การประมาณพื้นที่ Gaussian และ ...maths.sci.ku.ac.th/angkana/01417268/chapterv_gaussian...ดง น นในการอ นท เกรต

1 การประมาณพืน้ที่ Gaussian และอนุพนัธ์เชิงตัวเลข

การประมาณค่าอินทิกรัลจ ากัดเขตและการหาอนุพนัธ์เชิงตัวเลข

การประมาณพืน้ที่ Gaussian

พิจารณาการหาพ้ืนท่ีโดยกฎส่ีเหล่ียมคางหมู ดงัรูป

แนวคดิของการประมาณพืน้ที่ Gaussian

การประมาณพ้ืนท่ี Gaussian แทนท่ีจะเลือกจุดปลาย หรือจุดท่ีห่างเท่าๆกนั ในช่วง b,a แต่กลบัเลอืกจุดใดๆที่เหมาะสมที่สุด n21 x,,x,x ในช่วง b,a และสมัประสิทธ์ิ n21 c,,c,c ท่ีท าใหค้่าผิดพลาดจากการประมาณ

n

1iii

b

axfcdxxf

มค่ีาต า่สุด

y

x o a b 1x

2x

y

x o a b 1x

2x

y

x o a b 1x

2x

y

x o 1xa bx 2

y

x o 1xa bx 2

y

x o 1xa bx 2

ค่าคลาดเคลื่อน

ต้องการหา

2 การประมาณพืน้ที่ Gaussian และอนุพนัธ์เชิงตัวเลข

ตวัอย่าง (Sheet) จงหาค่า 1c , 2c , 1x และ 2x ท่ีท าให ้

2211

1

1xfcxfcdxxf -------- (*)

ใหผ้ลลพัธ์แม่นตรงเม่ือ xf เป็นพหุนามดีกรีนอ้ยกวา่หรือเท่ากบั 3

วธีิท า สมมติให ้ 33

2210 xaxaxaaxf ส าหรับค่าคงตวั 210 a,a,a และ 3a

จะไดว้า่

dxxadxxaxdxadx1adx)xaxaxaa( 33

2210

33

2210

ซ่ึงฟังก์ชนัท่ีเป็นผลเฉลยแม่นตรงของ (*) มีเพียงเม่ือ xf คือ 1, x , 2x และ 3x

ดงันั้นตอ้งการ 1c , 2c , 1x และ 2x ท่ีท าให ้

2dx11c1c1

121 ]1xf[

0xdxxcxc1

12211 ]xxf[

3

2dxxxcxc

1

1

2222

211 ]xxf[ 2

0dxxxcxc1

1

3322

311 ]xxf[ 3

แกร้ะบบสมการจะได ้ 1c1 , 1c2 , 3

3x1 และ

3

3x 2

ดงันั้นสูตรการประมาณอินทิกรัลเป็น

3

3f

3

3fdxxf

1

1

ให้ค่าแม่นตรง ส าหรับทุกพหุนามดกีรีน้อยกว่าหรือเท่ากบั 3

3 การประมาณพืน้ที่ Gaussian และอนุพนัธ์เชิงตัวเลข

เทคนิคในตวัอยา่งขา้งตน้สามารถใชใ้นการหาจุดและสมัประสิทธ์ิส าหรับสูตรท่ีใหผ้ลลพัธ์แม่นตรงของพหุนามอนัดบัสูงข้ึน แต่อีกวธีิหน่ึงท่ีท าไดง่้ายกวา่คือการใชพ้หุนามเชิงตั้งฉากซ่ึงเซตท่ีเหมาะสม

กบัโจทยปั์ญหาในท่ีน้ีคือ เซตของพหุนาม Legendre ,P,,P,P n10 โดยมีคุณสมบติัดงัน้ี

1. nP เป็นพหุนามดีกรี n (เม่ือ n เป็นจ านวนเตม็บวก) 2. 0dxxPxP

1

1 ji ( ji )

พหุนาม Legendre อนัดบัแรกๆไดแ้ก่

1xP0 , xxP1 , 3

1xxP 2

2 ,

x5

3xxP 3

3 , x5

3xxP 3

3

รากของพหุนามเหล่าน้ีมีค่าแตกต่างกนัทั้งหมดอยูใ่นช่วง 1,1 และเป็นตวัเลือกท่ีดีท่ีสุดในการหาจุด n21 x,,x,x ท่ีใชใ้นสูตรการประมาณค่าอนิทิกรัลที่ให้ผลลพัธ์แม่นตรงส าหรับพหุนามดีกรีนอ้ยกวา่หรือเท่ากบั 1n2 นอกจากน้ีสมัประสิทธ์ิท่ีเหมาะสมส าหรับการหาค่าฟังก์ชนัท่ีจุดขา้งตน้คือ

