-
RUAS GARIS BERARAH
Definisi dan Sifat-sifat yang Sederhana
Untuk melajutkan penyelidikan tentang isometri diperlukan
pengertian
tentang ruas garis berarah sebagai berikut:
Definisi: Suatu ruas garis berarah adalah sebuah ruas garis yang
salah satu
ujungnya dinamakan titik pangkal dan ujung yang lain
dinamakan
titik akhir.
Apabila A dan B dua titik, lambang kita gunakan sebagai ruas
garis
berarah dengan pangkal A dan titik akhir B. Perhatikan dan
AB
melukiskan dua hal yang berbeda. Seperti diketahui bahwa
menggambarkan sinar atau setengah garis yang berpangkal di A dan
melalui
B.
Dua ruas garis dan disebut kongruen apabila AB = CD. Walaupun
AB
= CD, dan tidak perlu sama; adalah sebuah himpunan sedangkan
AB adalah bilangan real. Jika dan kongruen ditulis .
Andaikan sekarang ada 2 ruas garis berarah dan .
Dalam membandingkan dua ruas garis berarah dan tidaklah
sukup,
jika AB = CD; kedua ruas garis berarah itu searah. Jika
demikian, dikatakan
bahwa ruas garis berarah ekivalen dengan ruas garis berarah
yang
ditulis sebagai = atau = .
Definisi: = apabila Sp(A) = D dengan P titik tengah .
Gambar 9.1
A
B
C
D
P
-
Teorema 9.1:
Andaikan dan dua ruas garis berarah yang tidak segaris, maka
segi-4
ABCD sebuah jajargenjang jika dan hanya jika = .
Bukti:
Akan ditunjukkan jika dan adalah dua ruas garis berarah yang
tidak
segaris maka ABCD jajargenjang = .
Akan ditunjukkan jika = maka ABCD jajargenjang dengan
dan adalah 2 ruas garis berarah yang tidak segaris.
Dipunyai = .
Misalkan titik P adalah titik tengah .
Menurut definisi keekivalenan maka Sp(A) = D.
Berarti AP = PD, jadi P juga titik tengah AD.
Hubungkan titik A ke C dan titik B ke D sehingga
terbentuklah
segiempat ABCD.
dan adalah diagonal-diagonal segiempat ABCD yang terbagi
sama panjang di P (definisi jajar genjang).
Akibatnya segiempat ABCD sebuah jajar genjang.
Jadi terbukti jika dan adalah dua ruas garis berarah yang tidak
segaris
maka ABCD jajargenjang = .
Akibat Teorema 9.1:
Jika = maka AB = CD dan dan sejajar atau segaris.
Bukti:
Akan dibuktikan = = dan dan sejajar atau segaris.
Dipunyai =
Karena = , maka segaris
menurut definisi keekivalenan, Sp(A) = D dengan P adalah titik
tengah
sehingga BP = PC.
-
Pilih titik P pada perpanjangan .
Karena Sp(A) = D, maka AP = PD.
Diperoleh AP = PD AB + BP = PC + CD.
Karena BP = PC, maka AB + PC = PC + CD AB = CD.
Buat garis yang melalui titik A dan D.
Diperoleh dan sehingga dan .
Karena segaris dengan maka segaris dengan .
Karena = , maka tidak segaris.
Berdasarkan teorema 9.1, diperoleh segiempat ABCD jajar
genjang.
Menurut karakteristik jajar genjang bahwa sisi-sisi yang
berhadapan sama
panjang dan sejajar, akibatnya AB = CD.
Karena // , dan maka // .
Teorema 9.2:
Diketahui ruas-ruas garis berarah , , dan maka
1. = (sifat reflexi);
2. jika = maka = (sifat simetrik);
3. jika = dan = maka = (sifat transitif).
Bukti:
1. Akan dibuktikan = (sifat reflexi)
Misalkan P adalah titik tengah , maka Sp(A) = B
Menurut definisi keekivalenan diperoleh = .
2. Akan dibuktikan jika = maka = (sifat simetrik)
Menurut teorema 9.1 jika = maka segiempat ABCD jajargenjang,
diagonal-diagonal dan membagi sama panjang di P,
maka P dalah titik tengah
akibatnya Sp(C) = B
menurut definisi kekeivalenan apabila Sp(C) = B dengan P titik
tengah
maka = .
3. Akan dibuktikan jika = dan = maka = (sifat
transitif):
-
Diperoleh = maka Sp(A) = D dengan P titik tengah
Diperoleh = maka Sq(C) = F dengan Q titik tengah
Menurut teorema 9.1 jika = maka segiempat ABCD jajargenjang
sehingga // dan // akibatnya // .
Menurut akibat dari teorema 9.1 bahwa jika = maka AB = CD,
jika = maka CD = EF
Akibatnya AB = EF.
