Analisis Matematico I

Mgtr. Edgar Uriarte Bernal

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

Presentación

La asignatura de Análisis Matemático I es una asignatura del primer ciclo de las

Escuelas de Ingeniería y es parte de la formación básica. Con la asignatura de Análisis

Matemático I pretendo que el alumno profundice en aquellos conocimientos

matemáticos básicos, que establecerán las bases imprescindibles para que el estudiante

pueda abordar posteriormente con éxito el estudio de las distintas ramas que conforman

los estudios de la Ingeniería.

Las Matemáticas constituyen una herramienta fundamental en la formación de un

ingeniero ya que le permiten, por una parte, comprender los desarrollos teóricos de las

materias de su especialidad y, por otra, resolver problemas que se le presenten en el

desempeño de su profesión. Asimismo, las Matemáticas poseen un carácter formativo

ya que contribuyen a desarrollar el hábito de plantear los problemas con rigor y a

adquirir un auténtico método científico de trabajo.

El objetivo principal de la signatura, es que los alumnos adquieran una base sólida en

Matemáticas, así como destreza en sus operaciones y procedimientos y es prioridad que

el estudiante aprenda a resolver problemas de forma rigurosa, seleccionando técnicas y

estrategias potenciando de este modo el razonamiento crítico que caracteriza a esta

disciplina.

INDICE

LÍMITES Y CONTINUIDAD……………………………………………………........5

Noción Intuitiva de límite………………………………………………………….....6

Definición formal de límite…………………………………………………………...7

Teorema (Unicidad del límite)………………………………………………………..7

Propiedades de los límites……………………………………………………….........8

Formas Indeterminadas……………………………………………………………….9

Límites en el Infinito………………………………………………………………….11

Límites Laterales……………………………………………………………………...13

Límites por Racionalización………………………………………………………......14

Límites de Funciones Trigonométricas……………………………………………….15

Ejercicios para resolver……………………………………………………………….17

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN ……………………………………………….18

Continuidad en un punto………………………………………………………………18

Continuidad de las funciones usuales…………………………………………………19

DISCONTINUIDAD…………………………………………………………………...19

Tipos de Discontinuidad………………………………………………………………19

Ejercicios para resolver………………………………………………………….........20

ASINTOTAS…………………………………………………………………………..21

Definición………………………………………………………………………..........21

Asíntotas Verticales…………………………………………………………………...21

Asíntotas Horizontales………………………………………………………………...21

Asíntotas Oblicuas…………………………………………………………………….22

Ejercicios para Resolver………………………………………………………………22

DERIVADAS: Razón de cambio y Técnicas de derivación…………………………...23

Tasa de Variación……………………………………………………………………..23

Tasa de Variación Media……………………………………………………………...23

Tasa de Variación Instantánea…………………………………………………...……24

Definición de la derivada………….…………………………………………………..25

Interpretación Geométrica la derivada……………………………………………......25

Ecuación de la Recta Tangente y Recta Normal……………………………………...26

Derivada de una Función……………………………………………………………...26

Derivadas Laterales…………………………………………………………………...26

Técnicas de la derivación……………………………………………………………..29

Derivada de funciones trascendentes………………………………………………….30

Derivadas de funciones trigonométricas………………………………………………30

Derivada de función exponencial……………………………………………………..30

Derivada de función Logarítmica……………………………………………………..30

Fórmulas de Derivación……………………………………………………………….32

DERIVADAS: Regla De la cadena y Derivadas de Orden Superior…………………..32

Derivada de función compuesta (Regla de la Cadena)…………………..……………32

Derivadas de Orden Superior…………………………………………………………35

APLICACIONES DE LA DERIVADA………………………………………………..36

Funciones crecientes y decrecientes y su relación con la derivada…………………...37

Valor Máximo y Valor Mínimo de una función………………………………………38

Punto Crítico…………………………………………………………………………..40

Criterio de la primera derivada para determinar los máximos y los mínimos de una

función………………………………………………………………………………41

Criterio de la segunda derivada para determinar los máximos y los mínimos de una

función………………………………………………………………………………..43

Problemas para resolver……………………………………………………………….45

Bibliografía……………………………………………………………………………46

LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

Uno de los conceptos básicos y fundamentales en el cálculo es el concepto de límite.

Este concepto es importante para precisar otros temas, tales como continuidad,

derivación, etc. En el siguiente ejemplo se intenta mostrar la idea de límite de una

función real de variable real.

Sean f y g dos funciones reales definidas mediante la regla de correspondencia

respectivamente:

314

336

2

x;

x,xxgyx;xxf

Observe que 3f no existe, mientras que 143 g sin embargo el comportamiento de

estas funciones en un vecindad de 3 excluyendo el punto 3 es exactamente el mismo y

puede ser descrito del siguiente modo.

“Para valores de x próximos al punto 3x con 3x los valores xgyxf se

aproximan al número 9L ”

Al calcular el límite de una función f cuando x tiende al número a no interesa si la

función f está definida en ax porque lo que se quiere es averiguar el valor al cual se

aproxima xf cuando la variable independiente x tiende al número a .

Notación Intuitiva de Límite

Considérese la función definida por: 11

12 2

x;

x

xxxfy

En las tablas siguientes se hace un seguimiento de xf , cuando x se aproxima a 1 por la

izquierda (valores menores que 1) o por la derecha (valores mayores que 1)

X xf

0 1

0.3 1.6

0.5 2

0.75 2.5

0.9 2.8

0.95 2.9

0.99 2.98

0.995 2.99

0.999 2.998

0.9995 2.999

0.9999 2.9998

x xf

2 5

1.7 4.4

1.5 4

1.25 3.5

1.1 3.2

1.05 3.1

1.01 3.02

1.005 3.01

1.001 3.002

1.0005 3.001

1.0001 3.0002

Definición Formal de Límite.

