Page 1
01417268:1st 2014 chapterIV:PartI
Page 1
บทท 4 การประมาณคาในชวง (Interpolation)
มขอมลตวเลขมาชดหนง (อาจมาจากการวดหรอการทดลอง) ตองการทราบคาอนทไมไดท าการวดในชวงทวดขางตน
วดคาแรงดนของ Steam plant ทอณหภมตางๆไดขอมลดงตาราง
Temperature )C( 140 150 160 170
Pressure )cm/kgf( 2 3.685 4.854 6.302 8.076
ตองการหาคาความดนของ Steam plant ทอณหภม C142
แนวคด : สรางฟงกชน (พหนาม) แทนชดขอมลขางตน
เรยกวธในการประมาณคานวา การประมาณคาในชวง (Interpolation) ถาจ านวนขอมลทวดไดมมากพอจะท าใหการประมาณฟงกชนพหนามใกลเคยงกบพฤตกรรมของฟงกชนจรงทเปนตวแทนของขอมล และท าใหการประมาณคาขอมลคาอนทไมไดท าการวดมคาใกลเคยงกบคาทควรจะเกดขนจรงๆ
ทฤษฎบท การประมาณของ Weierstrass ถา f เปนฟงกชนตอเนองบน ba, และให 0 แลว จะมพหนาม )(xP ทนยามบน ba, ทมคณสมบตวา
xPxf ส าหรบทก bax ,
Page 2
01417268:1st 2014 chapterIV:PartI
Page 2
1. การประมาณคาดวยพหนามเทยเลอร และพหนามแมคคลอรน
พหนามเทยเลอร และพหนามแมคคลอรน เปนพหนามทใชประมาณคาในบรเวณใกลๆ กบจดใดจดหนงททราบคาแนนอน ยงถาคาทตองประมาณนนใกลกบจดททราบคาจะท าใหคาทประมาณแมนย าขน
แตถาคาทตองการประมาณอยหางจากจดดงกลาว กจะท าใหความคลาดเคลอนของการประมาณเกดขนไดมาก
ตวอยาง ก าหนดให xexf และให xPi เปนพหนามเทยเลอร i พจนแรก โดยประมาณรอบจด 00 x จะได
คาพหนามเทยเลอร ณ จดตางๆของ x เปนไปดงตาราง
x xexf xP0 xP1 xP2 xP3 xP4 xP5
-2.0 0.13533528 1.00000000 -1.00000000 1.00000000 -0.33333333 0.33333333 0.06666667
-1.5 0.22313016 1.00000000 -0.50000000 0.62500000 0.06250000 0.27343750 0.21015625
-1.0 0.36787944 1.00000000 0.00000000 0.50000000 0.33333333 0.37500000 0.36666667
-0.5 0.60653066 1.00000000 0.50000000 0.62500000 0.60416667 0.60677083 0.60651042
0.0 1.00000000 1.00000000 1.00000000 1.00000000 1.00000000 1.00000000 1.00000000
0.5 1.64872127 1.00000000 1.50000000 1.62500000 1.64583333 1.64843750 1.64869792
1.0 2.71828183 1.00000000 2.00000000 2.50000000 2.66666667 2.70833333 2.71666667
1.5 4.48168907 1.00000000 2.50000000 3.62500000 4.18750000 4.39843750 4.46171875
2.0 7.38905610 1.00000000 3.00000000 5.00000000 6.33333333 7.00000000 7.26666667
สงเกตวาคาประมาณจะดขนเมอใชพหนามดกรสงขน
Page 3
01417268:1st 2014 chapterIV:PartI
Page 3
พหนาม xP1 ผาน
จดทก าหนดหรอไม
ตวอยาง พจารณาฟงกชน x
xf1
ตองการประมาณคาฟงกชนดวยอนกรมเทยเลอรรอบจด 10 x และหา
