GRAF BERARAHDefinisi, Matriks, dan Relasi
OLEH:
I GUSTI AYU WAHYUNDARI (E1R011018)IRWANSYAH (E1R011020)ANISA
ULFA (E1R011005)EKA KURNIAWAN (E1R010039)MADE DEWI ARINI
(E1R010051)
Prodi MatematikaJurusan MIPAFakultas Keguruan Dan Ilmu
PendidikanUniversitas Mataram2013KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena
atas karuni-Nya kami dapat menyelesaikan resume ini tepat pada
waktunya dan tanpa halangan yang berarti. resume berjudul GRAF
BERARAH, DEFINISI,MATRIK,DAN RELASI ini merupakan tugas yang
diberikan pembimbing mata kuliah teori graf sebagai tugas awal
semester ganjil. Tugas ini berisi resume pelajaran teori graf
bagian graf berarah khususnya define graf berarah dan matriks serta
relasi.Atas keberhasilan penulisan resume ini, kami juga ingin
sampaikan terima kasih kepada pihak-pihak yang turut membantu baik
secara langsung maupun tidak langsung, antara lain:dosen pembimbing
mata kuliah teori graf ibu Syahrul Azmi M.pd, sahabat-sahabat dan
semua pihak yang membantu namun tidak dapat kami sebutkan namanya
satu-persatu. Berkat dukungan dan bantuan dari semua pihak,
akhirnya penulisan resume ini dapat terselesaikan dengan hasil yang
cukup memuaskan. Namun, tak dapat dipungkiri bahwa tulisan ini
masih memiliki banyak kekurangan dan jauh dari kata sempurna. Oleh
karena itu, kami harap pembaca dapat memaklumi segala kekurangan
yang mengkin pembaca temukan nanti.Dengan segala kerendahan hati,
kami berharap pembaca dapat menikmati tulisan kami ini. Semoga
karya sederhana ini dapat bermanfaat bagi siapapun yang
membaca.
Mataram, 14 September 2013Penulis,
DAFTAR ISI
1. DEFINISI GRAPH BERARAH1.1 Menggambar Diagram dari Sebuah
Digraph11.2 Istilah Dalam Diagraph21.3 Jenis-Jenis Diagraph51.4
Keterhubungan pada graf berarah8
2. MATRIKS DAN RELASI2.1 Bentuk Matriks dari Sebuah
Diagraph9
3. APLIKASI GRAF BERARAH BERBOBOT(BERNILAI)12
DAFTAR PUSTAKA14
1. DEFINISI GRAPH BERARAHBerdasarkan arahnya, graf dibedakan
menjadi graf berarah dan graf tak berarah. Graf berarah atau dapat
disebut diagraf adalah sebuah graf yang disusun oleh sebuah
himpunan simpul dan sebuah himpunan sisi yang merupakan pasangan
terurut dari simpul-simpulnya. Kemudian sisi pada graf berarah
lebih dikenal dengan busur. Pada busur urutan simpul dalam
penulisannya mempunyai arti. Sebagai contoh busur (A,B) menunjukan
bahwa busur berasal dari A menuju B, sedangkan busur (B,A)
menunjukan bahwa busur berasal dari B menuju A. sehingga jelas
bahwa busur (A,B) (B,A)Gambar:
A (A,B)B
A (B,A)B
Notasi penulisan graf berarah sama dengan graf tak berarah,
yaitu:
G = (V, E)Dimana G = Graph berarahV = Simpul atau Vertex, atau
Node, atau Titik E = Busur ( sisi yang merupakan pasangan terurut
dari simpul-simpul)
1.1 Menggambar Diagram dari Sebuah Digraph G = G(V, E)Setiap
simpul v dalam V diwakili oleh sebuah noktah (bulatan kecil) dan
setiap busur e = [u, v] diwakili oleh sebuah panah, yaitu, sebuah
kurva berarah, dari titik awalnya u ke titik akhirnya v. Gambarkan
Digraph G(V, E) dimana V = {A, B, C, D} dan E terdiri dari delapan
busur (edge berarah)
13
,,,,,,,,
Biasanya kita menyatakan sebuah digraph dengan menggambarkan
diagramnya dari pada menuliskan verteks-verteks dan
edge-edgenya.e1A
D
e6e2e8e4e3
e5CB
e7
1.2 Istilah Dalam Diagraphistilah yang terdapat dalam graf
berarah hampir sama dengan graf tak berarah. Berikut akan
dijelaskan beberapa istilah baru dalam graf berarah:a. Derajat ke
luar (out degree) suatu simpul adalah banyaknya ruas yang mulai /
keluar dari simpul tersebut. b. Derajat ke dalam (in degree) suatu
simpul adalah banyaknya ruas yang berakhir / masuk ke simpul
tersebut. c. Total simpul pada graf berarah adalah jumlah derajat
keluar dan derajat ke dalam.d. Simpul berderajat ke dalam = 0
disebut sumber (source), sedangkan simpul berderajat ke luar = 0
disebut muara (sink).
