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Définition Équation à variables séparées Équation différentielle linéaire du premier ordre Équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants Équations différentielles cours BCG N. Moussaid F.S.T. Mohammedia Université Hassan II December 11, 2016 Noureddine MOUSSAID Équations différentielles
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Équations différentielles - cours BCG

Jun 22, 2022

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Page 1: Équations différentielles - cours BCG

DéfinitionÉquation à variables séparées

Équation différentielle linéaire du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants

Équations différentiellescours BCG

N. Moussaid

F.S.T. Mohammedia Université Hassan II

December 11, 2016

Noureddine MOUSSAID Équations différentielles

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DéfinitionÉquation à variables séparées

Équation différentielle linéaire du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants

Introduction

Plan

1 DéfinitionIntroduction

2 Équation à variables séparéesDéfinition

3 Équation différentielle linéaire du premier ordre

4 Équation différentielle linéaire du second ordre àcoefficients constants

DéfinitionÉquation homogèneÉquation avec second membreRecherche d’une solution particulière

Noureddine MOUSSAID Équations différentielles

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DéfinitionÉquation à variables séparées

Équation différentielle linéaire du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants

Introduction

Introduction

Une équation différentielle est une équation :dont l’inconnue est une fonction (généralement notée y(x)ou simplement y ) ;dans laquelle apparaissent certaines des dérivées de lafonction (dérivée première y ′, ou dérivées d’ordressupérieurs y ′′, y (3), . . .).

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DéfinitionÉquation à variables séparées

Équation différentielle linéaire du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants

Introduction

Exemples

ExampleTrouver au moins une fonction, solution des équationsdifférentielles suivantes :

y ′ = sin xy ′ = 1 + ex

y ′ = yy ′ = 3yy ′′ = cos xy ′′ = y

(1)

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DéfinitionÉquation à variables séparées

Équation différentielle linéaire du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants

Introduction

Definition

DefinitionUne équation différentielle d’ordre n est une équation de laforme

F(

x , y , y ′, . . . , y (n))

= 0 (E)

où F est une fonction de (n + 2) variables.Une solution d’une telle équation sur un intervalle I ⊂ R estune fonction y : I → R qui est n fois dérivable et qui vérifiel’équation (E).

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DéfinitionÉquation à variables séparées

Équation différentielle linéaire du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants

Introduction

Remarque

Rechercher une primitive, c’est déjà résoudre l’équationdifférentielle y ′ = f (x). C’est pourquoi on trouve souventintégrer l’équation différentielle pour trouver les solutionsde l’équation différentielle.

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DéfinitionÉquation à variables séparées

Équation différentielle linéaire du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants

Définition

Plan

1 DéfinitionIntroduction

2 Équation à variables séparéesDéfinition

3 Équation différentielle linéaire du premier ordre

4 Équation différentielle linéaire du second ordre àcoefficients constants

DéfinitionÉquation homogèneÉquation avec second membreRecherche d’une solution particulière

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DéfinitionÉquation à variables séparées

Équation différentielle linéaire du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants

Définition

Équation à variables séparées

Une équation différentielle à variables séparées est uneéquation du type :

y ′ =g(x)

f (y)ou y ′f (y) = g(x)

Si G(x) et F (x) sont les primitives de g(x) et f (x).Alors l’équation différentielle y ′f (y) = g(x) se réécrit(

F (y(x)))′

= G′(x)

ce qui équivaut à une égalité de fonctions : F (y(x)) = G(x) + c.

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DéfinitionÉquation à variables séparées

Équation différentielle linéaire du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants

Définition

Example

x2y ′ = e−y

On commence par séparer les variables x d’un côté et y del’autre : y ′ey = 1

x2 (en supposant x 6= 0). On intègre des deuxcôtés :

ey = −1x

+ c (c ∈ R)

Ce qui permet d’obtenir y (en supposant − 1x + c > 0) :

y(x) = ln(−1x

+ c)

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DéfinitionÉquation à variables séparées

Équation différentielle linéaire du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants

DefinitionUne équation différentielle linéaire du premier ordre est uneéquation du type:

y ′ = a(x)y + b(x) (E)

où a et b sont des fonctions données de la variable x .

