9 Équations différentielles - fabienpucci.frfabienpucci.fr/wp-content/uploads/2018/12/2019_PCSI_09_EquaDiff_Cours.pdf · Chapitre 9: Équations différentielles — Résoudre une

Chapitre

9Équations différentielles

L

a moindre modélisation d’un phénomène en physique amène souvent à larésolution d’une équation différentielle voire aux dérivées partielles dont

la solution cherchée sera la trajectoire, la température, la tension, . . . du systèmeconsidérée. Les fonctions considérées dépendent généralement des trois dimensionsspatiales x, y, z et du temps t.

Un opérateur F : Rn+1 7−→ R

4 ou plus et une fonction f excitatrice donnés, uneéquation différentielle prend la forme générale :

y(n) = F(

y(n−1), y(n−2), . . . , y′, y, f)

.

Les équations aux dérivées partielles ont une forme analogue.

On est loin de savoir résoudre c.-à-d. trouver les courbes intégrales, toutes les équa-tions différentielles existantes sous forme exacte ou même approchée.

L’exemple le plus connu est la résolution des équations de Navier-Stokes qui vousapportera un million de dollar et la gloire éternelle tant ses applications sont nom-breuses et le problème difficile :

ρ︸︷︷︸

m

(

∂v

∂t+ v.∇v

)

︸︷︷︸

a

= −∇p︸︷︷︸

Fpression

+ µ∇2v︸︷︷︸

Fvisqueuse

.

C

e chapitre a vocation à justifier les techniques de résolution d’équationsdifférentielles plus simples admises en physique. Nous nous limiterons pour

cela à l’étude de certaines équations différentielles linéaires.

L

es autres types ne peuvent en général pas se résoudre explicitement, à moinsde pouvoir se ramener à des équations différentielles linéaires. Cela n’em-

pêche pas de pouvoir donner des conditions d’existence et d’unicité, et de savoirétudier les solutions de ces équations différentielles, mais la problématique de réso-lution explicite qui nous occupe dans ce chapitre est absente dans ce contexte.

D

ans les cas qui nous concernent, les méthodes sont clairement définies et leurapplication quasiment mécanique. À l’issue de ce chapitre, vous devrez :

savoir :

1

Chapitre 9: Équations différentielles

— Résoudre une équation linéaire du premier ordre ou du second ordre à co-efficients constants, en maîtrisant notamment la méthode de variation de laconstante.

— Analyser un problème de recollement de solutions.

SommaireI Équations différentielles linéaires . . . . . . . . . . . . . . 3

I.1 Quelques exemples issus de la vie de tous les jours . . . . 3I.2 Forme générale et courbes intégrales . . . . . . . . . . . . 3

II Équations différentielles linéaires d’ordre 1 . . . . . . . . 6

II.1 Situation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6II.2 Solutions de l’équation homogène . . . . . . . . . . . . . . 8II.3 Solution particulière de y′ = a(x)y + b(x) . . . . . . . . . 9II.4 Problème de Cauchy associé à une EDL1 . . . . . . . . . 12II.5 Problèmes de raccordement (ou recollement) . . . . . . . 14II.6 Un peu de physique : Circuit RL . . . . . . . . . . . . . . 17

III Résolution des EDL d’ordre 2 à coefficients constants . 19

III.1 Situation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19III.2 Solutions de l’équation homogène . . . . . . . . . . . . . . 20III.3 Un peu de physique : Circuit RLC . . . . . . . . . . . . . 25III.4 Solution générale du système non homogène . . . . . . . . 28III.5 Problème de Cauchy associé à une EDL2 . . . . . . . . . 31III.6 Un peu de physique : Les oscillateurs linéaires . . . . . . . 32III.7 Méthode de variations des constantes . . . . . . . . . . . 35

IV Compléments : équations particulières . . . . . . . . . . . 38

IV.1 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38IV.2 Équations à variables séparées . . . . . . . . . . . . . . . 39IV.3 Équation de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Les fonctions considérées peuvent être à valeurs réelles ou complexes. On noteraK = R ou C suivant la situation.

F.PUCCI 2

Chapitre 9: Équations différentielles I. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES

I Équations différentielles linéaires

I.1 Quelques exemples issus de la vie de tous les jours

— La tension u aux bornes d’un condensateur de capacité C en série avec unerésistance R et un générateur de force électromotrice E(t) vérifie l’équationdifférentielle :

RCu′ + u = E(t).

— L’intensité i dans un circuit RL constitue d’une résistance R, d’une bobined’inductance L et d’un générateur de force électromotrice E(t) vérifie l’équa-tion différentielle :

Li′ + Ri = E(t).

— La proportion y de carbone 14 dans le carbone total des êtres vivants estconstante. Après la mort, elle diminue de 1/8000 par an et vérifie donc l’équa-tion différentielle suivante (où le temps est exprime en années) :

y′ +1

8000y = 0.

On peut ainsi dater la mort d’un être vivant grâce à cette relation (datationau carbone 14).

Ces trois exemples sont des cas particuliers d’une famille plus large d’équations entreune fonction et sa ou ses dérivées :

I.2 Forme générale et courbes intégrales

Une équation différentielle linéaire d’ordre r d’une fonction inconnue y est uneéquation différentielle de la forme :

ar(x)y(r) + . . . + a1(x)y′ + a0(x)y = b(x), (E)

où :

— ar n’est pas la fonction nulle,

— les ai sont des fonctions à valeurs réelles ou complexes,

— et y une fonction définie sur un sous-ensemble de R (souvent à déterminer),à valeurs dans K.

Résoudre une telle équation différentielle revient à trouver toutes les fonctionsx 7−→ y(x) solutions de (E) sur un intervalle à préciser.On appelle S l’ensemble des solutions et tout élément de S s’appelle une solution

particulière.

Définition 1 (Équation différentielle linéaire)

Lorsque ar(x) est constante égale à 1, on dit que l’équation est normalisée.

F.PUCCI 3


Remarque : Les solutions d’une équation différentielle d’ordre r seront donc, parconstruction, r fois dérivables.

Elle seront en fait de classe Cr sur tout intervalle où ar ne s’annule pas car :

y(r) =1

ar(x)

(

b(x) − a0(x)y − a1(x)y′ − . . . − ar−1y(r−1)

)

,

somme de fonctions continues donc continues.

Une équation différentielle linéaire d’ordre r peut donc être vu comme une relationaffine à coefficients fonctionnels entre les dérivées y(i), i ∈ J0 ; r K (au moins l’un descoefficients d’un des termes d’ordre r étant non nul) d’une fonction y.

Remarque : On utilise généralement la variable muette x ou t pour indiquer lavariable, mais on notera souvent l’inconnue y, y compris dans l’équation, et pasnécessairement y(x).

Ainsi, on parlera, par exemple, de l’équation xy′ + 3x2y2 = 0.

Exemples 1 :— L’équation : y′ + a(x) = b(x) est une équation différentielle linéaire d’ordre 1.

— L’équation : y′′ + a(x)y′ + b(x)y = c(x) est une équation différentielle linéaired’ordre 2.

Les courbes intégrales associées à une équation différentielles sont les courbesreprésentatives des fonctions solutions de l’équation différentielle.

Définition 2 (Courbes intégrale)

Nous allons étudier de façon directe le cas d’équations linéaires d’ordres 1 et 2, maisauparavant, on se sert de la description générale pour donner un résultat de structurede l’ensemble des solutions.

On appelle équation homogène (ou sans second membre) associée à (E), l’équa-tion :

a0(x)y + a1(x)y′ + . . . + ar(x)y(r) = 0, (E0)

On appelle S0 l’ensemble des solutions de (E0).

Définition 3 (Équation homogène)

F.PUCCI 4


— L’ensemble S0 des solutions de (E0) est non vide et stable par combinaisonslinéaires.On dit que S0 est un sous-espace vectoriel de R

I .

— Soit yp une solution particulière.S’il n’est pas vide, l’ensemble S des solutions de (E) s’exprime sous laforme :

S = yp + S0.

On dit que S est un sous-espace affine de RI dirigé par S0.

Théorème 1 (Structure de l’ensemble des solutions)

L’écriture S = yp + S0 signifie que toute solution y de (E) s’écrira comme la sommede yp et d’un élément y0 de S0 :

∀x ∈ I, y(x) = yp(x) + y0(x).

Preuve:� La fon tion nulle est solution de (E0) don S0 est non vide.

Par linéarité de la dérivation, S0 est stable par ombinaisons linéaires.

� Si S 6= ∅ alors, pour tout solution y de E , y − yp est solution de (E0) .-à-d.

y − yp ∈ S0.

Pour obtenir l’ensemble des solutions de (E), il faudra donc déterminer une solutionparticulière de (E) et lui ajouter l’ensemble des solutions de (E0).

La résolution d’une équation différentielle linéaire se fera donc en deux temps :

1. La détermination de S0.

2. La détermination d’une solution particulière yp.

Exemple 2 : (1 + x2)y′ + y = 1

Il s’agit d’une équation différentielle linéaire d’ordre 1 à coefficients continus nonconstants, avec second membre.

1. On montre(ra) que l’équation homogène associée a pour solution générale :

x 7−→ λe− arctan x, λ ∈ R.

2. La fonction constante égale à 1 est solution particulière évidente.

D’après le théorème (1) la solution générale est donc

x 7−→ 1 + λe− arctan x, λ ∈ R.

F.PUCCI 5

Chapitre 9: Équations différentiellesII. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES D’ORDRE 1

La recherche d’une solution particulière peut se faire en plusieurs temps. Par exemple,si b se décompose en somme de fonctions plus simples :

Si b = b1 + b2, pour trouver une solution particulière y0 de l’équation (E), ilsuffit de trouver :

— une solution particulière y1 de (E1) : a0(x)y+a1(x)y′+. . .+ar(x)y(r) = b1(x),

— une solution particulière y2 de (E2) : a0(x)y+a1(x)y′+. . .+ar(x)y(r) = b2(x),

Une solution particulière de (E) est alors y1 + y2.

Théorème 2 (Principe de superposition)

Preuve: Toujours la linéarité de la dérivation.

En pratique, pour résoudre une équation différentielle linéaire, on pourra donc éven-tuellement scinder le second membre afin de se ramener à plusieurs équations diffé-rentielles dont les seconds membres seront plus simples à traiter.

II Équations différentielles linéaires d’ordre 1

II.1 Situation

Nous nous intéressons ici aux équations linéaires d’ordre 1 sur un intervalle I, dontla forme générale est donc :

a1(x)y′ + a0(x)y = β(x),

où a0 et a1 sont des fonctions d’une variable réelle, à valeurs dans R.

On se restreint ici au cas où la fonction a1 ne s’annule pas sur l’intervalle I considéré,et où les fonctions a1, a0 et β sont continues, à valeurs dans K.

Ainsi, en divisant par a1 et en isolant le terme y′, on est ramené à une équation« normalisée » :

y′ = a(x)y + b(x), où a et b sont continues à valeurs dans K.

Nous allons étudier l’ensemble des solutions d’une équation de ce type, à l’aide dedeux « quadratures » c.-à-d. deux primitivations. Les méthodes mises en œuvre sontà connaitre, car ce sont elles qui vous permettront de résoudre explicitement uneéquation différentielle.

