1 PRAKATA Assalamu’alaikum wr.wb. Segala puji bagi Allah yang telah memberika kami kemudahan sehingga dapat menyelesaikan buku ajar ini. Tanpa pertolongan-Nya mungkin penyusun tidak akan sanggup menyelesaikan dengan baik. Shalawat dan salam semoga terlimpah curahkan kepada baginda tercinta kitta yakni Nabi Muhammad SAW. Tujuan buku ini disusun agar sebagai berikut. 1. Memenuhi salah satu tugas Mata Kuliah Program Komputer 2. Mempersiapkan siswa agar mampu/berkopetensi dalam menghadapi perubahan kehidupan dan mempertahankan budaya bangsa dalam era globalisasi (pasar bebas) di masa yang akan datang. Berharap kiranya buku ajar ini dapat bermanfaat sebagai acuan proses belajar mengajar di SMA seluruh negri kita ini. Kritik dan saran dari dosen senantiasa kami nantikan demi penyempurnaan buku ini. Cirebon, Oktober 2014 Penyusun
29
Embed
PRAKATAmathggs69.weebly.com/uploads/4/4/6/9/44692875/vektor.pdf6 Pada bidang kartesius berikut vektor a mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal O (0,0) ke titik A (a 1,a 2).oleh
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1
PRAKATA
Assalamu’alaikum wr.wb. Segala puji bagi Allah yang telah memberika kami kemudahan sehingga
dapat menyelesaikan buku ajar ini. Tanpa pertolongan-Nya mungkin penyusun tidak akan sanggup
menyelesaikan dengan baik. Shalawat dan salam semoga terlimpah curahkan kepada baginda tercinta kitta
yakni Nabi Muhammad SAW.
Tujuan buku ini disusun agar sebagai berikut.
1. Memenuhi salah satu tugas Mata Kuliah Program Komputer
2. Mempersiapkan siswa agar mampu/berkopetensi dalam menghadapi perubahan kehidupan dan
mempertahankan budaya bangsa dalam era globalisasi (pasar bebas) di masa yang akan datang.
Berharap kiranya buku ajar ini dapat bermanfaat sebagai acuan proses belajar mengajar di SMA seluruh
negri kita ini. Kritik dan saran dari dosen senantiasa kami nantikan demi penyempurnaan buku ini.
Cirebon, Oktober 2014
Penyusun
2
KATA-KATA MOYIVASI
“Orang-orang yang berhenti belajar akan
menjadi pemilik masa lalu. Orang-orang yang
masih terus belajar, akan menjadi pemilik
masa depan” – Mario Teguh
“Agama tanpa ilmu adalah buta. Ilmu tanpa
agama adalah lumpuh.” – Albert Einstein
“Jika seseorang bepergian dengan tujuan
mencari ilmu, maka Allah akan menjadikan
perjalanannya seperti perjalanan menuju
surga” – Nabi Muhammad SAW
“Orang bijak belajar ketika mereka bisa. Orang
bodoh belajar ketika mereka harus” – Arthur
Wellesley
3
TUJUAN PEMBELAJARAN
Tujuan dari buku ini adalah untuk memberikan pengetahuan dan pemahaman mengenai materi tentang “
vektor “ dimana di dalam buku ini terdapat pengertian tentang vektor,oprasi pada vektor,perbandingan
vektor,perkalian skala dua vektor dan proyeksi vektor,serta soal – soal tentang vektor,sehingga mampu untuk
mengaplisikasi dalam proses pembelajar karena tugas guru tidak hanya mengajar,tetapi pada hakikat nya adalah
IX. BIODATA KELOMPOK DAN DESKRIPSI KERJA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5
Ruas garis yang kalian gambar pada kegiatan ini adalah sebuah vektor. Panjang garis yang di ukur
menggunakan penggaris menunjukan panjang vektor tersebut. Karena titik pangkal P dan ujung Q , maka
vektor disebut vektor PQ. Panjang vektor ini dilambangkan dengan │PQ│. selain cara di atas , sebuah vektor
dapat pula ditulis menggunakan :
1. Huruf kecil yang bercetak tebal.seperti a,b,c dan sebagainya. Missal nya vektor PQ di samping di tulis
vektor a
a Q
P
2. Huruf kecil yg di atas huruf itu di tumbuhi tanda panah. Seperti a,b,c dan sebagainya.misalnya
vektor PQ dapat di tulis dengan vektor a
a Q
P
Penulisan vektor dengan menggunakan anak panah di atas lebih sering di gunakan. Karenamenggunakan
tulisan tangan, vektor yang dibubuhi tanda panah lebih mudh di tuliskan dari pada di cetak tebal. Kalian bebas
menuliskan cara penulisan vektor tersebut.