L’équation différentielle est dite homogène si b(x) = 0.

y ′ = a(x)y (E0)

Si b(x) 6= 0, l’ équation différentielle (E0) est dite complète(Equation avec second membre).

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DéfinitionÉquation à variables séparées

Équation différentielle linéaire du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants

La solution générale y(x) de l’ équation complèete (E) est dela forme :

y(x) = y0(x) + yp(x).

où1 y0(x) est la solution de l’ équation homogène associée

(E0)

2 yp(x) est une solution particulière de (E).

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DéfinitionÉquation à variables séparées

Équation différentielle linéaire du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants

y ′ = ay

ThéorèmeSoit a un réel. Soit l’équation différentielle :

y ′ = ay (E)

Les solutions de (E), sur R, sont les fonctions y définies par :y(x) = keax où k ∈ R est une constante quelconque.

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DéfinitionÉquation à variables séparées

Équation différentielle linéaire du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants

y ′ = a(x)y

Théorème

Soit a : I → R une fonction continue. Soit A : I → R uneprimitive de a. Soit l’équation différentielle :

y ′ = a(x)y (E)

Les solutions sur I de (E) sont les fonctions y définies par :y(x) = keA(x) où k ∈ R est une constante quelconque.

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DéfinitionÉquation à variables séparées

Équation différentielle linéaire du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants

y ′ = a(x)y + b(x)

Il nous reste le cas général de l’équation différentielle linéaired’ordre 1 avec second membre :

y ′ = a(x)y + b(x) (E)

où a : I → R et b : I → R sont des fonctions continues.L’équation homogène associée est :

y ′ = a(x)y (E0)

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DéfinitionÉquation à variables séparées

Équation différentielle linéaire du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants

y ′ = a(x)y + b(x)

PropositionSi yp est une solution de (E), alors les solutions de (E) sont lesfonctions y : I → R définies par:

y(x) = yp(x) + keA(x) avec k ∈ R

où x 7→ A(x) est une primitive de x 7→ a(x).

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DéfinitionÉquation à variables séparées

Équation différentielle linéaire du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants

Recherche d’une solution particulière : méthode devariation de la constante.

La solution générale de (E0) y ′ = a(x)y est donnée pary(x) = keA(x), avec k ∈ R une constante.La méthode de la variation de la constante consiste à chercherune solution particulière sous la forme yp(x) = k(x)eA(x), où kest maintenant une fonction à déterminer pour que yp soit unesolution de(E) y ′ = a(x)y + b(x).

Example

Résoudre l’équation y ′ + y = ex + 1.

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DéfinitionÉquation à variables séparées

Équation différentielle linéaire du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants

DéfinitionÉquation homogèneÉquation avec second membreRecherche d’une solution particulière

Plan

1 DéfinitionIntroduction

2 Équation à variables séparéesDéfinition

3 Équation différentielle linéaire du premier ordre

4 Équation différentielle linéaire du second ordre àcoefficients constants

DéfinitionÉquation homogèneÉquation avec second membreRecherche d’une solution particulière

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Équation différentielle linéaire du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants

DéfinitionÉquation homogèneÉquation avec second membreRecherche d’une solution particulière

Définition

Une équation différentielle linéaire du second ordre,Ã coefficients constants, est une équation de la forme

ay ′′ + by ′ + cy = g(x) (E)

où a,b, c ∈ R, a 6= 0 et g est une fonction continue sur unintervalle ouvert I.L’équation

ay ′′ + by ′ + cy = 0 (E0)

est appelée l’équation homogène associée à (E).

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Équation différentielle linéaire du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants

DéfinitionÉquation homogèneÉquation avec second membreRecherche d’une solution particulière

Plan

1 DéfinitionIntroduction

2 Équation à variables séparéesDéfinition

3 Équation différentielle linéaire du premier ordre

4 Équation différentielle linéaire du second ordre àcoefficients constants

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DéfinitionÉquation homogèneÉquation avec second membreRecherche d’une solution particulière

Équation homogène

On cherche une solution de (E0) sous la forme y(x) = erx oùr ∈ C est une constante à déterminer. On trouve

ay ′′ + by ′ + cy = 0(ar2 + br + c)erx = 0

ar2 + br + c = 0.