Sea f una función definida para todo x real de un intervalo abierto que contiene al

número a , excepto posiblemente en a . El límite de la función f es aquel número real

L al que se aproxima xf cuando la variable independiente x tiende al número a .

Simbólicamente: Lxflimax

Cuando:

Dado 0 , existe 0 talque: ax , entonces Lxf

Lo que viene a expresar esta formulación matemática es que si x está “suficientemente

cerca” de a, entonces su imagen xf también está muy próxima a L.

Teorema (Unicidad del límite).-

El límite de una función cuando existe es único, es decir, si:

2121 LLLxflimyLxflimaxax

Propiedades de los límites

1. Límite de la variable: es igual al valor al que tiende la variable.

axlimax

2. Límite de una constante: Es igual a la constante.

CClimax

3. Límite de la suma ó diferencia de funciones: es igual a la suma o diferencia de los

límites de las funciones.

xglimxflimxgxflimaxaxax

4. Límite del producto de funciones: es igual al producto de los límites de las

funciones.

xglim.xflimxg.xflimaxaxax

5. Límite del cociente de funciones: Es igual al cociente de los límites de las funciones.

0

xgsi

xglim

xflim

xg

xflim

ax

ax

ax

6. Límite de la potencia de una función: es igual a la potencia del límite de la función.

n

ax

n

axxflimxflim

Ejemplos:

10105

2

2

5

2

31

2

2

1

2

1

2

12

1

4

2

4

2

4

1

2

1

2

1

000

2

11

2

1

000

53233

27333

3

2

3

11

3

1

3

1

32216

23133

110

411333

11011

xxLim

x

x

x

xxLim

x

x

x

x

x

x

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xLimxLim

LimLim

xLim

xLim

x

xLim

.xLim.xLimxxLim

xLimxLimxxLim

xcosLimsenxLimxcossenxLim

.xLimxLimxxLim

LimxLimxLim

Formas Indeterminadadas

Las formas indeterminadas son expresiones que no permiten indicar de manera

inmediata cuál es el valor del límite. Las cuales son las siguientes:

Si en el cálculo de limites aparecen alguna(s) de estas formas, se debe calcular el límite

usando otros procesos o artificios algebraicos con el propósito de evitar la

indeterminación.

Ejemplos:

1. Calcular: 3

2

3 x

xlimx

Solución

Al cambiar el x por 3 se obtiene: 0

6

Para ver si este límite existe, hay que estudiar los límites laterales.

3

2

3 x

xlimx

El signo de la fracción es + pues es 3x (x se acerca hacia el 3

por su derecha)

3

2

3 x

xlimx

El signo de la fracción es – pues es 3x (x se acerca hacia el 3

por su izquierda)

Por lo tanto, este límite no existe al ser distintos los limites laterales.

2. Calcular: 4

652

2

2

x

xxlimx

Solución

Factorizando el numerador y el denominador

4

1

2

3

22

32

0

0

4

65

222

2

2

x

xlim

xx

xxlim

x

xxlim

xxx

3. Calcular: 1

1

1

x

xlimx

Solución

Al reemplazar el x por 1 nos da 0

0 la cual es indeterminada, entonces se tendrá

que resolver por su conjugado del numerador. Es decir:

2

1

1

1

11

1

11

11

1

1

1111

xlim

xx

xlim

xx

xxlim

x

xlim

xxxx

4. Calcular: x

xlimx

11

0

Solución:

Al reemplazar el x por 0 nos da 0

0, la cual es indeterminada, entonces se tendrá

que resolver por su conjugado del numerador. Es decir:

2

1

11

1

1111

111111

0000

xlim

xx

xlim

xx

xxlim

x

xlim

xxxx

Limites en el infinito.

Si xf se aproxima a un número finito L cuando x aumenta sin límite (o cuando x

disminuye sin límite), se dice que el límite de xf está en el infinito, y se escribe.

LxflimoLxflimxx

Geométricamente, la gráfica de f se aproxima a la recta horizontal Ly a medida que

x xó , y Ly se denomina asíntota horizontal de la grafica de f.

Es posible que xf aumente o disminuya sin límite cuando x también lo haga. Si esto

sucede, con frecuencia es útil escribir.

xflimoxflim

xflimoxflim

xx

xx

Gráficamente se muestra de la siguiente forma:

Una manera de hallar el límite de una función racional en el infinito es comparar los

grados del numerador y el denominador y dividir el numerador y el denominador por x

elevada al mayor de estos grados. Es decir:

01

nx xlim

Ejemplos:

a) Hallar: 253

1322

2

xx

xxlimx

Solución

Se divide al numerador y denominador por 2x para obtener:

3

2

003

002

253

132

253

132

2

2

2

2

xx

xxlimxx

xxlim

xx

b) Hallar: xxxlimx

52

Fig. Límites en el infinito

Solución

Se resolverá aplicando conjugada

2

1

1001

01

151

1

51

5

5

5

5

5

555

2

2

2

22

2

222

xx

xlim

x

xxx

x

x

lim

xxx

xxxlim

xxx

xxx.xxxlimxxxlim

xx

xxx

Limites laterales

a) Limite Lateral por la derecha.

