จำนวนจริง

เอกสารประกอบการเรยนวชาคณตศาสตร ค 31101 เรอง ระบบจ านวนจรง ระดบชนม.4

1

เรยบเรยงและจดท าโดยนางสาวศรกญญา กตตวฒ โรงเรยนสราษฎรพทยา

ระบบจ ำนวนจรง จ ำนวนตรรกยะ (Rational number) คอ จ านวนทสามารถเขยนใหอยในรปเศษสวน a

b โดยท

a, b เปนจ านวนเตม และ b 0 ใช แทนเซตของจ านวนตรรกยะ

นนคอ a{x x

b เมอ a, b I และ b 0 }

ตวอยำงจ ำนวนตรรกยะ เชน

- จ านวนเตม

- เศษสวน เชน 1 1 5, 3 ,

2 6 4

- ทศนยมซ า เชน 0.5, 2.43, 5.465 จ ำนวนอตรรกยะ (Irational number) คอ จ านวนทไมเปนจ านวนตรรกยะ

ใช แทนเซตของจ านวนอตรรกยะ

ตวอยำงจ ำนวนอตรรกยะ เชน

- จ านวนทอยในรปกรณฑ ทเมอหาคาแลวไมเปนจ านวนตรรกยะ เชน 52, 3

- จ านวนทอยในรปทศนยมไมซ า เชน 0.125693..., 0.12122122212222...

- , e

จ ำนวนจรง (Real Number) ประกอบดวยเซตของจ านวนตรรกยะและเซตของ จ านวนอตรรกยะ ใชสญลกษณ แทนเซตของจ านวนจรง นนคอ

แผนผงแสดงจ ำนวนชนดตำง ๆ

จ ำนวนจรง

จ านวนตรรกยะ จ านวนอตรรกยะ

จ านวนตรรกยะทไมเปนจ านวนเตม จ านวนเตม

จ านวนเตมลบ จ านวนเตมศนย จ านวนเตมบวก


2


ใบงำนท 1

ค ำชแจง ใหนกเรยนกาเครองหมาย ลงในชองวางแตละขอตอไปนใหตรงกบชนดของ จ านวนนน ๆ ใหถกตอง

ขอท จ ำนวนทก ำหนดให จ ำนวนจรง

จ ำนวนนบ จ ำนวนเตม จ ำนวนเตมลบ จ ำนวนตรรกยะ จ ำนวนอตรรกยะ 1 -8

2 0.3

3

2

13

4 125

5 3

6 1.41

7

3

15

8 2 4

9 0.234

10 2)6(

คะแนนทได = …………………………

ผตรวจ …………………………………..

วนท ……. เดอน ………….. พ.ศ. ………


3


สมบตของจ านวนจรงเกยวกบการบวก วาในระบบจ านวนจรง จะเรยก จ านวนจรงทบวกกบจ านวนจรงจ านวนใดกตามแลวไดผลลพธเปนจ านวนจรงนนวา เอกลกษณกำรบวก กลาวคอ ให a, z เปนจ านวนจรงใด ๆ โดยท z เปนเอกลกษณการบวก

จะไดวา a z z a a

ในระบบจ านวนจรง มเอกลกษณการบวกจ านวนเดยว คอ 0

นนคอ 0 a a 0 a

อนเวอรสกำรบวก ของจ ำนวนจรง a วา หมายถง จ านวนจรงทบวกกบ a แลวได

ผลลพธเปน 0 ใชสญลกษณ -a แทนอนเวอรสการบวก ของจ านวนจรง a กลาวคอ ถา a เปนจ านวนจรงใด ๆ จะไดวา

a ( a) ( a) a 0

นนคอ ถาจ านวนสองจ านวนบวกกนไดศนยจะเรยกจ านวนทงสองวาเปนอนเวอรสซงกนและกน

จ ำนวน (a) อนเวอรสกำรบวก (-a)

5

0.3

- 3

2

1 1

2 3

1 2

2

-5

-0.3

3

-2

-(1 1

2 3 )

1 2

2


4


*** นอกจาก จ านวนจรงจะมเอกลกษณการบวก และอนเวอรสการบวกแลว จ านวนจรงยงม

สมบตอน ๆ ทเกยวกบการบวก ดงน

สมบต สมบตของกำรบวก ตวอยำง สมบตปด ถา a และ b แลว

a b

ถา 1, 2 แลว 1 2

สมบตการสลบท a b b a 1 2 2 1

สมบตการเปลยนกลม (a b) c a (b c) (1 2) 3 1 (2 3)