Au passage, cette étude nous permettra de constater que le théorème de Cauchy ⌊1⌋-Lipschitz est bien valide dans cette situation : ce théorème affirme, sous certainesconditions, l’existence et l’unicité d’une solution, vérifiant des conditions initialesdonnées.

F.PUCCI 6


On appelle problème de Cauchy associé à l’équation homogène linéaire du pre-mier ordre tout système de la forme :

{

y′ + a(x)y = b(x)y(x0) = y0.

Définition 4 (Problème de Cauchy d’une EDL1)

On parle aussi d’équation différentielle avec conditions initiales.

Le théorème (1) de structure et le théorème (2) de superposition s’appliquentà cette situation. On peut donc se contenter d’étudier l’équation homogène, et detrouver une solution particulière.

⌊1⌋. Augustin Louis, baron Cauchy, né à Paris le 21 août 1789 et mort à Sceaux le 23 mai1857, est un mathématicien français, membre de l’Académie des sciences et professeur à l’École po-lytechnique. Catholique fervent, il est le fondateur de nombreuses œuvres charitables, dont l’œuvredes Écoles d’Orient. Royaliste légitimiste, il s’exila volontairement lors de l’avènement de Louis-Philippe, après les Trois Glorieuses. Ses positions politiques et religieuses lui valurent nombred’oppositions.

Il fut l’un des mathématiciens les plus prolifiques de tous les temps, quoique devancé par Leon-hard Euler, Paul Erdos et Arthur Cayley, avec près de 800 parutions et sept ouvrages. Sesrecherches couvrent l’ensemble des domaines mathématiques de l’époque. On lui doit notammenten analyse l’introduction des fonctions holomorphes et des critères de convergence des suites et desséries entières. Ses travaux sur les permutations furent précurseurs de la théorie des groupes. Enoptique, on lui doit des travaux sur la propagation des ondes électromagnétiques.

Son œuvre a fortement influencé le développement des mathématiques au XIXièmesiècle, maisle fait qu’il publie ses résultats dès leur découverte sans y appliquer toute la rigueur souhaitée et lanégligence dont il fit preuve concernant les travaux d’Évariste Galois et de Niels Abel entachèrentson prestige. Il rejeta en effet le mémoire de Galois qui lui avaient été soumis en mai et n’eutaucune réponse, jugé par lui « incompréhensible », et celui d’Abel, sous le prétexte d’une « encretrop pâle », alors que ces deux mathématiciens morts avant Cauchy dans des conditions misérablesdevaient marquer profondément les mathématiques du XXe siècle.

Une telle attitude lui a été violemment reprochée. Dans sa biographie, Valson donne uneexplication : « On doit l’excuser de n’avoir pas toujours eu le temps de s’occuper des publicationsd’autrui, quand il n’a pas trouvé dans le cours de sa propre vie le loisir nécessaire pour relier etclasser ses travaux personnels. »

Le génie de Cauchy fut reconnu dès son plus jeune âge. Dès 1801, Lagrange eut ce commen-taire : « Vous voyez ce petit homme, eh bien ! Il nous remplacera tous tant que nous sommes degéomètres. »La prédominance de Cauchy en sciences s’explique par la multitude de ses domainesd’études : ses travaux embrassent à peu près toutes les branches des sciences mathématiques, depuisla théorie des nombres et la géométrie pure jusqu’à l’astronomie et l’optique.

Bien que ses talents de mathématicien aient été applaudis, les faveurs dont il bénéficia durantla Seconde Restauration ne furent pas appréciées. Critiquant ouvertement Laplace et Poisson, ilconnut rapidement des conflits avec ses anciens appuis à qui il devait ses premières publications. Sesrapports avec Poisson se dégradèrent avec le temps et une rivalité entre eux s’installa. Ses votesà l’Académie étaient considérés comme orientés. Malgré l’influence de Cauchy sur les nouvellesgénérations, ses dernières années furent obscurcies par une querelle de priorité en mécanique, où ilrefusa de reconnaître son erreur.

F.PUCCI 7


II.2 Solutions de l’équation homogène

L’ensemble des solutions de l’équation homogène y′ = a(x)y est :

S0 ={

y : x 7−→ λeA(x)}

,

où A est une primitive de la fonction (continue) a et λ est une constante.

Théorème 3 (Résolution y′ = a(x)y, a continue)

Toutes les solutions de (E0) sont donc colinéaires à x 7−→ eA(x). On dit alors quel’ensemble des solutions est une droite vectorielle, ou d’une autre manière que S0 estde dimension un.

Remarque : Il n’y a qu’une fonction qui s’annule : la fonction nulle.

Preuve: Par hypothèse, la fon tion a est ontinue don elle est primitivable.

Sa hant que y est une fon tion dérivable par né essité, la fon tion x 7−→ y(x)e−A(x)

est également dérivable et on a :

y ∈ S0 ⇐⇒ y′ − a(x)y = 0 ⇐⇒ y′e−A(x) − A′(x)ye−A(x) = 0 ⇐⇒(

ye−A(x))′

= 0

⇐⇒ ∃ λ ∈ R, y = λeA(x).

Exemple 3 : y′ + xy = x.

1. L’équation homogène associée a pour ensemble de solutions les fonctions de

la forme x 7−→ λe− x2

2 .

2. Une solution particulière évidente est la fonction constante égale à 1.

3. Les solutions de l’équation sont donc de la forme :

x 7−→ λe− x2

2 + 1.

Remarque : Comment retrouver cette formule si on l’a oubliée.

1. Au brouillon ou à la manière des physiciens, on s’autorise des divisions pary (rigoureusement incorrect si on n’a pas justifié que la fonction ne s’annulepas !).

L’équation s’écrit alorsy′

y= a(x).

2. On reconnait en la dérivée de ln |y| (appelée dérivée logarithmique de y).

⌊1⌋. colinéaires

F.PUCCI 8


3. On primitive, on passe à l’exponentielle et le tour est joué.

Au propre, il est préférable d’utiliser directement la formule du cours, pour éviterles problèmes de justification issus de la division par y.

Exercice 1 : Résoudre les équations différentielles suivantes :

1. y′ = ay où a est une constante.

2. y′ = yxα sur R si α > 0, sur R∗+ sinon.

3. sin(x)y′(x) − cos(x)y = 0 sur I =]0 ; π [.

4. 2xy′ − y = 0 sur R− et R+. Possibilité de résoudre cette équation sur R ?

Correction : Les solutions de sin(x)y′(t) − cos(t)y = 0 sont de la forme x 7−→ λ sin x,

λ ∈ R, elle de 2xy′ − y = 0 de la forme x 7−→ λ±√

±t.

II.3 Solution particulière de y′ = a(x)y + b(x)

Pour commencer, fractionner éventuellement le problème en problèmes plus simplespar le théorème (2) de superposition.

On suppose cette première étape effectuée, et on cherche une solution particulièrede l’équation

y′ = a(x)y + b(x).

Exemple 4 (Solution particulière avec second membreexponentielle-polynôme ) : On consi-

dère un nombre a ∈ K, une fonction polynomiale P à coefficients dans K etl’équation différentielle linéaire :

y′ + ay = P (t)eλt. (E)

Alors l’équation (E) a au moins une solution particulière de la forme

t 7−→ tmQ(t)eλt,

où Q est une fonction polynomiales à coefficients dans K telle que deg(Q) = deg(P )et :

— m = 0 si λ + a 6= 0.

— m = 1 si λ + a = 0.

Dans certains cas de second membre bien particulier, quand a est une fonctionconstante, on peut systématiquement se dispenser de la méthode de variation dela constante développée ci après, et chercher directement une solution particulièred’une forme pas trop compliquée.

F.PUCCI 9


Voici les trois principaux cas que vous croiserez :

— y′ +ay = P (x), où a est constante, et P (x) est un polynôme de degré n, admetune solution particulière polynomiale de degré n.

— y′ + ay = P (x)eλx, où a est constante et P est un polynôme de degré n, admetune solution particulière de la forme

yp(x) = Q(x)eλx,

où Q est un polynôme de degré n si a + λ 6= 0, de degré n + 1 sinon.

— y′ + ay = α cos(ωx) + β sin(ωx), où a est une constante, et ω ∈ R, admet unesolution particulière de la forme

yp(x) = γ cos(ωx) + δ sin(ωx).

Exercice 2 : Déterminer les solutions de y′−y = (2x+1)ex, y′+y = cos(2x)+2 sin(2x)et y′ + y = 4 cosh(x).

Correction : Les solutions de l'équation homogène sont de la forme Kex.

Comme le oe� ient dans l'exponentielle orrespond à elui du membre de droite, on va

her her une solution parti ulière sous la forme

yp(x) = (ax2 + bx + c)ex.

On a alors y′p(x) = (2ax + b)ex + (ax2 + bx + c)ex

= (2ax + b)ex + yp

y′p(x) − yp(x) = (2ax + b)ex

yp est don solution de l'équation omplète si 2ax + b = 2x + 1. On peut hoisir a = b = 1et, par exemple puisqu'il n'y a au une ondition sur c, c = 0 pour obtenir la solution

yp : x 7−→ (x2 + x)ex.

Les solutions de l'équation omplète sont don les fon tions de la forme :

x 7−→ (x2 + x + K)ex.

Le même raisonnement donne pour la deuxième : x 7−→ Ke−2x +34

cos(x) − 14

sin(x).

En premier lieu, essayez de DEVINER une solution particulière. Vous pouvez parexemple pour cela vous aider de l’homogénéité. Vous pouvez aussi rechercher unesolution constante ou polynomiale comme dans l’ exemple (4) ou l’ exemple (3) .

Mais n’y perdez pas trop de temps : s’il n’y a pas de solution évidente qui voussaute aux yeux, voici une méthode efficace, attribuée à Lagrange ⌊2⌋, pour trouverune solution particulière (au moins sous forme intégrale) à partir d’une solution del’équation homogène :

⌊2⌋. Joseph Louis, comte de Lagrange (en italien Giuseppe Lodovico ou aussi Giuseppe LuigiDe la Grange Tournier1), né à Turin en 1736 et mort à Paris en 1813, est un mathématicien,mécanicien et astronome italien naturalisé français. À l’âge de trente ans, il quitte le Piémont et vaséjourner à Berlin pendant vingt-et-un ans. Ensuite, il s’installe pour ses vingt-six dernières annéesà Paris, où il obtient la nationalité française sur l’instance d’Antoine Lavoisier.

F.PUCCI 10


1. Les solutions de l’équation homogène étant de la forme x 7−→ CeA(x) onrecherche une solution particulière de l’équation non homogène sous laforme x 7−→ C(x)eA(x) c.-à-d. on « rend la constante variable ».

2. En remplaçant dans l’équation différentielle et après simplification,x 7−→ C(x) s’obtient par primitivation.

Méthode 1 (Variation de la constante)

ATTENTION Il n’est pas toujours nécessaire d’employer la méthode de variationde la constante pour trouver une solution particulière : parfois elle est suffisammentévidente pour être devinée.

Exemples 5 :

1. Si a et b sont constants, la fonction constante égale à − b

aest solution de

y′ = ay + b.

2. La fonction x 7−→ λeαx est solution de y′ = ay + beαx où λ vérifie l’équationαλ = aλ + b.

Exercice 3 : Résoudre :

1. (x + 1)y′ − xy + 1 = 0 sur ] − 1 ; +∞ [.

