บทที่ 6 การหาผลเฉลยเชิงตัวเลข ...maths.sci.ku.ac.th/angkana/01417268/slide268 06032012.pdf3 Initial Valued Problems ต วอย

1 Initial Valued Problems

บทท 6 การหาผลเฉลยเชงตวเลขของปญหาคาเรมตน

ปญหาคาเรมตน คอ ปญหาวาดวยการแกสมการเชงอนพนธทสอดคลองกบเงอนไขคาเรมตน

ตวอยางเชน

จงแกปญหาคาเรมตน yxy 2 , 5x3 , 13y

เขยนสมการใหมไดเปน yxdx

dy 2 หรอ dxxdyy

1 2

ซงเปนสมการแบบแยกตวแปรได

จะไดวา dxxdyy

1 2

ดงนนผลเฉลยทวไป (ผลเฉลยแมนตรง) คอ

C3

x|y|ln

3

เมอC เปนคาคงทใดๆ

จากเงอนไขคาเรมตน 13y

จะไดวา 9CC3

31ln

3

นนคอจะไดผลเฉลยเฉพาะราย (ผลเฉลยทแทจรง, ผลเฉลยแมน

ตรง) คอ 93

x|y|ln

3


ในบางครงเราไมสามารถค านวณหาผลเฉลยแมนตรง )x(y ได ใชระเบยบวธเชงตวเลขมาชวย ดงนนคาทค านวณไดเปนคาประมาณ ณ จดทก าหนด นนคอคา )x(y i เมอเปนจด ix ทอยในชวงทก าหนด

คาประมาณอนๆระหวางจดทก าหนดสามารถใชการประมาณคาในชวง (จากบทกอนหนา)

การประมาณคาผลเฉลยของปญหาคาเรมตน โจทยปญหาจะตองม “คณสมบตแจมชด (well-posed)”

เงอนไขความแจมชด

ส าหรบปญหาคาเรมตน y,xfy , bxa , ay

สมมต f และ yf (อนพนธยอยอนดบหนงของ f เทยบกบ y ) ตอเนองส าหรบทก b,ax

ดงนนปญหาคาเรมตนมผลเฉลยหนงเดยว xy ส าหรบ b,ax และปญหานเรยกวา ปญหาแจมชด (well-posed problem)


ตวอยาง (Sheet) พจารณาปญหาคาเรมตน

xysinx1y , 2x0 , 00y

ในทน

xysinx1y,xf

xycosxy,xf 2y

ทงคเปนฟงกชนตอเนองส าหรบ 2,0x ดงนน ผลเฉลยจะมเพยงผลเฉลยเดยว และเปนปญหาคาเรมตนแจมชด


แนวทางในการหาผลเฉลย

พจารณาปญหาคาเรมตน y,xfy , bxa , αay

ก าหนด x ทจดตางๆ ทตองการประมาณคา ใหเปน ,x,x,x 210 ให iy เปนคาประมาณของ ixy โดยท iy หาได

โดยระเบยบวธในการประมาณคาซงแบงไดเปน 2 แบบคอ

คาจรง

ระเบยบวธขนเดยว (Single step method)

เปนการหา 1iy โดยใชผลเฉลยทรคาแลวเพยง1จด คอ iy

สตรจะอยในรป h,y,xφhyy iii1i

ระเบยบวธหลายขน (Multi-step method)

เปนการหา 1iy โดยใชผลเฉลยทรคาแลวมากกวา 1 จด ระเบยบวธนมรปแบบของสตรเปน

m

1kkikik

m

0kkik1i h,y,xbhyay

]h,y,xb...)h,y,x(b[h]yayaya[ mimim1i1i1mim1i1i0 โดยท m10 a,,a,a , m10 b,,b,b เปนคาคงตว