Karena AB = EF dan // maka ABFE jajargenjang.
Menurut teorema 9.1 jika ABCD jajargenjang maka // .
Teorema 9.3:
Diketahui sebuah titik P dan suatu ruas garis berarah maka ada
titik
tunggal Q sehingga = .
Gambar 9.2
Bukti:
Akan dibuktikan keberadaan Q sehingga =
Andaikan ada titik Q
misal R adalah titik tengah dengan Sp(A) = Q maka =
Menurut teorema 9.2 (2) maka =
Akan dibuktikan Q tunggal,
Andaikan ada titik T sehingga =
Karena R titik tengah maka SR(A) = T
Setengah putaran A terhadap R atau SR(A) tunggal sehingga =
Akibat 1:
Jika
A Q
B
R
P
-
Jika 1 1,1 ,2 2, 2 , dan 3 3,3 titik-titik yang diketahui
maka
titik 3 + 2 1,3 + 2 1 adalah titik tunggal sehingga
3 = 12 .
Andaikan P bukan titik tungga maka 3 12 artinya 3 12 0
diperoleh 3 12 = 3 2 1
= 3 + 2 1,3 + 2 1 3,3 2,2 1,1
= 3 + 2 1 3,3 + 2 1 3 2 1,2 1
= 2 1,2 1 2 1,2 1
= 0,0
= 0 (Terbukti)
Akibat 2:
Jika = , , = 1,2,3,4, maka 12 = 34
2 1 = 4 3,2 1 = 4 3
Akan dibuktikan jika Jika = , , = 1,2,3,4 maka
12 = 34 2 1 = 4 3,2 1 = 4 3
Karena 12 = 34 maka 12=34 sehingga 2 1 = 4 3
2,2 1,1 = 4,4 3,3
2 1,2 1 = 4 3,4 3 (Terbukti)
Mengalikan Ruas Garis Berarah dengan Sebuah Skalar
Definisi:
Andaikan sebuah ruas garis berarah dan k suatu bilangan real,
maka
k adalah ruas garis berarah sehingga dan AP = k (AB) jika
k>0.
Apabila k
-
SOAL-SOAL LATIHAN DAN PEMBAHASAN
1. Diketahui titik-titik A, B, C, dan D, tiap tiga titik tidak
segaris.
Ditanya:
a. Lukis titik D sehingga =
b. Lukis titik F sehingga =
c. ( )
Jawab:
a. Misalkan titik D adalah titik tengah sehingga =
b. Misalkan titik F merupakan titik tengah sehingga =
c. ( )
2. Diketahui titik-titik A, B, C yang tidak segaris.
Lukislah:
a. Titik D sehingga = 3
b. Titik F sehingga = 4
3
c. Titik F sehingga = 2
E B
C
C A
D
B
E A
D B
F
B
A
-
Jawab:
a. Titik D sehingga = 3
b. Titik F sehingga = 4
3
c. Titik F sehingga = 2
3. Diantara ungkapan-ungkapan di bawah ini manakah yang
benar?
a. =
b. =
c. =
d. Jika = maka = 2
e. Jika = dan = , maka =
Jawab:
a. =
(Benar)
2
C
A B
F
A B E B
A B
B A
A B
D B A
-
b. =
(Benar)
c. =
(Benar)
d. Jika = maka = 2
(Benar)
e. Jika = dan = , maka =
(Benar)
4. Diketahui A (0,0), B (5,3), dan C (-2,4). Tentukan:
a. R sehingga =
b. S sehingga =
c. T sehingga =
Jawab:
a. R sehingga =
Berdasarkan teorema akibat jika = maka AR = BC sehingga
=
=
+
= 24
53 +
00 =
71
A B B
B A
A B B
A B A
B A A
B A B A
-
Jadi R = (-7,1).
b. S sehingga =
Berdasarkan teorema akibat jika = maka CS = AB sehingga
=
=
+
=
53
00 +
24 =
37
Jadi R = (3,7).
c. T sehingga =
Berdasarkan teorema akibat jika = maka TB = AC sehingga
=
=
+
= 53
24 +
00 =
71
Jadi R = (7,-1).