2. y′ = 2y + sin(x) + ex + x sur R.

3. y′ = −y

x+ arctan(x) sur R

∗+.

Fondateur du calcul des variations avec Euler et de la théorie des formes quadratiques, ildémontre le théorème de Wilson sur les nombres premiers et la conjecture de Bachet sur la décom-position d’un entier en quatre carrés. On lui doit un cas particulier du théorème auquel on donnerason nom en théorie des groupes, un autre sur les fractions continues, l’équation différentielle deLagrange.

En physique, en précisant le principe de moindre action, avec le calcul des variations, vers1756, il invente la fonction de Lagrange, qui vérifie les équations de Lagrange, puis développela mécanique analytique, vers 1788, pour laquelle il introduit les multiplicateurs de Lagrange. Ilentreprend aussi des recherches importantes sur le problème des trois corps en astronomie, un deses résultats étant la mise en évidence des points de libration (dits points de Lagrange) (1772).

Il élabore le système métrique avec Lavoisier pendant la Révolution. Il est membre fondateurdu Bureau des longitudes (1795) avec, entre autres, Laplace et Cassini. Il participe à l’enseignementde mathématiques de l’École normale de l’an III avec Joseph Lakanal, de l’École polytechnique(dès 1797) avec Monge et Fourcroy. Il a aussi été le fondateur de l’Académie de Turin (1758).

En mécanique des fluides, il introduit le concept de potentiel de vitesse en 17817, bien enavance sur son temps. Il démontre que le potentiel de vitesse existe pour tout écoulement de fluideréel, pour lequel la résultante des forces dérive d’un potentiel. Dans le même mémoire de 1781, ilintroduit en plus deux notions fondamentales : le concept de la fonction de courant, pour un fluideincompressible, et le calcul de la célérité d’une petite onde dans un canal peu profond.

Rétrospectivement, cet ouvrage marque une étape décisive dans le développement de la méca-nique des fluides moderne.

Lagrange a aussi œuvré dans le domaine de la théorie des probabilités.

F.PUCCI 11


II.4 Problème de Cauchy associé à une EDL1

Nous pouvons maintenant résoudre le problème de Cauchy associé à une EDL dupremier ordre :

Soit a et b deux fonctions continues sur un intervalle I, à valeurs dans K, et Sl’ensemble des solutions à valeurs dans K de l’équation

y′ = a(x)y + b(x). (E)

Soit x0 un élément de I.Alors il existe une et une seule solution y de l’équation différentielle (E) telleque y(x0) = y0.

Théorème 4 (Théorème de Cauchy-Lipschitz pour les EDL1)

Les problèmes de Cauchy associés à des équations linéaires homogènes du premierordre ont donc toujours une solution unique : la valeur imposée permet de fixer laconstante λ du théorème (3) .

En particulier, on peut définir la fonction exponentielle comme l’unique solution del’équation différentielle y′ = y, avec condition initiale y(0) = 1.

Exemple 6 : Considérons l’équation différentielle y′ + 2xy = 0 (sur R), aveccomme condition initiale y(1) = 2.

Les solutions de l’équation sont de la forme λe−x2

, et la condition initiale se traduitalors par λe−1 = 2, soit λ = 2e.

Donc, l’unique solution de ce problème de Cauchy est la fonction y : x 7−→ 2e1−x2

.

Preuve: Soit A une primitive de la fon tion ontinue a véri�ant don A′ = a.

Comme e−A(x) 6= 0 sur I, on a une équation équivalente en multipliant les deux

membres de (E) par e−A(x):

∀ x ∈ I, e−A(x)(

y′ − a(x)y)

=d

dx

(

e−A(x)y(x))

= e−A(x)b(x)

Ave y(x0) = y0, en primitivant entre x0 et x ∈ I, on obtient :

e−A(x)y(x) − e−A(x0)y0 =∫ x

x0

e−A(u)b(u)du.

Si A désigne la primitive de a s'annulant en x0 :

y(t) = eA(x)(

y0 +∫ x

x0

e−A(u)b(u)du)

.

F.PUCCI 12


On a montré, en parti ulier, dans la preuve de e résultat, que toute solution de (E)est bien de la forme x 7−→ λ(x)eA(x)

, e qui justi�e la méthode de variation de la

onstante.

Remarque : La formule y(t) = eA(x)(

y0 +∫ x

x0

e−A(u)b(u)du)

donnant la forme gé-

nérale de la solution de (E) n’est à peu près d’aucune utilité pour le calcul pratiquede solution, puisqu’on ne saura pas calculer l’intégrale.

Pour réellement résoudre une équation différentielle, il faut (et c’est bien le plusdifficile) trouver une solution particulière (cf. partie (II.3)).

Pour cela, deux techniques utiles :

Exercice 4 : Résoudre y′ − 12x

y =√

x sur I = R∗ avec y(1) = 1.

Correction :� La solution de l'équation homogène est x 7−→ λ

√x, λ ∈ R.

� Par la méthode de la variation de la onstante, une solution parti ulière de (E) estx 7−→ x

√x.

� La solution générale de (E) est don x 7−→ (λ + x)√

x, λ ∈ R.

� La ondition initiale impose λ = 0.

La solution du problème de Cau hy onsidéré est don x 7−→ x√

x.

On considère deux fonctions a et b continues sur un intervalle I et à valeursdans R ainsi que l’équation différentielle

y′ = a(x)y + b(x). (E)

Alors :

— Une seule courbe intégrale définie sur I passe par le pointM0(x0, y0) ∈ I × R.

— Deux telles courbes intégrales distinctes ne peuvent se couper dans I ×R.

Corollaire 1 (Étude qualitatives des courbes intégrales)

Preuve: Le premier point est une reformulation du théorème (4) .

Montrons le deuxième point : supposons que deux ourbes intégrales se oupent en

M0 (x0 ; y0). Notons y1 et y2 les solutions de (E) sur I orrespondantes. Elles sont

don toutes deux solutions du même problème de Cau hy :

{

(E)y(x0) = y0.

Par uni ité, on a don y1 = y2.

F.PUCCI 13


Remarque : La seule solution de (E0) : y′ = a(t)y telle que y(x0) = 0 est la fonctionnulle.

En effet, la fonction nulle est solution de (E0). Et par la proposition précédente,c’est l’unique solution telle que y(x0) = 0.

La seule solution de (E0) qui s’annule est donc la fonction nulle.

II.5 Problèmes de raccordement (ou recollement)

On revient aux équations différentielles linéaires non normalisées :

a(x)y′ + b(x) = c(x), (EDL1)

Lorsqu’on cherche à résoudre (EDL1), on se ramène à la situation précédente endivisant par a(x). Si a ne s’annule pas sur I, cela ne pose pas de problème. Mais ilpeut arriver que a s’annule. Dans ce cas le théorème (4) de Cauchy peut tomberen défaut.

Si par exemple a s’annule en un nombre fini de points x1 < . . . < xn, cela définit desintervalles I1, I2, . . . ,In+1 ouverts en x1, . . . , xn, et dont l’union fait I \ {x1, . . . , xn}.

On peut résoudre l’équation sur chaque intervalle selon la méthode précédente, puisessayer de prolonger les fonctions obtenues sur chaque intervalle, en définissant desvaleurs adéquates en x1, . . . , xn.

Ainsi, la solution générale sur I s’obtiendra en raccordant des solutions sur chaqueIk selon des valeurs de y(xk) à définir.

Pour qu’on puisse affirmer qu’on obtient ainsi une solution de l’équation différentiellesur I tout entier, il y a quelques conditions à vérifier :

— Pour que y soit solution de l’ED, l’égalité doit être vérifiée aussi aux points xi,ce qui impose la dérivabilité de y ⌊3⌋

Ainsi, le raccordement doit se faire par prolongement par continuité (à gaucheet à droite) aux xi. Cela impose souvent déjà des conditions fortes, comme parexemple des relations entre des constantes d’intégrations.

— Il faut ensuite vérifier la dérivabilité aux points xi des fonctions ainsi définies,et s’assurer que l’équation différentielle est bien satisfaite en ces points.

On va voir sur des exemples que ces conditions sont satisfaites dans certains cas, pasdans d’autres.

Exemple 7 : Déterminons les solutions de (E) : xy′ − 2y = x3 sur R.

C’est une équation différentielle linéaire d’ordre 1 à coefficients variables et conti-nus, non normalisée. On commence par la résoudre sur des intervalles sur lesquelsx 6= 0, soit sur R

∗+ et sur R

∗−.

⌊3⌋. même si y′(xi) est ensuite multiplié par 0, on ne peut pas donner de sens à 0 × y′(xi) si y

n’est pas dérivable en xi !

F.PUCCI 14


On montre que les solutions f− et f+ sur chacun de ces intervalles sont définiesrespectivement par :

∀x ∈ R∗−, f−(x) = λx2 + x3 et ∀x ∈ R

∗+, f+(x) = µx2 + x3,

pour deux constantes λ et µ réelles à déterminer.

On cherche alors les solutions f sur R tout entier. Celle-ci sera nécessairementsolution sur R

∗+ et sur R

∗− donc il doit exister deux constante λ et µ telles que :

f(x) =

{

f−(x) = λx2 + x3 si x < 0f+(x) = µx2 + x3 si x > 0

Prenons x = 0 dans l’équation (E), on obtient : 0×f ′(0)−2f(0) = 0, soit f(0) = 0.

La fonction f devant être continue en 0, on doit nécessairement avoir

limx→0−

f(x) = f(0) = limx→0+

f(x).

Or, limx→0−

f(x) = limx→0−

f−(x) = limx→0−

= λx2 + x3 = 0 et

limx→0+

f(x) = limx→0+

f+(x) = limx→0+

= µx2 + x3 = 0.

Ces deux relations étant vraies indépendamment de λ et µ, ceci n’amène aucunecontrainte sur celles-ci.

On étudie alors la dérivabilité de f de la même manière :

limx→0−

f(x) − f(0)x

= limx→0−

f−(x)x

= limx→0−

λx2 + x3

x= lim

x→0−

λx + x2 = 0

limx→0+

f(x) − f(0)x

= limx→0+

f+(x)x

= limx→0+

µx2 + x3

x= lim

x→0+µx + x2 = 0.

Ici encore, cette condition est bien satisfaite sans imposer de contrainte sur λ etµ ∈ R.

Finalement, les solutions de (E) sur R sont donc les fonctions de la forme :

f(x) =

{

λx2 + x3 si x < 0µx2 + x3 si x > 0

pour tout λ, µ ∈ R.

Remarque : Le problème de Cauchy ((E) ; y(0) = 0) a donc une infinité de solu-tions. A l’opposé, le problème de celui où y(0) = 1 qui n’a aucune solution, celle-ciétant imposée par l’équation. Le théorème de Cauchy tombe en défaut en x = 0c.-à-d. là où le coefficient x de y′ s’annule.

F.PUCCI 15


Exemple 8 : Résoudre (E) : (1 − x)y′ − y = x sur R.

C’est une équation différentielle linéaire d’ordre un à coefficients variables et conti-nues, non normalisée.

On commence par la résoudre sur des intervalles sur lesquels 1 − x 6= 0, soit sur]1 ; +∞ [ et sur ] − ∞ ; 1 [.

