23 จำนวนจริง สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจำนวน

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง จ านวนจรง

ตอน สอปฏสมพนธ เรอง ชวงบนเสนจ านวน

โดย

ผชวยศาสตราจารย ทพวลย สนตวภานนท

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง จ านวนจรง สอการสอน เรอง จ านวนจรง มจ านวนตอนทงหมดรวม 17 ตอน ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง จ านวนจรง 2. เนอหาตอนท 1 สมบตของจ านวนจรง

- ระบบจ านวนจรง - สมบตพนฐานของระบบจ านวนจรง

3. เนอหาตอนท 2 การแยกตวประกอบ - การแยกตวประกอบ

4. เนอหาตอนท 3 ทฤษฎบทตวประกอบ - ทฤษฎบทเศษเหลอ - ทฤษฎบทตวประกอบ

5. เนอหาตอนท 4 สมการพหนาม - สมการพหนามก าลงหนง - สมการพหนามก าลงสอง - สมการพหนามก าลงสง - การประยกตสมการพหนาม

6. เนอหาตอนท 5 อสมการ - เสนจ านวนและชวง - อสมการทเกยวของกบพหนามก าลงหนง - อสมการทเกยวของกบพหนามก าลงสง

7. เนอหาตอนท 6 เทคนคการแกอสมการ - อสมการในรปเศษสวน - การแกอสมการโดยวธการยกก าลงสอง - การแกอสมการโดยการแทนคาตวแปร - การประยกตโจทยการแกอสมการ

8. เนอหาตอนท 7 คาสมบรณ - คาสมบรณ - สมการคาสมบรณ


2

9. เนอหาตอนท 8 การแกอสมการคาสมบรณ - อสมการคาสมบรณ - โจทยประยกตอสมการคาสมบรณ

10. เนอหาตอนท 9 กราฟคาสมบรณ - กราฟคาสมบรณ

11. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 12. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 13. แบบฝกหด (พนฐาน 3) 14. แบบฝกหด (ขนสง) 15. สอปฏสมพนธ เรอง ชวงบนเสนจ านวน 16. สอปฏสมพนธ เรอง สมการและอสมการพหนาม (ก าลงไมเกนส) 17. สอปฏสมพนธ เรอง กราฟคาสมบรณ

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง จ านวนจรง นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน


3

เรอง จ านวนจรง (สอปฏสมพนธ เรอง ชวงบนเสนจ านวน) หมวด สอปฏสมพนธ ตอนท 1 (1/3) หวขอยอย 1. ชวงประเภทตาง ๆ 2. การด าเนนการของชวง 3. ชวงทซบซอนขน 4. ชวงและการแกอสมการ 5. แบบฝกหด จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยนไดใชสอปฏสมพนธในการศกษา เรอง จ านวนจรง เกยวกบ 1. รปแบบของชวงประเภทตาง ๆ บนเสนจ านวน 2. การใชชวงบนเสนจ านวนสรางความเขาใจในมโนทศนเรองตาง ๆ เกยวกบจ านวนจรง ไดแก 2.1 การด าเนนการของชวงบนเสนจ านวน 2.2 ชวงทซบซอน 2.3 ชวงและการแกอสมการ ผลการเรยนรทคาดหวง ผเรยนสามารถใชสอปฏสมพนธเรอง ชวงบนเสนจ านวนเพอ 1. สรางความเขาใจหรอทบทวนเกยวกบชวงประเภทตาง ๆ บนเสนจ านวน 2. ใชในการอธบายการด าเนนการของชวงบนเสนจ านวน ไดแก ยเนยน อนเตอรเซกชน

คอมพลเมนต และ ผลตางระหวางชวง พรอมทงหาผลของการด าเนนการได 3. เพมความเขาใจชวงทซบซอนบนเสนจ านวนเพอชวยในการแกอสมการ 4. ชวยในการแกโจทยปญหาเกยวกบชวงบนเสนจ านวนได


4

เนอหาในสอการสอน สอปฏสมพนธ เรอง ชวงบนเสนจ านวน

การใชโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad ชวงประเภทตาง ๆ การด าเนนการของชวง ชวงทซบซอนขน ชวงและการแกอสมการ แบบฝกหด


5

การใชโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad


6

การใชโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad สอการสอนชดนพฒนาดวยโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad คอซอฟตแวรส ารวจเชง

คณตศาสตร เรขาคณตพลวต รน 4.06 ภาษาไทย ผใชโปรแกรมจะเรยกใชโปรแกรมไดจากเมนค าสง เมอคลกเลอกโปรแกรม หรอ ดบเบลคลก บนเดสกทอป

จะปรากฏหนาตางดงรปท 1

ใหคลกทปม เพอเขาสการใชงานโปรแกรม จะปรากฏหนาตางดงรปท 2 จากรปท 2 จะกลาวถงเครองมอทใชส าหรบการท างานกบโปรแกรมน คอเมนแฟม และ