Se dice que el número L es el límite de la función xf cuando x tiende a “a” por

su derecha, Lxflimax

si la distancia Lxf se hace tan pequeña como se

quiera al acercarnos tanto como queramos a “a”, manteniéndose siempre por la

derecha de “a”.

Sea la función xf de la figura:

Se verifica: cuando nos vamos acercando tanto como queramos a 0, por su

derecha, la función se va acercando, más y más, hacia a 1, por tanto:

10

xflimx

b) Límite lateral por la izquierda:

Se dice que el número L es el límite de la función xf cuando x tiende a “a” por su

izquierda, Lxflimax

si la distancia Lxf se hace tan pequeña como se quiera al

acercarnos tanto como queramos a “a”, manteniéndose siempre por la izquierda de “a”.

Sea la función xf de la figura:

Se verifica: cuando nos vamos acercando tanto como queramos a 0, por su

izquierda, la función se va acercando, más y más, hacia 0, por tanto:

00

xflimx

Limites por racionalización

Ejemplo 01. Calcular 1

131

x

xlimx

Solución

Aplicando el la sustitución, tenemos: 0

0

11

113

(indeterminado)

Para encontrar el valor de esta indeterminación, podemos aplicar un de los siguientes

métodos.

Primer Método

Racionalizando el numerador para diferencia de cuadrados y racionalizando el

denominador para diferencia de cubos.

2

3

11

111

11

11

1

1

1

1

1

1 323323

1323

323

31

xx

xxxlim

xx

xx

x

x

x

xlim

xx

Segundo Método

Cambio de Variable: 6ux . Entonces: 11 ux:Si

Reemplazando tenemos: 2

3

11

11

1

1

1

12

12

3

13 6

6

1

uu

uuulim

u

ulim

u

ulim

uuu

Limites trigonométricos

Si c es un número real en el dominio de la función trigonométrica indicada, se cumplen

las siguientes propiedades:

Recordemos algunas equivalencias de funciones trigonométricas:

Para calcular límites trigonométricos usaremos con frecuencia las siguientes identidades

trigonométricas al límite notable:

Ejemplos:

1. Calcular: x

xtanlimx 0

Solución

11

11

11

00000

xcoslim

x

senxlim

xcosx

senxlim

xcos.x

senxlim

x

xtanlim

xxxxx

2. Calcular: xcos

xlimx 31

2

0

Solución

9

21

9

4

2

1

2

3

2

3

2

3

2

1

2

3

3

2

2

3

2

1

2

32

1

2

32

31

2

2

0

2

2

0

2

02

2

0

2

0

x

xsen

lim

x

xsen

limx

sen

xlim

xsen

xlim

xcos

xlim

x

xxxx

3. Calcular: 2

0

1

x

xcosim,l

x

Solución

Aplicando la sustitución, tenemos:

0

0

0

012

cos

(indeterminado)

Ahora, para encontrar el valor de la indeterminación hacemos lo siguiente:

2

1

2

1

1

1

11

1

1

11

2

0

02

2

0

2

2

02

2

2

02

0

x

senxlim

xcoslim

x

xsenlim

xcosx

xsenlim

xcosx

xcoslim

xcos

xcos

x

xcoslim

x

xx

x

xsen

xx

4. Calcular: ax

senasenxlim

ax

Solución

Aplicando el teorema de sustitución, tenemos: 0

0

aa

senasena

(indeterminación)

Cambiando variable axu . Entonces si ax , 0u y además: aux

Reemplazando y simplificando tenemos:

acos

asenacos

u

ucoslimsena

u

senulimacos

u

senaucoslim

u

acossenulim

u

senaucosacossenulim

u

senasenaucosacossenulim

u

senasenaucosacossenulim

u

senaausenlim

uu

uu

u

u

ausen

uu

01

1

1

1

0

0

1

0

00

0

0

00

Ejercicios Propuestos

1. Calcular los siguientes límites:

a) x

xxlimx

3

613 2

3

b) 87

432

35 3

8

xx

xxxlimx

c) 2

333 2

1 1

332

x

xxxxxlimx

d) 3

32

33

32

mnx

nmx

xnxmlim

nm

e) 21

514

3 23

x

xlimx

f) 22

8

38

x

xlimx

g) 33

1352 33

6

x

xxlimx

2. Dibujar la gráfica de alguna función f que satisfaga las siguientes condiciones:

xflim;xflim;xflim

;xflim;xflim;xflim

;xflim;xflim;f;f

;f;f;f;f

xxx

xxx

xx

75

522

3

1

302

00806

15021002

3. Hallar los siguientes límites:

a) 763

5322

2

nn

nnlimn

b) 10411

3657

nnn

nnnnlimn

c) 2342 2

nnnlimn

d) 13

3212

n

n...limn

4. Dibuje la gráfica de alguna función f que satisfaga las siguientes condiciones:

2211300

11112

10131

321

101

f;ff;f

f;xflim;xflim;xflim

;xflim;xflim;xflim;,:D

xxx

xxxf

5. Calcular:

3

3

2 64

81

xx

xxlimx

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

Continuidad de una función en un punto

Definición: Sea xf una función, decimos que xf es continua en ax cuando:

afxflimax

La continuidad de xf en ax implica que se cumplan las siguientes condiciones:

1. La función está definida en ax , es decir debe existir af

2. Exista el límite de f en ax , es decir que los límites laterales sean iguales.

3. los dos valores anteriores sena iguales.