On montre que les solutions f]1;+∞ [ et f]−∞;1 [ sur chacun de ces intervalles sontdéfinies respectivement par :

∀x ∈]1 ; +∞ [, f]1;+∞ [(x) =λ

1 − x+

x2

2(1 − x)

et ∀x ∈] − ∞ ; 1 [, f]−∞;1 [(x) =µ

1 − x+

x2

2(1 − x)

pour deux constantes λ et µ réelles à déterminer.

On cherche à présent les solutions de (E) sur R. Soit f une de ces solution.

On a alors :

∃ λ, µ ∈ R tels que f(x) =

λ

1 − x+

x2

2(1 − x)pour tout x > 1,

µ

1 − x+

x2

2(1 − x)pour tout x < 1.

Prenons x = 1 dans l’équation. On obtient 0 × f ′(1) − f(1) = 1 ⇐⇒ f(1) = −1.

La fonction f devant être continue en 1, cela impose λ = µ = −12

c.-à-d. f(x) = −12

− x

2sur R.

Conséquence, f est alors dérivable en 1.

En conclusion, (E) possède une unique solution sur R qui est

x 7−→ −12

− x

2.

Remarque : Le problème de Cauchy ((E) ; y(1) = 0) n’a pas de solution dans cecas alors que celui où y(1) = −1 a, pour sa part, une unique solution.

Exercice 5 : Résoudre sur R les équations différentielles suivantes :

1.√

|x|y′ = y. 2. xy′ = y.

F.PUCCI 16


Résolution des EDL1 à coefficients constants

Du fait de son importance pratique, on isole dans le résultat suivant la résolutioncomplète du cas d’une équation y′ = ay + b dans le cas où a et b sont constants(réels ou complexes).

Ce théorème est un corollaire immédiat des résultats des sections précédentes.

Soit a et b deux éléments de K. L ’ensemble des solutions de l’équation différen-tielle y′ = ay + b est :

S =

{

y : x 7−→ λeax − b

a, λ ∈ K

}

.

En particulier, l’unique solution telle que y(x0) = y0 est :

y : x 7−→(

b

a+ y0

)

λea(x−x0) − b

a=

b

a

(

λea(x−x0) − 1)

+ λy0ea(x−x0).

Théorème 5 (Équation linéaire y′ = ay + b à coefficients constants)

II.6 Un peu de physique : Circuit RL

On considère un circuit électrique constitué d’un échelon de tension E, une résistanceR, une bobine d’inductance L et un interrupteur.

R

L

E

K

À l’instant t = 0, on ferme l’interrupteur, qui était jusque là ouvert. Comment évoluel’intensité i dans le circuit ?

L’intensité vérifie l’équation différentielle :

Ldi

dt+ Ri = E,

avec comme condition initiale i(0) = 0.

En notant τ =L

R(constante de temps du circuit), on obtient :

i′ +i

τ=

E

L.

F.PUCCI 17


1. Les solutions de l’équation homogène sont de la forme t 7−→ λe− tτ ,

2. la fonction constance àE

Lest solution particulière de l’équation.

3. La solution générale est donc de la forme

t 7−→ E

R+ λe− t

τ .

4. Comme de plus i(0) = 0, on obtient λ = −E

Rsoit :

i(t) =E

R

(

1 − e− tτ

)

, (si t > 0, bien entendu).

La fonction i est donc une fonction d’atténuation dont la courbe ressemble à (9.1)

en prenant, par exemple,E

R= 4 et τ = 2.

La fonction est donc strictement croissante sur R+, avec une asymptote horizontale

de valeurE

Ren +∞.

À ce propos, la tangente à la courbe à t = 0 a pour coefficient directeur

di

dt(0) =

E

L− Ri(0) =

E

L.

Cette tangente, d’équation y =E

Lt, coupe donc l’asymptote à la courbe y =

E

Ren

x =

E

RE

L

=L

R= τ.

t

i(t)

1

4

1 τ

Régime transitoire Régime permanent

Figure 9.1 – Intensité dans un circuit LC en régime forcé

F.PUCCI 18

Chapitre 9: Équations différentiellesIII. RÉSOLUTION DES EDL D’ORDRE 2 À COEFFICIENTS CONSTANTS

En physique, on dira plutôt que l’intensité est en régime permanent quand elles’approche fortement de son asymptote.

En pratique, pour un circuit RL, on considère le régime permanent atteint pourt = 3τ , à cet instant, l’intensité vaut environ 95% de sa valeur maximale, et enrégime transitoire dans sa période de forte croissance.

Exercice 6 : Quelle est la réponse en intensité d’un circuit RL en régime alter-natif lorsque E =

√2 cos(ωt), où ω ∈ R ?

III Résolution des EDL d’ordre 2 à coefficients constants

Les méthodes ne sont pas très différentes de celles vues pour le premier ordre.

Simplement, la complexité devenant nettement plus élevée, on se restreindra au casde coefficients constants.

En attendant d’avoir ces outils, nous nous contentons d’une étude dans un casbeaucoup moins général, celui où tous les coefficients de l’équation sont constants,dans R ou C.

Par commodité, on note K = R ou C, selon le contexte dans lequel on se place, pouréviter d’avoir à distinguer les deux cas dans les énoncés.

On appelle problème de Cauchy associé à l’équation homogène linéaire dudeuxième ordre tout système de la forme :

y′′ + a(x)y′ + b(x)y = c(x)y′(x0) = y1

y(x0) = y0.

Définition 5 (Problème de Cauchy d’une EDL2)

III.1 Situation

L’outil matriciel permet de se ramener à une équation différentielle matricielle

d’ordre 1 en posant Y =

y

y′

, qui s’étudie comme plus haut, mais nécessite quelques

connaissances supplémentaires sur le calcul matriciel notamment la définition de l’ex-ponentielle de matrices. En effet, et brièvement :

y′′ = ay′ + by ⇐⇒{

y′′ = by + ay′

y′ = y′ ⇐⇒ Y ′ = AY où A =

b a

0 1

.

Nous verrons cela plus tard . . .

Si le coefficient du terme en y′′ est nul, on est ramené à l’étude d’une équation d’ordre1. On peut donc supposer que ce coefficient est non nul, et en divisant l’équationpar ce coefficient, on est ramené à l’étude d’une équation de la forme suivante :

y′′ + ay′ + by = f(x) où a, b ∈ K et f continue à valeurs dans K.

F.PUCCI 19


Dans cette situation encore, on peut :

1. utiliser le théorème de structure de l’ensemble des solutions, qui nous dit qu’onpeut se contenter de la résolution du système homogène y′′ + ax + by = 0, etde la recherche d’une solution particulière,

2. utiliser le principe de superposition pour ramener la recherche des solutionsparticulières au cas de fonctions f les plus simples possibles.

III.2 Solutions de l’équation homogène

La méthode ci-dessous est importante en soi, même si l’utilisation directe du théo-rème qu’on en déduit est plus efficace.

Cependant, le deuxième point de cette méthode se généralise au cas d’équationslinéaires d’ordre 2 à coefficients non constants, à condition d’avoir réussi à trouverune solution particulière de l’équation homogène (ce qui constitue alors souvent lepoint délicat de la résolution).

C’est une situation plus générale s’adaptant au cas d’équations différentielles li-néaires du second ordre à coefficients quelconques.

Soit yp une solution particulière de l’équation y′′ + a(x)y′ + b(x)y = 0.

1. On pose y = ypz (changement de fonction) ⌊4⌋.

2. Vérifier que z vérifie l’équation (en tout point en lequel yp ne s’annulepas) :

ypz′′ + (2y′

p + a)z′ = 0.

3. Résoudre l’équation différentielle d’ordre 1 d’inconnue z′ et primitiver en-core pour obtenir z.Comme il y a deux quadratures, on obtient deux paramètres sur chaqueintervalle c.-à-d. l’espace des solutions est de dimension 2.

4. Attention aux éventuels raccordements à faire si y0 s’annule.

Méthode 2 (Recherche des solutions de y′′ + a(x)yt + b(x)y = 0)

Remarques :— Il peut arriver qu’une solution soit évidente, mais pas les autres.

La méthode ci-dessus est adaptée dans ce cas.

— Si les coefficients a et b sont polynomiaux, on peut espérer trouver une solutionpolynomiale (ce n’est pas systématiquement possible).Essayer de déterminer a priori le degré du polynôme par un argument surle coefficient dominant, puis écrire l’ED avec les coefficients du polynôme àdéterminer.On trouve alors l’ensemble de toutes les solutions par la méthode ci-dessus.

⌊4⌋. Remarquez qu’il s’agit encore d’une variation de constante, puisque Ky0 est solution.

F.PUCCI 20


On obtient, par application de cette méthode, en recherchant d’abord une solutionexponentielle :

Soient a et b des nombres complexes. S0 l’ensemble des solutions de l’équation

y′′ + ay′ + by = 0.(

EDL2

)

0

Alors :

— S0 ={

y : x 7−→ λer1x + µer2x}

si ∆ 6= 0.

— S0 ={

y : x 7−→ (λx + µ) erx}

si ∆ = 0.

où ∆ est le discriminant de r2 + ar + b = 0 et r1, r2 et r ses solutions suivantles cas.

Théorème 6 (Résolution d’une(

EDL2

)

0à coefficients constants)

En particulier, S0 est un espace vectoriel de dimension 2.

Le polynôme X2 + aX + b est appelé polynôme caractéristique de l’équationdifférentielle y′′ + ay′ + by = 0.

Définition 6 (Équation caractéristique)

Preuve: Comme énon é, her hons une solution sous la forme y(x) = erx.

y(x) = erxest solution de

(

EDL2

)

0⇐⇒

(

r2 + ar + b)

erx = 0

⇐⇒ r2 + ar + b = 0

⇐⇒ r est ra ine de l'équation ara téristique :

r2 + ar + b = 0. (9.1)

Dans e as, on véri�e aisément que les fon tions x 7−→ er1x, x 7−→ er2x

ou x 7−→ (λx+µ)erx

sont solutions de

(

EDL2

)

0.

On peut alors appliquer la méthode (2) et poser y(x) = z(x)erxoù r est une des

ra ines pré édentes (simple ou double).

On alors :

y(x) = z(x)erx

y′(x) =(

z′(x) + rz(x))

erx

y′′(x) =(

z′′(x) + 2rz′(x) + r2z(x))

erx

y′′(x) + ay′(x) + by =(

z′′(x) + (2r + a)z′(x) + (r2 + ar + b)︸︷︷︸

=0

z(x))

erx.

F.PUCCI 21


y est don solution de

(

EDL2

)

0si, et seulement si z est solution di�érentielle du

premier ordre :

z′′ + (2r1 + a)z′ = 0. (9.2)

� Si r est solution double de (9.1) alors r = − 12a

⇐⇒ 2r + a = 0. L'équation

(9.2) se réduit alors à :

z′′ = 0 ⇐⇒ z est une fon tion a�ne.

On retrouve don bien des solutions de la forme :

y(x) = (λx + µ)erx.

� Si r1 est solution simple de (9.1), alors :

z′(x) = λe−(2r1+a)x.

D'où z(x) = λe−(2r1+a)x + µ .-à-d. y(x) = z(x)er1x = λe−(r1+a)x + µer1x.

En remarquant, d'après les relations oe� ients-ra ines d'un polyn�me que

r1 + a = −r2 la deuxième ra ine de (9.1), on obtient la forme générale de la

solution sous la forme :

y(x) = λer2x + µer1x.

