Page 1
160 : 1st 2015 Maths.Sci.KU
1
ระบบสมการเชิงเส้น สมการเชิงเส้นของ n ตวัแปร nxxx ,,, 21 คือสมการท่ีอยูใ่นรูปแบบ bxaxaxa nn 2211
โดยท่ี naaa ,,, 21 และ b เป็นค่าคงท่ี
ตัวอย่าง จงพิจารณาวา่สมการต่อไปน้ีสมการใดเป็นสมการเชิงเส้น 1. 24xyz 2. 1564 zyx 3. 4321 8 xxxx 4. 92)ln( 321 xxx 5. 1)cos( yx 6. 0451473 54321 xxxxx 7. 3634 22 yx
Page 2
160 : 1st 2015 Maths.Sci.KU
2
ระบบสมการเชิงเส้น m สมการ n ตัวแปร คือระบบสมการท่ีประกอบดว้ยสมการเชิงเส้น n ตวัแปร จ านวนสมการทั้งหมด m สมการ นัน่คือ
11212111 bxaxaxa nn
22222121 bxaxaxa nn
mnmnmm bxaxaxa 2211
โดยท่ี ija และ ib เป็นค่าคงท่ีทุก mi 1 และ nj 1 ถา้ 021 mbbb แลว้เราจะเรียกระบบสมการเชิงเส้น * วา่ ระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธุ ์
ถา้มี i บางตวัท่ี 0ib แลว้เราจะเรียกระบบสมการเชิงเส้น * วา่ระบบสมการเชิงเส้นไม่เอกพันธุ ์
ผลเฉลยของระบบสมการ คือค่าของ nxxx ,,, 21 ท่ีสอดคลอ้งกบั *
(*)
Page 3
160 : 1st 2015 Maths.Sci.KU
3
จากระบบสมการเชิงเส้น * สามารถเขียนในรูปสมการเมทริกซ์ไดด้งัน้ี
1
2
1
12211
2222121
1212111
mmm
nmnmm
nn
nn
b
b
b
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
1
2
1
1
2
1
21
22221
11211
mmn
nnm
mnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
ถา้ก าหนดให้
mnn
nmmnmm
n
n
x
x
x
X
aaa
aaa
aaa
A
2
1
21
22221
11211
,
1
2
1
mmb
b
b
B
แลว้จะไดว้า่ BAX
Page 4
160 : 1st 2015 Maths.Sci.KU
4
เมทริกซ์แต่งเติม เขียนแทนดว้ยสัญลกัษณ์ ]:[ BA คือเมทริกซ์ A ท่ีเพ่ิมหลกัสุดทา้ยดว้ย B นัน่คือ
mmnmm
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa
BA
2
1
21
22221
11211
]:[
ตัวอย่าง จงเขียนระบบสมการเชิงเส้นใหอ้ยูใ่นรูปเมทริกซ์พร้อมหาเมทริกซ์แต่งเติมของระบบสมการเชิงเส้น
511
629
12934
32
31
321
xx
xx
xxx
Page 5
160 : 1st 2015 Maths.Sci.KU
5
ก่อนจะศึกษาการหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้น m สมการ n ตวัแปร ขอพิจารณาการหาผลเฉลยอยา่งง่ายๆ ของระบบสมการเชิงเส้น 2 สมการ 2 ตวัแปรดงัต่อไปน้ี ตัวอย่าง ระบบสมการเชิงเส้น 62 yx 113 yx จะไดว้า่ 4x และ 1y เป็นผลเฉลยของระบบสมการ
ตัวอย่าง ระบบสมการเชิงเส้น 15 yx
2210 yx จะไดว้า่ค่า x และ y ท่ีเป็นผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้นมีอนนัต์ค่า ถา้ให ้ tx โดยท่ี t เป็นจ านวนจริงใดๆ แลว้ 15 ty ซ่ึง x และ y ขา้งตน้เป็นผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้น
Page 6
160 : 1st 2015 Maths.Sci.KU
6
ตัวอย่าง ระบบสมการเชิงเส้น
349 yx 21227 yx
จะไดว้า่เราไม่สามารถหาค่า x และy ท่ีท าใหร้ะบบสมการเชิงเส้นขา้งตน้เป็นจริง สรุปลกัษณะของผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้นได้ดงันี้ 1. ระบบสมการเชิงเส้นมีผลเฉลย 1.1 มีผลเฉลยเดียว 1.2 มีผลเฉลยอนนัตชุ์ด 2. ระบบสมการเชิงเส้นไม่มีผลเฉลย วธีิการหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้น 1. การหาผลเฉลยโดยใชก้ฎของเครเมอร์ 2. การหาผลเฉลยโดยใชก้ารก าจดัแบบเกาส์ 3. การหาผลเฉลยโดยใชก้ารก าจดัแบบเกาส์-จอร์แดน
