III. Fonctions numériques III. Fonctions numériques et modélisation et modélisation (intégration,équations (intégration,équations différentielles,…) différentielles,…) II. Nombres entiers, II. Nombres entiers, rationnels, réels et rationnels, réels et complexes ; suites de complexes ; suites de réels réels I. Bases de logique , I. Bases de logique , théorie des ensembles théorie des ensembles LE PLAN DU COURS : TROIS CHAPITRES LE PLAN DU COURS : TROIS CHAPITRES
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III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)
III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…). LE PLAN DU COURS : TROIS CHAPITRES. I. Bases de logique , théorie des ensembles. II. Nombres entiers, rationnels, réels et complexes ; suites de réels. III. Fonctions numériques et modélisation. - PowerPoint PPT Presentation
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III. Fonctions numériques et III. Fonctions numériques et modélisation modélisation (intégration,équations (intégration,équations différentielles,…)différentielles,…)
II. Nombres entiers, rationnels, II. Nombres entiers, rationnels, réels et complexes ; suites de réels et complexes ; suites de réelsréels
I. Bases de logique , théorie I. Bases de logique , théorie des ensemblesdes ensembles
LE PLAN DU COURS : TROIS CHAPITRESLE PLAN DU COURS : TROIS CHAPITRES
III. Fonctions numériques III. Fonctions numériques et modélisationet modélisation• Limite d’une fonction en un point de R ou de Limite d’une fonction en un point de R ou de
la droite réelle achevée la droite réelle achevée • Continuité d’une fonction en un point et sur Continuité d’une fonction en un point et sur
un ensembleun ensemble• Opérations sur les fonctions continues Opérations sur les fonctions continues • Fonctions strictement monotones sur un Fonctions strictement monotones sur un
intervalle intervalle • Dérivabilité d’une fonction sur un intervalle Dérivabilité d’une fonction sur un intervalle • Quelques fonctions classiques et leurs Quelques fonctions classiques et leurs
Limite d’une fonction en un Limite d’une fonction en un point de R ou de la droite point de R ou de la droite réelle achevéeréelle achevée
D D R R R R
ff
DD
__a a D D
f admet une limite f admet une limite finiefinie ll R au point R au point aa si et seulement si, pour si et seulement si, pour toutetoute suite suite (x(xnn))nn de de points de D : points de D : lim (xlim (xnn))nn = a lim (f(x = a lim (f(xnn))))nn = = ll
Cas 1Cas 1
Pour tout Pour tout >0, >0,
il existe il existe >0 , tel que : >0 , tel que :
(x appartient à D et |x-a| < (x appartient à D et |x-a| < ))|f(x) – |f(x) – ll | < | <
f admet une limite f admet une limite finiefinie l l R au point R au point aa
Le cas particulier où le Le cas particulier où le point point aa est un point de D est un point de D
• f : D ----> R f : D ----> R
• a point de D a point de D
• limlimaa f existe dans R (et vaut f existe dans R (et vaut nécessairement f(a))nécessairement f(a))
f est continue en af est continue en a
Limite d’une fonction en un Limite d’une fonction en un point de R ou de la droite point de R ou de la droite réelle achevéeréelle achevée
D D R R R R
ff
DD
__a a D \ D D \ D
f tend vers + l’infinif tend vers + l’infini au point a si et au point a si et seulement si, pour seulement si, pour toutetoute suite (x suite (xnn))nn de de points de D :points de D :
lim (xlim (xnn))nn = a lim (f(x = a lim (f(xnn))))nn =+ l’infini =+ l’infini
Cas 2Cas 2
Pour tout A >0,Pour tout A >0,
il existe il existe >0 , tel que : >0 , tel que :
(x appartient à D et |x-a| < (x appartient à D et |x-a| < ))f(x) > A f(x) > A
f tend vers + l’infini au point f tend vers + l’infini au point aa
Limite d’une fonction en un Limite d’une fonction en un point de R ou de la droite point de R ou de la droite réelle achevéeréelle achevée
D D R R R R
ff
DD
__a a D \ D D \ D
f tend vers - l’infinif tend vers - l’infini au point a si et au point a si et seulement si, pour seulement si, pour toutetoute suite (x suite (xnn))nn de de points de D :points de D :
lim (xlim (xnn))nn = a lim (f(x = a lim (f(xnn))))nn =- l’infini =- l’infini