5. Diketahui: A (2,1), B (3,-4), dan C (-1,5). Tentukan:
a. D sehingga CD = AB
b. E sehingga AE = BC
c. F sehingga AF = 1
2
Jawab:
a. D sehingga CD = AB
2 + 2 = 2 + 2
+ 1 2 + 5 2 = 3 2 2 + 4 1 2
+ 1 2 + 5 2 = 1 2 + 5 2
+ 1 2 + 5 2 = 26
+ 1 2 + 5
2 = 26
2 + 2 + 1 +
2 10 + 25 = 26
2+
2 + 2 10 + 26 = 26
2+
2 + 2 10 = 0
Jadi D adalah semua titik pada lingkaran 2+
2 + 2 10 = 0
b. E sehingga AE = BC
2 + 2 = 2 + 2
-
2 2 + 1 2 = 1 3 2 + 5 + 4 2
2 2 + 1 2 = 4 2 + 9 2
2 2 + 1 2 = 16 + 81
2 2 + 1 2 = 97
2 2 + 1
2 = 97
2 4 + 4 +
2 2 + 1 = 97
2+
2 4 2 + 5 = 97
2+
2 4 2 92 = 0
Jai E adalah semua titik pada lingaran 2+
2 4 2 92 = 0
c. F sehingga AF = 1
2
2 + 2 = 1
2 2 + 2
2 2 + 1 2 = 1
2 1 2 2 + 5 1 2
2 2 + 1 2 = 1
2 3 2 + 4 2
2 2 + 1 2 = 1
2 9 + 16
2 2 + 1 2 = 1
2 25
2 2 + 1
2 =1
4 . 25
2 4 + 4 +
2 2 + 1 =1
4 . 25
2+
2 4 2 + 5 =1
4 . 25
42+4
2 16 8 + 20 = 25
42+4
2 16 8 5 = 0
Jadi F adalah semua titik pada lingkaran 42+4
2 16 8
5 = 0
6. Jika A = (1,3), B = (2,7), dan C = (-1,4) adalah titik-titik
parallelogram
ABCD. Tentukan koordinat-koordinat titik D.
Jawab:
Menurut teorema 9.1 jika ABCD jajargenjang maka AB=CD dengan
K
adalah titik tengah BC dan AD.
-
Karena K titik tengah BC maka = +
2,+
2 =
21
2,
7+4
2 =
1
2,
11
2
Karena K titik tengah AD maka = +
2,+
2
1
2,11
2 =
1 + 2
,3 +
2
1 +
2=
1
2 1 + = 1 = 0
3 +
2=
11
2 3 + = 11 = 8
Jadi koordinat D adalah (0,8).
7. Jika A(-2,4), B(h,3), C(3,0), dan D(5,k) adalah titik sudut
jajargenjang
ABCD, tentukan h dan k.
Jawab:
Karena ABCD jajargenjang maka = dan =
Dari = menurut akibat teorema 9.1 diperoleh AB=CD maka
=
3
24 =
30
5
+ 21
= 2
Sehingga diperoleh + 2 = 2 = 4 dan = 1 = 1.
8. Jika A(-h,-k), B(5,-2 3), C(k,8 3) dan D(-9,h) adalah
titik-titik sehingga
= , tentukan h dan k.
Jawab:
Karena = maka menurut akibat teorema 9.1 diperoleh AB=CD
sehingga
=
5 +
2 3 + =
9
8 3
5 + = 9 + = 14 ... (1)
2 3 + = 8 3 = 6 3 ...(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh k = - 7 - 3 3 dan h = - 7 - 3 3.
9. Diantara relasi-relasi di bawah ini manakah yang termasuk
relasi ekivalensi?
a. Kesejajaran pada himpunan semua garis.
b. Kekongruenan pada himpunan semua sudut.
c. Kesebangunan pada himpunan semua segitiga.
-
d. Kekongruenan antara bilangan-bilangan bulat modulo 3.
Jawab:
a. Relasi ekivalensi
b. Relasi ekivalensi
c. Relasi ekivalensi
d. Bukan relasi ekivalensi
e. Bukan relasi ekivalensi
10. Buktikan jika = dan = maka = dengan jalan
memisalkan = 1,2 , = 1,2 , = 0,0 = 1, 2 .
Bukti:
Dari = diperoleh AB = CD maka 12
12
= 12
12
12
= 1 1 + 02 2 + 0
= 1 12 2
Dari = diperoleh CD = EF maka 12
12 =
12
12
1 12 2
00 =
12
12
12 =
1 1 + 12 2 + 2
Sehingga = 1 1 + 12 2 + 2
12 =
1 12 2
.
11. Jika A=(0,0), B=(1,-3), dan C=(5,7), tentukan:
a. D sehingga AD = 3 AB
b. E sehingga AE = 1
2
c. F sehingga AF = -2 AB
Jawab:
a. D sehingga AD = 3 AB
2 + 2 = 3 2 + 2
+ 0 2 + 0 2 = 3 1 0 2 + 3 0 2
2 + 2 = 3 1 2 + 3 2
2 + 2 = 3 10
2 +
2 = 90
-
Jadi D adalah semua titik pada lingkaran 2 +
2= 90
b. E sehingga AE = 1
2
2 + 2 = 1
2 2 + 2
0 2 + 0 2 = 1
2 5 1 2 + 7 (3) 2
2 + 2 = 1
2 4 2 + 10 2
2 + 2 = 1
2 16 + 100
2 + 2 = 1
2 116
2 +
2 =1
4. 116
2 +
2 = 29
Jadi E adalah semua titik pada lingkaran 2 +
2 = 29
c. F sehingga AF = -2 AB
2 + 2 = -2 2 + 2
0 2 + 0 2 =-2 1 0 2 + 3 0 2
2 + 2 = 2 1 2 + 3 2
2 + 2 = 4 10
2 +
2 = 40
Jadi D adalah semua titik pada lingkaran 2 +
2= 40
12. Jika 0 = 0,0 ,1 = 1,1 ,2 = 2,2 dan 3 = 3,3 sedangkan
k>0, tentukan:
a. P sehingga 0 = 01
b. P sehingga 1 = 12
c. Jika 3 = 12 maka = 3 + 2 1 ,3 + 2 1
d. Apakah rumus tetap berlaku apabila k < 0?