Una función es continua en un intervalo si lo es en todos sus puntos.

Una función es discontinua en un punto cuando en dicho punto no es continua.

La función de la izquierda no presenta ningún salto y decimos que es continua en

cualquier punto del intervalo. La función de la derecha presenta un salto en el punto

2x , decimos que no es continua es ese punto.

1. Continuidad de las funciones usuales:

Las funciones polinómicas son siempre continuas

Las funciones racionales son continuas para todo punto de su dominio. Esto es,

en todos los puntos que no hagan cero el denominador.

La función exponencial es siempre continua.

La función xlogy es continua para 0x .

Las funciones trigonométricas son continuas en todos los puntos de su dominio.

Las funciones definidas por trozos son continuas si cada trozo lo es, y si lo son

en los puntos de unión.

En general, una función será discontinua en todos los puntos que no pertenezcan

a su dominio.

2. Tipos de discontinuidad

Existen dos tipos de discontinuidad las cuales están caracterizados por:

La función f tiene una discontinuidad evitable o removible en 0x , si:

xflimxx 0

existe y 00

xfxflimxx

La función f tiene una discontinuidad esencial o inevitable en 0x , si:

xflimxx 0

no existe

En este caso, si xflimxx 0

y xflimxx 0

es decir los limites laterales existen

pero son diferentes, se dice que la discontinuidad es de salto.

Ejemplo: dada la función:

31110

31

13

2 xsi;xx

xsi;nmx

xsi;x

xf

Halle los valores de “m” y “n” para que la función xf sea continua.

Solución

Como la función es continua lo haremos por separado, en los res casos son polinomios y

además la función está definida en todo

Para que xf sea continua es necesario que los límites laterales coincidan en los puntos

de unión.

En 1x

4311

xlimxflimxx

; nmnmxlimxflimxx

11

Para que sea continua debe cumplirse que: nm 4

En 3x

nmnmxlimxflimxx

333

; 1011102

33

xxlimxflimxx

Para que sea continua debe cumplirse que: nm 310

Resolviendo el sistema:

103

4

nm

nm 13 n;m

Ejercicios para Resolver:

1. Determine si las siguientes funciones son continuas:

a) 9

812

4

x

xxf

b)

18

11

13

x;

x;x

xxf

c)

212

222

21

x;x

x;x

x;x

xf

d)

14

11

2223

x;

x;x

xxxxf

2. Determine los valores de A y B de modo que la función f sea continua en todo su

dominio.

a)

21

212

112

x;x

x;BAx

x;BxAx

xf

b)

126

123

22

x;Bx

x;BAx

x;Ax

xf

c)

32

311

12

2

2

x;Ax

x;Bx

x;Ax

xf

3. El costo c, en soles, por enviar un paquete es de 50 soles si pesa hasta 5 kilogramos,

de 80 soles si su peso es mayor de 5 y hasta 10 kilogramos, y de 70x soles si

pesa más de 10 y hasta 50 kilogramos. Expresar la función del costo, analizar en qué

puntos tiene discontinuidades y trazar su gráfica.

ASINTOTAS

Definición:

Cuando la gráfica de una función se acerca a una recta cuando x o y tienden a

infinito, dicha recta se llama ASINTOTA de la función.

No todas las funciones tienen asíntotas.

Las asíntotas de una función pueden ser:

1. Asíntotas Verticales:

La recta cx es una asíntota vertical de una función xf si se cumple

alguna de las siguientes condiciones:

xflimóxflim

xflimóxflim

cxcx

cxcx

Su gráfica es:

2. Asíntotas Horizontales:

La recta Ly es una asíntota horizontal de una función xf si se cumple

alguna de las siguientes condiciones:

LxflimóLxflimxx

Su gráfica es:

3. Asíntotas Oblicuas:

La recta bmxy es una asíntota oblicua de una función xf si se

cumple alguna de las siguientes condiciones:

Su gráfica es:

Ejercicios para Resolver.

1. Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas:

a) Puede existir a la vez una asíntota horizontal y una oblicua cuando x tiende a

………………………………………………………………………. ( )

b) La gráfica de una función y las correspondientes asíntotas verticales nunca se

interceptan ……………………………………………………………… ( )

c) Toda función racional tiene por lo menos una asíntota vertical ………… ( )

Por la izquierda Por la derecha

mxxflimbx

xflimm

x

x

mxxflimbx

xflimm

x

x

2. La función 1

12

x

xxf no está definido en 1x ni en 1x , sin embargo tienen

una sola asíntota vertical. Justificar esta información.

3. Hallar las asíntotas de la curva y bosquejar la gráfica.

a) 2

3

3 x

xxf

b) 1

22

x

xxxf

c) 24

1

x

xxf

d) 12

3

x

xxf

e) 12

x

xxf

Capitulo 2 Derivadas: Razón de cambio y Técnicas de derivación

Tasa de Variación

Consideremos una función xfy y consideremos dos puntos próximos sobre el

eje de abscisas “a” y “a+h”, siendo “h” un número real que corresponde al

incremento de x ( xΔ )

Se llama tasa de variación (T.V.) de la función en el intervalo ha,a que

representa por yΔ , a la diferencia entre las ordenadas correspondientes a los

puntos de abscisas a y a+h.

afhafy Δ

Tasa de Variación Media

Se llama tasa de variación media (T.V.M), en el intervalo ha,a , y se

representa por h

yΔ ó

x

y

Δ

Δ, al cociente entre la tasa de variación y la amplitud

del intervalo considerando sobre el eje de abscisas , h ó xΔ , esto es:

h

afhafM.V.T ha,a

La tasa de variación media se refiere siempre a un intervalo; también puede

llamarse tasa de crecimiento o velocidad media del cambio.