1

1

n

ji1i ij

ij dx

xx

xxc n,,2,1j

4 การประมาณพืน้ที่ Gaussian และอนุพนัธ์เชิงตัวเลข

อยา่งไรก็ตามสมัประสิทธ์ิและรากของพหุนาม Legendre ไดมี้การท าตารางไว ้ไม่จ าเป็นตอ้งไปหาอีก

n ราก i,nr สมัประสิทธ์ิ i,nc 2 0.5773502692 1.0000000000

-0.5773502692 1.0000000000

3 0.7745966692 0.5555555556

0.0000000000 0.8888888889

-0.7745966692 0.5555555556

4 0.8611363116 0.3478548451

0.3399810436 0.6521451549

-0.3399810436 0.6521451549

-0.8611363116 0.3478548451

5 0.9061798459 0.2369268850

0.5384693101 0.4786286705

0.0000000000 0.5688888889

-0.5384693101 0.4786286705

-0.9061798459 0.2369268850

ตวัอย่าง จงหาค่าประมาณของ

1

1

x dx2x โดยใชก้ารประมาณของ Gaussian

5 การประมาณพืน้ที่ Gaussian และอนุพนัธ์เชิงตัวเลข

โดยทัว่ไปแลว้ช่วงท่ีอินทิเกรตไม่ไดถู้กจ ากดัขอบเขตเพียงแค่ 1,1 เท่านั้น ดงันั้นในการอินทิเกรต

b

adxxf จะท าการเปล่ียนตวัแปรเพ่ือท าใหช่้วงการ

อินทิเกรตเป็น 1,1 โดยให ้

ab

bax2t

และ

dxab

2dt

หรือ dt

2

abdx

เม่ือแทนค่าอินทิกรัลจะได ้

1

1

b

adt

2

ab

2

abtabfdxxf

ซ่ึงสามารถหาค่าโดยใชร้าก n,n2,n1,n r,r,r และ n,n2,n1,n c,c,c จากตาราง

สูตรการประมาณพืน้ที่ Gaussian

n

1j

j,nj,n

b

a 2

abrabfc

2

abdxxf

6 การประมาณพืน้ที่ Gaussian และอนุพนัธ์เชิงตัวเลข

ตวัอย่าง (Sheet) จงประมาณค่าของ 5.1

1

x dxe2 ใหใ้กลเ้คียง 0.1093643

ใชก้ารประมาณพ้ืนท่ี Gaussian โดยการแปลงช่วงการอินทิเกรตเป็น 1,1

4

5t

2

5.2t5.0

2

15.1t15.1

2

abtabx

1

1

5t16

15.1

1

x dte4

1dxe

2

2

ใชค้่าจากตาราง ไดค้่าประมาณจากการหาพ้ืนท่ี Gaussian ดงัน้ี

2n :

1094003.0ee4

1dxe 16

5773502692.05

16

5773502692.055.1

1

x

22

2

3n :

16

5

16

7745966692.055.1

1

x

22

2

e8888888889.0e5555555556.04

1dxe

1093642.0e5555555556.0 16

7745966692.052

สงัเกตวา่โดยวธีิการประมาณพ้ืนท่ี Gaussian เม่ือใช ้ 3n ตอ้งหาค่าฟังก์ชนั 3 แห่งและใหค้่าประมาณแม่นย าถึง 7 D.P. ในขณะท่ีถา้ใชก้ฎประกอบ Simpson พร้อมดว้ย 25.015.1