สมบตการมเอกลกษณ มจ านวนจรง 0 ซง 0 a a a 0

0 5 5 5 0

สมบตการมอนเวอรส ส าหรบจ านวนจรง a จะมจ านวนจรง –a ท

a ( a) ( a) a 0

3 ( 3) ( 3) 3 0

ตวอยำงท 1 ขอความตอไปนเปนจรงตามสมบตของจ านวนจรงขอใด

1. 2 8 เปนจ านวนจรง เปนจรงตามสมบตปดของการบวก

เนองจาก 2 และ 8 ดงนน 2 8

2. (3 1) 6 3 (1 6) เปนจรงตามสมบตการเปลยนกลมของการบวก

3. 8 0 8 เปนจรงตามสมบตการมเอกลกษณของการบวก

4. ( 2) 2 0 เปนจรงตามสมบตการมอนเวอรสของการบวก

สมบตของระบบจ านวนจรงเกยวกบการคณ วาในระบบจ านวนจรง จะเรยก จ านวนจรงทไมเปนศนยซงคณกบจ านวนจรงใดกตาม ไดผลลพธเปนจ านวนจรงจ านวนนน เรยกวา เอกลกษณกำรคณ กลาวคอ

ba a ab

ในระบบจ านวนจรง มเอกลกษณการคณจ านวนเดยว คอ 1

นนคอ 1 a a a 1

ในระบบจ านวนจรง อนเวอรสกำรคณของจ ำนวนจรง a 0 หมายถง จ านวนจรงทคณกบ a แลวได ผลลพธเปน 1 ใชสญลกษณ 1a แทนอนเวอรสการบวกของจ านวนจรง a กลาวคอ 1 1a a 1 a a


5


จ านวน (a) อนเวอรสการคณ ( 1a ) 1 1a a 1 a a

8 1

8

1 18 1 8

8 8

1

2 -2

1 1( )( 2) 1 ( 2)( )

2 2

2 1

2

1 1( )( 2) 1 ( 2)( )

2 2

1.3 หรอ 13

10 1

1.3หรอ 10

13

10 13 13 10( )( ) 1 ( )( )13 10 10 13

ในระบบจ านวนจรงยงมสมบตอน ๆ เกยวกบการคณอก กลาวโดยสรป สมบตเกยวกบการคณของจ านวนจรง มดงน

สมบต สมบตของกำรบวก ตวอยำง สมบตปด ถา a และ b แลว

a b

ถา 1, 2 แลว (1 2)

สมบตการสลบท a b b a 3 5 5 3

สมบตการเปลยนกลม (a b) c a (b c) (2 3) 4 2 (3 4)

สมบตการมเอกลกษณ มจ านวนจรง 1 และ 1 0 ซง 1 a a a 1

1 7 7 7 1

สมบตการมอนเวอรส ส าหรบ a ท a 0 จะมจ านวนจรง 1a โดยท

1 1a a 1 a a

1 13 1 3

3 3

ในระบบจ านวนจรงยงมสมบตทเกยวของกบการบวกและการคณ สมบตดงกลาว ไดแก สมบตกำรแจกแจง กลาวคอ

a(b c) ab ac และ (b c)a ba ca

ตวอยำงท 2 ขอความตอไปนเปนจรงตามสมบตของจ านวนจรงขอใด

1. มจ านวนจรงทคณกบ 0.9 แลวได 1 เปนจรงตามสมบตการมอนเวอรสของการคณ 2. 1 ( 8) 8 เปนจรงตามสมบตการมเอกลกษณของการคณ

3. 98 (10 7) 980 686 เปนจรงตามสมบตการแจกแจง


6


ให a, b, c จะไดวา

สมบต สมบตของกำรบวก สมบตของกำรคณ สมบตปด a b a b

สมบตการสลบท a b b a a b b a

สมบตการเปลยนกลม (a b) c a (b c) (a b) c a (b c)

