21 จำนวนจริง ตอนที่8_การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง

จ านวนจรง (เนอหาตอนท 8)

การแกอสมการคาสมบรณ

โดย

ศาสตราจารย ดร.กฤษณะ เนยมมณ

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง จ านวนจรง สอการสอน เรอง จ านวนจรง มจ านวนตอนทงหมดรวม 17 ตอน ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง จ านวนจรง 2. เนอหาตอนท 1 สมบตของจ านวนจรง

- ระบบจ านวนจรง - สมบตพนฐานของระบบจ านวนจรง

3. เนอหาตอนท 2 การแยกตวประกอบ - การแยกตวประกอบ

4. เนอหาตอนท 3 ทฤษฎบทตวประกอบ - ทฤษฎบทเศษเหลอ - ทฤษฎบทตวประกอบ

5. เนอหาตอนท 4 สมการพหนาม - สมการพหนามดกรหนง - สมการพหนามดกรสอง - สมการพหนามดกรสง - การประยกตสมการพหนาม

6. เนอหาตอนท 5 อสมการ - เสนจ านวนและชวง - อสมการทเกยวของกบพหนามดกรหนง - อสมการทเกยวของกบพหนามดกรสง

7. เนอหาตอนท 6 เทคนคการแกอสมการ - อสมการในรปเศษสวน - การแกอสมการโดยวธการยกก าลงสอง - การแกอสมการโดยการแทนคาตวแปร - การประยกตโจทยการแกอสมการ

8. เนอหาตอนท 7 คาสมบรณ - คาสมบรณ - สมการคาสมบรณ


2

9. เนอหาตอนท 8 การแกอสมการคาสมบรณ - อสมการคาสมบรณ - โจทยประยกตอสมการคาสมบรณ

10. เนอหาตอนท 9 กราฟคาสมบรณ - กราฟคาสมบรณ

11. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 12. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 13. แบบฝกหด (พนฐาน 3) 14. แบบฝกหด (ขนสง) 15. สอปฏสมพนธ เรอง ชวงบนเสนจ านวน 16. สอปฏสมพนธ เรอง สมการและอสมการพหนาม (ก าลงไมเกนส) 17. สอปฏสมพนธ เรอง กราฟคาสมบรณ

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง จ านวนจรง นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน


3

เรอง จ านวนจรง (การแกอสมการคาสมบรณ) หมวด เนอหา ตอนท 8 (8/9) หวขอยอย 1. อสมการคาสมบรณ 2. โจทยประยกตอสมการคาสมบรณ จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน

1. น านยามและความรพนฐานไปใชในการแกอสมการคาสมบรณได 2. เขาใจความเกยวของของอสมการกบปญหาในชวตประจ าวน และแกปญหานนได

ผลการเรยนรทคาดหวง ผเรยนสามารถ

1. แกอสมการคาสมบรณได 2. อธบายและยกตวอยางการประยกตการแกอสมการคาสมบรณในชวตประจ าวนได


4

เนอหาในสอการสอน

เนอหาทงหมด


5

1. การแกอสมการคาสมบรณ


6

1. การแกอสมการคาสมบรณ

ในสอตอนน ผเรยนจะไดศกษาการแกอสมการคาสมบรณแบบตาง ๆ ตลอดจนไดเหนตวอยางการ

ประยกตอสมการคาสมบรณ

เพอเปนการน าเรองเขาสอสมการคาสมบรณ ผสอนอาจทบทวนสมบตพนฐานเกยวกบอสมการคา

สมบรณตอไปนกอน

ทฤษฎบท ส าหรบ 0a จะไดวา 1. x a กตอเมอ a x a 2. x a กตอเมอ x a หรอ x a

พสจน

1. สมมตให x a ถา 0x จะไดวา a x x a ถา 0x จะไดวา a x x a จากทง 2 กรณ จะไดวา a x a สมมตให a x a ถา 0x จะไดวา x x a ถา 0x จะไดวา x x a ดงนน จากทง 2 กรณ จะไดวา x a

2. สมมตให x a ถา 0x จะไดวา x x a ถา 0x จะไดวา x x a จากทง 2 กรณ จะไดวา x a หรอ x a

