Analisis Matematico I_Espinoza_4ed.pdf

!?S52SSHH5I

ANALISIS MATEMATICO ISOLUCIONARIO DEMIDOVICH

TOMO I

I "

o o

1

n X

n = 1

y \

♦ INTRODUCCION AL ANALISIS

♦ DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES

♦ APLICACIÓN DE LA DERIVADA

EDUARDO ESPINOZA RAMOS

IMPRESO EN EL PERÚ 1 5 - 0 2 - 2 0 0 4

4ta EDICIÓN

DERECHOS RESERVADOS

Este libro no puede reproducirse to ta l ó parc ia lmente por ningún m étodo gráfico, e lectrón ico o mecánico, incluyendo los sistemas de fo tocop ia , registros magnéticos o de a limentación de datos, sin expreso consentim iento del autor y Editor.

RUCLey de Derechos del Autor Registro comercial Escritura Publica

N °10070440607 N °13714 N °10716 N°4484

PROLOGO

Se sabe que la humanidad ha avanzado lentamente hacia la conquista de los

conocimientos y la mayor de estas es la escritura, con ella la humanidad alcanzó el más

alto sitial en la creación; pero tan antiguo como ella, es el concepto de cantidad. Esto

nace aún antes de la escritura por eso la ciencia de los números están importante como

la vida misma.

El avance tecnológico funda sus bases en los conceptos primarios, lo que

estudiados, desarrollados y perfeccionados han llevado al hombre hacia grandes

conquistas.

La aventura del pensamiento nos ha llevado de la mano con la tecnología a

descubrir grandes realidades. Por ello mi deseo es plasmar en las paginas de este primer

tomo, en su cuarta edición del solucionarlo del libro problemas y ejercicios de análisis

matemático por B. Demidovich, el planteo fácil a los diversos ejercicios que se

presentan, además se incluye una colección de gráficos los que ayudarán eficazmente a

la captación de los diferentes problemas.

Mi agradecimiento al lector por la preferencia que brindan a cada una de mis

publicaciones, las que emanan del deseo de que encuentren en ellos una ayuda para su

avance y desarrollo intelectual.

EDUARDO ESPINOZA RAMOS

' •

INDICE

CAPITULO I

INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS

1.1. Concepto de Función 1

1.2. Representación Gráfica de las Funciones Elementales 31

1.3. Limites 88

1.4. Infinitésimos e Infinitos 143

1.5. Continuidad de las Funciones 155

CAPITULO II

DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES

2.1. Cálculo Directo de Derivadas 173

2.2. Derivación por Medio de Tablas 187

2.3. Derivadas de Funciones que no están dadas explícitamente 259

2.4. Aplicaciones Geométricas Mecánicas de la Derivada 276

2.5. Derivadas de Orden Superior 306

2.6. Diferenciales de Primer Orden y de Orden Superior 333

2.7. Teorema del Valor Medio 349

2.8. Fórmula de Taylor 354

2.9. Regla de L’Hospital - Benoulli para el Cálculo de Limites

indeterminados 361

CAPITULO III

EXTREMOS DE LAS FUNCIONES Y APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LAS DERIVADAS

374

423

435

445

3.1. Extremos de las Funciones de un Argumento

3.2. Dirección de la Concavidad - Puntos de Inflexión

3.3. Asíntotas

3.4. Construcción de las Gráficas de las Funciones por sus puntos

Característicos

Introducción al Análisis I

CAPITULO I

INTRODUCCION AL ANALISIS

1.1. CONCEPTO DE FUNCIÓN.-

Demostrar que si a y b son numero reales.

| ¡ a | - | b | | < | a - b | < | a | + | b |Desarrollo

Escribiremos: a = (a - b) + b, tomando valor absoluto

| a | = | ( a - b ) + b | < | a - b | + | b | , por la desigualdad triangular:

Luego: ¡ a | < | a - b | + | b | => | a | - | b | < | a - b | ... (1)

Además: | a - b | = | b - a | > | b | - | a | , es decir: | a - b | > | b | - 1 a | ... (2)

Por tanto de (1) y (2) se tiene: 11 a | - 1 b 11 < | a - b | ...(3)

por otro lado: | a - b | = | a + (-b) | < | a | + | - b | = | a | + | b |

de donde: | a - b | < | a | + | b | ... (4)

Luego de (3) y (4) se tiene: | | a | - | b | | á | a - b | < | a | + | b |

Demostrar las siguientes igualdades:

a) | a .b | = | a 11b | b) \a \2= a 2

c) I7 N 7 7 I . b ; t 0 d > -Ja1 A a |b \b\

2 Eduardo Espinoza Ramos

Desarrollo

a) 1er Caso: Sí a y b > 0 => | a | = a,| b | = b por definición del valor absoluto

de donde | a 11 b | = ab

Como a >0, b > 0 => a.b > 0 => | ab | = a.b

Por definición del valor absoluto

Luego | a 11 b | = ab = | ab | => | a 11 b | = ¡ ab |

2do. Caso: Sí a > 0 a b < 0

Como: b < 0 => -b > 0 => | ab | = | -(ab) | = | a(-b) |

Como: - b > 0 => por la parte Ira se tiene:

| ab | = | a(-b) | = | a 11 -b | = | a 11 b | => | ab ¡ = | a 11 b |

3er. Caso: Si a < 0 a b > 0 es en forma análoga al 2do caso y se tiene

I ab | = | a 11 b |

4to. Caso: Sí a < 0 a b < 0 => -a > 0 a -b > 0

entonces (-a)(-b) = ab aplicando el 1ro y el 2do caso se tiene:

| ab | = | (-a)(-b) | = | -a 11 -b | = | a 11 b | por lo tanto | ab | = | a 11 b |

b) | a\2= a 2

S í a > 0 => | a | = a => \a\2=a2

S í a < 0 =* | a | = -a => | a |2= ( -a)2 = a2

Por tanto | a |2= a :

Introducción al Análisis 3

*» 'í '- jí l7 1 = 1 «-(7 ) 1=1 «II7 1 por la parte (a) b b b

además | —1=| ¿7 p 1 por la parte (b) b

L»ego: = ¿ - \ { \ - ±

Como | —1=| a || —1=| a | - i - = j^-{, por lo tanto | b b \b | |¿>| ^d) yfa2 = | a |

Sí a > 0 => -Ja2 = a

Sí a < 0 => - a > 0 => -J(—a )2 = —a => a 2 =

Luego por lo tanto -Ja2 = \ a |

Resolver las inecuaciones.

a) | x - 1 | < 3 b)

c) | 2x + 1 | < 1 d)

Desarrollo

a) Sí | x - 1 | < 3 => -3 < x - 1 < 3

de donde - 2 < x < 4 => x e <-2,4>

b \ b \

| x + 1 | > 2

I X - 1 | < | x + 1 I

Eduardo Espinoza Ramos

b) | x + 1 | > 2 => x + l > 2 v x + l < - 2

=> x > l ó x < - 3

-3 -1

La solución es x e <-<=o,-3> U <l,+°°>

c) | 2x + 1 | < 1 <=> -1 < 2x + 1 < 1

<=> -2 < 2x < 0

<=> -1 < x < 0

La solución es x e <-l,0>

d) | x — 1 | < | x + 1 1 => | jc — 11“< | jc + 112

=> x 2 - 2x +1 < x 2 + 2x +1

=> 4 x > 0 = > x > 0

Luego la solución es x e <0,+°°>

Hallar f(-l), f(0), f(l), f(2), f(3) y f(4) sí: f ( x ) = x 3 - 6 x 2 + [ \ x - 6

Desarrollo

Como / ( x) = x 3 - 6x2 +11 x - 6

/ ( - 1 ) = (-1 )3 - 6 ( - l)2 + 11(-1) - 6 = -24

/(0 ) = (O)3 - 6(0)2 +11(0) - 6 = -6

/(1 ) - (l)3 ~ 6(1)2 +11(1) - 6 = 0


/ (2 ) = (2)3 -6 (2 )2 +11(2) - 6 = 0

/(3) = (3)3 -6 (3 )2 + 11(3)-6 = 0

/(4) = (4)3 -6 (4 )2 + 11(4)-6 = 6

5 Hallar f(0), / ( - | ) , f ( - x ) , / ( - ) , - J - Sí f ( x ) = V Í7 I24 * / ( * )

Desarrollo

Como /(jc) = yjl + x 2 entonces /(O) = V l+ 02 = 1

4 V 4 V 16 V 16 4

/( - jc ) = y¡l + ( - x )2 = sll + x2

f i k - J l+ Á 2 = 4 ?X \ X | JC |

1 ___1 _

/(■*) yjl + x 2

6 Sea f(x) = arc.cos(log x). Hallar / ( “ )• f(l) y f(10)

Desarrollo

Como f(x) = arc.cos (log x) entonces

/ (— ) = arccos(log — ) = arccos(-loglO) = arccos(-l) = n


K/(1) = arccos(log 1) = arccos(O) = —

f(10) = arccos (log 10) = arccos (1) = 0

7 La función f(x) es lineal. Hallar dicha función sí: f(-l) = 2 y f(2) = -3.

Desarrollo

Como f(x) es lineal => f(x) = ax + b, donde a, b e R

[ / ( —1) = 2 \2 = - a + bLuego < => <

1/(2) = -3 [-3 = 2 a+b

Resolviendo el sistema se tiene los valores de: a = , b = —3 3

Hallar la función entero y racional de segundo grado f(x) sí f(0) = 1 , f(l) = 0 y f(3) = 5.

Desarrollo

Si f(x) es función entero y racional de segundo grado entonces f ( x ) = ax2 + bx + c , donde a, b y c son constantes por determinarse.

Como

/ ( 0) = 1

/(1 ) = 0

/(3 ) = 5

1 = c

0 = a+b + c

5 = 9a+3b + c

ía + b = -1

) 9a + 3b = 4

7 13Resolviendo el sistema se tiene a = —, b = -----

6 6

Luego como f ( x ) = ax2 + bx + c , se tiene


Se sabe que: f(4) = -2 y f(5) = 6. Hallar el valor aproximado de f(4.3), considerando la función f(x), en el segmento 4 < x < 5, es lineal, (interpolación lineal de funciones).

Desarrollo

f(x) es lineal => f(x) = ax + b

[ /(4 ) = -2 Í4a + b = -2 Como ■! => \ resolviendo el sistema se tiene a = 8, b=-34

[/(5 ) = 6 [5a+b = b

Como f(x) = ax + b => f(x) = 8x - 34

Luego f(4.3) = 8(4.3) - 34 = 0.4

Í0 si x < 010 Escribir una sola fórmula que exprese la función: / (* ) = •

empleando del signo del valor absoluto.x si x > 0

Desarrollo

Í0 si jc<0 Como f ( x ) = j

[x si x > 0

x+ \x \Si x < 0 => para f(x) = 0 se tiene

Si x > 0 => para f(x) = x se tiene

2x+\x\

Luego:

11 Determinar el campo de existencia de las siguientes funciones:

a) y = \ x +1


Desarrollo

El campo de existencia de una función también se conoce con el nombre

de dominio de la función.

Luego como y = \[x+1 para que esté bien determinado debe cumplirse

que x + 1 > 0 de donde x > -1 => x e [-1 ,+°°>

El campo de existencia de la función es -1 < x <

b) y = yjx+ 1Desarrollo

Como y = y/x + l => x + 1 puede ser positivo, negativo o cero, luego

el campo de existencia es: < x < +<*>

Desarrollo

Los valores de x para que y = — —=- esté bien determinado es:4 - x

4 - x 2 * 0 => x * ± 2

Luego el campo de existencia de la función es: <-°°,-2> U <-2,2> U <2,+°°>

13 a) y = yjx2 —2Desarrollo

Para que y = \jx2 - 2 esté bien determinada debe cumplirse:

x 2 —2 > 0 => x 2 >2 => x>y¡2 v x<-y¡2

Luego el campo de existencia es: < -°°,-y¡2]U[y¡2,+°° >


14

b) y = x\ lx2 - 2Desarrollo i

Para que y = x 4 x 2 - 2 esté definida:

* 2 - 2 > 0 => x>y/2 v x< -s ¡ 2 1

también para x = 0, y = x ' j x2 - 2 está definida

Luego el campo de existencia es: x = 0, | x | > y¡2

y = ^ 2 + x - x 2Desarrollo

Para que y = V2 + x - x2 esté bien definida debe cumplirse

2 + j c - x 2 > 0 , es decir: j :2 - j : - 2 < 0 =* ( x - 2 ) ( x + l ) < 0

que

15

-1 2

Luego el campo de existencia es: [-1,2]

11 = \f-x-

Desarrollo

Para que y = yf -x +—= L = esté definida, debe cumplirse que: y/2 + X

-x > 0 a 2 + x > 0 , de donde: x < 0 a x > -2

-2 0

Luego el campo de existencia es [-2,0]


16 y = -y/jc-jc3Desarrollo

Para que esté bien definida debe cumplirse que:

jc- x3 >0 x(x - l)(x + 1) < 0 de donde:

-1 0 1

luego el campo de existencia es: <-°°,-l] U [0,1]

17 y = log(-^———)2 — x

Desarrollo

2 "f" x 2 + jcPara que y = log(------ ) esté bien definida debe cumplirse que: -----— > 0

2 — jc 2 - x

de donde (2 + x)(2 - x) > 0, pero x * 2

=> (x + 2)(x - 2) < 0, de donde se tiene:

-2 2

Luego el campo de existencia es <-2,2>

18 y = log( jc — 3 jc + 2JC+1

Para que y = log( jc — 3x + 2JC+1

Desarrollo

) esté bien definida debe cumplirse que:


x 2 - 3 x + 2> 0 de donde ( jc - 3jc + 2 )(jc +1) > 0 p a r a x ^ - 1

JC + 1

(x - 2)(x - l)(x + 1) > 0, entonces:

19

-1 1 2

Luego el campo de existencia es: <-1,1> U <2,+°°>

y = arccos(-^-)1 + JC

2 jc

Desarrollo

2xy - arccos(------) ==> eos y =1 + JC 1 + JC

2xpero se conoce que: -1 < eos y < 1, de donde -1 < ----- < 1

1 + JC

, , 2 j : 2 x 2 x- 1 < -------- < 1 <=> - 1 < --------- a -------- < 1

1 + j : 1 + jc 1 + jc

2x 2x <=> 0 < ------+ 1 A ------------ 1 < 0

1 + JC 1 + JC

. ^3jc + 1 x - 1 'n « 0 < ------- A ------< 01 + JC JC + 1

<=> 0 < ( 3 x + 1 ) ( 1 + x ) A ( x - l ) ( x + 1)<0, x * - l


Luego (< -oo ,-l > í / [ - i , + o ° > a < —1,1]

X20 y = arcsen (log — ) 10

Desarrollo

X Xy - arcsenfloe— ) => seny = log — 10 10

JC JCcomo -1 < sen y < 1 => - l < l o g — <1 además — > 0 => x > 010 10

Luego - < — <e => — < ,v<10e => jc€[— ,lOe] e 10 e e

21 y = Jsen 2xDesarrollo

Para que y = y]sen 2x esté bien determinado debe cumplirse que: 1 > sen 2x>0

Como 0 < sen ?x < 1 => arcsen 0 < 2x < arcsen 1

n=> 0 < 2x < — de donde se tiene:

2 ’

kn < x < kn + —, donde k = 0, ±1, ±2, ±3,...2

22 , Sea f { x ) = 2xA - 3 x 3 - 5 x 2 + 6 x - 10. Hallar:

<p(*) = [ / w + / ( - * ) ] y =

Desarrollo


Como/( j c ) = 2x4 -3 jc 3 -5 jc 2 + 6 a' —10

/ ( —jc) = 2.r4 + 3a3 - 5.v2 - 6.c -1 0. Luego:

<*>(*) = —[ / ( jc) + / ( - jc)] = 2a4 - 5 jc2 -1 0

/ ( j c ) = 2jc4 - 3 j c 3 - 5 j c 2 + 6 j c - 1 0

/ ( - j c ) = 2 jc4 + 3jc3 - 5 jc2 - 6x - 1 0

IPÍ-*) = ^ [ / ( ■ * ) - / ( - * ) ] = *(-6jc2 + 12*) => if/(x) = - 3 x 3 +6x>

23 La función f(x), determinada en el campo simétrico -1 < x < 1, se denomina par sí f(-x) = f(x) e impar sí f(-x) = -f(x). Determinar cuales de las siguientes funciones son pares y cuales impares:

1a) f ( x ) = ^-(ax +a XJ

Desarrollo

Como /(jc) = — (a* +a x) => f ( - x ) = —( a x +ax)

1 ,Luego f(x) = f(-x) => /(jc) = — (a +a ) es par

b) /(jc) = V 1 + jc + jc2 - V 1-jc + jc2

Desarrollo

/(JC ) = V i + jc + jc2 — -\/l — jc + jc2

/ ( - jc) = Vi — JC + JC2 - V 1 + jc + jc2 = - (V 1-JC + JC2 - V 1 + jc + jc2 ) = - / (jc)

como: f(-x) = -f(x) => f(x) es impar


c) f ( x ) = ll(x + l)2 +1¡(X-1)2

Desarrollo

Como f ( x ) = yj(x + 1)2 + y¡(x- l )2 , entonces:

f ( - x ) = í l ( - x+ l)2 + t l ( - x - l f = t ¡ ( x - l ) 2 +l¡(x + l)2 = / ( x )

Luego f(-x) = f(x) entones la función f(x) es par.

d) / ( * ) = l o g ( |^ )1 - JC

Desarrollo

C o m o / ( jc) = lo g ( — — —) / ( — jc) — log(-~— -—) = — log(-j— —— ) = — / ( jc)1 - jc 1 + jc 1 - *

Como f(-x) = -f(x) => la función es impar

24 Demostrar que cualquier función f(x), determinado en el intervalo -1 < x < 1, puede representarse como la suma de una función par y otra impar.

Desarrollo

A la función f(x) escribiremos así: f ( x ) = / ( jc) + / ( - * ) - /( - jc )

/ W = / (*) + / ( - * ) + f W " / ( “ ■*)

/ ( * ) = | ( / W + / ( -J C )) + | ( / ( J C ) - / ( -JC ))

definiremos la función: / (jc) = ^ ( / ( jc) + / ( - jc)) que es par, es decir:


fi(.-x) = - ( f ( x ) + f ( - x ) ) = - ( f ( x ) + f ( - x ) ) = f l(x) =* / ( jc ) es par

f i i - x ) = f ( r i - x ) ) = - - ( . / (x) - / ( - * ) ) = - f 2(x) => / 2U ) es

impar

por lo tanto / ( jc) = / , (jc) + / 2 (jc) es la suma de una función par y otra impar.

función par, mientras que el producto de una función par por otra impar es una función impar.

Sea /(jc) = f x(x ) . f2(x) donde / , ( jc) y / 2(jc) son funciones pares por demostrar que /(jc) = / |( jc ) ./2(jc) es par como / ( jc ) y / 2(x) son pares.

\ f \ (~x) = fi(x)

l / 2 (-Jc) = / 2 ( * )

/ ( —JC) = ( / i f i )(-* ) = f \ <-x). f2 (-■*) = / i ( - * ) - / 2 (*) = /(•*) entonces

/ ( * ) = f \ ( x ) . f 2(x) es par.

Si g(jc) = g ,( j c ) .g 2 (jc) donde (jc) y g 2 (jc) son funciones impares por

demostrar que g(x) = g i (x).g2(x) es par

25 Demostrar que el producto de dos funciones pares o de dos impares es una

Desarrollo

Como ^[(jc) y g 2(x) son impares =>Si(-Jc) = -£ i(* )

g2(-x) = - g 2(x)

8(~x) = ( g \ g 2)( -x) = g i ( - x ) . g2(.-x) = [~gi(jc)][-^2(jc)]

g(~x) = g ,(x ) .g 2(x) = g(x) => g(x) = g l (x).g2(x) es par

26 La función f(x) se llama periódica, si existe un número positivo T (periodo de la función) tal que f(x + T) = f(x) para todos los valores de x pertenecientes al campo de existencia de la función f(x). Determinar cuales de las funciones que se enumeran a continuación son periódicas y hallar el periodo mínimo T de las mismas.

a) f(x) =10 sen 3x

Desarrollo

Como f(x) = 10 sen 3x => f(x + T) = 10 sen (3x + 3T)

2 nComo sen x = sen (x + 2ti) => 3T = 2n => T = —

3

Luego f(x) = 10 sen 3x es periódica y T =

b) f(x) = a sen(A,x) + b cos(Xx)

Desarrollo

Sea f(x) = a sen (Kx) + b eos (Ax) entonces:

F(x + T) = a sen (kx + AT) + b eos (kx + X.T)

Como sen x = sen(x + 2n) y eos x = cos(x + 2n) de donde

2nA,T = 2jr => T = —

A

por lo tanto f(x)=a sen(A.x)+ b eos (Kx) es periódica, donde el periodo



C) /(* ) = yJtgXDesarrollo

f ( x ) = yftgX => f (X + T) = y]tg(X + T)

Como tg x = tg(x + j c) => T = n

Para que f(x) = f(x + T), luego: / (x) = yjtgx es periódica con T = n

d) f ( x ) = sen2xDesarrollo

Se conoce que sen (x + 7t) = sen x. eos jc + eos x. sen n = - sen x

De donde sen2 (x + n) = sen2x de donde:

f(x) = f(x + Jt) entonces la función/ (x) = sen2x es periódica con periodo T = Jt.

e) / (* ) = sen(\fx)Desarrollo

Se conoce que \[x * J x + \¡T para T * 0

Luego f ( x ) = sen(4x) =* f ( x + T) - sen(\Jx + T)

Por tanto f(x) * f(x + T) la función: / ( jc) = sen(Jx) no es periódica

27 Expresar la longitud del segmento y = MN y el área S de la figura AMN como función de x = AM construir las gráficas de estas funciones.


Desarrollo

En el A ADE, “x” varia desde A hasta E, es decir:

0 < x < c, por semejanza de triángulos tenemos:

bxy = — para 0 < x < c, ahorac

veremos para los “x” que varia desde E hasta B, c < x < a se tiene y = b,

luego: y ■— x para 0 < x < c c

b para c < x< a

xyahora veremos para el área S de la región s í O < x < c => S = —

b xyPero y = — x , reemplazando se tiene: S = — s í O < x < c c 2

beS i c < x < a S =bx —— , para c < x < a La gráfica es:


28 Las densidades lineales (es decir, la masa de una unidad de longitud) de una barra AB = 1, en sus porciones AC = / , , CD = l2 y DB = /3,

(/, + /2 + Z3 = /) son respectivamente iguales a: qx, q2, q-¡, expresar la masa

m de una porción variable AM = x de esta misma barra, como función de x, construir la gráfica de esta función.

Desarrollo

A ^----- - Y ¿ d------v ^ M

X

Consideremos primero: P ~~j~ ^ m - Ip

Luego sí 0 < x < /, entonces m = x.ql

!l MA . - q,

H X

Sí lx < x < l { +l2 m = l1qi + q2(x - /,)

1] C MA • ------- -------• ------------- • --------------- « B

Ql ^2N — —---- X --------- M

Sí /, +l2 < x < l x + l2 + / 3 entonces: m = l lq] + l2q2 + (x - ( / , + l2))q3i

m = llq i + l2q2 + ( * - / , - l 2)q3

A • ---- !------• ---- í-----• ------------• ---- • B o aH --------------------------- X -------------------------H

Resumiendo se tiene: g


xq]

/|4i +(*-/,)<?,si 0 < a < /,

si /| < a < /, + 17

llq]+I2q2+(.x-li - l 2)q3 si /]+/2 < * < / , +/ 2 = i

29 Hallar: cp(v}/(x)) y \|/((p(x)), <¡d(a) = x ~ , i//(a) = 2 *

Desarrollo

Como \¡/(x) = 2x y <p(x) = x 2 entonces:

<P(V(x)) = ((//(a:))2 = (2't )2 = 22* y y/(q>(x)) = 2 ^ x) = 2X

30 Hallar f(f(f(x))) sí / ( a ) =v * —

1 — x

Desarrollo

Como / ( a ) = - i - => / ( / ( a ) ) = -— l—— \-x l - f ( x )

/ ( / ( / ( * ) ) ) = 1! - / ( / « ) 1----------—1-/00

1 - / U )- / (X )


i - 1es decir: / ( / ( / ( * ) ) ) = ■--- ; = — i —í- = — = x . Luego f(f(f(x))) = x

- f ( x ) 1 -1- / ( * )\ - x

31 Hallar f(x + l) sí f ( x - l ) = x 2

Desarrollov ---------------------

Como f ( x - l ) = x 2 => / ( * +1) = / [ ( * + 2 ) - l ] = (jt + 2)2

Es decir: f ( x + 1) = x 2 +4x + 4 = (jc + 2)2

32 Sea f(n) la suma de n miembros de una progresión aritmética. Demostrar que f(n + 3) - 3f(n + 2) + 3f(n + 1) - f(n) = 0.

Desarrollo

Como f(n) es la suma de n términos de una progresión aritmética. Entonces:

f ( n ) = (2a + ( m - l ) r ) ^ donde “a” es el primer término y “r” la razón

/ ( « + 3) = [2a + (n + 2)r]

n + 2f ( n + 2) = [2a + (n + l)r]

f ( n + l) = [2a + nr]

2

n + 12

calculemos f(n + 3) - 3f(n + 2) + 3f(n + 1) - f(n)

(2a + (n + 2)r)n + -3(2a +(n + l)r)n + + 3(2a + nr)——- - (2 a + (n - 1 )r)—2 2 2 2


= —[(2 an + 6 a + n2r + 5 nr + 6 r) — 3(2«;i + 4a + n2 r + 3 nr + 2 r) +2

+ 3(2an + 2a + n 2r + nr) - (2an + n 2r - m)] = * [(0) + (0) + (0)] = 0

En consecuencia: f(n + 3) - 3f(n + 2) + 3f(n + 1) - f(n) = 0

33 Demostrar que, si f(x) = kx + b y los números jc ,, x 2 y * 3 constituyen una

progresión aritmética, también formaran una progresión aritmética los números

/ ( x , ) , f ( x 2) y f ( x 3).

Desarrollo

JC], .t2 y jc3 constituyen una progresión aritmética =} jc ,, x 2 = x, + r ,

jc3 =jc, +2r donde r es la razón, probaremos que / ( * , ) , f ( x 2) y f ( x 3)

constituye una progresión aritmética.

Como f(x) = kx + b entonces / ( jc, ) = kx] +b

f ( x 2 ) = / ( j c , + r) = A:(jc, + r) + b = fcx, + b + kr

/ ( * 3 ) = /( •* 1 + 2r) = k ( x l + 2 r) + b = kx¡ + b + 2 kr

Luego: kxx+b kx{+b + kr fcc, + b + 2 kr

/ ( * 2) /U j)

constituye una progresión aritmética, donde kr es la razón.

34 Demostrar que, si f(x) es una función exponencial, es decir /(jc) = a x , (a < 0)

y los números jc, , jc2 y jc3 constituyen una progresión aritmética, los números

/ ( j c , ) , / ( jc2) y /( jc 3) forma una progresión aritmética.

Desarrollo


35

Como jt, , x 2 y * 3 constituye una progresión aritmética jc, , x2 = x, + r , x3 = x1 + 2 r donde r es la razón

Como / ( x ) = a* entonces:

f ( x l ) = a*'

f ( x 2 ) = /(x , + r) = ax'+r = ar ja*

f ( x 3) = f (*i + 2 r) = o<,+2r =

Luego: a*’ , ar a x' , alr a x \

7 < 5 / ( jr2> 7 o ?

Constituyen una progresión geométrica cuya razón es a r .

Sea / (x ) = l o g ( ^ ^ ) . Demostrar que / (x ) + / ( y ) = / ( — _) 1 — jc 1 + x y

Desarrollo

C o m o / ( jc) = l o g ( | ^ ) , / ( y ) = l o g ( j ^ )1 — jc l - y

r / x 1 / 1 + JCx . , 1 + 3 \ . /O + Xl + y) /(■*) + f ( y ) = log(------) + log(------ ) = Iog(—-----1 — JC 1 - y (1 — JC)(1 — y )

1+ £ ± i / ( i ± i ) = iog(— !± s l , =

1 + xy 1 - x + y 1 + xy

1 + x y - x - y

= ^ (l + x) + (l + x)y q + xXl + y) 5 ( l - x ) - ( l - x ) y ( l - x ) ( l - y )

(1)

(2)

jc + ycomparando (1) y (2) se tiene: f (x ) + f ( y ) = f (------- )

1 + jty


36 Sea /(jc) - ^ ( a x +a~*) y V(x) = ( a x - a x) . Demostrar que:

f(x + y) = f(x).f(x) + y(x).v|/(y) y y(x + y) = f(x).v/(y) + f(y).y(x)

Desarrollo

f ( x + y) = - (ax+y+a~x~y) = ~ ( a x ,ay +a~x .a~y)2 2

ax+y a~x- y a-xa y a~xa y axa~y axa~y2

1= - { a x.ay +a~x.ay +ax.a~y + a~x.a~y) + 4

+ - ( a x.ay - a ~ x.ay - a x.a~y +a~xx T y) 4

= - ( a x +a-x) - ( a y + a~y) + - ( a x -< T * )-(f ly - a ' y)2 2 2 2

= f(x).f(y)+\|/(x).\|/(y)

[arcsenx , para — l < x < 037 Hallar f(-l), f(0) y f(l) sí: / ( jc) =

\arctag x , para 0 < jc < +°°

Desarrollo

/ ( - 1 ) = arcsen(-l) = -arcsen(l) = — / ( - 1) = - ^

[/(O) = arcsen(O) - 0

/(1) = arctag( 1) = ^4

/ ( 0) = 0

/ (1) = 74


38 Determinar las raíces (ceros) y los campos de valores positivos y de valores negativos de la función y; si:

a) y = 1 + xDesarrollo

Para que y = 0 se tiene que 1+ x = 0 => x = -1, luego y = 0 cuando x=-l

El campo de valores positivos es cuando y > 0, es decir 1+x > 0 => x > - l

y el campo de valores negativos es cuando y <0 es decir 1+x < 0 => x < -1

Luego y < 0, cuando x < -1

b) y = 2 + x - x 2Desarrollo

Para que y = 0 se tiene que 2 + x - x 2 = 0 , de donde: x = -1, x = 2, luego: y = 0, cuando x = {-1,2} y para los valores positivos y > 0 se

tiene: 2 + x - x 2 >0 => x 2 - x - 2 < 0 (x - 2)(x + 1) < 0, de

donde se tiene:

-1 2Luego x e <-l,2>. Entonces: y > 0 cuando x e <-l,2> y para los valores negativos y < 0 se tiene: 2 + x - x 2 < 0 => x 2 - x - 2 > 0

(x - 2)(x + 1) > 0, de donde se tiene:

+ X / ' - X X +

-1 2


Luego x e U <2,+<*>> entonces:

y < 0 cuando x e <-oo,-l>U<2,+°°>

c) y = 1 - x + x 2Desarrollo

Para que y = 0 se tiene que 1 - x + x 2 = 0 de donde x = -— , luego 3

xe R tal que y - 0. Como las raíces no son reales entonces:

1 - j: + x2 > 0 , V x e R => y > 0 para -<*>< x < +<*=

d) y - x 3 - 3xDesarrollo

Para que y = 0, se tiene x 3 - 3x = 0 , de donde: .v = -y¡3 , x = 0, x = y¡3

Luego y = 0 cuando x = {-\¡3,0,\Í3}

Para y > 0, se tiene ,y3 -3 jc > 0 => x(x - y¡3)(x + \Í3) > 0

- 7 3 U y¡3

Luego x e < -y¡3,0 > U < \¡3, +°° > , entonces:

y > 0 cuando x e < - \ Í 3 , 0 >U < y¡3,+°° >

para que y < 0, se tiene que x 3 - 3x < 0 => x(x-y j3)(x + \Í3) < 0


S 0 73

Luego x e < \¡3 >U < 0, V3 > entonces:

y < 0 , cuando xe<-«>,V 3 > í / <0,>/3 >

e) y = log(————)1 + AT

Desarrollo

2xPara que y= 0, debe ocurrir:------= 1 de donde x = 1, luego: cuando x =1

l + x

2xPara que y > 0 ocurrirá cuando------> 1x + l

2x x + l

-1 > 0 de donde:

x - \x + l

> 0 =* (x - l)(x + 1) > 0

luego x e <-«>,-1 > U <l,+o°>

2xpara que y < O debe ocurrir que O < ------< 11 + *

de donde O < 2x(\ + * )< (! + *) O < 2x(l + x) a x < 1

. -1 O

luego x e <0,1 > entonces: y < 0 cuando x e <0,1 >


39 Hallar la inversa de la función y, sí:

a) y = 2x + 3 b) y = x 2 -1

c) y = y j l - x 3 d) y = log(^)

e) y = arctag(3x)

¿En qué campo estarán definidas estás funciones inversas?

Desarrollo

a) Como y = 2x + 3, esta función está definida en -«> < x < +°°, despejamos

x es decir:

x = — ( y - 3 ) , -o» < x < °° como jc = — (y -3 ) => -«o < — (y -3 ) < +°°2 2 2

=> -oo < y — 3 < +o° -oo < y < +oo

Entonces: x = ( y - 3 ) , -°°<y<+°°

b) y = x 2 -1 está definida en -<*> < x < +°°

x 2 = y +1 => x = ±yjy + 1 para x = yfy + l se tiene:

0<y jy + l < °° de donde < x < +<*>

para x = J y + l se tiene < -y]y +1 < 0 de donde: -1 < y < +°°

luego x = -Jy + 1 y x = ^Jy + 1 para - l < y < + ° °

c) y = y j l - x 3 , en forma análoga al caso anterior: x = y j l - y3 , -°°<y < +°°


X Xd) v = log(—) está definida para x > 0 como y = log(—)

=$ x = 2AOy como x > 0 => 2.10v > 0 => 10v > 0

-oo < y < +00 entonces: x = 2. J 0 ' para -°o < y < +00

e) y = arctg 3x, en forma análoga a los casos anteriores.

, ■ 1 n ny = arctg3x => x = —t a g y ; para ~ — < y < —

x si x < 0

.r' si x > 0

Desarrollo

Sí x < 0 => y = x => x = y para -°° < y < 0

Si x > 0 => y = x 2 => x = yfy para y > 0

Luego x = I}’ si - 00 < y < 0

J y si 0 < y < + 0 0

41 Escribir las funciones que se dan a continuación en forma de cadena de igualdades, de modo que cada una de los eslabones contenga una función elemental simple (potencial, exponencial, trigonométrica, etc.).

a) y = (2 x -5 )wDesarrollo

Como >> = (2a - 5)10 =* y = u10 donde u = 2 x - 5

b) y = 2cosxDesarrollo

Como y = 2C0S'C y = 2“ , donde u = eos x

c) y = log (tag

Desarrollo

X XComo y = log(f«g —) y = log (u) donde u = tg(v) y v = —

d) y = arcsen(3~x )Desarrollo

Como y - arcsen(yx ) => y = arcsen u de donde u = 3l y v = - x 2

42 Escribir en forma de una igualdad las siguientes funciones compuestas, dadas mediante una cadena de igualdades.

a) y = u2 \ u = sen xDesarrollo

Como u = sen x, y = u 2 => y - s e n 2x

b) y = arctg u, u = \ f v , v = log x

Desarrollo

Como u = yjv => v - arcig \fv donde v = log x

Entonces y = arclg(sJ[ogx)

{2 u si u < O ,

U = X — 1

0 si u> 0

Desarrollo

P a r a u < 0 = > a2 - 1 < 0 =* j r < l => -1 < x < 1 => | x | < l



para u > O => jc2 > 1 =* | x | > 1

2 ( jc2 - 1 ) si | jc | < 1

O si | x | > 1

43 Escribir en forma explícitas las funciones y, dadas por las ecuaciones:

a) x 2 - arccos y = n b) 10*+10y =10

c) x + | y | = 2y

Hallar los campos de definición de las funciones implícitas dadas

Desarrollo

a) x 2-arccos)? - n => arccos y - x 2 - k

y — cos(x2 - n ) = eosx2.cosrc + senx2.senre

y — —eosx 2 para \lñ < | x \ < y f lñ

b) 10‘ + 10v = 10 => 10v = 10-10^ =*. y = log(10-10x) , -oo < x < 1

L2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES.-______________________________ ________

La constmcción de las gráficas se hace mediante una tabulación y enseguida uniendo dichos puntos.

Si partimos de la gráfica y = f(x) con ayuda de construcciones geométricas elementales obtendremos las gráficas de las funciones:

1 y¡ = - f ( x ) , que es la representación simétrica de la gráfica respecto al eje OX.

luego como u = x 2 -1 se tiene: y =


2 y 2 = / ( - jc) , que es la representación simétrica de la gráfica respecto al eje OX.

3 y 3 = f ( x - a ) , que es la misma gráfica desplazada a lo largo del eje OX en la magnitud a.

4 y 4 = f ( x ) + b , que es la misma gráfica desplazada a lo largo del eje OY en la magnitud b.

Haremos una representación de todo esto.

Construir las gráficas de las funciones lineales (L. Recta)

44 y = kx sí Jfc = 0 ,1, 2, -^ ,-1 ,-2

Como y = kx

7? II O II O

II¿6 => II X

7? II ÍO => XII

2=> XV = —

2

lII => y = -xk = -2 y = -2x

Desarrollo


45 y = x + b, sí b = 0, 1, 2, -1, -2

Desarrollo

46 y = 1.5x + 2

x y0 2

1 3.5

2 5

Desarrollo

Construir las gráficas de las siguientes funciones racionales enteras de 2do grado (parábola).

47 y - ax2, sí a = 1, 2,— 1,—2,0

Desarrollo

Para a = 1 => y = x


X y0 0

± 1 i

± 2 4

48 y ■= x 1 + c sí c = 0,l,2,-l

Desarrollo

49 y = (x - jc 0)2 , sí xo = 0 , l , 2 , - \

Desarrollo


50 3, = 3'0 + (* —l)2 , si y0 =0,1 , 2,-1

Desarrollo

51 y = ax2 + bx + c sí: 1 a = 1 b = -2 c = 3

2 a = -2 b = 6 c = 0

Desarrollo

1 Para a = 1, b = -2, c = 3 se tiene y = x 2 - 2 x + 3 de donde

y = (* - 1)2 + 2

2 Para a = -2, b = 6, c = 0 se tiene y - - 2 x 2 + 6x

y = -2 (x2 - 3 x + —) + — => y = - 2 ( x - —)2 + —4 2 2 2


52 y = 2 + x - x 2 . Hallar los puntos de intersección de ésta parábola con el eje OX.

Desarrollo

Para encontrar los puntos de intersección con el eje X debe ocurrir y = 0 es

decir 2 + x - x 2 = 0 de donde x 2 - - x - 2 - 0 => (x - 2)(x + 1) = 0 luego los puntos de intersección con el eje X es: x = -1, 2

CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES RACIONALES ENTERAS DE GRADO SUPERIOR AL SEGUNDO

53 y = x 3 (parábola cúbica)

Desarrollo

X y0 0

1 i

-1 - i

2 8

-1 -8


54 y = 2 + (jt — l)3Desarrollo

X y0 i

1 2

-1 -6

55 y = x 3 - 3x + 2Desarrollo

X y0 21 02 4-1 4-2 0-3 -153 20

56 y = xDesarrollo

X y0 0

± 1 i± 2 16

X*


57 y = 2 x2 - x 4

y = 2 x2 ~ x 4 => y - - ( x 4 - 2x¿ + 1) +1 => y — 1 - (a-* -1 )

Desarrollo

2 , \ 2

HOMOGRAFICAS SIGUIENTES (Hipérbolas)

58 y= -

Desarrollo

X y-1 -i

1 i

59 y =l — x

X y0 i1 22 3-1 1

2

Desarrollo

Introducción al Análisis

60 y =

61

x - 2x+ 2

Desarrollo

x - 2 , 4y = ---- - => y = \ -x+2 x + 2

-2

/m

y = j,0 + ------- , sí -r0 = l . )o = “ ' - m = 6X - X q

Desarrollo

Como *0 = 1 , y0 = —1 , m = 6 se tiene: y = -1 + -

62 2 x - 3 3x + 2

Desarrollo

r •2 x - 3 3* + 2

2 13, 1y = 3 - 9 (- 2 ) *+ —

3


63

CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES RACIONALES FRACCIONARIAS.

1y = x + — x

Desarrollo

y = jc + —, su dominio es R - {0} y una asíntota vertical es en x = 0 no tiene x

asíntota horizontal.

X i -1 1

2

1

2

3 -3

y 2 - 2 52

52

1 0

3

1 0

3

64*+1

y = -x + l

asíntota horizontal.

Desarrollo

y = x -1 + — — , una asíntota vertical es en x = -1, no tiene * + 1

X i2

0 1 2 32

-2 3

2y 1 0 1 1 9 -4 9

2 2 2 2 2

65

Desarrollo


En x = O, se tiene asíntota vertical, en y = 0, se tiene asíntota horizontal

X ± i , i + 2 + 3+ —2

y i 4 1 1

4 9

66

Desarrollo

6 7

En x = 0 se tiene una asíntota vertical, en y = 0, se1 tiene una horizontal.

X± 1

2

± 1 ± 2 ± 3

y ± 8 ± 1± 1

8± -L

27

10(curva de Agnesi)

Desarrollo

X 0 ± i ± 2

y 10 5 2

2.x68 y = —---- (Serpentina de Newton)x +1


Desarrollo

69

70

X 0 ± i ± 2 ± 3

y 0 ± i± 1

5± 2

5

1y = x + —

X

Desarrollo

En x = 0 se tiene asíntota vertical

X i

i-1 2 -2 +I

2y 2 0 9

272

92

2 1y = x H— (Tridente de Newton) x

Desarrollo

En x = 0 se tiene asíntota vertical

X i - i 2 -2 3 -3± 1 -

21 1 12 3 2

y 2 0 9 7 28 26 9 7 28 28

2 2 3 3 4 4 9 3


71

CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS FUNCIO IRRACIONALES SIGUIENTES:

Desarrollo

72

y = yfx está determinado para x > 0

X 0 i 4 9 16

y . 0 i 2 3 4

y = <lxDesarrollo

X 0 ± i ± 8 ± 2 7

y 0 ± i ± 2 ± 3

Y ' II

21

r I11 • i

0 1 4 X

73 y = y[x* (parábola de Neil)

Desarrollo

X 0 ± i ± 8

y 0 i 2

74 ±x\[x (parábola semi-cubica)

Desarrollo


75

X 0 l y¡9

y 0 ± l ± 2 ± 3

y = ± 2 5 - x 2 (elipse)

Desarrollo

76 y = ±yjx2 -1 (hipérbola)Desarrollo

’ - ± Jx2 -1 a-2 - / = 1

X ± l ±2 ± 3

y 0 +i i+ Sn

'¡ l-Desarrollo


78 y = ± x ------ (Cisoide de Diócles)V 4 - x

X 0 i 2 3

y 0

H-

± 2 i+

¡— ...

79 y = ± x \ l 2 5 - x 2 (para el estudiante)

CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DF. LAS SIGUIENTES FUNCIO TRIGONOMÉTRICAS

80 y = sen xDesarrollo

81 y = eos xDesarrollo


82 y = tg x

X 0

2

±71+ —

2

y 0 o o 0 OO

X 0± -

2

± 71 +1

y oo 0 oo 0

Desarrollo

y = ctg xDesarrollo

83

84 y = sec x

X 0± —

2

± 71 ± 27C

y i OO -1 1


85 y = ese xDesarrollo

86 y = A sen x, sí A = l, 10, —,-22

Desarrollo

Si A = 1 => y = sen x. su gráfico es:

X 0± -

2

± 7 1± £

2

± 2 n

y 0 ± 1 0 ± 1 0

Si A =10 => y = 10 sen x, su grafica es:


X 0 ± jt

2

± * L2

y 0 0 ± i ± 1

87 y = sen (nx), sí n = 1, 2, 3, ^

Desarrollo

Si n = 1 y = sen x es similar al ejercicio 86,

Si n = 2 => y = sen 2x su grafica es:

X 0

4 2 2

± n

y 0 ± 1 0 ± 1 0


En forma similar para n = 3, —

88 y = sen (x - <p) sí y = sen x. eos (p - eos x. c

para cp = 0 se tiene y = sen x el gráfico es el mismo que el ejercicio 86.

Para (p = —, y = - eos x. Su grafica es:

X 0+ 1

2

± K

y - i 0 ± 1

En forma similar para y ’= 5 sen 2x' donde el origen del nuevo sistema es (

Y el gráfico se hace en forma similar al ejercicio 87.

N> | U

>


9 0 y = a sen x + b eos x, sí a = 6, b = -8

Desarrollo

Para a = 6, b = -8, se tiene y = 6 sen x - 8 eos c. Su gráfico es:

X 0+ -

2

± 71 +i

± 2 tc

y -8 ± 6 8 -6 -8

91 y = sen x + eos xDesarrollo

X 0

4

n 3 K 7t 5 ni 3 ;r 1 k 271 9 n n

2 4 2 2 4 4 4

y i y¡2 1 0 -1- J 2

-1 0 1 V 5 0


92 y = eos* x

X 0

2

± Jt

1 0 1

Desarrollo

93 y = x + sen xDesarrollo

X 0 7T

~2

Jt n

~ 2

-Jt

y 0* + 12

Jt- — - 1

2

-Jt

94 y = x sen xDesarrollo

X 0

i+

±7t

£1

"+1 3n

~~2± 2 n

y 0

2

0 3 71 3tc 0

2 2

95 y = tg2xDesarrollo


X 0 n n 5?r ± 7t+ — + — ± —4 2 4

y 0 1 + oo 1 0

96 y = 1 - 2 eos x

Desarrollo

X y0 - i

2

i

± n 3

+ 14

-0.41

97 y = sen x — sen 3*3

Desarrollo

X


X 0+ZL

2

± JC £ 1 ™

+i1

y 0 ± 1.33 0 + 1.33

Desarrollo

X 0 n+ — ± —2 2

y 3 1 -0.717

2 2

í ]

l i■

i

i

Y

f

' 3

2

\r \

\ A )

K 7t

1

1

n 3 n

\ l J

X

-0.717


99 y = cos(—) x

Desarrollo

X i

3

i

3

1 -1 1

4

1

4

y - i 1 -1 -1 1

4

1

4

100 y = inserí x

-1

Desarrollo

y - ±-yJsenx , sen x > 0 => x e [0,7i] U [2n,3n].... [-27t,-n]


CONSTRUIR LAS GRAFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIC EXPONENCIALES Y LOGARÍTM ICAS

101 y = a x sí a = 2 , e2

Desarrollo

Sí a = 2 => y = 2x

Desarrollo

X y0 i1 i

2-1 22 1

4-2 4

102 y = lognJC sí a = 10, 2, e

Desarrollo

Sí a =10 => y = log10A: => x = 10y


103

104

X y

1 0

10 i

1

10

-i

y = sen hx, donde sen hx = — (e r - e x )2

Desarrollo

X y

0 0

1 e - e l

2

-1 e~x - e

2

y = eoshx; donde coshx = — ( e x + e x )2

Desarrollo

X y

0 i

1 e - e ~ x

2

-1 e + e~l

2


105 y = tg hx, donde tghx =

106

107

senhx

coshx

Desarrollo

, t e -t g h x - ----------

íf + e

cuando x —» +°° , y —> 1

x —> -co , y —> -1

iy = 10*

X y1 10-1 1

10

1 100

2

1 1

2 100

Desarrollo

y = e x (curva de probabilidades)

Desarrollo

X y0 i

± 1 i

e+ 2 1

4e

Yr


108 y = 2

Desarrollo

—T 1 1y = 2 ¿ = — j- => y = —— , cuando x —» 0 , y —»0

27 27

X 0 ± 1 ± 2 ±3 ±4y 0 1 i i i

2 112 ]y¡2

109 3> = lo g *2

Desarrollo

jc2 > 0 => x e <-°°,0> U <0,+»°>X ± i ± 2 ±3 ±4

+ 12

+ 13 + i4y 0 Log 4 Log 9 Log 16 - log 4 -log 9 - log 16

Y


110 y = log2 *

Desarrollo

y = ( lo g x ) 2 está definida para x > 0

X i 2 3 1 1 .2 3

y 0 Ü og2 )2 (log 3)2 (log 2 )2 (log 3)2

111 y = log (log x)Desarrollo

y = log (log x ) está definido para log x > 0 => x > 1

v = ------logx

Desarrollo

y = ----- - está definida para x > 0, x * 1log*


X 0.2 0.5 1 2 3 4

y -0.625 -3.325 - OO 3.32 2.09 1.66

113 y - log (—)x

Desarrollo

y = log (—) está definido sí —>0 => x > 0 x x

X i 2 3 4 5 0.5 0.4

y 0 -0.3 -0.47 -0.60 -0.69 0.3 0.9

114 y = lo g (-x )Desarrollo

y = log (-x ) está definido sí -x > 0 => x < 0


X i

2

0 -1 -2 -3

y -0.3 -oo 0 0.3 0.48

115 y = log2( l + Jc)

Desarrollo

lo g2( l + * ) = lo g2 10. lo g10( l + jc)

X -i 0 1 2 3 4 5

y -oo 0 0.9 1.5 1.9 2.3 2.5

116 y = log (eos x )

Desarrollo


y = log (eos x ) está definido sí eos x > 0. entonces

. 2n + l rr 2/1 + 1 _ x e < 2 n n , ---------n > U < — n , 2 n n >

n n WI 3n 5n ,, x e < —,— > U < — ,— >U...

2 2 2 2

11)Desarrollo

X 0 K n + 3* 27t n -Ti 37T -2 Jt

2 2 2 2y 0 0.33 0 -0.038 0 -2,97 0 0.038 0


118

119

CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIC TRIGONOM ETRICAS INVERSAS

y = arcsen x

Desarrollo

El dominio de y = arcsen x es [-1,1]

Z 7Z ,El rango de y = arcsen x es [— ,—]

2 2

X -i- A

2

0 VI . 2

1

y rz 7Z 0 n 7Z

2 4 4 2

y = arccos x

Desarrollo

El dominio de y = arccos x es [-1,1]

El rango de y = arccos x es [o,Jt]

X y-1 n0 TZ

21 0

En forma análoga para las demás funciones el cual damos su gráfico.

120 y = arctg x

Desarrollo


121 y = arctg x

X y0 n

2oo 0oo n1 K

4

122 y = arcsen— x

Desarrollo


1 1y = arcsen — =$ sen y = —

x x

- l< s e n y < l => -1 < --< 1 => x e <-°°,l] U [l,+°°> x

123 y = arccos — x

Desarrollo

y = arccos— => cosv = — como -1 < eos y < 1X ' JC

-1 < — <1 => x e <-<*>,-1 ] U [ 1 ,+«■> x

124 y = x + arctg xDesarrollo

X 0 x —> +°° X —> -ooy 0 y —» +oo X —» +oo


125

CONSTRUIR LA GRAFICA DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES

y = I x |Desarrollo

Se conoce que: |x|=x , x > 0

—x , x < 0

Sí x > 0 => y = x

x < 0 => y = -x

X y0 0

± 1 i

±2 2

± 3 3

12 6 y = - ( x + \ x |)

Desarrollo

Si x > 0 => | x | = x, Luego y = (x+\x\) = ^ (x + x) = x y = x

Si x < 0 => | x | = -x, Luego y = -^(x+|x|) = -^ (x -x ) = 0 => y = 0


127 a) y = x | x |Desarrollo

Si x > 0 => | x | = x, pero

y = x|jr|=x(*) = x 2 y = x 2 para x > 0

y = x \ x \ -x ( -x ) = - x 2 => _y = -A-2 para x <

b) ^ = logV2 I ^ IDesarrollo

yy = log^|x| <=> x = (y¡2y => | v | = 22

_yparax> 0 => | x | = x => x - 2 2

y

x < 0 => | x | = -x => - x = 22

X y± 1 0

± 2 2 .

± 3 2 ln3

ln2

± 12

-2

± 14

-4

128 a) y = sen x + | sen x |

Desarrollo

Se conoce que y = sen x tiene por gráfico:


Si x e [0,7t] => | sen x | = sen x

Como y = sen x + | sen x | = 2 sen x para x e [0,rc]

Sí x e [7t,27t] => | sen x | = - sen x => y = 0

Generalizando para n e Z consideramos el intervalo [n7C,(n+l)rc]

Si n es par | sen x | = sen x

Si n es impar | sen x | = - sen x

{2senx para n par cuando xe [nn.(n + l)/r]

0 para n impar cuando x e < nK,(n +1 )n\

b) y = sen x - 1 sen x | en forma similar el ejemplo (a).


129 y =3 - x 2 para |x|<l

— para |x|>lx

Desarrollo

Si | x | < 1 => -1 < x < 1

| x | > 1 => x > l v x < - l

además x > 1 => |x| = x a x < - 1 = > | x |= -x

Luego y =

3 - x 2 para -1 < x < 1

2— para x > 1 x2

— para x < -1 x

130 a) y = [x], b) y = x - [x]

donde [x] es la parte entera del número x, es decir, el mayor numero ei

menor o igual a x.

Desarrollo

a) y = [x] = [n] => n < x < n + 1, n e Z


Sí 0 < x < 1 => y = 0

1 < x < 2 y = 1 y

2 < x < 3 => y = 2

- l < x < 0 y = -l ---------- "------- O.

-2 < x < -1 => y = -2

-3 < x < -2 => y = -3

b) y = x - [x], [x] = n => n < x < n + l , neZ

Sí 0 < x < 1 => y = x

1 < x < 2 => y = x - l

X

-3 < x < -4 => y = x + 3

-4 < x < -5 => y = x + 4

CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES EN EL SISTEMA DE COORDENADAS POLARES (r, <p) (r > 0)

jc"*131 r = 1 (circunferencia)

Desarrollo

Se conoce que x = r eos 0 , y = r sen 0


r = yjx2 + y 2 , 6 = arctg — x

como r = 1 y r - yjx2 + y2 , luego: yjx2

(circunferencia)

132 r = (espiral de

‘p R

0 01 1

2

Jt Jt

2 4

-n Jt

2

n Jt

2

Arquímedes)

Desarrollo

133 r = e => r = — , de donde r =2x => x + y - 2 x


Luego x 2 - 2 x + y 2 =0 => ( jc2 - 2x + 1) + y 2 =1

(x - 1) : + y 2 =1 circunferencia de C(I,0) y radio 1

136 r = —!— sernp

Desarrollo

ySe conoce que y = r sen (p => semp = —

rY

1 1 r 1Como r = —----=> r = — r = —

seníp y yr

Como r * 0 => y = 10 X

1137 r - sec ^ (parábola)

Desarrollo

2 Í> l (p , , , y x sec — = — ----- pero x = r eos— de donde eos — = —2 C0S=2 2 2 <•2

-> r = = —— de donde r = — => x - r

2 cos2^ *2 r2


para r * 0, además r = yjx2 + y2 => x 2 + y2 = r 2

luego: x 4 - x 2 = y2 . Sea: x 2 - x 4 => x, = x 2 además y 2 = y 1

Entonces: x 2 - x, = v,

2 1 1Completando cuadrados se tiene: x[ - x, + — = y, + —

4 4

(x, - ~ )2 = (_y, + parábola de vértice V (^ , - ~ ) y se abre hacia arriba

138 r = 10 sen 3<p (rosa de tres pétalos)

Desarrollo

9 0° 15°

OOm

45° 60° 75° 90°

OlOO

120° 135° o 0 165°

r 0 7.05 10 7.05 0 -7 -10 -2.60 0 7.05 10 7.05

 0) (Cardioide)

Desarrollo

 o 0 45°

0Ov© 75°

R 2a 1.97a 1.87a 1:71a 1.5a 1.26a

«P 90° 105° 120° 135°

OO

165°

r a 0.74a 0.5a 0.29a 0.1 a 0.03a

<P 180° 195° 210° 225° 240° 255° 270°

r 0 0.3a 0 .1a 0.29a 0.5a 0.74a a

9 285° 300° 315° 330° 345° 360°

r 1.26a 1.5a 1.71a 1.87a 1.97a 2a


140 2 2 r = a

 0) (Lemniscata)

Desarrollo


CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIO DADAS EN FORMA PARAM ÉTRICA

141 x = t3, y = t2 (parábola Neil)

Desarrollo

t X y0 0 0

1 1 1

-1 -1 1

2 8 4-2 -8 4

142 x = 1 0 co s t, y = sen t (elipse)

Desarrollo

.r. 2 Xx = 10 eos t => eos t = ----100

y = sen t => sen2t = y 2

eos2 1 + sen2t = —— i-y2 de donde + y2 = 1 (elipse) 100 ' 100 ' 1


143

144

x = lOcos3 i , y -1 Osen11 (astroide)

Desarrollo

jx = lOcos3/

[y = 10 sen't

3 x eos t = ---103 ysen' t = — 10

2 2. x ^ ,y .

2 X

eos t - (---) 310

sen~t = (— ) 3 10

sen~t + eos t = (— ) 3 + (— ) 3 de donde 10 10

2 22 2

1 —(— )3 -h(— ) 3 =» jc3 + y 3 = 103 10 10

x = a(cos t + t sen t), y = a(sen t - 1 eos t) (desarrollo del circulo)

Desarrollo

x - a(cos t + tsent)

y = a(sent-t eos t)

= eos2 1 + 2t eos t sent + 12 sen21

- = sen2t — 2t eos tsent + 12 eos21 a2

—r + ~ r — \ + t2 => x 2 + y2 = a 2( l + t2) a a

( x - a(eos t + tsent) envolvente (desarrollo de la circunferencia <

[y = a(sent - t eos t)


145 x - ■at

1 + /.3 ’y =

Desarrollo

atx ~ -----7

1 + /3

at2

l + r a

t x a atLuego: - = —

l + r at x y

Como: x =at

1 + í3X =

ax3 y

1 +x(x3 + y 3)

146 x = y =

Desarrollo


x =V Ü 7 y =

at

s f íT ?

t 0 ± 1 ± 2 ± 3

X a a a a

V io

y 0 + a + 2 a + 3 a& ~ V 5 V io

147

148

x = 2 ' + 2 y = 2 ' - 2 ' (rama de una hipérbola)

Desarrollo

t 0 1 -1 2 -2X 2 5 5 17 17

2 4 4y 0 3 3 15 15

2 2 4 4

jc = 2cos2 /; y = 2sen2t (segmento de recta)

Desarrollo

Jjc = 2 c o s T

[ y = 2sen2t

x 2— = eos t2y 2— = s e n t 2

- + — = sen2t + e o s 21 => —+ — = 1 => x + y = 22 2 2 2


Desarrollo

t 0 1 -1 2 -2 3 -3X 0 0 -2 -2 -6 -6 -12

y 0 0 2 -4 12 -18 27

150 x = a(2cosí - eos' 21), y = a(2 sen t - sen 2t)

Desarrollo

t 0 K n

4 2

X a a j 2 a

y 0 a \ l2 2a

CONSTRUIR LA GRAFICA DE LAS FUNCIONES DADAS EN FC IM PLÍC ITA

151 x 2 + y2 = 25 (circunferencia)

Desarrollo


152 xy = 12 (hipérbola)

Desarrollo

X y± 1 ± 12

± 2 ± 6

±3 + 4±4 ±3± 6 ± 20 OO

153 y 2 = 2 x (parábola)

Desarrollo

X y0 0

1 ± i

22 ± 2

9 ±32

8 ± 4

154 —— t-— = 1 (elipse) 100 64

Desarrollo


155

y = O, x = ± 10

x = O, y = ± 8

y 2 = x 2(100- x 2)

Sea w = y 2, z - x 2

Desarrollo

y ¿ = l O O x - x * => w = 100z-zz =» w = - ( z ¿ -lOOz)

completando cuadrado se tiene: vv - 2500 = - (z + 25)2 => V(-25,250(

2 2 2

156 jf3 + ^ 3 = a 3 (astroide)

x = 0 , y = ± a

y = 0 , x = ± a

Desarrollo


157 x + y = 10 log yDesarrollo

Para y > 0, log y está definida:

x = 10 log y - y, aquí damos valores arbitrarios para y donde y > 0.

X -i-1 0 1 o g 2 - i

10 log 2 - 2

y i 1

2

2

158 x = eos yDesarrollo

x2 =cosy => y = arccosx2

t arcig-159 sjx + y - e * (espiral logarítmico)

Desarrollo

x - r cos0(—)2 = eos2 6


tgO = — => 6 = arclg — x x

n Y arclg-Como y¡x + y = e x

r = e0 en coordenadas polares

160 x 3 + y3 - 3xy = 0 (folio de Descartes)

Desarrollo

Pasando a coordenadas polares se tiene: x = r eos 0 , y = r sen 0

r 3 eos3 9 + r 3sen30 - 3 r 2sen9cosO =0

r3 eos3 6 + r 3sen36 = 3r2sendeos6

3sen6 eos 6r = ----t- ----— r-

cos 9 + sen 9

161 Hallar la formula de transición de al escala de celsio (C) a la de Fahrenhei

si se conoce que 0°C corresponde a 32°F y 100°C a 212°F- Construir la gr

de la función obtenida.

Desarrollo

Para 0°C => 32°F

100°C => 212°F => (0,32), (100,212)í

Sea F = me + k => 32 '= m(0) + k ^ k = 32

212 = lOOm + 32 => lOOm = 212 - 32 => 100m = 180 => m=1.8

86 Eduardo Espinosa Ramos

f = 1.8c+ 32

162 En un triángulo, cuya base es b = 10 y su altura h = 6, esta inscrito un

rectángulo. Expresar la superficie de dicho rectángulo y como función de x.

