I
FACULTAD DE CIENCIAS ECONMICAS Y FINANCIERAS
RED NACIONAL UNIVERSITARIA
UNIDAD ACADEMICA DE SANTA CRUZFACULTAD DE CIENCIAS ECONMICAS Y
FINANCIERAS
ADMINISTRACIN DE EMPRESAS
INGENIERA COMERCIAL
AUDITORIA SEGUNDO SEMESTRE
SYLLABUS DE LA ASIGNATURA DE
ALGEBRA IIElaborado por: Ing. Mijail Daz ConcepcinIng. Lorena
MontesIng. Rubn Toyama U.Ing. Esther Guisela VeizagaGestin acadmica
I/2007
SYLLABUSAsignatura:lgebra II
Cdigo:MAT 111C
Requisito:MAT 101C
Carga Horaria:100 horas Terico Practicas
Crditos:10
I. OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA.
Interpretar y aplicar las operaciones aritmticas de matrices en
la resolucin de problemas de la carrera. Utilizar las
transformaciones elementales de filas de matrices y la funcin
determinante en la resolucin de sistemas de ecuaciones lineales.
Aplicar los espacios vectoriales en la resolucin de problemas de la
profesin.
Utilizar una herramienta informtica para simplificar los clculos
(MATLAB)
II. PROGRAMA ANALITICO DE LA ASIGNATURA.
UNIDAD I: MATRICES Y SISTEMAS LINEALES.TEMA 1. Matrices.
1.1. Teora de matrices y tipos de matrices.1.2. Matrices y
operaciones matriciales matrices.1.3. Aplicaciones.1.4.
Transformaciones elementales.1.5. Inversa por Gauss-Jordn.TEMA 2.
Determinantes.
2.1. Determinantes (propiedades).2.2. Mtodo de reduccin.2.3.
Mtodo de los cofactores.2.4. Inversa por cofactores.TEMA 3.
Sistemas de ecuaciones lineales.3.1. Ecuaciones lineales y sistemas
de ecuaciones.3.2. Matrices y sistemas de ecuaciones.3.3.
Eliminacin de gauss (gauss jordn).3.4. Sistemas homogneos de
ecuaciones lineales.3.5. Mtodo de la inversa.3.6. Aplicaciones.
UNIDAD II: VECTORES Y ESPACIOS VECTORIALES.
TEMA 4. Vectores.
4.1. Definiciones. Norma de un vector.4.2. Operaciones con
vectores.4.3. Producto escalar.4.4. Producto vectorial.4.5. Planes
estratgicos y operativos.4.6. Rectas y planos en R3.
TEMA 5. Espacios vectoriales.5.1. Definiciones y propiedades
bsicas.5.2. Subespacios.5.3. Combinaciones lineales y espacios
generados.5.4. Dependencia lineal.5.5. Bases y dimensin; rango;
nulidad.III. BRIGADAS UDABOL.Las Brigadas estn destinadas a incidir
de manera significativa en la formacin profesional integral de
nuestros estudiantes y revelan las enormes potencialidades que
presenta esta modalidad de la educacin superior no solamente para
que conozcan a fondo la realidad del pas y se formen de manera
integral, sino, adems, para que incorporen a su preparacin acadmica
los problemas de la vida real a los que resulta imperativo
encontrar soluciones desde el campo profesional en el que cada uno
se desempear.
El trabajo de las Brigadas permite que nuestros estudiantes se
conviertan a mediano plazo en verdaderos investigadores, capaces de
elaborar y acometer proyectos de desarrollo comunitario a la vez
que se acostumbren a trabajar en equipos interdisciplinarios o
multidisciplinarios como corresponde al desarrollo alcanzado por la
ciencia y la tecnologa en los tiempos actuales.
La ejecucin de diferentes programas de interaccin social y la
elaboracin e implementacin de proyectos de desarrollo comunitario
derivados de dichos programas confiere a los estudiantes, quienes
son, sin dudas, los ms beneficiados con esta iniciativa, la
posibilidad de:
Desarrollar sus prcticas pre-profesionales en condiciones reales
y tutorados por sus docentes con procesos acadmicos de enseanza y
aprendizaje de verdadera aula abierta-
Trabajar en equipos, habitundose a ser parte integral de un todo
que funciona como unidad, desarrollando un lenguaje comn, criterios
y opiniones comunes y plantendose metas y objetivos comunes para
dar soluciones en comn a los problemas.
Realizar investigaciones multidisciplinarias en un momento
histrico en que la ciencia atraviesa una etapa de diferenciacin y
en que los avances tecnolgicos conllevan la aparicin de nuevas y ms
delimitadas especialidades.
Desarrollar una mentalidad, crtica y solidaria, con plena
conciencia de nuestra realidad nacional.
ACTIVIDADES A REALIZAR VINCULADAS CON LOS CONTENIDOS DE LA
MATERIA
TAREAS
PROPUESTASTEMA(S) CON LOS QUE
SE RELACIONALUGAR DE ACCINFECHA
PREVISTA
Recopilacin de informacin bibliogrfica sobre el tema de
investigacin.Todas las unidadesBiblioteca de la universidad y de
otros centros Todo el semestre.
Preparacin del informe finalTodas las unidadesBiblioteca de la
universidad y de otros centrosTodo el semestre.
Defensa de los trabajosTodas las unidadesUDABOLSemana 19
ACTIVIDADES DE INCURSIN MASIVA EN LA COMUNIDAD
A lo largo del semestre se realizarn dos incursiones masivas en
la comunidad, comprendida la primera entre el 2 y el 8 de octubre y
la segunda entre el 13 y el 19 de noviembre. Con la finalidad de
realizar trabajos ya sean de recojo de informacin, extensin o
relacionada con los proyectos a desarrollar en la asignatura o la
carrera.