ถา 0am หรอ 0bm ระเบยบวธจะม 1m ขน เพราะตองใชขอมล 1m จด (ซงคอ mi1ii y,...,y,y ) ถา 0b 1 จะสามารถหา 1iy จากคาทางดานขวาของสตรไดทนท ระเบยบวธนจะเรยกวา ระเบยบวธโดยชดแจง (explicit) ถา 0b 1 จะมตวไมทราบคา 1iy ปรากฏทงสองดานของสตร ตองท าการยายขางสมการกอนค านวณ ระเบยบวธนจะเรยกวา ระเบยบวธโดยปรยาย (implicit)


ระเบยบวธ Euler

เปนระเบยบวธขนเดยวในการหาตวประมาณของผลเฉลย เมอปญหาอยในรป

y,xfdx

dy , bxa , ay ----(*)

แบงชวง ]b,a[ ออกเปน N ชวงเทาๆกน ดงนนระยะหางระหวางจดคอ

N

abh

และให ax0 และ ihaxi ส าหรบ N,,2,1,0i สมมต xy เปนผลเฉลยของ (*) และมอนพนธอนดบหนงตอเนองบน b,a

กระจายอนกรม Taylor 2 พจนแรกรอบจด ix ของฟงกชน xy

i

2i1i

iii ξy2

xxxyxxxyxy

i2

i1iii1ii1i ξy

2

xxxyxxxyxy

ส าหรบทก 1N,,2,1,0i และบาง 1iii x,x

แทนคา i1i xxh จะไดวา i2

ii1i y2

hxyhxyxy

เนองจาก xy สอดคลองกบสมการเชงอนพนธ y,xfdx

dy

ดงนน i2

iii1i y2

hy,xhfxyxy


ระเบยบวธ Euler สรางตวประมาณ iy ของ ixy ( N,,2,1,0i ) โดยตดพจนอนดบสองซงเปนตวแทนของคาผดพลาดทงไป จะไดสตรการประมาณคาของ Euler คอ

αy0

iii1i y,xhfyy 1N,,2,1,0i

โดยมคาผดพลาดเฉพาะถน (Local error) เปน i2

ξy2

h

ส าหรบบาง 1iii x,xξ

ความหมายเชงเรขาคณตของระเบยบวธ Euler

จากสมมตฐานปญหานเปนปญหาแจมชดจะไดวา

iiiii xy,xfxyy,xf เมอ iy เปนคาประมาณของ ixy

นนคอ คาอนพนธของ y จะเทากบคาของฟงกชน f ทจด ix

y,xfy

αay

1y α

a 1x 2x

y,xfy ay

Slope

,afay

a 1x

1y


ตวอยาง (Sheet) ใชระเบยบวธ Euler ในการประมาณผลเฉลยของปญหาคาเรมตน 1xyy 2 , 2x0 , 5.00y และ 10N

วธท า ในทน 2b,0a,1xyy,xf 2 และ 2.0N

abh

ให 0ax0 และ hxx i1i เมอ 9,,2,1,0i

โดยระเบยบวธ Euler ให 5.0y0 และ

)1xy(hy)y,x(hfyy 2iiiiii1i 9,,2,1,0i

0i , )1xy(hyy 20001 8000.0105.02.05.0

1i , )1xy(hyy 21112 1520.1)1)2.0(8.0(2.08.0 2

2i )1xy(hyy 22223 5504.1)1)4.0(152.1(2.0152.1 2

ผลเฉลยทแทจรงส าหรบปญหาคาเรมตนนกคอ x2e5.01xxy


ตารางเปรยบเทยบระหวางคาประมาณและคาจรงเปนดงน

ix iy ixy ii yxy 0.0 0.5000000 0.5000000 0.0000000 0.2 0.8000000 0.8292986 0.0292986 0.4 1.1520000 1.2140877 0.0620877 0.6 1.5504000 1.6489406 0.0985406 0.8 1.9884800 2.1272295 0.1387495 1.0 2.4581760 2.6408591 0.1826831 1.2 2.9498112 3.1799415 0.2301303 1.4 3.4517734 3.7324000 0.2806266 1.6 3.9501281 4.2834838 0.3333557 1.8 4.4281538 4.8151763 0.3870255 2.0 4.8657845 5.3054720 0.4396874