Tasa de Variación Instantánea

Llamamos tasa de variación instantánea de la función xf en el punto a , al

límite de la tasa de variación media cuando b tiende a a . Es decir:

n

x

xflim

ab

afbflimxTVI

abab Δ

Δ

La tasa de variación instantánea se refiere siempre a un punto; puede llamarse

también: velocidad instantánea o de cambio, razón de cambio, o simplemente

tasa.

Ejemplo 1: Se registraron las temperaturas el 13 de Julio en la ciudad de Lima en el

año 2011 las cuales arrojaron las siguientes temperaturas:

Hora 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

temperatura(Cº) 16 14 13 12 10 22 25 16 23 18 16 14

Encontrar la tasa de variación media de la temperatura entre las 2 y las 12 horas es:

h/Cº.TVM , 6010

6

212

1610122

Es decir significa que la temperatura entre las 2 y las 10 horas ha disminuido a razón

de -0.6 de grado por hora.

Definición de Derivada. Derivada de una función en un punto.

La derivada de la función xf en el punto ax es el valor del límite, si existe, de la

tasa de variación media cuando el incremento de la variable xóh Δ tiende a cero.

h

afhaflim

h

ylima'F

hh

00

Δ

Interpretación Geométrica

Cuando h tiene a cero, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta

secante tiende a ser la recta tangente a la función xf en P, y por tanto el ángulo

tiende a ser .

a'fh

ylimtgh

Δ

0

Ejemplo: Calcular la derivada de la función 542 xxxf en 1x

Solución

66654421

514541111

0

2

0

2

0

22

00

hlimh

hhlim

h

hhhlim

h

.xhxhlim

h

fhflim`'f

hhh

hh

Ecuación de la Recta Tangente y Recta Normal

La ecuación de la recta tangente a una curva en el punto af,a es:

axa'fafy

La ecuación de la recta normal es la recta perpendicular a la tangente en

el punto af,a , su ecuación es:

axa'f

afy 1

Derivada de una función

Sea f una función de variable real. Sea 0x un punto del dominio de f . La

derivada de f en “ 0x ” , denotada como 0x'f , se define como:

h

xfhxflimx'fh

00

00

Siempre que el límite exista

Cuando la derivada en 0x existe se dice que es f diferenciable en 0x .

Otras notaciones que se emplean para la derivada son: 'y ó yDx .

Leibniz utilizó la notación: dx

dy

En cualquier caso, la derivada en “x” sería:

h

xfhxflimx'fh

0

Derivadas laterales

La derivada por la izquierda de la función xf en ax se define como:

h

afhaflima'fh

0

Es decir, h tiende a cero por la izquierda

Análogamente, la derivada por la derecha de la función xf en ax , se define

como:

f

afhaflima'f

h

0

Propiedad: Una función es derivable en un punto si sus derivadas laterales existen y

son iguales.

Ejemplos:

1. Dada la función 48 xxfy Hallar:

a) La tasa de variación media en el intervalo hx;x

b) La tasa de variación instantánea en el punto x.

Solución

a)

884848

h

h

h

xhx

h

xfhxfTVM hx;x

b)

884848

000

h

hlim

h

xhxlim

h

xfhxflimxTVI

hhh

2. Hallar la derivada por definición, de la función: xxxf 32

Solución:

Utilizando la definición de derivada, el procedimiento a seguir para cualquier

función se realiza los pasos siguientes:

a) Colocamos la función xf según el dato.

b) Se sustituye en la función, “x” por “x+h” y se calcula el valor de la función

hxf .

c) Se resta el valor de la nueva función hxf con la función xf , es decir:

xfhxf

d) Se divide, a este nuevo valor entre “h”.

e) Se determina el límite de este cociente: El valor que se obtiene es la derivada

buscada.

Aplicamos los pasos anteriores.

a) xxxf 32

b) hxhhxxhxhxhxf 3323 222

c) hhhxxxhxhhxxxfhxf 323332 2222

d)

3232 2

hxh

hhhx

h

xfhxf

e) 3232

00

xhxlim

h

xfhxflim

hh

Por lo tanto: 32 xx'f

3. Hallar x'f ; si 2

1

x

xf

Solución

a) 2

1

x

xf

b) 2

1

hxhxf

c)

2222

22

22

22

2

1

2

1

xhx

h

xhx

hxx

xhx

hxx

xhxxfhxf

d)

22

1

1

22

xhxhxhx

h

h

xfhxf

e)

22

1

22

1

00

xxhxlim

h

xfhxflim

hh

4. Encuentre la derivada de 3xxf

Solución

a) 3223333 hxhhxxhxhxf

b) 2233223 3333 hxhxhxhxhhxxxfhxf

c) 22

22

3333

hxhxh

hxhxh

h

xfhxf

d) 222

00333 xhxhxlim

h

xfhxflim

hh

Por lo tanto: la derivada de 3xxf es 23xx'f

Técnicas de la Derivación:

El proceso de encontrar la derivada de una función puede presentarse complicado si se

hace aplicando la definición. Para hacer no tan engorroso o complicado este trabajo se

dispone de técnicas y reglas.