Definition

L’équation ar2 + br + c = 0 est appelée l’équationcaractéristique associée à (E0).

Soit ∆ = b2 − 4ac, le discriminant de l’équation caractéristiqueassociée à (E0).

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DéfinitionÉquation homogèneÉquation avec second membreRecherche d’une solution particulière

Équation homogène

Théorème1 Si ∆ > 0, l’équation caractéristique possède deux racines

réelles distinctes r1 6= r2 et les solutions de (E0) sont lesy(x) = λer1x + µer2x o‘u λ, µ ∈ R.

2 Si ∆ = 0, l’équation caractéristique possède une racinedouble r0 et les solutions de (E0) sont lesy(x) = (λ+ µx)er0x où λ, µ ∈ R.

3 Si ∆ < 0, l’équation caractéristique possède deux racinescomplexes conjuguées r1 = α + iβ, r2 = α− iβ et lessolutions de (E0) sont lesy(x) = eαx(λ cos(βx) + µ sin(βx)

)où λ, µ ∈ R.

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DéfinitionÉquation à variables séparées

Équation différentielle linéaire du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants

DéfinitionÉquation homogèneÉquation avec second membreRecherche d’une solution particulière

Plan

1 DéfinitionIntroduction

2 Équation à variables séparéesDéfinition

3 Équation différentielle linéaire du premier ordre

4 Équation différentielle linéaire du second ordre àcoefficients constants

DéfinitionÉquation homogèneÉquation avec second membreRecherche d’une solution particulière

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DéfinitionÉquation homogèneÉquation avec second membreRecherche d’une solution particulière

Équation avec second membre

ay ′′ + by ′ + cy = g(x) (E)

Théorème (Théorème de Cauchy-Lipschitz)

Pour chaque x0 ∈ I et chaque couple (y0, y1) ∈ R2, l’équation(E) admet une unique solution y sur I satisfaisant auxconditions initiales : y(x0) = y0 et y ′(x0) = y1.

PropositionLes solutions générales de l’équation (E) s’obtiennent enajoutant les solutions générales de l’équation homogène (E0) àune solution particulière de (E).

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DéfinitionÉquation homogèneÉquation avec second membreRecherche d’une solution particulière

Plan

1 DéfinitionIntroduction

2 Équation à variables séparéesDéfinition

3 Équation différentielle linéaire du premier ordre

4 Équation différentielle linéaire du second ordre àcoefficients constants

DéfinitionÉquation homogèneÉquation avec second membreRecherche d’une solution particulière

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DéfinitionÉquation à variables séparées

Équation différentielle linéaire du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants

DéfinitionÉquation homogèneÉquation avec second membreRecherche d’une solution particulière

Recherche d’une solution particulière

On donne deux cas particuliers importants et une méthodegénérale.

Second membre du type g(x) = eαxP(x).Si g(x) = eαxP(x), avec α ∈ R et P ∈ R[X ], alors on chercheune solution particulière sous la forme yp(x) = eαxxmQ(x), oùQ est un polynôme de même degré que P avec :

yp(x) = eαxQ(x) (m = 0), si α n’est pas une racine del’équation caractéristique,yp(x) = xeαxQ(x) (m = 1), si α est une racine simple del’équation caractéristique,yp(x) = x2eαxQ(x) (m = 2), si α est une racine double del’équation caractéristique.

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Équation différentielle linéaire du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants

DéfinitionÉquation homogèneÉquation avec second membreRecherche d’une solution particulière

Recherche d’une solution particulière

ExampleRésoudre les équations différentielles :

(E0) y ′′ − 5y ′ + 6y = 0

(E1) y ′′ − 5y ′ + 6y = 4xex

(E2) y ′′ − 5y ′ + 6y = 4xe2x

Trouver la solution de (E1) vérifiant y(0) = 1 et y ′(0) = 0.

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