IV. EVALUACIN DE LA ASIGNATURA.
PROCESUAL O FORMATIVA.
En todo el semestre se realizarn preguntas escritas;
exposiciones de las investigacin realizadas; trabajos prcticos que
se comprobaran mediante la evaluacin escrita de una pregunta del
mismo, seleccionada de forma aleatoria y adems las actividades
planificadas para las Brigadas UDABOL. Estas evaluaciones tendrn
una calificacin entre 0 y 50 puntos en la primera y segunda etapa y
entre 0 y 30 puntos en la etapa final.
PROCESO DE APRENDIZAJE O SUMATIVA.
Se realizarn dos evaluaciones parciales con contenidos tericos y
prcticos. Cada uno de estos exmenes tendr una calificacin entre 0 y
50 puntos.
El examen final incluir los contenidos abordados a lo largo de
todo el semestre
V. BIBLIOGRAFIA.
BIBLIOGRAFIA BASICA
TONDELLI Gelen; lgebra Lineal; 512.5 T61 ROJO Armando; lgebra
II, Argentina. 1995 512 R63BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA HOWARD Antn;
Introduccin al lgebra Lineal; Ed. Limusa, Mxico, 1989. 512.5 An 88
RAFFO LECCA. Solucionario de lgebra lineal de H. Antn. . Per. 1997
512.5 R12 VICTOR CHUNGARAlgebra Lineal editorial Leonardo, Per
2006. 512.15 V68 EDUARDO ESPINOZA RAMOS. Vectores y Matrices. Per .
2002 512.943 Es65VI. CONTROL DE EVALUACIONES.
1 evaluacin parcial
Fecha
Nota
2 evaluacin parcial
Fecha
Nota
Examen final
Fecha
Nota
APUNTES
VII. PLAN CALENDARIO
SEMANAACTIVIDADES ACADMICAS OBSERVACIONES
1ra.avance de materiaTema I
2da.Avance de materiaTema I
3ra.Avance de materiaTema II
4ta.Avance de materiaTema II
5ta.Avance de materiaTema III
6ta.Avance de materiaTema III
7ma.Avance de materiaPrimera Evaluacin
8va.Avance de materiaPrimera EvaluacinPresentacin de Notas
9na.Avance de materiaTema IIIPresentacin de Notas
10ma.Avance de materiaTema III
11ra.Avance de materiaTema IV
12da.Avance de materiaTema IV
13ra.Avance de materiaTema IV
14ta.Avance de materiaSegunda Evaluacin
15va.Avance de materiaSegunda EvaluacinPresentacin de Notas
16va.Avance de materiaTema IVPresentacin de Notas
17va.Avance de materiaTema V
18va.Avance de materiaTema V
19va.Avance de materiaTema V
20va.Evaluacin final
21va.Evaluacin finalPresentacin de Notas
22va.Evaluacin del segundo turnoPresentacin de Notas
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 1
UNIDAD O TEMA: MATRICES
TITULO: Operaciones con matrices
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACION: PRIMER PARCIAL
MATRICES.
Una matriz es un arreglo rectangular de nmeros ordenados en
m-filas (horizontales) y n-columnas (verticales) encerrados entre
parntesis o corchetes.
La notacin mas usada es A = [aij] donde i es el nmero de posicin
de la fila y j el de la columna.
El tamao de la matriz se especifica usualmente escribiendo como
subndice mxn
Cuando m = n se dice que la matriz es cuadrada.
Diagonal principal:
Solo existe en matrices cuadradas y es la lnea formada por los
elementos aij tales que i = j
Traza de una matriz: es la suma de los elementos de la diagonal
principal.Traza (A) = a11 + a22 + a33 + ... + annOPERACIONES CON
MATRICES
Matriz opuesta: Sea A = [aij] su opuesta es A = [aij] = [
aij]
Matriz traspuesta: Sea A = [aij] de orden m x n su traspuesta se
obtiene permutando las filas con las columnas y se denota A o At =
[aji] y es de orden n x m
Suma de matrices: Sean la matrices A = [aij] y B = [bij] su suma
se obtiene sumando elemento a elemento A + B = [aij + bij] y es del
mismo tamao.
Nota: Solo se pueden sumar matrices del mismo tamao.
Multiplicacin por un escalar: El producto de una matriz A =
[aij] por un escalar k se obtiene multiplicando cada elemento de la
matriz por dicho escalar kA = [kaij]Nota: En el trabajo con
matrices se acostumbra a llamar escalar las cantidades numricas
independientes.
Multiplicacin de matrices: El producto de dos matrices solo es
posible cuando el nmero de filas de la segunda matriz es igual al
nmero de columnas de la primera.
Sean las matrices A = [aij]mxp y B = [bij]pxn el producto es
pasible porque el nmero de filas de B es p y es igual al nmero de
columnas de A. La matriz resultante C es del orden m x n C = AB =
[cij]mxn y sus elementos se obtienen multiplicando los elementos de
las filas de A por los elementos correspondientes de las columnas
de B y sumando estos productos.
CUESTIONARIO DEL WORK PAPER # 1 (OPERACIONES CON MATRICES)
Considerando las siguientes matrices:
Determine cuando sea posible y justifique su respuesta cuando no
lo sea.
1. 3C D2. (3E)D3. (AB)C4. A(BC) + 3I35. (4B)C + 2B6. D + 2E27.