สมบตการมเอกลกษณ ม 0 เปนเอกลกษณการบวก

โดยท 0 a a 0 a ม 1 เปนเอกลกษณการคณ

โดยท 1 a a 1 a

สมบตการมอนเวอรส อนเวอรสการบวกของ a คอ –a

โดยท

a ( a) ( a) a 0

อนเวอรสการคณของ a คอ 1

a โดยท

1 1a a 1, a 0

a a

สมบตการแจกแจง a(b c) ab ac


7



ตอนท 1 ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวางใหถกตองสมบรณ

ขอท ขอควำม สมบต

1 ถา 2, 6 R แลว 2 + 6 R ปด

2 7 + 3 = 3 + 7 การสลบท

3 3 + (5 + 4) = (3 + 5) + 4 การเปลยนหม 4 มจ านวนจรง 0 ซง 0 + 3 = 3 = 3 + 0 การมเอกลกษณ

5 (-7) + 7 = 0 = 7 + (-7) การมอนเวอรส

6 6 + 3 = 3 + 6

7 10 + (2 + 8) = (10 + 2) + 8

8 ถา 4, -3 R แลว 4 + (-3) R

9 0 + 8 = 8 = 8 + 0

10 (-15) + 15 = 0 = 15 + (-15)

ตอนท 2 ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวางแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ

ขอท ขอควำม สมบต

1 ถา 5, 3 R แลว 2 5 R ปด

2 7 2 = 2 7 การสลบท

3 5 (4 3) = (5 4) 3 การเปลยนหม 4 1 8 = 8 = 8 1 การมเอกลกษณ

5

3

1 3 = 1 = 3

3

1 การมอนเวอรส

6 10 3 = 3 10

7 ถา 6, 7 R แลว 7 6 R

8 1 10 = 10 = 10 1

9

5

1 5 = 1 = 5

5

1

10 ถา -2, 7 R แลว (-2) 7 R


8


สมบตของกำรเทำกนของจ ำนวนจรง ให a, b จะไดวา 1. สมบตกำรสะทอน a a

เชน 2 2

2. สมบตกำรสมมำตร ถา a b แลว b a เชน ถา 3 2 1 แลว 2 1 3 3. สมบตกำรถำยทอด ถา a b และ b c แลว a c เชน 22 4 และ 4 3 1 แลว 22 3 1

4. สมบตกำรบวกดวยจ ำนวนทเทำกน ถา a b แลว a c b c

เชน 2 3 6 และ c 1 แลว (2 3) 1 6 1 5. สมบตกำรคณดวยจ ำนวนทเทำกน ถา a b แลว ac bc

เชน 42

2 และ c 3 แลว 4

( )(3) (2)(3)2

สมบตของกำรไมเทำกนของจ ำนวนจรง

ให a, b, c

1. สมบตกำรถำยทอด

ถา a b และ b c แลว a c เชน 10 5 และ 5 1 แลว 10 1 2. สมบตกำรบวกดวยจ ำนวนทเทำกน

ถา a b แลว a c b c

เชน 2 > 0 ให c = 1 จะได 2 1 0 1 หรอ 3 > 1

ให c = -1 จะได 2 ( 1) 0 ( 1) หรอ 1 > -1

3. สมบตกำรคณดวยจ ำนวนเทำกนทมำกกวำศนย

ถา a b และ c 0 แลว ac bc

เชน 5 > 3 ให c = 2 จะไดวา 5 2 3 2 หรอ 10 > 6


9


ชวง คอ สบเซตของจ านวนจรงทไมสามารถเขยนแบบแจกแจงสมาชกได ชวงของ จ านวนจรง a และ b เมอ a b แบงเปน 2 แบบ ดงน คอ

1. ชวงจ ากด ม 4 แบบตางกน โดยมความหมายและเขยนแทนไดดวยเสนจ านวน ดงน

1) ชวงเปด (a, b) หมายถง {x a x b}

a b

2) ชวงปด [a, b]หมายถง {x a x b}

a b

3) ชวงครงเปด (a, b]หมายถง {x a x b}

a b

4) ชวงครงเปด [a, b) หมายถง {x a x b}

a b

2. ชวงอนนต ม 5 แบบตางกน คอ

1) ชวง (a, ) หมายถง {x x a}

a

2) ชวง [a, ) หมายถง {x x a}

a

3) ชวง ( , a) หมายถง {x x a}

a


10


4) ชวง ( , a] หมายถง {x x a}

a

5) ชวง ( , ) หมายถง {x x }

ตวอยำงท 1

1) n > - 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

ในภาพเสนทบทมลกศรแทนจ านวนจรงทกจ านวนทมคามากกวา -4

สญลกษณ “ O ” หมายถง ไมรวมจ านวน -4

2) n 2

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

สญลกษณ “” หมายถง รวมจ านวน 2 ดวย


11



ค ำชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวางแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ

1. a มคานอยกวา -8 แทนดวยสญลกษณ ……………………………………………

2. b มคามากกวา 10 แทนดวยสญลกษณ ……………………………………………

3. x มคานอยกวาหรอเทากบ 5 แทนดวยสญลกษณ ………………………………….