1. Derivada de una Potencia

Si nxxf con Nn , entonces 1 nx.nx'f para todo Rx

2. Derivada de una suma de funciones

Si las funciones f y g son derivables en un punto a , la función gf también será

derivable en el punto a , y se cumple que:

a'ga'fagf '

3. Derivada del producto de una constante por una función

Si f es una función derivable en a , la función f.cg , donde c es una constante,

también es derivable en el punto a y se verifica que:

a'f.ca'g

4. Derivada de una función polinómica

De los resultados anteriores se deduce inmediatamente que la derivada de una

función polinómica 011

1 axa...xaxaxf nn

nn

es otra función polinómica del

tipo 12

11 1 a...xanxnax'f n

nn

n

5. Derivada de un producto de funciones

Si f y g son funciones derivables en un punto a , la función "g.f" también es

derivables en el punto a y se cumple que:

a'g.afag.a'fa'g.f

6. derivada de un cociente

Si f y g son funciones derivables en un punto a y 0ag , entonces la función

g

fk también es derivable en a y se verifica que:

2ag

a'g.afag.a'fa'k

Reglas de Derivación

Sean f y g funciones diferenciables y k una constante, entonces:

7. Derivadas de Funciones Trascendentes

a) Derivada de la función senxxf

La derivada de la función senxxf es la función xcosx'f

b) Derivada de la función xcosxf

La derivada de la función xcosxf es la función senxx'f

c) derivada de la función xtanxf

La derivada de la función xtanxf es la función xsecx'f 2

d) Derivada de la función xcotxf

La derivada de la función xcotxf es la función xcocx'f 2

e) Derivada de la función xsecxf

La derivada de la función xsecxf es la función xtan.xsecx'f

f) Derivada de la función xcscxf

La derivada de la función xcscxf es la función xcot.xcscx'f

g) Derivada de función Logarítmica xlnxf

La derivada de la función xlnxf es la función x

x'f1

h) Derivada de la función xlogxf a

La derivada de la función xlogxf a es la función alnx

x'f1

i) Derivada de la función xaxf

La derivada de la función xaxf es la función aln.ax'f x

j) Derivada de la función xexf

La derivada de la función xexf es la función xex'f

Fórmulas de derivación:

Para ciertas funciones definidas de manera simple se pueden emplear las siguientes

fórmulas:

DERIVADAS: Regla De la cadena y Derivadas de Orden Superior

Derivada de función compuesta. Regla de la cadena

Para derivar funciones compuestas se utiliza el siguiente teorema, conocido con el

nombre de regla de la cadena.

Consideremos la función, que es la composición de las funciones g y h , de modo que

xghxf . Si la función g es derivable en el punto a y la función h es derivable en

el punto ag , entonces la función f es derivable en el punto a y se verifica que

a'g.ag'ha'f .

O simplemente que es lo mismo:

Finalmente las fórmulas de derivadas para funciones compuestas quedarían de la

siguiente forma:

Ejemplo 01: Calcula la derivada de la función 22 3xxxf

Solución

Tendremos: 222 3 xuxxxf siendo xxxu 32

Aplicando la regla de la cadena:

32322 212 x.xx.x'u.xu.x'f

Ejemplo 02: Calcular la derivada de la función 24 xlnxf

Solución

Tendremos: xulnxlnxf 24 , siendo 24 xxu

Aplicando la regla de la cadena:

424

11.

xx'u.

xux'f

Ejemplo 03: Calcular la derivada de 33 xsenxf

Solución

Tendremos: xusenxsenxf 32 , siendo: 32 xxu

32 2 xcos.xx'u.xucosx'f

Ejercicios desarrollados

1. Hallar la derivada de la función: 32 xxxf

Solución

Aplicamos la propiedad: 'v.uv.'u'v.u

12321321 xxxxxdx

df

2. Hallar La derivada de la función: 72 3 xxf

Solución

Aplicamos la propiedad: 'u.nu'u nn 1

xxdx

df237

62

3. Hallar la derivada de:

395

52

33

352

xx

xxxf

Solución

Aplicamos las propiedades: 'u.u.n'u;g

f.'gg.'f

g

f nn'

1

2

695

5248449539542

33

352271533333543525

xx

xx.xxxxxx.xxx

dx

df

4. Hallar la derivada de la función: 8 45 243 xxxf

Solución

Para derivar la función debemos expresarlo como exponente fraccionario, es decir:

81

45 243 xxxf

348

745 125243

8

1xx.xx.

dx

df

5. Hallar las ecuaciones de la recta tangente y recta norma a la curva

42 23 xxxfy en el punto 42,

Solución

a) Primero calculamos la pendiente, derivando la función:

xx'y 43 2

Como 2x (también llamado abscisa)

Entonces: 424232 2 'fm

b) La ecuación de la recta tangente y normal es:

018422

14

044244

yxxy:L

yxxy:L

n

t

6. Hallar la derivada de la función: 632 553 x.xY

Solución

5318556 256363 x.x..xdx

df xx

Derivadas de orden superior

La derivada es una función por tanto se podría obtener también la derivada de esta

función y así sucesivamente. Es decir:

Sea xfy una función “n ” veces derivable, entonces:

La primera derivada es:

h

xfhxflimyD

dx

dyx'f'y

hx

0

La segunda derivada es:

h

x'fhx'flimyD

dx

ydx''f''y

hx

0

2

2

2

La tercera derivada es:

h

x''fhx''flimyD

dx

ydx'''f'''y

hx

0

2

3

3

La n – ésima derivada es:

h

xfhxflimyD

dx

ydxfy

nn

h

nxn

nnn

11

0

Ejemplos:

1. Hallar la segunda derivada de la siguiente función:

x

y21

1

Solución

La función podemos expresarla de esta forma para poder derivarla 121 xy

Ahora obteniendo su derivada

33

22

21822122

212221

xx''y

xx'y

2. Hallar la tercera derivada de la siguiente función:

xexy

Solución

312

211

11

xeexe'''y

xeexe''y

xexee'y

xxx

xxx

xxx

Aplicaciones de la derivada

Dentro de las aplicaciones de las derivadas quizás una de las más importantes es la de

conseguir los valores máximos y mínimos de una función. También la derivada es una

herramienta muy útil para graficar funciones.