กลองเครองมอ เมนแฟม ใชท างานเกยวกบแฟมขอมล ในการใชงานสอชดนใชเพยงการเปด/ปด

แฟมขอมล

กลองเครองมอ แบงเครองมอออกเปนหกประเภท ใน

ทนจะใชเฉพาะเครองมอลกศร ส าหรบเลอกหรอเคลอนยาย (หรอลาก) ออบเจกต

ในโปรแกรม ผใชโปรแกรมนจะตองเลอกเครองมอลกศร นในการท างานตลอดทงโปรแกรม

รปท 1. หนาตางแรกของโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad


7

รปท 3. หนาตางเลอกแฟมขอมลทตองการ

o การเปด/ปด แฟมขอมล

ถาตองการเรยกโปรแกรมแฟมขอมลขนมาใชงาน ใหคลกทเมน เลอกค าสง

จะปรากฏหนาตางดงรปท 3 ใหเลอกแฟมขอมลทตองการ โดยแฟมขอมลทพฒนาจากโปรแกรม

The Geometer’s Sketchpad จะมนามสกลเปน gsp เลอกแฟมขอมลทตองการ แลวคลกท

แลวจะปรากฏหนาตางของโปรแกรมแฟมขอมล ทไดเลอกไวดงรปท 5

ถาตองการปดแฟมขอมล ใหคลกทเมน เลอกค าสง จะปรากฏหนาตางดงรปท 4 คอโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad จะถามวา

รายการเมน กลองเครองมอ

รปท 2. หนาตางหลกของโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad


8

ตองการบนทกการเปลยนแปลงของแฟมขอมลหรอไม ในทนไมแนะน าใหบนทกแฟมขอมล เพราะอาจท าใหโปรแกรมทพฒนาไวมขอผดพลาดได ใหเลอกคลกทปม

เพอจะไดไมมการเปลยนแปลงโปรแกรมทพฒนาไว

เมอเรยกโปรแกรม “สอปฏสมพนธเรอง ชวงบนเสนจ านวน” จะปรากฏหนาตางสองหนาตางนสลบกน

รปท 5. หนาตางแรกของโปรแกรม

จากหนาตางนจะสงเกตไดวาทดานลางของหนาตางมรายการเมนค าสงสองระดบ ดงรป

รปท 6. ดานลางหนาตางแรกของโปรแกรม

ระดบแรก

ระดบทสอง

รปท 4. หนาตางเมอเรยกค าสงปดแฟมขอมล


9

ระดบแรกอยดานลางตดกบหนาตางทเลอกไว คอรายการเมน ดงน

ส าหรบเลอกก าหนดต าแหนงของหนาตางภายในหนาจอของเรา การท างานของปมตางๆ

เลอนหนาตางไปมมบนซายของจอภาพ ดภาพการเคลอนไหวของหนานน

เรยกหนาสารบญขนมาแสดงบนหนาตางจอภาพ เรยกหนาสดทายของหวขอขนมาแสดงบนหนาตาง

เลอนหนาตางสอไปกลางหนาตาง ระดบทสองอยดานลางตดกบหนาตางของโปรแกรม ดงน

ส าหรบแสดงรายชอหนาตางในโปรแกรม เพอใหผใชเลอก/เปลยนการท างานไปยงหนาตางนนๆ ไดเลย เปรยบเสมอนเปนเมนลดส าหรบเลอกดหวขอ/หนาตางทตองการ การท างานของปมตางๆ

เลอนไปหนาแรกของหวขอนน เรยกหนาสารบญขนมาแสดงบนจอภาพ

แถบตอมาเปนรายการหวขอยอยในหวขอ “ชวงประเภทตาง ๆ” เชน

ผใชสามารถคลกทแถบนเพอเลอนไปทหนานนๆ ไดทนท แถบเลอนหนาตาง ใชส าหรบเลอนเพอเลอกดรายการหวขอยอยดานลาง

แถบเลอน ใชส าหรบเลอนดขอมลในหนาตางไปทางดานซาย/ขวา หรอถาอยในแนวตงกใชส าหรบเลอนขอมลในหนาตางขน/ลง


10

การเรมตนใชงานสอปฏสมพนธ เรอง ชวงบนเสนจ านวน ผใชตองคลกท เพอเปลยนการท างานไปทหนาสารบญ หนาตางสารบญจะแสดงดงน

ผใชสามารถเลอกโปรแกรมสอปฏสมพนธ เรอง ชวงบนเสนจ านวน จากหนาตางสารบญทแสดงรายการบทเรยน ซงแบงออกเปน 5 หวขอ คอ

1. ชวงประเภทตาง ๆ 2. การด าเนนการของชวง 3. ชวงทซบซอนขน 4. ชวงและการแกอสมการ 5. แบบฝกหด

ขอสงเกต ผใชจะตองคลกเลอกหวขอทลอมรอบดวยกรอบสเหลยม เพอเขาดรายละเอยดของหวขอนนได ในกรณทผใชตองการเปลยนหวขอใหม ผใชตองออกจากหวขอเดมกอน แลวเลอกแฟมขอมลทตองการใหม จากนนใหเขาสหนาตางสารบญของแฟมขอมลทเลอกใหม


11

1. ชวงประเภทตาง ๆ


12

1. ชวงประเภทตาง ๆ

ในหวขอนผเรยนจะไดศกษาลกษณะของชวงประเภทตาง ๆ ดงตอไปน 1.1 ชวงเปด 1.2 ชวงปด 1.3 ชวงครงเปดครงปด 1.4 ชวงครงปดครงเปด 1.5 ชวงครงเปดอนนต 1.6 ชวงครงปดอนนต 1.7 ชวงอนนตครงเปด 1.8 ชวงอนนตครงปด 1.9 ชวงอนนต

การเขาศกษาในหวขอน ผเรยนตองเลอกแฟมขอมลเรอง ชวงประเภทตาง ๆ กอน แลวเขาสหนาตางสารบญของแฟมขอมลน ซงหนาจอจะแสดงภาพ ดงรปท 1.1