Cas 3Cas 3
Pour tout A >0, Pour tout A >0,
il existe il existe >0 , tel que : >0 , tel que :
(x appartient à D et |x-a| < (x appartient à D et |x-a| < ))f(x) < - A f(x) < - A
f tend vers - l’infini au point f tend vers - l’infini au point aa
Limite d’une fonction en un Limite d’une fonction en un point de R ou de la droite point de R ou de la droite réelle achevéeréelle achevée
D D R R R R
ff
DD
__ +infini+infini D \ D D \ D
f tend vers f tend vers ll lorsque x tend vers + lorsque x tend vers + infini si et seulement si, pour infini si et seulement si, pour toutetoute suite (xsuite (xnn))nn de de points de Dpoints de Dlim (xlim (xnn))nn = +infini lim (f(x = +infini lim (f(xnn))))nn = =ll
Cas 4Cas 4
Pour tout Pour tout >0, >0,
il existe B >0 , tel que :il existe B >0 , tel que :
(x appartient à D et x > B(x appartient à D et x > B))
|f(x) – |f(x) – ll | < | <
f admet une limite f admet une limite finiefinie l l R en + l’infini R en + l’infini
Limite d’une fonction en un Limite d’une fonction en un point de R ou de la droite point de R ou de la droite réelle achevéeréelle achevée
D D R R R R
ff
DD
__ +infini+infini D \ D D \ D
f tend vers + infinif tend vers + infini lorsque x tend lorsque x tend vers + infini si et seulement si, pour vers + infini si et seulement si, pour toutetoute suite (x suite (xnn))nn de points de D de points de D
(P(x))(P(x))1/k1/k – Q(x)– Q(x) , , k dans N*, en + k dans N*, en + l’infinil’infini
????
bb00 x xqq + b + b11 x xq-1q-1 + … + b + … + bq q = = bb00 x xqq (1+ (b (1+ (b11/b/b00)x)x-1-1 + …) + …)
Rappel de règles Rappel de règles concernant les limites concernant les limites de suitesde suites
Limite Limite à droiteà droite en un en un point apoint a
• a est adhérent à a est adhérent à V Vaa
++:= {x dans D ; x >a}:= {x dans D ; x >a}
• La restriction de f à VLa restriction de f à Vaa++ admet admet
pour limite pour limite ll au point a au point a
Limite Limite à gaucheà gauche en un point en un point aa
• a est adhérent à a est adhérent à V Vaa
--:={x dans D ; x <a}:={x dans D ; x <a}
• La restriction de f à VLa restriction de f à Vaa-- admet admet
pour limite pour limite ll au point a au point a
« Une fonction « Une fonction monotone monotone (c’est-à-dire (c’est-à-dire croissante ou décroissante) sur un croissante ou décroissante) sur un intervalle ouvert intervalle ouvert ]a,b[ ]a,b[ (borné ou non) (borné ou non) admet une limite à gauche et à droite admet une limite à gauche et à droite en tout pointen tout point de de ]a,b[]a,b[»»
Fonction continue en un Fonction continue en un point (rappel)point (rappel)
• f : D ----> R f : D ----> R
• xx00 point de D point de D
• limlimx0x0 f existe dans R (et vaut f existe dans R (et vaut nécessairement f(xnécessairement f(x00))))
Continuité Continuité à droiteà droite (si existence de la limite à droite, égale nécessairement à (si existence de la limite à droite, égale nécessairement à f(xf(x00))))
Continuité Continuité à gaucheà gauche (si existence de la limite à gauche, égale nécessairement à (si existence de la limite à gauche, égale nécessairement à
f(xf(x00))))
Fonctions continues sur un Fonctions continues sur un segment [a,b]segment [a,b]
I. Une fonction f I. Une fonction f continue sur un segment continue sur un segment [a,b][a,b] (c’est-à-dire en tout point de ce (c’est-à-dire en tout point de ce segment)segment) et à valeurs réelles est à la et à valeurs réelles est à la fois fois minorée minorée et et majoréemajorée sur sur [a,b].[a,b].
II. Les deux bornes II. Les deux bornes inf inf [a,b][a,b] f f et et supsup[a,b][a,b] f f sont atteintes par f en des points de sont atteintes par f en des points de [a,b][a,b]
Théorème des valeurs Théorème des valeurs intermédiaires intermédiaires
Une fonction f Une fonction f continue sur un segment continue sur un segment [a,b][a,b] (c’est-à-dire en tout point de ce (c’est-à-dire en tout point de ce segment)segment) prend (sur ce segment) au moins prend (sur ce segment) au moins une fois toute une fois toute valeur intermédiairevaleur intermédiaire y du segment y du segment [[infinf [a,b][a,b] f , f , supsup [a,b][a,b] f] f] . .