Construir la gráfica de esta función y hallar su valor máximo.

h

Desarrollo

La figura dada en el problema ubicaremos de la forma siguiente:

Area del rectángulo Y es: Y = Bx

También en el área del rectángulo “y” se puede expresar:

... (1)

bh , , . , . J , ZB t x (h -B ) Á B ( b - x - Z ) y = - - ( \ + A ,+ A 3) donde = ~ ^ ----- A3 = ------ ------

bh 1Luego y = — - —(ZB + x h - xB + B b - B x - BZ)


bh 1y = -------- (xh -2Bx + Bb) como b=10, h = 6 se tiene:

2 2

y = 3 0 - — (6x -2Bx + l0B)

de (1) se tiene B = — , reemplazando (2) se tiene: x

y = 3 0 -—(6 .í-2y + ^ ) , de donde y = 0.6(10 - x)2 x

como y = 0.6x(10-x) => y = -0.6jc + 6x => y -13 = -0.6(jc-5 ) '

La gráfica de la función es:

El valor máximo es cuando x = 5, max y = 13

164 Resolver la ecuación: 2x~ - 5x + 2 = 0

Desarrollo

2x 2 - 5 x + 2 = 0 =$ x2- —jc+1 = 0 x2- - x = - l

completando cuadrados se tiene:

2 5 25 , 2 5 x — x + — = - l + -

2 16 16, 5,2 9 , , , 1( x — ) —— de donde x ,~ —, x,

4 16 1 2 "


165 Resolver el sistema de ecuación: xy = 10, x + y = 7

Desarrollo

Como x + y = 7 => y = 7 - x , además: xy = 10 => x(7 - x) = 10

7 x - x 2 -10 = 0 => x 2 -7 x + 10 = 0 => (x - 2)(x - 5) = 0,

de donde se tiene: x, = 2, x2 = 5

1.3. LIMITES.-

LIM ITES DE UNA SUCESION.-

E1 número “a” recibe el nombre de limite de la sucesión x j,x2,...,x„,..., es

decir: l im x „= a <=> V e > 0, 3 N > 0 / \xn - a |<£ V n > Nn—

LIM ITE DE UNA FUNCIÓN.-

lim / (x ) = A <=> V e > 0, 3 8 > 0 tal que: |f(x) - A| < e para 0 < |x - a| < 6x —>a

LIM ITES LATERALES.-

Si x < a y x -4 a, escribiremos convencionalmente x - » a - 0, de la misma

manera si x > a y x —* a, escribiremos x => a + 0 y a los números

f ( a - 0) = lim f ( x ) y f ( a + 0) = lim f { x ) se llaman limites laterales porx—>fl—0 x —>a+Q

la izquierda y por la derecha en el punto “a” respectivamente. Para que exista

lim / (x ) es necesario y suficiente que se cumple la igualdad f(a- 0) = f(a+ 0) !x -* a


PROPIEDADES DE LIM ITES

Si existen los lim / ,(* ) y lim f 2 (x ) . Entonces se tiene:x —>a x —*a

1 lim (/ i (x ) ± f 2( jc)) = lim /, (jc) ± lim f 2(x )x -* a x—*a x—>a

2 lim /,( x ) . f 2(x ) = lim / ,( jt). lim f 2(x )x~>a x — x -* a

f ( x \ Vimf i (x )3 lim —---- = ------- donde lim / i ( jc) * 0

x->a f 2 (x ) lim f 2(x)J:->«

NOTA: Los limites siguientes se usa continuamente.

lim SenX = 1 y lim (l + — Y = lim (l+ a )“ = ex-»0 X Jr-»~ X a -* o

166 Demostrar que, si n —> el limite de la sucesión 1,— es i4 9 V

cero. ¿Para qué valores de n se cumple la desigualdad — < e (siendcn~

número positivo arbitrario)?. Efectuar el cálculo numérico para:

a) e = 0.1 b) e = 0.01 c) e = 0.001

Desarrollo

Probaremos que lim — = 2, es decir:n-»o° n -

dado un e>0 , 3 N = ?/|-Í--0|<£ V n > Nn

| - i.- °| = | -L | = -L < £ => n2 > —, n > J Í = N n1 n2 n2 e Ve


lim -^ = 0 o V e > 0 , 3 N n2

A r - 0 ¡ < £ Vn2

por lo tanto la desigualdad < e se cumple V n > J —n V s

a) Para e = 0.1 se tiene w = TÍO => n >4'í 0.1

b) Para e = 0.01 se tiene n > . l— - = 100.01

c) Para e = 0.001 se tiene n > J ———■ = -71000 => n>32V 0.001

167 Demostrar que el limite de la sucesión: x = -----•, (n - 1,2,...), cuando« + 1

n —> oo es igual a 1. ¿Para qué valores de m > N se cumple la desigualdad

| xn — 11< e (siendo e un número positivo)?.

Hallar N para a) e = 0.1 b) e = 0.01 c ) e = 0.001

Desarrollo

lim xn = lim —— = 1 es por demostrar.n—><*» / ! —»'>3 W + l

Dado e> 0 , 3 N = ?/ | jc „ - l| < e ,V n > N

|jc — 11=| ——— 1|=|— — 1=—L < e => /I + i > i => n > ——l = N n + 1 n + 1 n + 1 £ e


Luego: lim — = 1 <=* V e > 0, 3 N = — -1 «-*— n +1 e

I X I C f V »í A/i + l e

a) Para e = 0.1, = - - 1 = 9e

b) Para e = 0.01, N = 1 -1 = 99£

c) Para e = 0.001, W = i - 1 = 999£

168 Demostrar que lim x 2 = 4. ¿Gómo elegir para el número positivo dado ir-*2número positivo 8 de modo que de la desigualdad ¡x — 2| < 8 se deduzc

Xdesigualdad | x - 4 1< £ . Calcular 8, para:

a) e = 0.1 b) e = 0.01 c) e = 0.001

Desarrollo

lim x 2 =4 <=> V e > 0 , 3 8 > 0 / \x2 -4|<ex—*2

Siempre que 0 < |x - 2| < 8

1 j c 2 - 4 |<|(.r + 2)(x - 2)\=\x + 2\\x — 2\< £

Sea |x - 2| < 1 => -1 < x-2 <3 => l < x < 3 => 3< x+2 <5 =* |x + 2| <

Luego: |jc2 —4|=|jc + 2|!jc — 2|<5|jc — 2|<e- => | x-21<-^ = <5


Luego es suficiente tomar S = — (e < 1)

E 1a) Para £ = 0.1 se tiene 5 = — = - = 0.2

5 5

b) Para e = 0.01 se tiene 8 = — = = 0.025 5

f 0 001c) Para e = 0.001 se tiene 8 = — = —---- = 0.002

5 5

169 Dilucidar el sentido exacto de las notaciones convencionales:

a) lim ln**-»o‘

b) lim 2X = +°°X —><»

c) lim f ( x ) = oo

Desarrollo

i‘ Y

/ y = log x

/ lim logx = -«/ x->0

-L

0 X

170 Hallar los limites de las sucesiones:

2 3 4 n

. . 2 4 6 2nb) —.............-

1 3 5 2w + l

d) 0.2, 023, 0.233, 0.2333,

Desarrollo


( - 1)"-1 1a) Sea xn = -------- , entonceá: Si n es par lim xn = lim — = 0

n n - * o o n—>°° n

Si n es impar lim xn = lim 1 = 0« —»<*> /i—»«> fi

Luego lim xn = l im (- l)n = 0m—»«*> n

. . „ 2n 2n 2 2b) Sea x„ = -------, entonces: lim --------= lim ----- - = ------= 1

2 n + 1 n— 2n + 1 ^ 1 2 + 0

n

c) o. = V2 = 22

___ ¿ i +j_a2 = y [Ü 2 = 22.24 = 22+4

i i i í i ir ■ ■■ ------- l l i l I i

a3 = V2V2Ñ/2 = 22.24'.2* = 22+4+8

1 1 1 1—I—rH—r+4.,H—-a = 22 2’ 2 r

1 , 1 1 1, ,<l+,-+p-+"+T^)Luego an = 22 2 2 2 ... (1

, 1 1 1 ., , . 1 entonces 1 + —+ — + ... + -^r¡- es una progresión geométrica r = ^ ' yri<N<N 2n~\

1 ~ ( { r= 2(1- 4 )

2"i - i2

es igual a: ------— = 2(1----- ) ... (2

-.2(1--!L) !_-L.Reemplazando (2) en (1) tenemos: an = 2 2 2 = 2 2"

Como para hallar la suma de una sucesión es suficiente calcular el j limite del término n-esimo cuando n —» es decir:

lim an = lim 2 2” = 21-0 = 2n— n—»<*>

d) 0.2, 0.23, 0.233, 0.2333, 0.2333...3, ... el término n-esimo es

xn =0.23333...3

x„ = 0.2 + 0.03 + 0.003 + 0.0003 + ...0.000...3


„ , 3 3 3 3xn — 0.2 + (----- 1-------- 1————h...H--------—)

100 1000 10000 100" - '

X = 0.2 H----- (1 H------1---“ + ...H------ -)100 10 lo 2 10,M

1 l - ( — )" 7 10(1----í—)xn = 0.2 + -— - (.....10— ) = o ,2 + ---- .------= 0.2 + — (1--------------- )

100 J__L 100 9 30 10"10

lim = lim [0.2 + — (1— —)] = 0.2 + — = — = — «-x*, 11 „_>„L 30 ion 30 30 30

H A LLA R LOS LIM ITES:

, . . 1 2 3 n - 1.171 hm(— + — + — + ...h----—)

n->~ n n n n

Desarrollo

Se conoce: l + 2 + 3 + ... + n - l = — (n -1 )2


1 2 3 n -1 1 + 2 +3 + ... + (n-1 ) lim (— + — + — + ... + —— ) = lim ------------ -— -----i

n n n n~ n"

i - illm íl< íz l> = ,im ü _ ^ = lim « - 1- 0 . 1

n - » o o /j2 n->~ 2n n->°° 2 2 2

172 lim ( í l l X » + 2X » + 3)

Desarrollo

lim = 1¡m (« i x £ + 2 )< ;+3 )«-> oo 7 «-*» n n n

= lim (1 + - )(1 + - )(1 + - ) = (1+ 0)(1 + 0)(1 + 0) = n n n

173 lim (l + 3 + 5 + 7 + ... + (2 n - l ) _2n + l ) n-»~ n +1 2

Desarrollo

Se conoce que l + 3 + 5 + ... + (2 n - l ) = n2

174 lim

1 + 3 +5 + 7 +... + (2n — 1) 2n + l n2 2n + llim (--------------------------------------- ) = lim (--------------- )«-»■» n +1 2 «-»— n +1 2

' 2n2 -2 n 2 - 3 n - l 3n + l 3 + ñ 3 + 0 = lim --------------------- = - lim --------= - lim -----= -----------

2(n + l) «-+~ 2n + 2 " ->°°2 + 2 + 0n

» + ( - ! ) "n->~ « - ( - 1)”

Desarrollo

96

175

176


Si n es par se tiene:

Si n es impar se tiene:

Luego: hm-----------n - ( - l ) n

2',+l +3n+llim -------------

2" + 3”

H + 1 1 + „ 1 + 0 , lim ----- = lim ------ = ----- = 1n—>oo n — 1 n— 1 1 — 0

i - I, «~ 1 , n 1~ ° , lim — = hm----— = -----= 1n->~ ll + l «->=■> 1 1 + 0

= 1

Desarrollo

2n+I + 3,,+l 2.2” +3.3" . . . . . . ,lim -------------= lim -------------- , dividiendo entre 3w-*o„ 2” + 3" 2” +3rt

= 1¡m^ ! = M ±2 = 3n_>“ (—1" +1 ^ + ^

3

, . , 1 1 1 1 .lim (— i----1— ---- )«->” 2 4 8 2n

Desarrollo

Usando la suma de una progresión geométrica: S = cl . cr , donde a es el1 - r

primer término y r la razón.

i _ i ( V1 1 1 1 2 2 2 , A r . Luego: - + - + - + ... + — = —— — = l - ( - ) n2 4 8 2" j _ i 2

\


lim ( 7 + 7 + I + -• + 4 r) = lim (1 - ( ! ) " ) = 1- 0 = 12 4 8 2 n'>“ 2

1 1 1 ( - 1)177 lim [1 - - + — — — + ...+ - — ]

3 9 27 3

Desarrollo

De acuerdo al ejercicio anterior ‘ e tiene:

, 1 . 1 I . 3 - 3<4 >"1-----1----------H... H-------■— = ----------- = --------------3 9 27 3 1 + 1 4

3

, 1 1 1 (-1 )" '1, 3 _ 3 (_ 3)n 3 -3(0) 3lim fl— + --------+ ... + -— - r - ] = hm---------— = ----- — = -n_,oo 3 9 27 3" «->«• 4 4 4

, _0 l2 + 22 +32+...+n2178 lim -----

n3Desarrollo

1 + 2 + 3 + ... + n = —(n + l )(2n + l)6

I2 +22 +32 + ... + /12 n(n + l)(2n + l) lim ------------ ------------= hm---------- --------

n «-*« 6 n

= l im l (— ) ( ^ ± 1) = i- lim (1 + —)(2 + —) = — (1 + 0 X 2 + 0 ) = — «-»“ 6 n n 6 «-*» n n 6 3

179 üm(\fñ+\ -y fñ )rt—>00

Desarrollo


180

18 1

.. , r "77 v (*v/« + l - >/«X>/w+~l + >/n) lim (v« + l ~ v « ) = lim -j = — ~ n->~ «->«> Vn + 1+ V «

n + l-n 1 1hm ..— j= = lim —= = — j= = — = O

vn + 1 + v « n~>°°yjn + l+yjn 00

l ¡ m = ^ n-»~ n2+ l

Desarrollo

V n e Z + , -1 < sen (n!) < 1, como — — > 0n~ +1

n nsen(n!) n Entonces: — -— < — ------ <

n2 +1 n2 +1 n2 +1

• n ^ nsen(nl) nhm — 5----< hm — ------ < lim —-----«-*» n +1 n +1 »-*“ « +1

OS lim ¡ 2 ? ^ S O *d o n d e Üm í í 2 i í l 5 = 0 n_>“ n~+l ■/!->•» « -+ 1

Para hallar limite de la razón de dos polinomios enteros respecto a x, cuando

x —> se divide los dos términos de la razón por x " , donde n es la mayor

potencia de estos polinomios.

También en muchos casos se emplea este procedimiento cuando se trata de

fracciones que contienen expresiones irracionales.

Ct + 1)2limx2 +1

Desarrollo


. (a + 1) “ x2 + 2jc+1 lim —------= lim ----- -------- dividimos entre

„ _ > < » + 1 x¿ + i

2 J_i- x x2 1 + 0 + 0 = lim ------- = ---------------= 1n->°° 1 + 0

X2

.. 1000*182 lim —-----

x -1Desarrollo

1000* * . lim — -----= 1000 lim — — , dividiendo entre

n — >oo | n —>oo _ j.

= 1000 Hm — í — = 1000(— ) = 01 1 - 0

x2

183 limx2 - 5 x + l

n->~ 3jc + 7

Desarrollo

Dividiendo entre ,r2 tenemos:

5 J_jc2 - 5 ; c+ 1 JC + jr2 1 - 0 + 0 1

hm------------ = hm — — = — ——- = —«->“ 3 x + l n->~ 0 + 0 0

* x2

2 x 2 — x + 3184 lim

«-►“ x — 8 a + 5Desarrollo

Dividiendo entre a 3 se tiene:


,im = lim = , o = o„_>oo r3 _ g Jt _J_ 5 n->oo |__8 ( 5 1 -0 + 0 1

2 3JC JC

185 lim Í £ ± ^ ) ^ L Í L Jt + 5

Desarrollo

(2x + 3 )\ 3 x -2 ) 2 72jt5-204;c4 -562.v3-26 Lr-174 ;t + 9hm-----------------— - = hm--------------- ------ --------------------------

je + 5 x + 5

204 562 261 174 9

,im x x 2 x 3 x4 V ._ 7 2 - 0 - 0 - 0 - 0 + 0 _ ?2n—><*> | 5 1+0

7

1C, r 2x2 - 3 x - 4186 lim ----=====—

yjx4 + 1Desarrollo

Dividiendo entre x2 el numerador y denominador se tiene:

3 4

lim 2^ 4 = |im 2 - i _ i ^ 2 - 0 - 0 = 2

yjx4+ 1 n ~ r r v í+ ó

2jc + 3187 hm

Desarrollo

Dividiendo el numerador y denominador entre x se tiene:


32x + 3 v 2 + 0 „

lim —--—J= - lim -----==r - ------ = 2

1 + 3/---Hx2

x2188 lim

] 0 + Xy/xDesarrollo

Dividiendo el numerador y denoi unador entre x 2 se tiene:

* 2 1 1 lim -------- =- = lim --------=r = — = oon-*~10 + xyjx 10 ÍT 0io IT

7 + t x

2 + ln—>°° x + l

Desarrollo

Dividiendo el numerador y denominador entre x se tiene:

t l s V i vlim ---------= hm

1 1

* + jc3 _ VóTó = o = 0«-»“ JC + 1 n->” j + 1 1+0 1

190 limn—o

\Jx + \lx+ Jx

Desarrollo

Dividiendo entre \fx al denominador y numerador se tiene:


Cuando P(x) y Q(x) son polinomios enteros y además P(a) * 0 o Q (x )*0 , él

P (x ) A . P(x)------ es decir lim------Q(x) x->« Q(x)P (x ) ^(-^)

limite cuando x —> a de ------ es decir lim ------ se encuentra

P (x )directamente. Cuando P(a) = Q(a) = 0, se simplifica la fracción Por e*

binomio (x- a), una o varias veces.

191 limx3 +1

x -> -\ x " +1

Desarrollo

x3+ l ( - 1)3 + 1 -1 + 1 0 „ lim z = -----t— = ------ = - = 0*-*-«jt2 + l ( - 1)2 +1 1 + 1

i- x - 5 * + 10192 lim---- ---------*->5 x — 25

Desarrollo

x2- 5 x + 10 52 - 5 (5 ) +10 0 + 10 10 hm..... . ......... = ------ --------- = --------= — = oo

x -2 5 (5 ) - 2 5 0 0

193 limx2- l

x->-i x2 +3x + 2Desarrollo

lim = lim lim ^ = ± ± = -2+3x + 2 *-»-»(*+ !)(•*+ 2) x->-\x-2 -1 + 2

x2 - 7 x194 lim —----------

x~*2x -4 x + 4Desarrollo

t


' x~ — 2x jc( jc- 2 ) 2 1lim —----------- = h m ---------------- = lim-------= — = oox - * 2 x 2 - 4 x + 4 * - » - 2 ( j C - 2 ) ( j C — 2 ) * - > 2 j c ~ 2 0

jc3 — 3 jc + 2195 lim

jc4 - 4 jc + 3Desarrollo

x3 - 3 x + 2 (x + 2 )(jc -1 )2 jc+2 3 1lim— -------------= lim— ------------------- — - = lim—-------------- ----- = -

jc — 4jc + 3 •»-»i (jc +2jc + 3 )(jc -1 ) x~*l x + 2 x + 3 6 2

x 2 ~ ( a + l ) x + a196 hm-

3 3 *->“ x - aDesarrollo

x —(a + l ) x + a jc - a jc - jc + a jc(jc— l ) - a ( x - l ) hm------------ ------ = hm------------ -- = hm------- ----- -------x -> a x - a x - ,a x - a x~ *a x - a

( j c - a ) ( x - l ) jc — 1 a - 1: h m ------------------------ — = hm —------------ = — —x~*a (x — a)(x + ax + £?**) x~>“ x +ax + a 3a

,97h-> 0 h

Desarrollo

(x + /i)3 - x 3 x 3 + 3 x 2h + 3xh2 + h 3 - X 3h m -----------------= lim ------------------------------------A-> 0 h h-*0 h

3jc h + 3xh~+lr 2 , 2 - . 2= hm — --------------- — = hm(3jc +3xh + h ) = 3x~

o h a-»o

198 lim(—-----*- »> 1 - x 1 - jc3

’ Desarrollo


V / 1 3 , Xr lim(------------- - ) = lim-----x ->\ l - x 1 — JC x ->\ i

x 2 - x + \ - 3 .. x 2 + x - 2 = lim-

- JC-3 *-»« 1 — JC3

(jc + 2 ) ( j c - 1 ) x + 2 3= lim----------------- — = - lim --------- - = - - = -1

*-»• (1 - x ) ( l + jc + x ) *-> i1 + jc + jc 3

199 limyf x— 1

Jt-»l X — 1

Desarrollo

Sea x - y 2 => \[x = y , además cuando x —> 1, y —» 1, luego tenemos:

4 x - \ y - 1 y -1 1 1 hm------- -- lim—-— = hm---------------= hm------ = —jc—»i x-\ y-»i v -*l y-*1 (y —i )(y +1) y -*!y+ l 2

i- V* - 8200 lim —7=----x -,6 4 1 ¡X -A

Desarrollo

Seajc = y 6 => \[x = y2 a Ifx = y2

Cuando x - » 64, y —> 2, luego tenemos:

y[x—& y3- 8 (y - 2 ) (y 2 +2y + 4) lim - 7=---- = lim = - l im ---------------------------*->64 4 y^2 y - 4 y->2 (y —2)(y + 2)

y2 + 2y + 4 4 + 4 + 4 ,= hm ------- ------= -----------= 3

y->2 y + 2 4

201 lim Ê - 1

Desarrollo

Seajc = y 12 => \¡x = y4 a ifx = y3


Cuando x —» 1, y —» 1, luego tenemos:

V x - l , / - l (v 2 - l ) ( y 2 + l)lim- 7=— = lim-ir----= lim --------x-*i>Jx -l — 1 > -> i(y -l)(y + y + l)

_ üm (y + 1) (y2 + 1} _ (2)(2) „ 4

y-*i y2 + >’ + l 3 3

202 l i m ^ L i ^ l i* - * i ( jc — l ) 2

Desarrollo

l I 7 - 2 l f c + \ ( V I - 1)2lim----------- ----- = lim---------—*->< ( * - l ) 2 Gx-l) 2

Sea x = _v3 => ifx = y cuando x —» 1, y —>

y [7 - 2 l f ¿ + \ (V ^ - l ) 2 ( v —l )2lim----------- ----- = lim--------- = lim ^ r— ^x -> i ( jc — 1 ) *-*!■ ( jc — 1 ) y ~ > i ( y - 1 ) '

( y - i ) 2 i i-lim------- -— ---------- - = lim — ---------- — = —y-> i(y - l ) : (y + y + \)~ y-*i(y2 + y + 1) 9i!

203 lim L J jL JL x~*i x - 49

Desarrollo

1, luego tenemos:

„ . .. Jt~8204 hm


^ r x - 2Desarrollo

Sea x ~ y :' =» ifx = y cuando x - » 8, y - » 2, luego tenemos:

limtt=—- = lim ( -V 2)(>" + 2:.' + l ) = lim (y2 + 2y + 4) = 4 + 4 + 4 = 12x- m <Jx - 2 y-»2 y - 2 y-*2

jc-*> Vjc -1Desarrollo

Sea x = y (> => 71 = .y3 a sfx = y2

Cuando x -> 1, y -+ 1, luego tenemos:

sjx- 1 y3- l (y - lX y ^ + y + l) y2 + y + l 3hm -j=— = hm — = lim ~ ----- ----- i----- = hm----------— = -

— l ,v-»l y — 1 y-*i (y — lXy + 1) y-*1 y + 1 2

.. 3 — y¡5 + X206 hm

■*-* 1 - V5-.VDesarrollo

.. 3 — \¡5 + x . (3 — V5 + x)(3 + \¡5 + ,v)(l + \j5 — x)hm----- ------= lim--------,----- -------7= = ------- 1*-*> 1 -^ 5 -a* *-** (1 - n/5 + x )(1 + n/5 + x )(3+ V5 + * )

g| .[n ,9 . 5 - >> ltN g r i , = ||m(4 - .vX, ^ ) = - i . n|i± ^

x-»4 (l - 5 + ,x)(3+ v5 + x ) a-^4 ( jc-4 X 3 + V 5 + x ) ^->43 +%/5 + x


207*->0 X

Desarrollo

'J l + X —'J l — X (\/l + X - \ ¡ l - x ) ( - j l + X + \ j l - x )hm----------------- = lim-------------- ----------

x X~*0 x(yjl + x + y j l - x )

. 1 + jf — 1 + j: 2 2= lim -7= ----p==r = hm —¡ = ----= = = ---- = 1

*-*0vl + * + x / I - j c Vi + jc + VI - x 1 + 1

->no i- 'Jx + h - -x/x 208 lim -h-*0 h

Desarrollo

y/x+h-yfx (y¡X + h - yfx)(yjX + h + yfx)hm-------------- = lim------------ • -------- ¡=--------A-*° h A-* 0 h(y¡x + h+y[x)

(x + h ) - x 1hm---- ;■■■ ■ ----= - = hm -

209 lim

h >°h(\lx + h + yfx) h y f x + h+yfx y/x + 0 + \fx

U T + h - l f ch-> o h

Desarrollo

yjx+h -y fx (\Jx + h - i fx ) (^ l (x + h)2 + lx{x + h)+yfx2) lim-------------- - hm------------—¡r ■■■--------- ■■ y — = --------h ° h h ° h tf j (x+h )2 + l jx (x + h )+ l j x 2)

x + h - x 1 = lim---- ;--------------------------- ==r- = lim

h-*°h (íj(x + h)2 + $Jx(x+h) + tfe2) h ° t ¡ (x + h)2 + l ]x (x + h )+ l j

_____________1_____________ 1________ 1

yJ(x + 0)~ + yjx(x + 0) + yfx2 yfx2 + yfx2 + yfx2 3 yfx2


yfx2 - 2 x + 6 - v x 2 + 2 x - 6210 lim-------------------------------—

*->3 x -4 x + 3Desarrollo

y ]x2 - 2 x + 6 - \¡x2 +'.2 x - 6

(>/x2 -2x+-6 - + y [x2 ^ - 2 x - 6 )

'J x 2 — 2x + 6 + \[x2 + 2x - 6

( x 2 - 2 x + 6 ) - ( x 2 + 2 x - 6 ) -4 x + 12

\[x2^ 2 x + 6 + yJ^ + 2 x - 6 yjx2 - 2 x + 6 + tJx2 + 2 x - 6

yjx2 - 2x + 6 - V x 2 + 2x - 6 = ,......- ... ...= L------ 5\¡x2 - 2 x + 5 + V-*2 + 2x - 6

yjx2 - 2x + 6 - \lx2 + 2x — 6 hm——*->3 x2 - 4 x + 3

—4 (x —3)hmA_>3 (x - 3)(x- 1 ) ( V j c 2 - 2x + 6 + y j x 2 + 2 x - 6 )

-4= hm

J[“ >3 ( x - 1) ( a/x 2 - 2 x + 6 + V x2 + 2 x - 6 )

________________ -4 ______________ -4 _ 4 _ 1

(3 - l ) (> / 9 -6 + 6 + V 9 + 6 - 6 ) 2(3 + 3) 12 3

211 lim ( y j x + ü —yfx)X —>+oc,

Desarrollo

/------ /—. ( y j x + a — yfx) ( -J X + ü + yfx)hm ( y j x + a - y / x ) = hm ------------ =====— = ----------

■*->+•» yjx + a + yjx


_ ,.m x + a - x _ a a n

Jx + a + J x ~ - ~

212 lim (yjx(x + a ) - yfx)X —>4-«>

Desarrollo

lim lim ( ’I X i + r t - i K M " * ) * * )*->+“ AT-»+~ yjx(x + a) + X

x ( x + a ) - x 2 ax a a= hm f-------------- = hm ■:---------- — = hm ^— = —*->4~ yjx(x + a ) + x <->+“ y]x(x + a) + x *-»+- L + a h ¡ 2

213 hm ( J x 2 - 5 x + 6 - x )X - > + o o

Desarrollo

r / l~T~Z 7 s (V* 2 - 5X + 6 - x)(VX2 - 5x + 6+ x ) lim (\lx - 5 x + 6 - x ) - hm ---------------= = = = . ------------------

I_*+“ yjx2 - 5jc + 6 + jc

x 2 ~-5x + 6 - x 2 -5jc + 6 = lim ,--------- = ---- = hm

x~i+~ J x 2 - 5 x + 6 + x X y j x 2 - 5 x + 6 + x

6x -5 + 0= lim --y-.;.-— A

214 hm x i ' Jx2 +1 - x )

r , ¡~2 7 s i- X(\lx2 +1 - x ) ( J x 2 +1 lim jc(V jc +1 -J t) = iim —.................- ---------

*~*+~ ylx2 + 1 + Jt

x-*+°° f. 5 ( f , 7 l - 0 + 0 + l 2'1----+ -^r + l

X X

Desarrollo

+ jc)


x ( x 2 + \ - x 2) X = hm — =====----- = lim

Jr_*+~ \¡X2 + \ + x x-*+~ J X2 + l + X

, . 1 1 1= lim , — = = = — = —

i 1 , V l+0 + 1 21 + - =- + 1

215 hm ( x + y j l - x 3).V—>+oo

Desarrollo

, t,[, JN (x + y j l - x 3)(x2- x Z j l - x ? + % j ( l -x i ) 2) lim (x + <Jl~x ) - h m ----------------- =====---- -------------------

*->+~ x2

= lim.í3+ 1 - * 3

t2 — x\l 1 - .t3 + y j ( \ - x 3) 2

= lim ---------. 1---- ¡7- - .....- = — = 0x2 - x l j 1 - X3 + V (1 - * 3 ) 2 00

En muchos casos en él calculo de limites se emplea la formula hmx—>0

además se supone que: lim senx = seria y lim eos x = eos ax—*a x—la

„ .. serve216 a) lim

jc—>2 JC

Desarrollo

se/uc sen 2 hm----- = ------Jt—>2 JC

sen*b) lim -----

senje ,— = i . y

X


Desarrollo

1 SCtlXSe conoce que ~1 < sen x < 1 además: — < ------< —X X X

a a a i- senx . .. 1 _ ^ .. senx ^ _ de donde: lim — < lim ------< lim — => 0 < lim -------< 0X Jt->“ X Jt-*“ X jc— x

217

218

i íe/Ur nlim ------= 0

sen3x hm-------Jc—>0 X

sen5x lim ——t-jc-»o senlx

Desarrollo

sen3x 3sen3x „ lim ------- = lim----------= 3(1) = 3J t—>0 A' J t—>0 3x

Desarrollo

sen5x lim ------- = lim

5sen5x5x

jt—>o sen 2x_ 5(1) _ 5

Ise n lx 2(1) 2 _2x

219 sen(nx) lim----- :-----jt—»o s e n (3 ^ jc )

Desarrollo

seimx

l¡mi£ * I Í > - = l im . " ¡ S "jc—>0 s c h {3 k x) x-*o ^^sen(37tx).)

3nx

7T(1)3tt(1)


220 lim (nsen —)n—>°° 11

Desarrollo

lim (nsen —) = lim = 1n— n x—>0 x

. . . .. 1 — eos X221 h m -------—

*“*0 x 2Desarrollo

1-COSJC ( 1 - cosa)(1 + cosjc) l - c o s 2 * h m ----- --— = h m ------------------------------ = lim -x-+0 x 2 •t->° X2(l + COSX) •t- >0 * 2(l + COS.V)

sen2x sen2x 1 , , 1 . 1= hm —-------------= lim .................... = l(— ) = —

(1 + cos a) x" 1 + eos x 1 + 1 2

___ senx - sena222 lim ----------------

x -*a x — aDesarrollo

, x + a „ , x - a . + ^ , x - a .2 cos(------ ).sen(------ ) cos(------ ).se/í(------ )sen x-sen a 2 2 >• 2 2lim ---------------= lim ------------ ------------ -— = h m --------------------- -—

*-»o X — a x->a x — a x -* a x — a

x - a se n (-------)

.. , x + a^ .. 2 a + alim cos(------ ). hm -------- -— = eos — — (1) = eos ax-*a 2 x~a jQ x a 2


223

224

cos.v-cosa lim ---------------x—*a x - a

Desarrollo

. ,* + <a , x - a . eos x - eos a = -2sen(------ ).sen(------ )

. , x + a. , x - a .—2 sen(------ ).sen(------ )co sx -co s a ? ?h m --------------- = lim ------------~......... ....... -—x -HI x — a x->a x — a

,x + a , x - a -sen (-~ -) .sen (—- ~ ) = Vim----------2------------ 2_

x—ya X — a

. x - a .sen(------ )x + a 2= - lim sen(------ ). lim -------- -—x-*a 2 x—la X — a

= -sen (—-— = -sena

l im M ÍÍ*-*-2 X + 2

Desarrollo

lim = lim ^ . s ea y = x + 2, cuando x -» -2, y —» 0x —>—2 X + 2 x+2—>0 X + 2

,im J í2 i L ,im 2 M = limS Í Z ± 3 )x —*-2 x + 2 x+2->0 x+ 2 y

tgny + tg2n tgn y + tg 2n

lim ‘ -“ W ' » 2» = l im B < Z ± y lim ■ f . 'W - '» * * - = | im ' M Iy—>0 y y--»0 y y~> 0 y >>-->0 y


= Um J S S 1 L = ,¡m £ £ £ ? £ ! .< _ L _ , = „ „ < „ = „y->0 yco sn y y->0 Jty eos 71 y

sen (x + h) - senxlim ------------------------a-* o h

Desarrollo

,2 x + h s ,x + h - x .sen (x + h ) - s e n x = 2cos(---------).sen(------------ )

2 2

y2 x + /r , x + h - x ., , 2cos(---------) .s e n ------------ )íí7 i(x + t t ) - s e n x 2 2

h m ................. ...............= lim ------------- -------------------------a-> o h /«—»o h

, 2^ * , ” 4 ' > + » , , . j” <!)= lim cos(------- - ) . — = lim co s(--------•). lim — -—/.—><) 2 « />->o 2 /í—*o /i

2x + 0= COS(---------)(1) = COS JT

2

senx - eos xl i m ------- ---------

1-fg*4

Desarrollo

senx - eos x s e n x - cosxlim ---------------= lim ----------------

K 1 — tsx K . senxx -* — 1 & *-»— 1 _______4 4 1 COSX

cos xisenx — eos a*) .. - cos x(senx-cos x)= lim ----------------------- = lim --------------------------

x-+l eos x - senx senx - cos x


227 a) lim xsen —jt-»0 x

Desarrollo

1 .. 1 .. senz um xsen — = lim — senz = lim — — jt-»0 x z

Pero -1 < sen z < 1, además — — < Sen~ < —, de dondez z z

lim = lim — = 0 , por lo tanio lim —— = 0z —>°° v z —>°° Z ~—°° Z

v 1 senz n lim xsen — = ln n ------= 0x—>0 x z

1b) lim xsenx

Desarrollo

Sea y = —, cuándo x —» <», y -> 0 x

lim xsen(—) = lim = ]a: y->o y

228 lim(l - x)tg —x - »i 2

Desarrollo

„ . Jtx . . . TTjr _ nxhm(l-A:)?g — = -lim (.x -l)fg — = - lim (jc — 1 ) t g —jc->1 2 jr—>1 2 jc-1-»0 2

Sea y = x - 1, cuando x —» 1, y —> 0


229

,■ , , n x ,■ , ,s K x ■■ lim(l -x ) tg — - = - lim (* - l) /g — .i—»i 2 -í i - ->o 2

-lim y tg ^ - (}>+l) =.v—»o 2

- lim

, n y K. y sen{— + —) 2 2

y->o ti y n . cosí—— — ) 2 2

limy—>0

n y k k tí .y (sen eos — + eos — sen -) 2 2 2

7ty n n \ neos — . eos----sen - .sen —2 2 2 2

V - limy-» 0

Tíy0 + eos — )

0 - íe n 7T.y= lim

ycos(^y)

v—»o ny sen{——) 2

cos-Tty

limv->0 s e n ( ~ ) K 2

2 7vy_2

2 _ cos(0) _ 1Tí

- ( 1) - 2 2

2TC

lim cig2x.ctg(— - x ) jt-»o 2

Desarrollo

X C,£ctg (— - -V) = -/gx => c/g (2 x) = — -------2 2cígx

7 47T . C t2 “X — 1= lim ctg2x.ctg{---- a) = lim ------------.(-rgA)

*-»o 2 j(->o 2rtgjc

= lim (cíg2* - l)/g: A' = — lim(l - tg 2x) = " ( 1- 0) = “2 j:->0 2 JT->0 2 2

1 - sen(—)230 lim --------- 2_

n - x


Desarrollo

l - s e n ( —) l- s e « (—) lim --------- — - lim --------- —x-> n K — X x -n -* 0 U — X

Sea y = x - n => x = y + 7t, además cuando x —> n, y —>0

l - s e n ( - ) l~sen(— 1 -s e n (—--— ) lim --------- — = lim --------- — - iimjT-«r n —x *-!r->0 tc — x y->o n — y

, y n y n y1-sen — .eos---- eos - .sen — 1-c o s —= - lim -------— ------- -------- =------ 2- = _ ijm -----2

y->0 y v->0 y

V V ?(1- c o s —)(1 +eos—) 1-co s7 9 = - lim ---------------------- — = - lim -

2. ,, „ mi - i - * - 3 *

3

v-»o . y . y->o)>(l + cos—) y(l + cos

y y sm sen = (------ X ------— ) = = -^ (0 ) = 0

» l+cosi 2 1 + 1 22

Desarrollo

l - 2 cos.x l - 2 cosj¡-lim ------------= lim -------------x-JL n - ' i x n - 3 x

3 3

Sea y - x ~ — => x = y + — . Cuando x — => y -> 03 3 3


l - 2 cosx l - 2 cosx * 2 cos(y+ ) lim — ---- - = lim ------------ = lim

JE n - 3 x n - 3 x ?->o _ „ , ?r,3 J

l - 2 cos(y + —) . l - 2(cosy.cos---- seny.sen—): lim - ...-............ •*- = — lim ----------------—----------------—y-*o 3 y 3 >-»o y

1 * 2(c°s J seny) 1-c o s y \Í3seny : — hm -— -------= — lim(----------- + - ------- )

3 y-*0 y 3 y-*0 y

' l;r.i- ' ~"V' r 3 >-»o y (l+cosy) y

1 lim[(f f 2 X- f2 2 _ ) + V5 ) ] » - i ( i ( 0 ) +73 )= - - L3 ;y-»o y l + cos;y y 3 V 3

. . . cos mx - COS «X232 hm --------- ---------

*->0 xDesarrollo

m + n „ m — ncos mx - cosnx = - 2 sen{-------)x.sen(------- )x2 2

j n + n.sen(-------)a sen(-------)acosm x-cosnx 1 2 lim --------- ----------- 2 hm --------- ------ .---------------jt->0 x j;->0 A' X

,m + n .sen(-------) , sen(------- )x. . . m + n i m + n 2= - 2 h m -------.----------— .-------.---------------a~>o 2 m + n 2 m ~ n x


2 2 , m - n . 1 , 2 2 \ -(— - — -) = - ( « -m ) 2 2

.. tgx-senx233 lim —— ------x->0 x 3

Desarrollo

senx - senxtgx-senx rosx .• >ve«.v(l - c o s a ) lim —— ------= lim - --■■■■ ------ = lim ------------------x —>0 x x—>0 x x—>0 x

¿ 'í7 z a ( 1 - c o s a ) ( 1 + c o s a ) .vmv(l - eos2 a )= lim ---------- ----------------------- = lim — ------------------

x (1 + eos x) *-*o x (l + eos x)

senx.sen x senx 3 l 3 1 1= lim —------ — — = lim (-------) (------------) = (1) (— ) = -

a ( I + cosa) *-»o x 1 *f eos x 1 + 1 2

234 limx->0

aresenx

Desarrollo

Sea z = aresen x => x = sen z ; cuando x —> 0, entonces z 0

.. aresenx z 1 1 . lim ----- — = lim ------= lim -jc—>0 z->o senz senz 1

235 lim arctg( 2x)í-»o sen(3x)

Desarrollo

lim arctg( 2x)arctgdx) arctglx

lim--t—>o senCix) v->0 sen(ix) ,. sen3x lim --------

_t-»0 x


Calculando lim Se”- X- = 3Jf->0 x

a r c te l x _ „ 1lim -----2— = 2 , donde z = arctg2x => x - —tgzx->o x 2

a rc tg lx z . . . z »hm -----2— = lim — - = 2 lim — »= 2Jt-*0 X z->0 tgz z-»0 tgZ

T

sen3.r ar c tg lxLuego, lim------- = 3; lim----------- = 2 . ..(2)jt-*o jc *->o x

arctg(2x)í/rc/j?(2jc)

Reemplazando (2) en (1) se tiene: lim----- ——— = limjí—>o sen(3x) -«->0 sert(3x)

x

236 lim l - * 2*->1 sen (n x )

Desarrollo

I - a -2 (1-jrXl + x)lim---------- = hm ----------------x —>i sen(7cx) sen (n x )

Sea z = x - 1 => x = z + 1 ; Cuando x —» 1 => z -> 0, luego:

\ - x 2 (I-JCXI+JC) (1-Z-1X1 + Z + 1)lim -.....— = lim --------- ------- = l im ---------------------------x-*i sen (n x ) x-i-*o sen (n x ) z->o se n n (z + 1)

= -lim-------z(2± -z)------z-»o sen n z eos n + se n n .c o s n z

z(2 + z) 2 + z 2 + 0 2= - lim ----------= lim — —-— - --------= —¿->o —se n n z ;-»o Tcsen(nz) tt(1) n

n z

U> | t

o


237 I im x - Senax)x + sen(3x)

Desarrollo

, sen(2x) , ^ sen(2x)x - s e n (2 x ) x ~ 2x 1 - 2 1hm --------- — - = hm -------- ^ — = hm --------- —— = ----- = —x->0 x + sen(3x) « o . , sen{3x) x->o, sen(3x) 1 + 3 41 H-----------1 + J-

3xn xcos(— )

238 lim -—— 2l — \[x

Desarrollo

cos(— ) (l + Vx)cos(— ) (1 + yfx)cos(— )0--------------------------------O "J hm -------t=-— lim ------- j= = hm — --------------- —*->! \ - \ ¡ X *-l->0 (l_V x)(l + yfx) *-l-*0 1-X

Sea z = x — 1 => x = z + l ; Cuando x —» 1, entonces z —» 0

cos(— ) (l + V*)cos(— ) (1 +>/z + l)C0S“ ( j + l)hm ------ lim --------------------------— = lim ------------ ------~ -.......—jr->1 1 - y j x JT—1—*0 1 — X z—>0 — z

, , , I “ T w 71Z 71Z 71 (l + Vz + l)(cos------sen - . s e n —)- - lim -

z-»02 2

xz

(1 + y¡Z +1 )(0 - sen — ) ___ -sen(— )■ - lim------------------------- — = - lim(! + Vz+T)(-------- -—)

z— >0

f K Z \sen{— ) ___ •: lim(l + y f l + l ) -------2 - . - = (1 + Vo+T)(l)(—) = 2(—) = jtz-»o tí 2 2 2

2


2 3 ,*-»o j:2

Desarrollo

1 - Veos A' ( 1 - Vcosx)(l +Vcosx) 1 -c o s x lim ------ ------= lim -------- --------,------ ------- = lim -*->o x2 ,t->n x 2(l + ^ s x ) x2(l +Vcosx)

(1- cosa)(1+eosx) 1 -eos" x lim —-------■== ------------- = lim-*->0 x 2 (1 + Veos a- )(1 + eos x) x 2 (1 + Veos i )(1 + eos x)

sen2x ,senx^ 1= lim —-------p = ---- --------- = lim(——-)

x2(l + Veosx)(l +cos a ) i'->° x (1 + Veos x)(l + eos x)

1 1= (!)(■

(1 + VT)(1 + 1) (2)(2) 4

. . . \[\ + senx —VI — senx 240 lim ---------------------------x—>0 .V

Desarrollo

■ Vi + serve - Vi - senx (Vi + senx — Vi - senx)( J 1 + senx + Vi - senx)lim -------------------------------------------------------------- = lim — --------- — -------- — j = r — y : - ;= — z = -----------------------------------

x x->o A(Vl + senx + sj\- senx)

1------------+ senx - (1- senx) 2 senx = lim ---- , ---- r-------- = lim -x —>0 (Vi + senx + Vi — senx) x(\¡\ + senx + Vi — senx)

= 2(l)(—,---- --~-i----- ) = 2¿ ) = 1V i+ o + v i—o ^

Para hallar los limites de la forma: lim t^(x)]v' <JI> = c ... (a)

se debe tener presente:


241

242

1 Si existen los limites finitos: lim<p(;c) = A; lim = B , entoix —>a x-*a

c = a b

2 Si lim (p(x) = A & 1 y lim y/(x) = ±°° , en este caso él limite de (ax—>a x —>a

halla directamente.

3 Sí lim (p(x) = 1 ; lim y/(x) = °° , se supone que <p(x) = 1 + ot(x), dex —>a x —>a

a(x) —> 0 , cuando x —> a y por consiguiente:

irrírUnir'í lima(x).w(jc) lim[<p(x)~l]y/(x)

C - lim[(l) + a(jc) c**] 9 = e™ = e*->°x-*a

Siendo e = 2.718... él número de NEPER.

2 + x . j flim(------ )x->o 3 - x

Desarrollo

, . 2 + x 2cp(x) = — => lim <p{x) = — * 1 3 - x *->o 3

,2 + X . x ,2 + X .U m x 2SQLuego lim(------ ) = hm(------ )‘~*° = (—) =1

x->o 3 - x *->o 3 - x 3

u m ( 4 — r +]x —lDesarrollo

lim(4 _L)«-> = lim(-----— -----)*+1 = lim(— )x+lx->\ x 2 - \ x ^ l (JC-1)(JC + 1) x-»l JC + 1


1 —243 l¡m (-y)*+l

Desarrollo

2 x 2x | J lira—— -lim (—r-)-r+l = ( lim — )'—x+l = (0 ) ' = 0

x x “

244 lim('í - senx

. ,jc - 2 j c + 3 v—Jt-*® x -3 * + 2

Desarrollo

9 _ _ senx o _ _ se/u: _ _ _ _x2 - 2 x + 3 — x2 - 2 x + 3 '™— , 0 - 0 + 3 , 3lim(—-----------) * = (lim —-----------)"° * = ( = -

*->o x2 - 3 x +2 í -*ox2 - 3 x + 2 0 - 0 + 2 2

•y2 + 2 )-2 2x2 +1

245 lim — )x

Desarrollo

, X 2 +2 ^ 2 /-* + 2 lim/ 1 _ lim(— -— )x = ( lim = ( - ) = 0*-** 2x +1 2x +1 2

246 lim (1 -1 )"«—><>«» A?

Desarrollo

lim (1- 1 )" = lim(l + - ! ) n =[(1 + — )-n](- 1) = e - ’ = 1n —>°° /? n— Yl t i C

247 lim (1 + —)*A

Desarrollo

2 2 - lim(l + —)* = lim[(l + —)2]2 =é’2*->«» A' JC


248 lim(— )**-»“ X + l

Desarrollo

. JT+l - X -JtX —1 --- (--- ) lim--- ,lun (------) = lim[(lH------- )-* ] *+l = e ~ x+l = e =*->“ x + l *-*<» x + l

* ~ K , +2249 lim (------ )x + 3

Desarrollo

rJf- lvjr+2 _ x+2 ......... ~4JT-4-3

lim(------)x+~ = lim(l + ------ )x+¿ = limf(l + —— ) ~4*-*“ x + 3 *-*«■ x + 3 Jt->~ x+ 3

.. -4(x+2)lim-------- ._ ~ jc+3 - e~*

Desarrollo

lim (1 + - ) " = [ lim (1 + - ) * f = exn— n n—»<■= n

251 limíl + jenx)*x->0

Desarrollo

1 senx senxhm-lim(l + senx)* = Iimj(l + senx)senx ] * =e'~° x = e

x—>o

252 a) lim (eos x)*x —>0

Desarrollo

- 4 ( a ~+2 )

I j r + 3

126 Eduardo Espinoza Ran

Como lim \í í ( x ) = 1, donde vj/(x) = eos x, entonces.t—>o

\j/(x) = 1 + a(x), donde a(x) —> 0 , cuando x —> 0 es decir:

y(x) = 1 + (eos x - 1)

1 cosx-I

limaos*)-* = lim[l + (cos.r-l)] •* = lim[[l + (c o s x -1)] cos* '] *x-+Q x —>0 a —►()

COSA—I l~ C O S Xlim------ -lim - -limsenx senx

= e - ( lx 5 ) „o

b) lim(cos.t)A"x-*0

Desarrollo

Análogo al caso anterior se tiene:

1 CO S.Y -1

lim(cosx)-r = lim[l + (cosA —l)]x = lim([l + ( c o s x - l) ] cosr-1) *x —>0 x —>0 x —>0

.. cos.r-1 lim- -lim-_ e >-o X* _ e «-** (1+cos x) _ e 2 _

Te

253 lim [ln(2x +1) — ln(x + 2)]

Desarrollo

lim[ln(2 jt + l) - ln (x + 2)]= lim ln(x + 2

.. 2x + l , ,2 + 0 . _ = ln( lim -— —) = ln(------ ) = ln 2

1 + 0


254 lim 'OS»1* 10*)x->0 X

Desarrollo

lim *°g(1 + 10-v) _ |jm j0g j + iojc)-* = [log lim(l + lO*)* ]>0 X X~>0 x—*0

255 lim - lnx —*0 X VI — JC

1= Iog[lim((l -t- 10jc)10jr ]10 = loge10 = 101og<?

x—>0

Desarrollo

1 l¡ + x 1 ,1 + jc,^ .. 1 , ,1 + j: .- 1 . 1 + jc - lim —l n ------= lim —ln(-------)2 = lim —ln(------)* = —ln[lim(------)*x->0 x \ 1 - x x-+0 x 1 - x JC—>o 2 1 — JC 2 x—>o 1 — JC

i I1 , r r , 0 + , 1 1 , rT. ,(1 + * ) ' , 1 , r lÍ'S a + J = —ln[lim(-------- -)] = —ln[lim(-------= - l n -----------2 jt->o I 2 x~*o i 2

(1—*)* (1-.*)* lim (l-.*x~>0

= —ln(-^-) = —lne = lne = le~2 v 1: 2

256 lim jc[ln(jc + 1) — ln jc]

Desarrollo

X~\~ 1lim 41nQt+1) - ln jc] = lim xln(----- )X—*°° X— X

= lim ln(l + — Y = ln( lim (1 + — )x) = ln e = 1r->°o x *-»«*> x


257 l t a í * £ ? í >*->0 X

Desarrollo

lim n<c° s = Hm ln(cos jc)*2 = [lnOimícosx)*' )]x —>0 x x —>0 x —>0

y de acuerdo al ejercicio 152 b se tiene

lim nfc° S A - lntlimCcosx)*2 ] = lne 2 = --^-lne =x—>0 x jt—>0 2 2

ex -1258 lim -------

*->o xDesarrollo

Sea y = ex - 1 =* ex = y + 1 => x = ln (l+ y ).

cuando x —> 0 entonces y —» 0

ex - l y 1 1 1 1 ,hm — = lim ---------- = hm —------------ = hm ------------ — = ---- = - = 1*-*o x y-*oln(l+v) y—>o 1 . . . . . v-+o I lne 1

- ln(1 + ^ ln(l+ y)y

259 lim ----- -*-»o x

Desarrollo

x , ln(a + l) „ _Sea a - a - 1 => x = -—-— —. Cuando x —> 0, entonces a —> 0lna

ax - 1 a lna lna lna ,hm — — = lim ——------ = hm —------------ = h m ------------ — - -—- = ln a-V—>0 jc a-»oln(l + or) a-»o 1 . . a-»o _L Ine

' !„ a — ln ( l+ a ) in( i+ a ) «


260 lim « (í¡ /a -l) , k > 0n —

Desarrollo

Sea y = — n = — . Cuando n —> entonces y -» 0n y

1 *" CL 1lim n(yfa - 1) = lim — (ay -1 ) = lim ------- de acuerdo al ejercicio 259

n—>°° y—>0 y v—>0 y

I— £7^—1 lim n(\Ja - 1) = lim ------- = lna/i— y—>0 y

e“x - ebx261 lim-

X->0 *Desarrollo

J ) X

lim-x —>0

(e — 1) —(e - 1) eM -1 = lim ----------------------- = lim-------x —*i) -t-*0 X

- limx -»0

e6jr -1

= limj:->0

(ear - 1 (eb)-

y de acuerdo al ejercicio 259 se tiene:

e T - e f " (ea)x - 1 ( « V - l lim -----------= lim --------------lim -----------jt-*0 A jr—>o x *->o x

= lne° - l n e b = a ¡ n e - b ln e = a - b

262 limx->o íe/tv

Desarrollo


ex1 - e~x ex - \ e*hm -------- = hm --------- = hm — -------

jt->o senx *->o exsenx e* senx

1 — £de acuerdo al ejercicio 258 se tiene: hm -------- = hm

j£-»o senx *->o

. . . . senhx263 a) hm --<->() X

Desarrollo

C — é?Se conoce que senhx ----------

senhx 1 ex - e x I elx -1hm ------- = — hm ----------- = — hm ---------jt->o x 2 *—>0 x 2 a—>o xex

de acuerdo al ejercicio 259 se tiene:

senhx 1 (e~ )x - 1 1 1 2 1 1lim ------- = — hm -—------ (— ) =•—lne (— ) = —.v—*o x 2 x-*o x ex 2 e 2

coshA- 1 b) hm -----------x->0 x "

Desarrollo

Se conoce que cosh x = e- -+ e ■

— £-------= --------- = ]ex senx e°(i)

X

(2 ln é?) = 1


264

265

1 ,. ex +e~x - 2 1 ,. el x - 2 e x +l 1 ,. (ex - l ) 2= — lim------- -------= — lim -----------------= — lim — r------2 »o x 2 x->o X~ex 2 *->o x ex

a , im(£ i i i )2. ±2 x—*o x ex

1 , 1 1de acuerdo al ejercicio 258 se tiene: = —(1)“ —2 e 2

HALLAR LOS SIGUIENTES LIMITES LATERALES.

a) lim X

Desarrollo

lim —t = ¿ = = lim —¡ r = lim , - = - ix-*— yJx2 + 1 x^ - ~ J x 2 +l x^~° (1 + J _

b) lim■y/.x2 +1

Desarrollo

1 1lim . x - = lim 'x..— = lim . ^ = 1

x-*+"yJx2 + 1 Vx2 + 1 1 + J _ Vl + O

a) lim tghx

Desarrollo

tghx =Jt e2A - l

e *+<r* e2r + l


266

267

b)

lim tghx = limX — »— oo X ~ ) ~ o ° £

lim tglix

eZx- [ 0 -1= -1

+ 1 0 + 1

Desarrollo

lim tghx= lime2x- l

*-*+~ e2x +\

1-= lim *2* _ í - ° =1

1 + 1 + 02x

a)

b)

lim

\ + ex

lim1

limX—

2l + ex

1

\ + e x

lim -X —» + ~

1

a) lim

\ + ex

ln(l + e't)

Desarrollo

1 + e 1 + 1 1 + 0

i ]+ e+

Desarrollo

Desarrollo

lim *EÍLt£_2 _ ¡jm in(l + e^)x =ln[ lim (1 + e'1)AJ

1 ex !im —= ln( lim [(1 + e*)e ] •*) = ln(e'“ ' J - l n e = lnl = 0


,, .. ln(l+«x) b) lim -----------

Desarrollo

Análogo al ejercicio (a) es decir:

,n,U i> í, ln<rJI(l + -i-) lne*+ln(l + -!~) ln(l+e ) ex e* lim ----------- = lim ------------^— = lim ---------------- -—

x *-»+—

;dne + ln (l+ — ) iX J —

= lim -------------------— = lim lne + ln(ln-----)■*X — *+~ x gX

v .• I I268 a) lim*—>o x

Desarrollo

i t a l i í ü í l . l t a - Ü E . - ix >0' x x-><r x

|í« u r | b) lim ---------Jc—>0* X

Desarrollo

\s e n x \ senx , lim --------1 = lim ------= 1x-»0* X Jt—»o* x

269 a) lim - í —í- Jt— | jc — 11

Desarrollo

lim ——í- = lim — —— = lim -1 = -1 *->r|jc—1 | jt-*r — ( x —1) Jt-»r


b) Km*->r | x - l |Desarrollo

lim —— = lim ——- = lim 1 = 1*->r jc-1 *-> fjc-l x->r

270 a) iimX — 2

b) limx-tz~ x - 2

a) limx-+2~ X - 2

b) limJC—>2' X - 2

Desarrollo

CONSTRUIR LA GRAFICA DE LAS FUNCIONES

271 v = lim (eos2" x)

Desarrollo

y = lim (eos2” x) = lim (eos2 x)"n —> oo

Sí x re, k = 0,±1 ,±2..... eos2 x < 1 entonces >’ = lim (eos2 .t)" = 0 => y = (1

Sí x = kn , eos2 x = 1 entonces y = lim (eos2 -r)" =1 => y = 1n—>oo


272

Desarrollo

X XSí 0 < x < 1 => lim jc„ = 0 Luego: y = lim ------- = ——

n—»*» 1 -f. x*1 1 + 0y = x

Cuando x = 1 => y = lim —— => y = — «->-1 + 1 2

Cuando x > 1 => y = lim —:— = limr/l-l

"“♦“ I+jc" 1 | | 0 + 1y = o

Resumiendo y = •

x si 0 < jc < 1

1 ,— SI X = 120 si x > 1

273 y = lim \lx2 + a 2a-+0

Desarrollo

y = lim \lx2 + a 2 = \¡x2 + 0 =| jc| => y = |re—>0

Eduardo Espinazo Ramos

274

2'

lim arctg (nx)/I—>°°

Desarrollo

Sí x < 0 => lim arctg (nx) = arctg( - 00) = -

Sí x = 0 => lim arctg(nx) = 0 =i> y = 0n—*°©

Sí x > 0 => lim arctg(nx) = arctg(°°) = —n—>00 2

K

27 y = lim yjl + x" , (x > 0)

Desarrollo

Sí 0 < x < l => 0 < .v" < 1 => 1 < 1 + jc" < 2

lim 1 < lim yjl + x" < lim 2”n—> 00 n — n—»«»

y = lim yjl + x" = 1 => y = 1

7T7

Y

?r"2

Sí x > 1 => y = Yim yjl+x" = x => y = x 0

fl si 0 <A-<1 Resumiendo: y =

si * > 1

Convertir en ordinaria la siguiente función periódica mixta: a = 0.13555...

Desarrollo

tx


277 ¿Qué ocurrirá con las raíces de la ecuación cuadrada ax2 + bx + c = 0 . : coeficiente “a” tiende a cero y los coeficientes “b” y “c” son constantes, sic b * 0?

Desarrollo

2 . - b ± \¡b2 -4ac.ax + bx + c = 0 => x — -2a

_ -b + \/b~ - 4 ac .. -b + yjb' - 4 ac Para a-, = ------------------- => lim a, = lim -------------------2a «“>0 a-*o 2a

(—b + 'Jb2 -4ac)(b + \[b2 —4ac) b2 - 4 a c - b 2lim a , = lim ------------------- ------------------- — = lim - ........................

“-*0 2a(b + yjb2 -4 a c ) a^ ° 2a(b + - 4 a c )

—2 ac c= lima-*°a(b. + \lb2 -4 a c ) h

Luego cuando a -> 0, a , —»b

-b - \ lb ~ - 4 ac -b-yjb~ -4 a c Para x-, --------------------- => lim x = lim -------------------

2a o-»o * o->o 2a

(b + J b 2 - 4 ac)(b-\¡b2- 4 ac) 4acl i m A , = - l i m -------------------------- ■■■ ........... .................. = lu l l -fl_*0 - a_>o 2a(b-yjb2 -4ac) a~M}2a(b+y]b2-4ac) 0

Luego cuando a - » 0, a 2 — » — OO

278 Hallar él limite del ángulo interno de un polígono regular de n lados sí n —> °°

Desarrollo


279

La suma de los ángulos internos de un polígono regular de n lados es:

S¡ - K(_n - 2)

SComo nos piden él limite de un ángulo interno cuando n - > » es decir: i = —

n

. / r ( / í - 2) Tt(n-2)Osea: i = ---------- => lim i = lim ---------- = nf t >°o //—» ° ° / j

Hallar él limite de los perímetros de los polinomios regulares de n lados inscritos en una circunferencia de radio R y de los circunscritos a su alrededor, sí n —» oo.

Desarrollo

TíPara el caso de los polinomios inscritos se tiene: 2Rnsen —

11

Luego lim 2Rnsen— para calcular este limite haremos nn

Luego cuando n —» oo, x —¥ 0 tenemos:

Entonces: lim 2Rnsen — = lim — senitx = 2Rn hm seuKx. - 2Rn11-+°° n «—»«> x x —>°° t c x

Para el caso de los polinomios circunscritos se tiene: IRntg —n

Luego hm 2Rn tg — haciendo n = — . n —>■», x —>0 n-^~ n x

hm 2Rn tg — = 2R lim — tgnx = 2Rk hm - - - -- = 2Rn n->°° li Jt—>o n x


280 Hallar él limite de la suma de las longitudes de las ordenadas de la c

y = e_*cos nx trazadas en los puntos x = 0 ,1,2 ,....n, s i n —»°°

Desarrollo

Para x = 0,1,2,..,,n los valores de y = e"x cosnx son:

1_ _1____ 1 _1____1_’ « V e3 ' + e4 ’ e ? " “

Sea = 1 - 1 + 1 — L + - L - l + ... + (- 1)"_L + ... e e~ e e e e

es la suma de una progresión geométrica.

Además Sn = — ——- donde “a” es el primer tennino y r es la razón.1- r

r a ( l - r " ) 1Luego: Sn = ----------- donde r = -

1- r e

S„ ----------------— r" reemplazando se tiene: 5 ' = —í—— — —

1" r l ~ r 1 + 1 1 + 1 ee e

S„ - lim S„ = —1— - 0 = —— lim 5„ = e

281 Hallar él limite de las áreas de los cuadrados construidos sobre las ordena de la curva y - 2l~x como bases, donde x = 1,2,3,...,n, con la condición que n —> °°.

Desarrollo


El área de cada uno de los cuadrados son:

1 2 — 3 — 4 — 5 — 22 ’ 22 ’ 23 ’ 24 2" +1

o , 2 3 4 nS =1 + —+ — + -T -+ , ,. . ,— ----2 2 2 2 - 1

- / I 2 3 4S = 2(---b ——H— —“ +...--- ) — 2/í(—)2 2 2 2 2" 2

J.

lim 5„ = lim 2.«(-)" = 2(— ^ — ) = 4n —>oo / I—>oo 2 ^ A . 2

~ 2

282 Hallar él limite, cuando n -> °°, del perímetro de la línea quebrada j M 0, M „ inscrita en la espiral logarítmica r = e~(p si los vértices de esta ;

TCquebrada tienen, respectivamente, los ángulos polares. (p0 = 0 , , '■

nn 9" - 2

Desarrollo

Teniendo en cuenta la magnitud del ejercicio daremos algunas reflexiones j iniciales:


a) En la espiral r = e 9 , r es un radio vector, V valor de <p.

b) La quebrada inscrita en la espiral significa que a cada vértic corresponde un vector.

c) Cada segmento de al quebrada esta obviamente entre 2 vén consecutivos.

d) Cada segmento es el lado de un triángulo cuyos otros dos lados son radios vectores correspondientes a estos vértices consecutivos. Entoi

se aplica la formula: c 2 = a 2 + b 2 - lab eos 6

e) A cada vértice M k le corresponde un radio vector

f) El k-ésimo segmento de la quebrada S k esta comprendida entre

radios vectores rt _, y rk , los cuales forman el k-ésimo: (<pk - <pk_t )

g) Calcularemos el k-ésimo segmento S k :

rk =e Vt donde ipk . .(1)

... (2)

Simplificando los exponentes y efectuando operaciones

\e-k* ¿ ' + e - kK-2e-**e* e o s -K

2

... (3)


h) Calculo del perímetro de al quebrada finita: M 0, M „

n n

ekK¿=i *=i

e* +1(4)

P „ = ^ S k = ^ I ( ± + - ¿ . + 4 r + ... + -4 r+ .. .) - ( 5 )3>r wr*=1 ^2 e 2

_ Je* +1 „ 1 1 1 />„ = --------- .(1 + — + + ... + -----+ ...)w 7T 7T 27T H7T

e 2 e 2 e 2

Pero la suma de una progresión geométrica. Sn r *1 —r

7T/1

2 ar e2 e 2 —1 e 2 —1

i) calculo del perímetro llevando él limite para n —> °°

d r d i- ^ e>C + 1 / i ? •, V e” + 1 , nP =lxm P , = lim ----------(1 -e 2 ) = ---------- (1 -0)2 £ e 2 —1 e 2 —1

p = y ^ + 'K_

e 2 - 1


1.4. INFINITÉSIMOS EINFINITOS.-

u) INFINITÉSIMOS.- Si lima(jc) = 0 es decir: Si | <x(x) | < e cuarx-*a

0 < |x - a| < 5(e), la función a(x) se llama infinitésiicuando x —> a, en forma similar se determina la función infinitésima a( cuando x —» OO

OBSERVACION.- La suma y el producto de un número limitado infinitésimo, cuando x -» a, es también un infinitésin

cuando x —» a.

ct(jc)Si a(x) y p(x) son infinitésimos, cuando x —> a y lim ------ = c donde c es/í ( x )

número distinto a cero las funciones a(x) y (3(x) reciben el nombre infinitésimos de un mismo orden, si c = 0 , se dice que la función a(x) es i infinitésima de orden superior respecto a f$(x). La función a(x) se denom

Ct(jt)infinitésima de orden n respecto a la función B(x), sí: lim ----------= c , dor[p (x ) ]n

cc(x)0 < | c | < +°°; Si lim ------ = 1 las funciones a(x) y |J(x) se lian

x -* a fí{x)

equivalentes cuando x -» a: a(x) ~ (3(x).