รปท 1.1 สารบญ


13

เมอคลกท จะปรากฏหนาจอเนอหาของชวงประเภทตาง ๆ จ านวน 9 หนา ตามล าดบดงน

รปท 1.2 ชวงเปด รปท 1.3 ชวงปด

รปท 1.4 ชวงครงเปดครงปด รปท 1.5 ชวงครงปดครงเปด

รปท 1.6 ชวงครงเปดอนนต รปท 1.7 ชวงครงปดอนนต


14

รปท 1.8 ชวงอนนตครงเปด รปท 1.9 ชวงอนนตครงปด

รปท 1.10 ชวงอนนต

แตละหนาจอเนอหาในหวขอ ชวงประเภทตาง ๆ นแสดงใหเหนวธการเขยนชวงประเภทตาง ๆ ในรปแบบของเซต รวมถงกราฟบนเสนจ านวนของชวงนน ๆ


15

ตวอยางท 1.1 รปท 1.4 ชวงครงเปดครงปด

วธเขยน “ชวงเปดลบหาถงปดสอง” ในรปชวงคอ 5, 2 แสดงสมาชกในชวงโดยรปแบบของเซตได ดงน 5, 2 x 5 x 2

กราฟบนเสนจ านวนแสดงชวงดงกลาว คอ

- จดเปดทขอบซาย แสดงถงคา 5 ไมอยในชวง - จดปดทขอบขวา แสดงถงคา 2 อยในชวง - เสนทบแสดงคาอนๆในชวงทไมใชจดขอบ

หมายเหต 1. จดเปด บนเสนจ านวน มความหมายเดยวกบการใชวงเลบ “ ( ” หรอ “ ) ” ในการเขยนชวง 2. จดปด บนเสนจ านวน มความหมายเหมอนกบการใชวงเลบกามป “ [ ” หรอ “ ] ” ในการเขยนชวง


16

ตวอยางท 1.2 รป 1.7 ชวงครงปดอนนต

วธเขยน “ชวงปดลบหาถงเปดอนนต” ในรปชวงคอ 5, แสดงสมาชกในชวงโดยรปแบบของเซตไดดงน 5, x x 5

กราฟบนเสนจ านวนทใชแสดงชวง 5, คอ

- จดปดทขอบซาย แสดงถงคา 5 อยในชวง - เสนทบทมปลายลกศรไปทางขวา แสดงถงคาอน ๆ ในชวงมคามากกวา 5 ขนไปเรอย ๆ โดยไมมขดจ ากด


17

ตวอยางท 1.3 รป 1.8 ชวงอนนตครงเปด

วธเขยน “ชวงเปดลบอนนตถงเปดสอง” ในรปชวงคอ , 2 แสดงสมาชกในชวงโดยรปแบบของเซตไดดงน , 2 x x 2

กราฟบนเสนจ านวนทใชแสดงชวง , 2 คอ

- จดเปดทขอบดานขวา แสดงถงคา 2 ไมอยในชวง - เสนทบทมปลายลกศรไปทางซาย แสดงถงคาอน ๆ ในชวงมคานอยกวา 2 ลงไปเรอย ๆ โดยไมมขดจ ากด


18

ตวอยางท 1.4 รปท 1.10 ชวงอนนต

วธการเขยน “ชวงเปดลบอนนตถงเปดอนนต” ในรปชวงคอ , แสดงสมาชกในชวงโดยรปแบบของเซตไดดงน , x x นนกคอ เซตของจ านวนจรง นนเอง

กราฟบนเสนจ านวนทใชแสดงชวงดงกลาวคอ

- เสนทบทมปลายลกศรทงซายและขวา แสดงถงคาในชวงนมคาเปนจ านวนจรงทงหมด

หมายเหต ถาจดขอบของชวงบนเสนจ านวนมคาเปน หรอ ปลายดานนนจะตองเปนจดเปด หรอชวงเปดเทานน เนองจาก และ ไมใชจ านวนจรง เปนเพยงสญลกษณ ซง บงบอกถงปลายของชวงทมคามากขนไดอยางไมมทสนสด และ บงบอกถงปลายของชวงทมคานอยลงไดอยางไมมทสนสด


19

2. การด าเนนการของชวง


20

2. การด าเนนการของชวง

ในหวขอนผเรยนจะไดใชชวงบนเสนจ านวนเพอศกษาเรองตอไปน 2.1 อนเตอรเซกชน 2.2 ยเนยน 2.3 คอมพลเมนต 2.4 ผลตางระหวางชวง

การเขาศกษาในหวขอน ผเรยนตองเลอกแฟมขอมลเรอง การด าเนนการของชวง กอนเขาสหนาตางสารบญของแฟมขอมลน ซงหนาจอแสดงดงน

เมอคลกท จะปรากฏหนาจอเนอหาจ านวน 5 หนาตอเนองกน ในหนาตางแรก “การด าเนนการของชวง” ไดอธบายถงการใชงานสอปฏสมพนธในการสรางชวงตาง ๆ เพอศกษาการด าเนนการของชวงบนเสนจ านวน ส าหรบหนาตางท 2-5 คอเรองทเราจะพจารณาตามหวขอ 2.1-2.4 ทไดกลาวมาขางตน


21

2.1 อนเตอรเซกชน เนองจากชวงเปนเซตเจาะจงดงนนการด าเนนการของชวงจะนยามเชนเดยวกบการด าเนนการของ

เซต ก าหนดให A และ B เปนชวงบนเสนจ านวน อนเตอรเซกชนของชวง A และ B คอ ชวงทประกอบดวยสมาชกซงเปนสมาชกของ A และ B