Sekarang perhatikan sebarang titik A ( a1,a2) dan titik ( b1,b2) pada koordinat kartesius berikut.
c b2
a2
a b
x
a1 O b1
Titik A(a1,a2) dan titik
B (b1,b2) pada
koordinat titik kartesius
A. PENGERTIAN VEKTOR
VEKTOR
6
Pada bidang kartesius berikut vektor a mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal O (0,0) ke titik A
(a1,a2).oleh karena itu vektor a ini dapat kalian tuliskan dalam bentuk pasangan terurut a = (a1,a2). Adapun
vektor b mewakili ruas garis berarah dari titik pangkalan O (0.0) ke titik B (b1,b2).vektor b dapat kalian tuliskan
sebagai b = (b1,b2)
Dengan menggunakan rumus jarak kalian dapat menentukan panjang vektor a dan b yaitu :
Dengan menarik ruas garis titik A dan B,kalian mendapatkan vektor C. dengan menggunakan rumus
jarak vektor c ini dapat dituliskan sebagai c = (b1 – a1, b2 – a2 ) sehingga panjang vektor c adalah │c│ =
√(𝒃𝟏 − 𝒂𝟏 )𝟐 + (𝒃𝟐 − 𝒂𝟐 )𝟐
Jika arah vektor c dibalik mka akan didapat vektor – c yaitu sebuah vektor yang panjang nya sama
dengan vektor c dengan arah berlawanan. Vektor ini disebut vektor invers dari vektor c.jika di tulis dalam
bentuk pasangan terurut, vektor –c = (a1 – b1, a2 – b2) panjang nya adalah│-c│= √(𝒂𝟏 − 𝒃𝟏)𝟐 + (𝒂𝟐 − 𝒃𝟐)𝟐
= √(𝒃𝟏 − 𝒂𝟏)𝟐 + (𝒃𝟐 − 𝒂𝟐)𝟐
Untuk setiap vektor a yang bukan vektor nol dapat di tentukan suatu vektor satuan vektor a,dilambangkan
dengan ệ vektor satuan arah nya searah dengan vektor a dan panjang nya sama dengan satu satuan.
Jika vektor a = (𝒙𝒚), maka vektor dari a dirumuskan dengan : ệ =
𝒂
│𝒂│ =
𝟏
√𝒙𝟐+𝒚𝟐 (𝒙
𝒚)
Vektor-vektor satuan Ĭ dan ĵ dapat dinyatakan vektor kolom,yaitu Ĭ = (𝟏𝒐) dan ĵ = (𝟎
𝟏)
Dengan pemahaman yang sama pada bidang vektor ( R2 ) kalian dapat memahami vektor pada ruang
( R3). Misalnya ambil sebarang titik A (a1,a2,a3) dan B (b1,b2,b3) pada ruang (R3) maka kalian dapat menuliskan
vektor a yg mewakili vektor OA dan vektor b mewakili OB dalam bentuk pasangan berurut sebagai berikut.