Él limite de la razón de dos infinitésimos no se altera, si los términos de misma se sustituyen por otros, cuyos valores respectivos sean equivalentes,

acuerdo con este teorema, al hallar él limite de la fracción: hm , dorx->a P(x)

a(x) —> 0 y P(x) —> 0 cuando x —> a, el numerador y denominador de fracción pueden restársele (o sumársele) infinitésimos de orden super elegidos de tal forma, que las cantidades resultantes sean equivalentes a anteriores.


b) INFINITOS.- Si para un número cualquiera N, tan grande como se dese^, existe tal 8(N) se verifica la desigualdad | f(x) | > N.

La función f(x) recibe el nombre de infinito, cuando x —» a, análogamente f(x se determina como infinito cuando x —>

senx . i288 Demostrar que la función / (x) = ------ en infinitamente pequeña, cuand'

x

x -» oo. ¿Para qué valores de x se cumple la desigualdad | f(x) | < e?

Si e es un número arbitrario? Hacer los cálculos para

a) e = 0.1 b) e = 0.01 c) e = 0.001

Desarrollo

Por definición se tiene: Si lim a(:t) = 0 o lim a(x) = 0 a(x) se liax —>a .v—>oo

infinitésimo.

senxEs decir que debemos demostrar que lim — — = 0 , pero se conoce que:

*->«*> x

-1 < sen x < 1 => — < < — y además sabemos que:X X X

1 .. senx ^ 1 sen x^ n A A lim — < lim ------< lim — => 0 < lim -------< 0 de donde:X-*oo X X-*oo x x->°° x x-*™ x

senx senx lim ------= 0 => f ( x ) = ------- es infinitamente pequeña. Veremos los valox-*°° x x

i . i /--x senx , senx 0 , i , de x para que | f(x) | < e como f ( x ) = --------=> | -------- 1< | —| < e de don


a) para e = 0.1 => | x | > 10

b) para e = 0.01 =* | x ¡ > 100

c) para e = 0.001 => | x | > 1000

289 Demostrar que la función f ( x ) = 1 - j t 2 , es infinitamente pequeña cuai x —> 1, ¿Para qué valores de x se cumple la desigualdad | f(x) | < e.

Si e es un número positivo arbitrario?. Hacer los cálculos numéricos para:

a) e = 0.1 b) e = 0.01 c) e = 0.001

Desarrollo

Para que f(x) sea infinitamente pequeña cuando x —» 1 se debe de demosl

que: es decir lim f ( x ) = lim(l - jt2) = 0 => f(x) es infinitamente pequeJC—»1 X ->1

determinaremos los valores de x para que se cumpla |f(x)| < e

I /(■*) I = | 1- x 2 | = | 1 - x ||1 + x | < £

£ £|x—11 |x+l| < e pero | jc — 11 < ------— de donde | x - 11 < —, puesto que x

a) para e = 0.1 => | x — 1 | < 0.05

b) para e = 0.01 => | x — 1 | < 0.005

2*>0 Demostrar que la función / ( * ) = - - — es infinitamente grande cuando x —>x - 2

¿En qué entorno |x - 2| < 5 se verifica la desigualdad |f(x)| > N.

Si N es un número positivo arbitran >?

Hallar 5, sí a) N = 10 b) N = 1 0 0 c) N=100»


Desarrollo

Se procede en forma similar a los casos anteriores.

Luego: | / ( * ) | > N => | —! —| > W => | * - 2 | < — = 8x - 2 N

a) Sí N = 10 =*> 8 = — = 0.110

b) Sí N = 100 => 5 = — = 0.01100

c) Sí N = 1000 =* 8 = —-— = 0.0011000

291 Determinar el orden infinitesimal:

a) De la superficie de una esfera.

b) Del volumen de la misma, si su radio r es un infinitésimo de la Ira ord( ¿Cuál es el orden infinitesimal del radio y del volumen, respecto al áre esta esfera?

Desarrollo

:

Se conoce que: si y es infinitesimal de orden “n” se escribe y = knx" + <¡>(xíy

de donde — = kn . Luego “n” es el orden infinitesimal.

a) Superficie de la esfera y = 4nr , x = r

_2 _24 nr— 4n => — = 1 =s> r2 — rn

Luego n = 2, la superficie es de segundo orden respecto al radio.


b) Volumen de la esfera:4n r 4 r 3------ = —tc — = 1 => r =t3rn 3 r"

de donde n = 3, el volumen de la esfera es de tercer orden respe radio. Además tenemos que:

(4/rr-)2— = ((4?r)'T l -? = = = # t e ) ,T

íy(4 n r 2)n

iir" _i - 7

----- - = (4n) => rn - r => n - —4 n r ‘ 2

4n 3 4— r - n 3 _ 3

(4 n r 2)n (4*)"

y /r ."[^ñ «1^7r \ 3 _ _ _■ y 3

y[(4ñr2)n y](4jl)n

r" = r2 de donde n = --o

292 Sea a el ángulo central de un sector circular ABO cuyo radio R tiende a Determinar el orden infinitesimal:

a) De la cuerda AB b) De la flecha del arco

c) Del área del AABD, respecto al infinitésimo a.

O


Desarrollo

aa) En la figura se observa que AB = 2AC además AC = Rsen —

id a a2Rsen— sen — j a---------2- = — => 2. = _ cuando a -> 0 = > ---------->0 de donde

a n 2 a " 2 2

a a a ■ T i „ ,sen — = — => a - a => n = l2 2 a n 2

i Cfb) En la figura se observa que: CD = R( 1 - jl - sen" — ) de donde

R ( \ - A \ - s e n 2 —) —— —9 1 4 /y"— = R(— + , ....C- — -)

a" a " L ■» a1 -se n —

1- . , 2 « 1 1 . 2 ct1-sen — , —— — 1- s e / r — , .

2 1 4 g" _______ 2 . _ i _ J _a" a" 2 a a " 4 a ”,11 - je n —

V 2

sen2-2 1 n 01 n A A A a -------— = — pero sen a —> 0 => sen-----»0 de donde sen(—) ~ — .

a n 4 V 2 2 2

2 « , a 2sen T (T a 2 1

Por lo tanto: -------— = — - ■ = ----- = — => n = 2a" a ” 4 a ” 4

c) Área del AABC = AB.CD = 2 R2 sen —2


(1 - J l - s e n 2 Entonces:

2R2sen — ( \~ ._____ 2 Vi 2 « , 1 - s e n —)

2 2 R ¿a

8(1 +

a . , , -> a . sen — (1-1 + sen —) .2 2 _ 1

a 8

3 a se n — .____ 2 _ i

a" 8

3 ase n — 3 ,2 « 1 3 n-------— = -----= - => a - a =» n = 3

a" 8a" 8

293 Determinar el orden infinitesimal respecto a x„ cuando x ~»0, de las funcic siguientes:

b) J x + yfx

e) tg x. sen x

Desarrollo

C) yfx* - yfx'

2x

a) Sea /(jc) = —— de donde se tiene que: = — ------ = 21 + JC jc" (l + jc)jcn

2xcuando x —> 0 => x + l —> 1 entonces — = 2 => x" = x => n -

xn


b) Sea f ( x ) = \¡x + yfx de donde se tiene que:

^y](x+síx? _ tjx(x + l + 2yfx) _

X X

yfx ~ 1entonces — - = 1 => x" = x 4 => n = —

x" • 4

c) f ( x ) = \ / ? - V ? de donde se tiene que:

5 3cuando x - » 0 , 1 — jc6 —> 1 entonces — = 1 => n -

xn 3

d) f(x) = 1 - eos x de donde se tiene: -— ^ S6n * = 1xn xn

, í, 2 1 2 l - l + sew2* , además v i - s e n x ~ l-sen~x => --------------- = l

cuando x —» 0 se tiene sen2x —* x 2 => — = l => n = 2

e) f(x) = tg x - sen x de donde se tiene:

tgx-senx _ senx 1 - -J\ - sen2x _ x" eos* xn

cuando x —> 0 => Vi - sen2x ~ 1 - sen'x

tg x ( \ - \ + sen x) _ tgx(sen a) _ sen x _ x" xn xn eos x


x3cuando x —»0, sen x —» x, cos x —» 1 => — = 1 n = 3

294 Demostrar que la longitud de un arco infinitesimal de una circunferenc radio constante, es equivalente a la longitud de la cuerda que tensa.

Desarrollo

Se debe de considerar a(x) = lrngitud del arco infinitesimal y ¡i(x) = Ion

de la cuerda tensa; para que a(x) y P(x) sean equivalentes se debe proba

a(x) ,h m ------ = 1 y esto es inmediato.

fi(x)

295 Son equivalentes un segmento infinitésimo y la semi circunfei infinitésima construida sobre el como diámetro?

Desarrollo

,. OC(x) ' Tt d K 71Se conoce que hm ------ = 1 entonces lim ----- = hm — = —x—>£i y3(x) i/->o 2d d—*o 2 2

Como * 1 no son equivalente.

. . . sen3x.sen5x296 hm —x-to ( x - .r3)2

Desarrollo

sen3x.sen5x senx.sen5x 3sen3x -5sen5x _ , hm --------- — = lim------ ;------ = lim---------- .--------- = 3(1) .5(1) = 15* -> 0 ( x - x 3)2 *->o X 2 ) * -> 0 3x 5x

arcsen(—j—— -)297 lim---------- V i- * 2

x-*o ln(l - x)


Desarrollo

- J L - ) _ LV i- * 2 _

arcsen(-' -x2 .. x 12

lim —— — ——- — = lim — ——- = lim ----- ? ..... - = lim — • = -.1x—>0 lll(l - x ) x - iO - x x~>0 _ XAy i _ x 2 x - * 0 _ yJ ^ _ x 2

298 lirrí Como ln x = x y 1 - x = - x *->i 1 - *

Desarrollo

In.r x lim----- = hm — = -1JC—>1 l — X jt—>1 —A'

299 l im£2H r E ^ Íx->0 1 — COS X

Desarrollo

eos x — cos 2x eos x -e o s 2 x+ serrxhm ----------------- = lim ----------------------------*-*0 1 — COS X x-iO 1 — cos x

cosa( 1 - cosx) + (1 - cosx)('1 + cosa)= lim----------------------------------------------

*->o l - eos X

= lim (cos a + 1 + cos.v) = 3x-*0

300 Demostrar que cuando x —> 0, las magnitudes ~ y •Jl + x - l son equivalentes

entre sí, empleando este resultado, mostrar que, cuando | x | es pequeño, se

verifica la igualdad aproximada >/l + x ~ \ + ~ (1). Aplicando la formula (1)

hallar aproximadamente:

a) VT06 b) V097 c) >/í0 d) VÍ20

Desarrollo


Para que a(x) = y ¡3(x) = V 1 + x - l sean equivalentes se debe de prc

x.. a(x) , , . 2 1 i- xque: l im—— = l e s decir: lim ———— = —.lim*-»o /}(x) x—>o Vl + x - 1 2 *->o-VÍ + x _ 1

Luego a(x) y fi(x) son equivalente es decir: a(x) - fS(x) de donde:

— = yjl + x - 1 y — +1 = y/l + x es decir V í+ x = 1 + —2 2 2

a) v O ó = Vi + 0.6 »1 + — = 1 + 0.03 => Vl 06=VT+01$=1.032

b) V 0 9 7 = >/l-0 .0 3 = 1 + ^ => VoÍ97 = 1.02962

c) VlO = V I+9 = ^9(1 + 1 ) = 3 f 1 =3(1 + 0.556) = 3.167

301 Demostrar que, cuando x -> 0, se verifican las igualdades aproxima siguiente, con precisión hasta los términos de orden x 2 .

1a) ------= 1 — x b) Va + x ~ a + — , ( a > 0)1 + x 2a

c) (1 + x)" = 1 + nx (n, es un # natural)

d) log (1 + x) = Mx, donde M = log e = 0.4342944 partiendo de e¡ fórmulas calcular aproximadamente.

1 1 1 I—1) — — 2 ) — 3 ) ------ 4 ) V i;

1-0 .2 0.97 105

5) 1.043 6) 0.93 7) log(l.l)


302 .

303

Desarrollo1

1 _j_ \r

Para demostrar que — - ~ \ - x se debe probar que: lim —:— = 01 + x *->o 1 - x

1

i ± i = l i m — ,*->0 1 - x *->0 1 - x L

Luego: lim - ---- = lim ——- = 1

En forma similar con los demás ejercicios.

Demostrar que,- cuando x—><*>, la función racional entera

p(x) = a0x n + a \xn~x + a2x n~2 +... + an ( a 0 * 0 ) es una magnitud

infinitésimo, equivalente al término superior a0x n .

Desarrollo

Para que sea equivalente se debe probar que: lim = 1, es decir:*-*“ a0x n

anx" + a, x"~l +ajxn~2 + ... + a„ lim —--------5----------4-------------- — =

“o-1

= lim(l + - ^ - + — + ... + -^ ÍL- ) = 1 + 0 + 0 + ... + 0 = 1 *-»« %x a0x ¿ %xn

Luego P(x) y a0x" son equivalentes.

Supongamos que x —* °o tomando a x como magnitud infinito de 1er orden determinar el orden de crecimiento de las funciones:

5a) jc2 -lOOjt-lOOO b) c) y¡x + yfx

x + 2

d) y j x - 2 x 2

Desarrollo


De acuerdo al ejercicio 293 se tiene que:

a) el orden de crecimiento2 . b) el orden de crecimiento¿

c) el orden de crecimiento — d) el orden de crecimiento2

1.5. CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES.-

lera. DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD.- La función f(x) es continix — X q ( o en el punto x0 ) s í :

1 Dicha función está determinada en el punto x0 es decir que existe /

2 Existe y es finito él limite lim / (* )

3 Este limite es igual al valor de la función en el punto x0 , es

lim f ( x ) ~ f ( x 0) . . . (1) haciendo la sustitución x = x 0 + Ax0 d,x-*x0

Ax0 -> 0 , se puede escribir la condición (1) de la siguiente forma:

lim A f(x)= lim [ / U 0 + A*0) - / ( * 0)] = 0A0—>0 Axq—>0

Si la función es continua en cada uno de los puntos de un campo determii se dice que es continua en este campo.

•«2do. PUNTOS DE DISCONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN.-

Si dice que una función f(x) es discontinua en punto x0 , que pertenei

campo de existencia de la función f(x) tiene finitos:


Pero los tres puntos / ( * 0) , f ( x 0 - 0) y f ( x 0 + 0 ) son iguales entre sí,

entonces x 0 recibe el nombre de discontinuidad de Ira. Especie. En particular,

si f ( x 0 - 0) = f ( x 0 + 0) , x0 se llama punto discontinuidad evitable para que

la función f(x) sea continua en el punto x0 , es necesario y suficiente que:

/ ( * o ) = / ( * o ~0) = f ( x 0 + 0 )

304 Demostrar que la función y = x 2 es continua para cualquier valor del argumento x.

Desarrollo

y = f ( x ) = x 2

i) f(x) está definida para todo x e R

ii) 3 lim f ( x ) = xo*-**<>

iii) lim /(jc) = /(jc0) = Xq luego f ( x ) = a 2 es continua en todo valor del

argumento x.

305 Demostrar que la función racional entera p(x) = a0x n + a lx n"1 +... + an es continua para cualquier valor de x.

Desarrollo

i) P(x) está definida V x € R

ii) 3 lim p(x)= lim a0x " + a íx n~] + ... + anX - * X Q X — tXo

iii) lim p(x) = p (xQ) = ü0Xq + 0 , ^ ' ' + ... + anX - Í X q

Luego p(x) = a0x n + a,jc"-1 + ... + an es continua para cualquier valor de x.


306

307

Demostrar que la función racional fraccionaria.

v a^x" +a,x"~l +... + an _R(x) = -----------!---- ------------ . Es continua para todos los valores cU

b0xm +blx"^+ . . .+ b mexcepción de aquellos que anulan el denominador.

Desarrollo

i) R(x) está definida para todo x e R, a excepción de aquellos valore anulan a b0x m + ¿>, A m_l +... + bn = 0

-i i- r»/ *• anx'1 + a,xn l +... + a +... + a u) 3 lim R(x) = lim -2 ------- ----- ¡--------- - = ------------2-* ^ b 0xm +blxm- l +... + bm b0x ^ + b lx^~l +... + bm

üi) lim R(x) = R(x0) = —^ +—+anV C + V o +•••+*«

luego R(x) es continua a excepción de aquellos valores de x que anuí denominador.

Demostrar que la función y = yfx es continua para x > 0.

Desarrollo

i) y = / (x ) = \fx está definida para x > 0

ii) 3 lim / (a) = J x q donde x0 e [0,+°° >

üi) lim f ( x ) = /(a q ) = yfx^ => y = / ( a ) = -fx es continua V x e [0,+c

308 Demostrar que la función f(x) es continua y no negativo en el intervalo (a,l

función / ( a ) = <Jf(x) también es continua en este intervalo.

Desarrollo


309

310

0 / (x) - \J f(x ) está definida que: f(x) > 0 V x e (a,b)

ii) lim /(jc) = I lim / ( jc) = yj f (x0) y] j

¡i» ) lim / ( J C ) = f (Xq) - yj f (x0 ) = » f ( x ) = yj f (x) es continua V x e (a,b)x->*v

Demostrar que la función y = cos x es continua para cualquier valor de x.

Desarrollo

a) f(x) = cosx está definida para: | c o s x | < l , - o o < x < ° °

b) lim f ( x ) = /(jc0) = J f ( x 0) = lim -2 sen (X + ^ V----- ).se>i(2* * fo :) x—»x0 Ax—>0 2 2

A*sen — - . Ay

= lim -------- — „se/j(—----- -)A v= (-1) sen x (0 ) = 0Ar-X) X 2

2

Luego y = cos x es continua en < x < °°

Para qué valores de x serán continuas las funciones:

a) tg x b) ctg x

Desarrollo

a) tg x es discontinua en los puntos donde tg x =

senx , _Como tgx = ------ =$ tg x = <*> cuando cos x = 0


Cuando x * h n ± — , 0 < | c o s x l < l2

senx , , , , n t g x - ------ donde x * / ú r i

cos* 2

lim tgx= lim tg(x+ A x)- tgx= l im -------------- ------&x—*0 Ax—*0 A x—>0 COS( JC + Ax) COS X

tg x es continua en x * h ± — donde h = 0 , ± 1, ±2 ,...

b) ctg x es discontinua en donde ctg x = °°

eos*como ctgx = -— - = o® <=> sen x = 0

senx

pero sen x = 0 <=>. x = hit, h e Z

lim A.ctgx = lim (ctg (x + Ax) - ctgx) = 0Ax—»0 Ax-»0

entonces ctg x es continua en donde x * hit, h e Z

311 Demostrar que la función y = | x | es continua, construir la gráfica de función.

Desarrollo

y = M =x si x > 0

- x si x < 0

Para que sea continua debe cumplirse:

i) y = | x | está definida en x = 0

ii) 3 lim | x | para esto se tiene lim ¡ x | = lim | x | = 0 => lim 3 1 x |x-*0 x-»0* x-*0~ x-»0


312

313

iii) lim | x | = /(O) => 0 = 0x—>0

Por lo tanto es continua V x 6 R

Demostrar que la magnitud absoluta de una función continua es también una función continua.

Desarrollo

Sea f(x) = | f(x) | está definida para todo f(x) y por ser f(x) continua, está también definida para todo x.

Af(x) = | f(x) + Af(x) | - | f(x) |

A /U ) = yl(f(x) + A f(x ))2 - y¡f(x)2

lim A/(*) = lim y¡(f(x) + Af(x))2 - y ¡ f ( x ) 2A f(x)-> 0 /V(jc)—»0

lim 4A *)[2 /(x ) + A/(x)]2 f (x ) + Af(x)

Una función está dada por la formula / ( x) =x — 4--------, cuando x * 2x - 2

A , cuando x = 2

¿Cómo debe elegirse el valor de al función A = f(2), para que la función f(x), completado de está forma sea continua cuando x = 2? Construir la gráfica de : la función y = f(x).

Desarrollo

A = / ( 2 ) = lim x 2 - 4x->2 X — 2 x->2

= l im(jt+2) = 4

Luego A = f(2) = 4 es como debe de elegirse para que sea continua.


314

315

Luego f ( x ) =

Su gráfico es:

- — x * 2 ¡x + 2, x * 2x - 2 de donde f ( x ) = {

4 . x - 2 I 4 ’ 11* 2

El segundo de la igualdad f ( x ) = \ - x s e n — carece de sentido cuando xx

¿Cómo elegir el valor de f(0) para que la función f(x) sea continua en punto?.

Desarrollo

Para esto tomamos él limite de f(x) cuando x —> 0

/ ( 0 )= lim(l - xsen —) = 1 — 0 = 1 *->o x

Luego elegiremos a f(0) de la siguiente manera: f(0) = 1. Es decir:

/ ( * ) =1 - x s e n — para x * 0

x1 para x = 0

La función f ( x ) = arctgx - 2

carece de sentido cuando x = 2, ¿Pu

elegirse el valor de f(2) de tal forma que la función completada sea contin cuando x = 2?


316

Desarrollo

/ ( 2) = lim arctg —?— 3 ; luego no se puede elegir f(2) de tal manera que seax->2 x - 2

continua.

La función f(x) es indeterminada en el punto x = 0. Determinar f(0) de tal forma que f(x) sea continua en este punto, sí:

(1 + vy _ ia) f ( x ) = ———— (n es un # natural).

Desarrollo

/ ( 0) = lim ■ + x — - sea 1 + x = a, x = a - 1, cuando x —> 1 ; a —» 1x->0 X

a + * ) " - l a " - l/(O) - lim ------------- = lim —■—- = nx—»0 x a->l a - \

= lim (an_l + a"~2 + ... + 1) = 1 +1 +... +1 = «o->l

a" —1Luego /(O) = lim f ( x ) = lim ------- = n

x—>o «->i a — 1

, , . 1 -C O S JCb) f ( x ) = ----- -—X

Desarrollo

. 1-COSJC l - c o s 2 x/(O ) = lim / (x) = lim ----- —— = lim

x -» 0 ' x->o x 2 jc-* 0 jc¿ (1 + c o s .x )

sen x l 1 1= lim — — .(---------- ) = (l).(-— ) = -

x->0 x~ l + cos* 1 + 1 2


En forma similar para:

,• ln(l + x ) - ln ( l -x ) .c) / (0 ) = lim / (x) = lim — ----- ------i----- = 2*-*o *-»() x

d) /(O) = lim / ( a ) = lim -------jt->0 jt—>0 X

■ = 2

317

c) /(O) = lim f (x ) = lim a2sen— = Oi-»0 ' x—>0 X

f) /(O ) = lim x ctgx = 1x->0

AVERIGUAR SI SON CONTINUAS LAS SIGUIENTES FUNCIONE!

3’ = x - 2Desarrollo

318

La función y = — es continua en todo R, menos en x = 2, es decir qut a - 2 h

x = 2 es discontinua de 2da especie.

y =1 + A 1 + A

Desarrollo


319

320

t

y =1 + x 3 _ (1 + . x ) ( 1 - * + jc2 )

1 + X 1 + X

2

, de donde para x * -1

y = 1 - x + x , luego la función tiene una discontinuidad en x = -1 evitable.

Su gráfica es:

V 7 + I - 3

Desarrollo

\¡1 + x — 3 (V^ + X — 3 ) ( y j l + X + 3) l + x - 9

y =

U 2 -4 )(> /7+ 7 + 3) (x2 - 4)(y¡T+x + 3)

x - 2 1(x - 2)(;c + 2)( \¡T+x + 3) (x + 2)(tJ T + x + 3)

Luego en x = -2 es un punto de discontinuidad segúri especie y en x = 2, es un punto de discontinuidad evitable.

y = l

Desarrollo

S í x > 0 => | x | = x => y = l

x < 0 => | x | = -x => y = -1


Luego la función en el punto x = 0 tiene una discontinuidad de pri especie.

321 y = sen — x

Desarrollo

La función y = sen— carece de sentido cuando x = 0, pero esx

1 Kdiscontinuidad de 2da especie, puesto que lim sen — 3

Jt-»0 x

322 y = - Xsen x

Desarrollo

La función en x = 0 carece de sentido, pero es una discontinuidad evit

X 1puesto que: y(0 ) = lim ------ = lim -------= 1sen x jc—>o senx

x

Además en x = krr (k = ±1, ±2,...) son puntos discontinuidad infinita.

323 y = ln(cos x)Desarrollo

Para que la función y = in(cos x) esté definida debe cumplirse que cos x Luego quitaremos los puntos donde cos x = 0, y además cos x < 0, es de<

x = 2k n ± ~ (k = 0, ±1, ±2,...). Luego los puntos de discontinuidad son:

x = 2 k n ± - (k = 0 , ± 1, ±2 ,...)2

324 y = ln(/g

Desarrollo


329

En forma similar el ejercicio 323 se obtiene que los puntos de discontinuidades x = kn (k = 0 , ± 1,...) (infinita).

325 y = arctg — x

Desarrollo

La función y = arctg — carece de sentido cuando x = 0, luego la función es x

discontinua en x = 0 , de la especie.

326 y = (1 + x).arctg (— ^ )1 - x

Desarrollo

La función tiene en x = -1 un punto de discontinuidad evitable y en x = 1 es un punto de discontinuidad de segunda especie.

i327 y = ex+1

Desarrollo

La función en x = -1 carece de sentido, luego en x = -1 es un punto de discontinuidad de segunda especie.

i328 y = e

Desarrollo

La función en x = 0 carece de sentido, luego la función en el punto x = 0 tiene una discontinuidad evitable.

1i

l + e 1~xDesarrollo


La función en el punto x = 1 carece de sentido, en este caso es un punt discontinuidad de primera especie, es decir que f ( x 0 - 0 ) y f ( x 0 + 0 ) ,

diferentes.

Sí x < 3 => y = x 2

x > 3 => y = 2 x + l

331 Demostrar que la función de Dirichlet X(x), que es igual a cero > irracional e igual a 1 cuando x es racional, es discontinua para cada uno de valores de x.

330 x , x < 3 2jc + 1 , x > 3

. Construir la gráfica de esta función

Desarrollo

Y

0 3 4 X

Desarrollo

Supongamos que es continua; luego

V e > 0, 8 > 0 tal que 0 < | x - a | < S = > | f(x) - L | < e

tomamos x t e I (Irracional), . r ¡ e < 0 - 5 , a + <5>

=> | f(x) - L | < e => 10 — L | < e | L | < e L = 0


además como x2 € 2 y x 2 e < a - S , a + 5 >

=> | f ( x) - L | < e => 11 - L | < e => 1 - L = 0

Luego L = 1. Llegamos a una contradicción. es discontinua.

AVERIGUAR SI SON CONTINUAS Y CONSTRUIR LA GRAFICA DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES

332 y = lim ------- (x > 0)«-»“ 1 + x"

Luego lim ------- = 0n~*°" 1 + xn

333 y = lim (x arctg nx)

Desarrollo

Desarrollo

y = lim (xarctg nx) = xarctg(°°) = K x

Como y = — la función es continua en todo x.2

334 a) y = sig(x) b) y = x Sig(x) c) y = Sig(sen x)

donde la función Sig.x se determina por la formula: s ig (x ) -1, x > 0 0 , x = 0

- 1, a- < 0

Desarrollo


1 <

‘ Y

• 0

>-1

X

La función en x = O es un punto de discontinuidad de la primera espi

335 a) y = x - E(x)

b) y = x E(x), donde E(x) es la parte entera del número x.

Desarrollo

Sí x e [0,l> => E(x) = 0 => y = x

x e [ l , 2 > => E(x) = l => y = x - l

x e [2,3> =» E(x) = 2 => y = x - 2

x e [ - l , 0 > = > E(x) = -1 => y = x + 1

x e [-2,-2> => E(x) = 2 => y = x + 2

E(x) = k, k e Z, son puntos de discontinuidad de la primera especie.


336

237

Dar un ejemplo que demuestre que la suma de dos funciones discontinuas

puede ser una función continua.

Desarrollo

Consideremos las funciones / (x ) =

definidas en x = 3.

x2 - 9

jc — 3

x - 4 x + 3y í W = -------------- que están]

x - 3

x 2- 9 x2- 4 x + 3 Pero si sumamos: f { x ) + g (x ) ---------- +

x — 3 x - 3

¿V ■> , / x ( jc- 3 ) (^ + 3) ( jc- 1 ) ( í - 3 ) , u j: + 3 + j: - 1í _ ^ i ,f ( x ) + g (x ) = --------- — — + --------- ------= U —3)(--------------- ) = 2x + 2

(x - 3 ) x - 3 x -3

.-. f(x )+g(x)=2x+ 2 está definida V x, por lo tanto (f+g )(x ) es continua V x eR

Sea a una fracción propia positiva que tiende a cero (0 < a < 1) ¿se puede

poner en la igualdad E(1 + a ) = E(1 - a ) + 1, que se verifica para todos los

valores de a, él limite de la cantidad a?

Desarrollo

E(1 + a ) = E(1 - a ) + 1 donde E(1 + a ) = E(x) donde x = 1, lim a = 0a-»0

entonces reemplazando: lim a , por el valor de a.a-»0


lim £( 1 + a ) = lim £(1 - a ) + 1 = E( l - 0) +1 = £(1) + 1 = 1 + 1 = 2a - » 0 a-*0

Luego £(1) * lim £(1) entonces E(x) es discontinua en x = 1 en el inter a-> o

[ 1,2> entonces no se puede reemplazar a por lim aa-»0

338 Demostrar que la ecuación x i - 3.í +1 = 0 tienen una raíz real en el inter

(1,2). Calcular aproximadamente esta raíz.

Desarrollo

Por fórmula de Cardano se tiene: X = A + B, donde

además x 3 + px + 1 = 0 de donde x 3 - 3jc + 1 = 0 , reemplazando se tiene

339 Demostrar que cualquier polinomio p(x) de grado impar tiene por lo menos i


Si n > 3 ry = a + i¡5 , p * O es una raíz de p(x) => r2 - iP también es raíz

de p(x). Luego por el teorema del factor se tiene.

p (x ) = (jc - r, ) (x - r2) , R (x ) = ( x 2 - 2ax + P 2 + a 2) R (x) donde grado

de R(x) = n - 2 > 1 siendo n - 2 impar. Por ser n impar.

si razonamos por inducir opinamos de que R (x) tiene una raíz real y que

también es raíz de P(x).

340 Demostrar que la ecuación tag x = x tiene una infinidad de raíces reales.

Desarrollo

Si: x e [0,1> => E(x) = 0 => y = x

x e [ l , 2 > => E (x )= l => y = x - 1

x e [2,3> => E(x) = 2 => y = x - 2

x g [-1 ,0 > = > E(x) = -1 => y = x + 1

x e [-2,-l> E(x) = -2- => y = x + 2

E(x) = k, k e Z, son puntos de discontinuidad de primera especie.

ii

Diferenciación de Funciones

CAPITULO II

DIFERENCIACION DE FUNCIONES

2.1. CALCULO DIRECTO DE DERIVADAS.-

a) IN C R E M E N T O D E L A R G U M E N T O E IN C R E M E N T O DE FU N C IÓ N .-

Si X\ y x 2 son valores de x, mientras que y, = f ( x i ) e y2 = f ( x 2)

los correspondientes valores de la función y = f(x ), Ax = x2 - a

llama incremento del argumento x en el segmento [jc, , jc2

Ay = y2 - > ’i ° sea Ax = / (x 2 ) - / ( * , ) = / ( * , + A x ) - / ( * , )

llama incremento de la función y = f(x ) en el mismo segn

Ay[x l , x2 ] . (En la figura donde Ax = M A y Ay = A N ) la razón

Av

representa el coeficiente angular de la secante M N de la gráfica c

función y = f(x ) y se llama velocidad media de la función y, e

segmento [a , , x, + A c ] .


dyb) D ERIVAD A.- Derivada y ’ = — de la función y = f(x ) con respecto

dx

al argumento x se llama él limite de la razónAy

Ax

Aycuando Ax tiende a cero, es decir: y ' = lim — si dicho limite existe.

*-»o Ax

La derivada y '— f ' ( x ) representa la velocidad de variación de la función

en el punto x.

c) D ER IVAD AS LA TE R ALE S . Las expresiones

¿ o , ) » Iini y ,¡m / < - » - * « > - / «A.t—>-0 Ax A*->+0 A x

341

Se llama derivadas a la izquierda y derecha respectivamente de la función

f(x ) en el punto x.

Para que exista f ' ( x ) es necesario y suficiente que f l ( x ) = /+ (x )

d) D E R IV A D A IN F IN IT A .- Si en un punto determinado tenemos que

/ (x + Ax) - / (x )lim

Ax->+0 Ax■ = «>, se dice que

la función continua f(x ) tiene derivada infinita en el punto x.

Hallar el incremento de la función y = x 2 , correspondiente al paso del]

argumento.

a) de x = 1 a Xi = 2

c) de x = 1 a x, = 1 + h

b) de x, = 1 a x 2 = 1.1

Desarrollo

a) Ay = f(x + Ax) - f(x ) donde y = / (x ) = x


342

343

además Ax = x, - * = 2 -1 = 1 => Ax = 1

/ (* , + A *) = / (* ] + !) = (* , +1 ) 2

/ (x + A *) = (x + A x )2 , reemplazando se tiene:

/ (I + 1) = / (2) = 22 = 4 y f ( l ) = l

Ay = f ( l + 1) - f ( l ) = f(2 ) - f ( l ) = 4 - 1 = 3. Luego Ay = 3

b) Ay = / (x , + Ax) - / (x , ) donde Ax = 1.1 - 1 = 0.1

Ay = f ( l + 0 . 1 ) - f ( l ) = f ( l . l ) - f ( l )

Ay = ( l . l ) 2 —1 = 1.21 — 1 =0.21

Hallar Ay para la función y = Z[x sí:

a) x = 0, Ax = 0.001 b) x = 8, Ax = -9

c) x = a, Ax = h

Desarrollo

a) Ay = f(x + Ax) - f(x )

Av = / (0 + 0 .0 01 )-/ (0 ) = /(0.001) = 3/0.001 =0.1 . Luego Ay = 0.1

b) Ay = f(8 - 9) - f (8) = f ( - l ) - f (8). Luego Ay = -1 - 2 = -3

¿Por qué para la función y = 2x + 3, se puede determinar el incremento i

conociendo solamente que el incremento correspondiente es Ax = 5, mient

que para la función y = x 2 no puede hacerse lo mismo?

Desarrollo


Ay = f(x + 5) - f(x ) donde f(x ) = 2x + 3

f(x + 5) = 2(x + 5) + 3 = 2 x+13 por lo tanto f(x ) = 2x + 3, luego:

Ay = f(x + 5) - f(x ) = (2x + 13) - (2x + 3) = 10 y mientras que para la función

y = x 2 se tiene:

Ay = f(x + Ax) - f(x ) => Ay = f ( x + 5) - f ( x ) = (x + 5)2 - x 2

344

de donde se tiene: Ay = -10x + 25

AvHallar el incremento Ay y la razón — para las funciones:

Ac

a) y = — — T ( * - - 2)2

, cuando x = 1 y Ax = 0.4

b) y - y f x , cuando x = 0 y Ax = 0.0001

c) y = log x, cuando x = 100,000 y Ax = -90,000

Desarrollo

a) Ay = f(x + Ax) - f(x ) => Ay = f ( l +0.4) - f ( l ) = f( 1.4) - f ( l )

f ( x ) =(x 2 - 2 ) 2

f (1-4) =1(1-4)2 — 2]2

= /(1.4) =1 1

(-0 .4 )2 0.16

/ (1) = — -—- = 1, reemplazando y efectuando tenemos: (1 - 2)


345

346

_21 21A y 9 9 S 2 1— = —— = ~ = ------ , en forma similar para b) y c).Ax 0.4 2 10

AyHallar Ay, —- , correspondiente a la variación del argumento desde x \

Ax

x + Ax, para las siguientes funciones:

, 1a) y = ax + b b ) y = x c) y = —

x

d) y = y[x e) y = 2x f ) y = ln

Desarrollo

a) Ay = f(x + Ax) - f(x )

Como f(x ) = ax + b => f(x + Ax) = a(x + Ax) + b;

Ay = f(x + Ax) - f(x ) = ax + aAx + b - a x - b => Ay = a Ax,

de donde se tiene: — = a — = aAx Ax

en forma similar para las demás funciones.

Hallar el coeficiente angular de la secante a la parábola y = 2x - x 2 . Si

abscisas de los puntos de intersección son:

a) x¡ = 1 , x 2 = 2 b) Xj = 1, x 2 = 0.9 c) x x = 1, x2 = 1 ■+

Hacia que el limite tiende el coeficiente angular de la secante en el ultimo c

si h 0?

Desarrollo


AyCoeficiente angular de la secante = —

Ax

Ay = / (x t + Ax) - / (x , ) donde Ax = x2 - x x

Ay = f ( l + 1 )- f ( l ) donde Ax = 1 entonces: Ay = f(2 ) - f ( l )

Como / (x ) = 2 x - x 2 => f(2 ) = 4 - 4 = 0 y f ( l ) = 2 - 1 = 1

Luego Ay = f(2 ) - f ( l ) = 0 - 1 = -1

Ay 1 AyCoeficiente angular de la secante = — = — = -1 — = -1

Ax 1 Ax

en forma similar para los demás.

347 ¿Cual es la velocidad media de variación de la función y = x 3 en el

segmento 1 < x < 4?

Desarrollo

AyLa velocidad media de variación es = —

Ax

Ay = f(x + Ax) - f(x ), donde Ax = 4 - 1 = 3

como / (x ) = x 3 => f ( l + 3) = f(4 ) = 64 y f ( l ) = l

Ay = f(4 ) - f ( l ) = 64 - 1 = 63 reemplazando se tiene: — = — = 21Ax 3

348 La ley del movimiento de un punto es S = 2r2 + 3í + 5 donde la distancia se da

en centímetros y el tiempo t en segundos. ¿A que será igual la velocidad medi¡

de este punto durante el intervalo de tiempo comprendido entre t = 1 y t = 5?

Desarrollo


La velocidad media = —At

AS = S(t + At) - S(t) y At = t2 - t l es decir At = 5 - 1 = 4 => At = 4

AS = S( 1 + 4) - S ( l ) = S(5) - S ( l ) = 70 - 10 = 60

, A i 60 , ,c mLuego: — = — = 15-— -

At 4 seg

349 Hallar la pendiente de la curva y = 2X en el segmento 1 < x < 5

Desarrollo

AvPendiente media de la curva = —

Ax

Ay = f(x + Ax) - f(x), donde Ax = 5 - 1 = 4

Ay = / (I + 4) - / (1) = / (5 ) - / (1) = 25 - 2 = 2( 24 - 1)

2(24 — 1) 24 - l 15 pendiente media de la curva = -----------= --------= — = 7.5

4 2 2

350 Hallar la pendiente media de la curva y = f(x ) en el segmento [x, x + Ax]

Desarrollo

AyPendiente media de la curva = — donde Ay = f(x + Ax) - f(x )

Ar

, i- j- , f ( x + Ax) — f ( x )Luego pendiente media de la curva = --------------- ------

Ax

351 ¿Qué se entiende por pendiente de la curva y = f(x ) en un punto dado x?

Desarrollo


352

353

Se entiende por pendiente de la curva y = f (x ) en un punto dado x al limite de

la pendiente media de la curva Ax - » 0, el cual denotaremos por f ' ( x ) , es

f ( x + A x ) - f ( x )decir: / ’(x ) = lim

á.v->0 Ax

Definir: a) La velocidad media de rotación.

b) La velocidad instantánea de rotación.

Desarrollo

Sea (p(t) la magnitud del ángulo de rotación en el instante t.

a) La velocidad media de rotación ^ >- - -At

A cp(t) 3<p(l)b) La velocidad instantánea de rotación = lim —

A/->0 A t dt

Un cuerpo calentado e introducido en un medio, cuya temperatura sea menor,

se enfría. ¿Qué debe entenderse por:?

a) Velocidad media de enfriamiento.

b) Velocidad de enfriamiento en un momento dado.

Desarrollo

Sea T = la temperatura en el instante t.

A Ta) Velocidad media de enfriamiento =

At

b) Velocidad de enfriamiento en un momento dado = lim —— = —&->o At dt


354 ¿Qué debe entenderse por velocidad de reacción de una sustancia en

reacción química?

Desarrollo

Sea (p(t) = cantidad de sustancia en el instante la velocidad de reacción deA(p(t)

sustancia en una reacción química es: lim -A/->0 At

355 Sea m = f(x ) la masa de una barra heterogénea en el segmento [0,x] que

entenderse por:

a) Densidad lineal media de la barra en el segmento: [x, x + Ax]

b) Densidad lineal de la barra en el punto x?

Desarrollo

En forma similar al ejercicio anterior se tiene que:

a) La densidad lineal media = — -Ax

b) La densidad lineal en el punto x = = lim — -dx jc-»o Ax

Ay 1356 Hallar la razón — , para la función y = — en el punto x = 2:

Ax x

a) Ax = 1 b) Ax = -1 c) Ax = O.C

¿A que será igual la derivada y' cuando x = 2?

Desarrollo

Ay = f(x + Ax) - f (x ) ==> Ay = f(2 + Ax) - f(2 ) donde f ( x ) = —x

1 1 -A *Ay = -

2 + Ax 2 2(2 + Ax)


357

358

a)

- A y

Ay _ 2 (2+ Ar)

Ax Ax

1

2 (2 + A x )donde Ax = 1 reemplazando tenemos:

4? .A x

- = -0.166 6

Ay

Axb)

1 Ay ------- donde Ax = 0.1, —

2 (2 + A t ) A x: — — —0.238

21

Ayademás y '= lim — = lim

1

a*—»o A í Ax->o 2 (2 + A v )

Hallar la derivada de la función y = tg x

Desarrollo

y ’ = lim — , donde Ay = f(x + Ax ) - f(x ) Ax—>0 Ax

Ay = tg(x + Ax) - tg x

Ay tg (x + A x )- tg x senAxy = lim — = lim — -------------2- = h m -------------------------

Ax—>o Ax Ax-»o Ax a*-»o Avcosx.cos(x + Ax)

Ay sen Axy = lim — = lim

1= 1( -

1-) = ■

1• = sec x

Ai->oAx Ar—>0 Ax cosx.cos(x +Ax) eos x. eos X eos X

AvHallar y ' = lim — para las funciones:

Ar—>0 A t

a) y' = x b) y = — c) y = \fx d) ctg xX

Desarrollo


359

360

Ay = f(x + Ax) - f(x )

= f ( x + A * )3 - * 3 = 3jc2(Av) + 3a(Ax) 2 + (A t ) 3

Av 3x2 Ax + 3xAx2 + Ax3y ’ = lim _ Z = l im --------------------- ^ ¿ - ' e n forma similar para los dem¡

Aí -ô Ax A*->0 Ax

Calcular / ’ (8) sí f ( x ) = \fx

Dt -¡arrollo

/'(8>= nro ¡imA i ->0 Ax A.r->0 Ax

(W + t e - 2 )(V (8 + Ax)2 + 23v/8 + Ax + 4) - hm — — — — ■____1..= ^ ----------------------

Ar_>0 Ax(-y(8 + Ax)2 + 2^8+ Ax + 4)

= l im ------ -------------------------------= lim -y --------- =--------------------A*“*° A x (y (8 + Ax)2 + 2^8+ Ax + 4) /(8 + Ax)2 + 2^8+ Ax + 4

1 1 1 ~ ^64+2^8 + 4 ” 4 + 4 + 4 ~ 12

Calcular / '(O ), / ' ( ] ) , / '(2 ) sí / (x ) = x ( x - l ) 2( x - 2 ) 3

Desarrollo

/X 0) = lim lim / ( A » ) - / ( 0)Ajr-->0 Ax Ax-»0 Ax

Ax( Ax - 1)2 (Ax - 2)2 - 0 ,= l im ---- --------------------------= lim (Ax - l )" (A x - 2) = -8

Ax—>0 Ax Ax—>0

361 En que puntos la derivada de la función / (x ) = x 3 coincide numéricamc

con el valor de la propia función es decir: / (x ) = f ' ( x )


Desarrollo

/ W = lim / ( * + * »> -/ (*> = HmAx-»0 Ax Ar-»0 A.Í

x3 +3jc2Ax + 3jcAx:2 + A.V3 - x 3 „ 2 , A . 2 o 2 = l im -------------------------------------- = lim 3 jT+3*.A * + Aa¿ = 3xz

Ax-->0 Ax* Ax—>0

como f ( x ) ~ f ' ( x ) entonces jt3 = 3.v2 => x 2( jc -3 ) = 0 => x = 0, x = 3 ¡

Luego la función coincide numéricamente en los puntos x = 0.3, x = 3

362 La ley de movimiento de un punto es 5 = 5/2 , donde la distancia S viene dado i

en metros y el tiempo t, en segundos. Hallar la velocidad del movimiento en el ¡

instante t = 3.

Desarrollo

S '( t )V ( t ) = — = lim 5(? + A f) S (t) dt A/—>o At

,//x ,■ 5(/ + A i ) 2 - 5 (?)2 5 í2 + 10/.A/ + A i2 - 5 t 2V (t ) = lim ■■ -.................= lim —

Aí-*0 At A/—>0 At

V (t ) = lim 10/ + At = 10/ V (3 ) = 30 m/segA;-» 0

3 6 3 Hallar el coeficiente angular de la tangente a la curva y = 0 .1 a 3 , trazada en el

punto cuya abscisa es 2.

Desarrollo

Coeficiente angular de la tangente es = lim — = y ' \x=2a*->o Ax


y = lim f U t tol - f V K lim 0-U2 + A » )3- ( 0.1)8A*-»0 A i A*-»0 Ax

= lim 1.2 + 0.6Ax + Ax2 =1.2Ajc->0

364 Hallar el coeficiente angular de la tangente a la curva y = sen x en los pu

(7t,0).

Desarrollo

sen(x + Ax) - senx senx. eos Ax + eos x.senAx - senx y = l im ----------------------- = h m ------------------------------------------

a*-*o Ax ajt-»o Ax

r senx(cos Ax -1 ) eos x.senAx,= hm [-------------------- + -------------- )

a«->o Ax Ax

y — senx(0) + cosx => y '= cosx por lo tanto / |A.=7r = eos 7T = —1

365 Hallar el valor de la derivada de la función: / (x ) = — en el punto x =x

( xo ^ 0 )•Desarrollo

1 1

f ( x 0 + A x ) - f ( x 0) _ x„/ W = lim lim -■

At->0 Ax &x—>0 Ax Aí - »0 X q ( x 0 + Ax)

________1____ _ _ J _

X o(*o+0) x¿

366 A que son iguales los coeficientes angulares de las tangentes a las cur

1 2y = — y y = x ,en e l punto de intersección?. Hallar entre estas tangentes,

x

Desarrollo


367

J 1 iComo y = — e y = x , entonces el punto de intersección es: — = x" x

y ' U = lim ~

í

1 + AxAt-*o A x

(1 + Ax) -1

Ar—>0 Ax= 2 = k.

íg0=A_ÍL = JLÍ = 3l + *,Jfc2 1-2

Demostrar que las siguientes funciones no tienen derivadas finitas en losj

puntos que se indican:

a) y = \[x^ en el punto x = 0

b) y = \ f x -1 en el punto x = 1

2k + 1c) | cos x | en los puntos x = — - — n (k = 0, ± 1,...)

Desarrollo

, _VA, ¡J(0 + Ax)2 - 0 tÍAx1 .. 1a) / (0) = hm —-----------------= l im ---------= lim —= = <

A r-»0 Ax Ar -*0 Ax &c-*0yjAx

b) / ’( l ) = l imA*-»0

^(1 + Ax) — 1 - 0 VAx 1 ------------------------ l im ------ = 1 ,m ---------== lim

Ax Ar—>0 Ax Ar-*0 5j^ . 4

i ,2k + 1 . , , 2k + \ |cos(— — 7T + Ax)|

c) h m ----------— ------------2 A r-»0 Ax

senAx -senAx ,= lim ---------- - = l im ---------- -1

Ar—>0 Ax Ar-*0 Ax


, 1k +1 |cos(— — jr + Ax)|— ?r)= Hm------- 2-----------2 A*-* A t

I senAx I senAx , = lim i 1 = l im --------= 1

a *->o Ax Ajt-»o Ax

,\,2k + \ . ,\,2k + \Como /J(— -— K ) f j ( — -— n ) => y = | cos x | no tiene deriva

2* +1 ,en los puntos x = — -— , k = 0, ± 1,

12.2. DERIVACION POR MEDIO DE TABLAS.-

a) REG LAS PR IN C IPA LE S P A R A H A L L A R L A D E R IV AD A:

Sea k una constante, u = f(x ) y v = g (x ) dos funciones derivab entonces:

1) ( * y = 0 2) U ) ’ = l

3) (m ±v )' = m'±v' 4) (hu )'=ku '

5) (mv) = MV +VM 6) (—) = ■V v2

7) (* )■ — * £ . » * 0V V

b) T A B L A DE LA S D ERIVAD AS DE LAS FU NCIO N PR INC IPALES.-

1) ( * " ) ’ = /te" -1 2) ( , £ ) ' » J _2v *

3) ($¿njc)’ = cos.x; 4) (cos jc)' =

188 Eduardo Espinosa RamoS

l o 1 25) ( tgx)'= = sec“ .x 6) (ctgx) = - = -c o se r x

eos x sen x

7) (aresenx) ' =V i- * 2

x < 1

8) (a rcpsx )' = - X <1

9) ( arctg x ) ' - ■1

l + x¿

11) (f lJ)' = flM nfl

10) (arcctg x ) ' = — ----- •x + l

12) (e x )' = e x

13) (ln x )' = — , x > 0x

14) (log0 x )' =xlna x

15) (íe«/jx)'=-coshx 16) (cosh x)' = -senhx

17) (tghx)' = -1

cosh 'x18) (ctghx)'-

1

senh~x

19) (aresenhx) ' =n/T+x2

20) (are cosh x ) ' = -V x ^ T

21) (arctg hx)' = -\ - x ¿

I x I < 1

22) (arcctgh x ) ' = — ^ ^ I x | > 1 x -1


c) R E G LA P A R A C A L C U L A R LA S FUNCIO NES COM PUESTAS.

Sea y = f(u) donde u = g(x), Es decir: y = f(g (x )) donde “y” y “ u”

derivables, entonces y'x - y'u ,u'x en otras notaciones:

dy _ dy du

dx du dx

esta regla puede aplicarse a cadenas de cualquier numero finito

funciones.

368

1)

y =

dy

dx

FUNCIONES ALG E B R AIC AS .

x 5 - 4 x 3 + 2 x - 3

- y ' = 5x4 - I2x2 +2

Desarrollo

369

370

371

y =

y '=

y =

— = - - + 2 x -2 x 3dx

= ax" + bx + c

dyy ' = ^ = 2ax + b

dx

y = -5jS

a

Desarrollo

Desarrollo

Desarrollo

dy__ 1 5jc

dx a


372 y = al'" + bt’n+n

Desarrollo

y ' = ^ l = a,nt"'-' +(rn + n)btm+" - 1 di

ax6 +b373 y = -

y U + b 2

,_ d y _ 6ax~

dx J a 2 + b2

Desarrollo

374 >> = — + ln2JC

dy _ n

xdx -2

2 5375 y = 2,xi - 2x2 + x ^

I 3

Desarrollo

Desarrollo

y ' = — = 2x 3 - 5 x 2 -4 x ~ 5 dx

376 y = x 2y[x2

Desarrollo

2 8 d ' S -• = x2^[x2 - x2x* = jc3 , derivando tenemos: y ' = — = - x 3

dx 3

377 3' = - í = ----

Desarrollo


, , 2 4a b a b ~z - r .

y = —¡ = — -=r = — ------- => y = ax 3 - b x J , derivando tenemos:tfx2 xlTx 2 *r 3 v 3

, </y 2 - I 4/? —r í/v 2a 4¿> y = — = ----ax 3 + — x 3 =* y = — = ------ — ------ = ?' dx 3 3 dx 3x yfx 3x3/7

378 y fl + í *c + dx

Desarrollo

, _ dy _ (c + dx)(a + b x ) ( a + fcx)(c + d x ) '

(c + dx) 2

, _ dy _ (c + dx)b - (a + bx)d _ be - ad

dx (c + d x)2 (c + d x )2

2x + 3379 y =

x - 5 x + 5Desarrollo

¿y _ (x - 5 x + 5 )(2x + 3 ) '- (2 x + 3 )(x “ —5x + 5 )'

V dx (x 2 - 5 x + 5 )2

, _ d y 2 (x2 - 5 x + 5 ) - (2 x + 3 )(2 x -5 )

¿x (x 2 — 5x + 5 )2

, dy _ (2 x2 - 1 Ox + 10)- (4 x2 - 4 x - 15) , _ ¿ y -2 x 2 - 6 x + 2f

dx (x 2 - 5 x + 5 )2 y dx (x 2 - 5 x + 5 )2

2 1380 y =

2 x - l x

Desarrollo


. , _ d y _ 0 ( 2 x - l ) ’ —(jc ) ’ y i 'ydx ( 2jc — 1) “ x2

4 1------- ~ + ~(2 x - l )~ x

- 4 x + 4 x -4jc + l

, dy l-4 .r

dx x2( 2 x - l j

3811 + 'Jz

Desarrollo

, dy ( l - y [z )0 + y [z y -Q + J z )Q -y fz y

y dz (1 -VI)2

1 — yfz 1 + Vzv .r. af>’ _ 2V I 2V I ■ dy 1

dz ( 1- V z )2 dz V z ( l - V z )2

2) FUNCIONES TR IG O N O M E TR IC A S Y C IR C U LA R E INVERSAS.-

382 y = 5 sen x + 3 cos xDesarrollo

y ' - — = 5 cos x - 3 senx dx

383 y = tg x - ctg xDesarrollo

dx (senlx)


384

385

senx - cos xy = ---------------

senx - cos xDesarrollo

y '_ d y _ ( senx - cos x)(senx + cos x) (senx + cos x)(senx - cos x ) '2dx (senx — cos x )

, _ d y _ (senx - cos x)(cos x - senx) - (senx + cos x)(cos x + .ye«x)

dx (senx - cos x)2

í/ y -(senx - cos x )2 (senx + cos jc )2

dx (senx - cos x )2

y,_ d y _ -s e n x + 2senx.cosx-cos~x-sen~x — 2senx.cosx — cos~x

dx (senx- cosjc)2

, dy -2 (sen2 x + cos2 x ) -2y

dx (senx - cos x )2 (senx - cos x )2

y = 2tsent - ( t 2 - 2) cos t

Desarrollo

y ' = — = 2sent + 2 tco $ t-2 tco s t + ( t2 - 2 )sent di

y ' = — = 2sent2 + tsent - 2sent = t2sent — = t2sdt dx

386 y = arctg x + arcctg xDesarrollo


387 y = x ctg xDesarrollo

. dy xy = — = ctg x -

dx sen2x

388 y = x arcsen xDesarrollo

, dv xy = — = arcsenx +

dx V i - * 2

3g9 _ (1 + x 2)a rc tg x -x

y 2Desarrollo

, d\ 1 1 , d \y = — = xarctg x + -------= x arctg x => y = — = xa rctgx

dx 2 2 dx

3) FUNCIONES EXPO NEN CIALES Y LO G A R ITM IC AS .-

390 y = x 'e x

Desarrollo

y ' = — = 7x6ex + x 1ex = exxb( l + x) => y ' = - = * V ( * + 7) dx dx

391 y = ( x - l ) e x

Desarrollo

y ' = Q - = ex + ( x - l ) e '= x e dx

6392 y = —

*Desarrollo


, dy x 2( e * ) ' - e * ( x 2) ' x 2ex - 2xex , dy ex( x - 2 ) y = ~ r = -----------5--------- = -------- 5------ => >' = -r - = ------3—

dx a x dx x

x53 9 3 y = —

exDesarrollo

, _ d y _ e x (x 5) ' - x 5(e x y _ 5 x 4e * - x 5e* _ dy _ a4( 5 - x )

" d x ~ <>2x ~ T 7 ^ v 7

394 f ( x ) = e x c osx

Desarrollo

/ ' ( a ) = e Jt(cosA )’ + (é^VcosA = e x cosa - e x senx , de donde se tiene:

/ ' ( x ) ~ e x (cos x — senx)

3 9 5 y = ( x 2 - 2x + 2 )e x

Desarrollo

y ' = — = (2 x - 2 )e x + (a 2 - 2 x + 2)ex v ' = — = x 2exdx dx

3 9 6 y = e x aresenx

Desarrollo

< dy x ex , d y X/ 1y = — = e aresenx + ■..... . => _y = — = e (aresenx-i— . )

^ ^ V l^ A 2

397 y = — ln a

Desarrollo

, dy _ ( ln x )2 x ~ x , dy _ x {2 \ n x -\ )

dx (ln a ) 2 y dx (ln a ) 2


~3398 y = x3 ln x - —

3Desarrollo

, dy . 2 i 2 2 i dy _ 2 iy = — = 3x ln x + x - x => y = — - 3 x lnx

dx ' dx

1 lnx399 y = — + 2 ln x ----- *-

x x

dy

dx

Desarrollo

1 2_i___ x(ln x ) (

7i-------

A' x2

i 2 1 ln x— —+ —

x2 x2x2 X, 2 1 2 ' 2 r ^ 2 dx x x x ' x ‘ * jc* a:

, _ d y _ 1 2 L ln * , .< _ d y _ 2 2 ln x

"V dx x2 * x2 J

400 y = ln x. log x - ln a. loga x

Desarrollo

, _ d y _ log x ln x ln a dy _ 2 ln x 1

dx x (ln lO )x x lno dx xlnlO x

4) FUNCIONES H IPE R B Ó LIC A S E H IPE R B Ó LIC A S INVERSAS.-

401 y = x senh (x )Desarrollo

y 1 = — = senhx + cosh x dx

402 y = Xcoshx

Desarrollo

dy _ 2xcosh x - x " senhx

dx cosh2 x


403 y = tgh x - xDesarrollo

, dy 1 , l - c o s h 2Jc , dy senh2xy = — = — — 1 = — - 5— =* ^ = ~ r - ------ - ¿ - = - t g h - >

dx cosh x cosh 'jc dx cosh x

404Inx

D< sarrollo

. 1 . 3 cighx 31nx.(---------— ) ------ - - -

y ' = — = ----------- senh. x ------- a— ^ (jon<je se t¡ene:dx ( ln x )

, _ d y _ —3(.v ln x + senhx. cosh x)

dx x ln2 x.senlrx

405 y = arctg x - arctgh xDesarrollo

, d\ 1 1 ( 1 - a 2) - ( 1 + a 2) , dy -2 x 2y = - r = :— T - : — r = — — 5— — t t =» y - — = •

dx l + x 2 \ - x 2 (1 + x2 ) ( l - x 2) dx \ - x 4

406 y = (arcsen x)(arcsenh x )Desarrollo

dyy = — = (arcsenx) arcsenhx + arcsenxXarcsenhx)', de donde se tiene:

dx

, dy _ arcsenlix arcsenx

d* - J l - x 2 J l + x'2

arccos hx407 y = ------------

Desarrollo


---- -- árceos hx r——, _ d y _ \ l x2 -\ _ x -y jx - 1.árceos hx

y _ _ _ _ _ _

dx

, dy x - yjx2 - 1. árceos hx

y = T x = '

408 y :arctghx

Desarrollo

1 - x 2

y- = f » = Z Z H¿JC

- ( - 2x)(arcctghx)

(1- x 2)2y =

dy 1 + 2 jc arcctgh x

dx ( 1- X 2)2

409

E) FUNCIONES COM PUESTAS.

y = (l + 3jc-5jc2) 30

Desarrollo

y ’ = — = 30(1 + 3jc- 5 .v2)29(1 + 3jc- 5 jc2) ' dx

y ' = — = 30(1 + 3jc- 5 jc2) 29(3 -1 0 jc) dx

4,0c

Desarrollo


411 f ( y ) = (2a + 3by)2

Desarrollo

f ' ( y ) = 2(2a + 3by)(2a + 3by)' => f ' ( y ) = 6b(2a + 3by)

412 y = (3 + 2* 2) 4

Desarrollo

y ' = — = 4(3 + 2*2)3(3 + 2 *2) ' =* y ' = = 16*(3 + 2* 2)3 dx dx

413 3____________ 1_____________1

V 56(2*- l ) 7 24 (2*- l ) 6 40 (2 *- l ) 5

Desarrollo

y = — (2 x - 1)“7 - — (2x - 1)-6 - — (2* - 1)"5 56 24 40

y '= ^ r = (2x - 1F8.2 - ¿ ( - 6X2* - 1)-7.2 - i - (-5X 2 * dx 56 24 40

, dy -3 1 1 y = —— = ------------ + ---------------h------------

dx 4 (2 *- l )8 2 (2 *- l )7 4(2* - l )6

, dy -3 + 2 (2 * - l ) + ( 2 * - l )2 4 *2- 4 _ * 2- l

y dx 4 (2 *- l )8 4 (2* - l )8 ( 2 * - l )8

414 y = V i - * 2

Desarrollo

____ iy = Vi-*2 = (1 - x2) 2 , derivando tenemos:


dx 2

dy

dx

-2x— por lo tanto

2(1 - a-2) 2

415 ’ = yja+bx3

Desarrollo

y = y[a + bx} = (a + bx3) 3 , derivando tenemos:

2

y ' = - = - (a + b x 3) H a + b x 3) ' dx 3

y ' - dy _ bx"

y ' = f = -dx

3 bx1

3(a + bx )■3\3

d* \]a + bx3

4162 2 3

y = (a 3 - jc3 ) 2

Desarrollo

J O ' 2 2 i 2 2y ' = — = — (a 3 - jc3 ) 2 ( a 3 — a:3 ) '

dx 2

I í 2” 1 , dy 3 , 5 | 2 -3

; = — ~ — \ a 3 —x (— a 3dx 2

3)

2 2 2 2

, _ d y _ ya3 - x 3 _ \a3 - x 3

y dx V x 2 dx V A

417 y = (3 -2 . «? n A )s

Desarrollo

, dyy ' = — = 5 (3 - 2senx) (3 - 2 senx)' y ' - — = - lOcos x(3 -2senx)

dx dx


1 , l ,418 y = t g x - - t g i x + - t g ' x

Desarrollo

y ' = ~ r = — — !s 2x(tgx)'+tgAx(tgx) 'dx eos x

y ' - d y - 1 t g 2 x I t g 4 x = * y ' = É .

dx eos2 x eos2 x cos‘ x ’ d:

419 y = yjctgx - yfctga

Desarrollo

l _, _ d y _ (c tg x )' n _ dy sen2x

} ~ dx ~ 2-Jctgx y ~ d x ~ l^fctgx

420 y = 2jc + 5cos3 x

Desarrollo

y ' = — = 2 + 15cos2jc(cosjc)' => y ' = ^ - - 2 dx dx

421 x = co s e c2t + sec2 t

Desarrollo

dxx '(í) = — = 2 eos ecl.(eos e c t) '+ 2 sec í.(sec í )'

dt

1 - t g 2x + tg4x

eos2 x

1

2sen~ xyfctgx

15 eos" x.senx


422

423

dx 2ctgt 2tg t . dx 2(cos4t -s e n 4t)x ( , ) = — = -----v + — V = > X W = - r - --------3----- 3—

dt sen t eos t dt sen t. cos t

dx 2(cos2 1 + sen2t)(cos2 t~sen2t)x ( t ) = — = -------------------r------ ---------------

dt sen /.eos t

dx 2(cos 2t -s e n 2t) 16cos2rx ( t ) = — = ------------- ------— = — — t—

dt ( sen2t 3 sen32t2

f ( x ) = -6 (1 -3 cosjc)

Desarrollo

1 (1 - 3 cosjc) 2 , ./ ( a ) = ------------------- - = ------------------ , derivando se tiene:

6 (1 -3 cosa ) 6

2(1 - 3 cos jc) -3 (1 - 2 c o s a ) ’f (x ) = ------------------------------------ , de donde se tiene:

6

. (1 -3 c o s a ) (isenx) senxf ( x ) = ---------------------------= ---------------- T

3 ( l - 3 c o s x )

1 1y =

3 eos3 x eos xDesarrollo

y _ eos— x _ cos i (jerivan(i0 se tiene:

, -3COS-4 jc( cosjc) ' , senx senxy = ------------------------+ cos jc( cos jc) => >' = ----- ----------- —

3 ' cos x eos" x


424

425

se«.v(l - eos2 -v) sen x4COS JI COS4 X

y-3senx- 2 cos x

~~5Desarrollo

3senx - 2 cos x _ 3senx - 2 cos x ^

1 .3senx —2cos jc .- t 3senx- 2cos.v , > = - < -------- 5-------- 1 H -------- --------- )

1 „ 3senx - 2 cos a ~ r , 3 cos x + 2senx _ y = — (------------------ ) 2(-------------------)

2 5 5

, dy 1 ,3 c o s a + 2 í« ix . 1y = — = t ( -------- 1-------- )-

dx 2 5 3senx-2cosx

i5y<_dy _ 3cosjc+ 2 í«u t

dx 2\/l5senx-lO cos x

y = yj ser.2 x +eos3 A

Desarrollo

y = 3 a + cos 3 a , derivando se tiene:

, dy 2 —t _4 dy 2 cosa 3sejy = — = — sen i x .(senx)-3cos a (cosa ) • ==> y ' = -¿ - = — + -----

dx 3 dx 3 ^ & eos4

204 Eduardo Espinoza Ramos ,

246 y = VÍy = V l + aresenx

í/v _ (1 + aresenx)'

~ dx ~ 2V Í + aresenx

1

Desarrollo

, de donde se tiene:

dy _ s j ] - x 2 _________________ 1 _

dx 2V l + aresenx 2yJ\-x2 VTT aresenx

427 y = yfarctgx — (aresenxJ'

¿y (aretgx) '

Desarrollo

3(aresetix)2 (aresenx)'2 yfarctgx

1

í/y 1 + r2 ?- ‘ 3(arcsenx)~ (aresenx)

dy 1

428 y =

3(arcsenx)~

dx 2(1 + a-2)y¡ aretgx \ ¡ l - x 2

1 _

Desarrollo

aretgx

dy (aretgx)'

dx (aretgx) dx (aretgx)' (1 + x 2)(aretgx)2

429 y = yjxex + a-

Desarrollo


, _ dy (xex + jc) ’ _ ex + xex +1

dx 2\¡xe' + x 2\¡xex + x

430 y = ^2ex - 2 X + l + l n 5 x

Desarrollo

11

y = (2ex - 2X + 1)3 + ln4 jc , derivando se tiene:

2

y ’ = ^ = ~ (2 e x - 2* + 1)_3 (2ex - 2X + 1 ) ’+ 5 ln4 .t(ln jc) dx 3

, dy 2ex —2X 51n4 jcy = — = — + -----------

dx 3y](2X - 2 X + 1)2 x

431 y = sen3x + cos + tgyfx

Desarrollo

y '= ~ = eos 3 x (3 x )s e n (~ ) ( j ) ’+ — ^ —= (y fx ) ' dx 5 5 eos v j c

, dy 1 x 1y = — = 3 cos 3 jc— sen — +----^

dx 5 5 2-v/jccos “ vjc

432 _y = sen(x2 -5 jc + l ) + tg —jc

Desarrollo


y ' = — (2x —5) cos(a2 - 5x + 1 )------- ------d x 7 Qx eos —

433 f(x ) = eos (ax + 3)

Desarrollo

f ' ( x ) - - s e n (a x + ¡5 ) . (a x + p ) ' => f ' ( x ) = -a s e n (a x + p )

434 f(x ) = sen t. sen (t + (p)

Desarrollo

f ' ( t ) = ( sent)' senír + (p) + sent.[sen(t + (p)]'

, f ' ( t ) = eos t.sen(t + (p) + sent. eos (í + (p)

seti(2t + (p) sen(2t + (p) . . . . .. ,/X 0 = ---- + ---- - y = » f ' ( t ) = sen(2t + (p)

4351 - eos 2.v

y = ------------1 + cos 2x

Desarrollo

dy _ (1 - eos 2jc)(1 + eos 2x) (1 + eos 2x )(l - eos 2x) 1

dx ’ ( 1- c o s 2a)2

, _ d y _ -2sen2x(l - eos 2x) - (1 + eos 2x)2sen2x

dx (1 - eos 2a ) 2

, dy -Asen2x -4sen2x , , , y ' = — = --------- ---------- -— - = --------— , de donde se tiene:

dx ( 1-cos x + sen x ) 4sen x

dy _ -2senx.cosx _ -2 co s x^ i 4 3ax sen x sen x


436 / ( jc) = a .c tg (- ) a

Desarrollo

f \ x ) = a.{------------ ) ( - )• = - 12 , x \ a 2/x \sen (—) sen ( —)

437 y = — — cos(5jT ) - —eos* 2 20 4

Desarrollo

y ' = — = — sen(5x2 )(5jc2 ) '+ — senx2 (x 2) dx 20 4

, dy IOjc .. i , 2 , dy x , 2y = — = -----jen (5x ) + — jenjc => y = — = —sen5x 4

á 20 4 dx 2

438 y = arcsen 2xDesarrollo

y ' - ^ L - ( 2 ; C ) ' - 2

dJC \ ¡ l -4 x 2 V i - 4 . r

439 y = arcsen —JC~

Desarrollo

í L v _ - 2 .

y ,= ^ = _ v i _ = _ ¿ _ = _____^ y = ^ :

^ L i V * — i jc3 Vjc4 —i

*

440 f (x ) = aiccos(yfx)

Desarrollo

^ 2 — senx2

-2:7x4 -1


V i - ( V * ) 2 - t i - */ ’(* )= ■

2-V* Vi - X 2 y j x - x 2

441 y = arctg —

Desarrollo

y =( i » '

X

1+ 1 JC2 +1

, dy 1=> y = — = - j —

dx x +1

442,1 + JC.

y = arctg (------)1 — JC

Desarrollo

] + x (1 - jc )- (1 + jc)(-1 )

4 , d - A

dx , . /1 + JCX2 . (1 + jc)2l + ( ^

1 —JC1 +

(1-JC)2

y , _ dy _ 1 - jc +1 + jc

dx (1 — jc)2 + (1 + jc)2 1 — 2 x + x 2 +1 + 2.C + JC- , de donde se tiene:

y =d\ 1

dx 1 + jc2

443 v = 5e~Desarrollo

y ' = — = Se~* (- jc 2) ' = -1 Oxe~x! dx


444 y = - 15*

Desarrollo

, dy (5* ) ’ 2x5* ln5 , dy 2xln5 „ ey ’ = — = — - ; — => y ’ = — = ------— = 2x.5 ln5

dx (5* )2 52x' dx 5X'

445 y = x 2\02x

Desarrollo

y ' = — = (x2) ' 102jt jc2 (102 ) 1 => y ' = — = 2x .l02* + x2102jr21n l0 dx dx

y ' = — = 2x .l02j:(l + x ln ]0) dx

446 f ( t ) = t sen 2'

Desarrollo

f ' ( t ) = s e n 2 '+ ts e n 2 '(.2 ') ' => f ' ( t ) = sen2 '+2 't\n2 .sen2 '

447 y = arcsenex

Desarrollo

y ' _ dy _ edx

448 y = ln (2x + 7)

e2x

Desarrollo

y = dy = (2 x + lY _ 2

dx 2x + 7 2x + 7

449 y = log (sen x)Desarrollo


, dy (senx)', cosx , , dy ,v = — = ---------log<? = -------loge => y = — = ctgx.\oge

dx senx senx dx

450 y = l n ( l - x 2)

Desarrollo

dy _ ( 1- x 2) ' _ -2 x

dx 1 —x2 1- x 2

451 y = ln2 x - ln(lnx)

Desarrollo

/ = = =» ? . ± = l t o ,X - - Í -dx ln x dx x ln x

y ,_ d y _ 2 lnx 1

dx x x ln x

452 y '= lnCe"1 + 5senx - Aarcsenx)

Desarrollo

ex + 5 co sx --4

C I U VVO A . ----- -

,_ d y _ (ex + 5senx- 4 aresenx) ' , _ dy _ ______________y l - x 2

dx ex +5senx-Aarcsenx ¿x e r + 5.?e«x - Aarcsenx

y _ d y _ (e* + 5 cos x )v l - x2 - 4

dJC \j 1 - x2 (ex + 5senx - Aarcsenx)

453 y = arctag (ln x) + ln (arctag x)

Desarrollo1

.2. , _ d y _ Qnx)' | (aretgx)' ^ ^ dy __ x | | + x

dx 1 + (ln x)2 aretgx dx l + (lnx )2 aretgx


456

dx x(l + (ln a ) 2 ) (\ + x 2)arctg x

454 y = V lnx + 1 + ln(Vx + l )

Desarrollo1

, dy (ln a + 1) ’ I , dy x l y = — = . ■■■■ + --------- => y = — - ■ ....+ .

dx V21n A + l 2 (a + 1) dx y]2\nx + l 2 (a + 1)

. dy 1 1y = . ~ f - = t + :

dx 2x\/ln x +1 2(a + l)

6) FUNCIONES D IVERSAS:

3 2455 y = sen 5a . cos —

Desarrollo

y ' = — = 3sí,« 25a ( sí,/i5a ) 'cos2 — + se/i3 5x.2 cos—(eos —) ' dx 3 3 3

, dy 2 e r l , * s 2 •>_ _ X Xy = — = ]5 íen 5a.cos5x.cos (—) — sen 5x.2cos — sen— d x 3 3 3 3

11

2 ( x - 2 ) a - 2

Desarrollo

dx 2 ( x - 2) ( x - 2)2

•= * = n _ 4 ^

dx 2 ( x - 2)4 ( x - 2)2


, _ d y _ 11 4 , _ ¿/_y _ 11 + 4 (jc — 2)

y dx ( x - 2 ) 3 ( jc- 2 ) 2 V dx ( x - 2 ) 3

15 10 14^7 y = --------------------------- -------------- -

4 (x -3 ) 3 (x -3 ) 2(x - 3)

Desarrollo

y = - ( x - 3 )-4 - y ( x - 3 )-3 - ^ ( x - 3 )"2

y ' = = 15(x ■- 3)-5 + 10(x - 3 )^ + (x - 3)~3 dx

, dy 15 10 1>' - ~ r - - — 7 T + ~.— r r + -

dx ( x - 3 )5 ( x - 3 )4 (x - 3 )

, dy 15 + 10(x - 3) + (x - 3)2 , dy x2 + 4 x -y = — = --------------- —:---------- => y = —

dx ( x - 3 ) dx (x - 3 )

458 y = X

459 y =

8(1- x 2)4

Desarrollo

dy l [ ( l - x 2)4.8x7 - x8.4 ( l - x 2)3(

dx 8 (1 - * 2)8

dy x7( l - x 2) + x9 x7

dx (1- x 2)5 (1-JC2)5

y jlx 2 - 2x + l

XDesarrollo

4x + 3

(- v -2)3


, dy x(y¡2x2 - 2 x + \ ) \ ¡ 2 x 2 -2 x + \y _ _ _ _ _

v ' - dy - 2\¡2x2 - 2 x + l ________________dx x2

, dy x ( 2 x - l ) - ( 2 x ' - 2 x + l ) , dy x -1y = ~ r = -------........ .....■ =— =* y

t e x2y jlx2 —2x + l ' dx x2y¡2x2 -2 x + \

460 y = ----- . X ......a2 4 a 1 + x2 , „2

Desarrollo

, dy 1 J a 2 + x 2 -x (\ la 2 + x 2)'y ' = — = — (------------------ ------------ ) , de donde se tiene:

dx a a '+ x '

+ xy ' = — = — (____________J a 2 + x 2- j 2 v ^ 2 7dx a a ~ + x

dv 1 a2 + x 2 - x 2 dy 1

^ « 2 (.a2 + x2 )y¡a2 + x 2 dx y](a2 + x 2)3

461 y =3 /(1 + x2)3

Desarrollo

7 (1+ X2)73.v2 - x3 i 3! 1 - 2-2^_ _ 1 ____________________ 2V (l + .t2)3 ^

¿v 3 (1 + x2)3


dy l ( 3;c2( l + x 2)3 -3 ;c4( l + .r ! ) : i i

dx 3 (\ + x2)3J(\ + x 2)3

dy _ x2(l + .t2) - * 4 \ '- ^ y - *

dx (\ + x2)yj(l + x2? dx J o + x 2?

3 i n 18 b r 8 3r j 16 , 6r-— \¡x H-----xyjx-b— X\X H----- x~\jx2 7 5 3

Desarrollo

3 | l 8 | 9 f ó ^— x* H— .v6 + — x } h— ~x° , derivando se tiene:2 7 5 13

, _1 1 ' 2 7 > 2= A 3 + 3 * ft+ 3 * 3 + * 6 =* y ' = - - = - V + 3x6 +3ji-3 +A;

dx í/a ix 3

i 1 dy _ 1 + 3a2 + 3x + x 2

dxv3

¿^/(1 + a:3) 8 - 1 3 / cI - hjc3) 5O J

Desarrollo

1 3 ? 1 3 -— (1 + x ) 3 — (1 + x ) 3 , derivando se tiene: 8 5

— = - (1 + a:3 ) 3 3a:2 - - (1 + a:3 ) ’3 3a 2 dx 3 3

— = (1 + .v3) 3[(1 + a :3 ) a :2 - a:2 ] => y ' - — = x5yj(Í+ x3)2 dx dx

r- |


464 y = í J x 13 \ x + 2

Desarrollo

y = — — i-)4 , derivando se tiene:3 x + 2

y • = *L = I (£ l l w , ( £ ± 2>ZÍ ÍZ Í> )dx 3 x + 2 (x + 2 )2

V .V+2

465 y = x 4( a - 2 x 3) 2

Desarrollo

y ' = — = 4x3(a - 2 x 3 )2 + 2x4 (a - 2x3 ) ( - 6x 2) dx

y ' = — = 4x3(a - 2 x 3) (a - 2 x 3-3 x 3) => y ' = — = 4x3 (a - 2x3 )(a - 5 j dx dx

¿¿ir ,a + b x ” s„466 y = --------- ) "a - bx

Desarrollo

y = * = m (£ ± ^ l ) - . (2 1 í ! : ) . dx a -fex " a-fox"

, _ d y _ a + b x " m-¡ (a -b x " )n b x " 1- ( a + bxn)(-n b xn~l )

dx a -b x n ( (a -b x n )2

Eduardo Espinoza Ramos ---------------------------

dy a + b x '\ 2 a n b . x n 1 d\ ,JL. = w (------- )«• i ( --------- ) => y ' = = 2« « w¿7a"¿.v a — ¿?a (a -b x ) dx

3 2

5 (x + 2 )5 (x + 2)4 (x + 2)3 2(x + 2)2

Desarrollo

^ (x + 2)~5 - 3(x + 2)~4 + 2 (x + 2)~3 - - ( a : + 2)~3

— = -9 (x + 2y 6 +12(x + 2y 5 - 6 (x + 2) -4 + ( jc + 2)~ dx

dy 9 12 6 1

¿x ( jc+ 2 ) 6 ( jc+ 2 ) 5 ( x + 2)4 (x + 2)

dy _ -9 + 1 2 (x + 2 )-6 (x + 2 )2 + (x + 2 )3

d x ( jc + 2 ) 6

rfy -9 + 12x + 2 4 -6 x 2-2 4 x -2 4 + x3+ 2 x2 +12 + 8

( jc + 2 )

dy jc3 - 1

6

dx ( jc+ 2 ) 6

( a + a ) - x

Desarrollo

r— (a + jc )(- l)y j Q — \ +-

2\[a~- x

l------ a + x 2 ( a - x ) - ( a + x ) , dy ay/a — x — - — - ” - -

2yJa — x 2\¡a - x dx 2>

(a + b x " ) '" - '

(a - bx” )'"“ '

- 3 jc

Diferentiación de Funciones

469 y = J (x + a )(x + b )(x + c)

• Desarrollo

(x + a )(x + b )(x + c ) = x 3 + (a + b + c )x 2 + ( ab + ac + bc)x + abe

[(jc + a )(x + b )(x + c )]' = 3x2 + 2 (a + b + c )x + ab + ac + be

y = J (x + a )(x + b )(x + c ) , derivando se tiene:

, dy [ ( * + a)(jc + í>)(j:+ £-)]' y — — = — y— , de donde se tiene:

dx 2-J(x + a )(x + b ){x + c )

,_ d y 3x2 + 2(a + b + c )x + ab + ac + ba

dx 2y](x + a )(x + 6)( x + c)

470 z = %jy + y[y

Desarrollo

iz = (y + J y )3 , derivando se tiene:

2 2

^ r ^ ^ y + J y ) 3( y + y [ y ) ' => 7 - = (y+7?) 3 (]+tt= )dy 3 dy 3 2^/y

dz _ 2yfy+l

dy 6yJ(y + \¡y)2 \[~y

471 / (r ) = (2r + 1)(3/ + 2)n/3í + 2

Desarrollo

4

/(/) = (2í + 1)(3í + 2) 3 , derivando se tiene:


4 £

f ' ( t ) = 2(3/ + 2) 3 + 4(2/ + l)(3/ + 2) 3

i i/ '(/) = 2(3/ + 2)(3í + 2)3 + 4(2/ + 1)(3/ + 2) 3 => / ’(/) = 2(7/+4)^3/+ 2

1

■ f la y -y 2

Desarrollo

dx 1 _-x = (2 a y -y 2) 2 , derivando se tiene: — = — (2a y - ;y 2) 2(2f l v - v 2) '

dy 2

* t , y ~ a- = - - ( 2a y - y ) 2 ( 2a - 2y ) = - = = = = =^ 2 ' V (2a v - / ) 3

473 y -\ n (\ ll + ex -\ )-\ n (y ll + ex +1)

Desarrollo

, dy ( 7 Í T 7 - 1 ) ' ( J l + ex - I ) *y - — = — ..... .............. =====----- , derivando se tiene:

dx \ l + ex — 1 v l + e ' + l

y ' - - dy - 2-y/l + eA 2/ l + e*

dx 7 l + V -1 V l + Z +1

- j - L - - t - í — ,d* 2\\ + ex v l + e* —1 v l + e * + l

y ,_ d y _ ex ^Jl + ex + l — yjl + ex - 1) y . _ d y _ ___ ]_

d* 2-Jl + ex ( l + ex) - \ dx + e


474

475

1 , 2 v = — eos' x(3cos x - 5 )

15Desarrollo

eos5 x eos3 X . y = -------------------, derivando se tiene:

y ’ = — = eos4 x(cosx ) eos2 x(cos x ) ' de donde se tiene: dx

. dy 4 2y = — = — cos x.senx + cos" x.senx

dx

dy 2 i dy *> 2y = — = cos x.$enx(l—cos x) => y ’ = — - cos“ x.saix(sen x )

dx dx

. tfy 3 2 y = — = sen x. eos xdx

_ ( f g 2x - l ) ( / g 4x + 10f,g2x + l )

3tg3x

Desarrollo

Efectuando el producto se tiene:

tg x+9 tg x -9 tg x -1 1 3 „ „ I -3’ = - -------- * 3 -------= - t g i x + 3 tgx-3 tg 1x - - t g 3>

3/g x 3 3

O O ^ o ”> / l oy '= rg x.sec x + 3sec x + 3tg~ í.sec x + íg ~ .sec x

, sen2x 3 3 . eos2 xy - — — + — ~ + — 2~ + — 4 eos x cos x sen x sen x

, sen6x + 3s« í4x .cos2 x + 3sen2x.cos4 x + eos6 xy = --------------------- ------ ---------------------

sen x.cos x


, _ (sen2jc + eos2 x)3 _ 1y 4 4 4 4sen x.cos x sen x. eos x

476 y = tg 2 5x

Desarrollo

y ' = — = 2tg5x.(tg5x)' = 2tg5x.scc2 5x(5) => y ' - — = 10rg5x.sec2 5x dx ' ax

477 V = — JíTlA'22

Desarrollo

, dy 1 ?/ 2\i cosx2 . , dy 2v = — = —cosx (x ) = -------- (2x ) => y = — = xcosx

dx 2 2 dx

478 y = sen2t 3

Desarrollo

y' = — = 2sent3(sent3) ' = 2sent3 cosr3(/3)' dx

y ' = í - = 6t2sent3 cosí3 = 3t2sen2t3 dx

479 y = 3senx. eos x + sen x

¿¡yy ' = — = 3 eos x + 3senx.2 eos (-senx) + 3sen~ x.cos x

dx

Desarrollo

y' - — - 3eos3 x - 6sen2x.eosx + 3se«2x.eosx dx


480

481

, dy . 3 jy = — = 3cos x - ís e n xcosx

dx

d\ ty ' = — = 3 cos x (cos' x - sen 'x ) = 3 cos x. cos 2x

1 3y = - t g x - t g x + x

Desarrollo

. dy 2 , \t 1 , , í/v /j?‘ xy = — = tg 'x ( tg x )------ — + 1 => y=-f- = -

dx eos2 x é/x eos2 jc

, _ d y _ fg2x - l + cos2 x

¿x eos2 x

, _ dy _ tg x - s e n 'x _ s e n 'x -s e n 'x .cos x' T Z ____4 ~~~dx eos x cos x

, dy íen2x (l-cos^ x) sen4x 4y = t = -----------5--------- = — 4- = ' * *

«x cos X eos X

cosx 4

Desarrollo

v , _ —1 íen3x(cos x ) cos x.3sen2 x(senx)' 4 ^

3 sen6x 3sen2x

1 - íen 4x -3 c o s 2 x.sen2x , 4 y =--( í------ )--

3 sen5x 3sen2x

1 ,sen2x + 3cos2x, 4y = r ( ---------- 3-------- ) —

3 sen* x 3sen2x

1

eos2 x

Eduardo Espinoza Ramot

4sen x

, 3cos2 jc -3 serCx eos 2x-----5--------= ------T3 sen x sen x

’ = yja.sen2x + ¡ ic o s 2

Desarrollo

y =

y =

(asen2x + /}eos2 x )' _ 2asen x .cosx-2/Jsenx.cosx

2^Ja7éñ2x + ^ô^~x 2y ]asen2x + ¡3eos2 x

(a -/J) senx. cosx

\]asen2x + p eos2 x

2 2aresenx + arccos x

Desarrollo

y -(x - ) ' (x ) ' 2x 2x

Vi — x4 -v/l - J r4 \ ¡ l - x 4 -v/l — x4y = o

>• = -^(aresenx)2 arccos x

Desarrollo

' = arcsenx(arcsenx)' arccos x + — (a resenx)' (arccos x ) '

aresenx. arccos x (aresenx)

y fí^ x2 2\¡\-x2

1 .2 arccos jc - aresenx. Bv = —arcsenx(--------- --------------- ) ]' 2

Desarrollo

■ wwmm ------ y ~

unció

Desarrollo


, V 1- x 2 + x árceos x , x árceos x - \ l\ - x 2

y = 3Vi-A 2 2(1 * }

48.' y = —j=- arcsen(x. —) -Jb Va

Desarrollo

2V

\fb yfb

\[a _ \[a

'Jb [i J2 b r- \¡a — x2b -J a -x 2b \ ¡a -x 2by = J ___>/á ________ Va - ? => y - = ----- I

r ~2 f •*48 y = \a - x +aarcsen —a

Desarrollo

a { -Y- x a . x ay '= r -...... + - f= ík = =* > ' = - = = + - - . ---------

yja2- x 2 L _ x2 yja - x 2 V a2 - x 2O

a - x y ja -x y ja - x l a - x , í a - xy = , — = - ------- --------= ------- =• y = , ------ para a > 0 .

_^2 (a - * ) ( « + * ) \ a + x \ a + x

I--------- x49 y = x\ a 2- x 2 + a 2arcsen —

a

Desarrollo

2 a ( ~ ) 2 2 2 2x „ , a - x - x a,.......... + , g--~ =* y ' = — , ■ + - , ----------

\la2 - x 2 2 yla2- x 2 yja2 - x 2


, 2a2- 2 x 2 . n -----2y ■ ....— = 2\¡a - x •; a > 0

J J ^ 2

491 y = arcsen(l - x ) + y ¡2 x -x 2

Desarrollo

_ d y _ ( 1 - jc } ' , ( 2 jc - x - ) '

dx y j l - a - x ) 2 2\¡2x- X2

, dy -1 1 — jc , dy - xy = ~ r ~ ' i , + - - => y -

t e -s/l — 1 -+-2jc — jc2 \ ¡2 x -x 2 te yj2x x 2

492 v = ( x - —)arcsen(yfx) + —y ]x - x 22 2

Desarrollo

v ' = = (jc — —) ' arcsenyfx + (jc- — )(arcsen\[x) '+ — ( te 2 2 2

, dy r 1 (V jc)' 1 1- 2.Íy = — = aresenyjx + ( x - —) - )

te 2 Vi —Jtr 4 V x ^ v 2

, dy /- 2 jc — 1 1 — 2 jc , dy r-y = — = arcsenyjx H-----+ — ■===■ => y = — = aresen^x

dx 4 -J x -x 2 4 v j c - jc2

493 y = ln(arcsen 5x)Desarrollo

_d y _ (arcsenSx)' _ -Jl — 2 5 í l ^ . = £ .

d* arcsen5x arcsen5x ' dx V l-2 5 x 2 .arcsenSx

494 y = arcsen (ln x)Desarrollo

J.

y dy ■ ( ln* ) ' ■■ X y . . .d y _ 1

dx \¡\ - (ln x )2 yj\- (\nx)2 dx xyj\- (\nx)2


.... . xsena495 y = arctg (— — — )

1 — xco&aDesarrollo

xsena (1 - -V cos a ).sena - xsena (- cos a )

y ' - dy - ( l-A -coso:J ^ y- = l = __________ (I -A c o s a )2___________dx i | ( xsena ^ ' dx (1 - x cos a )2 + x2 sen2 a

1-jccosa ( l - A c o s a )2

, dv sena - xsena. eos a + xsena. cos a , dy sena■ y = - •

dx l - 2jccosa + x2cos2o: + x2se/i2a dx l - 2xcosa + x2

x .2 5 2 + 4

496 y = —arctg-----------3 3

Desarrollo1

5,gf + 4 ,

, _ d y _ 2 ( 3 Y , dy 2 ( C0S~2

* 3 5 íg - + 4 3 9 + (5 fg| + 4)2

5(9)

, .dy _ 2 ( 6c0s2 2~ ) ^ y , _ dy _ 2 (____________15___________ }

* 3 9 + 5(rg — + 4)2 dx 3 2 eos2 ^ (9 + (5fg + 4)22 2 2


y ' - 5

dx cos2| (9 + 25í£2-* + 40/gí + 16)

, dy 5 y = — = ---------------------------------------, de donde se tiene:

dx eos2 - (25(1+ /g2^ ) + 4 0 ^ | )

y ' = ^ - =

dx eos2 — (25 sec2 — + 40 tg —)2 2 2

, dy 1 , dy 1y = — = -------------------- => y = -¿ - =

dx « . o x ___•* dx 5 + 4se/uc5 + 8íe/j —cos—2 2

497 y = 3b2arctg I— ---- (3b + 2x )\ lb x -x 2V b - x

Desarrollo

( I x ) '

y ' = 3b2— * b ~ ± . -----2 y jb x -x2 ~ (3b + 2x) {bxZ l L

l + ( , / - ^ - ) 2 ly jb x -x 2V —jc

b ____

■ — , ( t - 2, )

2,/ta- * 1b - x

' -31.2/ b (b - x ) f i 2 (3¿>2 + 2fo*-66.r-4jc2) y = 3 ¿ ( ----- = = ----------- = - ) - 2 s lb x -X A ----------------pr: ---------

2 b y ¡b -x (b -x y ¡x ) 2\¡bx - x 2


499

3b2 4 (b x -x 2) + 3b2 -4 b x -4 x 2

3 yfb^xyfx 2 s jb x -x 2

3b2 8 x 2 - 3 b1 , 3b2 + 8 a 2 -3 b 2 8 a 2

y = — r -— : r + — -v ~2 y lb -x y [x 2 s ]b x -x 2 2yfxylb — x 2 y jb x -x 2

4x2 \[x , I xy - ■ = 4a y = 4a.

\ fx y jb -x y ¡b -x \ b — x

498 _y = —y¡2arcctg - a v 2

Desarrollo

# )*■ = _V¿(— VL_)_1 =* v' = V2( ^cop-) - 1

1 + ( * S )2 ' 2+..V2 2

2cos2 a + sí,« 2a 1+cos2a 1 + cos2a I + co s 'a

eos2 A

< = 4 ¡rDesarrollo

, (eaxy aeax a y = — ¡ = = — j = = —yje

2'Jeax 2s¡eax 2

500 y = esenx

Desarrollo

y - e sen x (sen 2x )'= 2 s e n x .co s x .e sm x => y '= sen2x.escn x


501 F ( x ) = (2mamx + b )p

Desarrollo

F '(* ) = p(2mamx + b )p~' (2mamí + b ) ’ . derivando se tiene:

F '(jc ) = p(2mamx + b )p~' 2m2a mx lna

F ' ( x ) = 2m2p(2ma,nx + b ) p- ' a inx lna

502 F ( t ) = eca cos f i t

Desarrollo

F ' ( t ) = a e c“ c o s p t - P ewsenP t => F ' ( t ) = ea (a eos P t - P senp t)

( a senp x - P eos P x)eax503 y = ---------— —í-— ——--------

a + p -

Desarrollo

, _ (a eos /3x + b2senp x)eax + a eax (a senp x - P eos xp v)y =- , .

a + p~

. (/} + a )senp xeax a ,V = ---------- r------f-------- = senp xe

a + p

é504 v = ---- (3sen3x - eos 3*)

10Desarrollo

íT* íT*y = ---- (3sen3x - eos 3.v) H------ (9 eos 3* + 3sen3x)

10 10

ey = ---- (~3sen3x + eos 3* + 9 eos x + 3sen3x)

10


505

y' = --(10cos3x) = e a cos3a

10

y = x na x

Desarrollo

y' = nxn- ' a - x2 + x na - x\ - 2 x ) l n a => y '= a '* * x " - \ n - 2 x 2 lna )

506 y = 'Jcosx.a'^cosx

Desarrollo

y ' = - ^ £ L a ^ x + y í ^ . a ^ rx(y í ^ ) '\ n a 2vcos;t

senx.a °*x senx.yfcosxM osx ln ay =

2 sf<COS A 2veos a \

1 i--- Jcosx,senx senx j—— .= — veos x.av [--- + --- .Veos a ln a]

eos a eos x

y ' = — VcosA.fl'W (ígx + tgx.-Jcos a ln a)

y ' = —i %/cos a^cos *?&*(! + Veos A.ln a)

507 y =3i

« « -

Desarrollo


i1 C t g -

, ctg- ln 3 3 * ln 3

y =3 T_;— r = — T ~x2sen2 — ( xsen —)2

508 y = \n(ax2 + bx + c )

Desarrollo

, (a x '+ b x + c ) ' 2 ax + by =-

a * 2 + bx + c ax2 + bx +

509 y =; ln(;t + \la2 + x 2)

Desarrollo

1 + - *v ' _ ( x + yla2 + x 2) ' yjq2 + x 2

x + V a 2 + x 2 x + y]a2 + x 2

4~a2 ' ~2+ x + x

J a 2 + x 2(x + \la2 + x 2) y¡a2 + x 2

510 y = x -2 y fx + 2\n(l + yfx)

, , 1 , 2(1 + yfx)' , 1 yfxy = 1 — pr h---------- = — => y = 1 — = h— — = = 1 -

Desarrollo1

1 1

yfx 1 + yfx yfx l + yfx yfx yfxX + X

_ yfx + JE-(1 + yfx) + l _ X _ _ yfx

yfx(l + yfx) yfx(l + 'f x ) 1 + yfx

511 y = \n(a + x + y]2ax + x 2 )

Desarrollo


512

, _ (a + x + ' J lax + x2 ) ' a + x \ 2a x + x 2

. a + x1 +v =

%/ la x + x~ J l a x + x 2 + x + a

a + x + \Jlax + x 2 Vla x + x 2 (a + x + y¡lax + x 2) yjlax + x 2

1

xDesarrollo

ln2 x

i _-)y ' = — — = (ln jc ) “ => v'- - 2(ln x ) (ln x ) ' , de donde se tiene

ln x

y ' = -2 ln-3 x (—) = -x jdn 'jc

513 y = ln(cos ——-) x

Desarrollo

Lcos(--- •)] - s e n (--- )(----). ______ x _______ x x

, j r - l .cos{----- ) cos(----- )

JC X

. J C - 1 . . . 1 . , JC — 1. 1 . , 1 , x - l .y = t g ( ----- )(1— ) = - t g ( - ---- ) (— ) => y = — 5-tgC------)

X X JC JC- X ~ X

. ( * - 2)5514 y = ln-------- r(X + D3

( x - 1 ) 5

Desarrollo

y = ln — — ^ - = ln (x -2 )5- ln (x + l )3 => y = 5 1 n (x -2 )-3 1 n (x + l)( x + l )


515

516

5 3 2x + 11 , 2x + 11y = — « — --- r =» yx - 2 x + l x — x —2 x - x —2

„ U - l ) ^ - 2)

x - 3Desarrollo

y - in í í — l l l í í — - ln (x - l )3( x - 2) - l n ( x - 3) x - 3

y = ln (x - l ) 3 + ln (x - 2 ) - ln (x - 3) => y = 3 ln (x - 1) + ln (x - 2

3 1 1 , 3x2+16x + 19y = ------ - + -------------------- => y ' = .

x -1 x - 2 x - 3 (x - l ) (x - 2)(x - 3)

y - ------^ + ln(fgx)2sen'x

Desarrollo

sen 2x , 2sen 3x(senx)' (tgx)' y = -------— + In(í^x) => y ' = ---------- i------L + A A jL

2 2 tgx

cos x sec2 x , cosx 13 J 3sen x tgx sen x cos" xJgx

cosx 1 , cos2x + íen2x 1y = — — + - ----------- => y =------- ----------- = - j - --------

sen x senx.cosx sen xcosx sen x.cosx

1v =

sen3x. cosx

- ln (x

517 y = ^ i j x 2 - a 2 - ~ “ ln(x + yfx^+a2)

Desarrollo


1 + - *n 2 2 # 2 p; 7V. _ V * , * _______

2 <-» n ? 2 . /~2 r^ 2V-V - a ^ x + yjx - a

, x 2 - í i 2 + j c 2 a2 Vx2 - a 2 + jcy = ----/ . ~ T < r

, 2x2-a2 a2 2x2-2a~ , r "¿ 2

^ " a

518 y = ln(ln(3 - 2 jc3 ) )

Desarrollo

6a2

. [ln(3 — 2jc ) ] ’ _ 3 - 2jc3 ^ _________ 6x~

ln(3 — 2jc3 ) ln(3 — 2jc3 ) (3 - 2x3) ln(3 - 2x3)

519 y = 51n3(ax + fc)

Desarrollo

y '= 151n2(ax + ¿)[ln (av + b)]' => y ’ = 151n2(£ur + ¿>).

y

ax + b

, _ 15aln '(ax + b)

ax + b

J x 2 + a 2 + x520 y = ln(- ,----------- ,

yjx2 + a 2 - xDesarrollo

y = ln( ^.A~ + ü— — ) = ln(Vx2 + a 2 + x ) ~ ln ( yjx2 + a~ - x )yjx? + a2 - x


521

522

, ( y¡x2 + a 2 + a ) ' (-y/*2 + a 2 - x ) ' . y = — ; ------------ ,...... ....... , derivando se tiene:

■Jx2 + a 2 + a -Jx2 + a 2 - x

x + i - J L - - i, _ yjx2 + a2 f x 2 + a 2

y =

y =

\lx2 + a 2 + x yfx2 + a " - x

x + y j x 2 + a 2 x - - J x 2 + a 2

■Jx + a2 (>Jx + a 2 + x ) ( -Jx2 + a 2 - x )yjx2 + a 2

1 1 _ 2

■<Jx2 + a 2 \Jx2 + a 2 yjx2 + a 2

m, , 2 2x n , x ~ay = — ln(A - a ) + — ln------

2 2 a x + a

Desarrollo

y = — ln(A2 - a 2) + — [ln (.t-o )- ln (.v + a )]2 2o

, /n, 2x N w , 1 1 'y = — (— — —r) + — (----------------) , de donde se tiene:

2 x — a 2a x —a x + a

mx n ,x + a - x + a sy = —— 2 + ^r (— 2— — >x - - a 2 a x -a ~

2 2 2 2 J 2 2* - a * - a x - a

y = A.sen(ln a- - —)4

Desarrollo


5 2 3

y ' - sen(\nx- —) + ;ccos(ln.*- — )(ln x - —) ', derivando se tiene:4 4 4

K Xy ' = sen( ln x ---- ) + cos(ln x ---- )

4 4

y ' = .«jn(ln a ) c o s — - cos(ln x)sen — + cos(ln x) cos— + ,sen(ln x)seti —4 4 4 4

V2 V 2 72 V 2y ' = — sen (ln x )-— cosíln a ) + — cos(ln v) h----- sen(lnx) ,por So tanto

2 2 2 2

’ = v 2íen(ln a )

1 , , x . 1 cosx y = -ln (/g

2 ' “ 2 ' 2 ~ ~ 2sen xDesarrollo

(í? —) 21 6 ? 1 sen x(-senx) - cos x.lsenx cos a

y = 2 T T - " 2 -----------------^ ----------------

tg2

1 2 a". - C O S — 3 , i 21 2 2 sen x + 2 eos x.senx , .

y = — —-------— + -----------— 7-----------, de donde se tiene:


1 eos2 x + l . 1 eos2 x + ly = ------ r + —— i— =* y =-

4cos- . s e n - 2sen' x 2senx 2sen' x2 2

sen"x +eos2 x + l 2 , 1y = ----------------------------- = ------------- y = -

2sen^x 2sen3x sen'x

524 / ( x ) = yjx1 +1 - liix

Desarrollo

Aplicando propiedad de logaritmo

/ (x ) ~ V x2 +1 - ln(l + Vx2 + 1) + ln x , aplicando la derivada se tiene:

/ w = 'V x2+ 1 1 + v x +1 *

* * 1f (x ) = ,----- - — =====------ . + --v/x2 +1 Vx2 + l ( l + Vx2+ 1) *

2(1 + Vx2 + l ) - x 2 + V x 2 +1 (1 + Vx2 + 1)f \ x ) = X~

f ' ( x ) X

r2f \ x ) = —

x+Jx2 + l(V x 2 +1 + 1)

2(l + >/x2 +1 - l ) + yjx2 + 1(1 + Vx2 + 1)

xVx2 +í(l + Vx2 +1)

\Jx2 + l + \ l x 2 + l ( l + \Jx2 + 1)

xy¡x2 + l ( l + V x2 +1)


525

526

r v * 2 + i W x + i V x + i ( i + V x + i ) . _ V-v2 + 1/ ( x ) = --------- f = = - = ------------7= = = — => ./ ( a ) = ---------

x(l + Vx2+ l ) x(l + Vx‘ + l ) *

y = ~ln(1. . x2 - 2x +1

3 x2 + x +1Desarrollo

y = —[ln(jc2 - 2x + 1) - ln(x2 + jc + 1) ] , aplicando la derivada se tiene.

1 ( j c 2 — 2 j c + 1) ’ ( jc 2 + jc + 1 ) ’ , 1 2 x - 2 _________2 x + l

3 jc2 — 2jc + 1 jc2 + jc + 1 ' 3 x2 - 2 x + \ x : + x + l

, 1 r 2 ( j c - l ) ( j r + jc + 1 ) - (2 jc + 1) (jc - 2jc + 1 ) .-V = - [--------------- .2 S S ln J i ------------------------13 (x - 2 x + l ) (x + jc + 1)

. 1 r2(x3 - l ) - ( 2x3 -3 x 2 + l ) ny = - [ ------------ ----------- i---------------- J

3 ( j c - 1 ) ( j c 3 - 1 )

, l r 3x2 - 3 . x2- l x + 1 , x —1y ' = _ [ ----------------------------------] = ---------------------------------- - -------------- = > y = --------------

3 ( x - l ) ( x 3 - l ) ( x - l ) (x 3 -1 ) x3- l x3 — 1

y = 2arcsen x + (1 — arCCOS3x)2

Desarrollo

y '= 2“rcseni*(arcsen3x)' ln 2 + 2(1 - árceos 3x)(l - árceos 3x)’

y ’ = 2arcse"*x + 2( l - arccos 3x) - 3V l- 9 x 2 V í- 9 x 2

y ' = L — (2arcsenix ln 2 + 2(1 - arccos 3x))V l - 9 x 2


senax . 3— 1 sen ax

527 y = 3C0S<U + —3 eos3 bx

Desarrollo

senax . 3----- 1 sen ax

y = 3cosat + ---------- aplicando la derivada se tiene:3 eos bx

,.. = 3= l n 3 ^ Y H — )2(— ycos bx cos bx cos bx

. - sen2a x ,, a cos tacos ax + bsenax senbx „y = ( 3 COSb x j n 3 + --------- --------) ( ------------------------------------- ----------------------------------- )

cos eos bx

t g * + 2 -7 31 6 9528 y = _ i n ( — 2----------- )

^ . « í + 2 + 73

Desarrollo

.y = -p[ln (/# + 2 - 73 ) - ln[rg + 2 + 73] n/3 2 2

(* * 1 + 2 - 7 3 ) ' ( íg ^ + 2 + 73 )'

> '= - } - [ — 2----------------------------------- J73 t g í + 2 -7 3 t g ~ + 2 + S

1 12 A' _ 2 *

, 2 COS — 2 COS —y = _ L [ ----------- 2------------------2— j

n/3 í g - + 2 -7 3 í g - + 2 + 73

2 * 2 « sec — sec —L . [ ---------- 2------------------3_ J

273 tg ^ + 2 - j 3 tg ~ + 2 + 73


529

530

. sec2 ^ (íg ^ + 2 + a/3) - sec2 ^-(tg - + 2 -\ ¡3 )y ’ = [ -------- 2 ------ 2-----------------------------2------ 2-----------------j

( t g ± + 2)2 - 3

R 2 * 2 X 2. 2V3 sec — sec — sec

.v = , - U -------------2-1 - -2 -(,s | + 2)! - 3 ( , g í + 2)! - 3 is 2 Í + 4 i s Í + 4 - 3

2 X 2 ■*sec - sec9 0 y ' = ------------- -------- = ------------------, por lo tanto:

( tg2 — + l ) + 4 t g - sec2—+ 4tg —2 2 2 5 2

1t , a x , a. x 1 + 2senx1 + 4 sen — + 4 tg —

2 2

y = arctg (ln x)Desarrollo

\(ln.v)' x • 1y = ----------— = ------i ------ = > y = ------------ ------

l + ln2x l + ln2,r x (l + ln2x)

y = ln (aresenx) + in2 x + arcsen( ln x)

Desarrollo

, (aresenx)' , „ ( ln x ) ’y = - ----------—+ ln x (ln x ) + =

aresenx ^1 - ln2.

1

, _ Vi - r2 , ,n * , 1•y _ -------------------- + -----------+ ....... ........' '

aresenx x x V l- ln

* I <n

|


, 1 ln a: 1y = - = = --------- + — + -

\ll — x2 arcsenx x x-J 1 — ln~ x

531 y = a/rfg(ln-í-) x

Desarrollo

0“ - ) , , v x (- ln x )y - •*--------- «l + ( l n i )2 l + ln2A A ( l + ln2A)

y¡2 X 1 , X -1532 y = ----arctg—¡= + — ln

3 6 V2 6 x + l

Desarrollo

(— Y —, ^ \Í2 l r 1 1 , . S , y¡2 , l r 2 .

J # T ^ í ' T f í - ' = T (^ 7 , + 6 [7 r r '1 + — ----------- —

2 2

, yfí 2 . 1 . , 2 1^ = - r ( - ? r 7 :— — ) + ■ ■ .- - - => y = .

3 \¡2(2 + x2) 3 ( a 2 - 1 ) 3 ( 2 + a 2 ) 3 ( a 2 - 1 )

1 2 a 2 - 2 + 2 + a 2 , , 1 3 a 2 s a 2y ' = ( .... . ..- - => y ' = - ( — -----=— -) =

3 ( a + 2 ) ( a - 1) 3 a + x~ - 2 a + a " - 2

, l + V senx . /-----533 y = ln----- 7= '+ ¿arctg \¡ senx

l — yjsenx

Desarrollo

y = ln ( l + \ lsenx )- ln(l - \lsenx) + larctg Vícwa


534

, (1 + yjsenx)' (1 -y jsenx) ' 2( yjsenx)'y = -------7 = = ----------- 1------" + ~— -------

\ +yjsenx 1 - y ] senx 1 + serve

COS JC COS JC COS JC

y ' = — senx i 2 V senx | y]senx1 + \/senx 1 - Jsenx 1 + senx

cosjc 1 + 1 + 1

yjsenx 2(1 + Vsenx) 2(1 -y jsenx) 1 + senx

cos x 1 1 — yj~señx +1 + \fseñx 1y = /— (---------:-------- :---------) + :

-v/senx 2 1 -senx \ + senx

c o s j c 1 1 , c o s j c r l + senjc + l-.se/u;,y - - = = [ - -------------- + - ----------------- ] = > y = - = = [ - ---------------- — ---------------- - ]

yjsenx 1 - senx 1 + senx yjsenx (1 - senx)(l + senx)

c o s j c 2 , c o s j c „ 2 N y ' = - ¡ = ==■[-------- — ] y = - p = = r (---- — ) = •

y]senx 1 - sen2x \lserve eos2 jc ~yf.senx cos a

3, x - l 1, , jc-1 . 1y = - ln(— ---- ) + - ln(------) + - aretgx

4 jc2 +1 4 jc+ l 2

Desarrollo

V = — [ln(A'2 + l ) - ln (A 2 - 1)] + — ln í.v -1) - — ln(x + l) + — aretgx4 4 4 2


535

536

-3x x2 +1 + x2 -1 3x x 2 x2 - 3 xy ' = -----------------1-------------------------------------= > y = ----------------------------1----------------- -------------------------

x4 -l 2(jc4 - 1) x4 - l x4 -l x4 -l

/ (x ) = i ln(l + jc) - i ln(x 2 - x + 1) + arctg ( 1)2 6 V3 V3

Desarrollo

J2

f \ x ) = ---- ------------ \X ~ X + -------- J L2(1 + *) 6(x2 - j c + 1) ^3(1 + (— ——)2 ]

V3

/ ,( t ) - 3U2 - A + l ) - ( 2jc - l ) ( * + l) |

6(x3 +1) 3 + 4 * 2 —4 jc+1 _ /

. 3jc2 -3 x + 3 -2 x 2 - x + l 2 / ( x ) = ---------- — 5— ----------- + -

6(jc3 +1) 4x2 - 4x + 4

x 2 - 4jc + 4 1 x2 - 4 x + 4 1 / ' ( x) = — — --------- + — 7 — ------- => / ( x ) = ------:-------+ -

6(x 3 + 1) 2x2 - 2x + 2 6(x3 + 1) 2(x 2 - x + l)

4 (x 2 -4 x + 4 )(x + l) + 3x + 3 ... . x3-3 x 2+ 4 + 3x + 3/ (x ) = ----------------t----------------- => / (x ) = ----------- -----------

6(x + 1) 6(x + 1)

v 3 - ' i r 2f ( x ) =

x3 -3 x 2 +3x + 7

6(x + 1)

DesarrolloV T -x 2


V i - * 2(arcsenx + . X •«) -

/ 'u ) = ------------------- Vl Z L + ..V i ~ Z .1-JC2 V i- *2

„ . _ - 2

/ '( * ) =y j l - x " arcsen x + x , - x

l - x 2 ( l - * 2)

„ V i- JC2arcsenx , t/ \J\-x2 arcsenxf \ x ) = ----------- 5------ => / ( * ) = ----------- 2------

( l - x 2 ) 1 — jc2

y = senh 2x

Desarrollo

y '= 3senh2 2x.cosh2.r(2) = 6senh 2 2 a . cosh 2x

y = « “ * cosh [ix

Desarrollo

y' = <?“ * cosh p x + /3e°“ senh/5 x => y' = e “ (a cosh /lr + /? senh ¡ix)

y = tg 3h 2x

Desarrollo

y ' = 3tgh22x.------r----= 6tgh22x (\ - tg h 22x)cosh" 2x

y = ln(senh 2x)

Desarrollo

, (senh2x ) ' 2cosh2xy ' = ---------- - = ------------= 2ctgh2x

senh2x senh2x


541 y = arcsenh{—~) a '

2*2

V =2*

Desarrollo

2x

542 y = arccosh (ln x)

, dy (ln x) '

Desarrollo

1* , dy 1_ ____________ _ ----- í -------- —\ y — —i . — ----- . ----

dx y](\nx)2 -1 ^ (ln * )2 -1 dx x^J(\nx)2 -1

543 y = arctgh (tg x)Desarrollo

1, _ d y _ (tgx)' _ eos2. 1

dx 1 - ( t g x ) 1 - ( t g x ) cos2 x(1 —

COS X

y =1 1

eos2 x — sen2 x cos 2*y -

i

eos 2x

544 y = arcctgh (sec x)Desarrollo

, dy (sec * )' secxtg x sec* 1 , dyy =- r=— i— : = --- ^ L- = — — = --- =* y =dx sec x -1 t g 'x tgx senx dx se

545 y = arctghi 2X ) l + x

Desarrollo


2 x (1 + x ~ ) 2 - 2 a ( 2 a

. « W v 0 + ^dx i / 2 x ^ (1 + a 2) 2 - 4 a 2

l - * 2 ~ ( l + A2)2

, dy 2 + 2a 2 - 4 a 2 _ 2 - 2 a 2 , 2 ( 1 - a 2) _ 2

dx 1 + 2a 2 + a 4 - 4 a 2 1 - 2 a 2 + a 4 ( I - a 2) 2 I - jc2

l JC546 y = —(a -\ )arctghx + —

Desarrollo

, dv , .A2 -l l . Iy — “ ■ — a arctgh a + ---------7 ) + -

dA 2 l - a 2

, dy l l , dyy = — = xarctghx — + — => y = — - xarctghx

dx 2 2 dx

.A2 1 A-v/l + A2547 y = (— + —)arcsenhx-------

2 4 4

Desarrollo

A2 1. 1 \ 1-A2 Ay ' = a arcsenhx + (— + —)

V Í-J

2 4 y]i + x 2 4 4\¡\ + x

2 a 2 + 1 1 1 + a 2 — a 2

,2

4 Vl + A2 4\ll + X 2

,2 x ¿ + 1 1 2 a 2 + 1V1 = xarcsenhx + (---------) —=====------. ■■■ ■■■■■ =» y '-xarcsenhx

4 V Ü 7 4 V Í T 7


548 Hallar y' sí:

a) y = | x |Desarrollo

. | . X si A > 0 , f 1 SÍ JC>0Si y =| *l= i . „ derivando y =\ .

-x ii x < 0 -1 si x < 0

Luego y' =1 , cuando x > 0 y / = -1

Cuando x < 0 y y' (0) no existe

b) y = x | x |Desarrollo

. , í x2 si x > 0 í 2x si x>X)y = jcjc=-^ derivando y ’

- x 2 si j c < 0 \ ~ 2x si x <0

549 Hallar y' sí: y = ln | x |, (x * 0)

Desarrollo

jc' 1 , 1y = _ = _ = * y

X X X

550 Hallar / ' ( jc) si: / ( jc) =1-jc cuando j c < 0

e~x cuando j c > 0

Desarrollo

/ '(•*) =1 cuando jc < 0

- e ~

551 Calculo / '(O ) sí: f ( x ) = e x c o s 3jc

Desarrollo


f ' ( x ) = e~x ( -3 s e n 3 x ) -e x c os3jc => f ' ( x ) = e~A(3sen3x + cos3x)

f ' ( 0 ) = -e°(3sen0 + c o s 0 ) - - l => / '(0 ) = —1

552 /(jc) = ln(l + x ) + arcsen^. Hallar / '(1 )

Desarrollo

1 + J[ / j 7 1 + Jf y¡4 - x 2

f \ d = I + - L => / ’(1) = - + —2 V3 2 3

553 y = rg3 — . Hallar ^ 6 ¿jc jt=2

Desarrollo

, „ 17tx 2 n x n n , 7T.c y = 3 t g — .sec- ’— — = — (tg — sec— )-

6 6 6 2 6 6

,i dvy U 2= y -dx

= > ^ .se cf)24(V3.2)24(3)(4) = 62 3 3 2 2x=2

554 Hallar /+(0) y /_7(0) para la función / (x ) = yjsenx2

Desarrollo

Por definición /+ (0) = lima->+o /i

Como / (jc ; = yjsenx2 , f(0 ) = 0, /(O + A) = yjxen h ?


555

556

Luego: f l (0) = lim ---- - = lim -yjsenh2 - 0

h

senh2h1

h-t+0 h A-» 0 h

= 1=1A—>+0 1 1

/.'(O) = lim / (0 + * ) - /<0) = lim/i—»—O /l A-» O /l

yjsenh2

/_/(0)= lim — ^ — = lim ^

senh2

h2 — -~r => / _ (0 ) = - la-*-o h /i->-0 -1

—h

Dada la función / (jc) = e - * . Hallar / (0 ) + jc/ ’ (0)

Desarrollo

Como /(jc) = e - * derivando se tiene / ’ (jc) = - e ~ x

/ ’ (0) = - l y f(0 ) = 1. Luego /(O) + x / '(0 ) = 1 - x

Dada la función / ( jc) = \ll + x . Hallar: / (3 ) + ( x - 3 )/ ' (3)

Desarrollo

Como /(;c) = VT+x derivando se tiene / '(jc) = — ~2\fl + x

Luego f(3 ) = 2 y / ’(3) = 4

/ ( 3 ) + (jc - 3 ) . / ' ( 3 ) = 2 + Z - l =


557 Dadas las funciones f(x ) = tg x y <p(x) = ln( 1 - x). Hallar

Desarrollo

f(x ) = tg x =* / ' ( * ) = sec2 x

<p(x) = ln( 1 - x) =* <p'(x)= 1l - x x - \

f \x) - sec2 x \ f\ x ) = 1 / ’(0) 1i => < . Luego: -------= — = -1

cp\x) = — U>X*) = -1 <P\ 0) -1jc — 1

558 Dadas las funciones f(x ) = 1 - x y <p(x) = l - s e n ( — ) . Hallar yr~~

Desarrollo

f ( x ) = l - x => / ’ ( * ) = -1 => / ' ( l ) - - l

a>(x) = \- sen(— ) => (p\x) = — cos(— ) => ^ '(x ) = — (0) = 02 2 2 2

<P’( 1) _ 0 _ Q / '( l ) - i

559 Demostrar que la derivada de una función par es una función impar y la de una

función impar, es par.

Desarrollo

Sea f(x ) una función par, entonces: f(-x ) = f(x )

f ' ( - x K - x y = f ' ( x ) - f ' ( - x ) = f ' ( x ) => f ' ( —x ) = —f ' ( x ) .

Luego f ' ( x ) es impar.


Si g (x ) es impar g(-x) = - g (x ) g ' ( - jc ) ( - x ) '= - $ ' ( * ) => - g ' ( x ) = -g '\

g ’ ( - x ) = g ’ (x ) . Luego g ’ ( * ) es par

560 La derivada de una función periódica es una función periódica.

Desarrollo

Sea f(x ) una función periódica cuyo periodo sea T, es decir f(x + T ) = f(x),

f ' ( x + T ) ( x + T ) ' = f ' ( x ) => f ' ( x + T ) = f ' ( x )

/ ' ( * ) es periódica

561 Demostrar que la función y = xe~x , satisface a la ecuación xy'= (1 - x )y .

Desarrollo

Como y = xe~x => y '= e~x - xe~x => y' = e~x ( \ - x )

xy '= xe~x ( \ - x ) =$ xy'= ( l - x)xe~x = (\ - x )y => xy' = ( l - x ) y

e-x2562 Demostrar que la función y = —y - satisface a la ecuación x y ' - ( \ - x 2)y

Desarrollo

^ .Como y = ----- derivando se tiene:


563

564

Demostrar que la función y = ------------- satisface a la ecuación1 + x + lnjc

xy'= y (y ln jc - 1)

Desarrollo

1 , (1 + jc + ln x )'y = ------------------ =}■ y = -------------------- -

1 + jc+ ln x ( l + jc + ln x )

1+ X * + 1 . * + * 2

y = ------------ --— 7 = -------------------------7 => y = -----------y(1 + x + lnjc) jc(l + jc + ln.v)“ ■*

jcy' = - ( j c + l ) y 2 — ( 1)

Como y = ------ - — ■ =* y( 1 + x) = 1 - y ln x, de donde se tiene:1 + jc + ln ,v

y 2(l + x ) = y (l - yln.v) — (2)

Reemplazando (2) en (1) se tiene: xy' = - y ( l - y ln jc)

xy'= y (y ln * - 1)

7) D E R IV A D A L O G A R IT M IC A .-

v ' /*Sea y = f(x ). Entonces (ln y ) ' = — = ------- . Hallar y ', sí:

y /(*)

3 f~ 2 1 - X 3 2y = \ x -------sen jc.cos xl + x 2

Desarrollo

2 -> ln y = ln x - ln(l + x ) + ln(l - jc) + 31n senx + 2 Incos jc


y ' 2 -1 2x 3 cosjc 2 senx~— = ---- K-------------- - + -------------------y 3jc \ - x 1 + jc senx cos jc

. , 2 1 2 jc „ xy - y (~— -------------- 7 + 3ctgx - 2tgx)

3x l - x 1 + a

565 Hallar y ' , sí y = (senx)x

Desarrollo

Tomando logaritmos se tiene: Ln y = x ln (sen x.)

— = In(smv) + -------- y '= y(ln senx + jc ctgx)y senx

y' = ( senx)* (ln senx + xctgx)

566 y = (x + l)(2x + l)(3x + 1)

Desarrollo

Ln y = ln (x + 1) + ln (2x + 1) + ln (3x + 1)

y ' 1 2 3 , , 1 2 3 x— = ----- H---------- 1-------- => y = y(----- ■ + ------- + --------)y jc + l 2jc + 1 3jc + 1 jc + 1 2jc + 1 3jc +1

y' = (2 jc + 1)(3jc + l ) + 2 ( jc+ 1)(3jc + 1) + 3 (jc + 1 )(2a + 1)

567 y =( x + 2)2

(jc + 1)3(jc + 3 ) 4

Desarrollo

ln y = 2 ln (x + 2) - 3 ln (x + 1) - 4 ln (x + 3)

y ' 2 3 4 . , ^— = ------------------------ , de donde se tiene:y jc + 2 jc + 1 jc + 3


568

, 2(x + 1)( x + 3) - 3(x + 2)(x + 3) - 4( x + 2)( x + 1)

(x + 2 )(x + l)(x + 3)

-5x2 -19x-20 ( x + 2 )2 5x2 +19x + 20

y ^ (x + 2 )(x + l) (x + 3 ) (x + 3)4(x + l )3 (x + 2 )(x + l)(x + 3)

, (x + 2)(5x2 + 19x + 20)

(x + l )4(x + 3)5

O

Desarrollo

ln y = - i [ ln x + ln (x - l ) - ln ( x - 2)]

y = I + ( I + J ______ 1_ ) ^ y ( x - l ) ( x - 2) + x ( x - 2) - x ( x - l )

y 2 x x -1 x - 2 2 x ( x - l ) ( x - 2)

- íx (x -1 ) 1 x~ - 3 x + 2 + x~ - 2 x - x ~ + x

x - 2 '2 x ( x - l ) ( x - 2)

, y jx ( x - l ) x2 — 4 x + 2 , x2 -4 .V+2y = J r - 7 = = - ( — ---- ITT---- — ) ^ •2\Jx- 2 x (x - I)(x - 2) 2y l x ( x - l ) ( x - 2)

569 y = x dx2

x2 +1Desarrollo

ln y = ln x + ^[ln x2 - ln(x2 + 1)]

- = - + { ( % — p ~ ) => i L = i + i ( 2 _ _ | £ _ )y x 3 j r jc -t-1 y x 3 x x + 1


y ' 1 2 2 jc , , 5 2x 5jc2 + 5 - 2 j c 2— = — |------------------ => y = y (--------------------) = y (----------------- )y x 3x 3(jc2 + 1 ) 3x 3(jc2 + 1) 3jc(jc2 + 1)

, , 3x2 + 5 N J x 2 , 3x2 + 5 . , 3x2 + 5 J x 2

y ~ y 3 x (x2 + 1) 1 x 2 + 1 3 x (x2 + 1 ) ^ V 3(jc2 + 1 ) V x 2 + 1

570 y = . . .