2

1h ใหค้่า

1093104.0ee4e3

25.0dxe

222 5.125.15.1

1

x

ซ่ึงใหค้่าถูกตอ้ง 4105.0

7 การประมาณพืน้ที่ Gaussian และอนุพนัธ์เชิงตัวเลข

การหาอนุพนัธ์เชิงตัวเลข

ต้องการประมาณค่าอนุพนัธ์ของฟังก์ชัน

พจิารณาสูตรอนุพนัธ์จากจุดสองจุด

ก าหนดให ้ b,ax0 และ b,aCf 2

และให ้ hxx 01 ส าหรับบาง 0h ท่ีท าให ้ b,ax1

สร้างพหุนามลากรองจ ์ )x(P1 ส าหรับ f โดยใชจุ้ด 0x และ 1x

1

01

00

10

11 xf

xx

xxxf

xx

xxxP

พร้อมดว้ยพจน์ค่าผิดพลาดคือ xf

!2

xxxx 10 ส าหรับบาง b,ax

นัน่คือ

xf!2

xxxxxPxf 10

1

xf!2

xxxxxf

xx

xxxf

xx

xx 101

01

00

10

1

xf

2

hxxxx

h

xxhxf

h

hxxxf 000000

หาอนุพนัธ์ของสมการจะได ้

xf2

hxx2

h

xfhxfxf 000

b hxx 01 0x a

h

8 การประมาณพืน้ที่ Gaussian และอนุพนัธ์เชิงตัวเลข

xfD2

hxxxxx

00

เพราะฉะนั้น

h

xfhxfxf 00

โดยมีเทอมค่าผิดพลาดคือ xf

2

hxx2 0

xfD2

hxxxxx

00

สูตรสองจุด

ณ 0xx พบวา่สมัประสิทธ์ิของ xfDx เป็นศูนยท์ าใหไ้ดสู้ตร

สูตรสองจุด

f2

h

h

xfhxfxf 00

0 เม่ือ )hx,x( 00

กรณี 0h สูตรสองจุดจะเรียกวา่ “สูตรผลต่างขา้งหนา้ (Forward-difference Formula)”

กรณี 0h เรียกวา่ “สูตรผลต่างยอ้นหลงั (backward-difference Formula)”

9 การประมาณพืน้ที่ Gaussian และอนุพนัธ์เชิงตัวเลข

ตวัอย่าง (Sheet) ก าหนดให ้ xlnxf , 8.1x0

ตอ้งการประมาณค่า 8.1f ดว้ยสูตรสองจุดเม่ือ 0h พร้อมดว้ยค่าผิดพลาด

228.12

h

2

h

2

fh

( h8.18.1 )

ตารางต่อไปน้ี แสดงผลเม่ือ 001.0,01.0,1.0h h h8.1f

h

8.1xfh8.1f 28.12

h

0.1 0.64185389 0.5406722 0.0154321

0.01 0.59332685 0.5540180 0.0015432

0.001 0.58834207 0.5554013 0.0001543

เน่ืองจาก x

1xf ค่าแทจ้ริงจริงของอนุพนัธ์คือ 5.08.1f

ดงันั้นถา้เลือก h ใหม้ค่ีาน้อยๆจะไดค่้าประมาณที่ใกล้เคยีงค่าจริงมากข้ึน

10 การประมาณพืน้ที่ Gaussian และอนุพนัธ์เชิงตัวเลข

พจิารณาสูตรอนุพนัธ์จากจุดสามจุด สร้างพหุนามลากรองจดี์กรี 2 คือ )x(P2 ส าหรับ f โดยใชจุ้ด 10 x,x และ 2x

)x(Lxf)x(Lxf)x(LxfxP 2211002

มีพจน์ค่าผิดพลาดคือ xf

!3

)xx(xxxx 210 ส าหรับบาง b,ax

หาอนุพนัธ์ของตวัประมาณจะได ้

xf

!3

xxxxxxDxL)x(fxf 310

xj

2

0jj

xfD

!3

xxxxxxx

310

ถา้ )2,1,0k(,xx k จะลดทอนสูตรไดเ้ป็น

2

kj0j

jkk

kj

2

0jjk xx

!3

xfxL)x(fxf

สูตรสามจุด

ใชสู้ตรขา้งตน้โดยใชจุ้ดสามจุดคือ h2x,hx,x 000 จะได ้

สูตรจุดปลายสามจุด

f3

hh2xfhxf4xf3

h2

1xf

2

000

เม่ือ h2x,x 00

0x hx0 h2x0

h h

11 การประมาณพืน้ที่ Gaussian และอนุพนัธ์เชิงตัวเลข

สูตรน้ีมีประโยชน์เม่ือประมาณค่าอนุพนัธ์ ณ จุดปลายช่วง เช่นกรณีอนุพนัธ์ท่ีใชส้ าหรับ splines ก าลงัสามขอบยดึ ใช ้ 0h เม่ือประมาณท่ีปลายดา้นซา้ย และใช ้ 0h เม่ือประมาณท่ีปลายดา้นขวา