4. y มคามากกวาหรอเทากบ 20 แทนดวยสญลกษณ …………………………………

5. a 4 จ านวนสามจ านวนทสอดคลองกบอสมการ คอ ……………………………..

6. a -4 จ านวนสามจ านวนทสอดคลองกบอสมการ คอ …………………………….

7. ถา 7 > 4 และ 4 > 2 แลว ……………………………………………………

8. ถา 8 > 2 แลว 8 + 6 > ………………………………………………………

9. ถา 10 + 5 > 6 + 5 แลว ……………………………………………………….

10. ถา 12 > 7 แลว 12 3 > ……………………………………………………

คะแนนทได = …………………………

ผตรวจ …………………………………..

วนท ……. เดอน ………….. พ.ศ. ………


12


กำรแยกตวประกอบของพหนำม

ตวแปร คอ สญลกษณทใชเขยนแทนจ านวน นยมใชตวอกษรภาษาองกฤษตวเลก เชน x, y แทนจ านวน

คำคงตว คอ ตวเลขทแทนจ านวน เชน 1, 2, 3

นพจน คอ ขอความในรปสญลกษณ เชน 2, 3x, 5 x, x 8

เอกนำม คอ นพจนทเขยนในรปการคณของคาคงตวกบตวแปรตงแตหนงตวขนไปทมเลขชก าลงของตวแปรเปนจ านวนเตมบวกหรอศนย เชน 23, 2x, 3xy, x

พหนำม คอ นพจนทสามารถเขยนในรปเอกนาม หรอการบวกเอกนามตงแตสองเอกนามขนไป กำรแยกตวประกอบของพหนำม คอ การเขยน พหนามในรปการคณของพหนามทมดกรต ากวา ตวอยำงท 1

1) 8x 6 2(4x) 2(3) 2(4x 3)

2) 3 2 22x 3x x x(2x ) x(3x) x(1)

2x(2x 3x 1)

พหนำมดกรสอง ตวแปรเดยว เปนพหนามทเขยนไดในรป 2ax bx c เมอ a, b, c เปนคาคงตวท a 0 และ x เปนตวแปร ตวอยำงท 2

1) 23x 6x 1 ม a = 3, b = -6 และ c = 1

2) 25x 8x 3 ม a = 5, b = 8 และ c = -3

พจารณา พหนามดกรสองตวแปรเดยว 2ax bx c ในกรณท a = 1และ b, c เปนจ านวนเตม และ c 0 วาอยในรปอยางไร พรอมยกตวอยางประกอบ ดงน


1) 2x 6x 1 2) 2x 8x 3 พจารณา การหาผลคณของพหนามดกรหนงกบพหนามดกรหนง เพอเปนแนวทางในการแยก

ตวประกอบพหนามดกรสองตวแปรเดยว


2

2

2

(x 2)(x 3) x(x 2) 3(x 2)

(x 2x) (3x 6)

x (2 3)x 6

x 5x 6

เมอเขยน 2x 5x 6 ในรปของผลคณของพหนามดกรหนง ซงจะได

2x 5x 6 (x 2)(x 3)


13


ขนตอนในการแยกตวประกอบ 2x 5x 6 โดยพจารณา ยอนกลบจากการหาผลคณขางตน 2 2

2

2

x 5x 6 x (2 3)x 6

x (2x 3x) 6

(x 2x) (3x 6)

x(x 2) 3(x 2)

(x 2)(x 3)

การแยกตวประกอบของพหนามดกรสอง 2x bx c เมอ b และ c เปนจ านวนเตม จะท าได เมอสามารถหาจ านวนเตมสองจ านวนทคณกนได c และ บวกกนได b นนคอ

ถาให m และ n แทนจ านวนเตมสองจ านวนนน

จะได m n b

m n c

ดงนน 2 2x bx c x (m n)x mn

2(x mx) (nx mn)

x(x m) n(x m)

(x m)(x n)

นนคอ 2x bx c แยกตวประกอบไดเปน (x m)(x n)