e. Pengertian jalan (walk), lintasan (trail), jalur (path) dan
sirkuit (cycle) berlaku pula pada graf berarah, dimana harus sesuai
dengan arah ruas. Kalau tidak sesuai dengan arah ruas-nya, maka
disebut sebagai semi walk, semi path atau semi trail.
f. Busur sejajar (parallel)Busur-busur dengan titik awal yang
sama dan dengan titik akhir yang sama disebut busur sejajar
(parallel). dan adalah busur sejajar. (Meskipun dan mempunyai
verteks yang sama tetapi mereka tidak sejajar karena mereka
mempunyai titik awal dan titik akhir yang berbeda.)g. Sisi arah
ganda (bidirected) adalah sisi yang terdiri dari 2 busur dengan
arah berlawanan.Contoh: Dapat digambarkan juga dengan:
Contoh soal:1. Terangkan secara formal graph G yang ditunjukkan
pada gambar dibawah ini !
Jawab:Gambar diatas menunjukan sebuah digraph G(V, E) dimana V=
{A, B, C, D} dan E terdiri dari tujuh edge-edge berarah
2. Tunjukkan suatu loop dan busur sejajar dalam digraph pada
soal nomor 1 !Jawab: Busur adalah sebuah loop dan dua busur dari C
ke D adalah sejajar.
3. Terangkan secara formal setiap digraph G pada gambar dibawah.
(a) (b)Jawab: Sebuah gambaran formal dari G adalah menuliskan V(G)
dari verteks-verteksnya dan menuliskan E(G) dari
busur-busurnya.Jadi pada gambar 3(a)
Pada gambar 3(b)
4. Tunjukkan suatu loop atau busur sejajar dalam digraph pada
soal 3(a)Jawab: Busur adalah sebuah loop. Digraph tidak mempunyai
busur sejajar.5. Tunjukkan suatu loop atau busur sejajar dalam
digraph pada soal 3(b)Jawab: Terdapat sebuah loop dan dua busur
sejajar dari A ke B6. Gambarkan diagram untuk setiap graf berarah G
berikut dimana dan a. b. Jawab: Pertama gambarkan
verteks-verteksnya kemudian hubungkan mereka dengan panah untuk
mewakili busur-busur yang diberikan. Solusinya ditunjukan pada
gambar dibawah.
(a) (b)7. Tunjukan suatu loop atau busur sejajar pada sebuah
digraph dimana
Jawab: menurut definisi, suatu busur dimana titik awalnya juga
merupakan titik akhirnya disebut loop. Jadi dan adalah loop.
Sembarang dua atau lebih busur dimana titik awal dan akhir yang
terkait adalah sama disebut busur sejajar. Jadi dan adalah
busur-busur sejajar.1.3 Jenis-jenis graf berarah1. Diagraph
sederhana adalah diagraph yang tidak mengandung loop dan busur
sejajar.Gambar:
2. Diagraf tak sederhana adalah graf yang mengandung loop atau
busur sejajar atau keduanya.Gambar:
3. Diagraf lengkap adalah graf lengkap yang setiap sisinya
adalah sisi arah ganda.dari sembarang simpul u v pada graf ada
lintasan daru u ke v.
4. Oriented diagraf adalah diagraf yang tidak mengandung sisi
arah ganda atau tidak ada busur yang simetri.
5. Tournament adalah sebuah oriented graf yang lengkap yaitu
graf berarah yang mana setiap pasangan simpulnya dihubungkan oleh
sisi yang bukan sisi arah ganda dan memiliki arah yang unik.
6. Diagraf berakar . graf berarah G=(V,E) dikatakan memiliki
akar rV jika untuk setiap simpul vV terjangkau dari r.dengan kata
lain selalu ada lintasan berarah dari r ke v.Gambar:
7. Pohon berarah adalah diagraf yang mempunyai akar dan graf nya
berbentuk pohon.arah pada graf haruslah keluar dari akar bukan
masuk ke akar.
8. Jaringan (network) adalah diagraf yang mempunyai bobot.
Aplikasi diagraf berbobot akan dijelaskan pada bagian aplikasi graf
berarah(diagraf) berbobot pada bagian akhir.
1.4 Keterhubungan pada graf berarahContoh diagraph
terhubung:
Pada graf berarah terdapat 3 pengertian keterhubungan, yakni :
Diagraph terhubung lemah, sebuah graf berarah di mana dimungkinkan
untuk mencapai setiap simpul dari simpul lain dengan melintasi
busur dalam beberapa arah (yaitu, tidak harus dalam arah yang
menuju titik yang akan dituju). Simpul dalam graf berarah terhubung
lemah harus memiliki minimal 1 derajat masuk atau derajat keluar
Diagraph terhubung unilateral, jika antara setiap 2 simpul u dan v
pada graf, terdapat jalur dari u ke v atau dari v ke u. Diagraph
terhubung kuat, jika antara setiap 2 simpul u dan v pada graf,
terdapat lintasan dari u ke v dan dari v ke u. Semua simpul dalam
graf berarah terhubung harus memiliki derajat masuk minimal 1.