Remarques :1. Si ∆ 6= 0, la première étape de la méthode exposée pour trouver ces solutions

nous fournissait déjà la totalité des solutions (puisqu’on pouvait choisir indiffé-remment r1 ou r2 et puisque l’ensemble des solutions est stable par combinaisonlinéaire).La deuxième étape sert dans ce cas seulement à prouver qu’il n’y a pas d’autresolution.

2. Dans le cas où ∆ = 0, la deuxième étape nous fournit une solution que lapremière étape ne nous permettait pas d’obtenir.Même si les coefficients a et b sont réels, il peut arriver que l’expression obtenueau bout fasse intervenir des exponentielles complexes (cas où ∆ < 0).La solution générale obtenue est alors une fonction à valeurs complexes. Parmicelles-ci, certaines sont à valeurs réelles. On est souvent intéressé par ces fonc-tions spécifiquement.La méthode trouve là toute sa pertinence.

3. La méthode exposée ci-dessus est aussi valable pour des coefficients variables,à partir du moment où on connait une solution particulière.

Voici un résultat permettant de retrouver facilement l’ensemble des solutions à va-leurs réelles :

F.PUCCI 22


Soit y′′ + ay′ + by = 0 une équation différentielle linéaire à coefficients constantsréels.Soient SC l’ensemble de toutes ses solutions à valeurs complexes et SR celui dessolutions à valeurs réelles.Alors :

SR ={

Re (y) / y ∈ SC

}

.

Proposition 1 (Passer des solutions complexes aux solutions réelles)

Preuve: Par double-in lusion :

� Par linéarité de la dérivation, si y est solution, Re (y) aussi, et est à valeurs

réelles.

� Une solution réelle est aussi dans SC et est partie réelle d'elle-même.

On obtient alors :

Soit ∆ le discriminant du polynôme caractéristique .

X2 + aX + b = 0 (9.3)

de l’équation différentielle y′′ + ay′ + by = 0.

— Si ∆ > 0 alors SR ={

y : x 7−→ λer1x + µer2x}

où r1 et r2 sont les racinesréelles de (9.3).

— Si ∆ = 0 alors SR ={

y : x 7−→ (λx + µ) erx}

où r est la racine doublede (9.3).

— Si ∆ < 0 alors SR ={

y : x 7−→ eαx(

λ cos(ωx)+µ sin(ωx))}

où r1 = α+iω

et r2 = α − iω sont les racines complexes (conjuguées) de (9.3).

Théorème 7 (Expression des solutions réelles de y′′ + ay′ + by = 0)

Preuve: D'après la proposition (1) , il su�t de prendre la partie réelle de

fon tion sous la forme :

y(x) = λer1x + µer2x.

On le démontre à la main pour l'intérêt de la manipulation algébrique :

Ave r1 = r2 = α + iω, on a :

y(x) = λer1x + µer2x

= eαx(

λeiωx + µe−iωx)

F.PUCCI 23


Or, y(x) est réelle si, et seulement si λ = µ :

= eαx(

(λ + µ) cos(ωx) + (λ − µ) sin(ωx))

= eαx(

A cos(ωx) + B sin(ωx))

.

Dans le cas périodique, on peut aussi réexprimer les solutions en regroupant sin etcos :

SR ={

y : x 7−→ Aeαx cos(ωx + ϕ), (A ; ϕ) ∈ R2}

.

Enfin, dans le cas ∆ > 0, les solutions peuvent aussi s’exprimer sous une formetrigonométrique mais hyperbolique cette fois :

λer1x + µer2x = er1+r2

2 x(

λer1−r2

2 x + µe− r1−r2

2 x)

On pose α =r1 + r2

2et ω =

r1 − r2

2⌊5⌋ :

= eα x(

(λ + µ) cosh(ωx) + (λ − µ) sinh(ωx))

= eαx(

A cosh(ωx) + B sinh(ωx))

,

SR ={

y : x 7−→ eαx(

λ cosh(ωx) + µ sinh(ωx))}

={

y : x 7−→ Aeαx cosh(ωx + ϕ), (A ; ϕ) ∈ R2}

.

Exercice 7 : Déterminer les solutions réelles et complexes de l’équation différen-tielle y′′ + y′ + y = 0, et montrer qu’elles tendent vers 0 en +∞.

Exemple 9 (Circuit LC) : La charge q d’un condensateur dans un circuit LCconstitué d’un condensateur de capacité R et d’une bobine d’inductance L vérifiel’équation différentielle :

q′′ +1

LCq = 0. CL

⌊5⌋. Dans le cas complexe, on avait également ces deux relations.

F.PUCCI 24


Un petit tour en physique : Des équations différentielles de la forme y′′−ω2y = 0ou y′′ + ω2y = 0 avec ω ∈ R sont fréquentes en physique.

Par exemple, un physicien posera ω2 =1

LCdans l’équation précédente.

Leurs solutions s’écriront de manière homogène sous les formes λ cosh(ωx)+µ sinh(ωx)et λ cos(ωx) + µ sin(ωx) respectivement ou encore, suivant les préférence, sous les

formes A cosh(ωx + ϕ) et A cos(ωx + ϕ) avec A ∈ R et ϕ[

0 ;2π

ω

[

.

La constante A est appelée amplitude de la solution, et la constante ϕ déphasage.

III.3 Un peu de physique : Circuit RLC

Revenons une nouvelle fois à un peu de physique.

On considère cette fois un circuit RLC série muni d’un interrupteur que, comme ladernière fois, on fermera à t = 0.

R

C

L

K

On suppose le condensateur chargé avec une certaine charge q0 avant la fermeturede l’interrupteur.

On s’intéresse à l’évolution de cette charge q au cours du temps. Commedq

dt= i,

elle est, mathématiquement parlant, la primitive de l’intensité i.

Par ailleurs, la tension aux bornes d’un condensateur est donnée par uc =q

C, où C

est une constante appelée charge du condensateur.

La loi des mailles appliquée au circuit uR + uL + uC = 0 s’écrit :

Ldi

dt+ Ri +

q

C= 0.

Équation qui se met sous la forme habituelle :

q′′ +R

Lq′ +

1LC

q = 0.

On note usuellement en physique :

— ω0 =1√LC

⌊6⌋, constante appelée pulsation propre du circuit.

⌊6⌋. Vous allez vite comprendre pourquoi

F.PUCCI 25


— Q =1R

√

L

C=

L

Rω0, qu’on appelle facteur de qualité du circuit.

Notre équation différentielle devient :

q′′ +ω0

Qq′ + ω2

0q = 0.

On a, par ailleurs, les conditions initiales q(0) = q0 et q′(0) = i(0) = 0 (continuitéde la charge et de l’intensité).

Son équation caractéristique a pour discriminant ∆ =ω2

0

Q2(1 − 4Q2).

— Le discriminant est positif quand Q <12

, auquel cas les deux racines de l’équa-

tion caractéristiques sontω0

2Q

(

±√

1 − 4Q2 − 1)

, négatives toutes les deux.

La charge est donc une somme de deux exponentielles décroissantes.

t

q(t)

On parle alors de régime apériodique, la charge se contentant de décroitre deq0 vers 0.

— Au contraire, lorsque Q >12

, le discriminant de l’équation est négatif, et

on a donc une charge qui est le produit d’une fonction périodique par uneexponentielle décroissante.On parle alors de régime pseudo-périodique : la charge tend toujours vers 0,mais en oscillant avec une amplitude décroissante au cours du temps. Uneallure de la fonction de charge dans ce cas :

F.PUCCI 26


t

q(t)

— Enfin, dans le cas où Q =12

il y a une racine double et une charge qui est

produit d’une fonction affine par une exponentielle décroissante.

t

q(t)

On parle de régime critique, la courbe ressemble à celle du régime apériodique.

F.PUCCI 27


III.4 Solution générale du système non homogène

Soient I un intervalle de R, a, b, c ∈ K (a 6= 0) et f : I 7−→ K une fonctioncontinue.On considère l’équation différentielle :

ay′′ + by′ + cy = f(x).(

EDL2

)

Alors toute solution de(

EDL2

)

s’obtient en ajoutant à une solution particulière

yp de(

EDL2

)

une solution de l’équation homogène associée(

EDL2

)

0.

Ainsi l’ensemble S des solutions de(

EDL2

)

satisfait :

S = yp + S0.

La courbe représentative d’une solution y sur I est alors appelée courbe intégralesur I.

Proposition 2 (Structure des solutions)

— Pour obtenir l’ensemble des solutions de(

EDL2

)

, il faudra donc déterminer

une solution particulière de(

EDL2

)

, et lui ajouter l’ensemble des solutions

de(

EDL2

)

0(dont on a vu la forme).

— L’ensemble S est donc la somme d’un point yp et de combinaisons linéaires dedeux fonctions non proportionnelles.On dit alors que S est un plan affine.

Remarque : Soit y une solution de(

EDL2

)

sur I, alors y est de classe C2 sur I.

En effet, elle est supposée deux fois dérivable sur I et on a, de plus, y′′ continue sur

I puisque y′′(x) =1a

(

f(x) − by′(x) − cy(x))

.

Comme pour le cas d’EDL1, la première étape est l’utilisation du principe de super-position pour se ramener à des études plus simples.

Pour les EDL2, comme dans le cas des équations d’ordre 1, il existe une méthodedite « de variation des constantes » pour trouver une solution particulière, mais elleest plus délicate à mettre en œuvre.

Comme elle n’est pas au programme, nous nous limitons à l’étude de cas particuliersintervenant souvent en physique c.-à-d. des équations de la forme :

y′′ + ay′ + by = f(x), lorsque f(x) = Axneαx.

Cas particuliers :

— f(x) = Aeαx.

— f(x) = Axn et par superposition f ∈ C[X].

— f(x) = B cos(ωx) et plus généralement f(x) = Beαx cos(ωx), B, α, ω ∈ R.

— f(x) = B sin(ωx) et plus généralement f(x) = Beαx sin(ωx), B, α, ω ∈ R.

F.PUCCI 28


Par superposition, dans le cas général où f est une somme de fonctions sinusoïdalesde même pulsation.

On considère l’équation(

EDL2

)

avec f de la forme f(x) = eαxP (x) où α ∈ K

et P est un polynôme à coefficients dans K.Alors l’équation

(

EDL2

)

a au moins une solution particulière de la forme :

x 7−→ xmQ(x)eαx,

où Q est une fonction polynomiale à coefficients dans K telle que deg P = deg Qet :

— m = 0 si α n’est pas racine du polynôme caractéristique.

— m = 1 si α est racine simple du polynôme caractéristique.

— m = 2 si α est racine double du polynôme caractéristique.

Proposition 3 (Solution particulière avec second membre exponentiel-polynôme)

Exercice 8 : Déterminer les solutions réelles de y′′ − 3y′ + 2y = xe2x.

Correction :1. L'équation ara téristique est r2 − 3r + 2 = 0 dont les solutions sont 1 et 2.

2. Les solutions de l'équation homogène sont de la forme x 7−→ λe2x + µex.

3. On her he une solution parti ulière sous la forme y(x) = x(ax+ b)e2xet on trouve

a =12et b = −1.

Une solution parti ulière est don x 7−→(

12

x2 − x

)

e2x.

La solution générale est don :

x 7−→(

12

x2 − x

)

e2x + λe2x + µex.