1) 2x 7x 12 (x 3)(x 4)

2) 2x 7x 12 (x 3)(x 4)

3) 2x x 12 (x 4)(x 3)

4) 2x x 12 (x 3)(x 4)


2

2

2

(4x 3)(2x 1) 2x(4x 3) (4x 3)

(8x 6x) (4x 3)

8x (6x 4x) 3

8x 10x 3

ดงนน 2(4x 3)(2x 1) 8x 10x 3

การหาผลคณของพหนามดกรหนง โดยใชสมบตการแจกแจง

1) จาก 2(4x 3)(2x 1) 8x 10x 3

จะไดวา หนา หนา = พจนหนาของผลคณ

2) จาก 2(4x 3)(2x 1) 8x 10x 3 จะไดวา หลง หลง = พจนหลงของผลคณ


14


3) จาก 2(4x 3)(2x 1) 8x 10x 3 จะไดวา (หนา หลง) + (หลงหนา) = พจนกลางของผลคณ

พจารณาการแยกตวประกอบ 28x 10x 3 โดยอาศยสมบตยอนกลบ ดงน

1) หาพหนามดกรหนง สองพหนามทคณกนได 28x แลวเขยนไวในวงเลบเปนค ๆ ดงน

(4x )(2x ) หรอ (8x )(x ) 2) หาจ านวนสองจ านวนทคณกนแลวได + 3 ไปเขยนเปนพจนหลงของพหนามในขอ 1) ดงน

(4x 1)(2x 3) = (4x 1)(2x 3)

(4x 3)(2x 1) = (4x 3)(2x 1)

3) ตรวจสอบดวาพจนกลางของพหนามทเปนผลคณของพหนามคใดในขอ 2) มคาเทากบ 10x

(พจนกลางของ 28x 10x 3 ) โดยน า (หนา หลง) + (หลงหนา) จะไดวา (4x 3)(2x 1) มพจนกลางเทากบ 10x

ในกรณทพหนามทก าหนดให สามารถแยกตวประกอบโดยใชสมบตการแจกแจงได กใหใชสมบตการแจกแจงกอน ตวอยำงท 7

2 25x 10x 5 5(x 2x 1)

5(x 1)(x 1)

ตวอยำงท 8 จงแยกตวประกอบของพหนามดกรสองตอไปน

1) 212x 31x 9

2) 212x 39x 9

3) 214x 65x 9

4) 2221x 5x 6

พหนามดกรสองทแยกประกอบ แลวไดตวประกอบ เปนพหนามดกรหนงซ ากน เรยกวา ก ำลงสองสมบรณ


15



ค ำชแจง จงแยกตวประกอบพหนามตอไปน

1) 3x2 + 6x

2 = …………………………………………………………………

2) 2x2 - x = …………………………………………………………………

3) 4x3 - 16x

2 - 8x = ……………………………………………………………

4) x2 + 9x + 8 = ……………………………………………………….………

5) x2 - 10x + 24 = ………………………………………………..…………...

6) 3x2 + 4x - 15 = …………………………………………………………….

7) 2x2 - x - 1 = …………………………………………………………….

คะแนนทได = …………………………

ผตรวจ …………………………………..

วนท ……. เดอน ………….. พ.ศ. ………


16


สมกำรก ำลงสองตวแปรเดยว “ถา a, b เปนจ านวนจรง และ ab = 0 แลว a หรอ b อยางนอยหนงคาตองเปนศนย” วธหาค าตอบของสมการก าลงสอง สามารถใชสตรเพอ โดยการหาคา x ไดดงน

2b b 4acx

2a

อาศยความรเกยวกบจ านวนจรงทวา “ถา a, b เปนจ านวนจรง และ ab = 0 แลว a หรอ b

อยางนอยหนงคาตองเปนศนย” หาค าตอบของสมการโดยอาศยความรจากขอความขางตน จาก (x 3)(x 2) 0 จะไดวา (x 3) 0 หรอ (x 2) 0