เขยนแทนดวย A B ในเรองนเราจะใชชวงบนเสนจ านวนมาชวยในการศกษาหาชวงทแทนอนเตอรเซกชนของชวง 2

ชวง โดยการก าหนดจดปลาย (จดเปด หรอ จดปด) ของชวง A และชวง B ซงเปนชวงเรมตน จากนนผเรยนสามารถสงเกตผลลพธชวงอนเตอรเซกชนของชวงเรมตนทงสอง

รปท 2.1 อนเตอรเซกชน

รปท 2.1 เกดจากการคลกปมเรมใหม เพอใหผเรยนสามารถก าหนดชวงเรมตน A และ B ไดเอง

โดยดบเบลคลกท จดเปด หรอ จดปด ทางดานขวาของหนาตางทปรากฏคางไว และลากไปวางยงต าแหนงเรมตนของชวง A (แถบสฟา) หรอชวง B (แถบสชมพ) เหนอเสนจ านวน ผเรยนจะตองก าหนดจดทงหมด 4 จด ส าหรบทงสองชวง ชวงละ 2 จด เพอเปนการก าหนดชวงเรมตน หลงจากก าหนดชวง A และชวง B แลว ผเรยนจะเหนผลลพธของชวง A B เปนชวงสเขยวแสดงอยดานลางของเสนจ านวน นอกจากนผเรยนยงสามารถคลกท หรอ เพอแสดงเงาของ ชวง A หรอชวง B บนเสนจ านวน หากผเรยนคลกท หรอ กจะปรากฏเสนประบอกขอบเขตของชวง A หรอชวง B บนเสนจ านวน ในท านองเดยวกนผเรยนสามารถลบเงาและเสนประออกไดโดยคลกปมขางตนอกครง เราจะยกตวอยางเพอศกษาการใชสอปฏสมพนธในเรองน ดงตอไปน หมายเหต การก าหนดชวงทมจดปลายเปน หรอ ใหลากจดเปดไปวางยงต าแหนงทางซายของ 10 หรอทางขวาของ 10 ตามล าดบ


22

ตวอยางท 2.1 ก าหนดใหชวง A คอ 4, 3 และชวง B คอ 2, 1 จงใชชวงบนเสนจ านวนเพอ ชวง A B

วธท า เนองจาก B 2, 1 4, 3 A โดยความรในเรองเซตจะไดวา A B B 2, 1 ผเรยนสามารถเรมตนจากรปท 2.1 และด าเนนการตามขนตอนตอไปน

ขนท 1 : เลอกจดปด ลากไปยงแถบสฟาของชวง A วางในต าแหนงทตรงกบคา 4 ของเสนจ านวน จากนนเลอกจดปดอกครงลากไปยงแถบสฟาวางในต าแหนงทตรงกบคา 3 ของเสนจ านวน จะไดชวง A แสดงดงรปท 2.2

รปท 2.2

ขนท 2 : เลอกจดเปด และจดปด ไปวางยงแถบสชมพแดง ในต าแหนงทตรงกบคา 2 และ 1 ตามล าดบ เพอก าหนดชวง B ในท านองเดยวกบขนท 1 ไดผลลพธดงรปท 2.3

รปท 2.3

จะเหนวาแถบสเขยวแสดงชวง A B นนกคอ ชวง B นนเอง


23

หมายเหต ผเรยนสามารถลองก าหนดชวงประเภทตาง ๆ ทสอดคลองตามเงอนไขในตวอยางท 2.1 นนคอ B A แลวผเรยนจะไดผลลพธของ A B สอดคลองตามคณสมบตของเซตนนเอง

ผเรยนสามารถหาชวงทแทนอนเตอรเซกชนของชวงประเภทตาง ๆ ทมความสมพนธกนในลกษณะอน ๆ ไดโดยก าหนดชวงประเภทตาง ๆ ดงตวอยางตอไปน 1. 2.

A , 2 และ B 1, 5 A 0, 3 และ B 2, 7

3. 4.

A , และ B 1, 3 A , 0 และ B 0,


24

5. 6.

A 9, 1 และ B 2, 5 A , 3 และ B 3, 10

จะเหนวาตวอยางท 5 และ 6 ไมมชวงผลลพธ A B นนคอ A B เนองจากชวง A และชวง B ไมมสวนททบซอนกนเลย และตวอยางท 4 มชวงผลลพธเปนจดปดเพยงจดเดยว นนคอ ชวงผลลพธ

A B 0


25

2.2 ยเนยน ก าหนดให A และ B เปนชวงบนเสนจ านวน ยเนยนของชวง A และ B คอ เซตทประกอบดวยสมาชกทเปนสมาชกของ A หรอ สมาชกของ B เขยนแทนดวย A B ในเรองนเราจะใชชวงบนเสนจ านวนมาชวยในการศกษาหาชวงทแทนยเนยน 2 ชวง โดยก าหนดชวงเรมตน นนคอ ชวง A และชวง B ผเรยนจะไดผลลพธทเกดจากการยเนยน 2 ชวง ทก าหนดขนไดดงตวอยางตอไปน ก าหนดให A 2, 1 และ B 3, 0

รปท 2.3 ยเนยน

จากรปท 2.3 จะไดแถบสเขยวดานลางเสนจ านวนแสดงชวง A B คอ 3, 1 x 3 x 1 ตวอยางท 2.2 ก าหนดใหชวง A และ B เปนชวงเดยวกบตวอยางท 2.1 นนคอ A 4, 3 และ

B 2, 1 จงใชชวงบนเสนจ านวนเพอหาชวง A B วธท า เนองจาก B 2, 1 4, 3 A โดยความรในเรองเซตจะไดวา A B A 4, 3

ผเรยนสามารถสงเกตไดจากแถบสเขยวผลลพธของ A B นนกคอชวง A นนเอง


26

ผเรยนสามารถหาชวงแทนยเนยนของชวงประเภทตาง ๆ ทมความสมพนธในลกษณะอน ๆ ได โดยก าหนดชวงตงตน A และ B ทตองการดงตวอยางตอไปน

1. 2.