GHT 2FT8. (3H + 1/2C) BATDadas las matrices:
9. Que valor debe tomar x para que el elemento a.b 32 = 0
10. Que valor debe tomar x para que el elemento a.b 32 = 14
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 2
UNIDAD O TEMA: DETERMINANTES
TITULO: Determinantes
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACION: PRIMER PARCIAL
DETERMINANTES.
El determinante es una funcin que asocia un nmero real a una
variable matricial y se define como det (A).
El determinante de una matriz de segundo orden es el producto de
la diagonal principal menos el producto de la diagonal
secundaria.
El determinante como un nmero real asociado a una matriz cumple
las siguientes propiedades:
1. Si una matriz A tiene una fila o columna cuyos elementos son
todos 0 entonces el det(A) = 0
2. Si una matriz A tiene dos filas iguales, det(A) = 0
3. Si A es una matriz cuadrada, det(At) = det(A)
4. Si A es una matriz triangular, det(A) = a11a22a33...ann
5. Si una matriz B es el resultado de sumarle a una fila de la
matriz A un mltiplo de otra fila, det(A) = det(B)
6. Si B es el resultado de intercambiar dos filas en una matriz
A, det(A) = det(B)
7. Si una matriz B es el resultado de multiplicar una fila de la
matriz A por un escalar k entonces det(B) = kdet(A)
Si A y B son matrices de igual tamao, det(AB) = det(A)det(B)
det(A + B) det(A) + det(B)
Mtodos de evaluacin de determinantes de orden n.
Por reduccin (con operaciones elementales entre filas).
Este mtodo consiste en transformar la matriz en una matriz
triangular realizando operaciones en las filas y teniendo en cuenta
las propiedades de los determinantes se obtiene el determinante a
partir de determinante de la matriz resultante.
Combinaciones lineales: Se dice que una fila de una matriz es
combinacin lineal de las otras, si existen nmeros reales k1; k2;
k3;...; kn tales que la fila dada es la suma de los productos de
cada nmero real por cada una de las otras filas de la matriz.
Operaciones entre filas de una matriz:
Entre las filas de una matriz se pueden realizar las siguientes
operaciones sin que la matriz resultante deje de ser equivalente a
la matriz original.
1. Permutar dos filas de la matriz.
2. Multiplicar una fila por un nmero real diferente de cero.
3. Sumar o restar a una fila una combinacin lineal de una o
varias de las dems filas de la matriz.
Por desarrollo de cofactores en filas o columnas (regla de
Cramer).
Para explicar este mtodo es necesario primero que es un menor y
que es un cofactor o complemento.
Si A=[aij]nxn y M=[mij](n 1)x(n 1) es la matriz obtenida de
suprimir de A la i-sima fila y la j-sima columna, al detM se le
conoce como menor del elemento aij de A y al escalar cij = (-1) i
+jdetM se le denomina cofactor.
El determinante de una matriz de orden n es la suma de los
productos de los elementos de una fila o columna por su
correspondiente cofactor.
Desarrollando en la fila 1 det (A) = a11c11 + a12c12 +
a13c13
CUESTIONARIO DEL WORK PAPER # 2 (DETERMINANTES)
1. Calcule (por simple inspeccin) el determinante de las
siguientes matrices:
2. Calcule el determinante de las siguientes matrices:
Dadas las siguientes matrices, evalu las expresiones indicadas
teniendo en cuenta las propiedades de los determinantes:
9. Determine los valores de x en las siguientes matrices para su
determinante sea cero:
10. Sabiendo que det (A) = 4 y det (C) = 3. Aplique las
propiedades correspondientes y calcule los determinantes de las
matrices B y D. Justifique su respuesta.
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 3
UNIDAD O TEMA: INVERSA DE UNA MATRIZ
TITULO: Clculo de inversas
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACION: PRIMER PARCIAL
INVERSA DE UNA MATRIZ.
En el trabajo con nmeros reales se puede sustituir la divisin de
un nmero a entre un nmero b por el producto de a por el inverso de
b.
No se ha definido un mtodo para dividir matrices directamente
pero si podemos encontrar una matriz inversa a la dada entonces
podemos definir (en los casos que sean posibles) la divisin de una
matriz A ente una matriz B como el producto de A por la matriz B-1
donde B-1 es la matriz inversa de B.
Uno de los mtodos mas utilizados para encontrar la inversa de
una matriz es el mtodo de Gauss-Jordn y consiste anotar una matriz
identidad correspondiente al lado de la matriz dada, luego realizar
transformaciones en las filas de ambas matrices hasta convertir la
matriz dada en identidad, luego la matriz resultante de las
transformaciones realizadas en la identidad ser la inversa de la
matriz original.
Notas:
a) Solo se puede hallar la inversa de matices cuadradas.
b) Si el determinante de una matriz es 0, su inversa no
existe.Ejemplo: Hallar la inversa de la matriz A por el mtodo
Gauss-Jordn.
Otro mtodo para calcular la inversa de una matriz es utilizando
los cofactores y los determinantes:
Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se
representa por adjA, a la matriz que se obtiene de reemplazar cada
elemento de A por su correspondiente cofactor. Luego la inversa de
A se puede calcular por la siguiente formula:
CUESTIONARIO DEL WORK PAPER # 3 (INVERSAS)
Encuentre la inversa de las siguientes matrices: (A, B, E, F)
por el mtodo de Gauss-Jordn y las dems por el mtodo de los
cofactores.
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 4
UNIDAD O TEMA: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
TITULO: Solucin de SEL
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACION: SEGUNDO PARCIAL
SISTEMAS DE ECUACIONES
Ecuacin lineal: Lineal es una igualdad donde hay una o mas
incgnitas o cantidades desconocidas.