Preuve par l’absurde !Preuve par l’absurde !
Fonctions strictement monotones et Fonctions strictement monotones et continues sur un intervallecontinues sur un intervalle (1)(1)
I intervalle de RI intervalle de R
m=inf {f(x), x dans I}m=inf {f(x), x dans I}
M = sup {f(x), x dans I}M = sup {f(x), x dans I}
f(I) intervalle de R f(I) intervalle de R (du même type)(du même type)
II
f(I)f(I)
f : I f : I f(I) bijective f admet une application inverse f f(I) bijective f admet une application inverse f-1-1 : : f(I) f(I) I I
Fonctions strictement Fonctions strictement monotones sur un intervallemonotones sur un intervalle (2)(2)
IIf(I)f(I)
yy
ff-1-1(y(y--) ) f f-1-1(y) (y) f f-1-1(y(y++))== ==
f continuef continue
ff-1-1 continue continue
ff-1-1 strictement monotone (même type que f) strictement monotone (même type que f)
Fonction réciproque d’une Fonction réciproque d’une fonction strictement fonction strictement monotone monotone f : I f : I J=f(I) J=f(I)
[[(x (x I) et (y=f(x)) I) et (y=f(x))]]
[[(y (y J) et (x=f J) et (x=f-1-1(y))(y))]]
Graphe (f) = Graphe (f) = {{(x,y) (x,y) I I xx J ; y =f(x) J ; y =f(x)}}
Graphe (fGraphe (f-1-1) = ) = {{(y,x) (y,x) J J xx I ; y=f(x) I ; y=f(x)}}
(x(x00,y,y00))
(y(y00,x,x00))
Droite ‘miroir’Droite ‘miroir’y=x y=x
Dérivabilité en un point et Dérivabilité en un point et sur un intervallesur un intervalle
• f définie dans un intervalle f définie dans un intervalle ouvertouvert contenant un point donné xcontenant un point donné x00
• f(xf(x00+h) = f(x+h) = f(x00) + a(x) + a(x00) h + h) h + h (h) (h) pour tout h de valeur absolue pour tout h de valeur absolue assez petite assez petite
• défini dans un intervalle ]-défini dans un intervalle ]-
,,[ (privé de 0) et lim[ (privé de 0) et lim00 = 0 = 0
Dérivabilité de la fonction Dérivabilité de la fonction inverseinverse
Soit f une fonction strictement monotone Soit f une fonction strictement monotone sur un intervalle ouvert I de R, dérivable sur un intervalle ouvert I de R, dérivable sur I sur I
On suppose f’ On suppose f’ 0 sur I (f’>0 ou f’<0) 0 sur I (f’>0 ou f’<0)
ff-1-1 : f(I) : f(I) I est dérivable sur f(I) I est dérivable sur f(I)
Remarque : un énoncé Remarque : un énoncé admisadmis
Une fonction dérivable sur un intervalle Une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I , de dérivée ouvert I , de dérivée identiquement nulle identiquement nulle sur I sur I , est constante sur I., est constante sur I.
Attention cependant Attention cependant Aux escaliers du diable !Aux escaliers du diable !