Panjang vektor a adalah │a│ = √𝒂𝟏𝟐 + 𝒂𝟐𝟐
Panjang vektor b adalah │b│= √𝒃𝟏𝟐 + 𝒃𝟐𝟐
a = (a1,a2,a3) dan b = (b1,b2,b3)
panjang kedua vektor ini masing-masing
│a│ = √𝒂𝟏𝟐 + 𝒂𝟐𝟐 + 𝒂𝟑2 dan │b│ = √𝒃𝟏𝟐 + 𝒃𝟐𝟐 + 𝒃𝟑2
7
Untuk vektor pada ruang (R3) juga dapat di tentukan vektor satuannya, jika vektor a =(𝒙𝒚𝒛)
Contoh : * Diketahui segitiga ABC dengan titik-titik sudut A (0,3,5) B (2,4,6) dan C (4,3,1) tentukan:
a.vektor p yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik B
b.vektor q yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal B ke titik C
c.vektor r yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik C
d.keliling segitiga ABC
JAWAB :
a. P = AB = ( 2-0,4-3,6-4 ) = ( 2,1,1 ) panjang vektor P adalah │P │= √22 + 12 + 12 = √4 + 1 + 1 = √6
Maka │AB │= √6
b. q = BC = ( 4-2,3-4,1-6 ) = ( 2, -1,-5 ) panjang vektor q adalah │q│= √22 + −12 + −52 = √4 + 1 + 25
= √30
c. r = AC = ( 4-0,3-3,1-5 ) = ( 4,0,-4 ) panjang vektor r adalah │r│= √42 + 02 + −42 = √16 + 16 =
√32 = 4√2
d. │p│+│q│+│r│= √6 + √30 + 4√2
maka vektor satuan dari a di rumuskan dengan ệ = 𝒂
│𝒂│ =
𝟏
√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐 (
𝒙𝒚𝒛)
vektor-vektor Ĭ,ĵ,dan ќ dapat di nyatakan dengan vektor kolom yaitu : Ĭ = (𝟏𝟎𝟎) , ĵ = (
𝟎𝟏𝟎) dan ќ = (
𝟎𝟎𝟏)
Gambarkan vektor-vektor berikut pada koordinat kartesius :
a. K = ( 4,7 ) h. R = ( -2,-2,0 )
b. L = ( 7.4 ) i. S = ( 4,4,4 )
c. M = ( 5,0 )
d. N = ( 0,-5 )
e. O = ( -5,-5 )
f. P = ( -3,0,3 )
g. Q = ( 6,7,8 )
Asah Kemampuan
8
B. 1. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor
Perhatikan titik-titik A (a1, a2), B (b1, b2), dan C (c1, c2) pada koordinat Cartesius berikut ini!
x
Pada gambar tersebut, vektor a, b, dan c dapat kalian tulis sebagai berikut.
𝑎 = (𝑏1 − 𝑎1 , 𝑏2 − 𝑎2).
Dapat pula ditulis 𝑎 = (𝑏1−𝑎1𝑏2−𝑎2
)
𝑏 = (𝑐1 − 𝑏1 , 𝑐2 − 𝑏2)
Dapat pula ditulis 𝑏 = (𝑐1−𝑏1𝑐2−𝑏2
)
𝑐 = (𝑐1 − 𝑎1 , 𝑐2 − 𝑎2)
Dapat pula ditulis 𝑐 = (𝑐1−𝑎1𝑐2−𝑎2
)
Sekarang, jumlahkanlah vektor a dan b. Karena vektor merupakan matriks kolom, maka kalian dapat
menjumlahkan vektor a dan b dengan menggunakan aturan penjumlahan matriks. Dengan aturan ini, akan
diperoleh
a + b = (𝑏1−𝑎1𝑏2−𝑎2
) + (𝑐1−𝑏1𝑐2−𝑏2
) = (𝑏1−𝑎1+ 𝑐1−𝑏1𝑏2−𝑎2+ 𝑐2−𝑏2
) = (𝑐1−𝑎1𝑐2−𝑎2
)
Perhatikan bahwa (𝑐1−𝑎1𝑐2−𝑎2
) = 𝑐.
Uraian tersebut menunjukkan bahwa . Secara geometris, penjumlahan antara vektor a dan b ini dapat
kalian lakukan dengan dua cara, yaitu:
a. Cara Segitiga
Dalam cara ini, titik pangkal vektor b berimpit ruas dengan titik ujung vektor a. Jumlah vektor a dan b didapat dengan menarik ruas garis dari titik pangkal vektor a ke titik ujung vektor b. Ruas garis ini diwakili oleh vektor c. Akibatnya, a + b = c.