คาประมาณของ )3(f
วธท า ส าหรบอนกรมเทยเลอรของ x
xf1
รอบจด 10 x
เขยนไดในรปพหนามดกร n คอ
จะไดคาของ )3(3 fPn เปนไปตามตาราง
n 0 1 2 3 4 5 6 7
3nP 1 -1 3 -5 11 -21 43 -85
คาทไดนนแทนทจะเปน 3
13 f แตคาประมาณกลบลออก แมวาจะใชอนกรมทดกรสงๆ
ทงนเพราะเราใชอนกรมเทยเลอรจะใหคาประมาณจะแมนย าเมอประมาณคาทใกลกบจด 0x ในการประมาณคาทวไปจงไมเหมาะ และเราจะใชระเบยบวธทอาศยขอมลจากหลายจด ซงจะใหประสทธภาพสงกวา
2.การประมาณคาดวยพหนามลากรองจ (Lagrange Polynomial)
เมอทราบจดขอมล 2 จดคอ ))(,( 00 xfx และ ))(,( 11 xfx ตองการหาพหนามดกรหนง xP1 (ซงเปนเสนตรง) ทผานทงสองจด
จะไดสมการเสนตรงทผานจดทงสองคอ
)()( 101
00
10
11 xf
xx
xxxf
xx
xxxP
Page 4
01417268:1st 2014 chapterIV:PartI
Page 4
ถาก าหนดให
10
10,1 xx
xxxL
และ
01
11,1 xx
xxxL
จะไดวา
)()()()( 1,100,11 xfxLxfxLxP
ถาทราบขอมลเรมตน 3 จดคอ ))(,()),(,( 1100 xfxxfx และ ))(,( 22 xfx แลวจะสรางพหนามดกร 2 ทผานทงสามจดไดคอ
1
2101
20
0
2010
21
))(())((
))(())((
2 xfxxxxxxxx
xfxxxxxxxx
xP
2
1202
10
))(())((xf
xxxxxxxx
ถาก าหนดให ))((
))((,))((
))((
2101
201,2
2010
210,2 xxxx
xxxxxL
xxxx
xxxxxL
และ
))((
))((
1202
102,2 xxxx
xxxxxL
จะไดวา
)()()()()()( 22,211,200,22 xfxLxfxLxfxLxP
ท านองเดยวกนเมอทราบขอมล 1n จดจะสามารถสรางพหนามดกรn ไดดงน : นยาม xL kn,
ส าหรบทก nk ,,2,1,0 โดย
)())(())((
)())(())((
1110
1110,
nkkkkkkk
nkkkn xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxL
นยาม พหนามลากรองจ (Lagrange Polynomial) อนดบ n คอ
xLxfxLxfxP nnnnn ,0,0 )()(
ถา nxxx ,,, 10 เปน 1n คาทแตกตางกนและ )(xf เปนฟงกชนททราบคา ณ จดเหลาน แลว xPn เปนพหนามทใหคาเหมอน )(xf ณ จด nxxx ,,, 10 โดยทวไปแลว มกจะเขยน xLk แทน xL kn,
เมอทราบ n ชดเจน
Page 5
01417268:1st 2014 chapterIV:PartI
Page 5
ตวอยาง ก าหนดชดขอมลดงตาราง
x 0x 2 1x 2.5 2x 4
f(x) 0.5 0.4 0.25
จงหาพหนามดกร 2 ทใชประมาณคาในชวงของชดขอมลขางตนพรอมทงหาคาประมาณของ )3(f
วธท า เนองจากชดขอมลมทงหมด 3 จดดงนนสามารถสรางพหนามลากรองจไดสงสดดกร 2
เราจะหาพหนามลากรองจไดสงสดอนดบ 2 ซงเราจะตองหา 210 ,, LLL โดย
105.6
425.22
45.2 2
2010
210
xx
xx
xxxx
xxxxxL
3
32244
45.225.2
42 2
2101
201
xxxx
xxxx
xxxxxL
3
55.4
5.2424
5.22 2
1202
102
xxxx
xxxx
xxxxxL
ดงนน )()()()()()()()( 22211100
2
02 xfxLxfxfxLxfxLxfxLxfxP
kkk
3
55.425.0
3
322444.0105.65.0
222 xxxx