Page 7
160 : 1st 2015 Maths.Sci.KU
7
1. การหาผลเฉลยโดยใช้กฎของเครเมอร์
กฎของเครเมอร์ใชห้าผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้น n สมการ n ตวัแปรเท่านั้น ทฤษฎบีท (กฎของเครเมอร์) ถา้ BAX เป็นระบบสมการเชิงเส้น n สมการ n ตวัแปร ซ่ึง
0det A แลว้ระบบสมการเชิงเส้นจะมีเพียงค าตอบเดียวคือ
,,det
det,
det
det 22
11
A
Ax
A
Ax
A
Ax nn det
det
เม่ือ jA คือเมทริกซ์ A ซ่ึงเปล่ียนสมาชิกในหลกัท่ี j ของ A ดว้ยเมทริกซ์ตั้ง B
เช่นพิจารณาระบบสมการ
22
6
43
21
y
x
ในท่ีน้ี
y
xXA ,
43
21 และ
22
6B
ดงันั้น
422
261A และ
223
612A
Page 8
160 : 1st 2015 Maths.Sci.KU
8
ตัวอย่าง จงใชก้ฎของเครเมอร์หาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้น 62 yx 113 yx
Page 9
160 : 1st 2015 Maths.Sci.KU
9
ตัวอย่าง จงใชก้ฎของเครเมอร์หาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้น 532 321 xxx 12 321 xxx 63 321 xxx
Page 10
160 : 1st 2015 Maths.Sci.KU
10
ตัวอย่าง จงใชก้ฎของเครเมอร์หาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้น 652 zyx 73 zy 3324 zyx
Page 11
160 : 1st 2015 Maths.Sci.KU
11
2. การหาผลเฉลยโดยวธีิการก าจัดแบบเกาส์
ทฤษฎบีท ก าหนดให ้ BAX และ DCX เป็นระบบสมการเชิงเส้น m สมการ n ตวัแปร
ถา้ ]:[~]:[ DCBA แลว้ BAX และ DCX จะมีผลเฉลยแบบเดียวกนั
การหาผลเฉลยโดยวธีิก าจดัแบบเกาส์น้ีท าโดยหาเมทริกซ์แต่งเติม BA : แลว้ด าเนินการตามแถวขั้นมูลฐานจนกระทัง่ได้เมทริกซ์ขั้นบันได แลว้เขียนเมทริกซ์ขั้นบนัไดใหก้ลบัไปเป็นระบบสมการเชิงเส้น สุดทา้ยแทนค่าย้อนกลบัเพื่อหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้น
ตัวอย่าง จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้นต่อไปน้ี 1032 zyx 52 zyx 653 zyx โดยใชว้ธีิการก าจดัแบบเกาส์ พร้อมทั้งหาค่าล าดบัขั้นของเมทริกซ์แต่งเติม BA :
Page 12
160 : 1st 2015 Maths.Sci.KU
12
3. การหาผลเฉลยโดยใช้วธีิการก าจัดแบบเกาส์-จอร์แดน การหาผลเฉลยวธีิน้ี จะคลา้ยกบัวธีิการก าจดัแบบเกาส์ โดยการหาเมทริกซ์แต่งเติม BA : แลว้ด าเนินการตามแถวขั้นมูลฐานจนกระทัง่ได้เมทริกซ์ขั้นบันไดลดรูป ตัวอย่าง1 จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้นดงัต่อไปน้ี 0 zyx 5623 zyx 552 zyx โดยใชว้ธีิการก าจดัแบบเกาส์-จอร์แดน พร้อมทั้งหาค่าล าดบัขั้นของเมทริกซ์แต่งเติม BA :
Page 13
160 : 1st 2015 Maths.Sci.KU
13
ตัวอย่าง2 จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้นต่อไปน้ี 633 321 xxx 94 321 xxx
Page 14
160 : 1st 2015 Maths.Sci.KU
14
ตัวอย่าง3 จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้นต่อไปน้ี yx 3 5 w 33 wz 13693 wzyx
Page 15
160 : 1st 2015 Maths.Sci.KU
15