A 5, 0 และ B 3, 1 A 0, 2 และ B 1, 5

3. 4.

A , และ B 2,3 A , 0 และ B 0,


27

5. 6.

A , 1 และ B 0, 3 A 1, 7 และ B 9, 10


28

2.3 คอมพลเมนต ก าหนดให A เปนชวงบนเสนจ านวน คอมพลเมนตของชวง A คอชวงทประกอบดวยสมาชกซงเปนจ านวนจรงทงหมดทไมใชสมาชก

ในชวง A เขยนแทนคอมพลเมนตของชวง A ดวย A ในเรองนเราจะใชชวงบนเสนจ านวนมาชวยในการศกษาหาคอมพลเมนตของชวง A ใด ๆ ดง

ตวอยางตอไปน ก าหนดให A 1, 3

รปท 2.4 คอมพลเมนต

รปท 2.4 แสดงแถบผลลพธสเขยว คอ A , 1 3, x x 1 หรอ x 3 ซงจะสอดคลองกบสมบตของเซต A A และ A A ผเรยนสามารถทดลองก าหนดใหชวง A เปนชวงประเภทตาง ๆ ทไดศกษาแลวในหวขอท 1 เพอสงเกตลกษณะของคอมพลเมนตของชวงประเภทตาง ๆ ทก าหนดขน


29

2.4 ผลตางระหวางชวง ก าหนดให A และ B เปนชวงบนเสนจ านวน ผลตางระหวาง A และ B คอชวงทประกอบดวยสมาชกของ A ซงไมเปนสมาชกของ B เขยน

แทนชวงผลตางนดวย A B ในเรองนเราจะใชชวงบนเสนจ านวนมาชวยในการศกษาหาชวงผลตางระหวางชวงสองชวง

พจารณาตวอยางตอไปน

1. 2.

A 5, 2 และ B 2, A , 1 และ B 0, 3 3. 4.

A 6, 1 และ B 4, 2 A 3, 2 และ B , 5 จะสงเกตไดวาในตวอยางท 4 ชวง A 3, 2 , 5 B ผลลพธทไดจากหนาตางผลตางระหวางชวง A B ซงสอดคลองกบการด าเนนการผลตางบนเซตใด ๆ ทไดแสดงไวในคมอประกอบสอปฏสมพนธเรอง เซต นอกจากนผเรยนจะเหนวา A B A B นนเอง


30

3. ชวงทซบซอนขน


31

3. ชวงทซบซอนขน ในหวขอนผเรยนจะศกษาชวงบนเสนจ านวนทซบซอนขนซงในทนหมายถงเซตทเปนยเนยนของชวง สอปฏสมพนธหวขอนก าหนดใหชวงใด ๆ จะสามารถถกก าหนดอยในรปของชวงยอยไดไมเกน 3 ชวง เราจะท าการศกษาผลการด าเนนการของสองชวงใด ๆ โดยแสดงในรปชวง รปเซต รวมถงรปกราฟบนเสนจ านวน การเขาศกษาในหวขอน ผเรยนตองเลอกแฟมขอมลเรอง ชวงทซบซอนขน แลวจงเขาสหนาตางสารบญของแฟมขอมลซงหนาจอแสดงดงน

รปท 3.1 สารบญ

เมอคลกท จะปรากฏหนาจอเนอหา 2 หนาตอเนองกนซงหนาแรก “ชวงทซบซอนขน” เปนค าอธบายสรปถงสาระทจะปรากฏในสอหวขอน ดงนนเราจะพจารณาหนาตางทสอง “ชวงบนเสนจ านวน” เปนหลกดงตอไปน

รปท 3.2 ชวงบนเสนจ านวน


32

การเรมตนก าหนดชวง A และชวง B สามารถท าไดเหมอนหวขอท 2 การด าเนนการของชวง แตในหวขอนเราสามารถก าหนดจดเปด หรอจดปด ไดสงสดถง 6 จดส าหรบแตละชวง A และ B นนคอ ส าหรบชวงบนเสนจ านวน A, B ใด ๆ เราสามารถก าหนดใหเปนชวงบนเสนจ านวนซงประกอบดวยชวงยอยไดสงสด 3 ชวง จากรปท 3.2 จะสงเกตเหนกรอบสเหลยมทางดานขวาลางของหนาตางประกอบดวย การด าเนนการของชวง ไดแก A , B , A B, A B, A B และ B A ซงผเรยนสามารถคลกเลอนแถบเลอกไปยงการด าเนนการทตองการได เมอเลอกการด าเนนการทตองการแลว แถบสเขยวใตเสนจ านวนแสดงกราฟผลลพธของการด าเนนการทเลอกไว ดงตวอยางตอไปน ตวอยางท 3.1 ก าหนดให A 5, 0 3, 8 B 1, ผเรยนสามารถทบทวนเรอง การด าเนนการตาง ๆ กบชวงทซบซอนขนดงขนตอนตอไปน

ก าหนดชวง A 5, 0 3, 8 โดยการคลกเลอกจดปด หรอจดเปดทงหมด 4 จด ลากไปยงแถบสฟาเพอสรางชวง A ซงประกอบดวย 2 ชวงยอย

ก าหนดชวง B 1, โดยการเลอกจดปดและจดเปดทงหมด 2 จด ลากไปยงแถบสชมพเพอสรางชวง B

ผเรยนสามารถหาผลลพธของการด าเนนการตาง ๆ โดยการเลอนแถบด าเนนการไป ยงการด าเนนการทตองการจะไดผลลพธในรปชวง รปเซต และกราฟบนเสนจ านวน (แถบสเขยว) ดงตอไปน

1. 2.