𝑏1
a
𝑎2
b
B. Oprasi Pada Vektor
c
𝑐2
𝑏2
𝑎1
𝑐1
𝐶(𝑐1, 𝑐2)
𝐵(𝑏1, 𝑏2)
𝐴(𝑎1, 𝑎2)
Titik A(𝑎1, 𝑎2), B(𝑏1, 𝑏2),
dan C(𝑐1, 𝑐2), pd
koordinat Cartesius
9
• Untuk a dan b vektor-vektor di 𝑅2 , berlaku
a + b = (𝑎1𝑎2
) + (𝑏1𝑏2
) = (𝑎1+𝑏1𝑎2+𝑏2
)
a – b = (𝑎1𝑎2
) − (𝑏1𝑏2
) = (𝑎1−𝑏1𝑎2−𝑏2
)
a
b
c = a + b
b. Cara Jajargenjang B
a b A c = a+b
E b D a Misalkan, vektor a mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik B dan vektor b mewakili ruas
garis berarah dari titik pangkal C ke titik D. Dalam cara jajargenjang, titik pangkal vektor a berimpit dengan
a. a + b k. a - b b. b + a l. b - a c. b + c m. b - c d. c + b n. c – b e. a + c o. a - c f. c + a p. c – a g. (a + b) + c q. (a – b) + c h. (b + a) + a r. a – (b + c) i. a + (b + c) s. (a – b) + (a – c) j. a + (c + a) t. (a – b) - (a – c)
1. Berdasarkan gambar berikut, tuliskanlah operasi-operasi vektornya dalam bentuk yang
paling sederhana a. b + d b. b + f a d e h c. d + e b g d. a + e + g c f i e. c – b f. c + i - h
2. Diketahui vektor-vektor a = (-5, -4, -3); b = (1, 2, 3); dan c = (-3, 8, 5) tentukanlah : a. |𝑎| + |𝑏| m. (a + b) + c b. |𝑏| + |𝑐| n. (b + a) + c c. |𝑎| − |𝑏| o. a + (b + c) d. (|𝑎| + |𝑏|) + |𝑐| p. a + (c + a) e. |𝑎| + (|𝑏| + |𝑐|) q. a - b f. (|𝑎| − |𝑏|) + |𝑐| r. b - a g. a + b s. b - c h. b + a t. c - b
Asah Kompetensi
1
12
i. b + c u. a - c j. c + b v. c - a k. a + c w. (a – b) + (a – c) l. c + a x. (a – b) – (a – c)
4. Secara geometri, buktikan bahwa: a. u + v = v + u
b. (u + v) + w = u + (v + w)
c. u + o = o + u = u
d. u + (-u) = -u + u = o
B. 2. Perkalian Skalar dengan Vektor
Pada bagian sebelumnya, kalian telah mempelajari penjumlahan vektor. Apa yang terjadi jika vektor-vektor
yang dijumlahkan adalah k vektor yang sama? Dalam penjumlahan tersebut, kalian akan mendapatkan sebuah
vektor baru yang setiap komponen-komponennya diperoleh dengan mengalikan k dengan setiap komponen-
komponen vektor u. Akibatnya, vektor baru tersebut segaris dengan vektor u dan memiliki panjang 𝑘|𝑢|.
Dalam perkalian skalar dengan vektor ini, jika k > 0, maka vektor ku searah dengan vektor u. Adapun jika k
> 0, maka vektor ku berlawanan arah dengan vektor u.
u u u u u
……. u ku u ku
u u
k vektor u u u
k > 0 k < 0
Jika k skalar tak nol dan vektor u = (𝑢1, 𝑢2, … 𝑢𝑛),maka ku = ( 𝑘𝑢1, 𝑘𝑢2, … , 𝑘𝑢𝑛)
Perkalian scalar dengan vector u
1. Diketahui vektor a = (1, 4, 5) dan b = (2, 3, 2), tentukan vektor c = 2a + 3b.
Jawab:
c = 2a + 3b = 2(1, 4, 5) + 3(2, 3, 2)
= (2 x 1, 2 x 4, 2 x 5) + (3 x 2, 3 x 3, 3 x 2)
= (2, 8, 10) + (6, 9, 6)
= (8, 17, 16)
Jadi, c = 2a + 3b = (8, 17, 16).