Exercice 9 : Déterminer les solutions réelles de y′′ − 3y = x2 + 1 − ex.

Correction :1. L'équation ara téristique est r2 − 3r + 2 = 0 dont les solutions sont 1 et −1.

2. Les solutions de l'équation homogène sont de la forme x 7−→ λex + µe−x.

3. Pour her her une solution parti ulière, utilisons le prin ipe de superposition :

(a) On ommen e par her her une solution de l'équation y′′ − y = x2 + 1 sous la

forme y1(x) = ax2 + bx + c.

On a don y′′1 (x) = 2a ⇐⇒ −ax2 − bx + 2a − c = x2 + 1 ⇐⇒ a = −1, b = 0

et c = 2a − 1 = −3.On obtient don y1(x) = −x2 − 3.

F.PUCCI 29


(b) Cher hons maintenant une solution parti ulière à l'équation y′′ − y = exsous

la forme y2(x) = (αx + β)expuisque 1 est ra ine de l'équation ara téristique.

On a don y′1(x) = (αx + α + β)ex

, et y′′(x) = (α + 2α + β)ex, don

y′′′ − y = ex ⇐⇒ αx + 2α + β − (αx + β) = 1 ⇐⇒ α =12

.

On peut prendre n'importe quelle valeur pour β, hoisissons le par exemple

tel que y2(x) =12

xex.

Une solution parti ulière de l'équation omplète est don yp : x 7−→ −x2−3+12

xex.


x 7−→ −x2 − 3 +(

λ +12

x

)

ex + µe−x.

On peut également trouver par le même raisonnement des solutions particulièresdans le cas où un cos ou un sin apparait dans le second membre de l’équation :

Exercice 10 : Résoudre l’équation différentielle y′′ + y′ + y = ex cos x.

Correction :1. L'équation ara téristique est r2 + r + 1 = 0 dont les solutions omplexes sont

j = −12

+

√3

2et j.

2. Les solutions de l'équation homogène sont de la forme

x 7−→(

λ cos

(√3

2x

)

+ µ sin

(√3

2x

))

e12 x.

3. Pour trouver une solution parti ulière de l'équation générale, ommençons par re-

marquer que y′′ + y′ + y = Re

(

e(1+i)x)

.

Cher hons alors plut�t une solution parti ulière ( omplexe) de l'équation

y′′ + y′ + y = e(1+i)x.

On la her he sous la forme yp(x) = ae(1+i)x, où a ∈ C.

On a don y′p(x) = a(1 + i)e(1+i)x

et y′′p(x) = a(1 + i)2e(1+i)x = 2iae(1+i)x

. En

fa torisant par e(1+i)x,

yp est solution si, et seulement si a(2 + 3i) = 1 ⇐⇒ a =2 − 3i

13.

On a don yp(x) =2 − 3i

13e(1+i)x =

(2 cos(x) + 3 sin(x)

13

)

ex + i . . ..


x 7−→(

2 cos(x) + 3 sin(x)13

)

ex +

(

λ cos

(√3

2x

)

+ µ sin

(√3

2x

))

e12 x.

F.PUCCI 30


III.5 Problème de Cauchy associé à une EDL2

La résolution du problème de Cauchy ne pose désormais plus de problème.

Exemple 10 (y′′− 3y′ + 2y = 0) : Les solutions sont les fonctions de la forme

x 7−→ Aex + Be2x.

Si on impose y(0) = 1 et y′(0) = 0, par exemple, il existe une unique solution quiles vérifie.

Ici, on obtient le système

{

A + B = 1A + 2B = 0

, dont on tire A = 2 et B = −1.

La seule solution de ce problème de Cauchy est donc :

y : x 7−→ 2ex − e2x.

Soient I un intervalle de R, x0 ∈ I et (y0 ; y1) ∈ R2.

Alors il existe une unique solution y de l’équation y′′ + ay′ + by = 0 telle quey(x0) = y0 et y′(x0) = y1.

Théorème 8 (Théorème de Cauchy-Lipschitz les EDL2)

Preuve: D'après la proposition (2) , les solutions sont de la forme x 7−→ yp(x)+yH(x)ave yp une solution parti ulière et yH une solution de l'équation homogène.

Prenons, par exemple, yH(x) = λer1x + µer2xd'après le théorème (7) dans le as

où r1 6= r2.

On a alors : y(x0) = y0 ⇐⇒ y0 = yp(x0) + λer1x0 + µer2x0

et y′(x0) = y1 ⇐⇒ y1 = y′p(x0) + λr1e

r1x0 + µr2er2x0

.-à-d. {

y0 − yp(x0) = λer1x0 + µer2x0

y1 − y′p(x0) = λr1e

r1x0 + µr2er2x0

Le ouple (λ ; µ) est don solution d'un système de déterminant e(r1+r2)x0

(

r2−r1

)

6= 0don admettant une solution unique.

La solution y est don uniquement déterminée tout omme la solution du problème

de Cau hy.

Exemple 11 (y′′− 2y′ + y = 0) : Les solutions sont de la forme

x 7−→ (A + Bx)ex, et la seule vérifiant y(0) = 1 et y′(0) = 1 est la fonc-tion

x 7−→ ex. ⌊7⌋

F.PUCCI 31


On considère l’équation différentielle linéaire à coefficient constants(

EDL2

)

.Alors :

— Une seule courbe intégrale définie sur I passe par le pointM0(x0, y0) ∈ I ×R avec une tangente de pente donnée y′(x0) = y1 ∈ R ence point.

— Deux telles courbes intégrales distinctes ne peuvent se couper dans I × R

avec une tangente commune.

Corollaire 1 (Étude qualitatives des courbes intégrales)

Preuve: Simple reformulation du théorème (8) .

Ici encore, la seule solution de(

EDL2

)

0telle que y(x0) = y′(x0) = 0 est la fonction

nulle.

III.6 Un peu de physique : Les oscillateurs linéaires

Oscillations libres

Considérons le mouvement d’une masse m suspendue à un ressort vertical de raideurK et de longueur L, et soumise à une force de frottement fluide (par exemple enplaçant l’oscillateur dans un liquide visqueux)

−→F f = −α−→v .

1. En utilisant le principe fondamental de la dynamique, montrer que l’équationdu mouvement est régie par l’équation différentielle :

z′′ + 2λz′ + ω20z = 0. (Oscil0)

Où on a noté, comme d’usage en physique :

— 2λ =α

m, le coefficient d’amortissement de l’oscillateur,

— ω0 =

√

k

mqui représente la pulsation propre.

Correction : Si l'origine est en haut du ressort et l'axe verti al oriente vers le bas,

la loi fondamentale de la dynamique donne :

mz′′ = −αz − K(z − L) + mg ⇐⇒ mz′′ + αz′ + Kz = KL + mg.

Cette équation équation di�érentielle a un se ond membre onstant, et on véri�e

que z0 = L +mg

Kest solution onstante ( orrespondant à l'équilibre).

En portant l'origine en z0 .-à-d. en posant Z = z − z0, on obtient :

mZ ′′ + αZ ′ + KZ = 0 ⇐⇒ Z ′′ + 2λZ ′ + ω2Z = 0.

⌊7⌋. Bououh !

F.PUCCI 32


2. On précise les conditions initiales : z(0) = 10 et z′(0) = 0 c.-à-d. on supposel’oscillateur lâché sans vitesse initiale après avoir été tiré d’une longueur 10 àpartir de sa position d’équilibre). Dans les trois situations suivantes, déterminerl’expression explicite du mouvement :

(a) λ = 0 et ω0 = 1,

(b) λ = ω0 = 1,

(c) λ = 1 et ω0 =√

5.

Interprétation géométrique : Dans ce dernier cas, on observe un comportementtransitoire qui présente quelques oscillations périodiques avant de retrouver un étatstable.

3. Supposons toujours λ = 1 et ω0 =√

5.On impose à présent à l’extrémité supérieure du ressort un mouvement verti-cale sinusoïdale de sorte que son ordonnée à l’instant t est f(t) = 5 cos(t).

(a) Déterminer une expression explicite du mouvement.

(b) Déterminer le comportement asymptotique des solutions (état stable).

Vocabulaire : Le second membre d’une équation différentielle ay′′ + by′ + cy = f(t)est également appelé signal d’entrée et les solutions de l’équation définiront la ré-ponse du système étudie.

On parle de régime libre si f est la fonction nulle, et de régime forcé sinon.

Dans le cas d’un oscillateur harmonique amorti en régime libre, on parle de :

— Régime apériodique quand λ > ω0,

— Régime critique quand λ = ω0,

— Régime pseudo-périodique quand λ < ω0.

Oscillations libres

On reprend l’équation Oscil0 mais avec un second membre non nul :

z′′ + 2λz′ + ω20z = F cos(ωt). (Oscil)

Selon la théorie, la solution générale d’une telle équation est égale à la somme de lasolution générale de l’équation homogène et d’une solution particulière de l’équationnon homogène.

Ceci se traduit en disant que le mouvement obtenu est la somme de l’oscillationpropre, qui dépend des conditions initiales, et de l’oscillation forcée par la forceextérieure ; on parle aussi de réponse à l’excitation décrite par le second membre.

Généralement, il suffit de ne considérer que cette réponse qui subsiste seule aprèsl’extinction de l’oscillation propre due à l’amortissement.

Pour ce faire il est commode d’utiliser les nombres complexes en considérant simul-tanément l’équation :

x′′ + 2λx′ + ω20x = F sin(ωt),

F.PUCCI 33


et d’ajouter cette équation multipliée par i à la précédente.

En posant y = z + ix, on obtient :

y′′ + 2λy′ + ω20y = Feiωt.

La recherche d’une solution x = Xeiωt conduit à

(ω20 − ω2 + 2iλω)X = F.

En posant H(ω) =1

ω20 − ω2 + 2iλω

, cette équation se réécrit : X = H(ω)F .

H(ω) représente la fonction de transfert qui décrit la réponse en fonction de lapulsation.

Elle peut s’exprimer en module et argument :

H(ω) = |H|eiϕ.

D’où x = |H(ω)|F ei(ωt+ϕ).

La partie réelle estz = |H(ω)|F cos(ωt + ϕ).

Ainsi, à une excitation sinusoïdale un système linéaire fait correspondre une réponsesinusoïdale de même pulsation.

De même, à une somme de sinusoïdes correspond une somme de sinusoïdes. Pourchacune d’entre elles le module et l’argument de la fonction de transfert représententrespectivement l’amplification et le déphasage. À l’inverse, toute non-linéarité créedes composantes qui n’existent pas dans l’excitation.

Système conservatif : λ = 0.

La fonction de transfert est alors H(ω) =1

ω20 − ω2

∈ R et |H(ω)| =1

|ω20 − ω2| .

L’amplification croît avec un déphasage nul à partir de la valeur statiqueF

ω0jusqu’à l’infini lorsque ω atteint la valeur ω0.Ensuite elle décroît jusqu’à zéro avec un déphasage égal à −π, le déphasageétant défini par :

cos ϕ = limω→+∞

(ω20 − ω2)|H(ω)| = −1

sin ϕ = − limω→+∞

2λω|H(ω)| = 0

La valeur infinie correspond à la résonance lorsque le système est excité à sapulsation propre ω0.Dans la conception d’un système, le simple calcul de cette pulsation (ou fré-quence ou période propre) peut conduire à modifier l’inertie ou la raideur d’unsystème pour l’éloigner des excitations attendues.En tout état de cause, la réponse ne peut être que finie à cause de l’amortisse-ment qui est négligé ici.