xx
15.1425.005.0 2 xx และจะไดวา 325.0)3(3 2 Pf #
ขอสงเกต ชดขอมลจากตวอยางไดจากฟงกชน x
xf1
ดงนนคาจรงของ )3(f คอ 3333.03
13 f และ
จะไดคาคลาดเคลอนคอ 0083.03)3( 2 Pf
เปรยบเทยบกบอนกรมเทยเลอรรอบจด 0x แลวจะเหนวาพหนามลากรองจมพจนเศษเหลอคลายพหนามเทย
เลอรท n รอบจด 0x นนคอ
!1
10
1
n
xxf nn เมอ ),( 0xx แตพหนามลากรองจอนดบ n ใชขอมล
จากจดทตางกน nxxx ,,, 10 นอกนน รปแบบของสตรความคลาดเคลอนจะเหมอนกนพหนามเทยเลอร
สตรคาผดพลาดของพหนามลากรองจ
n
n
n xxxxxxn
fxPxf
10
1
!1
เมอ อยระหวาง x กบ nxxx ,,, 10
Page 6
01417268:1st 2014 chapterIV:PartI
Page 6
3.ผลตางสบเนอง (Divided Difference)
ผลตางสบเนองทศนยของฟงกชน )(xf เทยบกบ ix คอ
ii xfxf
ผลตางสบเนองทเหลอจะถกนยามโดยความสมพนธเวยนบงเกด (Recursive) ผลตางสบเนองทหนงของ )(xf
เทยบกบ ix และ 1ix คอ
ii
iiii xx
xfxfxxf
1
11,
ผลตางสบเนองท k เทยบกบ kiii xxx
,,, 1 คอ
iki
kiikiikiii xx
xxfxxfxxxf
111
,,,,,,,
ถาทราบขอมล 1n จดจะสรางพหนามอนดบ n โดยใชผลตางสบเนองโดยให
102100100 ,,, xxxxxxxfxxxxfxfxPn 11010 ,,,
nn xxxxxxxxxf
n
kkk xxxxxxxxxfxf
1110100 ,,,
Page 7
01417268:1st 2014 chapterIV:PartI
Page 7
สรปสตรการหาผลตางสบเนองจากชดขอมลไดดงตารางตอไปน
x )(xf 1stdivided difference 2nddivided difference
0x 0xf
01
0110
xx
xfxfx,xf
1x 1xf
02
1021210
xx
x,xfx,xfx,x,xf
12
1221
xx
xfxfx,xf
2x 2xf
13
2132321
xx
x,xfx,xfx,x,xf
23
2332
xx
xfxfx,xf
3x 3xf
24
3243432
xx
x,xfx,xfx,x,xf
34
3443
xx
xfxfx,xf
4x 4xf
35
4354543
xx
x,xfx,xfx,x,xf
45
4554
xx
xfxfx,xf
5x 5xf
Page 8
01417268:1st 2014 chapterIV:PartI
Page 8
ตวอยาง ก าหนดคาของฟงกชน ณ หลายจด และตารางผลตางสบเนอง
i ix ixf i1i x,xf i1i2i x,x,xf
i3i x,,xf i4i x,,xf
0 1.0 0.7651977
-0.4837057
1 1.3 0.6200860 -0.1087339
-0.5489460
0.0658784
2 1.6 0.4554022 -0.0494433 0.0018251
-0.5786120
0.0680685
3 1.9 0.2818186 0.0118183
-0.5715210
4 2.2 0.1103623
สงเกตวาสมประสทธของพหนามทใชในการประมาณคาในชวงคอ
n2103210210100 x,...,x,x,xf,...,x,x,x,xf,x,x,xf,x,xf,xf ซงคอแนวทแยงมมบนของตารางผลตางสบเนอง (ขางหนา)
ดงนน 3.111087339.014837057.07651977.04 xxxxP
9.16.13.110018251.06.13.110658784.0 xxxxxxx
จะได 5118200.05.14 P
Page 9
01417268:1st 2014 chapterIV:PartI
Page 9
ตวอยาง ก าหนดคาของชดขอมลดงน x 1 5 7 10 12
f(x) 0.6931 1.7918 2.0794 2.3979 2.5649 จงสรางตารางผลตางสบเนองพรอมทงหาคาประมาณของ f(2)