ข้อสังเกต 1. จากตวัอยา่ง1 จะไดว้า่ BArankArank :3 และสมการมี 3 ตวัแปร และผลเฉลยของตวัอยา่ง 1 มีชุดเดียว 2. จากตวัอยา่ง2 จะไดว้า่ BArankArank :2 และสมการมี 3 ตวัแปร และผลเฉลยของตวัอยา่ง 2 มีอนนัตชุ์ด 3. จากตวัอยา่ง 3 จะไดว้า่ BArankArank :32 และสมการมี 4 ตวัแปร และไม่มีผลเฉลย จากขอ้สังเกตแสดงวา่ค่าล าดบัขั้นของเมทริกซ์มีความเก่ียวขอ้งกบัผลเฉลยของระบบสมการดงัทฤษฎีบทต่อไปน้ี ทฤษฎบีท ให ้ BAX เป็นระบบสมการเชิงเส้น m สมการ n ตวัแปร 1. ระบบสมการมีผลเฉลยกต่็อเม่ือ kBArankArank : - ระบบสมการจะมีผลเฉลยชุดเดียว ถา้ nk - ระบบสมการจะมีผลเฉลยอนนัตชุ์ด ถา้ nk 2. ระบบสมการไม่มีผลเฉลยกต่็อเม่ือ BArankArank :
Page 16
160 : 1st 2015 Maths.Sci.KU
16
ตัวอย่าง จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้นต่อไปน้ี 83 zyx 43 zyx 5925 zyx
Page 17
160 : 1st 2015 Maths.Sci.KU
17
ตัวอย่าง จงหาผลเฉลยของระบบสมการ เชิงเส้นต่อไปน้ี 8321 xxx 1034 321 xxx 174165 321 xxx
Page 18
160 : 1st 2015 Maths.Sci.KU
18
ตัวอย่าง จงหาผลเฉลยของระบบสมการ เชิงเส้นต่อไปน้ี 1x 12 3 x 27543 321 xxx 6115 321 xxx โดยใชว้ธีิการก าจดัแบบเกาส์ และวธีิการก าจดัแบบเกาส์-จอร์แดน
Page 19
160 : 1st 2015 Maths.Sci.KU
19
ERO
การประยุกต์ของระบบสมการเชิงเส้น
1. การหาเมทริกซ์ผกผนัโดยใช้ ERO
ให ้ A เป็นเมทริกซ์จตุัรัส ท า ERO กบัเมทริกซ์แต่งเติม IA : จนกระทัง่ A เปล่ียนเป็น I นัน่คือ
]:[~~: 1AIIA
ตัวอย่าง จงหา 1A ของเมทริกซ์
801
352
321
A
Page 20
160 : 1st 2015 Maths.Sci.KU
20
ตัวอย่าง จงหาเมทริกซ์ผกผนัของเมทริกซ์
987
654
321
A
Page 21
160 : 1st 2015 Maths.Sci.KU
21
หมายเหตุ ระบบสมการเชิงเส้น n สมการ n ตวัแปร
BAX ถา้ A มีเมทริกซ์ผกผนั 1A แลว้
BAAXA 11 เน่ืองจาก nIAA 1 ดงันั้น BAXIn
1 นัน่คือ BAX 1 นัน่คือเราสามารถแกร้ะบบสมการเชิงเส้น BAX โดยใชเ้มทริกซ์ผกผนัไดด้ว้ยสูตร
ตัวอย่าง จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้นดงัต่อไปน้ี 632 zyx 17352 zyx 38 zx
Page 22
160 : 1st 2015 Maths.Sci.KU
22
2. ปัญหาการไหลของข่ายงาน ปัญหาการไหลของกระแสน ้า การเคล่ือนท่ีของรถ ฯลฯ ปัญหาการไหลหรือการเคล่ือนท่ีของส่ิงต่างๆ โดยมีทิศทางก ากบัการไหลของปริมาณเราเรียกวา่ปัญหาการไหลของข่ายงาน
ข่ายงานจะประกอบดว้ยจุดท่ีมีเส้นตรงหรือท่ีก่ิงออกจากจุดหน่ึงไปยงัอีกจุดหน่ึง โดยมีทิศทางการเคล่ือนท่ีในแต่ละก่ิงระบุไวอ้ยา่งชดัเจน เช่น การเขียนข่ายงานของแม่น ้า 2 สายไหลผา่นจุด A หลงัจากนั้นจะรวมเป็นสายเดียวกนัเป็นดงัรูปต่อไปน้ี โดยท่ี 321 ,, xxx คือปริมาณน ้า
สมการแสดงความสัมพนัธ์ของการไหลของข่ายงานน้ีคือ
ปริมาณน ้าท่ีไหลเขา้จุด A = ปริมาณน ้าท่ีไหลออกจากจุด A
ดงันั้น 321 xxx
3x
A
Page 23
160 : 1st 2015 Maths.Sci.KU
23
ตัวอย่าง ถนน ณ แยกแห่งหน่ึงมีปริมาณรถเขา้ และออกในแต่ละแยกมีหน่วยเป็นคนัต่อชัว่โมงดงัรูป
จงเขียนระบบสมการเชิงเส้นแทนการเคล่ือนท่ีของข่ายงานน้ี พร้อมทั้งหาค่า 4321 ,,, xxxx และ 5x
2 20
18 13
1x
2x3x
4x
5x
Page 24
160 : 1st 2015 Maths.Sci.KU
24
ตัวอย่าง ระบบท่อส่งน ้ามนัเช่ือมต่อกนัท่ีจุด A, B , C , D และ E ดงัรูป น ้าไหลผา่นแต่ละจุดมีหน่วยเป็นบาร์เรลต่อนาที จงแทนระบบส่งน ้ามนัดว้ยระบบสมการเชิงเส้น พร้อมทั้งหาค่า 54321 ,,,, xxxxx และ 6x
35
41
15 44
1x
2x
3x
4x
5x6x