สมมตให x a หรอ x a ถา 0x จะไดวา x x a ถา 0x จะไดวา x x a


7

3 3

3 3

2 2

4 4

ดงนน จากทง 2 กรณ จะไดวา x a # ทฤษฎบท ส าหรบ 0a จะไดวา

1. x a กตอเมอ a x a 2. x a กตอเมอ x a หรอ x a

พสจน แบบฝกหด #

ตวอยาง จงเขยนกราฟบนเสนจ านวนแสดงคา x ทสอดคลองอสมการตอไปน

1. 3x 2. 3x 3. 2x 4. 4x 5. 0x วธท า

1. 3x

2. 3x

3. 2x

4. 4x


8

5. 0x

#

ตอไปจะเปนการศกษาเรอง การแกอสมการคาสมบรณในรปแบบตางๆ


9

11

1

xx

x

เมอ 1x เมอ 1x

22

2

xx

x

เมอ 2x เมอ 2x

1 2

ตวอยาง จงแกอสมการ

1. 31

1

x

x

2. 1 22

2 1

x

x

วธท า

1. 31

1

x

x

เนองจาก 1 0x ทก x จะไดวา 3 1x x

3 1 ดงนน ทกคา x สอดคลองกบอสมการ ท าใหเซตค าตอบของอสมการทโจทยก าหนดคอ

2. เนองจาก

และ

เราจะแบงการพจารณาเปน 3 กรณคอ กรณท 1 1x หรอ กรณท 2 1 2x หรอ กรณท 3 2x


10

กรณท 1 1x จะไดวา 1 1x x และ 2 2x x ดงนน

2

2

1 22

2 1

1 22

2 1

32

3

32

3

3 3 2 3

2 3 3 3 0

3 2 3 3 0

3 9 0

3 9

x

x

x

x

x

x

x

x

x x x

x x x

x x x

x x

x

แต 1x ดงนน จงไมมคา x ทสอดคลองอสมการ กรณท 2 1 2x

จะไดวา 1 1x x และ 2 2x x ดงนน

1 22

2 1

1 22

2 1

12

3

12

3

x

x

x

x

x

x

x

x

เพราะวา 3 0 x จะไดวา

1 2 3

1 2 6

3 7

7

3

x x

x x

x

x

แต 1 2x ดงนนจงไมมคา x ทสอดคลองกบอสมการ


11

กรณท 3 2x

จะไดวา 1 1x x และ 2 2x x ดงนน

1 22

2 1

1 22

2 1

12

1

1 2

x

x

x

x

x

x

ท าใหเกดขอขดแยง ดงนน จงไมมคา x ทสอดคลองอสมการ

จากกรณท 1 กรณท 2 และกรณท 3 จะไดวา ไมมคา x ทสอดคลองอสมการ 1 22

2 1

x

x

#

ตอไปเปนเทคนคเพมเตมในการแกอสมการคาสมบรณในแบบตางๆ


12

ตวอยาง จงแกอสมการตอไปน 1. 2 5 1x 2. 2 1 5x

วธท า

1. 2 5 1x

1 2 5 1

6 2 4

3 2

x

x

x

2. 2 1 5x

2 1 5x หรอ 2 1 5x 2 6x หรอ 2 4x

3x หรอ 2x #

ตวอยาง ให A เปนเซตค าตอบของอสมการ 8 5 4x และ B เปนเซตค าตอบของอสมการ 2 1 3x จงหา

B A วธท า หาเซต A

8 5 4x 8 5 4x หรอ 8 5 4x

8 9x หรอ 8 1x

9

8x หรอ 1

8x

ดงนน 1 9[ , ) ( , ]

8 8A

หาเซต B 2 1 3x

3 2 1 3

4 2 2

2 1

x

x

x

ดงนน 2,1B


13

จากเสนจ านวนจะไดวา 9 1,

8 8B A

#

1 1

8

9

8

2

B

A


14

ตวอยาง จงแกอสมการ 11

1 2

x

x

วธท า 11

1 2

x

x

1x

1 1

1 2

1 1

1 2

2 1

x x

x

x

x

1 2x หรอ 1 2x 3x หรอ 1x #

ตวอยาง จงแกอสมการ 13 4

2

x

x

วธท า 13 4

2

x

x

2x

2 2

1 3 24

2

2 54

2

2 5 4 2

2 5 16 2

x x

x

x

x

x x

x x

2 22 5 16 2 0

2 5 4 2 2 5 4 2 0

2 3 6 13 0

2 3 6 13 0

x x

x x x x

x x

x x

13 3

6 2 x

แต 2x ดงนนคา x ทสอดคลองอสมการคอ 132

6x หรอ 3

22

x #


15


16

ตวอยาง ถา 1 2x แลว จงแสดงวา 1 4x

วธท า จาก 1 2x จะไดวา 2 1 2x

3 1

4 1 0

x

x

ดงนน 4 1 4x

1 4x #

ตวอยาง จงพจารณาวาขอความตอไปนถกตองหรอไม 1. a b a b 2. ถา a b แลว 2 2 0a b 3. a b a b 4. x y x y x y 5. 2 2 2

x y x y

6. ถา 0a x b แลว 1 1

x b

เฉลย 1. ผด 2. ถก 3. ถก 4. ผด 5. ผด 6. ถก #


17

แบบฝกหดเพมเตม เรอง การแกอสมการคาสมบรณ

1-15 จงหาค าตอบของอสมการตอไปน 1. 2 3 2 3x x 2. 4 3x x 3. 22 2x 4. 1 2 7 2x x x 5. 2 1x x 6. 3 2 2 1x x

7. 1 5x x 8. 13

2

x

x

9. 2 1 0x 10. 2 4 1x

11. 2 3 1x 12. 11

2x

13. 2

12

4x

14.

