absoluto de f: si existe
un nmero c en el intervalo [a,b] tal que f(c)0 entonces x = c es un
mnimo relativo y la grfica de f es cncava hacia arriba.ii) si
f"(c)