หาค าตอบของสมการ (x 3)(x 2) 0 โดยหาคา x ทท าให x – 3 = 0

หรอ x + 2 = 0 ซงจะได x = 3 หรอ x = -2

ดงนน ค าตอบของสมการ (x 3)(x 2) 0 คอ 3, -2

ตวอยำงท 1 จงหาค าตอบของสมการ 2x 5x 6 0

วธท ำ จาก 2x 5x 6 0

จะได (x 3)(x 2) 0 ดงนน x 3 0 หรอ x 2 0

x 3 หรอ x 2

ตรวจสอบค าตอบ โดยแทนคา x 3 หรอ x 2 ลงใน

สมการ 2x 5x 6 0 จะได 2(3) 5(3) 6 0 ซงเปนจรง และ 2(2) 5(2) 6 0 ซงเปนจรง ดงนน ค าตอบของสมการ 2x 5x 6 0 คอ 3 หรอ 2

ตวอยำงท 2 จงหาค าตอบของสมการ (4x 8)(x 5) (5x 2)(x 2)

วธท ำ จาก (4x 8)(x 5) (5x 2)(x 2)

จะได 2 24x 12x 40 5x 12x 4

2 2

2

0 5x 4x 12x 12x 4 40

0 x 24x 44

หรอ 2x 24x 44 0

(x 22)(x 2) 0

ดงนน x 22 0 หรอ x 2 0 x 22 หรอ x 2


17


ค าตอบของสมการ คอ 22 หรอ 2

ตวอยำงท 3 จงหาค าตอบของสมการ 4 5 3

x 1 x 2 x

วธท ำ จาก 4 5 3

x 1 x 2 x

ท าสวนใหหมดไปกอน โดยการคณทงสองขางของสมการดวย x(x 1)(x 2) จะได

2 2 2

2 2

2

4x(x 2) 5x(x 1) 3(x 1)(x 2)

4x 8x 5x 5x 3(x x 2)

x 13x 3x 3x 6

4x 10x 6 0

หารทงสองขางของสมการดวย (-2) จะได 22x 5x 3 0

(2x 1)(x 3) 0

ดงนน 2x 1 0 หรอ x 3 0

1x

2 หรอ x 3

ค าตอบของสมการ คอ 1

2 หรอ 3

ตวอยำงท 4 จงหาค าตอบของสมการ 25x 3x 0

วธท ำ จาก 25x 3x 0

a 5, b 3 และ c = 0

25x 3x แยกตวประกอบ โดยใชสมบตแจกแจง ไดดงน

จาก 25x 3x 0

x(5x 3) 0

จะได x 0 หรอ 5x 3 0

x 0 หรอ 3x

5

ดงนน ค าตอบของสมการ คอ 30,

5


18


ตวอยำงท 5 จงหาค าตอบของสมการ 29x 50 วธท ำ จาก 29x 50

จะได 2 50x

9

2 50x

9

5 2

3

ดงนน ค าตอบของสมการ คอ 5 2

3 หรอ 5 2

3

*** นอกจากใชวธแยกตวประกอบดงทกลาวมาแลว ยงสามารถใชสตร

เพอหาค าตอบของสมการก าลงสอง โดยการหาคา x ไดดงน 2b b 4ac

x2a

ตวอยำงท 6 จงหาค าตอบของสมการ 2x 2x 11 0 โดยใชสตร

วธท ำ จาก 2x 2x 11 0

จะได a 1, b 2 และ c = -11

2 2b 4ac (2) 4(1)( 11)

48 หรอ 4 3

จาก 2b b 4ac

x2a

จะไดวา 2 4 3x

2

1 2 3

ค าตอบของสมการ คอ 1 2 3 หรอ 1 2 3


19



จงหำค ำตอบของสมกำรตอไปน 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1) x 7x 12 0

2) x 16x 15 0

3) x x 30

4) x 5x 6

5) 5x 4x 1 0

6) 12x 107x 9

7)18m 8 35m

8) 6 7x x 0

9) 9 42y 49y 0

10) 16x 1 8x


20


1 2 n 1 n

1 2 n 1 n

b b b b

a a a a

กำรแกสมกำรและอสมกำรตวแปรเดยวดกรไมเกนสอง “ถา a, b เปนจ านวนจรง และ ab = 0 แลว a หรอ b อยางนอยหนงคาตองเปนศนย” วธหาค าตอบของสมการก าลงสอง สามารถใชสตรเพอ โดยการหาคา x ไดดงน

2b b 4acx

2a

วธการแกอสมการ แบงออกเปน 2 กรณ คอ

1) การแกอสมการทตวแปรมเลขชก าลงเทากบหนง ท าเชนเดยวกบการแกสมการ แตตองระมดระวงการคณดวยจ านวนลบ เพราะจะท าใหเครองหมายของอสมการเปลยนแปลงได 2) การแกอสมการทตวแปรมเลขชก าลงตงแตสองขนไป มวธท าโดยทวไป ดงน คอ