F.PUCCI 34


Système dissipatif : λ 6= 0.Dans ce système plus réaliste, la fonction de transfert devient :

H(ω) =1

ω20 − ω2 + 2iλω

.

L’amplification est :

|H(ω)| =1

|(ω20 − ω2)2 + (2λω)2| .

Il apparaît que le dénominateur de la fonction de transfert ne peut plus s’an-nuler : pour un amortissement faible on a une courbe de réponse voisine decelle du système non amorti mais avec un maximum fini.En annulant la dérivée de |H(ω)| par rapport à ω2, on obtient la pulsation quidonne ce maximum :

ω2 = ω20 − 2λ2.

À mesure que le coefficient d’amortissement λ augmente, l’abscisse du maxi-mum diminue jusqu’à 0 où la fonction |H(ω)| de ω devient décroissante, ce quise produit pour l’amortissement critique :

λcrit = 2ω0.

Le déphasage est, ici, défini par :{

cos ϕ = (ω20 − ω2)|H(ω)|

sin ϕ = −2λω|H(ω)|— Pour les plus petites valeurs de la pulsation on a le régime quasi statique

dominé par la raideur dans lequel la réponse est en phase avec l’excitation.

— Pour les plus grandes, on atteint le régime dominé par l’inertie dans lequel

la réponse est en opposition et l’amplification est de l’ordre deF

ω2.

L’amortissement devient essentiel loin de ces deux extrêmes.

III.7 Méthode de variations des constantes

Considérons l’équation(

EDL2

)

: y′′ + ay′ + by = f(x).

Comme pour les équations différentielles linéaires d’ordre 1 on peut mettre en œuvreune méthode de variation des constantes à partir des solutions de l’équation homo-gène

y = λy1(x) + µy2(x),

où y1 et y2 sont deux solutions de rapport non constants ⌊8⌋ de(

EDL2

)

0c.-à-d. yi = erix

ou y1 = xerx et y2 = erx suivant le signe du discriminant caractéristique.

En considérant les constantes λ et µ comme des fonctions inconnues, on cherche unesolution particulière de

(

EDL2

)

sous la forme :

yp(x) = λ(x)y1(x) + µ(x)y2(x).

⌊8⌋. Nous verrons plus tard qu’on dit deux solutions libres ou indépendante de S0

F.PUCCI 35


On a alors :

y′p(x) = λ(x)y′

1(x) + µ(x)y′2(x) + λ′(x)y1(x) + µ′(x)y2(x)

︸︷︷︸

=0

.

Puisque nous cherchons une solution particulière nous pouvons imposer la condition :

λ′(x)y1(x) + µ′(x)y2(x) = 0.

D’où y′p(x) = λ(x)y′

1(x) + µ(x)y′2(x),

et y′′p(x) = λ(x)y′′

1(x) + µ(x)y′′2(x) + λ′(x)y′

1(x) + µ(x)′y′2(x).

Comme yp est une solution particulière de(

EDL2

)

, on a :

y′′ + ay′ + by = f(x)

λ(x) (y′′1 + ay′

1 + by1)︸︷︷︸

=0

+µ(x) (y′′1 + ay′

1 + by1)︸︷︷︸

=0

+λ′(x)y′1(x) + µ′(x)y′

2(x) = f(x)

λ′(x)y′1(x) + µ′(x)y′

2(x) = f(x).

Les fonctions λ′ et µ′ sont donc solution du système linéaire :{

λ′(x)y′1(x) + µ′(x)y′

2(x) = f(x)λ′(x)y1(x) + µ′(x)y2(x) = 0

(S)

Si le déterminant W (x) = y′1(x)y2(x) − y′

2(x)y1(x) de S, appelé Wronskien et nonnul, les fonctions λ′ et µ′ sont totalement déterminées par :

λ′(x) =y2(x)f(x)

y′1(x)y2(x) − y′

2(x)y1(x)et µ′(x) = − y1(x)f(x)

y′1(x)y2(x) − y′

2(x)y1(x).

Il « suffit » alors de primitiver pour obtenir successivement, λ, µ puis yp.

Remarque : Cette méthode se généralise aux équations différentielle d’ordre supé-rieur.

Exercice 11 : Résoudre y′′ + y = tan x.

Correction :� i et −i sont ra ines du polyn�me ara téristique don les solutions de l'équation

homogène sont de la forme :

yh = λ cos x + µ sin x.

� On her he une solution parti ulière sous la forme yp(x) = λ(x) cos x + µ(x) sin x

véri�ant la ondition λ′(x) cos x + µ′(x) sin x = 0.On a alors : y′

p = −λ(x) sin x + µ(x) cos x

et y′′p = −λ(x) cos x − µ(x) sin x − λ′(x) sin x + µ′(x) cos x.

F.PUCCI 36


Comme yp est une solution parti ulière de l'équation y′′ + y = tan x, on doit avoir :

y′′ + y = tan x

λ(x) (cos x − cos x︸︷︷︸

=0

+µ(x) (sin x − sinx)︸︷︷︸

=0

−λ′(x) sin x + µ′(x) cos x = tan x

−λ′(x) sin x + µ′(x) cos x = tan x.

Les fon tions λ′et µ′

sont don solution du système linéaire :

{

−λ′(x) sin x + µ′(x) cos x = tan x

λ′(x) cos x + µ′(x) sin x = 0(9.4)

Le déterminant W (x) de 9.4 est égal à 1 don 9.4 admet une unique solution :

λ′(x) = −sin2 x

cos xet µ′(x) = sin x.

Par intégration, on obtient λ(x) =∫

cos2 x − 1cos x

dx = sin x − ln∣∣∣∣tan

(x

2+

π

4

)∣∣∣∣ et

µ(x) = − cos x.

La solution parti ulière yp de y′′ + y = tan x est don :

yp(x) = λ(x) cos x + µ(x) sin x

=(

sin x − ln∣∣∣∣tan

(x

2+

π

4

)∣∣∣∣

)

cos x − cos x sin x

= − ln∣∣∣∣tan

(x

2+

π

4

)∣∣∣∣× cos x.

� La solution générale du système sera don :

y(x) =(

λ − ln∣∣∣∣tan

(x

2+

π

4

)∣∣∣∣

)

× cos x + µ sin x.

Exercice 12 : Résoudre sur ]0; π[ l’équation différentielle y′′ + y = cotan x, où

cotan x =cos x

sin x.

Correction : Les solutions de l'équation homogène sont les λ cos x + µ sin x. En posant

y1(x) = cos x et y2(x) = sin x, on va her her les solutions sous la forme λy1 + µy2,

véri�ant

{

λ′y1 + µ′y2 = 0λ′y′

1 + µ′y′2 = cotan x

⇐⇒{

λ′ cos x + µ′ sin x = 0λ′(− sin x) + µ′ cos x = cotan x

⇐⇒

λ′(x) =

0 sin x

cotan x cos x

cos x sin x

− sin x cos x

µ′(x) =

cos x 0− sin x cotan x

cos x sin x

− sin x cos x

F.PUCCI 37

Chapitre 9: Équations différentielles IV. COMPLÉMENTS : ÉQUATIONS PARTICULIÈRES

d'après les formules de Cramer, où

cos x sin x

− sin x cos x= 1. On obtient don

λ′(x) = − cos x

µ′(x) =cos2 x

sin x

e qui donne une primitive λ(x) = − sin x.

Pour µ, on her he à primitiver

cos2 x

sin xà l'aide du hangement de variable t = cos x (et

don dt = − sin t dx), on al ule une primitive

∫cos2 x

sin xdx = −

∫t2

1 − t2 dt = t −∫

11 − t2 dt

= t +12

ln(1 − t) − 12

ln(1 − t) = cos x +12

ln(1 − cos x) − 12

ln(1 − cos x)

En remplaçant, les solutions générales sont les

y(x) = c1 cos x+c2 sin x+(− sin x) cos x+(

cos x +12

ln(1 − cos x) − 12

ln(1 − cos x))

sin x

qui se simpli�e y(x) = c1 cos x + c2 sin x +12

sin x ln1 − cos x

1 + cos x, c1, c2 ∈ R.

IV Compléments : équations particulières

IV.1 Changement de variables

Il arrive que pour certaines équations différentielles qui n’entrent pas dans le cadreétudié précédemment, un changement de variable (et non pas de fonction inconnue)permette de s’y ramener.

En voici un exemple, soit à résoudre :

x2y′′ − xy′ + y = x, pour x > 0. (Ev)

On va effectuer le changement de variable x = et avec ∈ R.

Soit y une fonction deux fois dérivable sur I =]0 ; +∞ [, pour t ∈ R posons g(t) = y(

et)

.

Alors g est deux fois dérivable sur R et on a g′(t) = ety′(

et)

et g′′(t) = ety′(

et)

+e2ty′′(

et)

,d’où :

(Ev) ⇐⇒ ∀x > 0, x2y′′(x) − xy′(x) + y(x) = x

⇐⇒ ∀t ∈ R, e2ty′′(

et)

− 2ety′(

et)

+ y(

et)

= et

⇐⇒ ∀t ∈ R, g′′(t) − 2g′(t) + g(t) = et. (E ′v)

La fonction g vérifie donc une EDL2 coefficients constants dont l’équation caracté-ristique est r2 − 2r + 1 = (r − 1)2 = 0 qui admet 1 comme racine double.

F.PUCCI 38


Les solutions de l’équation homogène sont donc les fonction g0 : t 7−→ (a+bt)et avec(a ; b) ∈ R

2.

D’après les sections précédentes, il existe une solution particulière gp de la forme

gp(t) = ct2et. On trouve c =12

comme précédemment.

Les solutions générales de (E ′v) sont donc les fonctions

g : x 7−→(

a + bt +12

t2)

et.

Enfin, les solutions de (Ev) sont les fonctions

y : x 7−→(

a + b ln(x) +12

ln2(x))

x.

IV.2 Équations à variables séparées

Une équation différentielle à variables séparées est une équation de la forme :

y′b(y) = a(t),

où a, b sont deux fonctions continues données.

Définition 7

Si a est continue sur un intervalle I et b sur un intervalle J , on peut considérerune primitive A de a sur I et une primitive B de b sur J .Dans ce cas l’équation équivaut à :

ddt

(

B(y))

= A′(t).

D’où B(y) = A(t) + λ, λ ∈ R.On regarde ensuite si la fonction B est localement ou globalement bijective,auquel cas on pourra écrire :

y(t) = B−1(

A(t) + λ)

.

Méthode 3 (Équations à variables séparées)

Exercice 13 : Résoudre t3y′ + y3 = 0 avec y(1) = −1.

Correction : y ne doit pas être onstamment nulle et si une telle solution existe, il doit

exister un intervalle I sur lequel y ne s'annule pas .-à-d. un tel intervalle ne peut pas

ontenir 0 et sur I l'équation est équivalente à :

y′

y3 = − 1t3 .

F.PUCCI 39


C'est une équation à variable séparée.

Elle est équivalente à : − 1y2 =

1t2 + λ, e qui donne y2 = − t2

1 + λt2 .

La ondition initiale impose λ = −2.

