3 อนุพันธ์ 3.1 นิยามของอนุพันธ์ นิยาม 3.1 ให้ a อยู ่ในโดเมนของฟังก์ชัน f ถ้า a x a f x f a x ) ( lim หรือ h a f h a f h ) ( lim 0 หาค่าได้ เราเรียกลิมิตนี้ว่า อนุพันธ์ของ f ที่ a และเขียนแทนด้วย a f หมายเหตุ a f คือความชันของกราฟ f ที่จุด a f a, นิยาม 3.2 ให้ f เป็นฟังก์ชันของตัวแปร x ที่นิยามบนช ่วงเปิ ด เรากล่าวว่าอนุพันธ์ของ ฟังก์ชัน f ที่ x เขียนแทนด้วย x f นิยามโดย h x f h x f x f h ) ( lim 0 ถ้าลิมิตหาค่าได้ นิยาม 3.3 อนุพันธ์ทางซ้ายของฟังก์ชัน f ที่ x เขียนแทนด้วย x f หมายถึง h x f h x f x f h 0 lim เมื่อลิมิตหาค ่าได้อนุพันธ์ทางขวาของฟังก์ชัน f ที่ x เขียนแทนด้วย x f หมายถึง h x f h x f x f h 0 lim เมื่อลิมิตหาค ่าได้ ตัวอย่าง 3.1 จงหาค่า โดยใช้นิยาม เมื่อ ก.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
3 อนพนธ 3.1 นยามของอนพนธ
นยาม 3.1 ให a อยในโดเมนของฟงกชน f ถา
ax
afxf
ax
)(lim หรอ
h
afhaf
h
)(lim
0
หาคาได
เราเรยกลมตนวา อนพนธของ f ท a และเขยนแทนดวย af
หมายเหต af คอความชนของกราฟ f ทจด afa,
นยาม 3.2 ให f เปนฟงกชนของตวแปร x ทนยามบนชวงเปด เรากลาววาอนพนธของฟงกชน f ท x เขยนแทนดวย xf นยามโดย
h
xfhxfxf
h
)(lim
0
ถาลมตหาคาได
นยาม 3.3 อนพนธทางซายของฟงกชน f ท x เขยนแทนดวย xf หมายถง
h
xfhxfxf
h
0lim เมอลมตหาคาไดอนพนธทางขวาของฟงกชน f ท
x เขยนแทนดวย xf หมายถง
h
xfhxfxf
h
0lim เมอลมตหาคาได
ตวอยาง 3.1 จงหาคา โดยใชนยาม เมอ ก.
ข.
ค.
ตวอยาง 3.2 จงหาคา 2f เมอ xxxf 22
ตวอยาง 3.3 ก าหนดให
จงหา
และ
1. อนพนธของฟงกชน )(xfy เขยนแทนดวย
)(xfy หรอ )(xfdx
d
dx
dy
2. คาของอนพนธของฟงกชน )(xfy ท ax จะเขยนแทนดวย
af หรอ axdx
dy
นนคอ
h
afhafaf
h
)(lim
0
หรออาจเขยนไดอกรปแบบหนง
ax
afxfaf
ax
lim
ทฤษฎบท 3.1 ถา f เปนฟงกชนทมอนพนธท 0xx แลว f จะตอเนองท 0xx
1. ฟงกชนชดเจน (explicit function) คอฟงกชนทเขยนอยในรป xfy ตวแปรตาม y กบตวแปรตน x สามารถแยกกนอยางชดเจนเชน xxey x 22 21
2. ฟงกชนแบบแฝง (implicit function) คอฟงกชนทเขยนอยในรป 0, yxf ตวแปรตาม y ไมสามารถแยกกนกบตวแปรตน x ได เชน 035423 22 yxyxyx ,
2xyxe
การหาอนพนธของฟงกชนแบบแฝงอาจท าไดโดยการจดรปฟงกชนแบบแฝงเสยใหมใหอยในรปฟงกชนชดเจน คอหา y ในเทอมของ x จะสรางความยงยากมาก เราสามารถเลยงดวยการหาอนพนธของฟงกชนแบบแฝง โดยหาอนพนธทงสองขางของสมการ 0, yxf เทยบกบ x จากนน จดสมการทไดใหม
ตวอยาง 3.12 จงหา dx
dy ของ
1. yxyx 2ln
2. 0ln2 xy yeyxxe
3. yx
ee yx1111
ตวอยาง 3.13 จงหา y เมอ xyxy ln
3.7 อนพนธและสมการองตวแปรเสรม
ความสมพนธระหวางตวแปร x และ y อาจนยามดวยตวแปรเดยวกน t อยในรป )(tfx , )(tgy โดยท gf DD เรยกสมการทงสองนวา เปนสมการองตวแปรเสรม เรยก t วา “ตวแปร