2.1) จดขางใดขางหนงของอสมการใหเปนศนย

2.2) แยกตวประกอบ โดยใหตวประกอบมตวแปรทมเลขชก าลงเทากบหนง และสมประสทธหนาตวแปรตองเปนจ านวนบวกเสมอ

เมอไดตวประกอบในรป 1 1 2 2 3 3 n n(a x b )(a x b )(a x b ) . . . (a x b ) 0

หรอ 1 1 2 2 3 3 n n(a x b )(a x b )(a x b ) . . . (a x b ) 0

เมอ ji

i j

bb

a a ส าหรบทก ๆ i j (นนคอตวประกอบตองไมซ ากน) แลวหาเซตค าตอบ

ของ 1 1 2 2 3 3 n n(a x b )(a x b )(a x b ) . . . (a x b ) 0 .................(*)

2.3) เขยนกราฟของเซตค าตอบของสมการ(*) หรอคาของ x ทท าใหอสมการเปนศนย ลงบนเสนจ านวน จะได

2.4) ใสเครองหมาย + , - สลบกนไปในแตละชวง โดยเรมจากขวามอสดของ อสมการ เชน

- +

1 2 n 1 n

1 2 n 1 n

b b b b

a a a a

+ - +


21


2.5) เซตค าตอบของอสมการ

1 1 2 2 3 3 n n(a x b )(a x b )(a x b ) . . . (a x b ) 0

คอ ยเนยนของชวงทมเครองหมายลบทงหมด 2.6) เซตค าตอบของอสมการ 1 1 2 2 3 3 n n(a x b )(a x b )(a x b ) . . . (a x b ) 0

คอ ยเนยนของชวงทมเครองหมายบวกทงหมด ในการแกอสมการตวแปรเดยวดกรหนง หรอการหาค าตอบของอสมการนนจะตองอาศยสมบตของการไมเทากน

ตวอยำงท 1 จงหาค าตอบของอสมการตอไปน และเขยนแทนดวยเซต

1. 2x + x < 10

2. 4x – 4 2x + 4

วธท ำ 1) 2x + 2 < 10

2x + 2 + (-2) < 10 + (-2)

2x < 8

2

1(2x) <

2

1(8)

x < 4

เซตค าตอบของ 2x + 2 < 10 คอ {x | x < 4}

2) 4x – 4 2x + 4

4x – 4 + 4 2x + 4 + 4

4x 2x + 8

4x + (-2x) 2x + (-2x) + 8

2x 8

2

1(2x)

2

1(8)

x 4

เซตค าตอบของอสมการ 4x – 4 2x + 4 คอ {x | x 4}

ตวอยำงท 2 จงแกอสมการตอไปน พรอมทงแสดงค าตอบโดยใชเสนจ านวน

1. -x + 4 < -12

2. -x + 7 4

วธท ำ 1. -x + 4 < 12

บวกทงสองขางของอสมการดวย -4 จะได

-x + 4 + (-4) < -12 + (-4)

-x < -8

x > 8 (เอา -1 คณทงสองขาง)


22


เซตค าตอบของอสมการคอ เซตของจ านวนจรงทมากกวา 8 หรอ {x | x > 8}

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2. -x + 7 4

บวกทงสองขางของอสมการดวย -7 จะได

-x + 7 + (-7) 4 + (-7)

-x -3

x 3

เซตค าตอบของอสมการคอ เซตของจ านวนจรงทนอยกวาหรอเทากบ 3 หรอ {x | x 3}

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

ตวอยำงท 3 จงแกอสมการ x2 + x – 6 > 0 และแสดงค าตอบโดยใชเสนจ านวน

วธท ำ จาก x2 + x – 6 > 0

จะได (x + 3)(x – 2) > 0

พจารณาคาของ x ในชวง (- , -3), (-3, 2) และ (2, )

โดยเลอกคา x ทอยในชวงดงกลาว

ชวง x (x + 3)(x – 2) คาของ (x + 3)(x – 2)