ใชสู้ตรขา้งตน้โดยใชจุ้ดสามจุดคือ hx,x,hx 000 จะได ้

สูตรจุดกึง่กลางสามจุด

f6

hhxfhxf

h2

1xf

2

000 เม่ือ hx,hx 00

ค่าผิดพลาดในสูตรจุดก่ึงกลางมีค่าประมาณคร่ึงหน่ึงของค่าผิดพลาดท่ีไดจ้ากสูตรจุดปลาย และการค านวณค่า f ท าเพียงสองจุด เทียบกบัสามจุดในสูตรจุดปลาย จึงท าใหก้ารค านวณดว้ยสูตรจุดก่ึงกลางไดเ้ปรียบมากกวา่สูตรจุดปลาย

ท านองเดียวกนัสามาตรสร้างสูตรหา้จุดไดจ้ากพหุนามลากรองจดี์กรี 4 โดยใชจุ้ดหา้จุดคือ h2x,hx,x,hx,h2x 00000 จะไดสู้ตร

สูตรจุดก่ึงกลางหา้จุด

54

0000 f30

hh2xfhxf8hxf8h2xf

h12

1xf

เม่ือ h2x,h2x 00

hx0 0x hx0

h h

12 การประมาณพืน้ที่ Gaussian และอนุพนัธ์เชิงตัวเลข

13 การประมาณพืน้ที่ Gaussian และอนุพนัธ์เชิงตัวเลข

สูตรจุดปลายหา้จุด ใชจุ้ดหา้จุดคือ h4x,h3x,h2x,hx,x 00000

h4xf3h3xf16h2xf36hxf48xf25h12

1xf 00000

54

f30

h

เม่ือ h4x,x 00

(การประมาณท่ีจุดปลายซา้ยใช ้ 0h และปลายขวาใช ้ 0h )

ตวัอย่าง จากตารางคือค่าของ xxexf จงประมาณค่า 0.2f

x xf 1.8 10.889365

1.9 12.703199

2.0 14.778112

2.1 17.148957

2.2 19.855030

เน่ืองจาก xe1xxf , 167168.220.2f

เม่ือใชสู้ตรสามจุดและหา้จุดจะไดผ้ลดงัน้ี

สูตรสามจุด

จุดปลาย ( 1.0h ) 032310.222.2f1.2f40.2f32.0

1

จุดปลาย ( 1.0h ) 054525.228.1f9.1f40.2f32.0

1

จุดก่ึงกลาง ( 1.0h ) 228790.229.1f1.2f2.0

1

จุดก่ึงกลาง ( 2.0h ) 414163.229.1f2.2f4.0

1

14 การประมาณพืน้ที่ Gaussian และอนุพนัธ์เชิงตัวเลข

สูตรห้าจุด

จุดก่ึงกลาง ( 1.0h ) 166999.222.2f1.2f89.1f88.1f2.1

1

ค่าผิดพลาด มีค่าประมาณ 11035.1 , 11013.1 , 21016.6 , 11047.2 และ 41069.1 ตามล าดบั เห็นไดช้ดัวา่ สูตรหา้จุดใหผ้ลดีกวา่ สงัเกตดว้ยวา่ ค่าผิดพลาดจากสูตรจุดก่ึงกลางพร้อมดว้ย 1.0h มีค่าราวคร่ึงหน่ึงของค่าผิดพลาดจากสูตรจุดปลาย พร้อมดว้ย 1.0h หรือ 1.0h

ส่ิงท่ีควรค านึงถึง ในการหาอนุพนัธ์เชิงตวัเลข คือ ค่าผิดพลาดท่ีเกิดจากการปัดเศษ ในการประมาณค่าพ้ืนท่ีใตก้ราฟจากการอินทิกรัลโดยกฎ Simpson ประกอบ เราพบมาแลว้วา่ การลดขนาดของช่วงย่อย จะลดค่าผิดพลาดจากการตดัปลายได ้แมว้า่ การค านวณจะเพ่ิมมากข้ึน แต่ค่าผิดพลาดจากการปัดเศษไม่ถูกกระทบ ในการหาอนุพนัธ์เชิงตวัเลข ค่าผิดพลาดจากการตดัปลายจะลด ถา้ช่วงยอ่ยแคบคง แต่ค่าผิดพลาดจากการปัดเศษนั้นจะเพ่ิมข้ึน ซ่ึงเห็นไดด้งัน้ี (กรณีสูตรสามจุด)