ระเบยบวธ Euler สรางมาจากพหนาม Taylor ทมพจนคาผดพลาด 2h ดงนน คาผดพลาด ณ แตละขนตอนเรยกวา “คาผดพลาดเฉพาะถน” ซงแปรผนตาม 2h สวนคาผดพลาดโดยรวมของโจทยทงหมด จะเรยกวา “คาผดพลาดในวงกวาง” ซงจะสะสมมาจากคาผดพลาดเฉพาะถน ซงโดยปกตแลวจะเพมเรวมาก

คาขอบเขตของความผดพลาดจากระเบยบวธ Euler ให xy เปนผลเฉลยหนงเดยวของปญหาคาเรมตน

y,xfy , bxa , αay ให n10 y,,y,y เปนคาประมาณโดยระเบยบวธ Euler ถา f ตอเนอง b,ax และ ,y และ ถามคาคงตว L และ M ทท าให Ly,xf

y

และ Mxy

แลวทก N,,2,1,0i จะไดวา 1e

L2

hMyxy

axLii

i


ลกษณะส าคญของผลนคอ คาผดพลาดในวงกวางสมพนธเชงเสนกบ h ซงลดจากก าลงสองในกรณคาผดพลาดเฉพาะถน การลดทอนก าลงลง 1 น เปนตวแบบทวไปของเทคนคคาเรมตน แมจะมการลดทอนอนดบของคาผดพลาดในวงกวางจากสตร จะเหนวา คาผดพลาด เมอ ซงจ าเปนในการลเขา

ตวอยาง พจารณาปญหาคาเรมตนในตวอยางกอนหนา 1xyy 2 , 2x0 , 5.00 y จะเหนวา 1xyy,xf 2 1y,xf

y

,y และเราได 1L

เราทราบวาผลเฉลยทแทจรงคอ x2e5.01xxy

ดงนน xe2

12xy

2e2

1xy 2 2,0x

ใชอสมการนในคาขอบเขตของคาผดพลาดในระเบยบวธ Euler กบ 2.0h , 1L , 2e

2

1M 2 ไดคาขอบเขตความผดพลาดเปน

1e2e2

11.0yxy i

x2ii

เปนฟงกชนเพมหรอลด คาสมบรณดานใดมากกวา


ตารางตอไปน เปนการเปรยบเทยบคาผดพลาดแทจรงในตวอยาง กบคาขอบเขตของความผดพลาดทค านวณได

ix คาผดพลาดแทจรง คาขอบเขตของคาผดพลาด

0.2 0.02930 0.03752 0.4 0.06209 0.08334 0.6 0.09854 0.13931 0.8 0.13875 0.20767 1.0 0.18268 0.29117 1.2 0.23013 0.39315 1.4 0.28063 0.51771 1.6 0.3336 0.66985 1.8 0.38703 0.85568 2.0 0.43969 1.08264

คาผดพลาดในวงกวางของระเบยบวธ Euler จะมองขามคาผดพลาดจากการปดเศษไป เมอ h มขนาดเลกลง การค านวณกจะมากขน ท าใหขอบเขต

ของคาประมาณของคาผดพลาดหาไมได หรอหาไดยาก เมอ 0h แตขอบเขตลางของขนตอนมคานอยมากพอ ท าใหคาผดพลาดจากการปดเศษในการประมาณคาไมแปรเปลยนมากนก