La fonction exponentielleLa fonction exponentielle
avec la convention : f(t) dt = - f(t) dt avec la convention : f(t) dt = - f(t) dt
lorsque y < x lorsque y < x
(f continue sur I , a, b, c étant trois points de I) (f continue sur I , a, b, c étant trois points de I)
Le théorème Le théorème « fondamental » de « fondamental » de l’analysel’analyse
Soit f une fonction continue sur un intervalle ouvert I Soit f une fonction continue sur un intervalle ouvert I de R et a un point de I . La fonction : de R et a un point de I . La fonction :
x x I I F(x) := f(t) dt F(x) := f(t) dt aa
xx
est dérivable sur I, de dérivée F’=f sur Iest dérivable sur I, de dérivée F’=f sur I
F primitive de f sur IF primitive de f sur I
aa
bb
f’(t) dt = f(b) – f(a) f’(t) dt = f(b) – f(a)
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I, de dérivée continue sur Iouvert I, de dérivée continue sur ISoit [a,b] un segment inclus dans I ; alors : Soit [a,b] un segment inclus dans I ; alors :
Application 1 : la formule Application 1 : la formule d’intégration « par d’intégration « par parties »parties »
Soit I un intervalle ouvert de R , f et g deux fonctions Soit I un intervalle ouvert de R , f et g deux fonctions dérivables sur I, avec f’ et g’ aussi continues sur I ; dérivables sur I, avec f’ et g’ aussi continues sur I ; si [a,b] est un segment de I : si [a,b] est un segment de I :
Application 2 : la formule Application 2 : la formule de changement de de changement de variables variables
Soit Soit II et et JJ deux intervalles ouverts de R deux intervalles ouverts de R
Soit u : Soit u : II JJ , , strictement monotonestrictement monotone, dérivable et , dérivable et de dérivée continue sur de dérivée continue sur [a,b] c I[a,b] c I avec avec cc := u( := u(aa), ), dd:= u(:= u(bb) ; ) ;
alors: alors:
c=u(c=u(aa))
d=u(d=u(bb))
f(s)f(s) ds ds = = aa
bb
f( u(t)) u’(t) dtf( u(t)) u’(t) dt
pour toute fonction continue f : J pour toute fonction continue f : J R R
Quelques exemples Quelques exemples d’application de ces d’application de ces méthodesméthodes
• Expressions rationnelles en les fonctions trigonométriques Expressions rationnelles en les fonctions trigonométriques
• Expressions rationnelles en les fonctions trigonométriques Expressions rationnelles en les fonctions trigonométriques hyperboliqueshyperboliques
• Fonctions dont une dérivée à un certain ordre est une fraction Fonctions dont une dérivée à un certain ordre est une fraction rationnelle rationnelle
• Fonctions du type t Fonctions du type t t tnn exp ( exp ( t) t)
• Fonctions du type t Fonctions du type t t tnn cos ( cos ( t) ou t t) ou t t tnn sin ( sin (t) t)
• Fonctions du type x Fonctions du type x F(x, (ax F(x, (ax22+bx+c)+bx+c)1/21/2))
Expressions rationnelles en Expressions rationnelles en les lignes trigonométriques les lignes trigonométriques • cos (t) = 2 coscos (t) = 2 cos22 (t/2) -1 (t/2) -1
= (1-u= (1-u22)/(1+u)/(1+u22))
• sin (t) = 2 sin (t/2) cos (t/2) sin (t) = 2 sin (t/2) cos (t/2) = 2u/(1+u= 2u/(1+u22))
t t ]- ]-, , [ [ u= tan (t/2) , t = 2 Arctan uu= tan (t/2) , t = 2 Arctan u
aa
bbP(cos t, sin t)P(cos t, sin t)
Q(cos t, sin t)Q(cos t, sin t)
dtdt
1- u1- u22
------------1+u1+u22
1- u1- u22
------------1+u1+u22
2u2u------------1+u1+u22
2u2u------------1+u1+u22
2du2du------------1+u1+u22
tan (a/2)tan (a/2)
tan (b/2)tan (b/2)
[a,b] c ]-[a,b] c ]-, , [ [ u = tan (t/2) u = tan (t/2) t = 2 Arctan ut = 2 Arctan u
P (cos P (cos , sin , sin ) = a) = a00 + (a + (ajj cos (k cos (kjj ) + b) + bjj sin sin (k(kjj))))
j=1j=1
j=Nj=N
Linéarisation des polynômes trigonométriquesLinéarisation des polynômes trigonométriques