V U - 1)5( j c - 3 ) "

Desarrollo

ln y = 9 ln(* - 2 ) - 1 [ 5 ln (* - 1) + 11 ln(jc - 3 ) ]

z : = _ 9 _ _ i (J _ + _ I L )y j t - 2 2 x — 1 jc — 3

, 1 8 ( jc - 1 ) ( jc - 3 ) - 5 ( jc - 2 ) ( jc - 3 ) - 1 1(jc - 2 ) ( jc - 1 ) ,y = y (-------------------------------------------------------------)

2 ( jc—1)( jc — 2 ) ( jc—3 )

( j c - 2 ) 9 , 2jc2 - 1 4 * + 2

^ V ( j c - 1) 5( j c - 3) u 2 U - 1 ) ( j c - 2 ) ( j c - 3 )

(jc — 2 )8 (jc2 - 7 j c + 1)y = ----------------------- -------

( j c - 1 ) ( j c - 3 ) V ( ^ 1 ) 5( j c - 3 ) 11

CIA V X - I5 7 0 y = , — , ----- -

y](x + 2)2 iJ(x + 2)3Desarrollo

ln y = l ln ( jc - l ) - - j ln ( jc + 2 )- l ln ( jc + 3 )

256 Eduardo Espinazo Ramos

Z - = ---- ----------------------- (------ )y 2 ( x - l ) 3 ( x - 2 ) 2 jc + 3

, /3(a + 2)(x + 3 ) -4 (* - lX J f+ 3 )-9 ( jc - l ) ( . t + 2 )y - y ( ------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------)

6U -D (jc + 2 )(x+3 )

• - - 5x2 - x + 24 )

\f(x + 2)2 -J(x + 2)3 3 {x - l )U + 2X* + 3)

5jc2 + x -2 4

3(jc- 1 )2(jc + 2 )3(jc + 3 )2

572 y = x x

Desarrollo

ln y = ln x x = x ln x , derivando

y '— = ln x+ l => y '= y ( ln x + l) => / = x*(lnjt + 1)y

573 y = jt' 2

Desarrollo

ln v = ln x x = .v2 ln x , derivando se tiene:

V 2— = 2x ln ;t+ jt => y' = y (2x ln x + x ) = x x ( 2x ln .* + x ) , de donde se tiene:y

/ = .r * 2+1(21n.í + l )

i574 y = yfx = x*

Desarrollo


ln y = ln x* => ln y = , derivando se tiene: x

y ' 1 — ln jc , 1 — ln jc , xr - 1 -ln jci - i n j f , f - 1 - i n j cy = y ( — r - ) => y = W — t ~)>y J y / ' J v ' 9

y x¿ x ¿ x¿

575 y = JC^

Desarrollo

lny = ln jc^ = V lln jc

/ ln.v Vx lnjc 1 , ^ 2 + lnjc.— = — r + — =* y , = y ( - r + - r ) => v ’ = xv* (— - = - )y 2 v j c X 2 v j c VJC 2 V jc

v

r * - 1- 1_y' = jc 2(1 + —ln jc)

576 y = x x

Desarrollo

ln y = ln x x — x x ln jc , derivando se tiene:

= xx ( - ) + (jc* ) ' ln jc = ( jc* ) ’ = j c1 (ln jc + 1)

~~ = xx(—) + jc* (lnjc + 1)ln.v => v' = y [ x x( — + ln2 jc + lnjc)]y x x

y ' = xx jc* (— + ln2 jc + lnjc)JC

577 y = x smx

Desarrollo


ln y = ln x senx = senx. ln x , derivando se tiene:

— - cos x .ln x + S€nX => y ' = y(cosx.lnx + ^ - ) , de donde se tiene:

y ’ s ¡x™ * ( — +coax.lnx)

578 y = (co sx )5í7,j;

Desarrollo

lny = ln (cosx )""* = senx. ln(cos x ) , derivando se tiene:

— = cos x. ln(cos x ) - - - => y '= y [cos x. ln(cos x ) - íewx.fgx] y cos x

y' = (cos x ) senx (cos x. ln(cos x ) - senx.tgx)

579 y = (l + V x

Desarrollo

I r - 1 ln y = ln(l H— ) = xln (l + —) , derivando se tiene:

x x

. 1 , 1

= ln(l + 1) + x x = » y ’ = y [ ln ( l+ - ) + x x ]V X 1 X x + 1 J X + —

X X

y '— y[ln (l + 1) + x (— => y ’= ( l + 1) Jci n [ ( l + S - 1x x (x + l ) x x x + 1

580 y = (arctgx)x


Desarrollo

ln y = \n(arctgx)' = jcln(arctg x ) , derivando se tiene:

1

V = ln (arctgx) + x *LnC'8 ^ = > y '= y [ l n (arctg jc) + j c - + x ] y arctg x arctgx

Xy' = (a rctgx)x [ln (arctg x ) + ---------------— ]

(1 + x )arctg x

Í2.3. DERIVADAS DE FUNCIONES QUE NO ESTÁN D; 1 EXPLICITAMENTE.-_______________________________

a) D ERIVAD AS DE L A FUNCIÓN INVERSA.-

Si la derivada de la función y = f(x ) es y'x * 0 , la derivada de la

/ I dx 1inversa x = f ( y ) será. jc = — , osea — = —-

y y x dy dydx

b) D ERIVAD AS DE FUNCIONES EN FO R M A P A R A M É T R IC

medio del parámetro t.

Si la dependencia e m re la función Y y el argumento x viene d¡\x = (p(t)

[y = y ( t )

, ^ dy

Se tiene y ' = ' en otra notación es: V =x, dx dx

dt

c) D ER IVAD A DE L A FUNCIÓN IM P L ÍC IT A :

Si la dependencia entre x e y viene dada de forma implícita F(x,y)=

para hallar la derivada y'x = y' en los casos mas simples, bastará:


1) Calcular la derivada con respecto a x del primer miembro de la

ecuación (a ) considerando a y como función de x.

2) Igualar esta derivada a cero, es decir, suponer que: ^ F (x ,y ) = 0dx

3) Resolver la ecuación obtenida con respecto a y ' .

581 Hallar la derivada x'y , si:

a) 3* + x 3 = y

Desarrollo

dy „ „ 2 dx 1 / 1- = 3 + 3* =3 = — r => X = — —r- d* dy 3 + 3* 3 + 3*

. 1b) y = * — senx7 2

Desarrollo

y;/ _ dy _ cos x d x • 2

dx 2 dy 2 - c o s *

JC

c) y = 0.1* + e2

Desarrollo

i dy n , e 2 dy 0.2 + e 2 dx 2y = — = 0.1 + — => — = ---- ----- => — = ----------

dx 2 dx - 2 dy0.2 + e2

, 2 i 2 10 / 10y = -------- 7 = » T = -------7 =» *> = ------ I

0.2 + e2 - + e2 \ + 5e2 l + 5e2


C A L C U L A R L A D E R IV AD A y ' — — de las funciones siguientes daddx

forma paramétrica.

582jc = 2/ — 1

y = t3Desarrollo

x = 2t - l

y = t3[ ' , derivando tenemos: — = — =[>i = 3 t 2 dx x[ 2

583* = - + 1

t

/+ !Desarrollo

jc = — »-1 i

y = ( ~ ) 2 í + i

xi = —( t + l f

y,i t

derivando se tiene:

( í + 1)3

21dy _ y1, _ (r + D*dx / + !

( í + D2

584

JC = -2at

Ü 7

a ( i - t 2)

l + r2Desarrollo


x =

y = -

2 at

Ü 7

a ( l - t 2)

l + t2 y' .=

2a ( \ - t 2)

(1 + t2)2 —4at

( l + t2)2

—4at

dy , yj ( l + t2)2 _ y* j .2,2dx 2a ( l - l )

(1 + f 2)2

2/

l - t 2dy

dx

21 \ - t 2

585

x = ■3 at

i ^ 7

3 at2 1 + r3

Desarrollo

x =

y =■

3at

1 + f3

3 at2 1 + í 3

3a/(l-2/ )

(1 + í3)2

, 3 a t (2 - t3)

>v = ( i+ < 5) !

3 a í (2 - r )

/ >’/ U + *3)2 _ >(2 -> 3)

dx y* x¡ 3a (l—2í3)2

(1 + í3)2

1 - 2 Í3

dy _ / _ í ( 2 —í )

d t _Vj: l - 2í3

586

Desarrollo


\x = S t

[ y = t í

y,,=w

i

dy= i _ y j _ 3 ¡ [ i2 _ 2 yft _2_

dx _ L 3 # 3\/f2sít

^ = v / = _ dx * 3V ,

587-* = Vf¿ + l

/ - I

V/2+1

: = VÍ2 + 1

> =f^-l

V ^ T Í

Desarrollo

tVr +1

1 + r

( r + 1)2

l + f

dy _ ../ _ y/ _ ( t 2 + 1)2 (l+j)V l+r \+t y* / * 7

V i + / 2 ( f2 + i ) 2/(i+/2)

dy _ „ / _ l + /

d x ~ y* ~ ,(\ + t2)

588x = a(cost i-1 sent)

y = a (s e n t - t cos t)

Desarrollo

(n I*;


a(cosf + tsent) j.v, = atcost

a (s e n t - tc o s t ) [y, =atsent

dy _ / _ y, _ atsenl _ sent

dx x x1. atcost cosí= tgt

dy ,- j L = yx = t g ‘dx

589x —a eos21

[ y = bsen2t

Desarrollo

acos21 I x¡ = - 2a sent cos t

■ bsen2t [ y¡ = 2bsen t cos t

i _ y, _ 2bt sen t cos t _ b

x x[ —2a sen tcost ad l = y ' = - *dx a

590: = a cos t

> - bsen3t

Desarrollo

x = ¿reos t

bsen^t

\xl, - -3 «c o s 2 t.sent

[y/ = 3b sen21. cos t

dy_

dx. y ’ = Z i . = ■yx

y1. 3b sen2 tcost

x[ -3a eos21 sent

b— tgta

dy / b~ = y'x = — tgtdx a

591

x =eos31

\fcos2t

sen3t

>/cos2/Desarrollo


x =

y =

eos3t

Veos 21 sen3t

Veos 21

r/ _ eos4 t.sen t - 3cos2 t.seri't

cos 2t .Veos 21 ¡ _ 3eos3 l.sen2t - sen4t.cost

cos 2;.Vcos2?

592

jc = arccos -

y = aresen

Desarrollo

-Y, =-íV i + 7

3

/(1 + f2) 2Vl-'-r

y = aresenVi

y, =■+ r

1

Ví^ 1, de donde se tiene:

¿ydx

_ y! _ V l + r2

Ví^7

= -1

593= e

2/

Desarrollo


594x = a(lntg —+ cos t - s e n t )

y = a(sent + cos /)

Desarrollo

x = a(ln tg — + cos t -s e n t )

a - cos — j .x[ = --------- - - a s e n t -a c o s t => xL = a ( - ctg — sent-cos t)1 2 2

2 sen — n

y = a(sen t + cos t), derivando se tiene: y¡ = « (c o s í - sent)

dy y[ _ a (c o s t - sent)

x' A ti a ( —ctg — -sen t - c o s t)

„ , , dy k \ x - a ( t - s e n t )595 Calcular — para t — , si: <1

dx 2 [y = a (l-cos/ )

x = a(t - sent)

y = a ( l - c o s í )

Desarrollo

¡x¡ = ü (l-co s r )

[y/ -asent

dy _ i _ y, asent _ sent

dx Vjt x[ a (l-c o s r ) 1 -eos/

596 Hallar — para t = 1, si:dx

x = t\nt

_ ln/

dy

dx

sen-2 1

, * . n 1 -0 <=-z l - c o s —

2 2

= 1

Desarrollo


x = /ln/

_ n í t

x¡ = ln / +1

=-1 — ln/

/

1 -ln/dy

dx = y * = ^ r =1 -ln/

x¡ 1 + ln/ / (1 + ln/)

dy

dx

l - ln ( l ) 1 -0

,=1 l(l + ln (l); 1 + 0= 1

dy

d x ,

„ .. dy n . \ x - e cos/597 Hallar — para /= — , si: <

dx 4 \ y - e ‘sent

Desarrollo

x - e cos/

[y = e sent

I .x¡ - e ' cost -e 's e n t

[y/ =e'sen t - e ' cosí

dy _ , _ y¡ _ e' (sent-c o s /) _ sen t - cos t

dx x x 't e' (cos t - sent) cos t - s e n t

dy

dx

n n ^2 >¡2sen---- cos— — -------

4 4 _ 2____ 2n n \¡2 %Í2 ocos— sen— j l í l _ JLz4 4 o

0= ----- ~ OO

598 Demostrar que la función y, dada por las ecuaciones paramétr

jjc = 2/ + 3/*

[y = /2 + 2í3satisfacen a la ecuación:

Desarrollo

dx dx


x = 2t + 3t2 \ x ¡ = 2+61y = t2 + 2l 3 [y/ = 2t + 6t2

dy _ y ' t _ 2/(1 + 30 _ f

dx x¡ 2(1 + 31)

(— )2 + 2(— )3 = t2 + 2t3 = y dx dx .

599 Para x = 2 se cumple la igualdad x 2 = 2 x , ¿se deduce de esto que

( * 2) ’= ( 2jc)' para x = 2.

Desarrollo

Si ( x 2) '= (2 x ) ' => 2x = 2, para x = 2, se tiene que 4 = 2, es falso.

Luego para x = 2 se tiene x 2 = 2x no se cumple que ( x 2 ) '= (2x)' para x = 2.

600 Sea y = \Ja2 - x 2 . Se puede derivar miembro a miembro la desigualdad de

x 2 + y 2 = a 2 .

Desarrollo

Como x 2 + y 2 = a 2 => 2x + 2y' = 0 ded on d ey ' = - —y

n 2 dy - x A a a dy x Ahora como y = v a - x = » — = de donde— = —

^ \la2 —x2 dx y

• dyLuego se cumple, puesto que es una identidad. Hallar la derivada y ' = — de

las siguientes funciones implícitas y.

601 2 x - 5 y + 10 = 0Desarrollo


2 x -5 y + 1 0 = 0 => 2 - 5 / = O de donde y ' =

x2 y2602 ^ + ~ - = l

a2 b2Desarrollo

2x 2y ’ n y , x , b2x— + -T - = 0 => -¿ ry ' = — =■ => y ' = ----r -a~ b~ b a a y

603 x 3 + y 3 = a 3

Desarrollo

X3 + y 3 = a 3 => 3x2 + 3 y 2y' = 0 => y 2 y ' = - j r 2 => v ' . -2

604 x 3 + x 2y + y 2 = 0

Desarrollo

3x2 + 2xy + x 2y 'x + 2yy' = 0 =* ( x 2 + 2 y )y '= - (3 x 2 + 2xy)

3x" + 2xyy = — 5-------- --

x + 2y

605 \[x + yfy = -Ja

Desarrollo

1 v ' i y ’

2-v/x 2 yfy yfx yfy

y ' _ 1 \fy [y

V T ~ 7 ? ^ y = ' 7 I ^ * = V *

Ui |

K>


6 0 6 y fx 2 + y fy 2 =

Desarrollo

2 2 2 jc3 + y 3 = a 3

\ iy zy ' = - x 3

607 y3 = Í Z 2x + y

Desarrollo

, 2 , U + y X i - y O - U - y X i + y )

y y ( * + y ?

3 y 2(x + y )2y ’ = x + y - ( x + y )y ,’- ( x - y ) - ( jc - y) y’

3y2( x + y ) 2y '= 2 x -2 x y ' => (3y (x + y)2 + 2 x )y '= 2 y

2 y 3 x — y 3 /y = — ----------------- como y- = — — => y ( x + y) = x - y3y¿( x + y Y +2x x + y

2y 2 y2Luego y = — ~------------------------- = ------------------------—

3y (x+'_vXjc+>') + 2jcy 3 (jc -y )(x + ty) + 2xy

, 2 y 2 _ 2y2

3y3(x + y )(x + y) + 2xy 3 ( x - y ) ( x + y ) + 2xy

2 y1y 3(x2 - y 2) + 2xy

' + - y 3y' = 0

l/vy = - 3 l l


608 y - 0.3 sen y = xDesarrollo

y '-0 .3cosy .y '= l => y '( l -0 .3 c o s y ) = l

1 1 10y = -------------- = ----- =-----— =r—— -------- => y = ---

l-0 .3 cosy , 3 1 0 -2 cosy 101----- cos y 710

609 acos2(x + y ) = ¿>

Desarrollo

2a cos(x + y )[- íew (x + y )( l + y ' )] = 0 , de donde se tiene:

-2acos(x + y ) í f7j(x + y )( l + y ') = 0

-asen2(x + y )( l + y ') =Q => l + y ' = 0 => y' = — 1

610 tg y = xyDesarrollo

sec2 y.y1 = y + xy’ => (sec2 y - x )y '= y

■ _ y _ y eos2 y

sec2 y - x 1- x eos2 y

x611 xv = arctg (—)

yDesarrollo

10

3 cos y


xy y , A + x 2 + y \ , \ - x - yxy + — ------ 2" = 2------2 ~ y =* ^ ---- 2------— ) = y (— 2— ~ }

x2 + y 2 j r + y 2 x¿ + y¿ x¿ + y~

2 2jty'ü + x 2 + y 2) = y(l--Jt2 - y 2) => y ’ = 2 ( i l Í L Z 2 L )

x 1 + x + y"

612 arctg (x + y ) = xDesarrollo

1 + >’ — = 1 => 1 + y' = 1 + (jc + y ) 2 => y' = (.x + y ) 2l + O + y ) -

613 e y = x + y

Desarrollo

e y .y' = l + y' => e y.y '- y '= l => y ' (e y - l ) = \ey -1

_y614 \nx + e * = c

Desarrollo

1 -1 jcv' - v “— + e x (— ---- ) = 0 => x + e x (- jc y '+ y ) = 0x x

e y(. -xy '+ y ) = —x => - x y '+ y = - x e x => xy' =■ xex + y

y

/ = e ; + i X X

615 ln v + — = cy

Desarrollo


616

617

— + - — ~ = o => yv'+}'-JO ' ' = 0 *=» ( y - * ) y ' + y = o y y

( y - x ) y ' = - y => y ' = ---- — y ' = - yy — x x - y

y i > / 2 2\arctg = - ln ( jT + y¿)

Desarrollo

x y ' - yx2 x + y.y' x y ' - y .x+y.y '

- ^ — = • ^ — 2- =» - T t = 2 2 => x y - y = x + yy l + (Z )2 ■* + r j r + y x + y

X

X +¿yx y ' - y y ,zzx + y => ( x - y ) y ' = x + y => y' -------—

* ~ y

í2 2 yx + y = c.arctg —

xDesarrollo

x y ' - y

x + yy' = c x2 ^ x +yy ' _ r x y ' - y

>Jx2+ y 2 l + ( ^ ) 2 \lx2 + y2 x2 + y2

xy - y , cxy' cyx + y y = c . / 7 => y y — p = ¿ = = — - = ± = ¿ = - x

yjx2 + y2 yjx2 + y2 yjx2 + y2

y yjx2T y 2 - ex cy + xy¡x2 + y2y ( u. .. - ) ( )

yjx + y sjx + y

y x r f ? 7 7 - a ) . - ( c y + « ¡ 7 7 7 ) = » ^ * 4 ^ ?c x -y ^ x 2 + y2


618 j c '= y *

Desarrollo

ln x v = ln y x , derivando se tiene:

y i ,, xy' y + y'xln jc y ln y + jy ' — + / ln jc = lny + — => - — ---------= - — ---------

— + y 'ln x = ln v + — => y 'ln jc -— y ' = ln y~ — X X V x

^ y ln x -J t * l n y - y ^ y ( jc ln y - y )

y jc jc yln jc-jc

619 Hallar y' en el punto M ( 1,1) sí: 2y = l + Jty ?

Desarrollo

2 y '= y 3 +3jcy2y' => 2y '-3xy2.v'= y 3 => (2 - 7>xyz )y '= y 3

y' = r ~ — 2 ^ y ' l M ( U ) = i i =_1 ^ y'Lvf(i,i)= -12-3jcy -2-J

620 Hallar las derivadas y' de las funciones y, que se dan a continuación en los

puntos que se indican:

a) (x + y)3 = 2 7 ( x - y ) cuando x = 2 e y = 1.

Desarrollo

3(jc + y )2(1 + y ’ ) = 27(1 - y ') => 3( j c + y ) 2 + 3 ( j c + y )2y '= 2 7 -2 7 y ’


( 3 ( x + y ) 2 +21 )y ' = 2 1 - 3 (x + y)2 => y ' - 21 3 (jr+ -v)3 (x + y )2 +21

_ 21 -3 (2 + Y)2 _ 27-3 (9 ) _ O _n _n^ P(2,1) 3 (2+ 1)2 +21 3(9)+ 27 54 ^ V ip(2J)

b ) yey = ex+l, cuando x = 0 e y = 1

Desarrollo

, ex+i y 'e y + yeyy '= ex+ => --------

ey + yey

,, e _ e _ 1 _ 1y W " - e + e ~ T e ~ 2 ^ y 'p m ) ~ 2

c) y = x + ln— , cuando x = l e y = 1x

Desarrollo

x y - y

2yy' = l + — c-'_. => 2yy' = \ + ^ - => 2yy' = l + ? - - - y xy y xX

2 yy'-----= 1-----=> y '( ----------- ) = ------ => yy x y x x (2y2 — 1)


2.4. APLICACIONES GEOMÉTRICAS MECÁNICAS DE LA DERIVAD A.-

a) E C U A C IÓ N DE L A TAN G E N TE Y DE L A N O R M AL.-

La ecuación de la tangente a la curva y = f(x ) ó f(x,y) = 0 en el punto

A/ú 0,;y0) es: y - yo = y ¿ (* ~ *o ) donde y '0 es el valor de la

derivada y' en el punto M ( x 0,y Q) .

La recta perpendicular a la tangente, que pasa por el punto de contacto de

esta con la curva recibe el nombre de normal a dicha curva y su ecuación

es:

x ~ xo + y ' o ( y - yo )=:0

b) A N G U LO ENTRE CURVAS.-

E1 ángulo formado en las curvas y = ( jc) e y = f 2( x ) en su punto

común M ( x 0,y 0) está dada por la fórmula:

i g w - f l ) — f\ (*o )

l + //(-»b)-/2 (ô)

c) SEGM ENTOS, R E LAC IO N AD O S CON L A TA N G E N TE Y L A N O R M A L , P A R A E L CASO DE UN S ISTEM A DE CO O RD ENAD AS CARTESIANAS.-

La tangente y la normal determinan los cuatro segmentos siguientes (En

la figura).

t = TM , llamado segmento tangente S, = T K , sub tangente

m = NM, segmento normal S„ = KN , subnormal


Como K m =|y0 | y tg(p = y '0 se tiene: t - TM = \ + \y0

M = N M =\y0J l + (y'0) 2 \

S , = T K \ ^ \ ; Sn =\y0y'0 \

d) SEGM ENTOS R E LAC IO N AD O S CON L A T A N G E N TE Y N O R M A L P A R A E L CASO DE UN S ISTE M A CO ORDENADAS PO LARES:

Si la curva está dado en coordenadas polares por al ecuación r = f((f

ángulo ja, formado por la tangente M T y el radio polar r = OM (fi

14) se determina por la fórmula tgn = r ^ - = — .dr r ’

La tangente M I' y la normal M N en el punto M, junto con el radio p

del punto de contacto y la perpendicular a dicho radio trazado por el ¡

O, determinan los cuatros segmentos siguientes:

t = MN, segmento de la tangente polar

m = MN, segmento de la normal polar

S, = O T , subtangente polar Sn = O N , subnormal polar; do

m = M N = yjr~ + ( r ’)2 , Sn = M N = r'


621 ¿Qué ángulos (p forman con el eje OX las tangentes a al curva y = x - x~ en

los puntos abscisas son:

a) x = 0, b ) x = -2

c) x = 1

Desarrollo

a) tg(p ■■dy

dx= (1 —2jc) |l=0= l =>' tg tp = 1 => tg tg(p = -l => (p=135c

Y

x=\


622 ¿Qué ángulos forman con el eje de abscisas, al cortarse con este en el orig

coordenadas, las sinusoides y = sen x e y = sen 2x?

Desarrollo

Sea y = f(x ) = senx => / ' ( x ) - c o s x => / ’ (0 ) = 1

y = g(x) = sen2x => .? '(*) = 2 cos2x => g ' ( 0 ) - 2

Luego tg(p = / '(O ) = 1 => tg cp = 1 => tg cp = 63°26’

623 ¿Qué ángulos forma con el eje de abscisas, al cortarse con este en el orig

coordenadas, la tangentoide y = tg x?

Desarrollo

dy tg cp = 45c

A=Ü

0.5*624 ¿Qué ángulos forma la curva y = e con la recta x = 2, al cortarse con <

Desarrollo

Sea tg<p = y |<=2= 0.5eOSx \x=2= 0.5e = -

e etg(p = — =* (p — arctg — = 36°21 ’

625 Hallar ¡os puntos en que las tangentes a la curva y = 3x4 +4.v3 - \ 2 x 2 sean paralelas al eje de abscisas.

Desarrollo

Sean I , la recta tangente y L el eje de abscisas


Como L t ¡ IL => m L , - m L \ pero mL, = 12x3 + \ 2 x2 - 2 4 xy => mL = 0

Como mL, = mLt => 12jc3 +12jc2 -2 4 x = 0

12x ( a -2 + x - 2 ) = 0 => 12x(x + 2)(x - 1) = 0.

Luego: Para jc, = 0, y, =20 => P¡ (0,20)

Para x2 = -2 => y 2 = 4 => í *2 = ( _ 2,4)

Para ic3 = l => y 3 = 15 => P3(l,15)

626 ¿En qué punto la tangente a la parábola y = x " - l x + 3 es paralela a la

recta 5x + 7y - 3 = 0?

Desarrollo

Sea L, = ? y L: 5x + y - 3 = 0, tal que L , // L

= (2x —7) |p( ojVo)= 2x0 —7dx

p (v > o )

mL = -5, luego como: L, I IL => m L ,= m L => 2x0 - 7 = -5

como 2x0 = 2 => a0 — 1, y o = -3

Luego P (l,-3 ) es el punto pedido.

627 Hallar la ecuación de la parábola y = x 2 +bx + c que es tangente a la recta

x = y en el punto ( 1,1).

L, : x — y => mL, — 1

Desarrollo


628

629

mL, U ) - f = ( 2x + b)\x=l=2 + b — l => b = -lpU.l)

Luego y = x - x + c , pero como es tangente en el punto (1,1) es decir:

1 = 1 — 1 + c => c = 1 y = x 2 - x + 1

Determinar el coeficiente angular de la tangente a la c

x 3 + y 3 - xy - 7 = 0 , en el punto (1,2).

Desarrollo

Coeficiente angular de la tangente, lim — = - -Ax-*o Ax dx ( 1.2 )

Como x 3 + y3 - xy - 7 = 0 , entonces:

3x" + 3y2y ' - y - x y ' = 0 (3.y2 - x )y ’= y - 3x2

3>’2 - xdy_dx

2 -3 1

(1,2)1 2 - 1 11

¿En qué punto de la curva y 2 = 2 x 3 la tangente es perpendicular

recta 4x - 3y + 2 = 0?

Desarrollo

Sea L: 4x — 3y + 2 = 0 mL =4

Como y2 =2.Y3 => 2y .y '=6x2 => y ' =3x-

Sea L, la recta tangente mL, = y ' :3.v


630

, , , , 1 3a2 1 3a2 3 2Como L, 1 L => mí* -------- = > -------= — - => ----- = — => y = 4x

' ^ wL >- 4 y 4

Como y 2 = 2 x 3 => ( —4^^ ) 2 = 2JC3 =* 1 6 a 4 = 2a3

, 1 2a (8a - 1) = 0 , de donde: a, = 0 , a2 = -

8

Para: Aj = 0 , y, = 0 => P{(0,0)

1 _ 1 D /1 UX2 ~ S ' y2~ \6 ^ 8 ’ 16

Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la parábola y = V a en

el punto cuya abscisas es x = 4.

Desarrollo

r > * i dy1 — Va =* y = — t= => mL, = —-2 Va dA .r-4

1

4

Lr : y - y0 = mL, (a - a0 ) como a 0 = 4 => y0 = 2

Luego L : y - 2 = -í-(A -4 ) => L, : a - 4y + 4 = 04

Como mL = — => mLN = -44 w

Ljy : y —a = - 4 ( a - 4 ) => : 4 A + y —18 = 0

631 Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva

y = a 3 + 2a 2 - 4 a - 3 , en el punto (-2,5).

Desarrollo


y '= 3 x 2 + 4 x - 4 => m L ,= —dx

= 3 (-2 ) + 4 (-2 ) - 4 = 0 => mL, =(-2,5)

Luego: L, : y - >'0 = mL, ( x - x 0)

L, : >’ - 5 = 0(x + 2) => L, : y - 5 = 0

Como mL, = 0 => mLN = <*>

y — 5L N : y - 5 ~ m L N (x + 2) => : : ■■■■=<» => L v : x + 2 = 0

x + 2

632 Hallar las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva y = v x — 1

punto ( 1,0).

Desarrollo

= <x> entoncesJC—1

3/— 7 . 1 7 dyy = \Jx-l =$ y = —77= como mL = —3 y x - l dx

: y ~ y o = m L , ( x - x 0)

L, : y — 0 = °°(x — 1) =? ¿j : ——- = °° => L, : x —1 = 0x — 1

633 Hallar las ecuaciones de las tangentes y de las normales a las siguientes cu

en los puntos que se indican:

a) y = tg 2x en el origen de coordenadas.

x — 1b) y = arcsen(----- ) en el punto de intersección con el eje OX.

c) y = arccos 3x en el punto de intersección con el eje OY.

d) y = ln x en el punto de intersección con el eje X.


. 2y - e en los puntos de intersección con la recta y = 1.

Desarrollo

a) y = tg2x => / = 2sec2 2x => mL, - y '|x=0= 2

L, : y - y0 - mL, (x — jc0 ) =¡> L , : y - 0 = 2(x - 0) => L, : 2x - y - 0

L , : x - 2 y - \ = 0 y LN : 2x + y - 2 = 0

bir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva.

1 + /

z3j en el punto (2,2).

212 + 21Desarrollo

x = 2 => t = l

y = 2 => t= 1

mL, = y ' L i =2 => mL< = 2


/ yyx = de donde •

/ -3 -2/

6 - í*< = - .32/-’

y ~ z L 2(3+20 / i _>{ x; t (6+ o * } * u - x¡

10 r: — = mL,7 '

L, • y - y 0 = m L , ( x - x 0) => L, : y - 2 = y ( * - 2 )

L, : 7 x - 1 0 y + 6 = 0 y : 7y-r ,r» r - 3 5 = 0 ■

635 Escribir la ecuación de la tangente a la curva x = t cos t,

origen de coordenadas y en el punto t = ~~-

Desarrollo

y [ - s e n t + t c o s t , x¡ = eos t - 1 sen t

y, sent + tcost mL, = - L = ----------------

x cos t — t sen t= 0 reemplazando se tiene:

r=0

: y - 0 = 0 (jc -0 ) L, : y = 0

4 + nmL, =

sent+tcost

cost - t s e n t t = K_ 4 - n4

n n n ,para t = — => x = — , v = — reemplazando se tiene:



jc3 + >'3 + y 2 + 2x - 6 = 0 en el punto cuya ordenadas es y = 3.

Desarrollo

Para y = 3 => x 3 + 2x + 3 = 0 , de donde x l = - \

Luego el punto de tangencia es P (-1,3)-

Como mL. = — dx

mL, = — dx

i 2 — 3x2entonces: 3x* +2y.y'+2 = 0 => y ' = ---------

p(-i.3) ' 2“y

- 2 - 3 5

L, ■ y - y 0 = m L t ( x - x 0) => L, : y - 3 = - — (x + 1) de donde se tiene:6

Lt : 5x + 6y -1 3 = 0

c . , 5 6Si mL, = — => mLN = —

6 5

Luego: L N : y - y0 = mLN (x - x0)

Ln : y - 3 = ^ (x + l) =* L n : 6 x - 5 y + 21 = 0

63) Escribir la ecuación de la tangente a la curva x'5 + y 5 - 2Ay = 0 , en el punto

( 1.1).Desarrollo

Como x 5 + y 5 -2 x y = 0 => 5x4 + 5y4y ’- 2 y - 2xy' = 0

o .4_ , , _y —5x'De donde y = — ------ -, ademas:

5y - 2 x


d\ 2 y - 5x4 2 - 5mL = ' = - = -1

dx p(i.D 5 y - 2 x v (I1) 5 - 2

Luego L, : y - y 0= m L , ( x - x 0)

L, : y — 1 = —(jc — 1) => L, : j t + y - 2 = 0

638 Escribir las ecuaciones de las tangentes y de las normales a

curva y = (x - l ) (x - 2)(x - 3) en sus puntos de intersección con el eje

abscisas.

D esanV ’ n

Hallaremos los puntos de intersección con el eje X es de

para y = 0 => (x - l ) (x - 2 )(x -3 ) = 0, dé donde: jc j=1, jc2 = 2 , x3 ='.

Luego se tiene los puntos P](1,0), P2( 2,0), P3(3 ,0 ).

y = (x - l) (x - 2)(x - 3) => y = jc3 - 6x 2 + 11jc-6

y' = 3jc2 - 12jc + 11 y además mL, = y ' |A=1 = 2 => mL, = 2I

Lt - = m L , ( x - x 0)

L, : y - 0 = 2(x - 1 ) => L, : 2x - y - 2 = 0

Como mL, = 2 => mLN = y L N : y - y0 = mLN ( x - x0)

Ln : y - 0 = - i ( x - l ) => LN : x + 2 y - l = 0

en forma similar para los demás puntos.

2K8 Eduardo Espinoza Ramos


y 4 = 4x4 + 6x7 en el punto (1,2).

Desarrollo

y 4 =4 x 4 + 6-xy ==> 4y3>,,=16x3 + 6y + 6xy'

(4 y 3 - 6 x )/ = 1 6 x 3 + 6 y =* )> '= 8 \ + 3v2y — 3a

,, 8x3+ 3 ymL, = y l(i.2)= t i — —

2 y — 3jc

14= — y L, '■ y - y 0 = m L , ( x - x 0)

( 1.2 )

L, : y - 2 = j ^ ( A - l ) => L , : 14A -13y + 12 = 0

14 13Como m L ,= — => y l n : y - y 0 = mLN ( x - x 0)

Ln : y - 2 = - — ( jc- 1 ) => LN : 13a + 14y - 41 = 0 14

640 Demostrar que el segmento de tangente a la hipérbola xy = a 2, comprendido

entre los ejes de coordenadas, esta dividido en dos partes por el punto de

contacto.

Desarrollo

Por demostrar que p es punto medio de A y B para esto hallaremos los puntos

A y B, primeramente encontraremos la recta tangente.

2 2 Como xy = a 2 => y ' = ~ => mL, = —

X Aq

L, '■ y ~ yo ~ mL, (a - a0 ) reemplazando se tiene


U ■ y -y o = - ^ T ( x ~ xo') xo

Hallaremos el punto A para esto y = 0 => x = 2x0 => A (2x0,0)

Para x = 0 y = 2y0 => /?(O,2x0)

,_ A (x ,0 ) + fl(0,jO A(2xo,0) + B(0,2yo)P (x0, v0 ) - - - -

(2x, + 0,0 + 2 1 ‘= ---------—-----— Ub>. i => P ( xo> Jo) es punto medio

2 2 2

641 Demostrar que el astroide x 3 + y 3 = a 3 el segmento tangente, comprend

entre los ejes de coordenadas, tiene magnitud constante e igual a: a.

Desarrollo

Por demostrar que d(A.B) = a

2 2 2

Para esto hallaremos la recta tangente. Como x 3 +_y3 = a 3 entonces:

—x 3 + —y~*y' = 0 => > ' = - £3 3 Vx.

mL> = y ’ lP(*>.y0) = } — y L t ■ y - y 0= i n L , ( x - x 0)

A : y -y o = ? — ( * - * 0 )' Xn

Determinaremos el punto A para esto y = 0 se tiene:


1 2 2 \_ 2 \_ 2 x = x¿ ( x 3 + y03) = xfia3 => A (x¿a3 ,0)

Ahora determinaremos el punto B para esto x = 0

1 2 2 ¿ 2 I 2

y = >'o Oo + y$ ) = => fi(°> Vn3a3)

I n 1 2 /~2 4 2 ~

d(A, B) = y(xíja3 ) 2+ ( y ¿ a 3) 2 - \ x^ m 3 +

I T I 1 f l í"= \¡(x3 + y¿ ) a 3 = \ a 3.a3 = \ f a 2 = a

642 Demostrar que las normales a la envolvente de la circunferencia

x = a(cos t + t sen t), y = a(sen t - t cos t) son tangentes a la circunferencia

x 2 + y 2 = a 2.

Desarrollo

2 , 2 - 2 x + y = ax

y = — y

y '——ctg t => m L ,= -c tg t ( 1)

Ahora calcularemos la pendiente de las normales a la envolvente de la circunferencia:


. . . (2)

dxx = a(cos t + t sen t) => — = at cos t

dt

, dyy = a(sen t - 1 cos t) => — = at sen t

dt

dxdx dt at cos t , — ;-------------

mLN = — — = — — = ---------- = -c tg t . Luego mLN = -c tg tdy ay_ at sent ------------------

dt

De (1) y (2) queda demor,rado que las normales a: •

x = a(cos t + t sen t), y = a(sen t - t cos t)

son tangente a la circunferencia x 2 + y 2 - a~

643 Hallar el ángulo de intersección de las parábolas y = ( x - 2 )2

y — 4 + 6x - x 2 .

Desarrollo

Hallaremos los punto de intersección como:

y - ( x - 2 )2 e v - 4 -r 6 .v - x 2 , completando cuadrados

( x - 2 )2 - ~ 4 + 6 x - x 1 => x 2 - 5x + 4 = 0

de dondex¡ = i, yi = 1 p¡ ( 1,1)

x2 = 4, y2 = 4 p 2 (4 ,4 )

[ y[ = 6 -2 x y ( 0 ) = 4

[y'2 = 2 x -4 y2V ) = ~2

292 Eduardo Espitioza Ramos

644

645

y £ (i )- y / (i ) - 2 - 4 -6 6Luego tga = —1—-----=> tga = ---------------- = — = -l + y ííD .Ô ) 1-8 -7 7

6 6tga - - => a = «/-erg (—) = 4 0 ° 3 6 '

¿Qué ángulo forma entre si las parábolas y = x 2 e y - x 3 al cortarse?

Desarrollo

Encontraremos los puntos de intersección como:

y = * 2 e y = x 3 => x 2 = x 3 => a 2( a - 1 ) = 0

a, = 0, yt = 0 ^ /?! (0 ,0 )

* 2 = 1, y2 = l p 2( U )

[ > ’[ ( a ) = 2 a ^ | y [ ( 0 ) = 0

j j ^ C a ) = 3 a 2 1 ^ 2 ( 0 ) — 0

t g a = = — = 0 = a = 0°1 + J Í(0) . ^ ( 0 ) 1 + 0

esto quiere decir que son tangentes entre si, ahora para el punto /72(1,1)

|yi/W = 2A | y[ O) = 2

| y2 ( a ) — 3 a 2 1 ^ ( 1 ) = 3

A w - y í m = 1 - 2 = , i

1 + J Í ( M ( 1 ) 1 + 6 7 V ^ 7

Demostrar que las curvas _v = 4 a 2 + 2 a - 8 e y = x 3 - a + 10 son tangentes entre si en el punto ( 3 , 3 4 ) . Ocurrirá lo mismo en ( - 2 , 4 ) ?

Desarrollo

Diferenciación de Funciones ---------- j---------------------------

Para que sean tangentes entre sí debe ocurrir que tg a = 0.

Como _V[ = 4x2 + 2jc — 8 => y{ = 8.t + 2 => y[\x=i=26

y2 —x i - x + 10 => y2 = 3x2 -1 => ^ 1 ^ 3 = 2 7 -1 = 26

>2 (3) - y! (3) 26-26tga = j-----1t— = --------- = 0 => tg a = 0

l + yí(3).}'2(3) 1 + 26

Luego son tangentes entre sí. En el punto (-2,4) no son tangentes sí, por que tg a * 0

646 Demostrar que las hipérbolas . c y -u 2 y x 2 - y 2 = b 2 se cortan er

formando un ángulo recto.Desarrollo

Para que las curvas que se cortan forman un ángulo recto sus tangentes

ser perpendiculares. Es decir:

Si L[ y L, son las rectas tangentes. Luego L¡, J.L , => mllr L, ~ -\

demostrar .

■> / a"Como xy = a => mL, = — — = y '

x

r 22 2 i 2 r i xx - y = b => m L ,= y = —

a~

J , X 2 a ~ x X2donde y = — pero xy = a => y = — y ' = —- = -— = mLt y x a 2 a2

l!,.mL, = ( - - r ) ( - r ) = -1 => í¡, -L L, => forma un ángulo recto. x a '


647 Sea la parábola >’2 - Ax, calcular la longitud de los segmentos: tangentes,

normal, subtangente y subnormal en el punto ( 1,2 ).

Desarrollo

Longitud de la tangente = / =| — yj1 + (y '0 )2y'o

2 2 ,Corno y = 4 x => 2y>'’ = 4 y - - =* Vf,ioj — 1

y'j _

Reemplazando en la longitud de la tangente se tiene: / =| y VT+11= 2y¡2

n = longitud de la normal -| y0yjl + (>’ó ! => « =| 2Vi + 1 1= l 4 l

Longitud de la subtangente S, =|■— | => 5, = | — ¡— 2yo 1

Longitud de la subnormal =S„ =| y 0 -.v ó I =* — 12(1) |= 2

648 Hallar la longitud del segmento subtangente de la curva y = 2X en cualquier

punto de la misma.Desarrollo

S, = Subtangente r=| — | como >■ = 2X => y’= 2 x ln2 => y l0 —2x°\n2>’o

s . l - í - l — L' 2 * la 2 In2

649 Demostrar que la longitud del segmento normal de cualquier punto de la

hipérbola equilátera x 2 - y 2 - a 2 es igual al radio de dicho punto.

Desarrollo


n = longitud de la normal =| yoy¡\ + (y¿)~ |

Como x 2 - y 2 - a 2 =* v' = —y

- =1 y o j l + t * - )2 !=v % yo

Luego la longitud del segmento normal es igual al radio polar de dicho p

650 Demostrar que la longitud del segmento subnormal de la hij

x 2 - y 2 - a 2 , en un punto c. úquiera de la misma, es igual a la absi

dicho punto.Desarrollo

Sn - longitud de la subnormal =| y0.yó |

/-i 2 2 ° i X /Co;no x - y = a => y = — => yó= —y y0

n “ I y0(— ) l= x0 >0

x2 v2651 Demostrar que los segmentos subtangente de la elipse —- + = 1 >a~ b

circunferencia x ? + y 2 = a 2 en los puntos de abscisas iguales, son i

entre sí. ¿Qué procedimiento de construcción de la tangente a la eli desprende de lo ante dicho?

Desarrollo

Los puntos de abscisas iguales tanto para

la elipse como para la circunferencia son

p¡(a ,0 ) y p 2( - a ,0 ) . Por lo tanto se

tiene que:


a) de la ecuación de la elipse se tiene: yp¡¡ = — J a 2 - x j j

/ * —bxn ademas yp¡¡ = ■ , p0(x 0,y 0)

a 'yja -x ¿

b) De la ecuación de la circunferencia x 2 + y2 = a 2 se tiene:

’ = yja2 - x 2 = > y ' = - = = ^

x 2

El segmento subtangente de la elipse es:

5 - i y P° i - i (fl2--»o> i_ i q2-*oy'Po aA0 OXo2

Sea p0 (x0 ,y0) = p,(a,0) => 5, =0

El segmento de la subtangente de la circunferencia

s¡ =| üá: | = - 1 ) |=|a: .I .fo | yPo xo xo

Sea p 0(x 0,y 0) = p,(a,0) => S 1, = 0

En forma similar se hace para p 2 ( -a ,0), concluyendo que S, = S[ . De

todo lo obtenido se concluye que la tangente a la elipse se obtiene,

trazando por los puntos de abscisas iguales una recta paralela al eje Y y

puesto que como S, = 0 , esto nos indica que no hay proyección de la

tangente sobre el eje X; por lo tanto la tangente es vertical.


652

653

Hallar la longitud de los segmentos tangente, normal, subtangente y subnoi

a la cicloide x = a(t - sen t), y = a(l - cos t), en un punto cualquiera t = t0

Desarrollo

Ix = a - cos t \y, - a sen ¡; y = a (l-co s t) =* j

y, = a -a c o s t0 ry, -a s e n

/ _ y'a _ a (l-cos f0) _ l-c o s í0

x x!t asentQ sent0

x0 a(t0 - sent0) \ sent0

3

. l-C O S / n [-— — ——- (1 —cosín) 2t = I---------—J 2 - 2 cosr0 | => r = 2 ----------

t0 - sent0 lQ - sentü

Hallar el ángulo que forman entre sí la tangente a la espiral logarítn

r = aek<í> y el radio polar del punto de contacto.

Desarrollo

El ángulo formado entre la tangente y el radio polar está dado por:


Hallar el ángulo entre la tangente y el radio polar del punto de contacto para la

lemniscata r 2 — a 2 cos2 (p .

Desarrollo

d (p 2 2Como tgu = r —L~ y como r = a cos2 — = — ---------

d(p d(p r dr a-sen2(p

d(p , r tgu = r ~ r - = r (— — = ■

dr a senlíp a sen2(p

tgua~ cos 2(p

= ------------ — = —ca sen2 u = — + 2(p

Hallar las longitudes de los segmentos polares: tangente, normal, subtangente, subnormal y el ángulo que forma entre sí la tangente y el radio polar del punto

de contacto para la espiral de Arquímedes r = a t = 2nayj4n2 +1 para ip = 2n

fLongitud de subtangentes St =| —

2 2 2St = -f— = a = acp2 paracp = 2íi reemplazando se tiene: S , - 4 a n 2

K 'l a

Diferenciación de Funciones 2

Longitud de la subnormal = Sn = |r '| de donde Sn = a para r ' - a

d(p dr d(p 1ígM = r —^ pero r = acp y — = a => —— = —

dr d(p dr a

reemplazando se tiene: tgu = (a<p)(—) - ( p => tg u = (p ; tg u = 2na

656 Hallar las longitudes de los segmentos polares, subtangentes, subnorm

tangente y normal; y el ángulo que forman entre sí la tangente y el radio po

para la espiral hiperbólica r = — en un punto arbitrario r ,2

apara tgO = ~(p0 de donde 0 = a rctg (-(p0)


657

658

La ley del movimiento de un punto sobre el eje OX es x = 31 -1 ' . Hallar la

velocidad del movimiento de dicho punto para los instantes t0 = 0 , t, = 1 y

t2 - 2 (x se da en centímetros y, t en segundos).

Desarrollo

V U ) = — = 3 -3 t2 dt

V (t0) = V ( 0) = 3— ; V (r,) = V (l) = 3 -3 = 0seg

V(í2) = V ( 2) = 3-3 (4 ) = -9 —seg

Por el eje OX se mueve dos puntos que tienen respectivamente las leyes del

t2movimiento x = 100+5t y x = — donde t > 0. ¿Con qué velocidad se alejaran

estos puntos, el uno del otro, en el momento de su encuentro (x se da en

centímetros y t en segundos)?

Desarrollo

Para el tiempo del encuentro se tiene que V¡ - V2

Donde: V, - — = 5 => V, = —- = t , de donde t = 5 seg.1 dt 2 dt

Z =tv¡ + tV2 =5 t + r

velocidad con que se aleja = - ~ = (5 + 2 0 U s = ^/=5 dt

= 5 + 10 = 15 —1=5 s e 8

2


659

660

Los extremos de un segmento AB = 5 m. Se deslizan por las reí perpendiculares entre si OX y OY (ver figura). La velocidad desplazamiento del extremo A es igual a 2 cm/seg ¿Cuál será la velocidad desplazamiento del extremo B en el instante en que el extremo A se encuei a una distancia OA = 3 m del origen de coordenadas.

Por pitágoras en el AOBA se tiene:

z 2 = x 2 + y 2, de donde para x = 3, z = 5, entonces y = 4.

Como z2.= x 2 + y 2 , derivando se tiene:

. dz „ dx n dy dy dx , dy2z— = 2x— + 2y— - => y - = - x — => 4-^-= -3(2)

dt dt dt dt dt dt

por lo tantody

~dt

3 cm

2 seg

La ley del movimiento de un punto material , lanzado en el plano vertical ’

Y (ver figura), formando un ángulo a respecto al horizonte, con una veloci<

inicial V0 viene dada por las formulas (sin tomar en consideración

t2resistencia del aire). x - V 0tc o s a , y = V0t sena - g — , donde t es el tiemp

y la aceleración de la fuerza de gravedad. Hallar la trayectoria del movimie y su alcance, determinar también la magnitud de la velocidad del movimíent su dirección.


Para calcular la trayectoria eliminaremos el parámetro t de las ecuaciones.

x = Vntco$a => t ~ -V0cos a

y = Vnt s e n a -—t 2 0 2 V0 cosa 2 v¿ eos2 a

y = ( t g a )x - g x 22V02 eos2 a

Su alcance es el punto A y para esto se tiene y = 0:

( t g a )x -2Vq eos2 a

* 2 = 0(2Vq2 cos2 a Jga )x - gx1 _

2Vq eos" a0

2V¿ cos2 a.tga - gx = 0 => 2V02 cosa.sena - g x - 0

V0 sen2a — g x - 0 => jc = —Vnsen2a

8

Ahora veremos las proyecciones de las velocidades sobre los ejes, es decir

dy , , , dx ,, dy „y — , de donde: — = V0cos a , — = V0sena - gt

dt dt dt

dx

dt


661

662

Calcularemos la magnitud de la velocidad, es decir:

( y )2 + ( y )2 = yjv¿ eos2 a + V(fsen2a + y2t2 - 2V0sena

= yJv2+ g 2r - 2 V 0sena

Un punto se mueve sobre la hipérbola v = — de tal modo, que su abscisx

aumenta uniformemente con al velocidad de una unidad por segundo. ¿Con

velocidad variará su ordenada, cuando el punto pase por la posición (5,2)?

Desarrollo

Por dato se tiene — = 1 dt

dy 10 dx . dy 10 2— = — - ( — ) para x = 5, se tiene: — = -----(1) = — = -0.4dt x 2 dt 1 dt 25 5

Luego decrece a una velocidad de 0.4 por segundo.

¿En qué punto de la parábola y 2 = 18* la ordenada decrece dos veces má

prisa que la abscisa?Desarrollo

Debe cumplirse que: — = 2— de donde y = 3s¡2x =>dt dt dt y¡2x dt

_ dy „ dx 3 dx „ dxComo — = 2— - = — - 2 —

dt dt s j2 x dt dt

,— 9 93 = 3v2x => 9 = 8x =í> x = — entonces y = —

8 2

9 9el punto que cumple las condiciones del problema es: (— )

8 2


663 Uno de los lados de un rectángulo tiene una magnitud constante a = 10 cm

mientras que el otro b, es variable y aumenta a la velocidad constante de 4

cm/seg. ¿A qué velocidad crecerán la diagonal del rectángulo y su área en el

instante en que b = 30 cm?

Desarrollo

Z = diagonal del rectángulo

Z = J a 2 + b 2 =i = yfl00 + b2 , derivando se tiene:

dZ

dt

b db dZ 30

yllOO+b2 dt dt Vi 00+ 900

dZ 12

(4) =120

10 VÍÓ

de donde se tiene:dt

- = = 3.8— VÍ0 seg

la diagonal crece a una velocidad de 3.8 cm/seg.

l. dA .- dA Ar,cm-A = ab => — = o— 10(4) = 40 => — = 40-------

dt dt dt seg

El área crece a una velocidad de 40cm

seg

664 El radio de una esfera crece uniformemente con una velocidad de 5 cm/seg. ¿A

qué velocidad crecerán el área de la superficie de la esfera y el volumen de la

misma, cuando el radio sea igual a 50 cm?

Desarrollo

2Área de la esfera = A = 4nr

dAdA dr — = %nr— dt dt dt

= 8tt(5)(50) " = 2000* ™dt

2

seg


cfVolumen de la esfera = V = —n r * , derivando se tiene:

3

— = 4 n r 2— => — = 4tt(50)2 (5) = 6000/rdt dt dt seg

665 Un punto se mueve sobre la espiral de Arquímedes r = a(p (a = 10 cm

modo que la velocidad angular de rotación de su radio polar es constan

igual a 6o por segundo. Determinar la velocidad con que se alarga d

radio polar r en el instante que r = 25 cm. r

Desarrollo

dr dm , , dtp 6° n ,— -= a — donde —- = ---- = — / segdt dt dt seg 30

dr , _, 7T . dr n cm— = 10(— ) => — = -------dt 30 dt 3 seg

666 Una barra heterogénea AB tiene 12 cm de longitud. La masa de la parte de

de la misma crece proporcionalmente al cuadrado de la distancia del pi

móvil respecto al extremo A y es igual a 10 g, cuando AM = 2 cm. Hall;

masa de toda la barra AB y la densidad lineal en cualquier punto M d

misma. ¿A qué es igual la densidad lineal de la barra en los puntos A y B?_

Desarrollo

Condición del problema m = fcx2, donde m es la masa y k el factor

proporcionalidad.

, 5Cuando AM = X = 2 cm, m = 10 gr. De donde 10 = /:(2) => = 2


? 5 •>Luego m (x ) -k x => m ( x ) - —x~2

La masa de la barra AB es cuando x = 12 y m = 360 gr. y la densidad en

cualquier punto de M es: —— = 5x—dx cm

Ahora veremos la densidad en los puntos A y B

. « „ dm „para el punto A: x = 0 => — = 0dx

para el punto B: x = 12 => — = 60—dx cm

2.5. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR.-

PRIM ERO: DEFINICION DE LAS DERIVADAS DE ORDENES SUPERIORES.-

A la derivada de la derivada se llama derivada de segundo orden o derivada

segunda de una función. y = f(x), es decir y " = (/ ) '

La derivada segundo se designa así: y ' ' o — ^ , o / " (x)dx

d 2xSi x = f(t) es la ley del movimiento rectilíneo de un punto — — es la

dt2aceleración de dicho movimiento.

En general, la derivada de orden enésimo de la función y = f(x) es la derivada

de la derivada de orden (n - 1), la derivada enésima se designa por:

Diferenciación de Funciones 3i

SEGUNDO: FÓRM ULA DE LEIBNIZ.-

Si las funciones u = f(x) y v = g(x) tienen derivadas hasta de orden enésir

inclusive, para calcular la enésima derivada del producto de estas funciones

pueden emplear la formula de Leibniz:

( mv) '1 = m V + nun~lv + u(" - 2) v « v(n )

1.2

TERCERO: DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR DE FUNCION! DADAS EN FORM A PARAM ÉTRICA.-

\x = (p(t)Sí < sus derivadas

[y = y (f )

y 1 = — , y " - — — puede calcularse sucesivamente por las fórmulas* dx x dx1

y' = 1 i y« y111 = í 2£ 2I , ete.

Para la derivada de segundo orden se cumple al formula:

a) DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR DE LAS FUNCION EXPLICITAS.-

Hallar las derivadas de segundo orden de las funciones siguientes:

667 y = a-8 + l x 6 -5 x + 4

Desarrollo

Eduardo Espinozu Ramos

x h + l x b - 5.v,+ 4 , derivando se tiene:

Sx1 + 42x5 - 5 => ,v" = 56x6 +210x4

Desarrollo

e*’ =» y' = 2xexl

= 2ex' + 4x2ex~ => y "= 2eJ ,( l + 2x2)

sen 'x

Desarrollo

sen2x , derivando se tiene:

2sen xcosx -sen 2x => / ' = 2 cos 2x

ln yjl + x 2Desarrollo

____ i .\r\yjl + x2 = ln (l + * 2)3 = -ln (l + x2)

2x „ 2 \ + x2 - 2x2^■.-----------— => y = - ( ----------- ) =>3(1 + x ) 3 (1 + x2)2

ln (x + \ja2 + x 2 )

Desarrollo

ln(jc + \[a2 + x 2) , derivando se tiene:

„ = 2(1 - x 2) i

3(1 + x 2)2


1y = .... => y ” = —

y¡x2 + a2 y](x2 + a2)

672 f ( x ) = (\ + x 2)arctgx2 \iragx

Desarrollo

-> 1 + X/(x ) = (1 + x )arclgx => / '(*) = 2x.arclgx +

1 + * 2

2.x/ '( * ) = 2x arctgx +1 => / "(x) = 2 arctgx + -

l + x2

673 y = (arcsenx)2Desarrollo

, 1 y = (arcsenx) => y ' = 2 arcsenx(-

-x

2x arcsenx2 h-----.------ — i-----—

, laresenx „ v i - * 2 .. 2 v l - x 2 + 2 a arcsen

y = T 7 ^ * = i - x 2 " y = 3a - * 2) 2

674 y = a cosh —

Desarrollo

y = a cosh —, derivando se tiene: a

x 1 JCy ' = senh — => v " = — cosh(—)

a a a

x~ 4- 2jc 4* 2675 Demostrar que la función y = ------------- satisface a la ecuación diferenc

l + y '2=2yy"

310 Eduardo Espinazo Ramos

Desarrollo

y - .1 =* y '= x + i => y = ix~ + 2x + 2

y + y ' 2 = l + ( x + l )2 = ( x 2 + 2 x + 2 ) = 2 y ' y " l + y '2 = 2 yy"

jc2676 Demostrar que la función y ~ ~ e* satisface a la ecuación diferencial

y " - 2y'+y = ex .

Desarrollo

* 2 t , r x 2 ,V = — e => y = x e + — e ' 2 2

x 2 jc2y" = ex + xex + xex + — ex => y " = ex + 2xex + — ex

2 2c-

r2 r2y % 2y '+ y = ex + 2xex + — e* - 2xex - x2ex + — ex = e x . ‘ 2 2

y " - 2 y '+ y = eJC

677 Demostrar que la función y = c {e~x + c2<T2x para cualquier valor de las

constantes c, y c2 satisface a la ecuación y"+3y'+2y=0.

Desarrollo

y = Cj£_* + c 2e~2x => y' = — c¡e~x — 2c2e~~x => y " = c,e x + 4 c 2e 2x

y"+3y'+2y = c¡e~ x + 4 c 2e~2x -3 c ¡e ~ x —6c 2e 2x + 2 c xe x + 2 c 2e 2x

= 3c¡e x —3c¡e x + 6c2e ~x —6c 2e 2x =0 + 0

/. y"+3y'+2y =0


678 Demostrar que la , función y = e 2xsen5x, satisface la ecuac

y "—4y'+29y = 0 ..j '

Desarrollo

y — e~xsen5x => y '= 2e2xsen5x + 5e2x cos5x

y "= 4e2'sen5x + \0e2x cos5x + I0e2x cos5x - 25elx sen5x

y " = 20e2x cos5x — 2 le 2x sen5x

y"~4y'+29y= 20e~Á cos5x-21e2xsen5x-&e2xsen5x-20e2x cosx + 20e2xseni

y"-4y '+29y = 20e"x cos5x - 20e2x cos5x - 29e2xsen5x + 29e2xsenx = 0 -

y "—4y'+29y = 0

679 Hallar y " ' , sí y = x3 - 5x2 + 7x - 2

Desarrollo

y = x 3 -5 x 2 + I x - 2 => y' = 3x2 -10x + 7

,y "= 6x - 1 0 => y " ' = 6

680 Hallar / ’ " (3 ) sí / (x ) = ( 2 x - 3 )5

Desarrollo

/ (x ) = (2 x -3 ) 5 =* / ’ (x ) = 5(2x - 3) 4 (2)

/ " (x ) = 80 (2x-3 )3 => / " ' (x ) = 480(2x - 3) 2

/ '" (3 ) = 480(6- 3 )2 =480(4) =» / " '(3 ) = 4320


681 Hallar y y para la función y = ln(l + x)

Desarrollo

y = ln( 1 + x) => y ' - —— => y ” = - 1x + l (1 + *)2

24y =------7 => y =- ,

( l + .v )3 (1 + jc) 5

682 Hallar y v para la función y = sen2x

Desarrollo

y = sen 2x

y ' = 2 cos 2x y " = -Asen2x

>■= - 8 cos 2x => y 'v = \ 6sen2x

yv = 32 cos 2x y v = — 64sen2x

683 Demostrar que la función y = e x cos jc , satisface a la

y iv + 4 y = 0 .

Desarrollo

y = e~x cosx =* y '= -e ~ x cosjc - e~xsenx

y ''= e ^cosjc + e Xsenx + e Xsenx — e x cosjc => y'

y” ' = - 2e xsenx+ 2e~x cosx

y 'v = - ( - 2 e~xsenx + 2e~x cosjc) - 2e~x cosjc - 2e~x senx

y 'v = 2e~xs e n x -2e~x c o s x - 2e~x c o s x - 2e~xsenx

y ,v + 4y = -4 e ~ x cosjc + 4e~x cosjc = 0

ecuación diferencial

= 2e~xsenx

y ‘v = -4e~x cosjc

y ,v+ 4 y = 0


684 Hallar / (O ),/ '(O ),/ "(O ),/ '" (O ), sí f ( x ) = exsenx•„r v.

Desarrollo

/ (.v ) - a*senx => / (0 ) = e ° (0 ) = 0

f ' ( x ) = exsenx + e x cosjc => / '(0 ) = 1

f " ( x ) = exsenx ■¥ ex cosx + ex cos x - e x senx

f " ( x ) = 2ex cosx => / " ( 0 ) = 2

•« . f " ' ( x ) = 2ex cos-T — 2e xsenx => / ' " ( 0 ) = 2

685 La ecuación del movimiento de un punto sobre el eje OX

x = 100 + 5r - 0.00I r ' . Hallar la velocidad y la aceleración de dicho punto

los instantes t0 = 0 , /, -* 1, t2 = 1 0 .

Desarrollo

dxV(t< ))= — = 5-0.003/2 =» V(/0) = V(0) = 5

dt

y ( f|) = V (l) = 5 - 0.003 = 4.997

V(r2) = V(10) = 5 - (0.003)(10)2 = 5 - 0.3 = 4.7

d 2xa (t ) = — — = -0.006r => a (t0) = a (0 ) = 0

dt

a (tx ) = a (l) = -0.006 => a(t2) = «(10) = -0.006(10) = -0.06

<14 Eduardo Espinoza Ramos

686 Por la circunferencia x 2 + y 1 = a 2 se mueve un punto M con una velocidad

angular constante W. Hallar la ley del movimiento de su proyección M , sobre

el eje OX, si en el momento t = 0, el punto ocupa la posición M 0(a ,0) (según

figura). Hallar la velocidad y la aceleración del movimiento del punto M ( .

¿A que es igual la velocidad y la aceleración del punto M , en el momento

inicial, y en el momento en que pasa por el origen de coordenadas?

¿Cuáles son los valores absolutos máximos de la velocidad y de la aceleración

del punto M , ?

Desarrollo

x dxEn el AO M xM se tiene cos(vví) = — , de donde x = a cos wt, V = — = -aw

a dt

es la velocidad en el momento t.

a = — — = -aw 2 cos wt es la aceleración en el momento t. dt2

V |,_0 = 0, velocidad inicial

a |,_0 = -a w 2, la aceleración inicial.


687 Hallar la derivada de orden n-esimo de la función _y = (ax + b ) " , donde n es

numero entero.Desarrollo

n-1y = (ax + b )n => y '=na (ax + b)

y " = (n - \)na2(ax + b )" 2

y ' " = ( n - 2 ) (n - 1 )na i (ax + b )n 3

y ín> = 1.2.3....(n - 2)(n - \)nan(ax + ¿>)° => y (n) =n\an

688 Hallar las derivadas de orden n-esimo de las funciones:

a) v = —í— b ) y = yfxl - x

Desarrollo

1 . 1a) y =l - x ( \ - x )2

2y =

( l - * ) 3

2.3y =

( l - x )4

/ «> = .( I - * ) '

n- 1


689 Hallar la derivada n-esima de las funciones:

a) y = sen x b) y = cos 2x c) y = e 3'

1 _ 1 + xd) y = ln( 1 + x) e) y = ----- f) y = -----

l + x \ - x

g) y = sen2x h) y = ln(ax + b)

Desarrollo

a) y = sen x => >’ ' = cos x = sen(x + —)

y " = -senx = sen(x + n )

y"' = -c o s x = sen(x + - )

ív , xy = senx = s<?n(x + — )

y(,,) = sen(x + ~ )

Kb) y = cos2x => y ' = - 2se«2x = 2 cos(2x + —)

y " = - 2 2 cos 2jc = 2 2 (cos( 2* + 2(^-)))

y ” = 2* senlx = 2J cos(2x + - )

^(n) = 2" cos(2.v + )

en forma similar para los demás casos.