ระเบยบวธ Taylor อนดบ n

เปนระเบยบวธขนเดยว ทปรบปรงการลเขาโดยกระจายพจนของอนกรมใหสงขน สมมต xy เปนผลเฉลยของปญหาคาเรมตน

y,xfy , bxa , αay ทมอนพนธถงอนดบท 1n กระจาย xy โดยพหนาม Taylor ท n รอบจด ix ได

i1n

1n

in

n

i

2

ii1i ξy!1n

hxy

!n

hxy

2

hxyhxyxy

ส าหรบบาง 1iii x,xξ

อนพนธอนดบตางๆเราหาไดจาก xy,xfxy , xy,xfxy , ..., xy,xfxy 1kk แทนคาในการกระจาย Taylor จะได

ii1n

n

ii

2

iii1i xy,xf!n

hxy,xf

2

hxy,xhfxyxy

iin

1n

ξy,ξf!1n

h

ระเบยบวธทสอดคลองกบสมการนหาไดโดยก าจดพจนเศษเหลอทม iξ ปรากฏอย ท าใหได

Error term


ระเบยบวธ Taylor อนดบ n

αy0

iin

i1i y,xhTyy 1N,,2,1,0i เมอ ii

1n1n

iiiiiin y,xf

!n

hy,xf

2

hy,xfy,xT

คาผดพลาดเฉพาะถนคอ

1n

i1n hξy

!1n

1

ส าหรบบาง

1iii x,xξ แมวาสตร nT จะหางาย แตใชยาก เนองจากเราจะตองหา

อนพนธของ f เทยบกบ x

dx

dyxy,xf

yxy,xf

xxy,xf

xy,xfy

xy,xfxy,xfx

อนพนธอนดบอนๆมความซบซอนมากขน เชน xy,xf เกยวของกบอนพนธยอยของทกพจนเทยบกบ x และ y


ตวอยาง (Sheet) จงใชระเบยบวธ Taylor อนดบ 2 และอนดบ 4 แกปญหาคาเรมตน

1xyy 2 , 2x0 , 5.00y

วธท า เนองจากตองการใชเทยเลอรอนดบ 4 ดงนนจงตองหาอนพนธของ f ถงอนดบ 3

จาก 1xyy,xf 2

x21xyx2)1xy(x2y1xydx

dy,xf 222

1x2xy2x2yx21xydx

dy,xf 22

1x2xy2x2y1x2xydx

dy,xf 22

จะได iiiiii2 y,xf

2

hy,xfy,xT

i2

ii2ii x21xy

2

h1xy i

2ii hx1xy

2

h1

ii

2

iiiiii3 y,xf

6

hy,xf

2

hy,xfy,xT

i2

ii

2

i2ii

2ii x21xy

6

hx21xy

2

h1xy

6

h

2

h1hx

3

h1xy

6

h

2

h1

2

i2ii

2


ii

3

ii

2

iiiiii4 y,xf

24

hy,xf

6

hy,xf

2

hy,xfy,xT

24

h

6

h

2

h1hx

12

h

3

h1xy

24

h

6

h

2

h1

32

i

22ii

32

สตรเทยเลอรอนดบ2 คอ

5.0y0

i

2iii1i hx1xy

2

h1hyy


5.0y0

6

h

2

h1hx

3

h1xy

6

h

2

h1hyy

2

i2ii

2

i1i


5.0y0

24

h

6

h

2

h1hx

12

h

3

h1xy

24

h

6

h

2

h1hyy

32

i

22ii

32

i1i

ส าหรบ 1N,,2,1,0i


สมมตวาให 2.0h , 10N

ดงนน i2.00hixx 0i ( 10,,3,2,1i )

จากระเบยบวธเทยเลอรอนดบสอง จะไดวา

ส าหรบ 0i ;