x ixf i1i x,xf i1i2i x,x,xf
i3i x,,xf i4i x,,xf
1 0.6931
5 1.7918
7 2.0794
10 2.3979
12 2.5649
Page 10
01417268:1st 2014 chapterIV:PartI
Page 10
ถาก าหนดให nxxx ,,, 10 หางเทาๆกน รปแบบของสตรผลตางสบเนองในการประมาณคาในชวงของ Newton จะลดรปลงดงน
ให ii xxh 1 ส าหรบทก ni ,,2,1,0 และ )0( 0
0
h
xxsshxx
ดงนน ,)1()()( 0010 hshxxhxxxxshxx
hisxx
hshhshxxhxxxx
i )(
,)2()1()()( 112
สตรจะกลายเปน 102100100 ,,, xxxxxxxfxxxxfxfxPn
11010 ,,,
nn xxxxxxxxxf
hsshxxxfshxxfxf )1(,,, 210100
hnshsshxxxf n )1()1(,,, 10
2102
100 ,,)1(, xxxfhssxxfshxf nn xxxfhnssss ,,,121 10
n
kk
k xxxfhksssxf1
100 ,,,11][
n
kk
kn xxxfhksssxfxP
1100 ,,,11][)(
Page 11
01417268:1st 2014 chapterIV:PartI
Page 11
สตรผลตางสบเนองขางหนาของ Newton
ก าหนดสญลกษณของผลตางสบเนองขางหนาของล าดบ 0nnP ใดๆจะได
n1nn PPP ส าหรบทก 0n
และนยามผลตางสบเนองขางหนาอนดบสงๆ โดย
n1k
nk P)(P ส าหรบทก 2k
ดงนน
001
0110 xf
xx
xfxfx,xf
h
1
01
02
1021210 xfxf
xx
]x,x[f]x,x[fx,x,xf
h
1
h
1
h2
1 0
2 xf2
h2
1
03
2103213210
xx
x,x,xfx,x,xfx,x,x,xf
03
301 xf
xfxf
h6
1
h2h3
12
22
0k
kk10 xfh!k
1x,,x,xf
จาก !k
)1ks()1s(s
k
s
ดงนน )1ks()1s(sk
s!k
จะไดสตรผลตางสบเนองขางหนาของ Newton อกแบบหนงคอ
n
1kk10
k0n x,,x,xfh1ks1ss]x[f)x(P
n
0k0
kn
1k0
k
k
k0 xf
k
s)x(f
h!k
1h
k
s!k]x[f
นนคอ
n
0k0
kn xf
k
s)x(P
Page 12
01417268:1st 2014 chapterIV:PartI
Page 12
ตารางแสดงวธการหาคา fk
จากสตร
n
0k0
kn xf
k
s)x(P จะเหนไดวาสมประสทธหนา
k
sของสตรคอ 0
k xf ซงคอ
สมาชกในแถวทแยงมมบนของตารางขางตน
x ixf f f2 f3 f4
0x
)x(f 0
)x(f)x(ff010
1x )x(f 1 010
2fff
)x(f)x(ff 121 0
21
20
3fff
2x
)x(f 2
1212
fff
0
31
30
4fff
)x(f)x(ff 232
1
22
21
3fff
3x
)x(f 3
232
2fff
)x(f)x(ff 343
4x
)x(f 4
Page 13
01417268:1st 2014 chapterIV:PartI
Page 13
ตวอยาง ก าหนดชดขอมลดงตาราง
x 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 f(x) 1.020067 1.185465 1.543081 2.150899 3.107473
จงสรางตาราง fk พรอมทงหาคาประมาณของ )4.0(f
x ixf f f2 f3 f4
0.2 1.020067
0.6 1.185465
1.0 1.543081
1.4 2.150899
1.8 3.107473
Page 14
01417268:1st 2014 chapterIV:PartI
Page 14
สตรผลตางสบเนองยอนหลงของ Newton
เมอสลบจดเปน 01nn x,,x,x
จะไดสตรการประมาณคาในชวงเปน
1nnn1n2nnn1nnn xxxxx,x,xfxxx,xfxfxP