690 Empleando la formula de Leibniz. Hallar y (n) sí:

a) y - x e x b) y = x 2e~2x c) y = (1 - a 2)cc

d) y = ^ S e) y = A3 lnAVA

Desarrollo

(m v ) (,,) = u(n) v + nu<n~,\ ’ •+ ' l ( n ~ l ) u ( " ~ 2)v " + ... + uvM1.2

a) y ln ) = ( e xx ) ( n ) = ( e x ) w x + n ( e x ) (n- l ) ( x y => y ln) = xex + nex

b) yM = ( e - 2x.x2) M = ( e ~ 2x) (n)x2 + n ( e ^ x ) (n- l )2x +

« (n -1 ) 2jt („_2)

1.2 1 ‘

y(n) = ( e ~ 2xjc2) M = ( - l ) n 2" e~2xx2 + ( - \ ) n i,2n e~2x +

+ (-1 )" w(w -1 ) " ~2 2e~2x

_ 2"~l e~2x[ 2 ( - l ) n x2 + 2jc(—1)" + '-(y ?) ( - l )'1 ]

En forma similar para los demás ejercicios.

691 H allar/<n)(0 ), s í /(A-) = ln(— )l - x

Desarrollo

/ ( a) = ln(— —) => f(x) = -ln( 1 - x)1- A


/ ’(*)= 11 -JC

1

( l - * ) 2

/ ”(*)= 2( l - * ) 3

2 3

( 1- x )4

/ (•> (, )= í í l _ í 2!.( l - x ) n

Luego / (n,(0) = ( « -1 )!

b) DERIVADAS DE ORDENES SUPERIORES, DE FUNCIONES DADAS EN FORM A PARAM ETRICA Y DE FUNCIONES IM PLICITAS.-

d2y692 Hallar — f para las funciones siguientes:

dx '

a)íx = ln/ (x = arctg t

b) c)\y = t

2[y = ln (l+/ ) 1

x -a res en t

y = V l - r 2

Desarrollo


cII II

i => t =>II L

y ! =3/2 •

x " = - — "*tt n

d y

dx2

1 .6, - ( — L)3f 2i _______ r

<i)’t

= f3(6 + 3) = 9/ 2d '\ i — f = 9/ 3 dx2

b)x = arcfg t

y = ln(l + r )l + r

1 + r

1 2 - 2 t 2

21

(1 + í2)2

/ = 2 - a(1 + / 2)2

- ( ---- —— )(—— )2\2 V(1 o 'r u _ x, -y " - x " -y , _ i + r (i+í2)2 ( i + r ) 2 i+ í2

-A3 !

(7 - 2 } l + /‘u ; r

2 — 2/ 4í- + -

/ » = q - 2)3 , 0+/2)3 = 2 - 2f2 + 4/2 = 2f2 + 2

(1 + í2)3

en forma similar para la c).

693 a)x = a cos /

y = asenrb)

jt = a eos t

[ y = asen t

c)x = a ( t - sent)

y = a (l-co s í)d)

x = a (s e n t-t cos t )

y = a (cos t+ t sent)

Desarrollo


fx = acos/ í*' = -a sen / í* = -acos/í => => *[ V = asen/

k = acos/ = -a sen /

n _ xf .y¡¡ - .y, _ -asent(-asent) - ( - a cos t)a cos i

(x ¡ )3 ( - asent)3

// a2sen2t + a 2 eos2 /y « = -

- a 3sen3t asen't

b) x — a eos3 / => x ¡ = -3a eos2 1.sent => = 6acost.sen21- 2 a eos ' t

y = asen3t => y[ = 3asen2!.cost y[[ = 6asent.eos2 1-3a sen3t

ti

// _ -3aeos“ t.sent(ñasent.cos t-3asen t)y xx ~

(-3a eos2 1.sent )3

3asen2t.cost(6acostsen~t -3 a eos31)

(-3a eos2 t.sent)3

n - IS a 2sen2t.eos4 t + 9a2 eos2 t.sen4t ----

-27a3 eos6 t.sen3t

18a2sen4/ —eos2 1-9 a 2sen21.eos4 1- 21a3 eos6 /.sen3/

// _ -9a"sen"/.eos t-9a~sen /.eos /Xa: _ _ 3 a 3 ~

-27a eos r

// -9a2 sen2/, eos2 /(eos2 / + sen2/) = ~

-27a3 eos6 /.sen3/ 3a eos4 /.sen/


,x = a (t -s e n t) I x! = a -a c o s t \xc) '! . => \ . =* 1

y — a(l cosí) \ y [= a sen t [y ‘

„ _ x¡.y¡¡ -x ¡ ¡ .y ' _ (a -aeos/ ).a c o s í —asent.asent

(X ¡)3 ( f l ( l - c o s / ) )3

= a sen t

= acost

// _ a2 c o s í - a 2 eos21- a 2sen21y& ~

a3( l - c o s í )3

// _ a2 c o s t -a 2 ( 1-cos/)X cr

« 3( l - c o s í)3 a (l-c o s ?)3 a (l-c o s / ) 2

v" = - - 1 - 1/ r r

á(sen2 —)2 asen4 -2 2

En forma similar para el siguiente ejercicio:

1<*)

atsen^r

I x = cos 2/ \x = e694 a) b)

U’ = W / {y = eal

Desarrollo

a)* - eos 21 í = -2 sen 2t í x/y = -4 cos 2/

2 ^ i ^ i y -s en ~ t [y 1, = sen2í [ v1/ = 2 cos 2r

n _ x ll .y[l - x f .y' _ (-2.ven2f).2cos2í-(-4cos2t).sen2t

-V-“ " o j f " ( - 2sen2t )3 "


- -a e

' = a e * (// _ - 2 - a tx n — a e

..// 2 at

(-ae~a' )a2ea' - a 2e * - a 2e- a,.aea'

( -a e - * ) 3

-3a/ —3at

Desarrollo

b)y =

1-/

x = arctg t

ry - - z y ,"= i

2í

( 1 + í 2 ) 2

1 2 r l + r + 2/2

1+ ' 2 <1+ ' V = (1 + ,>)(3, * + „

(-i,)*1 + í 2

(——y )3 1 + f2

(1- 0 -

1 2

x " = ~ — ' t2

í (1 - í )3

d - í r

2,+(1_r)i - í f2( - / ) 3 _ í ( í+ i )

1 ( i - í )3


696

697

d 2x . \x = e 'cos t Hallar — — si <

dy I y = e'sent

Desarrollo

d 2x v' jc, , - vi ijci— ~ ~ ~ —" —L de donde se tiene: dy2 (y !)3

x = e 'c o s t => x ¡ - e 'c o s t - e 's e n t =* x [[ = - 2e'sent

y = e ’sent => y¡ - e'sent + e‘ cosí => y'/, = 2e‘ cosí

d 2x _ ( e'sent + e1 cos t ) . ( - 2e' sent) - 2e' cost(e ' cosí-e 's en t)

dy2 (e1 cos t + e'sent)3

d~x _ - 2e2'(sen2t + sentcosí+ eos2 t - s e n tcosí)

dy2 e3'(cos t + sen tf '

d 2x - 2e2' - 2

dy"' e ' (cost + sent) e1 (cost + sent)

u u , n , jx = ln(l + í2)Hallar — — para t = 0, si <

t/A2 L = ,2

Desarrollo


At 2 t (2 - 2 r )

d 2x _ y j j f i - y".x't _ l + r (l + r ) 2

dy2 (y ,7)3 <rVl + r

d 2y [4r(2 + /2) - 4 / ( l - í2)](l + f2) d 2y , , d2y — = i ^ ----- —------ 1 => — ¿- = i + r => — fdx- 8í3 dr2 dr"

= 1(=0

698 Demostrar que y, determinada como función de x por las ecuaciones

x = sen t e y = aeN2 + be~' 2 satisface la ecuación diferencial

(1 - x 2) —— - — x~— = 2 y , cualquiera que sean las constantes a y b. d r ' dx

Desarrollo

jc = sent X, = cosí

[y = ae' 2 +be

x'¡ = -sen t

y1/ = 2ae,'ñ + 2be~lyf2

y ' = 4 la e 'Í2 - b ^ i e '"12, derivando se tiene:

^ l = y = * - =dx >x xí

y¡2ae,sl2 - b ^ l e ''42cos /

d2y _ jc[.y1,1 -x '/ .y í _ cost (2a e 'j2 + 2¿>e~'v- ) + s e n t^ a e "12 - J j b e ”" 12)

dx2 ~ ( j* ') 3 eos31

2 d y dy „ ( l - x 2) - f - j : f = 2y

dx djc


699

2 cos t(2ae''¡ i + 2be-’'f í ) + sent(2ae‘ 'ñ - 2be"l'ñ ) (1 - s e n 't ) ^ ’

eos31sent(y/2ae' 2 -b \ ¡2e ,y‘2)

----------------------------------= 2 aecos t

cos t(2a e '^ + 2be~,'Ji) + sent(42ae,'ñ - j i b e ' " 12)

cos t

s e n n A e ^ - b J l e ^ - ) = + ^ = 2<(¡c, J5 + J2 } = 2 cos /

,, 2,d y dy (1 x ) — - - x — = 2y dx dx

,, m d3y . . . „ Í.v = secíHallar y = —— para las siguientes funciones: \

dx3 [y = ig t

Desarrollo

( J 'V lni _ <y.u) d d n xry,j__ -y,y xxx / u u t y xx . ¡ "j

X, (X ¡)3

, j i / _ (-4 )}¡4-y!¡ + ¿i-y'm - xZ ■>’! - 4 -y1, i K - ^ - ^ - y , ' ^ ) 2-^/] ( ^ ) 6 t f )3

rv// V ( ■ ~ xm y't)~3(x! )2x¡¡(x¡y'¡ -4 .y 't )

( y~ ' _ (* / )6

l .■// y _ -y/ + 3 (4 )2 y,7(y * } ' " (* ,V

..//,/ M f y n i - A - Z - y ' . - M - A - y 'ñ + 3 u ")2y,'( y « ) ; = - ./ \4


700

Z2 Í Í Á

x = sect => x [ - sec t.tg t => x '1, = sec ’ í + sec2 t.tg t

x " = sec: fÜ + tg í) => 4 u ~ sec;41 + 2 sec2 t.tg í(l + tg t)

y = tg t => y ¡= s e c 2 r => y¡¡ = 2 sec2 t.tg t

y '¡¡, - 4sec2 t.tg t + 2 sec4 t => y1//, = 2sec2 t(2tg t + sec2 1)

/// .. x\ (x¡ y " - ) - 3 4 (x¡ .y'!, - 4 -y¡ > c ,V

de donde al simplificar:sen t

1x = e~' cos t

y = e~'sent

Desarrollo

x = e~ 'cos t => x [ = -e ~ ' c o s í - e~‘ sen t

x\ = -e ~ l (sent + cos t ) => 4 ~ 2 e~'sent

y=e~ 'sen t => y, = —e~‘ sent + e~' cos t


701

—e ' (sent + cos t ) ( - 2e 'c o s / )-2e 'sent.e ' (cosí — sent)

-e 31 (sent + cos t)

_ // _ le [(sent coS t + eos' t) — sent cos í + sen í]

—e 3' (sent + cos t)3

y " = . 2 ~ 2 * '-r xve '(sení +cosí)3 (sent + cos í )3

// / _ e'(sent + cosí)3 -3(sen/ + eos/)2(c o s í-sent)elo & > := - 2i-

(sent + cosí)^

t j i j _ -2e '(sen t + cos í-3cos í+ 3sení) Ox»)/ — ■ "4 ~~

(sent + cost)

, / l j_ -2 e '(4 s e n t -2 c o s t ) _ t ^ _ -4 e '(2 s e n t-co s t) (yxjc)t ~ ■ -4 ^ v X c r ' / — 73

(sen/+ eos/) (sen/+ cosí)

../// _ _ ~ 4 e '(2 sen t-cos í) /// _ 4e2'(2sen í-cosí)xu; — / — 177 TT ^ — ^

x, -e (sen/+ cosí) (sent + cos t )

¡ x ~ e

[y = t3Desarrollo


702

703

( y « ) í = (6/ + 6)e2' +2(3/“ + 6/)e2' = e2'(6/2 +18/ + 6)

= ( ¿ i = £:[<Éf-.--tl gL± É> = (6/2 +18/ + 6)x, -e '

= - 6c3' ( / 2 +3/ + 1)

f jc = ln / Hallar — sí 1

<¿c" y = t"

Desarrollo

Como x = ln t => t = ex y = t

y'x = m emx y'L = m 2emx y 'L = m"e

y = e

3 tnx

y i n ) = m n e ' r ny(") ~ mn (e x ) m y (O —mntm

Conociendo la función y = f(x), hallar las derivadas de jc" y jc" 1 de la

función inversa x = f ~ l (y )

Desarrollo

y = f(x ) => y ' = j - = f \ x ) => y = 7 T \dx dy f (a)

d 2x - f \ x ) dx f \ x ) d 2 x / " (* )

dy2 [ f \ x ) ] 2 dy [/ '(x )]3 dy2 [/'(jc)]3

d 3x d d 2jr f 'X x )

dy3 dy{ dyz ) dy{ [ f \ x ) f)

[ (/ Xx))3f "Xx)- f "(*).3( / \ x ))2. f "(x)] dx

I f ’(* )] d\


[ f X x )1 (/ '((-*)/ ‘"(jc)- 3/ "(a)2)] 1 l f ' ( x ) f f \ x )

d 3x _ 3[,/’U )]2 - / ’(*)•.f ' X x )

dy3 [ / U ) ] 5

704 Hallar y " sí x 2 + y 2 =1

Desarrollo

x 2 + y 2 = l => y = \ J l - x 2 derivando se tiene y ' = —

_______________ - E Z

„ JC2 -1 - JC2 1 1 y = --------- = * y = -------------- r =

( l - * 2)2 ' ( l - x 2)2

DETERMINAR LAS DERIVADAS y " DE LAS SIGÜIEN1

FUNCIONES y = f(x) DADAS DE FORMA IM PLIC ITA .-

705 y 2 - 2 px

Desarrollo

2 y y '= 2 p => y ' = £y


707

708

Desarrollo

2a 2y , , b2x+ - f y = 0 => y = — 7

« 2 fc2 ya

( y - x ( ----- - ) )b- y - x y ' ^ b__________ ya

y a2 y2 a2 y2

2 fctb 2 ^

y" = - — (----- — ) = - — (•a y a

b2 b2x2 + a2 y2 ,

a2y3

y = x + arctg yDesarrollo

yi+ y

(1------- r )y ' = l1+ y

i+ y 1’ = 7 * 1

y - = - 2y-v = - ^ - , . . 4 ( i ± ^ , . - * ± 2 ¿y3 y3 y y

d d xDesde la ecuación y = x + ln y. Hallar — — y ——

dx2 dy2

Desarrollo


'• ^ d2y = ( y - l ) y ' - y - y ' ^ - y '

dx2 ( y - 1)2 ( y - 1)2

d 2y _ i ( y ) - ydx2 ( y - l )2 y - l ( y - 1)3

709 Hallar “y” en el punto (1,1), sí: x 2 +5xy + y 2 - 2x + y - 6 = 0

Desarrollo

2x + 5y + 5xy'+2yy'-2 + y' = 0 => (5* + 2y + l)y ' = 2 - 2x - 5 y

2 - 2 j - 5 y ^ (5jr+2y + l ) (-2 -5 y ')- (2 -2 ;c -5 y )(5 + 2y') 5x + 2y + l (5.v+2y+ 1)2

Al simplificar y hacer la evaluación en el punto (1,1) se tiene: y" |(11)= ~

710 Hallar y " en el punto (0,1) sí x4 - * y + y 4 = l

Desarrollo

4x3 - y - jcy'+4y3y' = 0 => (4y3 - x )y '= y - 4 x3 => y ' = — r—-4y - x

„ _ (4y3 - j r ) (y 1 2 * 2) - (y - 4* 3 )(12y2y 1)

(4y3 - x )2

y — 4x3Reemplazando y ' = en y " y evaluando en el punto p(0,1) se tiene

4y - x


La función “y” está dada implícitamente por la ecuación

x 2 + 2xy + y 2 - 4 x + 2 y - 2 = 0 . Hallar — ^ en el punto(1,1).dx

Hallar sí x 2 + y2 = a 2 dx3

Desarrollo

a) 2x + 2y + 2xy '+2yy ' -4 + 2y' = 0 =* ( 2x + 2 y + 2 ) y ' = 4 - 2 x - 2 y

4 - 2jc - 2y

y ~ ( 2 x + 2 y + 2 )2

. (2x + 2 y + 2)2 ( - 2 - 2 y > - (4 - 2x - 2y )2 (2x+2y + 2)(2 + 2 y ) '

( 2x + 2 y + 2)4

„ _ (2x + 2 y + 2) ( - 2 - 2 y ’) - 2 (4 - 2 * - 2 y )(2 + 2 y ’)

( 2x + 2y + 2 )3

711 a)

b)

Simplificando y calculando y '" , y evaluando en (1,1) se tiene:


2.6. DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y DE ORDE SUPERIORES.-____________________________ _________

a) DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN:

Se llama diferencial (de primer orden) de una función y = f(x) a la

principal de su incremento lineal con respecto al incremento Ax = i

la variable independiente x, la diferencial de una función es ig

producto de su derivada por la diferencial de la variable indepen

dydy = / ' (x )d x , de aquí, que y ' = — .

Si MN es el arco de la gráfica de la función y = f(x), MT la tangei

el punto M(x,y) y PQ = Ax = dx.

Tendremos que el incremento de la coordenada de la tangente A T =

el segmento AN = Ay.

b) PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LAS DIFERENCIAL

1 de = 0, donde c = constante 2 dx = Ax

3 d(cu) = c du 4 d(u ± v) = du

5 d(uv) = udv + vdu 6 d (—) =v v2

1 </(/(«)) = /'(«)<*«


c) APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL PARA LOS CALCULOS APROXIMADOS.-

Sea y = f(x) la diferencial dy y el incremento Ay de dicha función es

aproximadamente iguales entre sí Ay ~ dy.

Es decir f ( x + Ax) - f ( x ) ~ /' (x )A x , de donde:

f ( x ) + f\ x )A x = f ( x + Ax)

d) DIFERENCIALES DE ORDENES SUPERIORES.-

Se llama diferencial de segundo orden a la diferencial de primer orden

d 2 y = d(dy ) , en forma similar se define de tercer orden si y = f(x ) y “x”

es la variable independiente, se tiene:

d 2y = y " (d x )2

d 3y = y " '(d x ) 3

d ny = y (n)(d x )n

Cuando y = f(u), donde u = \|/(x) se tiene:

d 2 y = y " (du)2 + y' d 2u

d 3y = y '" (d u ) 3 + 3 y ''du .d2u + y 'd 3u

712 Hallar el incremento Ay y la diferencial dy de la función y = 5x + x

para x = 2 y Ax = 0.001Desarrollo

Ay = f(x + Ax) - f(x) => Ay = f(2 + 0.001) - f (2 )


Ay = /(2.001) - / (2 ) = 5(2.001) + (2.001) 2 - 1 0 -4

Ay = 2.001(5 +2.001)- 14 => Ay = 2.001(7.001) - 14 = 0.009001

dy = y 'dx = (5 + 2x)Ax => dy = (5 + 4)(0.001) = 9(0.001) => dy = 0.C

713 Sin calcular la derivada, hallar d ( l - x 3) , para x = 1 y Ac = - y .

Desarrollo

d ( l - x } ) = -3 x 2dx = -3 x 2Ax => d(\ - x 3) = —3(1)(——) = 13

714 El área S de un cuadrado cuyo lado es igual a x, viene dada por la foi

S = x 2 , hallar el incremento y la diferencial de esta función y determir

valor geométrico de esta ultima.

Desarrollo

dS = 2x.Ax y AS = S(x + Ax) - S(x)

AS = (* + Ax)2 - x 2 => AS = jc2 + 2a:.Ac + (A t ) 2 - j:2

por lo tanto se tiene: AS = 2x.Ax + (Ajc) 2

715 Dar la interpretación geométrica del incremento y de la diferencial d<

siguientes funciones:

a) del área del circulo S = kx2 . b) del volumen del cubo v = x

Desarrollo

a) El incremento de la función es: AS = S(x + Ax) - S(x)

AS = 7T(x + Av2) = 2nx.Ax + k.Ax 2

Calculemos la diferencial es decir:


dS = S '(x )d x => dS = 27ix.dx = 2kx .Ax

Como AS = 2tdc.Ax + k .Ax 2 y dS = 2jt.x.Ax y como Ax->0.

entonces: AS = dS

b ) El incremento de la función es Av = v(x + Ax) - v(x)

Av = (x + Ax) 3 - x 3 => Av = x3 + 3x2.A* + 3x.Ax2 - x 3

de donde se tiene: Av = 3x2 .Av + 3x.Ax2

Calculemos la diferencial es decir:

dv = v '(x )dx dv = 3x 2dx => dv = 3x2 .Ax

Como Ax - » 0, => Av = dv

716 .Demostrar que cualquiera que sea “x” , el incremento de la función y = 2x ,

correspondiente al incremento de “x” en una magnitud Ax, es equivalente a la

expresión 2X Ax. ln 2, cuando Ax -> 0.

Desarrollo

Ay = dy como dy = y' dx - y'.Ax

y = 2 x y ' - 2x ln2

Ay = dy = y'.Ax = 2X ln 2.Ax

717 ¿Para qué valor de “x” , la diferencial de la función y = x no equivale al

incremento de esta* misma función cuando Ax —» 0?

Desarrollo

Como y = x 2 => dy = 2x.Ax


Ay = (x + Ax) 2 - x 2 = 2x.Ax + Av2

para que Ay ¿ dy el valor de x debe ser cero es decir x = 0.

718 ¿Tienen diferencial la función y = | x | para x = 0?

Desarrollo

Como dy = y'dx luego y = | x | no es diferenciable en x = 0, por lo tanto

no tiene diferencial.

719 Empleando la derivada, hallar la diferencial de la función y = cos x jk n

x = — y Ax = — .6 36

Desarrollo

Como y = cosx => dy = y'dx => dy = - sen. Ax

dy = -sen —. — => dy = - — *= -0.04366 36 72

2720 Hallar la diferencial de la función: y = —¡= para x = 9 y Ax =-0.01

yjx

Desarrollo

2 — y = —¡= => dy = y'dx como y - 2x 2

yjx

- f , 1 y = - X 2 = * y

X2

dy = y'dx = —^ => dy - — => ¿y = —-— = 0.000373 1 ’ 2700

x2 92


K 1Z721 Calcular la diferencial de la función y = tg x para x = — y Ax = ---- .

3 3 180

Desarrollo

y = tg x => dy - sec2 x.dx = sec2 x.ísa

dy = sec = — - 0.06983 180 45

H A LLAR LAS DIFERENCIALES DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES PARA CUALQUIER VALOR DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE Y

DE SU INCREMENTO.

722 y = —

Desarrollo

y = - í— => y = x m => dy = —mx m ldx => dy = ------- —xm xm+ l

723 y =l — x

Desarrollo

^ j t J , ( Í - jc )- jc (- I ) , 1Como dy = y dx entonces y = ----------- ----- => y = ------- r-

(1- x )2 ( l - * ) 2

Luego dy = y 'd x= —( l - * ) 2

Desarrollo


x . ay = aresen — => y -a 1 _ ( £ ) 2 'Ja2 - x 2

dxcomo d y=y 'd x =

I 2 2 y¡a - x

725 v = arctg — a

Desarrollo

y = arctg — =$ y ' = — -— => y ' = °' l + ( * ) 2 fl2+ * 2

a

adxcomo dy - y d x - — ---- -

a + x~

726 y = e~x

Desarrollo

2 2 Como ;y = e => y '= -2 x e

_ 2 _ 2 Además dy = y 'd x - -2xe v dx => dy = -2.ve * dx

727 y = x ln x - xDesarrollo

y = x l n x - x => y '= lnx +1 - 1 = lnx

dy = y'dx = ln x.dx => dy = ln x.dx


728 y = ln —1 + *

Desarrollo

y = ln -—— = ln(l - x ) - ln(l + ,r) l + x

1 1 - l - x - l + jt , 2y = - - ------ -— = --------- -— => / = - -

l - x l + x \ - x2 l - x 2

, , . . 2dxcomo dy = y dx => dy = ------- -1 — x

729 r = ctg tp + ese 9Desarrollo

2 , 1 eos cp 1 + cos (pr — — esc (p-ese(p.ctgcp => r = ------ ---------- — = ------- 5—

sen (p sen cp sen (p

j . j j l + cos<pcomo dr = rd (p => dr = ------- -— d(psen~(p

730 S = arctg e ‘

Desarrollo

' = arctg e ' => S ’ = -----l + e

e' dtcomo dS = S 'dt => dS = S 'd t =

l + e21

731 Hallar dy sí x 2 + 2xy - y 2 = a 2

Desarrollo

2xdx + 2xdy + 2ydx - 2ydy = 0 => (2x +2y)dx = (2y - 2x)dy


2x + 2y x + y , , x + y ,dy = --------- dx => dy = ------ dx => dy = --------d x

2y - 2x y - x x - y

H ALLAR LAS DIFERENCIALES DE LAS SIGUIENTES FUNCK DADA DE FORM A IM PLIC ITAS

732 ( x + y ) 2 ( 2 x + y ) 3 =1

Desarrollo

2(x + y )(2x + y )} (dx + dy) + 3(x+ y )2( 2x + y )2(2dx + dy) = 0

2(2x + y)(dx + dy) + 3(2dx + dy)(x + y) = 0

2(2x + y)dx + 2(2x + y)dy + 3(x + y)2dx + 3(x + y)dy = 0

(lOx + 8y)dx + (7x + 5y)dy = 0 => dy - -jl dxl x + 5y

X

733 y = e y

Desarrollo

X X xv yd x -xd y s ~~ dx x ~ ,

dy = e y( - - ------— - ) => dy = —e y — + —ê ydyy y y

(1 — ^r-e y )dy = ~ - — dx => (y2 -x e y )dv = -y e ydxy y

, ye y dx y.ydx , y J y ,dy = ----------- = — ----- => dy = ---- ?— dx = —?— dx

y -x y y -x .y y - x x - y

734 ln <Jx2 + y2 = arclgc —x

Desarrollo

Vi 5 y i 2 2 yx + y~ - a re tge— => — ln(x + y ) = a retge— x 2 x

xdv - ydxxdx + ydy x2 xdx + ydy _ xdy - ydx

9 9 .. -y ix + y l + ( —) 2 x ' + y x ' + y~

x

xdx + ydy = xdy - ydx => (y - x)dy = -xdy - xdx

X+ y(x - y)dy = (x + y)dx => dy = ------dx

x - v


735 Hallar dy en el punto (1,2) sí y 3 - y = 6x 2 .

Desarrollo

Como y 3 - y = 6x 2 => 3y2dx - dy = \2xdx => (3y2 — \)dy = \2x.dx

\2x J J 12 dx 12 .ay = — -----dx => ay = -------= — dx

3y - 1 1 2 - 1 11

736 Hallar el valor aproximado del sen 31°

Desarrollo

Sea x=arcsen30o = — y Ax = arcsen]0 =6 180

Pero f ( x + A x ) ~ f ( x ) + f ' ( x )d x

sen31° ^ sen30° + cos30(-^~) => sen31° = 0.500 + 0.017— = 0.515 180 3


737 Sustituyendo el incremento de la función por la diferencial, calc

aproximadamente:

a) cos 61° b) tg 44° c) e0'2

d) log 0.9 e) arctg 1.05

Desarrollo

a) cos 61° => x = 60° y x = \°180

/ (x + Ax) = / (* ) + f ( x )d x

cos61° = cos60° — sen600-^— => cos61° = ----- -— .-^ - = 0.485180 2 2 180

b) tg 44 => Sea x = 45° y Av = 1 ° = — —180

f ( x + Ax) « f ( x ) + f ' (x )d x

tg44° = ?p45° - sec2 45°(-^~) => íe44° = l - 4 (— ) = 0.965 180 180

738 ¿En cuanto aumenta aproximadamente el volumen de una esfera, si su r¡

r=15 cm, se alarga en 2mm?

Desarrollo

4 i ,V = - J i r => dv = 47Tr~dr

3

¿/v = 47r(15)2(0.2) = 180tt =565 cm 3


Deducir la fórmula aproximada para valores de | Ax | pequeños en comparación

con x. yJx + Ax ~ 4~x-

VÍ7, V70 y Vó40.

con x. yJx + Ax = yfx 4— y con ella, hallar los valores aproximados de \¡5 , 2 va

Desarrollo

Sea f ( x ) = y[x => f ( x + Ax) = yjx + Ax

como f ( x ) = \[x => / '(* ) = —2y¡X

luego / ( j c + Ac) = f ( x ) + / ' (x)dx

y/x + Ax ~ \¡X + — 7= . Como \Í5 = V Í T T => x = 4 2yfx

f ( x + Ax) ~ f ( x ) + f ' (x )d x

= => y¡5 = 2 + ~ = 2.252 yíx 4

Deducir la fórmula aproximada: y/x + Ax ~ y jx + —- j= y hallar los valores3 Va2

aproximados de l f\0 , \¡T0 , \¡200 .

Desarrollo

Sea f ( x ) = \ f x = $ f \x) - — [ =3 ^ 7

Como f ( x + Ac) = f ( x ) + f (x )d x . Como yJx + Ax = \fx H----p=r3\x2

pero Vio se tiene ^8 + 2 => / (jc) = Va


oLuego \¡Í0 ~ \¡% + 2 ~ h— ==

3 #

V Í0 = 2 + — => y/lÓ = 2 + — = 2 + 0 .16 =* \¡Í0 = 2.16 3(4) 6

741 Hallar los valores aproximados de las funciones:

a) y = x 3 - Ax2 + 5 a: + 3 para x = 1.03

b) f ( x ) = \lx + 1 para x = 0.2

Desarrollo

Usando la fórmula f ( x + Ax) = f ( x ) + f ' ( x )d x

Como x = 1.03 = 1 +0.3 Ax = 0.03

f ( x ) = x 3 ~ 4 x 2 + 5x + 3 => f ' ( x ) = 3x2 - 8x + 5

/(1.03) = /[I + (0.3)] = / (l ) + / '(l)A v

f( 1.03) = 5 - 0(0.03) = 5 => f( 1.03) = 5

742 Hallar el valor aproximado de tg 45°3’20''

c)

d) y = e l x para x = 1.05

Desarrollo

Sea f(x) = tg x donde x = 45°, Av = 3’ 20’ '


f ( x + Ax) = f ( x ) + f '(x )d x

tg 45°3'20'' = t g 45° + sec2 45(3'20'' ) => íg45°3'20"= 1.0019

743 Hallar el valor aproximado de arcsen 0.54.

Desarrollo

Sea f(x) = arcsen x donde x = 0.5 y Ax = 0.4 además / ’(x )x2V T

f ( x + A x ) ~ f ( x ) + f '(x )d x

arcsen 0.54 = arcsen 0.5 + —= = £ ¿ = arcsen 0.54 = 0.54

V l - ( 0 . 5 ) 2

744 Hallar el valor aproximado de y/\7

Desarrollo

Sea f ( >x ) = \[x donde x=16 , Ax = 1

f ( x ) = \[x => / '(■*) = — ! = , reemplazando a la ecuación:4 t [¿

f ( x + Ax) = f ( x ) + f ( x )d x

V í l = V Í6 + —^ = = 2.03 4 ^ 6

E745 Demostrar basándose en la fórmula de la ley de ohm / = — , que una pequeña

Rvariación de la intensidad de la corriente, debida a una pequeña variación de la

resistencia, puede hallarse de manera aproximada por la fórmula AI = - — AR ,R


746

747

Desarrollo

£Como I = — aplicando la diferencial de un cociente con respecto a R.

Jr R d E -E d R JT, Adi = ------- ------ pero dE = 0

R2

, £cM? E ,dR s j /Luego: d i - —— — = — (— -) => AZ = ---- A/?

6 R2 R R R

Demostrar que un error relativo de 1% cometido al determinar la longitui

radio, da lugar a un error relativo aproximado de un 2%, al calcular el áre

circulo y la superficie de la esfera.

Desarrollo

Usar la formula siguientes: Área del circulo = A = n r1

Superficie de la esfera = S = 4/rr2

Calcular d 2 y , sí y = cos 5x

Desarrollo

y = eos 5x => dy = -5 sen 5x dx

d 2 y = -25 cos 5x(dx)2

748 u = \jl — x2 , hallar d 2u

Desarrollo


749 y = arccos x, hallar d 2 yDesarrollo

2dx , x (dx) y = arccos x =* dy = — ------ => d y -

J b ^ x 2 ' l ¡ ( \ - x 2)2

750 y = sen x. Ln x, Hallar d 2y

Desarrollo

senx , , senx dy = cos x. ln x.ax + ------ dx => dy = (cos x. ln x + ------ )dx

X X

j 2 / , cosx. . ,2 .xcosx - s e n x . . . 2d y - (-senx. ln x + —— )(dx) + ( -------- -------- )(dx)

x x~

,2 , , 2 cos a senx 2 d y = (-senxlnjcH----------------— )(dx)X X

751 z = hallar d 2zx

Desarrollo

1 — ln jc , ,2 2 x - 3 . . ,2dz = ---- — dx => d z - — ■:— (dx)

X X

752 z = x 2e~x , hallar d 3zDesarrollo

dz = ( 2xe~x - x 2e~x )dx =í> d 3z = - e ~ x( x 2 - 6x + 6) (dx)3

753 z = — — , hallar d 4z2 - x

Desarrollo

384En forma similar a los anteriores d*z = -------- r (d x )

( 2 - x ) 5


754 u = 3 sen (2x + 5), Hallar d nu

Desarrollo

du = 3cos(2x + 5 )d.x = 3.2sen(2x + 5 + — )d.x?

d 2u = 3.22 cos(2 jc + 5 + ~ ) (d x )2 = 3.22sen(2x + 5 + 2 (| ))(< ¿ c )2

d 3u = 3.23 sen(2x + 5 + 3(—)) (d x ')

d nu = 3.2" sen(2x + 5 + « ( —))(dx)n 2

755 y = excosxsen (xcosa ), hallar d ny

Desarrollo

dy = (cosa.eACOS“ sen(xcosa) + cosa e xcosa cos...( x cosa))dx

d " y — ex‘~osa sen(xsena + n a ) (d x ) tl

2.7. TEOREMA DEL VALOR MEDIO.-

a) TE O R E M A DE RO LLE.-

Sea y = f(x ) una función continua en a < x < b y que existe f ' ( x

cada x e (a,b) y f(a ) = f(b ) existe z e (a,b) tal que / ’ (z ) = 0

b) TE O R E M A DE LAG R AN G E .-

Sea y = f(x ) una función continua en [a,b] y que existe / '

para cada x s (a,b) => f ( b ) - f ( a ) = ( b - a ) f \ z ) donde a < z <


c) TE O R E M A DE CAU CH Y.-

Sean f(x ) y F(x) funciones continuas en a < x < b y existe / ' ( jc) y

F '(jc ) para cada x e (a.b) y sí f (b )* f (a ) . Entonces:

m - f ( a ) f ' ( z ) ..............t--------------- = --------, donde a < z < bF [ b ) - F { a ) F ' (z )

756 Verificar que la función / (jc ) = x - jc3 satisface a las condiciones de teorema

de Rolle en los segmentos -1 < x < 0 y 0 < x < 1. Hallar los valores

correspondientes de z.

Desarrollo• - ... . . i.. -11, i

La función f(x ) es continua y derivable para todos los valores de x, y

además f ( - l ) = f (0) = f ( l ) = 0

Luego el teorema de Rolle se puede aplicar. Ahora hallaremos z para esto

/ ' ( * ) = 1-3a ;2 => / '( z ) = l - 3 z 2 = 0 , de donde: ^ i = J ~ Ó Z 2 = ~\j^

Siendo - l < z 2 < 0 y 0 < z , < l

757 La función / ( jc) = %J(x-2)2 en los extremos del segmento [0,4] toma valores

iguales / (0 ) = / (4 ) = . ¿Es valido para esta función el teorema de Rolle en

el segmento [0,4]?

Desarrollo

2

Comp / ( jc) = ( jc - 2 ) 3 => f ' ( 2 ) l

Es decir que f(x ) no es derivable en (2,4).

Luego no es valido el teorema de Rolle.


758 ¿Se cumple las condiciones del teorema de Rolle para la función f(x ) =

el segmento [0, n]?

Desarrollo

No se cumple, porque f(x ) = tg x no es continua en (0,Jt) es decir

discontinua en x = — .2

759 Sea f(x ) = x(x + l )(x + 2)(x + 3). Demostrar que la ecuación / '(x ) =

tres raíces reales.

Desarrollo

Como f(x ) = x(x + l ) (x + 2)(x + 3) => f ( x ) = x 4 + 6x 3 + 11* 2 + 6x

/ '(x ) = 4x3 +18x2 +22x + 6

Como / ' (x ) = 0 => , 4x3 + 18x2 + 22x + 6 = 0

De donde 2x3 + 9x2 +1 l.t + 3 = 0

y por la formula de Cardano se obtiene las tres raíces reales.

760 La ecuación ex = l + x , evidente tiene una raíz x = 0. Demostrar qi

ecuación no puede tener otra raíz real.

Desarrollo

Sea f ( x ) = ex - (1 + x) es continua en todo R.

Además es derivable => existe z e R, de tal manera que f ' ( z ) - 0

Como f ( x ) = ex - (1 + x ) , derivando se tiene:

f ' ( x ) = ex -1 => f ' ( z ) = e z - 1

pero f ' ( z ) = 0 => e z - 1 = 0 => e z = 1 => z = 0


761 Comprobar si se cumple las condiciones del teorema de Lagrange para la

función f ( x ) ~ x - x 3 en el segmento [-2,1] y hallar el correspondiente valor

intermedio z.

La función es continua y derivable, entonces:

/ ' ( * ) = l - 3 x 2 como f ( b ) - f ( a ) - ( b - a ) f ' ( z )

/ ( l ) - / (2 ) = [1 - (-2 )]/ ' (z ) => 0 - ( - 2 + 8) = 3 / '(z ) / ’ ( z ) = - 2

l - 3 z 2 = - 2 => - 3 z 2 = - 3 = * z = + l

se toma solamente z = -1 puesto que -2 < z < 1

762 Comprobar si se cumple las condiciones del teorema de Lagrange y hallar el

correspondiente punto intermedio z para la función f ( x ) = x 3 en el segmento

Desarrollo

4

Desarrollo

4

f ( x ) = x 3 = x es continua V x e R

además / ’(z ) =/ ( ! ) — / (—1) _ 1 — 1 _ 0

l - ( - l ) 2

como f ' ( z ) = 0 => ^ y [ z = 0 => z = 0

como -1 < z < 1, luego se cumple para z = 0


763 En el segmento de - la parábola y = x 2 comprendido entre los puntos A(1

B(3,9). Hallar un punto cuya tangente sea parábola a la cuerda AB.

Desarrollo

Sea f \ z ) — — í - -a-~ donde a = l , b = 3 b - a

f \ z ) = ~ - ^ = 4 como f ( z ) = z2 =* f ' ( z ) = 2x

como f ' ( z ) = 4 => 2z = 4 => z = 2

Luego el punto será (z, f(z )) = (2,4)

764 Aplicando el teorema de Lagrange, demostrar la fóra

sen(x + h) - sen x = h cos£ donde x < £ < x + h

Desarrollo

Sea f(x ) = sen x, es continua en [x, x + h] por el teorema de Lagrange

tiene: f ( x + h ) ~ f ( x ) = ( x + h - * )/ ' (£ )

f ( x + h ) - f ( x ) = h f\ ^ ) donde f\ ¿ ; ) = cos¿;.sen(x + h ) - senx = hcos£

donde 2; = a + 0(x - a) y O < 0 < 1

caso particular para a = 0, se tiene la formula de Machaurin.

f ( x ) = m = x f X 0 ) + ^ - f "(0)+...+ - £ - L . /<”-'> ( 0 )+ 4 / <B) (5)21 ( « - ! ) ! . n i

donde£ = x y O < 0 < 1


765 a) Comprobar si se cumple las condiciones del teorema de Cauchy para las

funciones f ( x ) = x 2 + 2 y f ( x ) = x 3 - 1, en el segmento [ 1,2] y hallar £

b ) Idem para f(x ) = sen x y F(x) = cosx en el segmento [0, ~ ]

Desarrollo

, „ . , ^ f ( b ) - f ( a ) / '(£ )a) Por el teorema de Cauchy se t ie n e :--------------- = ----- — 1 < s < l

F (b ) — F (a ) FX Z )

f(2 ) = 6, f ( l ) = 3 y / '(£ ) = 2 í

f(2 ) = 7, F ( l ) = 0 y / '( § ) = 3§

/ ’( £ ) _ 6 - 3 3 ^ _2_ = 3 ^ . 1 4

F '(£ ) 7 - 0 7 3£ 7 9

b) f(x ) = sen x => / ' ( jc) = cosjc

nF(x) = cos x => F ’ ( jc) = - s e n jc , 0 < <; < —

cos£ 1- 0 . ' t ^-----—- = ----- => ctg £ = 1 => C = —

0 -1 4

2.8. FÓRMULA DE TAYLOR.-

Si una función f(x ) es continua y tiene derivadas continuas hasta de grado

(n - 1) inclusive en el segmento a < x < b (o b < x < a) y para cada punto

interior del mismo existe una derivada finita /(jt) , en este segmento se

verifica la fórmula de Taylor.


f ( x ) = f ( a ) + ( x - a ) f \a) + - f "(a) + f " '(« ) +

( n - 1)! ni

766 Desarrollar el polinomio f ( x ) = x 3 - 2 x 2 + 3 x + 5 en potencias enterc

positivas del binomio x - 2.

Desarrollo

f ( x ) = x 3 - 2x2 +3x + 5 => f ' ( x ) = 3x2 - 4 x + 3

f " ( x ) = 6 x - 4 , f " ' ( x ) = 6 , f M (x) = 0

para n > 4 de donde f ( 2 ) = l l , / '(2 ) = 7 , / ” ' ( 2) = 8 , / " ’ ( 2) = 6

f ( x ) = a3 - 2x2 + 3jc+ 5 = / (2) ■+ / X2)(x - 2) + - (a - 2) + ( * - 2;

jc3 - 2x2 + 3x + 5 = 11 + 7(x - 2) + 4(x - 2) +... + ( x - 2) 3

767 Desarrollar la función f ( x ) = ex en potencias del binomio x + l , hast¡

termino que contenga (x + 1) .

Desarrollo

Como f ( x ) = ex => f in)( x ) = ex y / (n)( - l ) = -e

ex = f ( - l ) + f X - i y . x + l ) + ^ ( x + l ) 2 + £ ^ ( x + l ) 3+ £ ^ ^ ( x +\)42! 3! 4!

x 1 1 , „ 1 (JC + 1)2 1 (JC + 1)3 (x + l ) 4 £e* = - + - ( * + 1) + —i----- — + - - ------ — + - ----- — e?

e e e 2! e 3! 4!

donde £ = -1 + 0(x + 1 ), 0 < 0 < 1

768 Desarrollar la función f(x ) = ln x en potencias de x - 1, hasta el término con


Desarrollo

f(x ) = ln x => /'(x) = — => f "(x) = \ => f ”(x) = — x x - xr

f ( l ) = 0, / ’ ( 1) = 1, / " ( 1) = - 1 , / " ' ( 1) = 2

= e + donde f 1S ) = j ¡2 . i . q

lnx = ( x - l ) - ( X~ 1)2 + 2 U ~- 1)3- donde £ = l + 0 ( x - l ) y O < 0 < 1 2 ! 3!£3

769 Desarrollar la función f(x ) = sen x en potencias de x, hasta el término de x 3 y

hasta el término x 5.

Desarrollo

» f(x ) = sen x , derivando se tiene:

/ ' ( x ) = c o s jc , f " ( x ) = -s e n x , / ' " ( x ) = - c o s x , f n ( x ) = senx

/ v ( x ) = c o s x , f v>( x ) = -senx

f (0) = 0, / ' ( 0) = 1, / " ( 0) = 0 , / " ' ( 0) = - l , / ív(0) = 0 , / v(0) = l

x3 x5a) senx = x — — + — / v(¿;) donde / v(£) = cos^ , = 6xx , O < 0 [< 1


x3 x5 x1 ••b) senx = x ~ — + - - — f v" (£ ) donde / v,'(£ )= - c o s £

3! 5! 7!

donde £ = 0 2jc , O < 0 2 <1

770 Desarrollar la función / ( jc) = <?* en potencias de x hasta el término de

Desarrollo

/ (jt ) = e* => / (n)(jc) = e* => / <n)(0) =1

/ ( * ) = / ( O ) + / ' ( O ) * + x 2 + . . . + ^ ....I ( 0 ) jc" -1 + jc"2 ! (n —1)! n\

x2 jc" ' 1 jc" f.f ( x ) = ex =1 + jch------------K . . + — — — + — e ’ d o n d e £ - 6tc,y O < 0 < 1

2 ! (n—1)! n\ y

771 Demostrar que la diferencias entre sen(a + h) y sen a + h cos a, no es m¡

de — h22

Desarrollo

Sea "(x) = sen x haciendo el desarrollo en potencias de x - a

(x - a )2 (x - a )3senx = sena + (x - a ) cos a ------------ sena-------------cos o + ...

2! 3!

haciendo x =a + h, de donde se tiene:.

. , h2 h3sen(a + h) = sena + h cos a ----- sena------cos a + ...

2! 3!

h2 h h2sen(a + h ) -s e n a -h c o s a = — ( -sena----a ------sena + ...+) ...(1)

2 3 12


h h h2 , , h2 . . h h}-sena— cosaH— cosa+— sena+... = sena(-H----- K..)+cosa(— H— +...)

3 3 12 12 3 20

donde -1 + — + ...<1 => - — + —— k ..<1 12 3 20

además 0 < sen 0 < 1 y 0 < cos 0 < 1

y además cuando sen a 1, cos —> a y cuando cos a -+ 1, sen - » a

/ i * 2 , , h h3 sena{ - 1 + — + ...) + cos a(— + — + ...) < 1 12 3 20

h2r , , h2 s . h h3 fc2 ...— [sena(-\-\---- + ...) + cosa(— H----- + ...) < — ... (2)2 12 3 20 2

reemplazando (2) en ( 1) se tiene: sen(a + h )~ sena - h cos a < ~

772 Determinar el origen de las formulas aproximadas:

a) yJ\Vx = l+ ~ — i I x | < 1 b) \Zl + Jc«l + y - -^ - ,| x | < l

y valorar el error de la fórmula

Desarrollo

a) Mediante el desarrollo de Taylor se tiene:

r.----- . x x 2 3V l + * = 1 + -------- + ------------t el error es:

2 8 3 1 6 (l + <^)2

x x 2 3 „ x x2 1( 1 + T - ^ + -------------r ) - ( l + - — — ) = ■

2 8 í ‘ 2 8 5 16(l + ¿ ;)2 16(l + 5 ) 2


___ ~ y-2 v3b) y j l+x =1 + --------- 1-— (--------- ) el error es:

3 9 81 *(1+ S ) 3

(1 + -------- + ----------- r ) - ( l + -------- ) =3 9 * 3 9 - -

8 1 (l+ £ )3 81(1 + < )3

donde I; = 0x y O < 0 < 1

773 Valorar el error de la fórmula: e - 2 + — + — + —2! 3! 4!

Desarrollo

* . x2 x3 x4 x5 ,V/C.= 1 + jt + — + — + — + — f \ t )

2! 3! 4! 5!

e r = <? cuando x = l entonces se .tiene:

ex = 2 + - + - + - + - / v(£ ) donde / v(£) = ^2! 3! 4! 5!

Luego el error será: — donde i; = 0x = 0(1) = 0

Pero 0 < 0 < 1, el máximo error que puede tener ex = 2 + — + — + — <2! 3! 4!

cuando se toma el mayor £, es decir- que debe lomarse el máximo valor de (

pero el máximo valor 0 aproximado y siempre menor que í, entonces tomand

e0 = 1, el error < — donde e < 3.

5!

3 1Luego redondeando se tiene error < — = '— = 0.025

5! 40


774

775

Un hilo pesado, bajo la acción de la gravedad, se cambia formando la catenaria j

y = a cosh — . Demostrar que para valores pequeños de | x | la forma que toma a

x 2el hilo puede representarse aproximadamente por la parábola: y = a + —

2a

Desarrollo

Como |x| es pequeño utilizaremos la formula de M ACLAURIN.

Sea / ( jc) = y = acosh(—) => f(0) = a a

x jc2 jc4/ (.t) = acosh — = a + — + ---- - + ... como | x | es pequeño entonces ¡x| = 0

a 2a 4 \a

x4 x6 Luego ---- r + ---- —+...

4 !a3 6 la5o puesto que

n ía"- 'o para | x | => 0

JC x2 x4 x2Luego a cosh — = a + — + a + -— = y

a 2a 4 \a 2a

X XPor lo tanto a cosh — ~ a-\-----

a 2a

Demostrar que cuando | x | < a, con una precisión hasta de (—)2, se verifica laa

igualdad aproximada ea -a + x

a - x

Desarrollo

------ 1 1 1 2a + jc x ^ „ j c - t x .z , x x------ =( 1 + —) 2(1— ) 2 de donde (1 + —) 2 = 1h------------ -a - x a a a 2a 8a


JC 4 , X 3x2 ' " ■'(1----) 2 = l + _ + _ Aa 2a 8a~

multiplicando ambos miembros se tiene que: ------ = 1 + — + — - ... -í a - x a 2a

— xahora haciendo el desarrollo de ea en potencias de — :

a

x 2 - JC JC

é?a « l + - + — — ... i a 2a2

. ■ a + x de ( 1) y (2) se tiene que: ------ ~e°

I a — x

2.9. REGLA DE L ’ HOSPITAL - BERNOULLI PARA CÁLCULO DE LIMITES INDETERMINADOS.-

a) C Á LC U LO DE L IM IT E S IN D ETER M IN AD O S DE LAS FOR

Consideremos f(x ) y g (x ) dos funciones derivables para 0 < | x - a

sin que la función g(x ) se reduzca a cero, si f(x ) y g(x ) son infinitai

pequeño o infinitamente grandes cuando x => a, es decir si la fra

/ ( jc)------ representa en el punto x = a, una expresión indeterminadag{x )

forma — o — , tendremos que:0 °°

lim Z í f l = iim -L- X) a condición que este limite de las derivadas e>* - * « g (x ) g ’(x )


f ' ( x)También esta regla se aplica cuando x => <*>, si la fracción------- es una

g ' (x )

expresión indeterminada se vuelve a aplicar esta regla.

b) O TR AS FO R M AS IND ETERM INAD AS.-

Para hallar los limites de expresiones indeterminadas de la forma

0, oo, se transforma los correspondientes productos f l ( x ) . f 2( x ) donde

lim (x ) = 0 y lim f 2{x ) - 00 en la fracción.

/ iW ,c 0 N t f 2(x ) oo——— (forma — ) o también —=-— (forma — )

1 0 1 oo

f 2(x ) f {(x )

Para el caso de las indeterminadas de la forma oo - oo se transforma laf . (x )

diferencia (x ) - /2 (x ) en el producto f¡ ( x ) [ l— -— -] y se calcula élf i ( x )

f <x) f (x )limite de la fracción — ---- , si él limite — — = 1, esta expresión se

f i ( x ) f i ( x )

reduce a la forma:

j f 2(x )

~ M x ) (forma —)1 0

M x )

Los limite cuyas expresiones de las determinadas son de la forma

1~ , 0° y oo°.

Se calculan primero tomando logaritmos y después se levanta el

logaritmo.


H A L L A R LOS L IM IT E S QUE SE IN D IC A N DE LAS FUNCIC SIGUIENTES:

776 limx 3 - 2x2 - x + 2

x3 - 7 x + 6Desarrollo

x 3 - 2 x 2 - x + 2 3x 2 - 4 x - 1 3 - 4 - 1 - 2 1lim :— ----------------= lim - - -*-»i x3- l x + (> 3x - 7 3 - 7 -4 2

x c o s x - senx777 lim --------- --------

Jt_>o x

Desarrollo

x cosx-senx cos x - xsenx — cos xh m ------ — --------= hm --------------- ------------•*->o x *-*0 2>x

xsenx 1 senx 1 = lim-------— = — lim — — = —

3a2 3 t->o x 3

778 lim- 1 *, K X1 — sen —

9

779 lim

Desarrollo

1- l ~ x V - 1 2 1 2 1lim — *----------= lim ------------- = — lim -----------= — (—) = <-V—>1. K X jr—»1 K K X J i a->I K X n 0

1 - s e n — — cos— cos —2 2 2 2

coshx-1

*-*o 1- c o s x

Desarrollo

coshx- 1 senhx e —e e + e 2 lim ------------= lim -------- = lim ----------- = hm----------- = - = 1x—>o 1 —cosx *->0 senx .*->0 2senx *->0 2cosx 2


780 I i m * Í Z f £ í íjt->o x - senx

Desarrollo

tgx-senx sec x - c o s xlim ------------ = lim ------------------*->o x -s e n x *->o 1 - c o s j c

1 - cos3 jc 1 + cosjc+ cos2 jc „= lim— ---------------= lim----------- r-------- = 3

eos jc( 1 - cosjc) -t-»0 eos x

781 l i m * * 1 * - 2' * *1 + cos4jc

4

Desarrollo

sec "jc -2fpjc 2sec x./j?x-2sec jc 2 «• t g x - llim - -- ...... — ■ = lim ----------- 5-------------- = 2 lim sec x. lim ------------x , » 1 + cos4jc -4sen4x x * X 1 -4sen4x

4 4 4 4

rr .2 ,. t g x - l .. t g x - l .. sec2 X (V 2) 2 1= 2(V 2 y lim — ------- = - lim --- ----- = - lim -----------= --------- - = -

-4sen4x ' X-JL sen4x x 4 cos 4x 4 ( - l ) 24 4 4

782 lim tgXx-**tg5 x

2Desarrollo

tgx .senx. cos 5x cos x. cos 5x - 5senx.sen5x 0 -5lim — — = lim --------------- = lim ------------------------------------- = ------— = 5

tg5x x cosx- sen5x x ,n -senx.senSx + 5cosx.cos5x -1 + 02 2 2

783 limx-*°° X

Desarrollo


784 lim

Desarrollo

1

lim = lim — —- = 3 lim — = 3 lim = 3(0) = 0x — >oo 3 / ^ - • X—>oo 1 _ _ X X -* o o

i r 3 r3

n

785 lim — —*->o nx

cts —

Desarrollo

n n x n 1 2 nx— n tg — — sec —- 2 2

lim— £— = lim------2- = lim—--------= £ _ ( i ) = £ _j;-*0 7TX x —*0 X x—>0 1 2 2

“ í y

786 lim*->o ln (senx)

Desarrollo

m cos mxln (senmx) senmx ,■ senx.cosmx

lim ----------- - = lim ---- ----- = m lim ---------------*-*o ln(senx) *->o cosx *->0cosx.senmx

senx

■ m limtgx sec2x sec2x 1 ,

- m lim ------------ = hm — ;------= - = 1*->o tgmx x->a msec mx J'->0 sec mx 1

787 lim (1- cos x)cr,gx jc-*0

Desarrollo


(1 — cos x) COS X 1-cosx lim (l - cos x)ctgx = hm ---------— —— = lim --------— . lim cos xx —>0 '■ senx »o senx *-»o

788 lim(l - x)tg —*->1 2

lim SenX-. lim cos x = ( 0) ( 1) = 0 *->0 COS -V x—>o

Desarrollo

K Xsen — , _ i

lim (l - x ) ------— = lim----- í - . l im sen-— = lim ---------(1)x—>1 ' K X x —>1 K X x —>1 2 K X

COS---- COS----- COS-----2 2 2

-1 2 ,. 1 2 /1 2= lim -------------- = — hm—--------= — (- ) = —

*->1 k k x n jc-*i k x n i n---- sen — sen —

2 2 2

789 lim arcsenx.ctgx *->0

Desarrollo

cos x arcsenxlim arcsenx.ctgx = hm arcsenx.------ = hm----------- . hm cos xx - > o jt->o senx *->o senx *->o

arcsenx . . . . . 1 1 ,= hm---------- .(1) = hm—= = ------- = ■-------— = 1

x->o senx ^ V I - jc2 c o s j c V i- 0 (1)

790 lim jc"e x , n > 0AT-+0

Desarrollo

hm jc"e 1 = hm jc” . hm e x = 0n.e 0 = (0)(1) = 0jr—>0 jc—>0 x—>0


791 lim xsen(—) x

Desarrollo

a a asen — — j cos ~

lim xsen{—) - lim — —¡— = lim —- — -— — = a lim eos — = a.cos 0 = a.l = aX —>oo X X — >°° 1 JC— »<*> 1

x " 7

792 lim x"sen— , n > 0 x

Desarrollo

a „ a asen— a cos— cos-

lim sen— - lim — - lim — -— — =na lim ---- ;£. = - ( - ) = «>, para n >• X —>oo X X —ôo 1 x — 2 1 “ ^ JC— >o® H 1 / | 0

Xx" x”

Sí n = l =» lim xsen— - a

Sí n < 1 => lim x"sen— = 0

793 limlnx. l n ( x - l )*->i

Desarrollo

lim ln x. ln(x -1 ) = lim — — = 0, por la regia de L ’ HospitalX—>1 JC—>1 1

ln (x - l )

794 lim(— -------— )jt-»i x — 1 lnx

Desarrollo

368 Eduardo Espinoza Ramos ]

r x 1 . jclnjc-jc + l lnxlim(------------- ) = hm--------------- = hm------------- -x-*\ x — l lnjc t-»i (jc - l)ln jc *~>i ■* —1

Í_

= l im ....l i m - J L - . - L - l, 1 « i l . 1 1 + 1 2

ln jc + 1— x x + 7

795 lim(x->3 x - 3 x - x - 6

Desarrollo

5 x " - 6x + 9 ( jc—3) -) = hm-----------;---------- = hm -lim (-----------, , - , - ..... ,

jf—*3 x - 3 x - x - 6 *-»3 (jc- 3 ) ( jc - jc- 6 ) ^->3(jc- 3 ) ( jc - x - 6 )

x - 3 1 = hm — --------- = lim-

x -*3 x2 — x —6 2 jc — 1 6 — 1 5

796 lim(-------- = ------------t=-)*-»• 2(1- V jc) 3(1- v jc )

Desarrollo

, 1 + Vjc l + l ¡x + y ¡ ¿ , 3 + 3 > / I - 2 - 2 ^ - 2 ^ / jc 2lim(----------------------------- ) - hm---------------------------------*-.1 2 (1 - j c ) 3 (1 - j c ) x - * i 6 (1 - j c )

= lim*->i

2yfx 3 Vjc2' 3^1 _ 2 3 3 _ 2___ __ 2 _ 1-6 -6 -6 12

797 lim (— --------— )x ,* ctgx 2 c o s j c

2

♦

Desarrollo


.. .xsenx n . ■ Ixsenx- nlim (-------------------) = lim --------------x cosjc 2cosx 2 cosa

2 2

798 lim x*JC— >0

.. 2senx+2ACOSA 2(1)+7T(0)= lim -------------------- = --------------

x tK - 2senx - 2(1)2

Desarrollo

ln* ,

T 'T±lim '** = lim e lnx = lim e* ]nx = l ime r - e - e *,r—>0 -v—>0 * - » 0 x—>0

\_

799 lim x xX — ><*

Desarrollo

1 i ln * ln * 1~ invT ----- lim----- lim — _

lim x x = lim e = lim e x - e '~ x = e '"~ x = e = 1X —>óo+ * —»<*>+ X —><=o+

800 lim — ------*-»o x + ln a

Desarrollo

3

l im f .-*_1

e x

801 lim a " "x ->0

Desarrollo

lim —— ---- x..i.Jt-»0 A + ln A x->0

31n*lim

31n*ln—-—-— ——-— mu--------

= lim e x +ln 1 = lim ee +ln* = e"~°‘i+tnx =jc - » 0


HnjJüi- lim-lim x senx = lim elnx = lim esenxAnx - e' >0coSí,“ = e ' -co$ecx.tgxx—>0 x —>0 x—>0

sen x senx-h m ---------- -Jim ----------------- .tgx , ,n, n

- e x~*°xcosx — e *-*o x — __ ü J

802 l im (l- x ) 2JC—>1

Desarrollo

K X nx 7TX , K X , , ,cos— . . . « * r eos-— .in (l-jc) límeos— .in (l-jc) n

lim(l - x ) 2 = U m e w ~x) = lime 2 = e " ‘ 2 = e ° = ]X -* \ JC— »1 J C -» 1

12-,803 lim (l + j r )

jt->0Desarrollo

lim [(l + .i2)-'2 ] = e'™* = e° = 1x—>0

1804 lim x l~x

X -> 1

Desarrollo

1 I ln JC 1 ----- , ]” ----- lim---- . 1

lim *1--* = l ime = ü m e ]- x = e " ‘ x =e~ ‘ = -x—>1 jc->i jc—>1 e

K X. n xjs -r-

805 lim(/g — ) 2x -> i 4

Desarrollo


lim(fg — ) 8 2 = lim eX —>1 2 JC—>1

. . nx 'g~ ln(/¿— ) 2

4

ln (tg— )lim--------—

n x . , nx *->i nx ctgx—

= lime ¿ 4 - e ¿x—>1

806 lim ícígx)1"*.r-»0

lim -sec (— )

4

Desarrollo

ln ctgx .. ln ctgx -------- lim---------

-cos ecx.ctgx

Ctgx

lim(c/gjt)lnjt = lim eln(rt®Jt)“ = lim e ln-,t = ln;t =x—>0 x -»0 x->0

lim-Jtcosecx lim----------. 1— gx -*o — g x~>° senx = g 1 = __

807 lim (—)'*-t x-*0 x

Desarrollo

in - .1 x ln * l

ln ( - ) t g x ~ — — [im -(-c o s e cx .c tg x )lim (—) gx = lim e * = lim e gx = lim e gx = e‘ Mxx - * 0 X x —>0 *->0 x —>0

i- 1 .. senx_ e *-°xcosec.ctgx _ e * ™ x JgX _ ^1(0) _ ^0 _ j

808 limícígx)*x—*Q

Desarrollo

lim(cíg;c)SCTU = lim e lnic,gx)“" = lim = lim e- sewtM'gx), t - » 0 * - > 0 ; c- » 0 jc- » 0


809

ln(/ex) 'gx- lim senx.ln(tgx) -lim ----------- } 2 rn, r t m r

: e x - > 0 5 - e *-*cosecx - e x °-cosecx.ctgx

lim-®*mu----------- mu j mu-------- 7 A •— g ,_*° cos ecx — £ *-*c o s x — ^ * -* °c o s jc = e 1 = = \

Demostrar que los limites:

x2sen~x ,a) lim --------— = 0 b) lim ---------- = 1jt—>o senx x-+°° x+senx

No pueden hallarse por la regla de L ’Hospital - Bemoulli. Hallar estos limites

directamente.

Desarrollo

2 1 1 .. 1x sen— xsen— limasen— „a) iim --------— = lim ------ ----------------- * = H = 0

x—>o senx jc—>o senx hm senx 1x—>0

donde hm xsen — = 0 , puesto que z = — , cuando x —» 0, z —»«>x —>0 X X

1 SCTIZ 1lim — senz = ? => -1 S sen z < 1 => — < ------s= —

z z z z

.. 1 .. senz ^ .. 1 _ n . senz . „ .. senzhm — < hm ------< hm — => 0 < hm ------ < 0 . . hm -------= 0

z - » “ Z Z z - + ~ Z Z Z

. . .. x -sen xb) hm ---------- = 1

*-*“ x + senx

j senxx-senx x 1 -0 . . . senx

hm ----------= hm -------— = -----= 1 donde lim------ = 0 , ver parte a)x-*~ x + senx x-»~ j + senx 1 + 0 x-*~ x

x


810 Demostrar que el área de un segmento circular con una ángulo cer

pequeño, que tiene la cuerda AB = b y la sagita CD = h (según figu

2aproximadamente igual a: S ~ —bh

Con un error relativo tan pequeño como se desea, cuando a —> 0

Desarrollo

Sea R el radio de la circunferencia, el área del segmento esta dada exactí

R2 2por la formula: S = — (a - sena) , para demostrar que: S = —bh

Calculemos lim —— y esto debe ser aproximadamente igual a 1.