A B


33

3. 4.

A B A B

5. 6.

A B B A ตวอยางท 3.2 ก าหนดให A , 1 3, 5 B 5, 3 7, 9 ผเรยนสามารถทบทวนการด าเนนการตาง ๆ ของชวง A และ B และสงเกตผลลพธทเกดขนจากการด าเนนการนน ๆ ดงตอไปน


34

1. 2.

A B

3. 4.

A B A B

5. 6.

A B B A


35

ตวอยางท 3.3 ก าหนดให A 9, 2 0, 3 4, 7 B , 5 2, 7 ผเรยนสามารถทบทวนการด าเนนการตาง ๆ ของชวง A และ B และสงเกตผลลพธทเกดขนจากการด าเนนการนน ๆ ดงตอไปน 1. 2.

A B

3. 4.

A B A B


36

5. 6.

A B B A ตวอยางท 3.4 ก าหนดให A , 7 0, 3 5, 9 B 7, 0 3, 5 9, ผเรยนสามารถทบทวนการด าเนนการตาง ๆ ของชวง A และ B และสงเกตผลลพธทเกดขนจากการด าเนนการนน ๆ ดงตอไปน 1. 2.

A B


37

3. 4.

A B A B 5. 6.

A B B A


38

4. ชวงและการแกอสมการ


39

4. ชวงและการแกอสมการ ผเรยนไดศกษาเนอหาเรองเซตรวมถงจ านวนจรงจากสอการสอนเรองเซตและจ านวนจรงมาแลว ซงสอปฏสมพนธในหวขอนจะน าความรในสวนเนอหามาประกอบกบสอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวนในหวขอ 1-3 ทผานมาประยกตใชแกปญหาโจทยเกยวกบอสมการ และแสดงผลเฉลยของค าตอบในรปชวง รปเซต และกราฟบนเสนจ านวน ดงตวอยางในสอปฏสมพนธหวขอชวงและอสมการนเอง ซงในขนแรกผเรยนตองเลอกแฟมขอมลเรอง ชวงและการแกอสมการ แลวจงเขาสหนาตางสารบญของแฟมขอมลน ซงหนาจอแสดงดงน

เมอคลกท จะปรากฏหนาตางเนอหาจ านวน 6 หนาตอเนองกน ซงเปนสออธบายตวอยางเกยวกบอสมการ และการน าเสนอผลเฉลยในรปชวง รปเซต และกราฟบนเสนจ านวนของ 3 ตวอยางทแตกตางกนตอไปน

ตวอยางท 1 : จงแกสมการ 1 1 1 1

x x 6 x 2 x 4

วธท า ขนท 1 : ท าการบวกเศษสวนแตละขางของอสมการ

2x 6 2x 6

x x 6 x 2 x 4

ขนท 2 : ยายขางใหทงสองพจนอยขางเดยวกนพรอมดงตวรวม

2x 6 2x 6 0

x x 6 x 2 x 4

1 12x 6 0

x x 6 x 2 x 4


40

ขนท 3 : รวมเศษสวนและจดใหอยในรปอยางงาย

x 2 x 4 x x 62x 6 0

x x 2 x 4 x 6

2 2x 6x 8 x 6x2 x 3 0

x x 2 x 4 x 6

16 x 3 0

x x 2 x 4 x 6

นนคอ

x 3 0

x x 2 x 4 x 6

ขนท 4 : ผลเฉลยทไดจากอสมการในขนท 3 จะตองไมเปน 0, -2, -4, -6 ซงเปนคาทท าใหสวนเปนศนย และ x จะตองไมเทากบ -3 อกดวย เนองจากเศษสวนทางซายมคานอยกวาศนย เมอเปดหนาถดไปในสอจะสงเกตไดวา ชวงค าตอบของตวอยางนจะแสดงจดเปดททงหาคาขางตน

ขนท 5 : จดเปดทงหาแบงชวงบนเสนจ านวนออกเปน 6 ชวงยอย เราจะพจารณาผลเฉลยของแตละชวงยอยวาชวงใดจะสอดคลองกบอสมการขางตน โดยพจารณาเครองหมายของแตละพจนในเศษสวนทางซายของอสมการ ดงตาราง

พจน x 6 6 x 4 4 x 3 x3 2 x2 0 x 0

x x 2 x 3 x 4 x 6

x 3

x x 2 x 4 x 6


41

ขนท 6 : ผเรยนจะสงเกตไดอยางชดเจนวาชวงค าตอบของอสมการในตวอยางนคอ , 6 4, 3 2, 0 ซงแสดงอยในหนาตาง “ชวงค าตอบของตวอยางท 1” ในสอนนเอง