Contoh
13
B. 3. Sifat-Sifat Operasi Hitung pada Vektor
Vektor di 𝑅2 berhubungan dengan letak suatu titik pada sebuah bidang dengan pasangan bilangan (x, y)
merupakan koordinat Cartesius dari suatu titik atau koordinat bidang.
B(-2, 3) 3
2 A(1, 2)
1
2 1 1 1 5
2 D ( 5, -2)
C(-1,-4) 4
2. Buktikan bahwa vektor u = (-3, 0, 6) sejajar dengan vektor v = (1, 0, -2).
Bukti:
Untuk membuktikan bahwa vektor u = (-3, 0, 6) sejajar dengan vektor v = (1,
0, -2), kalian harus menunjukkan ada bilangan real k sehingga u = kv.
u = kv ⇒ u - kv = o
(-3, 0, 6) - k(1, 0, 2) = (0, 0, 0)
(3, 0, 6) (k, 0, 2k) (0, 0, 0) (3 k, 0, 6
2k ) (0, 0, 0) Didapat, k 3, maka, u 3v. Jadi, vektor u (3, 0, 6) sejajar
dengan vektor v (1, 0, 2).
1. Diketahui vektor a = (-1, 2, 3), b = (0, -2, -1), dan c = (-1, -2, 3). Hitunglah:
a. 2a + b d. 2a + b – 4a
b. 2b + 4c e. 3a - 2b – 4c
c. -b - 4a f. 4a + b - 2c
2. Carilah vektor dengan titik pangkal P(2, -1, 4) yang mempunyai arah sama
seperti vektor v = (7, 6, -3) !
3. Carilah vektor dengan titik ujung Q(2, 0, -7) yang arahnya berlawanan dengan
vektor v = (-2, 4, -1)!
4. Buktikanlah bahwa vektor u = (2, 1, 3) sejajar dengan vektor v = (-4, 2, -6)!
5. Diketahui titik A(2, 4, 6), B(6, 6, 2), dan C(14, 10, 6). Tunjukkan bahwa titik
A, B, dan C segaris (kolinier)!
Asah Kompetensi
1
Koordinat Cartesius 𝑅2
14
Vektor 𝑅2 mempunyai pasangan bilangan (x, y, z) yang merupakan koordinat Cartesius dari suatu titik
atau koordinat ruang ke tiga sumbu membentuk tiga bidang, yaitu bidang xy, bidang xz, dan bidang yz.
sifat –sifat yang terdapat dalam oprasi hitung Vektor adalah sebagian berikut :
Dalam buku ini akan dibuktikan sifat 1, sifat 2, sifat 4, dan sifat 7. Untuk sifat-sifat yang lain, dapat
kalian buktikan sendiri.
Jika a, b, dan c vektor-vektor di 𝑅2 atau 𝑅3 di dan k serta l skalar tak
nol maka berlaku hubungan berikut:
1. a + b = b + a 5. k(la) = (kl)a
2. (a + b) + c = a + (b + c) 6. k(a + b) = ka + kb
3. a + o = o + a = a 7. (k + l)a = ka + la
4. a + (-a) = o 8. 1a = a
Pembuktian sifat 1 Ambil sebarang vektor a = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) dan b = (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3), maka :
a + b = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) + (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3)
= (𝑎1 + 𝑏1 , 𝑎2 + 𝑏2, 𝑎3 + 𝑏3 )
= (𝑏1 + 𝑎1, 𝑏2 + 𝑎2, 𝑏3 + 𝑎3)
= (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3) + (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3)
= b + a
Jadi, a + b = b + a.
Pembuktian sifat 2 Ambil sebarang vektor a = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3), b = (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3), dan c =
(𝑐1, 𝑐2, 𝑐3), maka :
a + b + c = ((𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) + (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3)) + (𝑐1, 𝑐2, 𝑐3)