Comme y ne s'annule pas sur I qui ne ontient pas 0, y garde un signe onstant et don

∀t ∈ I, y(t) =

√

t2

2t2 − 1.

Cette solution est dé�nie sur l'intervalle

]1√2

; +∞[

.

IV.3 Équation de Bernoulli

Une équation de Bernoulli ⌊9⌋est une équation différentielle de la forme

y′ = a(t)yk + b(t)y,

où a et b sont deux fonctions continues sur un intervalle I, et λ ∈ R \ {0, 1}.

Définition 8 (Équation de Bernoulli)

⌊9⌋. Daniel Bernoulli est un médecin, physicien et mathématicien suisse, né à Groningue le 8février 1700, et mort à Bâle, le 17 mars 1782.

Il étudie la médecine à Bâle (dès 1716), à Heidelberg (1718) et à Strasbourg (1719), puisrevient à Bâle en 1720 (docteur en médecine en 1721). N’ayant pu obtenir une chaire à Bâle,Bernoulli se rend à Venise en 1723 afin de poursuivre sa formation auprès du médecin PietroAntonio Michelotti1.

Il cultive à la fois les sciences mathématiques et les sciences naturelles, enseigne les mathé-matiques, l’anatomie, la botanique et la physique. Ami de Leonhard Euler, il travaille avec luidans plusieurs domaines des mathématiques et de la physique, et partage avec lui dix fois le prixannuel de l’Académie des sciences de Paris, si bien qu’il s’en fait une sorte de revenu.

Les différents problèmes qu’il tente de résoudre (théorie de l’élasticité, mécanisme des marées)le conduisent à s’intéresser et développer des outils mathématiques tels que les équations différen-tielles ou les séries. Il collabore également avec Jean le Rond d’Alembert dans l’étude des cordesvibrantes. Il fut le premier à utiliser un symbole (A.S.) pour désigner la fonction arc sinus.

Il passe quelques années à Saint-Pétersbourg, invité par Blümentrost de l’Académie, commeprofesseur de mathématiques, mais l’essentiel de sa carrière se déroule à l’université de Bâle où ilenseigne successivement l’astronomie, la médecine et la philosophie.

F.PUCCI 40


La fonction nulle est solution.S’il existe une solution y non constamment nulle, alors il doit exister un intervalleJ sur lequel y ne s’annule pas.Sur un tel intervalle y est de signe constant, on peut donc faire le changementde fonctions y = ±zα suivant le signe de y. L’équation devient alors :

az′ = b(t)z + a(t)zα(k−1)+1,

En prenant α =1

1 − k, on se ramène à une équation différentielle linéaire du

premier ordre que l’on sait donc résoudre.

Méthode 4 (Équation de Bernoulli)

Exercice 14 : Résoudre t2y′ + y + y2 = 0 avec y(1) = 1.

Correction : y est une solution non onstamment nulle. On pose don y = z−1 =1z e

qui donne :

z′ =1t2 z +

1t2 .

Les solutions de l'équation homogène sont les fon tions dé�nies par z(t) = λe− 1tet une

solution parti ulière est zp(t) = −1.

Les solutions générales sont don les fon tions dé�nies par z(t) = −1 + λe− 1t.

La ondition initiale donne λ = 2e.

D'où y(t) =1

2e1− 1

t − 1.

Cette solution est dé�nie sur l'intervalle

]1

1 + ln 2; +∞

[

.

Exercice 15 : Résoudre y′ = xy2 + y avec y(0) = 1.

Correction : y est une solution non onstamment nulle. On pose en ore y = z−1 =1z

e qui donne :

− z′

z2 =x

z2 +1z

⇐⇒ z′ = −z + x ave z(0) = 1.

1. Les solutions de l'équation homogène sont les fon tions dé�nies par z(x) = λe−xet

une solution parti ulière est zp(t) = 1 − x.

Les solutions générales sont don les fon tions dé�nies par z(t) = 1 − x + λe−x.

La ondition initiale impose λ = 0.

D'où y(t) =1

1 − xdé�nie sur l'intervalle ]−∞ ; 1 [.

F.PUCCI 41


Exercice 16 : Résoudre les équations différentielles suivantes à l’aide du change-ment de variable suggéré.

1. x2y′′ + xy′ + y = 0, sur ]0; +∞[, en posant x = et ;

2. (1 + x2)2y′′ + 2x(1 + x2)y′ + my = 0, sur R, en posant x = tan t (en fonctionde m ∈ R).

Correction :1. Puisqu'on her he y fon tion de x ∈]0; +∞[, et que l'appli ation t 7→ et

est bije tive

de R sur ]0; +∞[, on peut poser x = etet z(t) = y(et). On a alors t = ln x et

y(x) = z(ln x). Ce qui donne :

y(x) = z(ln x) = z(t)

y′(x) =1x

z′(ln x) = e−tz′(t)

y′′(x) = − 1x2 z′(ln x) +

1x2 z′′(ln x) = −e−2tz′(t) + e−2tz′′(t)

En remplaçant, on obtient don que

∀x ∈]0; +∞[, x2y′′ + xy′ + y = 0 ⇐⇒ ∀t ∈ R, z′′(t) + z(t) = 0

autrement dit, z(t) = λ cos t + µ sin t où λ, µ ∈ R. Finalement, les solutions de

l'équation de départ sont de la forme

y(x) = z(ln x) = λ cos(ln x) + µ sin(ln x)

où λ, µ ∈ R.

2. L'appli ation t 7→ tan t étant bije tive de ] − π

2;π

2[ sur R, on peut poser x = tan t

et z(t) = y(tan t). On a alors t = arctan x et ainsi :

y(x) = z(arctan x) = z(t)

y′(x) =1

1 + x2 z′(t)

y′′(x) =1

(1 + x2)2

(z′′(t) − 2xz′(t)

)

En remplaçant, on obtient que z est solution de l'équation di�érentielle z′′+mz = 0.Pour résoudre ette équation, on doit distinguer trois as :

� m < 0 : alors z(t) = λe√

−mt + µe−√

−mtet don

y(x) = λe√

−m arctan x + µe−√

−m arctan x,

� m = 0 : z′′ = 0 et don z(t) = λt + µ et y(x) = λ arctan x + µ,

� m > 0 : alors z(t) = λ cos(√

mt) + µ sin(√

mt) et don

y(x) = λ cos(√

m arctan x) + µ sin(√

m arctan x)

où λ, µ ∈ R.

F.PUCCI 42


Exercice 17 :1. Résoudre sur ]0; +∞[ l’équation différentielle x2y′′ + y = 0 en posant x = et.

2. Trouver toutes les fonctions de classe C1 sur R vérifiant

∀x 6= 0, f ′(x) = f(1

x

)

.

Correction :1. En faisant le hangement de variables x = et

(don t = ln x) et en posant z(t) = y(et)(don y(x) = z(ln x), l'équation x2y′′ + y = 0 devient z′′ − z′ + z = 0, dont les so-

lutions sont les z(t) = et/2 ·(

λ cos

(√3

2t

)

+ µ sin

(√3

2t

))

, λ, µ ∈ R.

Autrement dit,

y(x) =√

x

(

λ cos

(√3

2ln x

)

+ µ sin

(√3

2ln x

))

2. Supposons que f onvienne : par hypothèse, f est de lasse C1, don x 7→ f(

1x

) est

de lasse C1sur R

∗et par onséquent f ′

aussi.

Ainsi f est né essairement de lasse C2sur R

∗(en fait, en itérant le raisonnement,

on montrerait fa ilement que f est C∞sur R

∗).

En dérivant l'équation f ′(x) = f

(1x

)

, on obtient

f ′′(x) = − 1x2 f ′

(1x

)

et en réutilisant l'équation :

f ′′(x) = − 1x2 f ′

(1x

)

= − 1x2 f(x).

Ainsi on obtient que f est solution de x2y′′ + y = 0 sur R∗.

Né essairement, il existe λ, µ ∈ R tels que

∀x > 0, f(x) =√

x

(

λ cos

(√3

2ln x

)

+ µ sin

(√3

2ln x

))

Par hypothèse, f est de lasse C1sur R, en parti ulier elle se prolonge en 0 de façon

C1.

Cher hons à quelle ondition sur λ, µ ela est possible.

Déjà, f(x) =√

x

(

λ cos

(√3

2ln x

)

+ µ sin

(√3

2ln x

))

−−−−→x→0+

0 pour tous λ, µ ;

don f(0) = 0.Mais

f(x) − f(0)x − 0

=1√x

(

λ cos(

√3

2ln x) + µ sin(

√3

2ln x)

)

n'a pas de limite en 0 si λ 6= 0 ou µ 6= 0.

En e�et, pour xn = e2

√

3(−2nπ)

, on a xn → 0 mais

f(xn) − f(0)xn − 0

=λ√xn

qui admet

une limite �nie seulement si λ = 0.

F.PUCCI 43


De même ave x′n = e

2√

3(−2nπ+ π

2)qui donne

f(x′n) − f(0)x′

n − 0=

µ√

x′n

et implique don

µ = 0.Par onséquent, la seule possibilité est λ = µ = 0. Ainsi f est la fon tion nulle, sur

[0, +∞[.Le même raisonnement s'applique sur ]−∞, 0]. La fon tion est don né essairement

nulle sur R.

Ré iproquement, la fon tion onstante nulle est bien solution du problème initial.

F.PUCCI 44

@Index

Amplitude, 25

Bernoulli, 40

Cauchy, 6Problème de, 7, 19

Changement de variablesdans une équation différentielle, 38

Courbeintégrale, 1, 4, 28, 32

Déphasage, 25, 34Dérivée

logarithmique, 8Droite

vectorielle, 8

Équationà variables séparées, 39de Navier-Stokes, 1caractéristique d’une EDL2, 21de Bernoulli, 40, 41différentielle homogène, 4différentielle linéaire, 3

Espaceaffine, 5vectoriel, 5

Exponentielle, 12

Facteur de qualité, 26Fonction

d’atténuation, 18de transfert, 34

Lipschitz, 6

Méthodede variation de la constante

pour les EDL1, 11pour les EDL2, 28, 36

Équation à variables séparées, 39Équation de Bernoulli, 41Recherche de solution particulière

pour les EDL2, 20

Oscillateur harmoniqueen régime forcé, 33en régime libre, 32

Planaffine, 28

Polynômecaractéristique, 21, 23, 26, 29

Principe de superposition, 6Problème de Cauchy

d’une EDL1, 7d’une EDL2, 19

Prolongementpar continuité, 14

Pulsation propre, 25, 32, 34

Résonance, 34Régime

apériodique, 26, 27, 33critique, 27, 33forcé, 33libre, 33permanent, 19pseudo-périodique, 26, 33transitoire, 19

Régimeforcé, 33libre, 32

Solutionde l’équation homogène, 4particulière, 3, 5

Structuredes solutions d’une EDL, 5

d’ordre 2, 28Système

conservatif, 34dissipatif, 35

Théorèmede Cauchy-Lipschitz, 6

pour les EDL1, 12pour les EDL2, 31

Wronskien, 36

1

Chapitre 0: INDEX INDEX

F.PUCCI 2

9 Équations différentielles - fabienpucci.frfabienpucci.fr/wp-content/uploads/2018/12/2019_PCSI_09_EquaDiff_Cours.pdf · Chapitre 9: Équations différentielles — Résoudre une

Documents