32

00062

1f

hhxfhxf

hxf

สมมุติวา่ hxe 0 และ hxe 0 เป็นค่าผิดพลาดจากการปัดเศษในการค านวณ hxf 0 และ hxf 0 ตามล าดบั กล่าวคือ

hxehxfhxf 000

~

hxehxfhxf 000

~ เม่ือ hxf 0

~ และ hxf 0

~ เป็นค่าจากการค านวณ ค่าผิดพลาดรวมจากการประมาณคือ

15 การประมาณพืน้ที่ Gaussian และอนุพนัธ์เชิงตัวเลข

3

20000

0622

~~

fh

h

hxehxe

h

hxfhxfxf

ซ่ึงเกิดจากการปัดเศษ และการตดัปลาย หากสมมุติวา่ ค่าผิดพลาดจากการปัดเศษ hxe 0 มีขอบเขตเป็น 0 และสมมุติดว้ยวา่ อนุพนัธ์อนัดบัสามของ f มีขอบเขตเป็น 0M แลว้

M6

h

hh2

hxf~

hxf~

xf2

000

การท่ีจะลดค่าผิดพลาดจากการตดัปลาย 6

Mh2

จะตอ้งลดขนาดของ h ทวา่ขณะท่ี

h ลดลง ค่าผิดพลาดจากการปัดเศษ h

ก็จะเพ่ิมข้ึน ในทางปฏิบติั จะให ้𝒉 มีค่า

นอ้ยเกินไปไม่ได ้เพราะค่าผิดพลาดจากการปัดเศษจะข่มการค านวณ

16 การประมาณพืน้ที่ Gaussian และอนุพนัธ์เชิงตัวเลข

ตวัอย่าง (Sheet) จงพิจารณาการประมาณค่า 900.0f เม่ือ xsinxf โดยใชค้่าในตาราง

x xsin 0.8000 0.71736

0.8500 0.75128

0.8800 0.77074

0.8900 0.77707

0.8950 0.78021

0.8980 0.78208

0.8990 0.78270

x xsin 0.9010 0.78395

0.9020 0.78457

0.9050 0.78643

0.9100 0.78950

0.9200 0.79560

0.9500 0.81342

1.0000 0.84147

ค่าท่ีแทจ้ริงคือ 62161.0900.0cos

ใชสู้ตร

h2

h900.0fh900.0f900.0f

กบัค่า h ต่างๆกนั

ใหค้่าประมาณดงัท่ีแสดงในตาราง h ค่าประมาณของ 900.0f ค่าผดิพลาด

0.001 0.62500 0.00339

0.002 0.62250 0.00089

0.005 0.62200 0.00039

0.010 0.62150 -0.00011

0.020 0.62150 -0.00011

0.050 0.62140 -0.00021

0.100 0.62055 -0.00106

ค่าท่ีเหมาะสมท่ีสุดของ h อยูร่ะหวา่ง 005.0 กบั 05.0

เน่ืองจากคา่ผิดพลาด M6

h

hhe

2

มีค่าต ่าสุดเม่ือ 0he

17 การประมาณพืน้ที่ Gaussian และอนุพนัธ์เชิงตัวเลข

นัน่คือ 2

3

2 h3

Mh3M

3

h

hhe0

ดงันั้น 333

M

3h

M

3hMh30

สงัเกตวา่ 000.1,800.0x;xfmaxM

69671.0000.1,800.0x;xcosmax

ถา้ตอ้งการใชท้ศนิยม 5 หลกันัน่คือสมมุติ 000005.0 จะได้ค่าh ท่ีเหมาะสมคือ

028.069671.0

000005.03h 3

ในทางปฏิบติัจะไม่สามารถหาค่าเหมาะสมท่ีสุดของ h ได ้เพราะเราจะไม่ทราบอนุพนัธ์อนัดบัที่สามของฟังก์ชนั ระเบียบวธีิในการประมาณค่าอนุพนัธ์อนัดบัสูงข้ึนสามารถ

หาไดเ้ช่นเดียวกบัในกรณีของอนุพนัธ์อนัดบัแรก เช่น

สูตรจุดกึง่กลางสามจุดในการประมาณค่า f

42

00020 f12

hhxfxf2hxf

h

1xf

เม่ือ hx,hx 00