(- , -3) -5 (-2)(-7) = 14 มคาเปนบวก

(-3, 2) 1 4(-1) = -4 มคาเปนลบ

(2, ) 4 (7)(2) = 14 มคาเปนบวก

และเมอเลอกคา x ในชวงดงกลาวเพม จะพบวา (x + 3)(x – 2) มคาเปนบวกหรอ

มากกวาศนย เมอ x อยในชวง (- , -3) และ (2, )

แสดงค าตอบโดยใชเสนจ านวนไดดงน

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4


23



ค ำชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวางตอไปนใหถกตองสมบรณ

ขอท โจทยอสมกำร เซต

1 จงหาเซตค าตอบของอสมการตอไปนและเขยนแทนดวยเซต

1.1 x + 3 < 6

1.2 2x + 4 10

1.3 3x – 7 5

1.4 -4 + 4x 8

1.1 …………………

1.2 …………………

1.3 …………………

1.4 …………………

2 จงแกอสมการตอไปน และแสดงค าตอบโดยใชเสนจ านวน

2.1 -3x -6

2.2 -5x – 1 -11

2.3 -8x + 6 > -10

2.4 -5 – 5x > -2x - 8

คะแนนทได = …………………………

ผตรวจ …………………………………..

วนท ……. เดอน ………….. พ.ศ. ………


24


คำสมบรณของจ ำนวนจรง บทนยำม คาสมบรณของจ านวนจรง

ถา a เปนจ านวนจรงใด ๆ คาสมบรณของ a เขยนแทนดวยสญลกษณ a โดยมความหมาย ดงน

a, a 0a

a, a 0


2 2 และ 2 ( 2) หรอ 2

8 8 และ 8 ( 8) หรอ 8

ตวอยำงท 2 จงหาคาของ 1. | -9 |

2. | -10 + 2 |

3. | 8 - 20 |

4. | 5 | + | -3 |

วธท ำ

1. | -9 | = -(-9) = 9

2. | -10 + 2 | = | -8 | = -(-8) = 8

3. | 8 - 20 | = | -12 | = -(-12) = 12

4. | 5 | + | -3 | = 5 + [ -(-3) ] = 5 + 3 = 8

โดยทวไป ถา a เปนจ านวนบวกใด ๆ

1. | x | < a มความหมายเชนเดยวกนกบ -a < x < a

และ | x | a มความหมายเชนเดยวกนกบ -a x a

เชน | x | < 3 หมายความวา ระยะจากจด x ไปยง 0 บนเสนจ านวน

นอยกวา 3 หนวย เขยนแสดงบนเสนจ านวนไดดงน

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

จากรป จะเหนวา | x | < 3 มความหมายเชนเดยวกน -3 < x < 3

| x | 3 เขยนแสดงคา x บนเสนจ านวนไดดงน

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4


25


2. | x | > a มความหมายเชนเดยวกนกบ x < -a หรอ x > a

และ | x | a มความหมายเชนเดยวกนกบ x a หรอ x a

เชน | x | > 2 เขยนแสดงคา x บนเสนจ านวนไดดงน

-2 -1 0 1 2 3

จากรป จะเหนวา | x | > 2 มความหมายเชนเดยวกบ x < -2 หรอ x > 2

| x | 2 เขยนแสดงคา x บนเสนจ านวนไดดงน

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

ตวอยำงท 3 จงแสดงคาของ x บนเสนจ านวน เมอก าหนดให

1. | x | > 6

2. | x | 5

วธท ำ 1. | x | > 6 มความหมายเชนเดยวกบ x < -6 หรอ x > 6

เขยนแสดงคาของ x บนเสนจ านวนไดดงน

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

2. | x | 5 มความหมายเชนเดยวกบ x -5 หรอ x 5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5


26



ค ำชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวางแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ

1. | -7 | = …………………………………………………………………

2. | 8 -13 | = ………………………………………………………………....

3. | 12 | + | -5 | - | 20 | = ……………………………………………………….

4. | -25 | - | -3 | = ………………………………………………………………

5. | 5- |

10 = ………………………………………………………………...

6. | 10 -7 | + | 20 - 30 | = ……………………………………………………

7. | 8 102 | + | 5 10

2 | = ……………………………………………………

8. | 10 + 2 | + | 20 - 3 | - | 10 - 18 | = ……………………..…………………….

คะแนนทได = …………………………

ผตรวจ …………………………………..

วนท ……. เดอน ………….. พ.ศ. ………

จำนวนจริง

Education

x mx n x

x mx n1 x

2x2 x

b x ab

b x b b

xa x b

bx c x

b x xb b