231

x x

x

15. 21

x

x


18

2. สรปสาระส าคญประจ าตอน


19

2. สรปสาระส าคญประจ าตอน


20

ภาคผนวกท 1 แบบฝกหด/เนอหาเพมเตม


21

แบบฝกหดระคน

1. ก าหนดให A เปนเซตค าตอบของอสมการ 3

10

2

x

x และ B เปนเซตค าตอบของอสมการ

3 2 1x แลว A B เปนสบเซตของเซตในขอใดตอไปน 1. , 1 2. 3, 1 3. 2,3 4. 1,

2. ให แทนเซตของจ านวนจรง พจารณาขอความตอไปน

ก. 11| 1 | 1

xx

x xx x

ข. 2

2

1| 1 | 1 1

1

xx x x x

x

ขอใดตอไปนถก 1. ก และ ข ถกทงค 2. ก ถก แต ข ผด 3. ก ผด แต ข ถก 4. ก และ ข ผดทงค

3. ก าหนดให | 2 3 4 3A x x x x x | 2 1 3B x x ขอใดตอไปนถก 1. A และ B เปนเซตอนนต

2. A และ B เปนเซตจ ากด 3. 2,3,4A B 4. A B

4. ให A เปนเซตค าตอบของอสมการ 2 9x และ B เปนเซตค าตอบของอสมการ 3 1 x ดงนน A B คอชวงในขอใดตอไปน

1. , 4 2,2 2. 4,2 3. 2,2 4. 4, 5. ให | 2 7 15A x x

2

15| 0

5

xB x

x

C เซตของจ านวนเฉพาะบวก


22

จ านวนสมาชกของ A B C เปนเทาใด 1. 3 2. 4 3. 5 4. 6

6. ให A เปนเซตค าตอบของอสมการ 2 3 5 3 x x ขอใดตอไปนถกตอง 1. A เมอ แทนเซตของจ านวนนบ 2. A เมอ แทนเซตของจ านวนเตม 3. A เปนเซตจ ากด 4. 'A เปนเซตจ ากด

7. เซตค าตอบของอสมการ 23 6 10x มสมาชกเปนจ านวนเตมจ านวนเทาใด 1. 4 2. 5 3. 6 4. 7

8. ก าหนดให 2| 3 2 8 0 A x x x พจารณาขอความตอไปน

ก. 1 5

3 3A x x

ข. 3 40

2

xA x

x

ขอใดตอไปนถก 1. ก ถก ข ถก 2. ก ถก ข ผด 3. ก ผด ข ถก 4. ก ผด ข ผด

9. ให 2 2 0A x x x และ 1 B x x x พจารณาขอความตอไปน

ก. B A ( 12,

2 )

ข. 1( , ) (1, )

2A B

1. ก ถก ข ถก 2. ก ถก ข ผด 3. ก ผด ข ถก 4. ก ผด ข ผด

10. ให 1 3A x x x x ขอใดตอไปนถกตอง

ก. A เปนเซตจ ากด ข. A 1. ก ถก ข ถก 2. ก ถก ข ผด 3. ก ผด ข ถก 4. ก ผด ข ผด


23

ภาคผนวกท 2 เฉลยแบบฝกหด


24

เฉลยแบบฝกหด

เรอง การแกอสมการคาสมบรณ

1. 0x 2. 1x 3. 2 2 x

4. 1x 5. 11

3x 6. 1

35

x

7. 2x 8. 52

2x หรอ 7

24

x

9. 1

2x

10. 5 3 x หรอ 3 5 x

11. x

12. 3 2x หรอ 2 1x

13. 32

2x

หรอ 7

22

x หรอ 72

2x หรอ 3

22

x

14. 20

3 x

15. 2 1x หรอ 1 2 x

เฉลยแบบฝกหดละคน 1. 3 2. 4 3. 3 4. 3 5. 2 6. 4 7. 4 8. 2 9. 3 10. 4


25

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน


26

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ


27


ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1



กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม


28


การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1



การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1



การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได

21 จำนวนจริง ตอนที่8_การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์

Documents