ตวอยางท 2 : จงแกสมการ x 3 2 x x 2 3 x วธท า ขนท 1 : พจารณาเงอนไขของอสมการจะตองไดวา x 3 0 และ 2 x 0 x 2 0 และ 3 x 0 จะไดวา x 3 และ x 2 นนคอ x 3, 2 x 2 และ x 3 นนคอ x 2, 3 เพราะฉะนนชวงเงอนไขของอสมการคอ 3, 2 2, 3 2, 2 ขนท 2 : เนองจากแตละขางของอสมการไมตดลบ เราจงยกก าลงสองทงสองขาง x 3 2 x 3 2 x 2 x x 2 2 x 2 3 x 3 x x 3 2 x x 2 3 x ยกก าลงสองทงสองขางอกครงจะได

2 2

x 3 2 x x 2 3 x

6 x x 6 x x

0 2x

x 0


42

ขนท 3 : ดงนนค าตอบของสมการคอ 2, 2 , 0 2, 0

ตวอยางท 3 : จงแกสมการ x 3 x 1 10 วธท า แนวคดในการท าโจทยขอนผเรยนจะตองใชความรเรองคาสมบรณเขามาชวยในการพจารณา

ส าหรบจ านวนจรง x ใด ๆ x เมอ x 0 x เมอ x 0 x เมอ x 0 x เมอ x 0

ดงนนในการแกอสมการในตวอยางท 3 เราจะตองท าการถอดคาสมบรณออก x 3 เมอ x 3 x 3 เมอ x 3 และ x 1 เมอ x 1 x 1 เมอ x 1

ซงเราสามารถแบงกรณพจารณาการแกอสมการขางตนไดดงน กรณท 1 : x 1 จงไดวา x 3 ดวย จะไดสมการเปน

x 3

x 1

x 3 x 1 10

2x 2 10

8x 4

2

x

x หรอ


43

ค าตอบในกรณนคอ x , 1 และ x 4, นนคอ x , 1 4, 4, 1

กรณท 2 : 1 x 3 จะไดสมการเปน ค าตอบในกรณนคอ x 1, 3 และ x เปนจ านวนจรงใด ๆ นนคอ x 1, 3 , 1, 3

กรณท 3 : x 3 จงไดวา x 1 ดวย จะไดสมการเปน

x 3 x 1 10

4 10

x 3 x 1 10

2x 12

x 6

ซงเปนจรงเสมอ


44

ค าตอบในกรณนคอ x 3, และ x , 6 นนคอ x 3, , 6 3, 6

เพราะฉะนนเมอรวมค าตอบจากทงสามกรณ จะไดชวงค าตอบของอสมการนคอ

4, 1 1, 3 3, 6 4, 6


45

5. แบบฝกหด


46

5. แบบฝกหด จากการศกษาชวงบนเสนจ านวนในหวขอตาง ๆ ทผานมา ผเรยนจะไดฝกฝนทบทวนความรในการใชสอปฏสมพนธกบแบบฝกหดในหวขอตอไปน 5.1 กราฟของชวงบนเสนจ านวน 5.2 การด าเนนการของชวง 5.3 การแกอสมการ ทงนผเรยนตองเลอกแฟมขอมลเรอง แบบฝกหด แลวเขาสหนาสารบญของแฟมขอมลน ซงหนาจอจะแสดงดงน

เมอคลกท จะปรากฏหนาจอเนอหาจ านวน 6 หนาตอเนองกนซงประกอบดวยแบบฝกหด 3 หวขอขางตน


47

5.1 แบบฝกหด (กราฟของชวงบนสนจ านวน)

เราจะใชกราฟของชวงบนเสนจ านวนในหนาตางถดไปชวยแสดงกราฟของชวงตาง ๆ ในแบบฝกหด 1. 1, 3 2. , 7

3. , 4. 3, 0 5, 9


48

5. , 4 4, 8 6. 1, 2 3, 4 5,

7. , 7 1, 2 6, 8. 8, 6 5, 7 0

9. , 5 4, 7 10. 1, 2, 3


49

ผเรยนจะสงเกตไดวาในขอ 8-10 จะมชวงซงเปนเซตของจดเขามาเกยวของ ซงเราสามารถก าหนดกราฟของจดบนเสนจ านวนโดยการลากจดปดไปวางยงต าแหนงเดยวกนทคาตามตองการ 2 จด ตวอยางเชน 0 ผเรยนคลกทจดปดและลากไปวางยงต าแหนงทตรงกบ 0 บนเสนจ านวน 2 จด จะปรากฏภาพดงหนาจอ

ผเรยนปฏบตแบบเดยวกนส าหรบเซตทมมากกวา 1 จด


50

5.2 แบบฝกหด (การด าเนนการของชวง)

จากแบบฝกหดทก าหนดให ผเรยนสามารถใชชวงบนเสนจ านวนในหนาการด าเนนการของชวงเพอแสดงกราฟของการด าเนนการบนชวงทโจทยก าหนดไดดงน

1. A 5, 7 และ B 7, 5

A B


51

A B A B

A B B A

2. A 3, 2 5, 8 และ B 2, 3 4, 7

A B


52

A B A B

A B B A 3. A , 2 1, 6 8 และ B 6, 3 4,

A B


53

A B A B

A B B A

4. A 7, 1 2, 4 6, และ B , 3 4, 7 9

A B


54

A B A B

A B B A 5. A 5, 3 6, 8 1 และ B 3, 2 6, 7

A B


55

A B A B

A B B A


56

ชวง พจน

5.3 แบบฝกหด (การแกอสมการ)

ในหวขอน ผเรยนจะตองใชความรในสวนของเนอหาเรองการแกอสมการมาท าการวเคราะหหาค าตอบของอสมการกอน ดงทไดศกษาไปแลวกบศาสตราจารย ดร.กฤษณะ เนยมมณ ในสอการสอนเรอง การแกอสมการ จากนนจงน าค าตอบของอสมการทไดมาฝกฝนกบสอปฏสมพนธในหนาถดไปเพอแสดงกราฟของค าตอบของอสมการทตองการได 1. 2

x 5x 6 0 วธท า ขนท 1 : แยกตวประกอบ x 3 x 2 0 ขนท 2 : ผลเฉลยทไดจากอสมการในขนท 1 จะตองไมรวม 2, 3 เนองจากพจนทางซายของอสมการ มคามากกวาศนย ฉะนนจงพจารณาหาชวงค าตอบของอสมการดงตาราง

x 2 2 x 3 3 x

x 3 x 2

x 3 x 2 ชวงค าตอบของอสมการคอ , 2 หรอ 3, นนคอ , 2 3,


57

ชวง พจน

2. 3 2

x 6x 11x 6 0 วธท า ขนท 1 : แยกตวประกอบ 2x 2 x 4x 3 0

x 2 x 3 x 1 0 ขนท 2 : พจารณาหาชวงค าตอบของอสมการ 1. x 3 x 2 x 1 0 เมอ x 1, 2, 3 และ 2. แบงชวงการพจารณาค าตอบของอสมการดงตาราง

x 3 x3 2 x2 1 x1 x 3 x 2 x 1

x 3 x 2 x 1 ดงนน x 3 x 2 x 1 0 เมอ x , 3 2, 1 ขนท 3 : จะไดวา ชวงค าตอบของอสมการ 3 2x 6x 11x 6 0

คอ , 3 2, 1

เงอนไข ค าตอบ


58

3.

x x 2 x 4 0

x 1 x 3

วธท า ขนท 1 : พจารณาเงอนไขของอสมการจะไดวา x 1 และ x 3 ขนท 2 : พจารณาหาชวงค าตอบของอสมการ

1.

x x 2 x 4 0

x 1 x 3

เมอ พจนเศษ และ 2. แบงชวงการพจารณาค าตอบของอสมการดงตาราง

x 4 4 x 3 3 x 2 2 x 1 1 x 0 x 0

x 4 x 3 x 2 x 1

x

x x 2 x 4

x 1 x 3

ดงนน

x x 2 x 4 0

x 1 x 3

เมอ x 4, 3 2, 1 0,

x x 2 x 4 0

x 0, 2, 4


พจน ชวง


59

ขนท 3 : จะไดวา ชวงค าตอบของอสมการ

x x 2 x 4 0

x 1 x 3

คอ 4, 3 2, 1 0,

4.

3 5

2 4

x x 2 x 4 0

x 1 x 3

วธท า ขนท 1 : พจารณาเงอนไขของอสมการในโจทยจะไดผลลพธเหมอนขอ 3 นนคอ x 1 และ x 3

ขนท 2 : ในโจทยขอนตางจากโจทยขอ 3 ตรงทวา ตวสวนของพจนทางซายของอสมการเปนบวก เสมอ เพราะฉะนนการพจารณาหาค าตอบของอสมการจะพจารณาจาก

3 5x x 2 x 4 0 เทานน จะไดวา x 0 x 2 และ x 4

และ พจารณาหาชวงค าตอบของอสมการ โดยแบงชวงการพจารณาค าตอบของอสมการดงตาราง

x 4 4 x 2 2 x 0 x 0

5

x 4

3x 2

x

3 5

x x 2 x 4 เพราะฉะนน

3 5x x 2 x 4 0

เมอ x , 4 2, 0


ชวง พจน


60

ขนท 3 : ชวงค าตอบของอสมการ

3 5

2 4

x x 2 x 4 0

x 1 x 3

คอ , 4 2, 1 1, 0

5.

33 2

52 2

2x 2x x x 1 0

x x 2 x x 1

วธท า ขนท 1 : พจารณาเงอนไขของอสมการ จะไดวา x 0 x 2 และ 2x x 1 0 ขนท 2 : ดงตวรวมและจดรปอสมการใหมเปน

32

52 2

x 2x 2x 1 x 1 0

x x 2 x x 1

หรอ

32

5 2

2x 2x 1 x 1 0

x x 2 x x 1

( เนองจากเงอนไขของอสมการ x 0 ) ขนท 3 : พจารณาหาชวงค าตอบของอสมการ

1.

32

5 2

2x 2x 1 x 1 0

x x 2 x x 1

เมอ 322x 2x 1 x 1 0

x 1 เนองจาก 22x 2x 1 0 และ 2. แบงชวงการพจารณาค าตอบของอสมการดงตาราง



61

x 2 2 x 1 1 x 0 x 0

22x 2x 1

5x 2

3x 1

x 2x x 1

32

5 2

x x 1 x 1

x x 2 2x 2x 1

32

5 2

2x 2x 1 x 1 0

x x 2 x x 1

เมอ x 2, 1 0,

ขนท 4 : ชวงค าตอบของอสมการ

33 2

52 2

2x 2x x x 1 0

x x 2 x x 1

คอ 2, 1 0,

ชวง พจน



62

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน


63

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ


64


ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1



กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต

สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม


65


การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1



การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1



การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได

23 จำนวนจริง สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจำนวน

Documents

x 6xx2

x x2 x4

x0 x x2 x3 x4 x6 x3

ab ab ab ba4

ab ab abba5

ab ba34

ab ba37

ab abab ba2