2. MATRIKS DAN RELASIMisalkan sebuah graph berarah tanpa busur
sejajar. Maka adalah sebuah himpunan bagian dari dan juga adalah
sebuah relasi dari Sebaliknya, jika adalah sebuah relasi pada
sebuah himpunan maka adalah sebuah graph berarah tanpa busur
sejajar.Sehingga diagraph tanpa busur sejajar dan relasi pada
sebuah himpunan adalah satu dan sama konsep.Contoh graf berarah
menggambarkan suatu relasi :
Relasixmencoleky, digambarkan sebagai graf berarah.Graf berarah
di atas menggambarkan relasi terhadap himpunan yang
sama,VVContohnya ada di bawah iniV= {Bomi,Mila,Enjel,Krungo}Relasi
di antara mereka (VV) adalah @:xmencoleky.
Bomi@Mila(BomimencolekMila) Bomi@Krungo(BomimencolekKrungo)
Mila@Mila(Milamencolek diri sendiri)
Mila@Krungo(MilamencolekKrungo) Enjel@Mila(EnjelmencolekMila)
Enjel@Krungo(EnjelmencolekKrungo) Krungo@Bomi(KrungomencolekBomi)
Krungo@Krungo(Krungomencolek diri sendiri)
Jika digambarkan dengan digram panah akan
menjadiBOMIMILAENJELKRUNGOBOMIMILAENJELKRUNGO
Bentuk matriks dari suatu diagraphMisalkan adalah sebuah graph
berarah dengan verteks-verteks. Matriks adalah matriks berukuran
dimana = jumlah busur yang berawal dari dan berakhir di .jika tidak
mempunyai busur sejajar maka entri-entri dari adalah bilangan nol
atau satu. Jika tidak demikian,entri-entrinya adalah bilangan bulat
tidak negative. Sebaliknya, setiap matriks ukuran dengan
entri-entri bilangan bulat tidak negative secara unik
mendefinisikan sebuah diagraph dengan verteks.
Contoh:
Keterangan: matriks diatas menggambarkan bahwa ada1busur dari ke
, 1 busur dari ke ,1 busur dari ke , 2 busur dari ke busur dan 1
busur dari ke .Contoh soal:Tentukan matriks M untuk setiap diagraph
pada gambar dibawah ini
Jawab: matriks M untuk sebuah diagraph dengan verteks adalah
matriks kuadrat dimana sama dengan jumlah busur yang berawal dari
dan berakhir di sehingga: (a)(b)TeoremaMisalkan adalah matriks dari
sebuah graf berarah .maka entri ke dari memberikan jumlah
path(jalur) dengan banyak dari simpul ke simpul .
3. Aplikasi Graph Berarah Berbobot (network)
Jika busur-busur dan/atau verteks-verteks dari sebuah graph
berarah diberi angka atau nilai dengan suatu data maka graph
berarah tersebut disebut graph berarah berlabel/network/jaringan.
Berikut beberapa aplikasi graf berarah berbobotdalam kehidupan
nyata.1.Persebaran imigrasiPerhatikan tiga Negara bagian yang
ditunjukan pada diagraph dibawah. Angka-angka yang dipetakan ke
setiap busur mewakili persentase dari penduduk sebuah Negara bagian
yang bermigrasi dari Negara bagian awal ke Negara bagian akhir
setiap tahun.
Jadi, 10% dari penduduk New York pindah ke Calofornia setiap
tahunnya sedangkan 14% penduduk California pindah ke New
York,dst.2. Jalur jalan raya
3. Penggambaran rantai makanan
Aplikasi graf dalam ekosistem digunakan untuk penggambaran
rantai makanan. Graf yang digunakan adalah graf berarah. Simpul
awal merupakan makhluk hidup yang dimangsa, sedangkan simpul tujuan
merupakan makhluk hidup pemangsa.
DAFTAR PUSTAKA
Liprchotz, Seymour. 2002. MATEMATIKA DISKRIT Jilid 2. Jakarta:
Salemba Teknika.
Hayati, Laila dan Azmi, Syahrul. 2013. Graph Theory. Mataram:
PGMIPABI Universitas
Mataram.http://yusminpadangga.blogspot.com/2011/12/tugas-teori-graph.html
diakses tanggal 13 September
2013.http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_graf diakses tanggal 13
September 2013.http://mathworld.wolfram.com/DirectedGraph.html
diakses tanggal 13 oktober 2013