Resolver una ecuacin consiste en encontrar el valor o los
valores de las incgnitas para los cuales se cumple la igualdad.
Cuando una ecuacin lineal tiene una sola incgnita entonces tiene
una sola solucin y se resuelve despejando la incgnita o
variable.
Cuando una ecuacin lineal tiene mas de una incgnita entonces
tiene muchas soluciones (infinitas en la mayora de los casos)
porque al despejar la una variable esta queda en funcin de la otra.
Para resolverla es necesario asignar el valor de un parmetro a una
variable, luego las dems variables quedan en funcin del parmetro
asignado.
Sistemas de ecuaciones lineales: Se le llama as cuando si tienen
mas de una ecuacin con mas de una incgnita, en este caso se pueden
dar tres posibles soluciones:
a) Que el sistema tenga una sola solucin (compatible y
determinado)
b) Que el sistema tenga mas de una solucin (compatible
indeterminado)
c) Que el sistema no tenga solucin (incompatible)
Como una ecuacin lineal representa una lnea recta, las
soluciones pueden interpretarse de la siguiente manera:
Compatible y determinado (rectas que se cortan)
Compatible indeterminado (Rectas equivalentes o
coincidentes)
Incompatible (rectas paralelas)
Existen varios mtodos para resolver sistemas de ecuaciones
lineales de 2 o 3 ecuaciones con 2 o 3 incgnitas. En este curso no
se trabajaran los ya aprendidos en materias anteriores a excepcin
del mtodo de Cramer el cual se extender a sistemas de n-ecuaciones
con n-incgnitas.
En forma general un Sistema de ecuaciones lineales (SEL) de
m-ecuaciones con n-incgnitas se puede escribir:
a11x1 + a12 x2 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22 x2 + ... + a2nxn =
b2...............................................am1x1 + am2x2 +
... + amnxn = bmA los trminos a11, a12, ... a1n, a22, ... (en
general aij) se les llama coeficientes y a los trminos b1, b2, ...
bm se les llama trminos independientes.
Como en este curso se estudiar el uso de las matrices y
determinantes para resolver SEL, veamos a continuacin con un
ejemplo dos formas de escribir un SEL con representacin
matricial
.
x1 + x2 + 2 x3 = 8
x1 2 x2 + 3 x3 = 1
3 x1 7 x2 + 4 x3 = 11
Mtodos de solucin:Mtodo de Gauss.El mtodo de Gauss consiste en
convertir la matriz ampliada del sistema de ecuaciones en otra
escalonada (convertir en triangular la parte de los coeficientes de
la matriz).
1. Mtodo de Gauss -Jordn.
El mtodo de Gauss-Jordn consiste en convertir la matriz ampliada
del sistema de ecuaciones en una matriz escalonada y reducida
(convertir en identidad la parte de los coeficientes de la
matriz).
2. Mtodo de Cramer.
El mtodo estudiado en cursos anteriores es aplicable a SEL de
n-ecuaciones con n-incgnitas.3. Mtodo de la inversa.
Consiste en escribir el SEL de la forma AX = B y luego resolver
X = A-1B aplicando la multiplicacin de matrices.
Sistemas homogneos de ecuaciones lineales:Cuando en un SEL todos
los trminos independientes son 0 se dice que el sistema es homogneo
y puede tener:
a) Una nica solucin que es S = (0; 0; ... ;0) (Solucin
trivial)
b) Infinitas soluciones no triviales adems de la Solucin
trivial.Por lo general se resuelven por Gauss Jordn.
CUESTIONARIO DEL WORK PAPER # 4 (SISTEMAS DE ECUACIONES)
1. Considere que siguientes matrices representan sistemas de
ecuaciones y resulvalos.
2. Resuelve los siguientes sistemas por el mtodo Gauss.
3. Resuelve los siguientes sistemas por el mtodo Gauss
Jordn.
4. Resuelve los siguientes S. E. L. Por la formula X = A-1 .
B
5. En el siguiente sistema de ecuaciones, que valores puede para
que el sistema tenga infinitas soluciones.
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 5
UNIDAD O TEMA: VECTORES
TITULO: Operaciones con vectores
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACION: SEGUNDO PARCIAL
WP # 5: VECTORES Llamamos magnitud fsica a aquella propiedad de
un cuerpo que puede ser medida. La masa, la longitud, la velocidad
o la temperatura son todas magnitudes fsicas. El aroma o la
simpata, puesto que no pueden medirse, no son magnitudes
fsicas.
Para muchas magnitudes fsicas basta con indicar su valor para
que estn perfectamente definidas. As, por ejemplo, si decimos que
Jos Antonio tiene una temperatura de 38 C, sabemos perfectamente
que tiene fiebre y si Rosa mide 165 cm de altura y su masa es de 35
kg, est claro que es sumamente delgada. Cuando una magnitud queda
definida por su valor recibe el nombre de magnitud escalar.
Otras magnitudes, con su valor numrico, no nos suministran toda
la informacin. Si nos dicen que Pedrol corra a 20 km/h apenas
sabemos algo ms que al principio. Deberan informarnos tambin desde
dnde corra y hacia qu lugar se diriga.
Estas magnitudes que, adems de su valor precisan direccin y
sentido se llaman magnitudes vectoriales, y se representan mediante
vectores. En este tema estudiaremos los vectores y sus
propiedades.
Podemos considerar un vector como un segmento de recta con una
flecha en uno de sus extremos. De esta forma lo podemos distinguir
por cuatro partes fundamentales: punto de aplicacin, mdulo (norma o
intensidad), direccin y sentido.
Si dos vectores se diferencian en cualquiera de los tres ltimos
elementos, (intensidad, direccin o sentido), los consideraremos
distintos.
Mientras que si slo se diferencian en el punto de aplicacin los
consideraremos iguales.
Siempre es posible dibujar dos vectores con la misma direccin
pero sentido opuesto. Si adems tienen la misma intensidad decimos
que son vectores opuestos, ya que se anularan uno a otro.
Cualquier vector puede dibujarse en un plano, si lo colocramos
de tal forma que su punto de aplicacin coincida con el origen, el
extremo del vector, coincidir entonces con un punto del plano, el
punto (x, y).
Cualquier punto (x, y) determina el vector que empieza en el
origen de coordenadas y termina en l propio punto. Analticamente,
representaremos el vector por el punto que determina su final. A
las coordenadas del vector las denominaremos componentes, y todo
vector estar as definido por dos componentes, una x y otra y, que
sern las componentes cartesianas del vector.
Adems de por sus coordenadas cartesianas, existe otra forma de
representar y determinar numricamente un vector: indicando su
intensidad y el ngulo que forma con el eje de abscisas. stas (mdulo
|V| y ngulo ) son las coordenadas polares de un vector. En muchas
ocasiones, es ms conveniente trabajar con coordenadas polares que
con coordenadas cartesianas.
Conocidas las coordenadas polares de un vector, determinar sus
coordenadas cartesianas es inmediato aplicando la trigonometra.
La determinacin de las coordenadas polares del vector a partir
de sus coordenadas cartesianas es tambin inmediata por
trigonometra.
VEVTORES Y MATRICES:
Un vector puede ser representado como una matriz fila o una
matriz columna, as de igual manera las filas y columnas de una
matriz pueden ser consideradas como vectores.
Operaciones con vectores:
Suma: La adicin de vectores suma vectores y produce como
resultado un vector. Esta operacin se puede realizar, tanto
grficamente (como se ha estudiado en cursos anteriores) como
analticamente.
Nota: Es objetivo de este curso trabajar mas de esta ltima
forma.
Para sumar dos o ms vectores en forma analtica es necesario
primero expresarlos en coordenadas cartesianas y luego se suman
como matrices filas (componente a componente). Solo se pueden sumar
vectores de igual tamao.
Multiplicacin por un escalar: Un vector puede ser multiplicado
por un escalar y en ese caso cada componente del vector queda
multiplicada por el escalar (como una matriz fila).
Grficamente significa multiplicar el modulo del vector:
Producto escalar: El producto escalar; (producto punto o
producto interior euclidiano) es un tipo de multiplicacin definida
entre vectores que es muy til para aplicaciones a problemas reales
ya que asigna un valor real a una operacin entre vectores y se
define de la siguiente manera:
Ejemplo: Seanv = ( v1; v2 ); u = ( u1; u2 ) : Es el ngulo entre
v y u
Tambin se define en funcin de sus componentes cartesianas.
Anlogamente se extiende para todo Rn.Sean:v = ( v1; v2; ... ; vn
) y u = ( u1; u2; ... ; un )
Nota: Si dos vectores u y w son perpendiculares uw = 0
Producto cruz de vectores: Es un tipo de multiplicacin que se
define para el conjunto R3 la cual es muy usada en la solucin de
problemas en los que es necesario definir un vector que sea
perpendicular (ortogonal) a otros dos vectores.
Sean v = ( v1; v2; v3 ) y u = ( u1; u2; u3 ) vectores que
pertenecen a R3
El producto v x u es un vector que pertenecen a R3 y es
perpendicular a v y a u, su sentido se puede determinar utilizando
la regla de la mano derecha:
Nota: Las componentes del producto u x v tienen los mismos
valores pero con signos contrarios:
CUESTIONARIO DEL WORK PAPER # 5 (APLICACIONES DE VECTORES)
1. Cul de los siguientes vectores tiene mayor modulo?
(3,0);(2,1);(2.5,2).
2. Con los vectores v(1,2);w(2,-1) y u(-1,1) realiza las
sumas:
a) u + v + wb) v + u + wc) (u v) (v u)3. Dados v(1y 45) y w(2 y
180) Calcule su producto escalar?
4. Con los vectores v(1,2);w(2,-1) y u(-1,1) realiza:
a) u . w
b) v . w
c) u . v
d) v . u
5. Qu ngulo forman los vectores u y v ; u y w ; v y w del
ejercicio anterior?
6. Calcule el producto escalar entre:a) u = (3,4,2) y v =
(2,1,5)b) u = (1,1,1) y v = (2,2,-2)
c) u = (5,-2,1) y v = (0,-1,3)7. Determine la distancia entre
los puntos P1(1,2,3) y P2(-3,-2,-1)
8. Determine el producto vectorial y el ngulo comprendido
entre:
a) u = (3,4,2) y v = (2,1,5)b) u = (1,1,1) y v = (2,2,-2)
c) u = (5,-2,1) y v = (0,-1,3)9. Determine el rea del triangulo
comprendido entre los puntos:
a) P1(1,2,3) ; P2(-3,-2,-1) y P3(3,-3,0)
b) P1(5,0,0) ; P2(0,5,0) y P3(0,0,5)
10. Determine el rea del paralelogramo que tiene como vrtices
consecutivos a los puntos
a) P1(3,-2,12) ; P2(-4,-2,7) y P3(1,-3,0)
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 6
UNIDAD O TEMA: ESPACIOS VECTORIALES
TITULO: Espacios vectoriales
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACION: EXAMEN FINAL
ESPACIOS VECTORIALESEstamos acostumbrados a representar un punto
en la recta como un nmero real; un punto en el plano como un par
ordenado y un punto en el espacio tridimensional como una terna o
tro ordenado. Pero si reconocemos un conjunto de nmeros ordenados
(a1; a2; a3; a4) como un punto en el espacio tetradimencional, aun
cuando esta idea no se pueda concebir geomtricamente mas all del
espacio tridimensional, es posible entenderlo considerando las
propiedades analticas de lo nmeros en lugar de las propiedades
geomtricas.
Un espacio vectorial no es mas que un conjunto no vaco de
n-vectores ordenados que cumple con las propiedades de cierre y las
antes mencionadas para la suma y la multiplicacin por un escalar.
Se denota por Rny se clasifican as:
R1 = espacio unidimensional, lnea recta real.
R2 = espacio bidimensional, pares ordenados.
R3 = espacio tridimensional, terna ordenadas.
Rn = espacio n-dimencional, n-adas ordenadas.
Combinacin Lineal: Se dice que un vector v es una combinacin
lineal de los vectores v1, v2, v3, ..., vn en un espacio vectorial
Rn si existen nmeros reales k1, k2, ... kn tales que v pueda ser
expresado como:
V = k1v1 + k2v2 + k3v3 +... + knvn
Para comprobar si el vector x es combinacin lineal de v, u, w
R3:
Se plantea un sistema homogneo de ecuaciones lineales para:
k1v + k2u + k3w = x
k1( v1; v2; v3 ) + k2( u1; u2; u3 ) + k3(w1; w2; w3) = (x1; x2;
x3)
k1v1 + k2u1 + k3w1 = x1
k1v2 + k2u2 + k3w2 = x2
k1v3 + k2u3 + k3w3 = x3
Si el sistema tiene solucin el vector x es combinacin lineal de
v, u, w.
Dependencia e Independencia Lineal: Se dice que los vectores v1,
v2, v3, ..., vn son linealmente dependientes si existen infinitas
combinaciones lineales de estos vectores que den como resultado el
vector 0.
Si la nica combinacin lineal que da este resultado es aquella en
la que k1 = k2 = ... = kn, entonces se dice que los vectores son
linealmente independientes.
0 = k1v1 + k2v2 + k3v3 +... + knvn
Ejemplo: Para comprobar la dependencia Lineal entre los vectores
v, u, w R3:
Se plantea un sistema homogneo de ecuaciones lineales para:
k1v + k2u + k3w = 0
k1( v1; v2; v3 ) + k2( u1; u2; u3 ) + k3(w1; w2; w3) = (0; 0;
0)
k1v1 + k2u1 + k3w1 = 0
k1v2 + k2u2 + k3w2 = 0
k1v3 + k2u3 + k3w3 = 0
Si este sistema solo tiene la solucin trivial los vectores son
linealmente independientes.
Si tiene infinitas soluciones entonces son linealmente
dependientes.
Espacio vectorial generado: Se dice que los vectores v1, v2, v3,
..., vn generan un espacio vectorial V si cualquier vector b de
dicho espacio se puede escribir como combinacin de los vectores
dados.
b = k1v1 + k2v2 + k3v3 +... + knvn
Base y Dimensin de un espacio vectorial: Un sistema de vectores
libre, que permite generar todos los vectores de su espacio
vectorial es una base.
Todo espacio vectorial tiene al menos una base.
El nmero de elementos de una base de un sistema de vectores se
llama dimensin del espacio vectorial.
Por ejemplo: Los vectores (0,0,1), (0,1,0) y (1,0,0) son la base
que se utiliza normalmente en un espacio de tres dimensiones.
CUESTIONARIO DEL WORK PAPER # 6 (ESPACIOS VECTORIALES)
1. Determine cuales de los siguientes conjuntos son espacios
vectoriales y para los que no lo son, enumere las propiedades que
no cumple:
a) El conjunto de pares (x ; y) con las operaciones
( x ; y ) + ( x ; y ) = ( x + x ; y + y ) y k ( x ; y ) = (kx
+ky)
b) El conjunto de pares ( x ; y ) con las operaciones
( x; y ) + ( x; y ) = (x x; y y ) y kx = x k
c) El conjunto de las matrices
M2 2 =
2. Cules de los siguientes vectores son combinaciones lineales
de :
u = ( 1 ; -1 ; 3 ) y v = ( 2 ; 4 ; 0 )
a = ( 3 ; 3 ; 3 )b = ( 4 ; 2 ; 8 )c = (1 ; 5 ; 6 )d = ( 0 ; 0 ;
0 )
3. Exprese los siguientes vectores como combinaciones lineales
de:u = (2; 1; 4); v = (1 ; -1; 3) y w = ( 3; 2; 5)
a = (5 ; 9 ; 5 ); b = ( 2 ; 0 ; 6 );
c = ( 0 ; 0 ; 0 ); d = ( 2 ; 2 ; 3 )
4. Cuales de los siguientes conjuntos de vectores son
linealmente dependientes y cuales linealmente independientes?
a) u1 = ( 1 ; 2) y u2 = ( -3 ; -6 ) en R2b)
c) (2 ; -1; 4); (3; 6; 2) y (2; 10; -4) en R3
Asignar el valor de una matriz en la herramienta informtica
(MATLAB).
Realizar las diferentes operaciones con matrices estudiadas en
clases utilizando (MATLAB).
Calcular determinantes e inversas utilizando el programa.
Mtodo: Analtico y experimental
Materiales y equipos:
Laboratorio de computo Software matlab.
Una matriz es un conjunto de elementos ordenados en filas y
columnas.
Las operaciones con matrices son una de las aplicaciones ms
importantes del lgebra lineal a las diferentes ramas de la
ingeniera.El programa MATLAB es una de las tantas herramientas
informticas desarrolladas para mejorar la forma en que las
matemticas sirven de apoyo a las diferentes reas profesionales. El
manejo de dicha herramienta ser de gran apoyo para los estudiantes
y futuros profesionales.
Al comenzar la prctica, el docente dar una introduccin de cmo
funciona el programa y como se pueden realizar en el mismo las
deferentes operaciones con matrices que han aprendido en clases.
Seguidamente se les orientara realizar de forma independiente los
siguientes ejercicios.
1.Ingrese las siguientes matrices al programa y escriba
correctamente la expresin utilizada.
A=
A =
1 2 3 4
5 6 7 8
9 0 1 2
B=
B =
-1 2 -1 4
-5 6 -7 8
-9 0 -1 2
-3 4 -5 6
C=
C =
2 3 4
5 7 9
-1 0 3
D=
D =
4 -2 5
3 0 -7
11 15 18
E=
E=
12 -14
-15 03
F=
F=
46 -1 54
-31 102 31
2.Realice las operaciones indicadas escribiendo la expresin
correcta y la matriz resultante. Si la operacin no es posible
explique por qu?
a) AT.
b) C + D.
c) 3 (C + D.)
d) 3 (C+D)-2Ce) A por Bf) B por Ag) 2(ETF)-4CA
h) Determinante de A
i) Determinante de B
j) Inversa de C
Se analizaran las ventajas de usar una herramienta informtica.
Se comentar sobre otras herramientas como calculadoras y un ejemplo
disponible en internet.
http://www.math.gatech.edu/~villegas/matlab/
Resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando
(MATLAB).
Resolver series de sistemas de ecuaciones lineales utilizando
(MATLAB).
Mtodo: Analtico y experimental
Materiales y equipos:
Laboratorio de computo Software matlab.
Una ecuacin es una igualdad donde hay una o ms incgnitas o
cantidades desconocidas.
Resolver una ecuacin consiste en encontrar el valor o los
valores de las incgnitas para los cuales se cumple la igualdad. Si
el mayor exponente de las variables es 1 entonces se dice que la
ecuacin es lineal.
Si se tienen ms de una ecuacin con ms de una incgnita, estamos
en presencia de un sistema de ecuaciones. Resolverlo significa
encontrar los valores de las variables que las satisfagan.
Prcticamente no existe ninguna profesin en la que no surjan
problemas que solo pueden resolverse mediante sistemas de
ecuaciones y en numerosos ocasiones se tienen tantas ecuaciones e
incgnitas que se hace prcticamente imposible resolver el sistema
manualmente y se busca el apoyo de una herramienta informtica como
lo es en este caso el programa MATLAB.
Al comenzar la prctica el docente recordar dos de los mtodos de
solucin estudiados en clases. Luego se explicar como se deben
introducir las matrices para aplicar cada uno y se orientar a los
estudiantes realizar los siguientes ejercicios.
Nota: Escriba en las lneas debajo de cada ejercicio, las
instrucciones ingresadas al programa y las correspondientes
respuestas.
1. Resuelve Los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
a)
b)
2. Resuelve La siguiente serie de sistemas de ecuaciones
lineales:
Se analizaran las ventajas de usar una herramienta informtica.
Se comentar sobre algunos ejemplos de cmo se pueden utilizar los
mtodos matriciales para resolver sistemas de ecuaciones lineales en
algunas ramas especficas de la ingeniera.
http://www.math.gatech.edu/~villegas/matlab/
Utilizar el MATLAB para realizar diferentes operaciones con
vectores de forma analtica.
Utilizar estas operaciones para resolver problemas de
aplicacin.
Mtodo: Analtico y experimental
La representacin vectorial es ampliamente utilizada en las
diferentes profesiones, no solo en el campo de la Fsica donde se
emplean para representar magnitudes que requieren de dimensin;
direccin y sentido y en dibujo o en sistemas de posicionamiento
geogrfico donde pueden representar puntos o dimensiones en el
espacio tridimensional, sino tambin en almacenamiento de datos, ya
que toda informacin se puede representar como un vector
n-dimensional.
Es por ello que es muy importante poder realizar diferentes
operaciones con vectores, de forma analtica pues grficamente es
imposible trabajar con vectores de ms de tres dimensiones.
Al comenzar la prctica se recordara la relacin ente los vectores
y matrices, se explicara como se realizan las diferentes
operaciones y se indicarn los comandos que se deben utilizar en
cada caso.
Despus se orientara realizar los siguientes ejercicios.
Nota: Escriba en las lneas debajo de cada ejercicio, las
instrucciones ingresadas al programa y las correspondientes
respuestas.
1. Dados los vectores v = (25; 315; 53; 0; 19) , u = (41; 15;
253; 0; 27) y w = (2,5; 31,15; 3; 0; 1,29) determine:
a) w 2u b) 3v + u c) modulo de v lvl
d) vector u 2. Dados los vectores p = (-225; 309; 1) y q = (40;
0; -125)
e) Determine el modulo de vector q x p3. Determine el rea del
tringulo cuyos vrtices son los puntos P1(454; -21; 1); P2(101; 4;
-152) y P3(-412; 0; 594) Y encuentre adems la distancia entre los
puntos P1 y P2
4. Determine el rea del paralelogramo que tiene dos arstas
consecutivas coincidentes con los vectores v1(54; -271; 0) y u2(11;
654; -152)
Se analizaran las ventajas de usar una herramienta informtica.
Se comentar sobre algunos ejemplos de cmo se pueden utilizar los
mtodos matriciales para resolver sistemas de ecuaciones lineales en
algunas ramas especficas de la ingeniera.
http://www.math.gatech.edu/~villegas/matlab/ HOWARD Antn;
Introduccin al lgebra Lineal; Ed. Limusa, Mxico, 1989.
MENDOZA Domingo M; lgebra Lineal, Bolivia 1992.
RICHARD Hill; lgebra Lineal Elemental con aplicaciones; 3era
edicin, Mxico, 1997.
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
DIFs # 1
UNIDAD OTEMA: MATRICES
TITULO: Propiedades de la aritmtica matricial.
FECHA DE ENTREGA:
En las diferentes disciplinas de las ciencias econmicas, es comn
que un conjunto de datos se representen en forma de matrices para
simplificar u optimizar su procesamiento, con ellas se realizan
diferentes operaciones bsicas. Despus de consultar las siguientes
pginas de Internet y la bibliografa complementaria recomendada en
este material:Describa mediante un ejemplo concreto una de estas
aplicaciones.http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/ed99-0289-02.htmlhttp://www.webmath.com/http://fresno.pntic.mec.es/~jvaamond/producto.htmwww.recursosmatematicos.com/interactiva.html
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
DIFs # 2
UNIDAD OTEMA: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
TITULO: Interruptores
FECHA DE ENTREGA:
En algunas reas profesionales como la economa, etc. surgen
problemas cuya solucin requiere de sistemas de ecuaciones lineales
con un considerable nmero de ecuaciones e incgnitas los cuales no
son posibles de resolver por los mtodos de eliminacin y por ello se
recurren a los mtodos matriciales.
Consulte la Internet y los textos de ingeniera que considere
pertinente y traiga un ejemplo de dichos problemas con el
desarrollo de su solucin, para discutir en clases.
http://www.mvps.org/vexpert/articles/mat_gauss.htmhttp://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/jvazquez/teleco.htmlhttp://fresno.pntic.mec.es/~jvaamond/producto.htmwww.recursosmatematicos.com/interactiva.html
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
DIFs # 3
UNIDAD OTEMA: VECTORES Y ESPACIOS VECTORIALES
TITULO: Interruptores
FECHA DE ENTREGA:
Si se quieren definir elementos que requieran ms de una
caracterstica para su comprensin y tenerlos de forma ordenada para
su procesamiento, la forma ideal que nos brinda la matemtica es la
representacin vectorial y las propiedades de las operaciones que se
realizan con los conjuntos de elementos o vectores, definidos como
espacios vectoriales.
Consulte la Internet y la bibliografa necesaria y traiga un
ejemplo de alguna aplicacin especfica que se le de en las carreras
de ingeniera de Sistemas y Telecomunicaciones a los vectores y/u
operaciones con espacios
vectorialeshttp://fresno.pntic.mec.es/~jvaamond/producto.htmwww.recursosmatematicos.com/interactiva.htmlhttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorialhttp://html.rincondelvago.com/algebra-lineal_vectores-y-espacios-vectoriales.html
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
VISITA TECNICA No. 1
UNIDAD O TEMA :
LUGAR :
FECHA PREVISTA :
RECURSOS NECESARIOS
OBJETIVOS DE LA ACTIVIDAD
FORMAS DE EVALUACION (Si procede)
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
VISITA TECNICA No. 1
UNIDAD O TEMA :
LUGAR :
FECHA PREVISTA :
RECURSOS NECESARIOS
OBJETIVOS DE LA ACTIVIDAD
FORMAS DE EVALUACION (Si procede)
Desarrollo:
Objetivos:
Nombre y apellidos:
Bibliografia:
Conclusiones:
Bibliografia:
Fundamentos tericos:
Diseo:
Conclusiones:
Direccin
Sentido
Punto de aplicacin
Mdulo
Desarrollo:
Fundamentos tericos:
Diseo:
Objetivos:
Nombre y apellidos:
Prctica de Laboratorio:N 2
Ttulo: Sistemas de ecuaciones lineales.
Lugar de Ejecucin: Laboratorio de Computacin.
Elaborado por: Ing. Mijail Daz Concepcin.
Bibliografia:
Conclusiones:
Desarrollo:
Fundamentos tericos:
Diseo:
Objetivos:
Nombre y apellidos:
Prctica de Laboratorio:N 1
Ttulo: Operaciones con matrices.
Lugar de Ejecucin: Laboratorio de Computacin.
Elaborado por: Ing. Mijail Daz Concepcin.
Y (x,y)
|V|
X
b)
c)
a)
UDABOL
UNIVERSIDAD DE AQUINO BOLIVIA
Acreditada como PLENA Mediante R.M. 288/01
VISIN DE LA UNIVERSIDAD:
Ser la Universidad lder en calidad educativa.
MISION DE LA UNIVERSIDAD
Desarrollar la Educacin Superior Universitaria con Calidad y
competitividad al servicio de la sociedad.
Estimado (a) alumno (a):
La Universidad de Aquino Bolivia te brinda a travs del Syllabus,
la oportunidad de contar con una compilacin de materiales que te
sern de mucha utilidad en el desarrollo de la asignatura.
Consrvalo y aplcalo segn las instrucciones del docente.
PAGE
UNIVERSIDAD DE AQUINO BOLIVIA
1
_1213441380.unknown
_1213442648.unknown
_1213443394.unknown
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