3

Según la figura b = R cos a

H = R - b = R( 1 - cos a )

2 2—b h - — R 2 c o s a (l-c o s a ) 3 3

(a -s e n a )Luego lim —— = lim ■ = lim — (-

O

a - sena

a ^ o 2 bh “ -*0 2^2 a_>°4 c o s a (l- c o s a )3 3

)

\374 Eduardo Espinoza Ramos

CAPITULO III

EXTREMO DE LAS FUNCIONES Y APLICACIONES GEOMETRICAS DE LAS DERIVADAS

3.1. EXTREMOS DE LAS FUNCIONES DE UN ARGUMENTO.-__________________________________________

a) C R E C IM IE N TO Y D E C R E C IM IE N TO DE LAS FUNCIONES.-

Diremos que la función y = f(x ) es creciente en un intervalo determinado sí

para cada par de puntos x, y x2 de dicho intervalo.

Se cumple que sí x x < x2 => /(jc, ) < f ( x 2)

Diremos que la función y = f(x ) es decreciente en un determinado intervalo si

para cada par de puntos cualesquiera x, y x2 de dicho intervalo se cumple

que sí x, < x2 =* f ( x x) > / (x 2)

Aplicación de las Derivadas

Si la función f(x ) es continua en el segmento [a,b] y / ' ( jc) > 0 para a < :

la función es creciente.

En el segmento [a.b]. Si la función f(x ) es continua en el segmento [a,

/ ' ( jc) < 0 para a < x y '= 0 para los puntos críticos, es decir:

- 4 - 2x = 0 => x = - 2 punto critico.

-2

Como y = f(x ) => / = / ' ( jc) = - 4 - 2 jc => y' = - 2 ( jc + 2 )

Si x< -2 , y ' > 0 =í> f(x ) = y, es creciente en <-<*>,-2>

Si x> -2 , y '< 0 f(x ) = y, es decreciente en <-2,°o>


812 y = ( x - 2 ) 2

Desarrollo

y = ( x - 2 ) 2 => y ' = 2 ( x - 2 )

Como >•'=0 para obtener los puntos críticos entonces:

2(x - 2) = 0 => x = 2 punto critico.

2y ' = 2 ( x - 2 )

Si x < 2 => y'<0 => y = f(x ) es decreciente en <-~>,2>

S i x > 2 = » y’> 0 = > y = f(x) es creciente en <2,«>>

813 y = (x + 4)3Desarrollo

y = (x + 4) 3 =* y’=3U + 4) 2

Como y ' = 0 , para obtener los puntos críticos es decir:

3(jc + 4) 2 = 0 , de donde x = -4

S i x < - 4 => y '< 0 => f(x ) = y es crecimiento en <-°°,-4>

y' = 3(.x + 4 )2

Si x > - 4 => / > 0 => f(x ) = y es crecimiento en <-4,°°>


814 v = jc2( jc — 3)

Desarrollo

y = x 2 ( x - 3 ) = x 3 - 3 x 2 => y '= 3 x 2 - 6x => y' = 0

para obtener los puntos críticos es decir:

3x2 - 6x = 0 3 x ( x - 6 ) = 0 => x = {0,6} puntos críticos

---------0 ------------------ 0 ---------0 6

y' = 3;c(;ir-6)

Si x < 0 , y ' > 0 => f(x ) = y es creciente en <-°°,0>

Si 0 < x < 6, y '< 0 => y = f(x ) es decreciente en <0,6>

Si x > 6 => y '> 0 y = f(x ) es creciente en <6, °°>

815 v = ———x — 2

Desarrollo

( x - 2) - x -2y ' = ----------— = -------— como y' = 0 , para obtener los puntos críticos.

( x - 2)2 ( x - 2)2

i-2

Es decir: -------- r = 0 . Luego 3x tal que y ' = 0( x —2)

Además x = 2 es punto de discontinuidad


816

817

Si x < 2 => y ' < 0 =* y = f(x ) es decreciente en <-=»,2>

S i x > 2 => y '< 0 y = f(x ) es decreciente en <2,°°>

1y = -

( * - 3 )2

( x - 3 y

Desarrollo

■, para obtener puntos críticos debe ocurrir que 0

Como v ’ : ■, no 3 x, tal que y ' = 0U - 3 Y

Además x = 3 es punto de discontinuidad

Si x < 3 => y ' < 0 => y = f(x ) es decreciente en <-«\3>

S i x > 3 => / < 0 => y = f(x ) es decreciente en <3,°°>

x~ — 6jc — 16Desarrollo

, (x 2 - 6x - l 6) ( x ) ' - x ( x 2 - 6 x - 1 6 )y =

-x —16

(x 2 - 6 x -1 6 )2( x z - 6 x - 1 6 y

Para hallar los puntos críticos debe ocurrir que: y ’ = 0

Para que v ’ = 0 => - x 2 ~16 = 0 => x 2 = -1 6 3 x e R


Además x = -2, x = 8 son puntos de discontinuidad

/ = / '( * ) = -(x 2 +16)

(x 2 - 6 x - 1 6 )2

-oo < x < -2 / = / ’(*)< o-2 < x < 8 / = / ’ ( * ) < 0

8 < x < oo / = / ’ ( * ) < 0

Luego la función y = f(x ) es decreciente en: <-2,8>, <8,°°:

818 y = (x -3 )\ fx

Desarrollo

Calcularemos su derivada

y ' = ( x -3 ) 'y jx + { x -3 ) (y [x ) ' => / = , £ + £ * = » y ' = ?-* ~2 VA* 2y¡X

Hallaremos los puntos críticos para esto debe cumplirse que y' = 0 V 3 y'

Si y '= 0 => 3 x - 3 = 0 => — 1 puntos críticos

Sí 3 y' => 2\[x = 0 => x 2 - 0


819

x < 0, y = ( a - 3 )71 no esta definida

0 < x < 1, y' < 0 => y = —j3 - es decreciente en <0,1; y¡x

x — 31 < x < o®, y'> 0 => y — —j=~ es decreciente en <l,°o>

■v x

y = -3 - r x

Desarrollo

Calcularemos la derivada y ' = —----- 1 = =3 3 ^ 7 3 ^ 7

Ahora hallaremos los puntos críticos, para esto hacemos que y' = 0 y 3 y'

Si y '—O => \ / 7 - l = 0 => x = ± 1

Si 3 y' => 3\¡x2 = 0 => x = 0

Puntos críticos

, y [x *~ 1 (1/x + lK lJx -Y )

' = = 3 Í ? '

-oo < x < -1, y '< 0 y = ^ - - l f x es creciente en <-oo,-l>


- l < x < 0, y '< 0 y = f(x ) es decreciente en < -l,0>

0 < x < l , y ' > O =* y = f(x) es decreciente en <0,1 >

1 < x < °° => y' > 0 => y = f(x ) es creciente en <1 ,«>>


Calculando la derivada y' = 1 + cos x , ahora encontraremos los puntos críi

para esto debe ocurrir y' = 0 ' ' 3 y'

Si y' = 0 => l + c o s x = 0 -- cosx = -l => x = 7t(2n + l )

ahora veremos si y '> 0 v y '< 0

pero se conoce que -1 < cos x < 1, V x e R

sumando 1 se tiene 0 < 1 + cos x < 2, V x e R

luego y '> 0 V x e R, por lo tanto y = x + sen x es creciente en:

821 y = x ln xDesarrollo

s -1 1y' = ln x + 1, luego v' = 0 se tiene: lnx = -l => x = e = -e

y para que 3 y ' , se tiene x = 0

como la función esta definida para x > 0 entonces:

Como y ' = ln x +1 se tiene:


0 < x < - , >’’ < 0 => y = x lnx, es decreciente en < 0, - > e e

1 1— < x < ° ° , v '> 0 => y = x lnx , es creciente en [—,°° > e ' e

822 y = aresen (1 + x)Desarrollo

1 , 1 Calculando la derivada y ' = —= = = = = de donde y -

-y/T— (1 + a ) 2 ylx2 - 2 a

para hallar los puntos críticos hallaremos los valores de x de tal manera, que

3 y. .

Luego yj- a 2 - 2 a = 0 => - a ’ - 2 a = 0 => -x(x + 2 ) = 0 a , = 0 , a 2 = - 2

puntos críticos

t] - ( x 2 + 2 X) y ]~x (x + 2)

-oo < x < -2, 3 j ' es decir que no es y ' > 0 ni y '< 0 , por lo tanto no hay

intervalo de crecimiento y de decrecimiento.

-2 < x < 0, y '> 0 => y = aresen (x + 1) es crecimiento en: <-2,0>

823 y = 2e*2~4xDesarrollo


Calcularemos su derivada y ' - 2ex 4i (2 j c -4 ) , luego para hallar los pu:

críticos haremos y' = 0 , es decir: 2elx ~4x>(2x - 4) = 0, de donde x = 2

2y '= 4 e x(x- 4) ( x - 2 )

- «> < x < 2, y '< 0 =$> y = 2e x ~4x es decreciente en: <-°°,2>

2 < x < ° ° , y’> 0 => y = 2ex ~4x es creciente en: <2,°o>

iS24 y = 2x~a

Desarrollo

— -1Calcularemos su derivada y ’ = e *~a (-------- —) ln 2

(.x - a ) 2

19 x~a

y • — — ----- _ ln 2 , ahora halaremos los puntos críticos, para esto veremos( x - a )

valores de “x” , de tal manera que 3 y ' .

Luego x - a = 0 =* x = a punto critico


- ° ° < x < a , y '< O =* y = l -*-0 es decreciente en:

a < x < o®, v '< 0 => y = 2 1-0 es decreciente en: <a,oo>

825 y = —

Desarrollo

Calcularemos su derivada y' = ahora hallaremos los puntos críticos,JC"

para esto debe ocurrir que: y = 0 V ¡ _v'

Sí y' = 0 => ex ( x - ! ) = 0 => x = 1

Sí 3 y' => x 2 = 0 => x = 0

, ex( x - l )y = — i—

-oo < x < 0, y '< 0 => y = — es decreciente en: <-oo,0>x

0 < x < 1, y ’ <0 v = — es decreciente en: <0,1>x

1 < X < oo, y' > 0 y = — es creciente en: <1 ,°o> x

Aplicaciones de las Derivadas

Averiguar los extremos de las funciones siguientes:

826 y = x 2 + 4x + 6

Desarrollo

y ’ = 2x + 4 => y' = 0 , para obtener los puntos críticos

es decir: 2x + 4= 0 => x = -2

y " = 2 => y " ( - 2 )> 0 => x = -2

se tiene un punto mínimo de donde y = 2

827 y = 2 + x - x 2Desarrollo

y ' = \ - 2x y '= 0 => l - 2x = 0 de donde x = ~ punto critico

y " = - 2 => y " (^ )< 0 => en el punto a = i se tiene en máximo

9 9 1de donde y = — , es decir: v = — es un máximo cuando x = —

4 ’ 4 2

828 v = a 3 - 3 a 2 + 3 a + 2

Desarrollo

y ’ = 3a 2 - 6a + 3 =í> y ' = 0 , para obtener los puntos críticos, es decir:

3x2 - 6 v + 3 = 0 => x = 1. punto critico

y " '= 6x - 6 => y " ( l ) = 0 =s> y = x 3 - 3 x 2 +3x + 2

no tiene máximo ni mínimo por lo tanto no tiene extremos


829 y = 2x3 + 3 x 2 -12x + 5

Desarrollo

y '= 6x 2 + 6x -1 2 => y '= 0 para los puntos críticos

6x 2 + 6x -1 2 = 0 de donde: x ¡ = - 2 , x2 = l

y ' ' = 12x + 6 => y " ( - 2)< 0 => en x4 = - 2

se tiene un punto máximo de donde y = 25

v " ( l ) = 18>0 ^ en x2 = l se tiene un punto mínimo de donde y = -2

830 y = x 2(x - 12) 2

Desarrollo

y = x 2( x 2 - 24x +144) => y = x4 - 24x3 + 144x2, derivando se tiene:

y' = 4x3 - 7 2 x 2 +288x, hacemos y' = 0 para obtener los puntos críticos

es decir: 4x3 - 7 2 x 2 +288x = 0 => x, = 0 , x2 = 6 , x3 =12

y " = 12x2 - 144x + 288

y ' ' (0) = 288 > 0 => en x¡ = 0 se tiene un mínimo de donde y = 0

y " (—6) = —144 < 0 => en x 2 = 6 se obtiene un máximo de donde y = 1296

y ' ' ( 12) = 288 > 0 => en x3 =12 se obtiene un mínimo de y = 0

831 y = x (x - l ) 2(x - 2) 3

Desarrollo

Hallaremos su derivada y '= (x - 2) 2 ( 6x 3 —\6x l + 12x — 2)


ahora hallaremos los puntos críticos y para esto:

y' = 0 , es decir: (x - 2) 2(6x 3 - 16x2 + 12x - 2) = 0

de donde: x¡ = 1. x 2 = 0.23, x3 = 1.43, x4 = 2

y " = 2( x - 2) ( 6x~ - 1 6 x 2 + 12x - 2) + ( x - 2 ) z(18x2 - 3 2 * + 12)

y ” = 2 (x -2 ) [6 x 3 - 16x2 + 12x — 2) + (x - 2 )(9x2 -16x + 6)]

y " = 2 (x - 2)(15x3 - 50x2 + 5 0 x -1 4 )

y " ( l ) = - 2 < 0 => hay un punto máximo en: x = l , de donde y = 0

y ' ' (0.23) > 0 => hay un punto mínimo en x = 0.23 de donde y = -0.76

y "(1 .4 3 )>0 => hay un punto mínimo en x = 1.43 de donde y = 0.76

y " ( 2) = 0 , no hay máximo ni mínimos.

x3832 y =

x +3Desarrollo

, . . . , , ( x " + 3 ) 3 x 2 - 2 x 4 3x + 9 x - 2 x Calculando su derivada y = ■ ~

( x 2 + 3 ) 2 ( x 2 + 3 ) 2

, x2(x 2 + 9) uy = — -z------5- hacemos y = 0

(x - +3 )

para obtener los puntos críticos es decir, Jt (x + 9) = 0 de donde x = 0

y " = 2 x ( x 2 + 3 ) ( - x 4 — 7xf + 9 )

y ” (0) = 0 => no hay máximos ni mínimos por lo tanto no hay extremos.


833 y = -x - 2x + 2

x — 1Desarrollo

x2 - 2xCalculando la derivada se tiene: y ' = :------- r- , hacemos y' = 0 para obtener

( x - 1)2

los puntos críticos, es decir: x ‘ - 2x = 0 => x, = 0 , x 2 = 2

„ 2 (x - l ) ( - x + .3 x - l)

( x - 1)4 .

y " ( 0 ) = - 2 < 0 => en x, = 0 hay un punto máximo de donde y = -2

y ' ' ( 2) = 2 > 0 =}■ en x2 = 2 hay un punto mínimo de donde y = 2

834 y =(x —2) (8- x )

Calculando su derivada y =

Desarrollo

- (1 0 x -3 2 ), haciendo y' = 0

para obtener los puntos críticos es decir: - (1 0 x -3 2 ) = 0 => x = 3.2

y = -- (lO x -3 2 ) „ 20x - 96

y ~ 4

/ ' ( 3.2) < 0 => hay un máximo en el punto x = 3-2 de donde y ■10

835 y =16

x (4 - x )

Desarrollo


, 16(3jt - 4 ) , ,y = ------- — ■, hacemos y = 0 para obtener los puntos críticos, es deci

x ( 4 - x y

16(3jc‘ — 4) = 0 => x, = — , x7 = —¡=73

„ _ 1 6 ( - 1 2 x 7 + 2 x 5 - 1 2 8 a : 3 + 128 jc )

^ " ■ x \ 4 - x 2)4

2p y —. \ J ------r J — X^/V/ 11V11V U li 1UUAÍ111U WJl -A,] -------------------=■ 1

& V3y "(— j=) < 0 => y = f(x ) tiene un máximo en x¡ = — — de donde y = -3>

4836 y =

yjx +8Desarrollo

—4jcCalculando su derivada y ' = ----------—, haremos y ' = 0

( x 2 + 8)2

para encontrar los puntos críticos. Es decir: -4x = 0 => x = 0

’ ' m - - r T ° - 7 h >(x +8)2

y "(0) = — ~ < 0 => en el punto x = 0 hay un máximo de donde y = \Í2

82

837 y = *y[x2~—4

Desarrollo


x -1 2Calculando su derivada se tiene: y ' = ............ - , haciendo / = 0 para

3(.r2- 4 ) 2

obtener los puntos críticos, es decir: x2 -1 2 = 0 => x, = 2\¡3 , x2 = -2 ^ 2

„ x ( 2 S - x 2)y = ----------- T

3(x2 - 4 ) 2

y"(2yÍ3) > 0 => hay mínimo en x¡=2y¡3 de donde _y = V3

y "(—2\Í3) < 0 => hay un máximo en el punto x2 = -2\¡3 , de donde y = -\¡3

838 y = l j ( x 2 - l ) 2

Desarrollo

AxCalculando su derivada se tiene: y ' = -----------haciendo = 0 para

3U2 - 1 )^

obtener los puntos críticos, es decir: 4x = 0 => x = 0

4(x2 - 3) iy " ---------— => y " ( 0 ) < 0 => hay un máximo en x = 0. de donde y = 1 1

9(jc2 - 1 )3

además a-2 -1 = 0 => x = ± l son puntos críticos

/ ' ( ± 1 ) > 0 en x = + l hay un máximo de donde y = 0

839 y = 2 sen 2x + sen 4xDesarrollo

y' = 4 cos 2x + 4 cos 4 x = 4(cos 2x + cos 4 x)

y '= 8cosjtcos3a: , haciendo y' = 0 para los puntos críticos, es decir:


840

841

8 cos x. cos 3x = 0, de donde: cos x = 0 v cos 3x = 0

o ' n . 1. nnSi cos x = 0 => x = ( n — )n => jc = — + k 6 2

cos 3x = 0 => jc = ( « + —) , n = 0,±1,±2 6

y ' ' = -4 senx. cos 3* —12 cos x.senZx

7t 3 ^y ”(n ---- ) > 0 hay un mínimo en: x = - —\Í3 de donde y = - -

6 2 í

y "(n + —) < 0 => hay un máx imo en: x = n + — de donde y =6 6

X Xy = 2 cos — + 3cos—

2 3Desarrollo

De igual manera que el ejercicio 839

De donde x = 12kn, hay un máximo; de donde y = 5 y en x = 12(k +

Hay un máximo de donde y = 5cos-^-

Cuando x = 12(k ± j ) 7T hay un mínimo de donde: y - -5 cos y

Cuando x = 6(2k + l)Jt, hay un mínimo de donde y = 1

y = x - ln (l + x)Desarrollo

1 XCalculando su derivada se tiene: y ' = 1--------=> y 1 = -

1 + x 1 + JC

I <N


haciendo y' = 0 , para obtener los plintos críticos es decir: x = 0

y " = --------- => y ' ' (0) > 0 => en x = 0 hay un punto de donde y = 0(1 + JC)2

842 y = x ln xDesarrollo

Calculando su derivada se tiene: y '= ln x + 1 , haciendo y ' = 0, es decir:

ln x + 1 = 0 => x — e 1 => jc = -e

y " = — => y "(—) = e > 0 => en el punto x = — hay un mínimo de donde: x e e

, 1 1 1 1 y = — ln — = — cuando x — —

e e e e

843 y = A:ln2x

Desarrollo

y' = ln2 x + 2 ln x , haciendo y' = 0 para obtener los puntos críticos

ln2 jc + 21n.x = 0 => l n x ( l n x + 2) = 0

de donde se tiene: ln x = 0 => x = 1

lnx + 2 = 0 => x = e 2

„ 21n.v 2y ’ = -------+ -

x x

y " (1) = 2 > 0 => en x = 1 hay un punto mínimo de donde y = 0 cuando x = 1


, 4 2 1y "(e ) = — — + - 3 - < 0 => en x = — hay un punto máximo de donde

e e ~ e ‘

y = - i- (ln e "2)2 = 4 - =* y = 4 -e e e .

844 y = cosh xDesarrollo

,Y — A'— £Calculando la derivada y ' = s e n h x - ---------- , haciendo y' = 0

2

para obtener los puntos críticos, es decir:

ex — e~x---------- = 0 => e -1 = 0 => x = 0

, C “f- £y " = ---- ----- => y” (0) = 1 > 0 => en x = 0 hay un punto mínim<

donde y = 1.

845 y = xex

Desarrollo

Calculando su derivada y' = e x + xex = ex (1 + x)

haciendo y' = 0 , para obtener los puntos críticos, es decir:

e * ( l + jc) = 0 => ex = 0 v l + x = 0, de donde x = -l

y " = ex + e x + xex

„ _1

y " = ( 2 + x)e => y " ( l ) = e > 0 enelpunto x = -1, hayunmíni

de donde: y = - — cuando x = -le

846 y = x 22~x

394

Desarrollo

Eduardo Espinoza Ramoí

Calculando su derivada se tiene: y '= 2xe x - x 1 e x = x e x ( 2 - x )

haciendo y ’= 0 , para obtener los puntos críticos es decir:

xe~x (2 - x ) = 0 de donde: x, = 0 , x2 = 2

y " = 2e~x - 2xe~x - 2xe~x + x 2e~x => / ' = ( 2 - 4x + x 2 )e~x

y " ( 0) = 2 > 0 => en el punto x = 0

hay un mínimo de donde y = 0 cuando x = 0

haciendo y' = 0 para obtener los puntos críticos, es decir:

e x(x - 1) = 0 de donde x = l

e

máximo de donde: y = 4 e ~2 cuando x = 2

ex847 y = —

xDesarrollo

Calculando su derivada se tiene: y 1 =ex( x - l )

Aplicación de la Derivada

848

849

„ ex(x 3 - 2x 2 + 2x) „ ex(x 2 - 2x + 2)y = ----------- ----------- => y = --------- ---------X X

e ( l- 2 + 2)y (1) = ------ ------- = e > O => en el punto x = 1 hay un mínimo de d

y = 0 cuando x = 1

y = x arctg xDesarrollo

Xy ' = arctgx + — — haciendo y '= 0 para obtener los puntos críticos, es de

l + x¿

X -y Xarctgx + ----- — = 0 => ( l + ,v )arctgx+ x = 0 => arctgx = --------- => x =

1 + jc" 1 + jc2

1 l + x 2 - 2x2 „ 1 l - x 2 „ n ny = ------- 5-+ ----------- y — => y = ------- j + ---------5- 5- => y (0) = 0

1 + X (1 + A- ) " 1 + X ( l + A " )

=> no hay máximo ni mínimo.

Determinar los mínimos y máximos absolutos de las siguientes funcione

los segmentos que se indican (cuando los segmentos no se indican,

mínimos y máximos absolutos, de las funciones deben determinarse en toe

campo de existencia).

Ay

l + A 2

Desarrollo

, . . . , (1 + a 2 ) - 2 a 2 1 - aCalculando su derivada se tiene: y - -

( l + A 2 ) 2 ( l + A 2 ) 2

haciendo y ' - 0 , para obtener sus puntos críticos, es decir: 1- a 2 = 0 => x=


(1 + jc)(1 — Jf)y i

a + * 2)2

-o» < x < — 1, y ' < 0

- I c j c c I , y '> 0existe en x = -l un mínimo.

Por lo tanto e! valor mínimo es y = -1

- 1< * < 1, y ’ > 0 ] 1> => existe x = 1 un máximo y el valor máximo es y = —

1< j í< °o , y ' < 0 J ‘ 2

850 ’ = yjx( 10-A T )

Desarrollo

5 — x . ,Calculando su derivada se tiene: y ' = ■ ' ' haciendo y' = 0 , para

V-<(10- x )

obtener los puntos críticos es decir: 5 - x = 0 de donde: x, = 5, además 3 y'

es decir: -^x (lO -x ) = 0 => jc2 = 0 y j t 3 =10

Como y = -y/xO 0 - x ) su campo de existencia es:

x(10 - x) > 0 => x(x - 10) < 0


O 10

Luego esta definida para el intervalo [0,10]

5 —xy = -

7 * 0 0 - jc)

0 < J t< 5 , y ' > 0

5 < jc < 10, y ' < 0existe en x = 5 un mínimo de donde y = 5

además en los extremos, es decir en x = 0 el valor de y = 0 y en x =

valor de y = 0.

Luego el valor mínimo cuando x = 0, 10 es: y = 0 y el valor máximo ci

x = 5, es: y = 5

851 y = sen x + eos4 x

Desarrollo

Calculando su derivada se tiene:

y '= Asen3 x cos x — 4cos3 x.senx => y '= A senx eos x(sen2x —eos1 x )

haciendo y' = 0 , para obtener los puntos críticos se tiene:

Asenxcosx(sen2x - c o s 2 jc) = 0 -4sen x. cos x. cos 2x = 0

de donde se tiene: sen 2x. cos 2x= 0

de donde: jc = ( 2fc + l)-^- y x = k ^ , (k = 0, ± 1, ± 2,...)

para x = ( 2k + 1) ^ hay un mínimo y su valor mínimo es: y = ^ , y ci

nx = k — hay un valor máximo y su valor es: y = 1

852 y = arccos xDesarrollo

Calculando su derivada se tiene: y ' = —?====■ haciendo que 3 y' para


obtener los puntos críticos es decir: y j l - x 2 = 0 de donde x = ± 1, evaluando

en la función y ( l ) = 0, y (- l ) = 7t

Luego cuando x = 1, hay un valor mínimo y = 0 y cuando x = -1, hay un

valor máximo y = n

853 y = x 3 en el segmento [-1,3]

Desarrollo

y' = 3x 2 => x = 0, punto critico haciendo la evaluación en la función se

tiene: y(0) = 0, y (- l ) = - l , y(3) = 27

Luego cuando x = -1, se tiene un valor mínimo en y = -1

y cuando x = 3, se tiene un valor máximo en y = 27

854 y = 2x3 + 3x2 —12* + 1

a) En el segmento [-1,5] b) En el segmento [-10,12]

Desarrollo

y ' - 6x 2 + 6x - 12, y haciendo v '- 0 , se obtiene los puntos críticos, es decir:

ó* 2 + 6. x - 12 = 0 => x 2 + x ~ 2 = 0 de donde x, = - 2 , x 2 - 1 , P ara

a) consideremos x 2 = 1, como puntos críticos.


Luego evaluando se tiene: y ( l ) = -6 , y (- l ) = 14, y(5) = 266

Luego cuando x = 1 se tiene un valor mínimo en y = -6

y cuando x = 5 se tiene un valor máximo en y = 266

855 Demostrar que para los valores positivos de “x” , se cumple la desigual

x + - > 2 x

Pesar rollo

Por hipótesis se tiene x > 0 => y/x y están bien expresado, luego:\¡X

( J x ----- 1 = )2 > 0 = > JC - 2\ J x ( - j = ) + — > 0V JC v X X

j c - 2 + — > 0 = * jc + — > 2JC JC

856 Determinar los'coeficientes “p” y “ q” del trinomio cuadrado y = x 2 + px

de forma que y = 3, será un mínimo de este trinomio cuando x = 1, d:

explicación geométrica del resultado obtenido.

Desarrollo

Calculando su derivada se tiene: y '= 2 x + p , haciendo y ' - O paraobtenei

puntos críticos se tiene: 2x + p = 0 jc = - y por dato se tiene que y

cuando x = 1, es decir: = 1 => p = -22 • v

Sí y = 3 cuando x = l = > e n y = jc2 +/7jc + ^ . = > 3 = l - 2 + q = > q =

Luego los valores de “p” y “q” son: p = -2 y q = 4

857 Demostrar la desigualdad: ex > 1 + x para x * 0.

Desarrollo

Consideremos la función f (x ) = ex - (1 + x ) de esta función se tiene:

f(x ) > f (0) para x * 0

Como / ( jc) = ex - (1 + jc) => ffO) = 0

Como f ( x ) > f ( 0 ) => ex - ( l + x ) > 0 => ex >\ + x p a r a x * 0

Demostrar las desigualdades:

x3858 x - — < senx < x para x > 0

6x2

859 cos x > 1 - :— para x * 02

JC2860 * - — < In(l + j c ) < . t para x > 0

861 Dividir un número positivo dado “a” en dos sumandos, de tal forma que

producto sea el mayor posible.

Desarrollo

Sean “x” e “ y” los dos sumandos. Luego a = x + y de donde y = a - x

Además p (x ) = xy = ax - x 2 producto de los sumandos

Luego p ' ( x ) - a - 2 x de donde p ' ( x ) = 0

~ . a aSe tiene jc = — como y = a - x => y - —

Luego cada uno de los sumando debe ser igual a: ^


862

863

Torcer un trozo de alambre de longitud £, de manera que forme un rectái

cuya área sea la mayor posible.

Desarrollo

= 2x + 2y ; área = xy

l - 2xcomo i = 2x + 2y => y = -

Luego A (x ) = xy = x ( -— - ) = — - x 2

i

A '(* ) = — - 2x => A' (x ) = 0 para obtener los puntos críticos, es decir:

— - 2x = 0 => x = —2 4

/x = —

4i4 "U ) = -2 => A "(—) ~ - 2 < 0

4

se obtiene el área mayor posible.

/

-V = 4

¿Cuál de los triángulos rectángulos de perímetro dado igual a 2p, tiene m

área?

Desarrollo

2p = x + y + z, donde z - \Jx2 + y2

x + y + y]x2 + y2 = 2 p => J x 2 + y 2 = 2p - ( x + y)

x 2 + y 2 = 4 p 2 - 4p (x + y) + x 2 + 2xy + y 2 =* 0 - 4 p 2 - 4 p x - 4 p y + 2


864

de donde y =2p x - 2p~

x - 2 p

2 2 x - 2p x - 2 p

a x , ) = 3 £ £ z Í E í ± 1 ¿ „ A' ( „ _ o( x - 2 p)~

para los puntos críticos, es decir: 2p x 2 - & p 2x + 4 p 3 => x = 2p ± \ Í2p

es decir x = 2p + \¡2p , y = 2p - \¡2p , son los triángulos isósceles

Hay que hacer una superficie rectangular cercada por tres de sus lados con tela

metálica y lindante por el cuarto con una larga pared de piedra, ¿qué forma será

más conveniente dar a la superficie (para que su área sea mayor), si se dispone

en total de 1 m. lineales de tela metálica?

Desarrollo

Pared de piedra

2x + y = t =$ y = f . - 2x

A (x ) = xy = x ( l - 2x) = xl - 2 x2

A ' (x ) = l - 4x = » /4'(x) = 0 , es decir: x = —4

como y = 1 - 2x y =1

Luego las dimensiones debe de ser una el doble de la otra.


865 De una hoja de cartón cuadrada, de lado a, hay que hacer una caja recta

abierta, que tenga la mayor capacidad posible, recortando para ello cua

en los ángulos de la hoja y doblando después los salientes de la figura en

de cruz, así obtenido.

Desarrollo

Área base = (a — 2x)

Vol = V(x ) = (a - 2jt) 2 jc

V (x ) = (a 2 - 4x + 4 x2 )x

V(x ) = 4x - 4 x " +a~x

V \ x ) = \2x2 - 8x + a 2 V '( * ) = 0 , es decir:

o o Cl &\2x - 8x + a = 0 => x, = —, x, = —

' 6 2 2

V "(x) = 24x - 8 => V "(—) = -4 < 0 en x, = — hay un máximo6 6

V "(—) - 4 > 0 => e n x = — hay un mínimo2 2

Luego el lado del cuadrado que se corta debe ser igual a —6

866 Un deposito abierto, de hoja delata con fondo cuadrado, debe tener capa

para V litros. ¿Qué dimensión se debe tener dicho deposito para que <

fabricación se necesita la menor cantidad de hoja de lata?

Desarrollo

El área lateral = x 2 + 4xy


867

V = x 2y = Volumen

V

(2)

4V

A '(x ) = 2x - ~ = 0 => x = lÍ2V x"

V \[2V por lo tanto y = y x =

V 4V2 2

¿Cuál de los cilindros de volumen dados tienen menor superficie total?

Desarrollo

A * ( / 2Vc = Tcr^h., derivando se tiene: Vc (r ) = n(2rh + r t i )

pero V/ (r ) = 0 por ser constante

2h=> . 2r/i + r~ t i= 0 t i - -

r

A, - 2w /7 + 2ro-2, derivando se tiene

A/ (r ) = 2rih + 4flr + 2;rr/?'

.. (1)

... (2)

, . 2/íreemplazando (1) en (2) At (r ) = 2nh + n r + 2nr (----- )

r

igualando a cero se tiene: 2jch + 2n r (—— ) + 4jtr = 0r

h - 2h + 2r = 0 => h = 2r. Los cilindros cuya altura es igual al diámetro q|

la base.


868 Inscribir en una esfera dado un cilindro de volumen máximo.

Desarrollo

Sean r = radio de la base del cilindro

2h = altura del cilindro

R = radio de la esfera

pero r 2 + h 2 = R 2

V = l n r 2h

d h _ _ r

d r ~ h... (1]

... (2)

= 2n ( r 2 — + 2r h ) , reemplazando ( 1) en (2) dr dr

¡/V , / r , n dV „— = 2,n (— + 2rh) como -— = 0 dr f h dr

27C(-----+ 2rh) = 0 =» r = 2hh

R 2 RComo r - + h = R ~ => 2h + h - R ~ => h = —= 2h = —=

V3 V3

2 R ¡2Luego el volumen será máximo cuando 2h = —== y el radio r = R, I—

V 3

Inscribir en una esfera dada un cilindro que tenga la mayor superficie latei

posible.

Desarrollo

Altura del cilindro = 2h

406 Eduardo Espin >za Ramos

r = radio del cilindro

r2 + h2 = R 2 => r = y¡ R2 - I

A, - 4nrh = 4rth\¡R2 - h 1

A¡(h) - 4n(y¡ R2 - h 2 — 7= = = ) => A¡(h) = 4jc(R2 - h 2 - h 2

^Jr2 - h 2 V ^2"

A¡(h) =4n(R2 -2 h 2)

J r 2- iA ¡ (/i) = 0, para obtener los puntos críticos.

sil

870

Luego 4n (R 2 - 2 h 2) = 0 => h = — R => 2h = \/2R

Luego la altura del cilindro en <¡2R para que tenga la mayor superficie lateral

posible.

Inscribir en una esfera dada un cono de volumen máximo.

Desarrollo

Sea h = altura del cono , r = radio del cono

x 2 = R 2 - r 2

además x = ( h - R) = h “ - 2hR + R~

x 2 = R 2 - r 2 => R 2 - r 2 - h 2 - 2hR + R2

=> r - ' [ r 2 - h2 por otro lado se tiene:

= \Jh2 + 2 h r - h 2 => z = \¡2Rh


Ai c =Jtrz => Alc = Kyhhr - R2 s¡2Rh

- o es decir Rh(4R - 3h) = 0 => h = — R dr 3

4Luego el volumen es máximo cuando la altura h = — R donde R es el radie

la esfera.

872 Circunscribir en tomo a un cilindro dado un cono recto que tenga el me

volumen posible los planos y centros de sus bases circulares coinciden?

Desarrollo

Sean H = altura del cono

R = radio del cono

h = altura del cilindro

r = radio del cilindro

dA,c 2Ry¡2Rh-h2 J2 R h (2 R -2 h )s— - = n (— - 7= ------ --— , ■■■■_■ )■dh 2 y¡2Rh 2\l2Rh-h2

d Kdh

AR2h -3 R h 2l l

(2Rh)2(2 R h -h 2)2


H - h H ' Hr------- = — => R = --------r R H - h

(1)

V. = — r 2h => VC^ H (— )2 c 3 c 3 H - h

V, =71 H 3r2

c ~ 3 ( H - h )2

dVcomo — — = 0 =;

dH

de donde H = 3h

dVc _ n r 2 3h2( H - h ) 2 - H 3l ( H - h )

dH ( H - h )4

Kr2 3h2(H - h )2 - H 32(H - h )

3 ' ( H - h f= 0

... (2)

3rreemplazando (2) en ( 1) se tiene K = —

Se tendrá el menor volumen posible cuando el radio de la base del cono es

donde “r” es el radio del cilindro dado.

873 ¿Cuál de los conos circunscritos en tomo a una esfera tiene el menor volumen?

Desarrollo

Por semejanza de triángulo se tiene:


x h , h2R2 2 hR1----- — -------------------------- —\ = ................ . — S y ~ ________ -

R '¡h2 -2 h r h2 -2hR h -2 R

A - „ 1 2 , 1 1./ \ademas V,. = - n x h = -/r/i(--------)r 3 3 fc-2/?

v _ /r/z2# 2 _ dVc _ n h2R2 -4 h R 3 ■ C~ 3 ( h - 2 R ) =* dh ~~3 (h -2 R )2 }

Luego —— = 0 =>• h2R2 -4 h R 1 - 0 de donde h = 4R rí/z

Por lo tanto el cono circunscrito en una esfera de menor volumen es cuandc

altura “h” es igual a 4 veces el radio de la esfera, es decir: h = 4R

874 Una faja de hoja de iata de anchura “a” debe ser encorvada longitudinalme

en forma de canelón abierto (fig. N° 26) ¿Qué ángulo central debe tom;

para que el canelón tenga la mayor capacidad posible?

Desarrollo

A = área de la parte sombreada es = ?

A = área del sector circular


875

Área del A AoB

A = ^ R2_ Rsencp R_2 2 2

dA R2 „ , „— - = — - (l-c o s < p ) = 0 d(p 2

Luego como 0 < cp < n

Por lo tanto para detener la mayor capacidad posible se tiene <p = n ■-

De una hoja circular hay que cortar un sector tal que enrollado nos dé un

embudo de la mayor capacidad posible.

Desarrollo

Se observa que la generatriz del cono es el radio del circulo R = g

Además r 2 = R 2 - h2

Tí /" hVolumen del cono =V, = ------ como r = R ~h~

3

3 3


876

V' = - ( R 2 -3 h 2) = 0 => h =3 V3

Un recipiente abierto esta formado por un cilindro, terminado por su p

inferior en una semi-esfera; el espesor de sus paredes es constante ¿

dimensiones deberá tener dicho recipiente para que, sin variar su capacidac

geste en hacerlo la menor cantidad de material?

A, = 2nRh + 2nR 2

Desarrollo

2nRi

c = R~h +2j:R í

R

h =3 c -2 n R i

3 jtR2

reemplazando (2) en (1)

... (2) v í C 7

3c — 2nR\ =2 nR(--------— ) + 2k R- = — + — R-

3 kR2 R 3

-> 3 c6c + 4nR- = 0 => i? = — reemplazando en

, 3c -2nR 3c - 3 ch = --------— = ------— = 0 => h = 0

3 kR2 3kR

La altura de la parte cilindrica debe ser igual a cero, es decir, el recipiente d

tener forma de semi-esfera.


877 Determinar la altura mínima h = OB que puede tener la puerta de una torre

ABCD, para que a través de ella se puede introducir en la torre una barra rígida

MN, de longitud t, cuyo extremo M resbalará a lo largo de la línea horizontal

AB. La anchura de la torre d < í

Haciendo rodar la barra por ambas paredes a una distancia “d” , desde la pare

vertical, la barra se levantara una longitud H del suelo.

El problema nos pide este máximo levantamiento, para esto por semejanza d

triángulo se tiene:

/cos0 /cos0 , , , .. IcosO -d------- = --------s de donde H = ------------= (/cos0-d)tgO

H IsenO ctgO

Aplicación de la Derivada 4

dH(/cos6 - d )sec' 9 + tg9(-lsen9) = 0

dG

Ic o s d -d _ lsen29

cos26 cos0eos3 9 = — , de donde se tiene:

sen9 = J l - ( y ) 3COS0 * ?/—V /

H = (lyfd ~d )

simplificando se tiene que: H = (l/c2 -y fd 2 )2

878 En un plano de coordenadas se da un punto, M 0 (x0, yQ), situado en el prim

cuadrante. Hacer pasar por este punto una recta, de manera que el triángu

formando entre ella y los semi ejes positivos coordenados tenga la menor ári

posible.

Desarrollo

Sea L: y - y0 = tg9 (x - x0) donde mL = tg 0

Haciendo las intersecciones con lo.s ejes coordenados.

y = 0 => x = x0 - y0ctg9 ; x = 0 => y = y0 - x0tg9

Y


879

A =(-vo - yoctSd)(y0 ~ x0tgd) _ 2x0y0 - x^tgO - ylctgd

dA _ .v0 sec" O yñ cos ec~6 _

d 0 ~ 2 2 ~0

yo _ sen2G

x¿¡ eos2 0

de donde tgd = ± — reemplazando en la ecuación de la recta L, se tiene:

L: y - y 0 = - — (x - x 0) puesta que tgO = ± —

L : xy0 + xy = 2jc0;ycX V

L : ---- + - ^ - = 12*o 2 Jo

Inscribir en una elipse dado, un rectángulo de la mayor área posible que tenga

los lados paralelos a los ejes de la propia elipse.

Desarrollo

Y( a b )

0

(x,y)

(a,0) X

2 2 uX y oLa ecuación de la elipse es: — + —r- = 1 de donde y

a2 b~ a

A = xy = — yja2 - x 2 derivando tiene que:

b r~ i 2 = — \a - x


880

dA b n 2 bx— = — Va - x ----- = = = = = 0dx a a j a 2 - x 2

x =V I

como yb ¡~2 2

= — Va - x y =V2

Luego las dimensiones del rectángulo son: 2x - -^L = y¡2a, 2y = ~ = = \V2 V 2

Inscribir un rectángulo de la mayor área posible en el segmento de la pará

y2 —2px cortado por la recta x = 2a.

Desarrollo

2 ' y2 y3A = (2a - x) y, como y = 2px se tiene: A = (2a------)y = 2av~ — ■2p " ' 2p

dA „ 3 y2 _ , _ lap -> 2a— = 2a -------= 0 => y - ± 2 — como y~ = 2px => x = —dy 2p V 3 ' 3

Luego los vértices deben estar en (2-^,±2


881 Hallar el punto de la curva y = — , en el que la tangente forme el eje OX el1 + x

ángulo de mayor absoluto posible.

Desarrollo

La gráfica es simétrica por lo tanto el ángulo esta en el primer cuadrante

entonces el ángulo varia entre 0o, 90°.

Luego a mayor ángulo será la tangente del mínimo.

dyy = — (tangente del ángulo)

dx

d2 yLuego — — = 0 nqs da las coordenadas del punto de tangencia del ángulo

dxmencionado.

2x d2y „ r 1 4x2 , n-V = -------- r r => — r = _ 2í— r --------

(1 + x ) dx 1 + x (1 + x )3

=> 8x 2 = 2( l + .x2) => x2 = - => x = ± 'V5

1 3 1 3para x = ± - j = , y = —, por lo tanto el punto es: P í l - ^ - )

J882 Un corredor tiene que ir desde el punto A que se encuentra en una de las orillas

de un río, al punto B, que se halla en la otra, sabiendo del movimiento por la

orilla es k veces mayor que la del movimiento por el agua, determinar bajo que

ángulo deberá atravesar el río, para llegar al punto B en el menor tiempo

posible. La anchura del río es h; la distancia entre los puntos A y B (por la

orilla), es d.

Desarrollo


Como e = v.t => t = — donde V,„ = velocidad del movimiento

V = velocidad del agua

Reemplazando t = ——~~~~ calculando valores críticos

dt dt h _2. . h , 1 . .— = 0 => — = — ( - l ) s e n O.cosO— - ( ------— ) = 0dQ d9 v kv sen 6

cos 0 1

sen 9 ksen~9cos 9 =

19 = arccos

1

883 En el segmento recto AB = a, que une entre sí dos focos luminosos A i

intensidad p) y B (de intensidad q). Hallar el punto de menos iluminado M

iluminación es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al fe

luminoso).

Desarrollo

AI,=P -

Ma - x

B- I2 = q

E, = iluminación total = /, + 12

418

dx0 = Z 2 * _ « ( 2)

jc ( a - x )( a - x )3


884 Una lámpara esta colgada sobre el centro de una mesa redonda de radio r ¿A

qué altura deberá esta la lampara sobre la mesa para que la iluminación de un

objeto que se encuentre en el borde sea la mejor posible? (la iluminación es

directamente proporcional al coseno del ángulo de incidencia de los rayos

luminosos é inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al foco de

luz).

885 de un tronco redondo de diámetro d, hay que cortar una viga de sección

rectangular. ¿Qué anchura “x” y altura “y” deberá tener esta sección para que

la viga tenga la resistencia máxima posible?

Desarrollo

3 1

= ( r 2 + x 2)2 - 3 x2( r 2 + x 2)2 = 0 = ( r 2 + jc2) [ r 2 + x 2 - 3 jc2] = 0

■n/2

a) a la comprensión. b) a la flexión

Aplicación de la Derivada ¿

Observación:

y = yjd2 —.

a) Rc = kA2 = kxy = kxyjd2~—x*

\Rc = k(d2x2 - x 4)2

^ = 0 = k ( - ) ( d 2x2 - x4)~2(2d2x - 4x3 ) = > 0 = - k - - d ' ~ ~ 4x^ dx 2 2 „ „ I

(d2x2 - x 4)2

2d2x - 4 x 3 =0 --=> 2rf2* = 4x3 por lo tanto x = , > =-^=V2 V 2

b) RF - xy2 del gráfico se tiene: y-2 = d 2 - x 2 ... (a )" f f ,

RF =kx(d 2 - x 2) => RF = k (d 2x - x 3) , derivando se tiene:

— k(d2 - 3 x 2) => d 2 - 3 x 2 de donde x = -4= dx sjT,

j 2En (a ) y2 = d 2 - ( - j =)2 => y2 = d 2- ~ - => y

886 Una barra AB, que puede girar alrededor del punto A, soporta una carga de 1

kg. a la distancia de a cm. del punto A y se mantiene en equilibrio por medí

de una fuerza vertical P, aplicada en su extremo libre B. Cada uno de longitu

de la barra pesa q kg. Determinar la longitud x de la misma, de tal forma que 1

fuerza P sea la mínima posible y hallar P mínimo.

La resistencia de la viga a la comprensión es proporcionad

área de su sección transversal, mientras que a la flexión es

producto de la anchura de esta sección por el cuadrado de

altura.

Desarrollo _


Desarrollo

Densidad lineal d = q— de donde d - — S° ^ cm long T

M a = 0X ( ] 9

Px = Q a + w(—) , donde w = qx por lo tanto Px = Q a + —x

... (a )

dr 2

reemplazando (p) en (a ) tenemos:

Qa

Qa Q——■ = — => x ■ x2 2

2<2a

P =m in

... (P)

887 Los centros de tres esferas perfectamente elásticas A, B y C están situadas en

las línea recta. La esfera A, de masa M, choca a una velocidad “v” con la esfera j

B, la cual, recibiendo una determinada velocidad, choca a su vez con al esfera j

C, cuya masa es m. ¿Qué masa deberá tener la esfera B para que la velocidad

de la esfera C sea la mayor?

Desarrollo

A con B: Luego B con C


888

2Mv

- • <a)

vc = ^ ... (P,m + x

r\ / \ /0-> ,, 2.r 2mv D e (a )y (p ): Vc = ------ (m + x x + M

4xM„ 4

(w + x )(M + x) x2 + (m + M )x + mM

dVc _ q _ 4AÍ„ ( * 2 +x(m + M ) + mM -x {2 x + m + M ) )

dx (x2 + (m + M )x + m M )2

x 2 + x(m + M ) + mM = 2x2 + (ir? + M )x m M - x 2 => x = \jMin

Si tenemos N pilas eléctricas idénticas, con ellas podemos formar baterías

procedimientos distintos uniendo entre sí grupos de “n” pilas en serie

Ndespués los grupos así formados, (un número — ) en derivación. La intensic

n

de la corriente que proporciona una batería de este tipo se determina poi

NnEformula: / = -------- — , donde E es la f.e.m. de una pila, r su resisten

. m + n-r

externa. Determinar para que valor de “n” es mayor la intensidad de

corriente que proporciona la batería.

di _ q _ (NR + n2r ) -n 2 n r

dn NE(NR + n2r )2

Desarrollo


NE

, , £ M . , = , l = í M2NR 2 2 \Rr

889 Determinar que diámetro “y” deberá tener la abertura circular de una presa,

para que le gesto de agua por segundo Q sea el mayor posible, si

Q = Cy s jh - y donde “h” es la profundidad del punto inferior de la abertura

(tanto g, como el coeficiente empírico C, son constantes).

Desarrollo

____Q = Cy4 h Z y = C (h y 2 - y i )2

^ - = Q = c U h y 2 - y i ) 2(.2h y - l y 2) => 2hy = l y 2 => ~ = y dy 2 3

890 Si x l ,x2,-- ,xn , son resultados de mediciones igualmente preciso de la

magnitud “x” , su valor más probable será aquel para el cual la suma de losn

cuadrados de los errores S = ^ ( x - x , )2 , tenga el valor mínimo. Demostrarí=i

que el valor más probable de la magnitud “x” es la media aritmética de los

resultados de las mediciones.

Desarrollo

n *S = ^ j ( x - x ¡)2 , derivando se tiene:

i=i

“ = 0 = ¿ 2(x - x¡ ) =* S = ' £ ( x - x ¡)2 dx i=i i=i


X * .

3.2. DIRECCIÓN DE LA CONCAVIDAD.- PUNTOS I INFLEXIÓN.-________________________________ _____ ____

Ira. CONCAVIDAD DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN.-

Consideremos una función y = f(x) diferenciable en (a,b) diremos c

y = f(x) es cóncava hacia arriba en (a.b). Si / ” ( jc) > 0, V x e (a,b)

es cóncava hacia abajo en (a,b) sí / " (.v )< 0 , V x e (a,b).

2do. PUNTO DE INFLEXIÓN.-

E 1 punto (jc0 , / ( jc0 )) es punto de inflexión sí / " ( jc0) = 0

H A LLAR LOS INTERVALOS DE CONCAVIDAD Y LOS PUNTOS I INFLEXIÓN DE LAS GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES

891 ,y = jc3 - 6 jc2 + 1 2 jc + 4

Desarrollo

y '~ 3 j c 2 - 1 2 jt + 1 2 = > y' = 0

para obtener los puntos críticos, es decir: 3.v 2 - 12.t +12 = 0 de donde x =

y " = 6x -\2 => y " (2) = 0 , no hay máximo ni mínimo, hallaremos li

puntos de inflexión.

_y" = 0 es decir 6x - 12 = 0 => x = 2

n n

0 = xn - x¡ => xn = ^ x ¡ => x


Intervalos f(x) f ' W / " ( * ) Conclusión

-oo < x < 2 + - Cóncava hacia abajox = 2 12 0 0 Puntos de inflexiónx > 2 + + Cóncava hacia arriba

Luego en: <-«>,2> es cóncava hacia abajo

<2,o=> es punto hacia arriba

(2,12) es punto de inflexión

además en: <-■*>,2> y <2,°o> es creciente

892 y = ( jc + 1)4

Desarrollo

/ = 4(jc + 1) 3 => y'= 0

para los puntos críticos es decir: 4 (a: + 1) 3 = 0 => x = -l

y = 4(x + l) 3


< x < -1, / < 0

-1 < x < « , >>'>0

existe un punto mínimo en x = -l y su valor es: y = 0, es decir que (-1,(

punto mínimo y los intervalos <-<*=,-1> es decreciente y en c - l , » ;

creciente.

Sea y"=12(x + l ) “ (x + l ) 2 = 0 x = -1

y" > 0, V x e R => ia gráfica es cóncava hacia arriba en: -OOOO

893 y =x + 3

yi

Desarrollo

=> x = -3(x + 3)“

punto critico no existe máximos ni mínimos


-3

- °°< x < -3 , y'<0 => y = ------ es decreciente en <-°°,-3>jc + 3

-3 < x < ° ° , y '<0 => v = ------ es decreciente en <-3,°°>' x + 3

„__2_ U + 3)3

-°°< x< -3 , v "< 0 =» es cóncava hacia abajo en <-°°,-3>

en -3 < x < °° , y "> 0 => y = ----- es cóncava hacia arriba sobre <-3,°°>x + 3

Luego en: <-«>,-3> cóncava hacia abajo

<-3,°°> cóncava hacia arriba

x = -3 punto de discontinuidad no hay punto de inflexión.


894 > = —x + 12Desarrollo

* V + 3 6 ) ^

U ! + 12)

para ios puntos críticos es decir: (x 2 + 36) = 0 de donde x = 0

< x < 0, / > 0 => es creciente en: <-°°,0>

0 < x <=«,>•'> 0 => es creciente en: <0,°°>

2 4 . r ( 3 6 - jc2 )

(x2 + 12)3y " - 0 , para los puntos de iafiexión es decir:

2 4 jc( 3 6 - x " ) = 0 dedond^ x, = - 6 , x2 = 0, x3 - 6

9 9para * , = - 6 , y ¡ = - - =* ^ ( - 6, - - )

x2 = 0 , y2 = 0 => P2 (0,0)

* 3 = 6 , >’3 = — => / j(6,—)

puntos de inflexión


Si - ° ° < x < - 6, y "> 0 => es cóncava hacia arriba sobre <-°°,-6>

-6 < x < 0, y” < 0 => es cóncava hacia abajo sobre <-6,0>

0 < x < 6, v” > 0 => es cóncava hacia arriba sobre <0,6>

6 < x < <*>, y " < 0 => es cóncava hacia abajo

895 y = \Ux3 - ] 2 x

Desarrollo

(4x3 — 12x) 3

para los puntos críticos, es decir: 4(x2 -1 ) = 0 de donde x, = 1, x2 = -1

3

y también sí 3 y' es decir (4x3 — 1 2jc) 2 =0 => x-, = 0, x4 = ~y¡3 , x5 = a/3

, 4(x + l)(x -1)y = ----------“ T

(4x3 -12x ) 3


< x < - n/3 , y > o

-y¡3 < x < - 1, y’>0 *

-1 < x < O, y'< O V

3

... ................i‘.< x < y Í3 , y'> O V

x<y ¡3 , y'>0 w

< x < ° ° , y ' > O *

-1 < x < 0, y '< 0

O < x < 1, y ’ < 0

1-

no existe máximo ni mínimo

existe un máximo en x = -l y su val y = 2 => p , (- l ,2)

no existe máximo ni mínimo existe un mínimo ei x = 1 y su valor es y = -2 => p2( 1,-2)

l < x < ¡3 , y ’> 0

< x < °° , y'

„ -32(x" +1)

3 máximo ni mínimo

y =■ de aquí los puntos de inflexión son:

(4.r3 — \2x)3

x¡ - 0 , x2 = -V 3 , x3 - \ ¡ 3 de donde (0,0), (—>/3,0) , (-73,0)

-3 0 3

-oo < x < -\ ¡3 , y "> 0 => es cóncava hacia arriba sobre < >

-y¡3 < x < 0 , y " < 0 => es cóncava hacia abajo sobre < —s/3,0 >


896

0< .v< V 3 , y "> 0 => es cóncava hacia abajo sobre <0,\Í3>

yÍ3<x < 00, y ' ' < 0 => es cóncava hacia abajo sobre < >

y = cos xDesarrollo

y' = senx => y ' = 0 para los puntos críticos es decir:

sen x = 0 => x = 0, ±71, ±2n, ±371,...

y” = -cos ;t => y "= 0 para los puntos de inflexión:

x = ( lk + \ ) - , k = 0, ± 1, ± 2,...2

' e

dedondey = 0 => ( (2/fc + 1 )^ ,0 ) punto de inflexión si

( 4 k + l ) ^ < x < ( 4 k + 3 ) ^ , y "> 0 es cóncava hacia arriba sobr


(4k +3 )— < x < (4k + 5)— , y "< 0 => es cóncava hacia abajo sol

< (4 * + 3)—,(4* + 5)— >2 2

897 y = x - sen xDesarrollo

y'= 1 - cosx => y ' - 0 , para obtener los puntos críticos, es decir:

1 - cos x = 0 de donde cos x = 1 => x = 0 , 2n, 47t , ...

y"=senx => y " ( 2kn) = 0 no existe máximos ni mínimos.

Además para (2k - 2)n < x < 2k7t, y' > 0 => es creciente en I

intervalos <(2k - 2)n, 2kn> para k = 0, ± 1, ±2,...

Como y" = senx => y " = 0 para los puntos de inflexión

decir sen x = 0 => x = ±jt, ±2n, ...

luego para x = 2kji, y = 2krc => p(2kn, 2k7c) punto de inflexión

- 2tc -ji 0 n 2n


2k < x < (2k + 1) ir, y"> 0 => es cóncava hacia arriba en los

intervalos <2kít, (2k + l)rc>

(2k + l )7t < x < (2k + 2)7t, y " < 0 => es cóncava hacia abajo en los

intervalos. <(2k + 1 )Jt, (2k + 2)n>

898 y — x~ ln xDesarrollo

y' = 2x ln x + x => / = 0 para los puntos críticos es decir:

2x ln x + x = 0 => x(2 ln x + 1) = 0 ==> x{ = 0 no esta definido en:

-i 1 1x2= e , x¡ = - = , x4 = — -== Ve Ve


y ”(—¡=) = 2 > O hay un mínimo en x = —=Ve Ve

2 1 2 de donde y = — => ^ (-7=,— )

e Ve e

y "(— \=) 3 máximo ni mínimo ve

como y"=21nx + 3 => y" = 0 para los puntos de inflexión tenemos

3

2 ln x = -3 => x 2 = e 3 =í> x = e 2

899 y = arctg x - xDesarrollo

xy = arctg x - x => y = —— —l + x

0

x < 0, y " > 0 es cóncava hacia arriba

x > 0, y " < 0 es cóncava hacia abajo

x = 0, y = 0 luego p(0,0) punto de inflexión

434

900


y - ( \ + x 2)ex

y '= 2xe* + { x J +\)ex

Desarrollo

y ' - e x(x - f l ) 2, haciendo y '= 0 , para los puntos críticos, es decir

e*(;t + l ) 2 = 0 de donde: x = -l

Si x < -1, y > 0 la función no tiene máximo ni mínimos y además es

creciente en los intervalos: <-°°,-l> y <-l,=»>

x > - l , y'> 0

como y '= e x(x + \)2 => y "= <?■*(*+ l)(.r + 3) haciendo y " = 0 , sel

obtiene los puntos de inflexión, es decir ex(x + l)(x + 3) = 0 de donde:]

jcj = —1, x2 = — 3 .

2 10 Luego />j(-l,—), p2( - 3,— ) punto de inflexión

-3 -1

Si x < -3, y" > 0 => es cóncava hacia arriba sobre el intervalo <-°°,-3>

Si -3 < x <-1, 7 "< 0 => es cóncava hacia abajo sobre el intervalo <-3,-l>j

S i x > - 1 , y” >0 => es cóncava hacia arriba sobre el intervalo <-l,°o>


3.3. ASÍNTOTAS.-

a) DEFINICION.-

Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una curva y = f(x) de

forma que por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infin

mientras que la distancia entre este punto y una recta determinada tiene

cero, esta recta recibe el nombre de “asíntota” de la curva.

b) ASÍNTOTA VERTICALES.- (paralelos al eje OY).

Si existe un número a tal, que lim f ( x ) = ° ° , la recta x = a es asíntX—>ü '

vertical.

c) ASÍNTOTA OBLICUAS.- (respecto a los ejes coordenados)

f (■*-)Si existen los limites lim ----- - = y lim [/ ( jc) — A:, jc] = £>, la reX — > +°° X X — >+°o

y = kix + b¡ será asíntota (oblicua a la derecha o bien, sí k¡ =

horizontal derecha, paralela al eje OX).

f (x)Si existen los limites lim ------- k 2 y hm [ f ( x ) - k 2x\ = b2 la rec

y = k2x + b2 es asíntota (oblicua a la izquierda o bien, cuando k2 =

horizontal izquierdo paralela al eje OX).

La gráfica de la función y = f(x) (que se supone uniforme) no puede ten

más de una asíntota derecha (oblicua u horizontal) ni más de una asínto

izquierda (oblicua u horizontal).


H A LLAR LAS ASINTOTAS DE LA CURVA:

1901 y =

(.x - 2)2Desarrollo

Para obtener las asíntotas verticales haremos el denominados igual a cero, es

decir: ( jc - 2 ) 2 = 0 => x = 2 es una asíntota vertical.

Ahora buscaremos las asíntotas oblicuas cuando x —> +°°

v 1 = lim — = lim --------- T = ®

*->+“■ x x— x(x — 2)

bx = lim [ y — A:, jc] = lim ---- -— ;- = 0X —* + ° ° X —> - H » ( j f — 2 )

por lo tanto la asíntota horizontal es y = 0

902 y = — ^-----x - 4 x + 3

Desarrollo

Para obtener las asíntotas verticales se tiene:

x 2 - 4 je + 3 = 0 de donde j c , = 1 y jc2 = 3 asíntotas verticales, ahora

buscaremos las asíntotas oblicuas cuando- x —» +°°

y 1¿i = lim — = lim —---------- = 0

AT-+-H» X *-*+“ x - 4 jc + 3 »

Xbx= lim ( y - k i x ) = hm —---------- = 0

x-»+~ x - 4 x + 3

como y = klx + bx entonces y = 0 es una asíntota horizontal.


Desarrollo

Para obtener las asíntotas verticales se tiene: x 2 - 4 = 0 de

x { = - 2 , x 2 =2 asíntotas verticales, para las asíntotas oblicuas.

kx = lim — = lim —r—— = 0*->+“> x *-»+<» x — 4

x2bx = lim [.y-& !* ]= lim —----- = 1

X—t+ oo x —> + °o _ 4

como y = k{x + b¡ => y = 1 asíntota horizontal.

jc2904 V = —r----

x2+9Desarrollo

Para obtener las asíntotas verticales se tiene: x 2 +9 = 0 pero 3 xe /

que x 2 + 9 = 0 por lo tanto no hay asíntota verticales, para obten»

asíntotas oblicuas se tiene:

k, = lim —--------= lim —----- = 1*->+” O + 9) x x +9

jr3 — x3 — Qxb, = lim (—-------x) = lim------5--------

*-*+“ x + 9 x +9

como y = kix + bl => y = x asíntota oblicua a la derecha.

905 y = V *2- l

Desarrollo


No tiene asíntotas verticales. Veremos para las asíntotas oblicuas:

*, = lim — = lim — — - = 1j C - » + o o X .V— > + oo X

- lim ( y - k {x )= lim (J x 2 -1 - x ) = 0JC— > + o o JC -> + c o

Como y = klx + bl = > y = x es asíntota oblicua a la derecha

k2 = lim ^ -= lim — ..- 1 = -1

hm (y - k 2x) = lim (\]x2 -1 + x) = 0

como y = k2x + b2 => y = -x es asíntota oblicua a las derecha.

906 y =' 3

Desarrollo

Para las asíntotas verticales se tiene que:

x 2 +3 = 0 pero 3 x e R tal que x 2 +3 = 0

por tanto no hay asíntotas verticales, para las asíntotas oblicuas se tiene:

y 1 k{ = lim — = hm ----- _ = 0

*-*+-* *->+“ V* 2 +3

bt = lim ( y -k ¡x ) = hm —===== = 1 JC_>+“ Vx2 +3

como y = k¡x + bt => y = l asíntota oblicua a la derecha.


yk2 = lim — = lim

yjx2 + 3= O

x - > - o o X X ~ >

Xb2 = lim (y -k^x ) = lim ( - = = - 0) = - l

\lx2+ 3

Como y = k2x + b2 => y = -1 asíntota oblicua izquierda.

x2+\

y = 4 x ^ xDesarrollo

Para las asíntotas verticales se tiene x 2 -1 = 0 de donde x = -1

son asíntotas verticales ahora'calcularemos las asíntotas oblicuas.