dd aa00 aaj j sin (ksin (kjj ) – b) – bjj cos (k cos (kjj ) ) ------------------------------------------------------------------ kkjj
aa
bbP( cosh t , sinh t )P( cosh t , sinh t )
Q(cosh t, sinh t )Q(cosh t, sinh t )
dtdt
u +(1/u)u +(1/u)-------------------- 22
u+(1/u)u+(1/u)-------------------- 22
u-(1/u)u-(1/u)---------------- 22
u-(1/u)u-(1/u)------------------ 22
dudu------------ uu
exp (a)exp (a)
exp(b)exp(b)
[a,b] c R [a,b] c R u = exp (t) u = exp (t) t = log ut = log u
Expressions rationnelles en les lignes trigonométriques Expressions rationnelles en les lignes trigonométriques hyperboliqueshyperboliques
Intégrales abéliennesIntégrales abéliennes
• a > 0a > 0 ,, < 0 < 0
• a > 0 , a > 0 , = = >0 >0
• a < 0 , a < 0 , > 0 > 0
F ( x , axF ( x , ax22 + bx + c ) + bx + c ) aa [ [(x+b/2a)(x+b/2a)22 - - /4a/4a22]] VV dxdx
x = -b/2a + (x = -b/2a + (/2a) sinh u/2a) sinh u
x = -b/2a + (x = -b/2a + (/2a) cosh u/2a) cosh u ououx = -b/2a - (x = -b/2a - (/2a) cosh u/2a) cosh u
x = -b/2a + (x = -b/2a + (/2a) cos u/2a) cos u ououx = -b/2a - (x = -b/2a - (/2a) sin u/2a) sin u
bb22- 4 ac- 4 ac
Primitives de fractions Primitives de fractions rationnellesrationnelles
• Se fixer des conditions initiales tSe fixer des conditions initiales t00, y, y00
• Choisir un pas de temps Choisir un pas de temps
• Choisir T = « durée de vie » tel Choisir T = « durée de vie » tel que [tque [t00, T] soit inclus dans I, T] soit inclus dans I
uu,0,0 = y = y00
uu,n+1,n+1 = u = u,n,n + + (( a(t a(t00 + n + n) u) u,n,n + b(t + b(t00+n+n))) ) (tant que t(tant que t00 + n + n T)T)
approximation de y(tapproximation de y(t00 + n + n))
Le théorème de CauchyLe théorème de Cauchy Hypothèses : Hypothèses :
- I intervalle ouvert de R - I intervalle ouvert de R - a et b fonctions continues de I dans R (ou C)- a et b fonctions continues de I dans R (ou C)
- t- t00 I y I y00 R ou C (données initiales) R ou C (données initiales) Conclusion :Conclusion :
Il existe une Il existe une uniqueunique fonction fonction y : I y : I R (ou C) telle que : R (ou C) telle que :
y’ (t)= a(t) y(t) + b(t) pour t dans I y’ (t)= a(t) y(t) + b(t) pour t dans I y(ty(t00) = y) = y00 (condition initiale) (condition initiale)
Il existe une Il existe une uniqueunique courbe intégrale courbe intégrale de l’équation différentielle de l’équation différentielle
y’(t)= a(t) y(t) + b(t) y’(t)= a(t) y(t) + b(t)
passant par le point (tpassant par le point (t00,y,y00))
L’attaque du problème : L’attaque du problème : étape 1 : résolution de l’équation homogèneétape 1 : résolution de l’équation homogène
y ’ (t) = a(t) y(t) + b (t)y ’ (t) = a(t) y(t) + b (t)
A (t) = a(t) dtA (t) = a(t) dt tt00
tt
fonction auxiliaire : fonction auxiliaire : YY(t) = y(t) exp (-A (t))(t) = y(t) exp (-A (t))
YY’ = 0’ = 0YY = constante = constante
y (t) = y (t) = CC exp (A (t)) exp (A (t))
1 degré de 1 degré de libertéliberté
L’attaque du problème : L’attaque du problème : étape 2 : recherche d’une solution particulière de l’équation étape 2 : recherche d’une solution particulière de l’équation
complètecomplète y ’ (t) = a(t) y(t) + b (t)y ’ (t) = a(t) y(t) + b (t)
y (t) =y (t) = C(t)C(t) exp (A (t))exp (A (t)) variation de la constantevariation de la constante
approximation de y(tapproximation de y(t00 + n + n))
Le théorème de CauchyLe théorème de Cauchy Hypothèses : Hypothèses :
- I intervalle ouvert de R - I intervalle ouvert de R - a , b , c fonctions continues de I dans R (ou C)- a , b , c fonctions continues de I dans R (ou C)
- t- t00 I y I y0 0 , v, v00 R ou C (données initiales) R ou C (données initiales) Conclusion :Conclusion :
Il existe une Il existe une uniqueunique fonction fonction y : I y : I R (ou C) telle que : R (ou C) telle que :