0

20001 hx1xy

2

h1hyy

83.00105.01.012.05.0 ส าหรบ 1i , 2.0x1

1

21112 hx1xy

2

h1hyy

2158.12.02.012.083.01.012.083.02

ท าเชนนไปเรอยๆจะไดคา 1043 y,...,y,y ตามตองการ

ในท านองเดยวกน ระเบยบวธเทยเลอรอนดบ 4 จะได

ส าหรบ 0i

24

h

6

h

2

h1hx

12

h

3

h1xy

24

h

6

h

2

h1hyy

32

0

2200

32

01

8293.0

24

2.0

6

2.0

2

2.0102.0

12

2.0

3

2.01

05.024

2.0

6

2.0

2

2.012.05.0

322

232


ส าหรบ 1i , 2.0x1

24

h

6

h

2

h1hx

12

h

3

h1xy

24

h

6

h

2

h1hyy

32

1

2211

32

12

21409102.1

24

2.0

6

2.0

2

2.012.02.0

12

2.0

3

2.01

2.08293.024

2.0

6

2.0

2

2.012.08293.0

322

232

ท าเชนนไปเรอยๆจะไดคา 1043 y,...,y,y ตามตองการ

สรปการหาผลเฉลยจากระเบยบวธเทยเลอรอนดบ 2 และอนดบ 4 พรอมคาผดพลาดไดดงตาราง

Taylor order 2 Error Taylor order 4 Error Exact

ix iy ii yxy iy ii yxy ixy

0.00 0.5000000 0.0000000 0.5000000 0.0000000 0.5000000 0.20 0.8300000 0.0007014 0.8293000 0.0000014 0.8292986 0.40 1.2158000 0.0017123 1.2140910 0.0000033 1.2140877 0.60 1.6520760 0.0031354 1.6489468 0.0000062 1.6489406 0.80 2.1323327 0.0051032 2.1272396 0.0000101 2.1272295 1.00 2.6486459 0.0077868 2.6408744 0.0000153 2.6408591 1.20 3.1913480 0.0114065 3.1799640 0.0000225 3.1799415 1.40 3.7486446 0.0162446 3.7324321 0.0000321 3.7324000 1.60 4.3061464 0.0226626 4.2835285 0.0000447 4.2834838 1.80 4.8462986 0.0311223 4.8152377 0.0000614 4.8151763 2.00 5.3476843 0.0422123 5.3055554 0.0000834 5.3054720


ตวอยาง ก าหนดปญหาคาเรมตน

2

2y

x

y

x

1y , 2x1 , 11y

จงหาสตรในการประมาณคาดวยระเบยบวธ Euler และระเบยบวธเทยเลอรอนดบ 2 วธท า ในทน 2

2y

x

y

x

1)y,x(f ดงนน y2

x

1fy

จะไดวา f และ yf เปนฟงกชนตอเนองเมอ 2x1 ดงนนปญหาเปนปญหาแจมชด (Well-posed) สตร Euler คอ

1)x(yy 00

2i

i

i2i

iiii1i yx

y

x

1hy)y,x(hfyy

ตองการหาสตรเทยเลอรอนดบ 2 ดงนนตองหาอนพนธอนดบ1 ของ )y,x(f เทยบกบตวแปร x

32

3

2

22

2

23

2323

y2x

y3

x

3

yx

y

x

1y2

x

yy

x

y

x

1

x

1

x

2

yy2x

y

x

y

x

2yy2

x

yyx

x

2)y,x(f


ดงนน

3

2

3

2

2

)2( y2x

y3

x

3hy

x

y

x

1)y,x(fh)y,x(f)y,x(T

จะไดสตรเทเลอรอนดบ2 คอ

1)x(yy 00

)y,x(hTyy ii

)2(i1i

3

ii

2i

3i

2i

i

i2i

i y2x

y3

x

3hy

x

y

x

1hy

สงเกตวาถาตองการหาสตรเทยเลอรอนดบสงจะตองหาอนพนธ )y,x(f ซงมความยงยากมากจงเปนขอเสยอยางหนงของระเบยบวธเทยเลอร

บทที่ 6 การหาผลเฉลยเชิงตัวเลข ...maths.sci.ku.ac.th/angkana/01417268/slide268 06032012.pdf3 Initial Valued Problems ต วอย

Documents