11nnn10 xxxxxxx,,x,xf
เมอใชระยะหางเทากนคอ i1i xxh โดยท )0h
xxs(shxx n
n
,
ดงนน hinsxxhinsxx ii
จะไดวา h)1s(shx,x,xfshx,xfxfxP n1n2nn1nnn
h)1ns(h)1s(shx,,x,xf n10
n1n2n2
n1nn x,x,xfh1ssx,xshfxf
n10n x,,x,xfh1ns1ss
n1nkn
n
1k
knn x,x,...,xfh)1ks()1s(sxf)x(P
เรยกสตรนเรยกวา “สตรผลตางสบเนองยอนหลงของ Newton”
ซงจะใชเมอตองการประมาณคาทอยทายตาราง
S จะมคานอยกวา 0
Page 15
01417268:1st 2014 chapterIV:PartI
Page 15
ให 0nnP เปนล าดบใดๆ นยามผลตางสบเนองยอนหลงโดย
1nnn PPP ส าหรบทก 1n
และนยามผลตางสบเนองยอนหลงอนดบสงๆ โดย
)P(P n1k
nk ส าหรบทก 2k
ท านองเดยวกบผลตางสบเนองขางหนาจะไดวา
nn1n xfh
1x,xf ,
n2
2n1n2n xfh2
1x,x,xf
n
k
kn1nkn xfh!k
1x,x,xf
เมอ 0s จะไดวา !k
1ks1ss1
!k
1ks1ss
k
s k
ดงนน )1ks()1s(sk
s!k)1( k
จะไดสตรผลตางสบเนองยอนหลงคอ
n1nkn
n
jk
knn x,x,...,xfh)1ks()1s(sxf)x(P
n
k
k
n
1k
kkn xf
h!k
1h
k
s!k)1(xf
nk
n
1k
kn xf
k
s)1(xf
ซงจะได “สตรผลตางสบเนองยอนหลงของ Newton” อกรปแบบหนงคอ
n
0kn
kkn xf
k
s1xP
Page 16
01417268:1st 2014 chapterIV:PartI
Page 16
ตวอยาง (Sheet) พจารณาตารางของขอมลในตวอยางกอนหนา
เมอตองการประมาณคาของ 1.1f ควรจะเลอกใชสตรผลตางสบเนองขางหนา เพราะจด 1.1x อยใกลกบจดขอมลสวนบนของตาราง ซงจะใชคาตามลกศรเขยวในตาราง
ใชผลตางสบเนองอนดบท 4 พรอมดวย
3.0h , 3
1
3.0
11.1
h
xxs 0
i ix ixf i1i x,xf i1i2i x,x,xf i3i x,,xf i4i x,,xf
0 1.0 0.7651977
-0.4837057
1 1.3 0.6200860 -0.1087339
-0.5489460 0.0658784
2 1.6 0.4554022 -0.0494433 0.0018251
-0.5786120 0.0680685
3 1.9 0.2818186 0.0118183
-0.5715210
4 2.2 0.1103623
จะไดวา
3.0
3
10.1P1.1P)1.1(f 44
1087339.03.03
2
3
14837057.03.0
3
17651977.0
2
7196480.00018251.03.03
8
3
5
3
2
3
10658784.03.0
3
5
3
2
3
1 43
ถาตองการประมาณคาเมอ x ใกลจดปลายของตาราง เชน 0.2x จะใชสตรผลตางสบเนองยอนหลงของ Newton และใชขอมลตามลกศรสแดง
ใชผลตางสบเนองอนดบท 4 พรอมดวย
3.0h , 3
2
3.0
2.0
3.0
2.20.2
h
xxs 4
Page 17
01417268:1st 2014 chapterIV:PartI
Page 17
จะได
3.0
3
22.2P0.2P 44
0118183.03.0
3
1
3
25715210.03.0
3
21103623.0
2
0018251.03.03
7
3
4
3
1
3
20680685.03.0
3
4
3
1
3
2 43
2238754.0
ขอสงเกต
สตรของนวตนนนจะไมเหมาะกบการประมาณคา x ทอยในชวงกลางของตารางเพราะการใชระเบยบวธขางหนาหรอยอนหลง โดยมผลตางสบเนองอนดบสงๆจะไมท าให 0x อยใกล x
อาจจะเลอกสตรของผลตางสบเนองอนแทนเชน ผลตางสบเนองศนยกลาง (Central difference formula)