. .. y x2 + \= lim — = hm — ...... = 1

x -> + °° X XJ X 2 _ j

bx = lim = Hm < - A + • - x ) = 0

Como y = kxx + bx y - x asíntota oblicuas a la derecha.

.2

v x 2 -1

como y = k2x + b2 => y = -x asíntota oblicua a la izquierda.


908 y = x - 2 +x^ + 9

Desarrollo

Para las asíntotas verticales se tiene x 2 +9 = 0 pero como 3 xe R tal que

x 2 + 9 = 0, por lo tanto no tiene asíntotas verticales.

Ahora calcularemos las asíntotas oblicuas:

k¡ = lim — = lim ( í —- + - = = L = ) = 2 *->+«■ x *-»+“= x J x - + 9

bx = lim = lim ( x - 2 + - 2x) = -2xL+9

como y = klx + bl => y = 2x - 2 asíntota oblicua a la derecha.

k2 = lim — = lim (——- + ■■■—-■— ) = 1-1 = 0 x x yjx2 + 9

x — 2 xb2 = lim (y - k 2x )= lim (—— H— - ■■■■) = -2

xí +9

como y = k2x + b2 => y = -2 asíntota horizontal a la izquierda.

909 y = e~x' +2Desarrollo

Como V x e R, e~x + 2 > 0, entonces no tiene asíntotas verticales.

Para las asíntotas oblicuas se tiene:

v é fj r +2 fe, = lim — = lim (--------- ) = 0

X - * + o ° X X —> + o o X


bx = lim ( y - k lx) = lim (e * + 2) = 2X — > + ° o JC— > + ° o

Como }' = i ix + fe1 => y = 2 asíntota horizontal a la derecha.

v é~x + 2 kn - lim — = lim (--------- ) = 0

X x -> -~ X

b2 = lim (y - k2x) - lim (e~x + 2) = 2X — » - o o . X — >-<*>

como y = k2x + b2 => y = 2 asíntota horizontal a la izquierda, por ]

tanto en y = 2 se tiene una asíntota horizontal.

910 y = — —1- e

Desarrollo

Para las asíntotas verticales se tiene:

\ - e x = 0 => ex = 1 => x = 0 asíntota vertical, para las asíntotas oblicuas.

= lim — = lim (---------- ) = 0x->+°° x x->+°° x(l — ex)

by = lim (y - í : ,x) = lim (— -— ) = 0X—> + °o x —»+ o o \ — g X

como y = kix + bl => y = 0 asíntota horizontal a la derecha.


911

como y - k 2x + b2 => y = 0 asíntota horizontal a la izquierda, por lo


Desarrollo

Para obtener las asíntotas verticales — = °° x = 0, que es una asíntotax

vertical. Para obtener las asíntotas oblicuas.

kx = hm — = hm (— ) = 0X-í+oo X *->+«> X

/>! = lim (y — k{x )= lim (ex )~\x —>+oo X—

como y - k xx + bx => y = x asíntota oblicua a la derecha.

k2 - lim — = hm (— ) = 0x x

912

b2 = lim ( y - k 2x )= hm (e-t ) = lX—>—oo X—>—oo

como y = k2x + b2 => y = l asíntota horizontal a la izquierda.

senx

Desarrollo

Para obtener la asíntota vertical se tiene x = 0 y para calcular las asíntotas

oblicuas se tiene:


913

914

i r y v ,senx &i = lim — = lim (— —) = OX — > + ° o X X —> + ° °

fe, = lim ( y - k xx )= lim ( - ^ i ) = lX—>+°° X

como y = kix + b] => y = l asíntota horizontal a la derecha

í i- y i- .senx k2 = hm — = lim (— — ) ■ 0

b2 = lim (y - k 2x )= lim ( Se,1X) = 1

como y = k2x + b2 => y = 1 asíntota horizontal a la izquierda, p(


y = ln( 1 + x)Desarrollo

Para las asíntotas verticales se tiene 1 + x = 0 de donde x = -1 es una asín

vertical, para las asíntotas oblicuas.

, y .• ,ln(l + x). _ kt = hm — = hm (----------) = 0X —>-foo X X ~ > + °° X

fe, = lim ( y — klx) = lim (ln(l + x )) = °°X —>+oo x —>+«-

por lo tanto no tiene asíntota oblicua ni horizontales,

x = t, y = t + 2 arctg tDesarrollo

Como x = t => y = x + arctg x

Como esta definida para todos los reales no tiene asíntotas verticales.


Ahora calcularemos las asíntotas oblicuas.

k . Iim Z = l m { x + 2 a a * x ) = \X— X X—>+oo X

bx - lim (y - k{x) = lim (a* - larctgx - jc ) = nX—>+°° A—>+°°

como y - k xx + bt => y = x + 7t, asíntota oblicua a la derecha.

b2 = lim ( y - k 2x )= lim (x + larctgx - x ) = - n

como y = k2x + b% => y = x asíntota oblicua a la izquierda.

915 Hallar la asíntota de la espiral hiperbólica r - —, q> —» 0

t = lto,£ííí> = lim^=E = 0<¡p->o ce(<p) <p—»o eos ->0 (p

como y = kx + b entonces y = a que es una asíntota horizontal.


3.4. CONSTRUCCION DE LAS GRAFICAS DE FUNCIONES POR SUS PUNTOS CARACTERÍSTICOS.

Construir las gráficas determinando el campo de existencia de cada fundó

puntos de discontinuidad, los puntos extremos, los intervalos de crecimie

decrecimiento, los puntos de inflexión de su gráfica la dirección <

concavidad y las asíntotas de la gráfica.

916 y = x 3 - 3 x 2Desarrollo

Como y = ,r3 - 3 x 2 es un polinomio, su campo de existencia es todo números reales R.

y = x - 3x => y '=3x - 6.v = 0 para los números críticos => {(

números críticos.

y '= 3 x (x -2 )

para x < 0, y '> 0 WT

0 < x < 2, v ’ < 0 *

2 < x < <*>, y ’ > 0 V

3 máximo en x = 0, (0,0)

3 mínimo en x = 2, (2,-4)

es creciente en <-°°,0> y <2,°®> y decreciente en < 0,^ >

y' = 3x2 -6 x => y "= 6 x - 6 = 0


917

para los puntos de inflexión => 6x - 6 = 0

inflexión.

x = 1, ( 1,-2) punto de

y " = 6{ x - \ )

Para x < l , / '< 0 la gráfica es cóncava hacia abajo sobre

Para x > l , y " > 0 la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <1,°°>

No tiene asíntotas.

y - -6 x 2 - x 4

El campo de existencia de y =

Desarrollo

6x2 - x 4

y =6x2 - x4

y = -

9

12x-4x3

es el conjunto de los números reales.

9 9

{0 ,-73,73 } son los críticos.

= 0 para los números críticos de dond


y' = —-x ( x - 3 ) ( x + 3 )

para x < —J 3 , y '> 0

~y¡3 < x < 0 , y '< 0~

O < x < \¡3 , y’> 0+

\¡3 < x < ° ° , y'< (T

es creciente en los intervalos <-<*>,-3>, <0,3>

es creciente en los intervalos < —v/3,0 > , <3,°°>

)))

3 máximo en x = >/3, (-3,1)

3 mínimo en x = 0, (0,0)

3 máximo en x = >5, (V3,l)

, 12x - 4xy =— «— „ 12- 12x2 n

y =— «— =°1

•<Cf

para obtener los números críticos, es decir —( 4 - 4 * ) = 0 de donde ■> 3

•o ' -4-

x = - 1, y = —, puntos de inflexión

^ = - - U - l ) ( x + l)


918

para x < - l , y"<0 => es cóncava hacia abajo sobre el intervalo < -«> ,—</3 >

para -l<x< 1, y” > 0 => es cóncava hacia arriba sobre el intervalo < -\¡3, \¡3 >

para x > 1, y ''< 0 => es cóncava hacia abajo sobre el intervalo < >/3,°° >

no tiene asíntotas.

Desarrollo

y = x 3 - 3 x + 2 su campo de existencia es y '=3x2 - 3 = 0 para los número:

críticos de donde {- 1,1} son los números críticos.

/=30c + l ) U - l )

para x < 1, y '> 0+

-1 < x < 1. y '< 0_

x > i, y > o +

máximo en x = -l, (-1,4)

mínimo en x = 1, ( 1,0)


919

Los intervalos donde es creciente son <-°°,-l>, <1,°°> y dond

decreciente es < -l,l>

Como y '=3x2 - 3 => y " = 6x = 0 para los puntos de inflexión,

decir x = 0, (0,2) es un punto de inflexión.

y" = 6x

p a r a x < 0, y "< 0 la gráfica es cóncava hacia abajo sobre <-°°,0>

para x > 0, y" > 0 la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <0,<*»

no tiene asíntota

(.x - 2f ( x + 4)

Desarrollo

Su campo de existencia es todo los números reales

y = -x3 - \ 2 x + 16

y =■3jc — 12

= 0

para los números críticos, es decir (-2,2 ) números críticos.


-2 2

y ' A x + 2X x - 2)4

para x < -2, y' > 0+

=> 3 máximo en x = -2, (-2,8)

-2 < x < 2, y '< 0

=> 3 mínimo, en x = 2, (2,0)

2 < x < °°, y ’> 0+ í¿

la gráfica es creciente en los intervalos <-°°,-2>,<2,«>> y es decreciente en el

intervalo <-2,2>

para los puntos de inflexión, es decir x = 0 de donde (0,4) punto de

inflexión.

para x < 0, y" < 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo sobre el intervalo <-°o,0>

para x > 0, y "> 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre e intervalo <0,°°>


0


920 y ~ -( * 2 - 4 )3

125Desarrollo

Su campo de existencia es todo los números reales

(x2 - 4 )3 , 6x(x2 - 5 ) 2= 0

125 124

para los números críticos de donde: {—75,0,^5} son números críticos

, 6x(x2 - 5)2

y = — ¡ S T -

para x < -y ¡5 , y'< 0 “

-\ Í5 < x < 0 , y '< 0~ 4*

0 < x < 5, / > 0+ *

5<x<oo , y > 0+ «

3 máximo ni mínimos en x = —75

3 mínimo en x = 0, (0,-1)

3 máximo ni mínimos en x = V5

La gráfica es creciente en < 0, V5 > , < -75, °o > y decreciente en los interval

< -«>,—75 > , < —75,0>


Como y ' = - — — => y- = — (jc2-5)(jc2-1 ) = 0 125 25

Para los puntos de inflexión se tiene: {—V5, —1,1, V5 > de donde (—v/5,0)

64 64 r-(-1,------ ) , (1,— — ) , (75,0) puntos de inflexión.

125 125

-7 5 -1 1 75

y- = -^ r (* + 7 5 X * -7 5 X *+ lX * - l )

para x < —>¡5 , y " > 0 la gráfica es cóncava hacia arriba sobre < -75 >

para —75 < jc < — 1, >’" < 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo sobre

< -7 5 ,-1 >

para -1 < x < 1, y " > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobe < -l,l>

para 1 < jc < 75 , y "< 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo sobre < 1,75 >

para 75 < jc < °° , y ' ' > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre < 75, °° >



921 y = -x - 2x + 2

x -\Desarrollo

Su campo de existencia es R - {1 }

x2 - 2x + 2 , x(x - 2)

jc —i

números críticos.

= »> -= -U - l )

= 0 para los puntos críticos es decir {

■y' = -x ( x - 2)

( x - l f

* y ' - v

< X < ° ° , y' > 0+ *

=> 3 máximo en x = 0, (0,-2)

=> 3 máximo ni mínimo en x = 1

=> 3 mínimo en x = 1, (2,2)

la gráfica es creciente en los intervalos <-°°,0>, <2,°°> y decreciente en

intervalos <0,1 > y < 1,2>.

Como yx ( x - 2)

U - l )2y *■

( jc - i r

Por lo tanto no hay pühto de inflexión, y " = -( x - l ) J

para x < 1, y "< 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo sobre <-°°,l>


para x > 1, y "> O , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <0,°o>

Calculando las asíntotas para las verticales se tiene:

x - l = 0 => x = 1 asíntota vertical.

Para las oblicuas se tiene:

i : __ x 2 - 2 x + 2 _ ,Kj — lim — h m ----------— 1X ■*-»+«> x ( x — 1)

x2 “ 2x + 2b{ = lim ( y - k lX) = hm ( - ---- ---------jc) = -1

X—>+«> X — 1

como y - k lx + bl => y = x - l

es una asíntota oblicua.

922 y =x

Desarrollo

Su campo de existencia es todo los reales R - {0 }

jc4 - 3 , 3 (jc4 + 1 ) „ , , . 4 , ny = ------- => y = — —----= 0 para los números críticos, como jc + 1 = 0 ,

x x ■3 jc e R ; no tiene punto críticos, por lo tanto no tiene máximos ni mínimos.


, = 3(x4 + l)

x2

para x < 0, / > 0 , x > 0, y'<0

Luego la gráfica es creciente en los intervalos: <-o°,0>, <0,°°> como:

X 2 X 3

para obtener los puntos de inflexión de donde { - 1,1 ]

Luego (-1,2), (1,-2) puntos de inflexión

„ _ 6(x2 + l)(x + l)(x - 1)

a3

para x < - l , v "< 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo sobre <-<»,-1>

para - l < x < 0, y" > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <-l,0>

para 0 < x < 1, jy"< 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo sobre <0,1 >

para 1 < x < oo, y " > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba <l,oo>

Calculando las asíntotas se tiene:

Para las asíntotas verticales, se tiene x = 0 para las asíntotas oblicuas.


y y y X4 + 3 k, = lim — = hm — -— :

X —>+°o x x—»+°° X

no tiene asíntotas

923 y =x4 +3

Desarrollo

Su campo de existencia es todo los reales R - {0 }

x4 +3 , 3(x4 -1 ) . . v , . . , ,,y = ------- => y = ----- -— = 0 para los números críticos, es decir: { - 1,1 ]

numero críticos.


para x < -1, y '> 0+

=> 3 máximo en x = -l, (-1,-4)-1 < x < 0, y'< 0


0 < x < 1, _y'< 0

=> 3 mínimo en x = l , (1,4)1 < X < oo, j ’> 0 +

La gráfica es creciente en los intervalos <-oo,-l>, <l,oo> y decreciente er

los intervalos <-l,0>, <0,1 >

Como y '=,_3(a-4 -1)

=> y " = 6(x

Para los puntos de inflexión, pero como 3 xe R tal que y" = 0 , 1 gráfica

tiene puntos de inflexión.

parr x < 0, / '< 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo sobre <-°°,0>

para x > 0, y " > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <0,oo>

Calculando las asíntotas se tiene:

Para las asíntotas verticales, se tiene x = 0 y para las asíntotas oblici tenemos:

v x ‘* + 3k¡ = lim ^ = lim — ^ = oo

*—>+<" X x —>+<>= x

no tiene asíntotas oblicuas.

0

„ _ 6(x4 + l)


924 2 2 y = x + — x

Desarrollo

Su campo de existencia es todo R - {0 }

2 2 y = X + —X

= 0 para los números, es decir x = 1

para x < 0, y' < 0+

0 < x < 1, y' < 0_

1 < x < <», y’> 0+

)

)

3 máximo ni mínimo en x = 0

3 mínimo en x = l , (1,3)

La gráfica es creciente en el intervalo <1,<»> y decreciente en los j

intervalos < -oo? 0>,<0,1>


Como y ' =2 ( jc - 1)

=> y„ 2(jc + 2)

= 0JC JC

Para los puntos de inflexión, es decir: x = -^ 2 , (-^2 ,0 ) punto de inflexic

„ 2(x 2 - l ¡2 x + 4 ) (x + l/ 2 )y = --------------------7------------------

para x < - I f l , y " > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre < -oo, -\¡2 >

para - l ¡2 < x < 0 , y "< 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo sobre <

para x > 0, y' ' > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <0,°o>

Ahora calcularemos las asíntotas. Para las asíntotas verticales se tiene x = 0y 2

para las asíntotas oblicuas: kt = lim — = lim (x + — ) = oo

no tiene asíntota oblicuas.


925 y = -i

x2 + 3Desarrollo

El campo de existencia es todo los números reales

1 , - 2xy = — — => y = — r — 7 = 0

x + 3 (a:- + 3)

para obtener los números críticos, es decir x = 0

U 2+3 )2

para x < 0, y' > 0+

X > 0, y'<0

3 máximo en x = 0, (0, - )3

- 2x „ 6(x2 - 1)como V = — r----- - => V = — ,.....= o

(x +3) (a +3)

para obtener los puntos de inflexión es decir: {-1,1}. Luego (—1,—) , (l,- -)

son los puntos de inflexión.


para x < - l , y" > O , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <-<*>,-1>

para -1 < x < 1, >’" < 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre < -l,l>

para x > 1, y "> 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre < 1,°°>

ahora calcularemos las asíntotas. Para las asíntotas verticales x 2 +3 = 0,

existe.

y 1Para las asíntotas oblicuas se tiene: k¡ = lim — = lim —------ •= 0

x -*->+“ (x + 3)

= lim (y-fc,*) = limX—>+°°

lim — = 0*->+•» j r +3

como y = klx + bi => y = 0 asíntota horizontal.

Y 1

3

1_________ L *■-1 0 1 X

9268

Desarrollo

El campo de existencia de la gráfica es: R - {-2,2}

= 0 , para los números críticos es decir: x =


y =- I 6x

( x 2 - 4 ) 2

para x < -2, y’> 0+

-2 < * < O, / > 0+

O < x < 2, y '< 0~

2 < x < oo, y ' < 0”

=> 3 máximo ni mínimo en x = -2

=> 3 máximo en x = 0, (0,-2)


La gráfica es creciente en los intervalos <-°®,-2> <-2,0> y decreciente en los

intervalos <0,2> <2,°°>

Como )-' = ..- * 6 a(x —4)

y* _ 16(3* +4 ) _

y (.x2 — 4) 3

Para los puntos de inflexión => 3x2 +4 = 0, 3 xe R por lo tanto no hay

punto de inflexión

-2 2

x < -2, y " > 0 , cóncava hacia arriba <-<*>,-2>

-2 < x < 2, y "< 0 , cóncava hacia abajo <-2,2>

x > 2, .y " > 0 , cóncava hacia arriba <2,°o>


927

ahora calcularemos las asíntotas. Para las asíntotas verticales se tiene: x = +:

y 8Para las asíntotas oblicuas se tiene: k = lim — = lim ---- ------ = 0

*—>+00 x x(x — 4)

b{ = lim (y-fc[jc)= lim —■ ■ ■ ■ = 0

como y = kx + b => y = O, es una asíntota horizontal.

4x

Desarrollo

Su campo de existencia es todos los números reales

4x , 16 —4jc2y ~ 2 ^ y — -,~y

4 + x~ (4 + jc' )

comoy'=Opara los números críticos 16 -4x2 =0 de donde x = ±2 númerc críticos


para x < -2, y'< O

-2 < x < 2, y '> 0

y < 0 \

, N » > * , y > o + ?

< x < °°, y ' < 0~ *

3 mínimo en x = 2, (-2,-1)

=> 3 máximo en x = 2, (2,1)

La gráfica es creciente en el intervalo <-2,2> y decreciente en los

intervalos <-°°,-2>,<2,°°>

como y, 16-4 x

(4 + x2)2y = -

- 8a ( a - 2a - 12 )

(4 + a2)3

como y " = 0 para los puntos de inflexión, entonces:

- 8 a ( a 2 - 2 a - 1 2 ) = 0 = > a , = 0 , a 2 = — 1 — s/T3 , a 3 = - l + 7l3

Luego (0,0),(-1-n/Í3,-2 + 4VÍ3) , (- l + 7l3,l 1 + 57Í3) puntos de inflexión.

-1 -7 3

„ _ — + 1 + yfl3)(x +1 — VÍ3)

(4 + A2)3

-1 + 75

para a < - 1 — 7Í3 , y " > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba en el intervalo

< —oo,—l — -\/T3 >

para -1 - 7Í3 < a < O, y '' < O, la gráfica es cóncava hacia abajo en el intervalo

< - l - 7 Í3 ,0 >

para 0 < a < -1 + 7 Í 3 > , y " > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba en el

intervalo < 0,-1 + 7l3 >


928

para -1 + V i l < x < ° ° , y " < 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo ei

intervalo < - l + V Í3,°°>

ahora calcularemos las asíntotas verticales se tiene: 4 + .v2 = 0, 1 xe R

k = hm — = lim — — r = 0x x->+°°4 + x2

b = lim ( y - t c) = limX —> + °o

4x= 0

4 + x

como y = kx + b => y = 0 asíntota horizontal.

y =4x — l2

U - 12)2

Desarrollo ------------ *--El campo de existencia es R - {2 }

Luego el campo de discontinuidad es x = 2

4*-12 , -4 U -4 ) , „ „ ,y = ---------- => y = — ----- t - => y = 0 se tiene x = 4 numero critic(

( jc -12) ( x - 2)3


ira x < v <■ u

< x < 4, y > o + *

< x < °°, y '< 0~ «

=> 3 x = 2 por punto de discontinuidad.

=> 3 máximo en x = 4, (4,1)

en los intervalos <-°°,2>, <4,°°> es creciente y decreciente en el

intervalo <2,4>

_ —4 (jr -4)

(x - 2) 3

„ ...8 U - 5 )

V ( x - 2 )4= > y " = .0 x = 5, (5 ,- ) punto de

inflexión

„ _ 8(jr-5)

^ U - 2)4

para x < 2, y " < 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo en el intervalo <-°o,2>

para 2 < x < 5, y"> 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo en el intervalo <2,5>

para x > 5, y" > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba en el intervalo <5,°°>

I


929 y =x2- 4

Desarrollo

El campo de discontinuidad es R - {2,2}

Los puntos de discontinuidad es x = -2, x = 2

x + 4y =

x2 - 4 ( x 2 - 4 ) 2= 0

para los números críticos, es decir x 2 - 4 - 0 , 3 x e R tal que x 2 - 4 = 0

por lo tanto no hay números críticos.

v = -x + 4

U 2 - 4 )2

para x < - 2, y '< 0 , -2 < x < 2, y '< 0

para x > 2, y'< 0 , luego la gráfica es decreciente en los intervalo:

<-°°.-2>,<-2.2>,<2,“ »

x + 4 „ 2x(x2 +12)y = -----r — y => / ' = ----5----- r -

(x —4) ( jc - 4 )

y " = 0 para los puntos de inflexión => x = 0, (0,0)

y =-2 x ( x 2 + \ 2 )

(x2 - 4 ) 2


930

para x< -2, y" < 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo sobre el intervalo <-°°,-2>

para -2<x<0, y" < 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo sobre el intervalo <-2,0>

para 0<x< 2, y "> 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre el intervalo <0,2>

para x > 2, y” > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre el intervalo <2,oo>

Asíntotas: Verticales se tiene x = + 2

y 1 Oblicuas k = lim — = lim —---- = 0

b = lim (y - fc v )= lim —---- = 0•»->+“ x - A

como y = kx + b => y = 0 asíntota horizontal

16

x 2{x - A )

Desarrollo

El campo de existencia es R - {0,4}

Los puntos de discontinuidad son x = 0, x = 4


y = -16

x 2( x - 4 )

16(3.r-8)

' ~ x \ x - 4 )

como y' = 0 => 3 x -9 = 0 x = — punto critico

, 1 6 (3 * -8)v = ------------

jc3(x -4 )

para x < 0, y' < 0

0 < x < , y’ > 0 -v 3 ' \

- < x < 4 , v '<03

4 < x < oo, y'< 0

a , . 8 8 273 máximo en x = —, ,----- )

3 3 16

en los intervalos < - o o ,0 > , < - ,4 > , < 4 ,o o > la gráfica es decreciente y en

8intervalo < 0, - > es creciente.

3

. _ — 16(3jc —8) „ -512U -3 )

x \ x - 4 fy

x2( x - 4 )3

y" = 0 => x = 3, punto de inflexión


. -512U -3 )

> x2(x - 4 )3

para x < O, y " < O, la gráfica es cóncava hacia abajo en <°°,0>

para 0 < x < 3, y "< 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo en <0,3>

para 3 < x < 4 , y "> 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba en <3,4>

para x > 4, y' '< 0, la gráfica es cóncava hacia abajo en <4,°°>

para las asíntotas: Verticales se tiene x = 0, x = 4

Oblicuas: k = lim — = hm16

■ = 0*->+»> x *->+“ x (x - 4)

b = lim (y - fc c )= hm —r-— ----*_>+<» x ( x - 4 )

= 0

Como y = kx + b => y = 0

Asíntota horizontal.

Aplicación de la Derivada ¿

9313.v4 +1

Desarrollo

y = 3x + — => el campo de existencia es: R - {0 }

luego el punto de discontinuidad es x = 0

1 , o 3 3(.t4 -1 ) y = 3x + — => y = 3 - — = ----- —

X X X

y'—O => be4 —1=0 => {-1,1} puntos críticos

y '= 3 (x2 + l ) ( x + l ) ( x - l )

para x < 1, y' > 0+

-1 < x < 0, y'< 0~ *

> 3 máximo en x = -l, (-1,-4)

0 < x < 1, y ' < 0 -v

1 < x < °°, y'> 0+ *

3 mínimo en x = l , (1,4)

La gráfica es creciente en <-°o,-l> , <l,oo> y decreciente en <-l,0> , < l,°o>

Como y' = 3 - ~ - =¡> y" = T x x

3 xe R tal que y " = 0 , por lo tanto no hay punto de inflexión.


para x < 0, y "< O, la gráfica es cóncava hacia abajo sobre <-°°,0>

para x > 0, y "> 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <0,<»>

para las asíntotas: Verticales se tiene x = 0

,• y ,• 3x4 +1 Oblicuas: k = lim — = lim -----j— = 3

*->+“ x x

b = lim ( y - k x )= lim (■-*- ■ -3 a ) = lim — = 0X—>+®° x —»-H~ X * Jf- >+°° X

como y = kx + b y = 3x

Asíntota oblicuas

932 y = \fx + \ ¡4 - x

Desarrollo


Para determinar el campo de existencia se tiene:

x > 0 a 4 - x > 0 => x > O a x < 4

O 4Luego el campo de existencia es [0,4]

y = yfx + y j4 -x => y ' = — = -----2y/x 2\ l4 -x

, ' j4 - ,x -y fx n . y = — = O para los números críticos

2y[xy[4^x

como v' = 0 => y ¡4 -x - J x = 0 => x = 2 números críticos

para 0 < x < 2, y '> O4

=> máximo en x = 2, (2,2\¡2)

2 < x < 4 , y'<0~

La gráfica es creciente en el intervalo <0,2> y decreciente en el intervalo <2,

, y ¡4 -x -y [x „ 1 1 y sr............. ..... = 0 = > y — --------------------- = = = •

2 jxs ¡4 '-x ' 4^/(4- x )3

y " = 0 para los puntos de inflexión.

- (> / (4 -jc)3 + V ? )

4y¡¿y¡(4 -x )3■ = 0 y j ( 4 - x 3) = —v/jc3" , x e R tal que y ' ' = 0


Para x e [0,4], v "< 0 la gráfica es cóncava hacia arriba sobre [0,4]

No tiene asíntotas

Desarrollo


8 + x > 0 a 8 - x > 0 => x e [-8,8]

Luego el campo de existencia es el intervalo [-8,8]

y = yjs + x -y/s~x => y' = — ,i--- : H----2y/& + X 2yJ8-X

, yj8 — x + yj% + x , , .y = ------=====— = 0 , para los números críticos

2\j6x - x 2

es decir V8 -jc + \J8 + jc = 0 => 3 jce R

por lo tanto no hay números críticos

para x e [-8,8], y'> 0 la gráfica es creciente

y ’V 8 — x + yj& + x 8( v 8 + x — V8 — x )

- => y = ------------ ;---2y¡64-

2(64- jc 2) 2

Aplicación de la Derivada <

y '' para los puntos de inflexión, es decir:

yj&~x + \/& + x = 0 => x = 0, (0,0) punto de inflexión

-8 0 8

_ 8(^871y 1

2(64 - x 2)2

para -8 < x < 0, y" < 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo en <-8,0>

para 0 < x < 8, y" > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba en <0,8>

asíntota no tiene

934 y = x\/x + 3

Desarrollo


x + 3 > 0 =* x> -3 = > x e [-3,°°> es el campo de existencia

I — , 3(x+2) ,y ~ xs¡x + 3 y = ■ = 0 para los números críticos.

* 2 v x + 3


Es decir 3(x + 2) = O => x = -2

3(.v+2)

2-Jx + 3

para -3<x< -2 , y '< 0 -v

-2 < x < « , y ’ > 0 *3 mínimo en x = -2, (-2,-2)

La gráfica es decreciente en <-3,-2> y es creciente en <-2,°°>

, 3U +2)

2V Í+3y " - - O

4(x+3 ) 2

para los puntos de inflexión, es decir: x = -4 e [-3,°°>

Luego no hay punto de inflexión

Para x e [-3,°°>, y "> 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <-3,°°>



935 y = \¡x3 -3.x

Desarrollo

Para determinar el campo de existencia se tiene que:

x 3 - 3 x > 0 => x (x -y ¡3 ) (x+y f3 )>0

3U + 1K £ -1)

2 a/*3 —3x

para -3 < x < -1, / > 0+

-1 < x < 0, v '< 0~

3 < x < «>, / > 0 +

)=> 3 máximoen x = -l (-1 ,72 )

La gráfica es creciente en los intervalos < -7 3 ,-1 > y

decreciente en <-l,0>

3(x - 1)

2a/aJx= -3 x

inflexión

„ (x - 6 x - 3 ) 3 „ , , ,y = ------------- — = 0 , para calcular los puntos <

4(x3- 3 x ) i

como ;y" = 0 => x - 6.x - 3 = 0 de donde se tiene;

x = ± , P ^ U [7 3 ,0 ]U [7 3 ,oo>

por lo tanto no hay*puntos de inflexión


y =--2x

3 y J ( l - X 2) 2

para - ° ° < x < - l , y ’ > 0

-1 < x < O, y'> O 5

0 < x < 1, y '< O V

1 < x < oo, y '< 0 ^

3 máximo ni mínimo x = -l

3 máximo en x = 0, (0,1)

3 máximo ni mínimo x = 1

La gráfica es creciente en <-l,0> y decreciente en <0,1> y <1,°°>

, -2 x , 2(3x2 - 4 x - 3 ) n y = ... ...... .. => y' = ------=====---- — 0

3 y j( l -x 2)2 V i- * 2

para determinar los puntos de inflexión, es decir:

^ - 4 , - 3 = 0 =»3 2 3

T 2 -V l3 4V Í3 -8 . 2 + VÍ3 . - (4 + 4VÍ3L Luego p¡ (— -— ,3 ---- ----- ) , p2(— -— ,3 ------------- ¿)

3 V 9

Son los puntos de inflexión


937

■-)_2^3Para x < — — — , y" > 0, es cóncava < -«>,----- > hacia arriba.

3 3

2 -V Í3 2 + Vl3 „ , 2 -V Í3 2 + s/ñ ,---------< x < ---------- , y < 0 , es cóncava en < ----------,----------> hacia

3 3 3 3abajo

2 + VÍ3 „ n . 2 + VÍ3 , . .,Para x > --------- , y > 0, es cóncava en < ----------,°°> hacia arriba.


Desarrollo

El campo de existencia es todos los números reales

y = y j l - x } => y ’ = -—x

• o

para los números críticos => x = 0, además 3 y' , es decir 1 - x = 0 => x = 1

por lo tanto los números críticos son { 0,1}

Aplicación de la Derivada 4Í

para x < O, y' < O

0 < x < l , y '<0 3 máximo ni mínimo

1 < x < o», y'cO

La gráfica es decreciente en <-oo,0>, <0,1 >, <1,°°>

x2 2x

l ] ( l - x 3) 2 } Ü l - x 3

de donde los puntos de inflexión son (0,1), ( 1,0)

para x < 0, y "> 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba en <-°°,0>

para 0 < x < 1, _y"< 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo en <0,1 >

para x > 1, y "> 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba en <l,°o>

no tiene asíntotas


938 y = 2x + 2-3^J(x + V)2Desarrollo

El campo de existencia es todos R

y = 2x + 2 - $ I ( I + r f => y' = 2 —

2y' = 2 - . = 0 para determinar los números críticos.

Vx + 1

2 - —= = = 0 => x = 0 además 3 y ' , es decir l + x = 0 => x = -1 </* + l

por lo tanto los números críticos son {-1,0 }

para x < -1, / > 0 >>

-1 < x < 0, y ’ > 0 *

0 < x < o», y ’ > 0 *

3 máximo en x = -1

3 máximo en x = 0

La gráfica es creciente en <-<x>,-l>, <0,°°>, <-l,0>

y ’ = 2 -I fT + i

= o y =3l¡(l + x )‘

: = 0

Para los puntos de inflexión pero 3 jte/ í tal que y " = 0 por lo tanto los

puntos de inflexión son en x = -l yen x = 0 es decir (-1,0) y (0,-1).

Aplicación de la Derivada i

Asíntotas no existe.

939 y =

Desarrollo

El campo de existencia es todos los reales

y = l / x + l - l í x ^ i „

determinar los números críticos. Es decir:

i j ( x - l )2 - l ] ( x + 1)2 = 0 => U - l ) 2 = (x + l ) 2 => x = 0

además 3 _y' es decir x2 - 1 = 0 => x = ± 1

Luego los números críticos son {-1,0,1}

-1 0 1

, \j(X~ \ ) 2 —y j ( x + l ) 2y = —--------;— -------

yjx2 -1


para x < -1, / > 0

3 máximo en x = -1

y'

iara x < -i, y >u

1 < x < 0, / > 0 *

j = > 3 mínimo en x = O, (0,2)O< x < 1, y ’< 0 K

)1 < x < «o, v < 0 *

=» 3 máximo en x = 1

La gráfica es creciente en <-oo,-l>, <0,1 > y decreciente en los intervalos

< -l,0 > y <l,oo>

1__________ 1____ , „ _ 2 (V u + l )5 - V u - l ) 5)

y lj(.x + l)2 l l ( x - l )2 y 3 l ¡ (x2 - » 5

como 3 xe R , tal que y " = 0 por lo tanto para x = ± 1 3 y' entonces en

x = ± 1 hay puntos de inflexión, es decir: (1,-/2 ) , (—1,3 2 )

, „ _ 2 (^/ (I^ l)? - V ( x - l ) 5)

3 t j (x2 - l )5

para x < - l , y "> 0 , es cóncava hacia arriba

-1 < x < 1, y " < 0 , es cóncava hacia abajo

para x > 1, y "> 0 , es cóncava hacia arriba

Asíntotas Verticales no tiene para las oblicuas se tiene que:


940

b = lim (y-fcc) = lim (3/1 + 1 = 0.V—>°o X — >00

Luego y = kx + b => y = 0 es asíntota horizontal.

y = \J(x + 4 )2 - y ] ( x - 4 ) 2

Desarrollo

El campo de existencia es todo los números reales R

, 2 \ J x - 4 —yJx + 4y = \J(x + 4 )2 - y J ( x - 4 ) 2 => y ’ = - (-

\ x 2 -

3 y ’ para x = ±4 puntos críticos

16

, 2 yJx-4 -yJx+4

y

)para x < -4, y '<0

-4 < x < 4 , y ’> 0 +

4.

3 mínimo en x =

3 máximo en x ¡

4, (-4,-4)

4, (4,4)


Es creciente en <-4,4> y decreciente en los intervalos, <-°°,-4>, <4,°°>

, _ 2 , l f 7 ^ 4 - H 7 ^ 4 , . „ 2 ,t¡ (x + 4)4 y " 3 ( 3 / 7 1 ^ =* v ~ 9 3

luego y" = 0 se cumple para x = 0, (0,0) es el punto de inflexión

para x < 0, y" > 0 es cóncava hacia arriba

0 < x < oo, y" < 0 es cóncava hacia abajo

Asíntotas verticales no tiene, para las oblicuas.

Ux + 1 - y j x - 1 k = hm----------------- = 0

¿> = lim (y-fcc) = lim(^/(x + 4) 2 - ^ ( x - 4 )2) = 0.x—>oo r—>00

Luego y = kx + b => y = O asíntota horizontal

941 y = ^j (x-2)2 +^/(x-4 )2

Desarrollo


Dominio es todo los números reales

j// t.2 3// ~72 t .\J~X~—4 +• yjX — 2y = <J (x -2) + V U -4 ) 2 => y = ~ (3 < J x -2 l lx -4

y'= 0. 3 y' para los puntos críticos de donde 2,3,4 son los números críticc

para x < 2, y'< 0 “

2 < x < 3, _v'>0+

3 < x < 4, y'cCT

3 mínimo en x = 2, (2, v 4)

3 máximo en x = 3, (3,2)

3 mínimo en x = 4, (4,3/4)

4 < x < 00, v '> 0 + t¿

La gráfica es creciente <2,3> y <4,°°> y decreciente en <-°°,2> y <3,4>

, 2 i/x^~4 +•lJx~—2 ,-v ~ r ( , — - - . f ---------- ) = > y = o

7x^-4

para los puntos de inflexión 1 xe tal que y " = ü , por lo tanto no hay pun de inflexión.


942' 7 ^ 7

Desarrollo

El campo de existencia 4 - x2 > 0 => x e <2,2>

4 . 4xy = y' = 0 para x = 0

(4 - jr2) 2

para -2 < x < 0, y '< 0 -v

0 < x < 2, >-'>0+ *

3 mínimo en x = 0, (0,2)

en <-2,0> es decreciente y en <0,2> es creciente.

4x 4 (2 * + 2)

(4 — A"2 ) 2 (4 —jr2) 2

como 3 x e R, y" = 0 entonces no tiene puntos de inflexión

Luego para x e <-2,2>, y ” > 0 . la gráfica es cóncava hacia arriba.

Tiene como asíntotas verticales; x = -2, x = 2


t\J x2 -<■Desarrollo

El campo de existencia es <-°°,-2> u <2,°°>

2U 2 - 2)y = -

;yjx - i=> y = —

x2(x2 —4) 2

Luego para x = ±\¡2 , y' = 0 no son puntos críticos porque ±\Í2 no están e

el campo de existencia.

y -■2(x - 2)

3

jc2(jc2 - 4 ) 2

„ 1 6(3jc -10* +16)y = -----------------i—

x 3( x 2 - 4 ) 2

como 3 x€ R tal que y " = 0 , no hay punto de inflexión, tiene como asíntot

vertical a x = ± 2 y como asíntota horizontal a y = 0.

944 y =

Desarrollo

El campo de existencia es R -{-1,1}


y =l jx 2 - l } 3y¡(x2 - 1)4

para x = ± 3, y' = 0 , que son los puntos críticos

x -3

- y ¡ 3 < x < - l , y '< 0

- 1 < X < 1 , y ' < 0 •

l < x < j 3 , y ' < 0 *

=> 3 máximo en x = \Í3, (-V3,--Ê )



3 mínimo en x = y¡3, (>/3,^(E)<J 2

x > y ¡3 , y '> 0

es creciente en < —oo,—J 3 > , <y¡3,°°> y decreciente en < —J3,—1 > ,

< -!,!> , < 1,>/3 >

y =■x2 - 3 „ - 2 x ( x 2 -9 )

3y](x2 - l ) 4 ' 9yJ(x2 - l ) 1

3 3entonces para x = 0, x = ±3, y " = 0 de donde (0,0), (3,—), ( -3 , -—) son los


Como asíntotas verticales tiene a x = ± 1 y como asíntotas oblicuas no tiene.


945l l (x -2 )2

Desarrollo

El campo de existencia es <-oo,2> u <2,oo>

x —6r - ------- - ----y y — - =

t y x - 2)2 3 1 ( x - 2 )para x = 6, _v’ = 0

para x < 2, y' > 0

2 < x < 6, >>'<0

x > 6, / > 0

=> 3 mínimo en x = 6, (6,—=r)Ü2

es creciente en <-oo,2> y <6,oo> y decreciente en <2,6>

x -6 .. - 2( x - l 2)y

3yJ (x -2 )5 ' 9 y j ( x - 2 )para x = 12,

A

y


12y ''= 0 => ( 1 2 , - 7= ) punto de inflexión.

Vioo

2 12

Para x < 2, y "> 0 , cóncava hacia arriba

2 < x < 12, / ’ > 0 , cóncava hacia arriba

x > 12, y " < 0, cóncava hacia abajo

946 y = xe- *

Desarrollo

Su campo de existencia todos los números R.

y = xe~* => y ' = e ~ x ( \ - x ) p a r a x = l , y' = 0 puntocritico

para x < 1, y ’> 0

1 < X < oo, y '< 0

3 máximo en x = 1, (1 ,-) e


es creciente en y decreciente en < 1,«=>

y' = ex( \ - x ) y " = e x( x - 2) para x = 2, y " = 0

2Luego: (2,— ) punto de inflexión

e

Para x< 2 , y''< 0 es cóncava hacia abajo

x > 2, y">0 es cóncava hacia arriba

tiene como asíntota horizontal a y = 0

2 x

947 y = (a + — )ea a

Desarrollo

Su campo de existencia es R.

2 x x 2 /xx x - - x 2x „y = ( a + — ) e a => y = e a (— + — + 1)

a a a

Luego para x = -a, se tiene y' = 0


Pero en x = -a no hay máximo ni mínimo.

ea(x + a)2a2

para x < -a, / > 0w ^ -a , y ^ -v

x > -a, / > 0 *3 máximo ni mínimo

la curva es creciente en <-°°,-a> y <-a,°°>

, ea(x + a)2 _ ea (x + a)(x + 3a)y = --------— => y = ------------5----------

a a

para x = -a, x = -3a, se tiene y " = 0

Luego ( - a ,— ) y ( - 3 a , ^ ^ - ) son puntos de inflexión

-3a -a

Para x < -3a, y" > 0 , es cóncava hacia arriba sobre <-°°,-3a>

Para -3a<x<-a , y " < 0, es cóncava hacia abajo sobre <-3a,-a>

Para x > -a, y " > 0 , es cóncava hacia arriba sobre <-a,°°>

No tiene asíntotas verticales

Tiene como asíntota horizontal a y = 0


948 y = e8x—x -14

Desarrollo

Su campo de existencia es R.

y = e&x - x ¿ - 1 4 y' = (8 - 2x)e8x~x ~14, para x = 4, y '--

para x < 4, y'> 0

3 máximo en x = 4, (4, e )

x > 4, y’ < 0 *

La gráfica es creciente en <-<*>,4> y decreciente <4,°°>

y ’ = (8 - 2x)e &x - x ¿ - 1 4 y "= (4 x 2 - 32x + 62)e8x~x ~'4

„ 8 + V2 8 -V 2y = 0 , cuando x = --------, x? = --------

1 2 2 2

y ,8 + 72 | 8 - 7 2 f .Luego (--------,e¿) y (—------ , e ¿) punto de inflexión

2 2

0 punto critico

5


8 - V 2 8 + V 2

2 2Para jc < ---------- , y " > O , es cóncava hacia arriba

8 + -v2 , . .< jc < --------, y < O, es cóncava hacia abajo

8 + V2 ,, , , ..jc > --------, y > 0 es cóncava hacia arriba

2

no tiene asíntotas verticales en y = 0, tiene asíntota horizontal.

949 y = (2 + jc2)e - *2

Desarrollo■*

Su campo de existencia es todo R

y = (2 + x 2)e~*2 y' = — 2 x ( x 2 + 2 ) e ~ x'

* para x = 0 se tiene y' = 0 punto de inflexión


para x < 0, y ’ > 0

3 máximo en x = 0, (0,2)x > U, y

La gráfica es creciente en <-°°,0> y decreciente en <0,°°>

y’= ~2x (x2 + 2) e => y " = 2e~xl ( 2x 4 - x2 - 1)

3 3de donde para x = ± 1, y '' = 0 punto de inflexión (1,—), ( - 1,—)

e e

-1 1para x < -1, y” > 0 , es cóncava hacia arriba

-1 < x < 1, y" < 0 , es cóncava hacia abajo

x > 1, y " > 0 , es cóncava hacia arriba

no ti :ne asíntotas verticales, pero en y = 0 tiene asíntota horizontal.


950 y = 2\x\-x2Desarrollo

El campo de existencia es todo R

Para x > 0, y = 2x - x 2 => y '= 2 - 2 x = 0 se tiene x = l

x < 0, y = - 2x - x 2 =» y '= - 2 - 2x = 0 setienex = -l

Luego los puntos críticos son {-1,0,1}

1 < x < / < 0

es creciente en <-=°,-l>, <0,1> y decreciente en <-l,0>, < 1,°°>

/ = 2 - 2jc = 0 , para x > 0 => y” = 0 , 3 x e i ?

y '= -2 - 2x = 0 , para x < 0 => y" = 0 , 3 x e R

por lo tanto no tiene punto de inflexión.

Pero en x = 0 no es diferenciable, entonces

-1 0 1

=> 3 máximo en x = -1, (-1,1)-1 < x < 0, y'<0

=> 3 mínimo en x = 0, (0,0)

=> 3 máximo en x = 1, (1,1)


951

Para x < O, y" < O, es cóncava hacia abajo

x > 0, y” < 0 , es cóncava hacia abajo

no tiene asíntotas

ln x

\fxDesarrollo

El campo de existencia es <0,°°>

ln x , 2 - ln x 2 , „y = —■=■ =* y = — = - para x - e , y - 0

v * 2 \lx3

para x < e , y '> 0

23 máximo en x - e 1, (e2,—)

e

x > e , y '< 0

es creciente en el intervalo < 0,e1 > y decreciente en < e 2,°°>

, 2 - ln x ,v(31nj:-8)y' = — 7==- => y =-

2- 4x


para x = e3, / ' = 0 entonces (e3,— - ) punto de inflexión

3é>3

8

8

para x < e3, y " < 0 , es cóncava hacia abajo

8

x > e3, y" > 0 , es cóncava hacia arriba

tiene asíntota vertical en x = 0 y tiene asíntota horizontal en y = 0

Desarrollo


y = — ln — => y ' = jc(ln — + —) para x = ~ , y ' = 02 a a 2 -Je

T


para x < —¡=, y '< O \ Ve '

x > -^ = , y'> O ve

. a a a . => 3 mínimo en x = —j=, ( - p , ----- )

Ve ve 4e

es creciente en < >» y decreciente en < >ve Ve

y 1 = Jt(ln — + —) =¡> y" = ln —+ — a 2 « 2

— — -3a2para x = ae 2 , y ” = 0 , (ae 2,— —) punto de inflexión

4e

3a

4e33a

para x < ------, y " > 0 , es cóncava hacia arriba

x >3er

4e3

4e

, y " < 0 , es cóncava hacia abajo

en \ = 0 es asíntota vertical no tiene asíntota horizontal.


953ln jc

Desarrollo

El campo de existencia es todo R f

>’ =ln x

. lnjc-1 n / = — -— = 0 , para x = e

ln“ Ji

para 0 < x < 1, y<ou v. a. ^ i , y «v

1 < x < e , y < 0 *

para x <e, y '< 0 -\

>e, y > o *

3 máximo ni mínimo en x = 1

=> 3 mínimo x = e, (e,e)x > e, y

es decreciente en <0,1>, <l,e> y creciente en <e,°°>

, ln jc - 1 „ 2 - ln xy = — => = — —ln2 jc jcln jc

para jc = e2, y” = 0 , Luego (e2,— ) punto de inflexión

para jc < e2 , y " > 0 , es cóncava hacia arriba

jc > e 2 , / ' < 0 , es cóncava hacia abajo

en x = 1, se tiene asíntota vertical, no tiene asíntota horizontal.


954 y = (A + l)ln 2(x + l)

Desarrollo

El campo de existencia es x > - l es decir x e <-l,*>o>

y = (x + 1) ln2(x + 1) => y = ln (* + l)[ln(x + l) + 2]

para x = 0, x = - l + — se tiene y '= 0 punto críticos e~

-1 +

-1 + — < x < 0 , y '< 0 ' e

0 < x < o®, y’> 0+

3 mínimo en x = 0, (0,0)


La gráfica es creciente en < - l , - l + — > , <0,°°> y decreciente ene~

< - l + -V ,0 >e2

y' = ln(jc + l)[ln(jc + 1) + 2] => y " = -x + l

para x = - l + - se tiene y " = 0 luego (-1 + - , —) es punto de inflexión e e e

-1 < x < -1 + - , v " < 0 , es cóncava hacia abajo e

-1 + — < x < ° ° , y " > 0 , es cóncava hacia arriba e

955

Desarrollo


El campo de existencia es x € <-«>,-1> U <1,°°>

y = ln(x2 - 1) + — 1x‘ - l

, _ 2x ( x - - 2)y o o

O r - l ) 2

para x = 0, x = ± 2 se tiene y ' = 0 puntos críticos x = +V2

3 mínimo en x = -yÍ2 , ( -V 2,l)

3 mínimo en x = \¡2 , (V2,1)

\¡2 < x < ° ° , y'> 0

La gráfica es creciente en < —v/2,-1 >, <\¡2,°°> y decreciente

< > y < 1, V2 >

, 2x0c2 - 2) „ -2 (x3 - 3x2 - 2)

( * 2 - l )2y = -

( * 2 - i )3

para x = ± -^ - = +1.89 se tiene y " = 0

Luego (1.89, 1.33) y (-1.89, 1.33) puntos de inflexión


Para x < -1.89, y " < 0, es cóncava hacia abajo

-1.89 < x < -1, y" > 0 , es cóncava hacia arriba

1.89 < x < o®, y " < 0, es cóncava hacia abajo

1 < x < 1.84, y '' > 0 , es cóncava hacia arriba

tiene asíntotas verticales en x = -l, x = l

Luego y'= 0 para x= 0, pero x = 0e R + — {0} por lo tanto no hay punto de

inflexión

Para x > 0, y' > 0 , la gráfica es creciente.

Y n

-1.84 1-1 1 | ^ 2 1.84 X

xDesarrollo

El campo de existencia es /?T - {0 }


957

, _ yjx2 + 1 - 1 „ _ ylx2 + 1 - 3 - 2jc2 .

a ( x 2 + 1 - > / a 2 + 1 ) y y¡x2 + l ( x 2 + l - y ] x 2 + \ ) 2

3 xe R tal que y" = O por lo tanto no hay puntos de inflexión.

Luego para x > 0, y "< 0, la gráfica es cóncava hacia abajo.

Para x = 0 es una asíntota vertical.

, V a-2 + 1 - 1ln------------

k = lim — = lim -------- ------ = 0a A

b = lim(>>-fcc)= lim ln * + — - = 0x—>°° x— X

como y = kx + b => y = 0 es una asíntota horizontal

Desarrollo

El campo de existencia es todo R.

y = ln(l +e~x) => y '= — - í —e +1


3 jc 6 R , y' = 0 por lo tanto no hay punto de inflexión para x e

gráfica es decreciente.

y —i

r = - 3 xe R , y " = 0ex + l (ex +\Y

por lo tanto no hay punto de inflexión.

Para x e R, y " > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba.

No tiene asíntotas verticales. Cuando x y = 0

y ln(l + e x) k{ = hm — = hm------------ = 0

JC JC

= lim (y -/ ir) = limln(l + e ■*) = 0

luego y = 0, x —> +°°

y ln(l + e x) ex k2 = hm — = lim ------------ = hm -------- - = -1

x-»-~ JC jc—*— l + ex

b2 = lim (y - k 2x )= lim [ln (l+ « ' * ) + * ] = 0

Luego y = k2x + b2 => y = -x asíntota oblicua

R, y '< 0 , la


958 y = ln(e + —)x

Desarrollo

El campo de existencia es < -oo,—— > U < 0, <» > es decir que no esta defiie

pero [ - - , 0] e

w . 1y = ln(e + —) => y = —x x(ex + 1)

3 x e R tal que _y' = 0 , no hay puntos críticos

_ ! 0 e

x < - —, y ’ < 0 es decreciente e

x > 0, y'< 0 es decreciente

1 „ 2ex +1 1y --------------=í> y = ———— - para x = --------

x(ex + l ) x (ex+ l) le

y " = 0 pero — —e< - o o , - l > U < 0,°° >, por lo tanto no tiene punto le e

inflexión

para * < - —, y" < 0 es cóncava hacia abajo e

x > 0, y " > 0 , es cóncava hacia arriba


asíntota vertical es x = 0, x = —e

ln(e + - )k = lim — = lim ------- — = 0 para L'Hospital

•*-*— x ■*-»” JC

b = lim ()’ -foc) = lim ln(e + —) = 1x —*°° jc—»«> X

Luego como y = kx + b => y = l asíntota vertical

959 y = sen x + cos x

Desarrollo


Como y(x) = y(x + 2rt) la función es periódica con periodo x = 2n

y = sen x + cos \ => y' = cos jc - senx = 0 => cos x = sen xi

de donde jc = — + 2kn , x = — + 2kn , k = 0, ±1 , . . .


K0< x < — , y ’> O4

n 5n ,— < x < — , y < O ^4 4 \

5 n ti— < x < 2n , y > O4

3 máximo en x = — , (—, >/2 )4 4

-i - 5/r ,5n /-N=» 3 mínimo en x = — , (— ,-V 2 )4 4

3a:y' = cos x -sen x => y " = -senx - cos x = 0 => senx = - cos x =* x = ---- y

4

para x < ~ , y "< 0 es cóncava hacia abajo

x > — , y '' > 0 , es cóncava hacia arriba4

para (— + krc, 0) puntos de inflexión4


n ,n senlx960 y = senx + —— —

2Desarrollo


Como y(x) = y(x + 2n) la función es periódica con periodo x = 2n

sen2xy = senx + - y '= cos jc + cos 2 jc

y '= 0 => cos x = -cos 2x =» jc = —+ 2kn , x = — + 2kn para k = 0, ± 1, ±2,... 7 3 3

para x < — , y > 0 ^

K 5k ,— < jc<— , y < 0 x 3 3 A

iz 3>/3x3 x = —+ 2 k n , ( ,— + 2kn,-----)

3 3 4

n - • 5?r -ii oí 3-733 mínimo en x = — + 2kn , (---- 1-2kn,------- )3 3 4

y' = cosjc + cos2jc => y" = -senx - 2sen2x

y" = 0 => -sen x - 2 sen 2x = 0 => x = k7t


961 y = cosx-eos2 x

Desarrollo


y = cosx -eo s2 x => y'= -senx+ 2senx.cosx

y' = 0 => - sen x + 2 sen x. cos x = 0 => x = ± — , x = ± it3

como y(x) = y(x + 2jt) la función es periódica

para x <±rc, y ’ < 0

en x = ±7t 3 mínimo (±Jt,-2)

x > ±7t, y '> 0

x < ± — , y ' > 03

x > x — , y <03

y' = -senx + 2senx. cos x => y "= -c o s x + 2cos2x

y "= 0 => -cos x + 2 cos 2x = 0 => x = ±0.57, x = ±2.2

Luego f(±0.57) = 0.13 =» (±0.57,0.13)

f(±2.2) = -0.95 => (±2.2,-095) con los puntos de inflexión


962 y = sen*jc + c o s 3 jc

Desarrollo


y = sen3Jc + cos3 jc => y'=3sen¿x .cosx -3cos¿ x.senx

y' = 0 => 3sen2x co s x -3 co s 2 x.senx = 0

3 sen x. cos x (sen x - cos x) = 0

. 71 K 571 3kde donde x = 0, jc = — , jc = — , x =n, x = — , jc = — ,x = 2it

4 2 4 4

como y(x) = y(x + 2n) la gráfica es periódica con periodo \ = 2n


x < 0, y'>0

0 < x < — , y '< 04

n< x < n , y'<0

k < x < — , y ' > 0 4

5;r 3;r , . — < * < — , v <0 4 4 '

3/r . ,— < x < 2n , y >0 5

x > 2k, y'<0

B máximo en x = 0, (0,1)

. K n y/23 mínimo en x = — , (—,----)

4 4 2

3 mínimo en x = n, (rc,-l)

_ 5it 5n yÍ23 máximo en x = — , (-—-,------)

4 4 2

, . 7>k 3k3 mínimo en x = —-, (— 1)

2 2

3 mínimo en x - 2n, (2n, 1)

t.


963 y = .senx + cos x

Desarrollo

Como y(x) = y(x +2n) la función es periódica con periodo x = 2n luego los

puntos de discontinuidad es — también en x = ——4 4

y = -í

senx + cos xcosx—senx

(senx + cos x)1

para x = — + 2 kn setieney' = 0 ; x = - — + 2kn se tiene y' = °° 4 4

?>K . npara: x < ----- , y > 0 \A

x > - — , y '< 0 ^4

, . 3n , 3n ->¡23 máximo en x = ----- , (------ + 2kn,------ )

4 4 2

n . nx < y <o \4

71 . r . W jc> — , y > 0 *•4

7T 7T V23 mínimo en x = — , (— + 2kn.— )

4 4 2


964 y = •senx

sen(x + —)4

Desarrollo

Como y(x) = y(x + n) la gráfica es periódica con periodo x = n ademá

puntos de discontinuidad son x = , x = —4 4

y =senx

=> y\¡2 (senx + eos x) 2(senx + cos x)*

3 j e í , tal que y' = 0 por lo tanto no hay puntos críticos

V2 >/2 (cos x-senx) „ ->/2 cos2xy - 7 -------------------- =* y = — :---------------- =» y =■2{senx + cos x )“ (ié-MX + cos x) (1 + sen2x)~

y " = 0 => cos 2x = 0 => 2x = — x = — => x = — + kn2 4 4

Luego los puntos de inflexión: (— + k n ,^ - )4 2

V


965 y = sen x. sen 2x

Desarrollo


Como y(x) = y(x + 2n) la gráfica es periódica cuyo periodo es x = 2n

Calculando los extremos en el intervalo [0,rt] se tiene:

y' = 4senx. cos1 x — 2sen3 * = 0 de donde:

2 1 2senx(3cos x - l ) = 0 => x = 0, x = 7t, x = arccos(±—= )73

para x < 0, y '< 0

3 mínimo en x = 0, (0,0))0 < x < arccos(-Lr) , y ’ > 0 * \

73 '

=> 3 máximo en x = arccos(—|=),73

, 1 , , l t n í 1 4 ,arccos(—=r) < x < arccos(— ■=), y > 0 \ (arccos—--,— r=)

73 73 ' 'l R73*373

• 3 mínimo en x = arccos(— j = ) ,73

1 * 1 4arccos(— -=) < x < n , y '> 0 > (arccos(— ^ ) , —-=)

v3 \ v 3 3v3

3 máximo en x = Jt, (7t,0)x > 7t, y '< 0

y' = 4senx.cos2 x - l s e n 3x =* y "= 2 c o s x (2 -9 sen2x)


7¡r V2 x/2para a = — , x = arcsen(— ) => x -n -a r c s e n (— ) se tiene y" = O por

n y¡2 4y¡7 s¡2 4^7tanto: (—,0) , (arcsen(----),----- ), (n -aresen— ,--------) son los puntos

2 3 27 3 27

inflexión.

X

966 y = cos x. cos 2x

Desarrollo


Además y(x) = y(x + 2n) la función es periódica x = 2n

Calcularemos los extremos en el intervalo [0,7tJ

y = cosx. cos 2x => y'= s e «x ( l -6cos2 jc)

luego para y '= 0 => s e n x ( l -6cos2 x) = 0

de donde: x = n, x - arccos(-^=-)v 6

, x = arccos(— ==■), x = 0Vó


Si x <0, y ’>0

0 < jc < arccos(-p), y' < 0 v 6

3

arccos-4 = < jc < arccos(— j= ), y '> 0 V6 V6

arccosí— 7= ) < x < n , y' < 076

=> 3 máximo en x = 0, (0,1)

3 mínimo en x = arccos - 7= ,V6

1 2N (arccos—= , -----=r)\ y¡6 3y¡6

3 máximo en x = arccos(— = ) ,v 6

arccos(— =■)< x < n , y '< 0V6

x > 7t, y '> 0 ) 3 mínimo en x = m, (n,-l)

y '= je / u (l-6cos x) y” = cosx(13-18cos“ x) para * =

jc = arccos , x = arccos(- ) se tiene y " = 0. Luego: (— ,0 ), V18 V18 2

13

18

13 4 113.(arccos./— , — ./— ), (arccos(-J— ) , - —,/— ) son los puntos de inflexión.

'ÍIS 9 V18 V18 9 V18




y = x + senx => y' = l + cosx dedonde y' = 0

1 + cos x = 0 => x = n

como x < 7t, y '> 0 , x > ji, y ’ > 0 no hay máximo ni mínimo, la gráfii

creciente.

y '= l + cos* => y ''= -senx = 0 => x = k7t, k = 0,±1,±2,...

Luego (k7t,kjt) puntos de inflexión

Para x < 7t, ;y"<0, es cóncava hacia abajo

x > 7t. y " > 0 , es cóncava hacia arriba

968 y = arcsen( 1 - \fx*)

Desarrollo

El campo de existencia [—2 V2, 2>/2 ]


969

y = arcsen( 1 — yfx2) =¡> y 1 = — ¡= —-----f =3 ^ 7 7 2 - 7 7

Luego y ' = <x> cuando x = 0. x = ±2%/2

Luego x = ±2\¡2 son los extremos del campo de existencia de donde

(±272,-1.57)

Para x < 0, y ’ > 0 ^

j =£ 3 máximo en x = 0, (0,1.57) x > 0, y'< 0 *

2

V ' . ______Ú ._____ « y " = ^ 3 - 4 )

2y" = 0 => 3x3 - 4 = 0 => x = ±1.54 de donde (± 1.54,-0.34) son los


y = ^ 7Desarrollo


970

aresenx . y j l - x 2 - xarcsenxy = - ¡ = = T => y =

V i - J E 2 V(l -A '2)3

xe R tal que _y' = 0 además / = ° ° cuando x = ± l pero estos valore;

pertenecen al campo de existencia por lo tanto no tiene máximos ni mínimo

, \ J l - x 2 - xarcsenx „ .v(l - x2 - arcsenx(3x + J ( \ - x 2)3 ))

" = V a - 2)3 " * = ^

y " = 0 cuando x = 0 de donde (0,0) es punto de inflexión, tiene asín

verticales en x = ± 1

y = 2x - tg xDesarrollo

y = 2x - t g x => / = -sec x de donde:

iy '-O =* 2 ~sec2 jc = 0 => sec.r = ±V2 entonces: x = — + k ; t , x ~ — + k

4 4

j r- -j n 2k + l ,no esta definida para x = — , x = — ^— tt para k = 0, ± 1, ± 2,...


no esta definida para x = — , x = -^-Í^jr para k = 0, ± 1, ± 2,...2 2

71 I npara x < — , y > 04

3ít , _ d x > — , y > 0

4

=s> 3 máximo en x = — + kn , ( - + kK,— + 2k -\ )4 4 2

- i x - 3tt , ,3/r , 3k ,=>3 mínimo en jc = — + — + í:7r,---- i-l + 2&7r)

4 4 4

y ’ = 2 -s e n 2x => y" = 2sen2 x.tgx

para y" = 0 se tiene x = kn, donde k = 0, ± 1, ±2,...

por lo tanto (kn, 2kn) son los puntos de inflexión.

Analisis Matematico I_Espinoza_4ed.pdf

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