Funciones crecientes y decrecientes y su relación con la derivada

Sea f una función continua con ecuación )x(fy , definida en un intervalo b,a .

La siguiente es la representación gráfica de f en el intervalo b,a .

En la representación gráfica anterior puede observarse que la función f es:

1. Creciente en los intervalos ]a, x3[, ]x5, x6[

2. Decreciente en los intervalos ]x3, x5[, ]x6, b[

También se tiene que cuando la pendiente de la recta tangente es positiva, la función f

crece; y cuando la pendiente de la recta tangente es negativa, la función decrece.

Note además que en los puntos (x3, f(x3)), (x5, f(x5)) y (x6, f(x6)) la recta tangente es horizontal, por lo que su pendiente es cero, es decir, la primera derivada de la función

se anula en cada uno de esos puntos.

En los siguientes teoremas se formalizan las apreciaciones anteriores.

Teorema 1:

Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en el

intervalo abierto ]a, b[.

1. Si 0)x´(f para toda x en ]a, b[, entonces la función f es creciente

en [a, b].

2. Si 0)x´(f para toda x en ]a, b[, entonces la función f es

decreciente en [a, b].

Ejemplos:

1. Determinemos los intervalos en que crece o decrece la función con ecuación

)xx()x(f 142

1 2 .

Para ello calculemos la primera derivada de 2 x)x´(f:f .

Como 020 x)x´(f , o sea si 2x , entonces f es creciente para 2x .

Como 020 x)x´(f , o sea si 2x , entonces f es decreciente para

2x .

En la representación gráfica de la función puede observarse lo obtenido

anteriormente.

Valor máximo y valor mínimo de una función

Si f es una función dada, entonces )c(f es un valor máximo relativo de f, si existe

un intervalo abierto ]a, b[ tal que a<c<b y )x(f)c(f para [b,a]x , siendo x un

valor del dominio de la función.

Si )x(f)c(f para toda x en el dominio de f, entonces )c(f es el valor máximo de

f o máximo absoluto.

Similarmente, )c(f es un valor mínimo relativo de la función f, si existe un

intervalo abierto ]a, b[ tal que a<c<b y )x(f)c(f para [b,a]x , con x en el

dominio de f.

Si )x(f)c(f para toda x en el dominio de f, entonces se dice que )c(f es el valor

mínimo de dicha función. También se llama mínimo absoluto.

Ejemplo:

Considere una función f definida en un intervalo d,c , cuya representación gráfica es

la siguiente:

Note que )x(f 1 , es un máximo relativo y )x(f 3 es el máximo valor que toma la función

en el intervalo en que está definida.

Similarmente, )x(f 4 es un valor mínimo relativo y )x(f 2 es el mínimo absoluto de la

función en d,c .

Teorema 2

Sea c un punto interior del dominio de una función f.

Si )c(f es un valor máximo relativo de f y si existe )c´(f entonces 0)c´(f .

Ejemplo: Considere la función f definida por

La representación gráfica de la función es la siguiente:

Puede observarse que cuando x toma el valor de -2 entonces la función tiene un valor máximo. En este caso (-2, 3) es precisamente el vértice de la parábola con ecuación:

)xx(y 844

1 2

.

Según el teorema anterior debe cumplirse que )2´(f es igual a cero.

En efecto, como 0424

12

)x()´(f , al sustituir x por -2 se obtiene que

0444

12

)()´(f , que era lo que quería comprobarse.

Teorema 3

Sea c un punto interior del dominio de una función f. Si f(c) es un valor

mínimo relativo de f y si f´(c) existe, entonces f´(c) = 0.

Observación: El recíproco de los dos teoremas anteriores no es cierto. Es decir, el hecho de que f´(c) sea igual a cero, no implica que en exista un

máximo o un mínimo.

PUNTO CRÍTICO: Sea f una función. Recibe el nombre de puntos críticos del dominio

de f, aquellos en los que )´(xf es igual a cero o en los que )´(xf no

existe.

Ejemplo: Determinar los puntos críticos de la siguiente función: 422)( xxxf

Solución:

Como 422)( xxxf , entonces 344)( xxxf

Ahora: 0)´( xf si y solo si 0)1(4 2 xx o sea si 0x , ó, 1x , ó, 1x

Luego, los valores críticos de f son: x=0, x=1, y x=-1.

Criterio de la Primera Derivada para determinar los máximos y los mínimos de una función

En el siguiente teorema se establece cómo determinar los valores máximos y los valores mínimos de una función, al estudiar los intervalos en que crece o decrece la

función.

Teorema 4

Sea f una función continua en un intervalo cerrado ba, , que es derivable en todo punto del

intervalo abierto ba, .

Sea c es un punto crítico.

a.

Si )´(xf es positiva para todo cx , y negativa para todo cx ,

entonces )(cf es un valor máximo local de )(xf .

b.