y’’ (t)= a(t) y’(t) + b(t) y(t) + c(t) pour t y’’ (t)= a(t) y’(t) + b(t) y(t) + c(t) pour t dans I dans I y(ty(t00) = y) = y00 , y’(t , y’(t00)=v)=v00 (conditions initiales) (conditions initiales)
Il existe une Il existe une uniqueunique courbe intégrale de courbe intégrale de l’équation différentielle l’équation différentielle
passant par le point (tpassant par le point (t00,y,y00) et ayant au point ) et ayant au point (t(t00,y,y00) une tangente de pente v) une tangente de pente v00
Le cas « à coefficients Le cas « à coefficients
constants »constants » Hypothèses : Hypothèses :
- I intervalle ouvert de R - I intervalle ouvert de R - a , b - a , b R ou C , c fonction continue de I dans R (ou C) R ou C , c fonction continue de I dans R (ou C)
- t- t00 I y I y0 0 , v, v00 R ou C (données initiales) R ou C (données initiales) Conclusion :Conclusion :
Il existe une Il existe une uniqueunique fonction fonction y : I y : I R (ou C) telle que : R (ou C) telle que :
y’’ (t)= a y’(t) + b y(t) + c(t) pour t dans I y’’ (t)= a y’(t) + b y(t) + c(t) pour t dans I y(ty(t00) = y) = y00 , y’(t , y’(t00)=v)=v00 (conditions initiales) (conditions initiales)
Il existe une Il existe une uniqueunique courbe intégrale de courbe intégrale de l’équation différentielle l’équation différentielle
y’’(t)= a y’(t) + b y(t) + c(t) y’’(t)= a y’(t) + b y(t) + c(t)
passant par le point (tpassant par le point (t00,y,y00) et ayant au point ) et ayant au point (t(t00,y,y00) une tangente de pente v) une tangente de pente v00
L’attaque du problème : L’attaque du problème : étape 1 : résolution de l’équation étape 1 : résolution de l’équation homogènehomogène
y’’(t) – a y’ (t) – b y(t) = 0 , t y’’(t) – a y’ (t) – b y(t) = 0 , t R R
a , b a , b C C
XX22 – a X – b = 0 (équation caractéristique) – a X – b = 0 (équation caractéristique)
cas 1 : acas 1 : a22 + 4 b non nul + 4 b non nul ww11 et w et w22 distinctesdistinctes y = y = CC11 exp(w exp(w11t) + t) + CC22 exp (w exp (w22 t) OK t) OK
cas 2 : acas 2 : a22 + 4 b = 0 + 4 b = 0ww11= w= w22 =w =w y = y = CC11 exp(w exp(w t) + t) + CC22 t exp (w t) OK t exp (w t) OK
= (X- w= (X- w11) (X-w) (X-w22))
L’attaque du problème : L’attaque du problème : résolution de l’équation homogène (cas complexe résolution de l’équation homogène (cas complexe (2))(2))a , b complexes + a , b complexes + conditions initiales (yconditions initiales (y0 0 , v, v00 C) C)
cas 1 : acas 1 : a22 + 4 b non nul + 4 b non nul ww11 et w et w22 distinctesdistinctes y = y = CC11 exp(w exp(w11t) + t) + CC22 exp (w exp (w22 t) OK t) OK
cas 2 : acas 2 : a22 + 4 b = 0 + 4 b = 0
ww11= w= w22 =w =w y = y = CC11 exp(w exp(w t) + t) + CC22 t exp (w t) t exp (w t) OKOK
yy11(t)(t)
yy11(t)(t)
yy22(t)(t)
yy22(t)(t)
CC11 y y11(t(t00) + ) + CC22 y y22(t(t00) = y) = y00
CC11 yy11(t(t00)) ++ C C22 yy22 (t (t00) =) = y y00
CC11 yy11’(t’(t00)) ++ C C22 yy22’(t’(t00)) == v v00
solution générale de solution générale de l’équation l’équation
y’’(t) – a y’(t) – by(t)=0y’’(t) – a y’(t) – by(t)=0
solution particulière de solution particulière de l’équation l’équation
y’’ (t) – a y’(t) – b y(t) = c(t)y’’ (t) – a y’(t) – b y(t) = c(t)
RemarqueRemarque II. Une autre méthode pour la recherche d’une II. Une autre méthode pour la recherche d’une solution particulière de y’’(t) – a y’(t) – by(t) = c(t)solution particulière de y’’(t) – a y’(t) – by(t) = c(t)
Si le second membre c est de la forme :Si le second membre c est de la forme :
P(t) exp(P(t) exp(t) , t) , C C
P(t) cos (P(t) cos (t) , t) , R R
P(t) sin (P(t) sin (t) , t) , R R
OnOn cherche une solution particulière de la forme :cherche une solution particulière de la forme :