Page 18
01417268:1st 2014 chapterIV:PartI
Page 18
การประมาณคาในชวงของ Hermite
ก าหนดคาของ )x(f ทจดขอมล n0 x,,x พรอมทงคาของ )x(f ทจดขอมลเหลานน
สรางตารางผลตางสบเนองโดยใชจดขอมลซ ากนสองครง
จะไดพหนามดกร 1n2 ซงเรยกวา พหนาม Hermite
สตรคาผดพลาดของพหนาม Hermite
ถา b,aCf 2n2 แลว
2n2
0
2n2
1n2 xxxx!2n2
xfxHxf
เมอ b,ax
วธการสรางพหนาม Hermite โดยใชผลตางสบเนอง
สมมตวามชดขอมลเรมตน 1n จดแตกตางกนคอ n0 x,,x พรอมกบคาของ )x(f และ )x(f ทจดดงกลาว
นยามล าดบ 1n2
0kkz
โดย i1i2i2 xzz n,,1,0i
สรางตารางผลตางสบเนองของ 1n210 z,,z,z เนองจาก i1i2i2 xzz ส าหรบทกคา i
ดงนน 1i2i2 z,zf หาไมไดจากสตร
i21i2
i21i21i2i2
zz
zfzfz,zf
ใชทฤษฎบท
ถา b,aCf n และ b,ax,,x n0 แลว ม b,ax ทวา
!n
fx,x,xf
n
n10
เมอใชทฤษฎบทกบจดสองจด จะไดวาจะม , ท f,f
จะไดวา
f,flim นนคอ f,f
ดงนน iii1i2i2 xfx,xfz,zf
Page 19
01417268:1st 2014 chapterIV:PartI
Page 19
นนคอใชขอมล n10 xf,,xf,xf แทนทต าแหนง 1n2n23210 z,zf,,z,zf,z,zf และหาผลตางสบเนองโดยวธเดม
จะไดสตรผลตางสบเนองของพหนาม Hermite คอ
1n2
1k1k0k1001n2 zxzxz,,z,zfzfxH
เมอ k1k2k2 xzz และ k1k2k2 xfz,zf ส าหรบทก n,,2,1k สรปวธการดงตาราง
z f [z] 1st D Diff. 2nd D Diff.
z0= x0 00 xfzf
010 xfz,zf
z1= x0 01 xfzf
02
1021210
zz
z,zfz,zfz,z,zf
12
1221
zz
zfzfz,zf
z2= x1 12 xfzf
13
2132321
zz
z,zfz,zfz,z,zf
132 xfz,zf
z3= x1 13 xfzf
24
3243432
zz
z,zfz,zfz,z,zf
34
3443
zz
zfzfz,zf
z4= x2 24 xfzf
35
4354543
zz
z,zfz,zfz,z,zf
254 xfz,zf
z5= x2 25 xfzf
Page 20
01417268:1st 2014 chapterIV:PartI
Page 20
ตวอยาง (Sheet) ก าหนดชดขอมลดงตาราง
x xf xf 1.3 0.6200860 -0.5220232
1.6 0.4554022 -0.5698959
1.9 0.2818186 -0.5811571
จงสรางตารางผลตางสบเนองเพอใชพหนาม Hermite ประมาณคาของ 5.1f
z f [z] 1st D Diff. 2nd D Diff. 3rd D Diff. 4th D Diff. 5th D Diff.
1.3 0.6200860
-0.5220232
1.3 0.6200860 -0.08977427
-0.5489460 0.0663657
1.6 0.4554022 -0.0698330 0.0026663
-0.5698959 0.0679655 -0.0027738
1.6 0.4554022 -0.0290537 0.0010020
-0.5786120 0.0685667
1.9 0.2818186 -0.0084837
-0.5811571
1.9 0.2818186
จาก
1n2
1k1k0k1001n2 zxzxz,,z,zfzfxH
จะไดคาประมาณทจด 5.1x คอ
0897427.03.15.15220232.03.15.16200860.05.1H2
5
0026663.06.15.13.15.10663657.06.15.13.15.1222
5118277.00027738.09.15.16.15.13.15.122