Si )´(xf es negativa para toda cx , y positiva para toda cx ,

entonces )(cf es un mínimo local de )(xf .

c.

Si )´(xf es positiva para todo cx y también lo es para todo cx ; o

si )´(xf es negativa para todo cx y a su vez para todo cx ,

entonces )(cf no es un valor máximo local ni un valor mínimo local

de )(xf .

Ejemplo: En el siguiente ejemplo se determinarán los valores extremos de una función cuya ecuación se

da. Para ello, se calcula la primera derivada de la función, luego se determinan los puntos

críticos y por último se aplica el teorema anterior.

3

3

14)( xxxf

Note que f está definida para Rx

Como 24)´( xxf entonces 0)´( xf si y solo si 22 xóx .

Los valores críticos son 22 xyx

Determinemos ahora cuándo 0)´( xf y cuándo 0)´( xf .

Como )2()2()´( xxxf , se deben resolver las desigualdades: ;0)2()2( xx

0)2()2( xx . Nos ayudamos con la tabla siguiente:

Como 0)´( xf para 2,x y 0)´( xf para 2,2x entonces:

2f es un valor mínimo.

Como 0)´( xf para 2,2x y 0)´( xf para ,2x entonces:

)2(f es un valor máximo.

La representación gráfica de la función es la siguiente:

Note que 3

16)2(

f es un mínimo relativo y que

3

16)2( f es un máximo relativo, en

el dominio de la función.

Criterio de la Segunda Derivada para determinar los máximos

y los mínimos de una función

Utilizaremos la segunda derivada para establecer si un punto crítico es un valor máximo o un valor

mínimo.

Teorema 5

Sea f una función dos veces diferenciable en el punto crítico cx .Entonces:

a.

cx es un máximo local de f siempre que 0)´( cf y 0)´´( xf .

b.

cx es un mínimo local de f siempre que 0)´( cf y 0)´´( xf .

Veamos un ejemplo

,

Note que la función f no está definida en 1x

La derivada de f está dada por 1,)1(

)2()´(

2

x

x

xxxf

Los valores críticos de f se obtienen cuando 0)´( xf . En este caso, 0)´( xf si y solo si

2,0 xóx .

Ahora, la segunda derivada de f es 3)1(

2´´

xf

Vamos a evaluar )´´(xf en 20 xyx

a. 2)0´´( f ; como 02 entonces )0(f es un valor mínimo relativo de f.

b.

2)2´´( f ; como 02 entonces )2(f es un valor máximo

relativo de f.

Gráficamente se tiene en el intervalo 2,4

EJERCICIOS PARA RESOLVER

Velocidad de la tos. Una persona tose cuando hay un objeto extraño en su tráquea. La velocidad de

la tos depende del tamaño del objeto. Suponga que una persona tiene una tráquea cuyo radio es 20

mm. Si un objeto extraño tiene un radio r, en milímetros, entonces la velocidad V, en

milímetros/segundo, necesaria para eliminar el objeto mediante la tos está dada por

2 3( ) 20V r k r r , 0 20r ,

donde k es una constante positiva. ¿Para qué tamaño del objeto se necesita la velocidad máxima, con

el fin de removerlo?

Temperatura en enero. Suponga que la temperatura T, en grados Fahrenheit, durante un día de 24

horas en enero está dada por

3( ) 0.0027 34 240T x x x

, 0 24x ,

donde x es el número de horas desde la medianoche. Aproxime la temperatura mínima relativa y el

momento en que se presenta.

Medicamentos en la corriente sanguínea. Después de aplicar una inyección, la cantidad de

medicamento A en la corriente sanguínea disminuye después del tiempo t, en horas. Suponga que en

ciertas condiciones A está dada por:

0

2( )

1

AA t

t

,

donde A0 es la cantidad inicial del medicamento aplicado. Suponga que se inyecta una cantidad

inicial de 100 cm3.

a. Halle A(0), A(1), A(2), A(7), A(10).

b. Halle el )(tALímt

.

c. Determine el valor máximo de la inyección en el intervalo 0,

.

d. Trace la gráfica de la función.

e. De acuerdo con esta función, ¿el medicamento nunca abandonará completamente la

corriente sanguínea? Justifique su respuesta.

Concentración de medicamento. La concentración C, en partes por millón, de un medicamento en

el cuerpo durante t horas después de la ingestión está dada por la función 2( ) 10 tC t t e

.

a. Halle la concentración después de 0, 2, 3 y 10 horas.

b. Halle la razón de cambio de la concentración ( )C t

. Explique su significado.

c. Halle el valor máximo de la concentración y donde se presenta.

d. Trace una gráfica de la función para 0 10t .

BIBLIOGRAFÍA

Básica:

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2. Espinoza, Eduardo (2008): Análisis Matemático I. Editorial Servicios Gráficos.

Cuarta Edición. Código en Biblioteca 515/ E88 2008 v.1

3. Haaser N, Lasalle j, Sullivan J (1986): Análisis Matemático I. Editorial Trillas.

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4. Stewart, James (1999). Cálculo multivariable. Editorial Thomson. Código en

Biblioteca 515.84/S79 - 008705.

Complementaria:

1. Arya, J. Matemáticas aplicadas a la administración, economía, ciencias biológicas y

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2. Espinoza Ramos, E. Matemática Básica. 1a. ed. Lima, Perú: 2002. Código en

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3. Edwards, Penney (2008): Cálculo con Trascendentes Tempranas. Editorial

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