Jawab:
a. P sehingga 0 = 01
-
Karena 0 = 01 maka menurut akibat teorema 9.1 diperoleh P0P
=
kP0P1 sehingga 0 0
= 1 01 0
0
0 =
1 01 0
= 11
b. P sehingga 1 = 12
Karena 1 = 12 maka menurut akibat teorema 9.1 diperoleh
P1P=kP1P2 sehingga
1 1
= 212 1
1 1
= 2 12 1
1 = 2 1 = 2 ( 1)1
1 = 2 1 = 2 (1)1
Jadi = 2 ( 1)1,2 (1)1
c. Jika 3 = 12 maka = 3 + 2 1 ,3 + 2 1
Karena 3 = 12 maka menurut akibat teorema 9.1 diperoleh
P3P=kP1P2 sehingga
3 3
= 212 1
3 3
= 2 12 1
3 = 2 1 = (2 1) + 3
3 = 2 1 = (2 1) + 3
Jadi = (2 1) + 3,(2 1) + 3
d. Apakah rumus tetap berlaku apabila k < 0?
rumus tetap berlaku tetapi arahnya berlawanan.
13. Jika A = (0,0), B = (1,3), C = (-2,5), dan D = (4,-2)
titik-titik diketahui,
gunakan hasil pada soal nomor 12, untuk menentukan
koordinat-koordinat
titik-titik berikut:
a. P sehingga = 4
b. R sehingga =1
2
c. S sehingga = 3
d. T sehingga = 2
Jawab:
a. P sehingga = 4
-
Karena = 4 maka = 4 sehingga = 4( )
Diperoleh
= 4
= 4 2 05 0
+ 00
= 820
Jadi koordinat P = (-8,20).
b. R sehingga =1
2
Karena =1
2 maka BR=
1
2 BC sehingga R B =
1
2 ( )
Diperoleh
=1
2
1 3
=1
2 2 15 3
1 =3
2 =
1
2
3 = 1 = 4
Jadi koordinat R = (1
2, 4).
c. S sehingga = 3
Karena = 3 maka S D = 3 (C B)
Diperoleh
= 3
4
(2) = 3
2 15 3
4 = 9 = 5
+ 2 = 6 = 4
Jadi koordinat S = (5,4).
d. T sehingga = 2
Karena = 2 maka T C = -2 ( B D )
Diperoleh
= 2
(2) 5
= 2 1 4
3 (2)
+ 2 = 6 = 4
5 = 10 = 5
Jadi koordinat R = (4,5).
14. Diketahui garis-garis g dan h yang sejajar. Titik sedangkan
titik
tidak pada g maupun h.
a. Lukislah P=MhMg(P) dan Q=MhMg(Q)
b. Buktikan bahwa =
-
Jawab:
a. Gambar P=MhMg(P) dan Q=MhMg(Q)
b. Bukti bahwa =
15. Diketahui garis-garis u dan v yang sejajar; ada titik-titik
Z dan W tidak pada
garis-garis itu.
a. Lukislah Z=MvMu(Z) dan W=MvMu(W)
b. Buktikan bahwa =
Jawab:
a. Gambar Z=MvMu(Z) dan W=MvMu(W)
b. Bukti bahwa =
16. Diketahui garis g dan lingkaran-lingkaran L1 dan L2; garis
itu tidak
memotong lingkaran-lingkaran. Dengan memperhatikan Mg(L1),
tentukan
Mg(Q)
h
g P
P
Q
Q
Z
u
v
Z W
W
Mu(Z)
Mu(W)
-
semua titik X pada g sehingga dengan 1, 2
sedangkan dan adalah garis-garis singgung.
Jawab:
17. Diketahui garis g dan lingkaran-lingkaran L1 dan L2. Garis
tidak memotong
L1 maupun L2. Gunakna sebuah transformasi untuk melukis sebuah
bujur
sangkar yang dua titik sudutnya terletak pada g, satu titik
sudut ada pada L1
dan titik sudut yang keempat ada pada L2.
Jawab: