Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים

Topics in Algorithmic Game Theory

נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים

Game Theory

● What is it about ?

● Games are thought experiments to help us learn how to predict rational behavior in situations of conflict.

● Rational: The players want to maximize their own expected utility.

● Situation of conflict: Everybody's actions affect others. This is captured by the tabular game formalism. 

● Predict: We want to know whant happens in a game. Such predictions are called solution concepts (e.g., Nash equilibrium).

Game Theory

● What is it about ?

● Games are thought experiments to help us learn how to predict rational behavior in situations of conflict.

● Rational: The players want to maximize their own (expected) utility.

● Situation of conflict: Everybody's actions affect others. This is captured by the tabular game formalism. 

● Predict: We want to know whant happens in a game. Such predictions are called solution concepts (e.g., Nash equilibrium).

Game Theory

● What is it about ?

● Games are thought experiments to help us learn how to predict rational behavior in situations of conflict.

● Rational: The players want to maximize their own expected utility.

● Situation of conflict: Everybody's actions affect others. This is captured by the tabular game formalism. 

● Predict: We want to know whant happens in a game. Such predictions are called solution concepts (e.g., Nash equilibrium).

Game Theory

● What is it about ?

● Games are thought experiments to help us learn how to predict rational behavior in situations of conflict.

● Rational: The players want to maximize their own expected utility.

● Situation of conflict: Everybody's actions affect others. This is captured by the tabular game formalism. 

● Predict: We want to know what happens in a game. Such predictions are called solution concepts (e.g., Nash equilibrium).

Game Theory

● What is it about ?

● Games are thought experiments to help us learn how to predict rational behavior in situations of conflict.

● Rational: The players want to maximize their own (expected) utility.

● Situation of conflict: Everybody's actions affect others. This is captured by the tabular game formalism. 

● Predict: We want to know whant happens in a game. Such predictions are called solution concepts (e.g., Nash equilibrium).

דוגמאות למשחקים

ומספריים, נייר אבן

2 : עמודה ושחקן שורה שחקן שחקנים

יש שחקן לבחירה( actions )פעולות 3לכל אפשריות

אפס סכום משחק

צ'יקן

שחקנים2

פעולות2לכל שחקן

פעולות לכל 2 שחקנים, עם 3דוגמא למשחק של שחקן

שחקנים, לכל שחקן יש אינסוף nדוגמא למשחק של פעולות

:משחק פורמלית, כאשר , ידי על מוגדר•N = {1, 2, …, n} של קבוצה .שחקנים nהיא•Ai הפעולות היא שחקן קבוצת של iהאפשריותשחקן התועלת • " iשל הפונקציה י ע מוגדרת

ui: A1 x A2 x A3 ··· x An R

תלויה בפעולות i)ז"א התועלת של שחקן • וע"י שאר השחקנים(iשנבחרו על ידי

היא קבוצה N אם משחק סופימשחק ייקרא •.i היא קבוצה סופית לכל שחקן Aiסופית ואם

בשבוע שעבר ...

אם שחקן העמודות בוחר עו"ד רגיל, אז כדאי לשחקן השורות לבחור ●עו"ד מומחה.

אם שחקן העמודות בוחר עו"ד מומחה, אז כדאי לשחקן השורות ●לבחור עו"ד מומחה.

ראינו שתחת הנחת ה"רציונליות"●

כל שחקן יבחר בעו"ד מומחה

בלי קשר לבחירת השחקן האחר.

”E“". 0, 0התוצאה תהיה "● 0 , 0

“R” “E”

4 , 4

5- , 1

-1 , 5“R”

במשחק הצ'יקן, לא קיימת אסטרטגיה שהיא מועדפת בלי כל קשר לבחירת השחקן האחר.

לדוגמא אם שחקן העמודות בחר לעצור אז לשחקן השורות כדאי יותר להאיץ, ואם שחקן העמודות בחר

להאיץ אז כדאי לשחקן העמודות לעצור.

פתרון = תוצאת המשחק

E,E" שמתייחסת לזוג הפעולות 0, 0התוצאה "

:שיווי משקלמהווה

בהינתן שכל אחד מהשחקנים

, Eמתכוון לבחור את

אף שחקן לא ירצה לשנות

חד צדדיאת דעתו באופן

.Rולבחור את

“E” 0 , 0

“R” “E”

4 , 4

5- , 1

-1 , 5“R”

PNE

DSE

DSE "לא משנה איזה עו"ד בוחר השחקן האחר, לי כדאי לשכור עו"ד מומחה" ≈

PNE"אם השחקן האחר בוחר עו"ד מומחה, לי כדאי גם לשכור עו"ד מומחה" ≈

E,E יחידהוא שיווי משקל

E,Eבדוגמא זו, קל לראות שכל זוג פעולות שאינו

כלומר תמיד יהיה שחקן שיעדיף לסטות אינו מהווה שיווי משקל, באופן חד צדדי:

“E” 0 , 0

“R”

“E”

4 , 4

5- , 1

-1 , 5“R”

אסטרטגיה טהורה

היא הפעולה שאותה בחר השחקן אסטרטגיה טהורה הגדרה:●לשחק מתוך אוסף הפעולות האפשריות.

לדוגמא, הראינו שזוג ●

E,Eהאסטרטגיות הטהורות ●

מהווה שיווי משקל כאשר ●

השחקנים פועלים באופן רציונלי●“E” 0 , 0

“R” “E”

4 , 4

5- , 1

-1 , 5“R”

מלחמת המינים

)שבכל אחד יש שני שיוויי משקל באסטרטגיות טהורות מהם לאף שחקן לא כדאי לסטות באופן חד צדדי(

מהו שיווי המשקל כאן?

איך משחקים צ'יקן?

משחק באסטרטגיות טהורות בנוסח הוליווד

http://www.youtube.com/watch?v=YDSj6ptcwbw&feature=related

22:40

במשחק זוג או פרט לא קיים שיווי משקל :בעיה●נאש באסטרטגיות טהורות

אסטרטגיה מעורבת - דוגמא

: הגרל כל פעולה שורותדוגמא לאסטרטגיה מעורבת לשחקן ה●בהסתברות ½

הגרל כל פעולה :עמודותדוגמא לאסטרטגיה מעורבת לשחקן ה●בהסתברות ½

נשים לב: כעת תהיה לנו התפלגות אחידה על התוצאות האפשריות:●

-( תיבחר בהסתברות ¼.1, 1לדוגמא התוצאה )●

התועלת )ביחס תוחלתבנוסף: נגדיר את תועלת השחקן להיות ●להתפלגות על התוצאות(.

ui: A1 x A2 ··· x An R לעומת Ui: )A1( x )A2( ··· x )An( R

אסטרטגיה מעורבת - דוגמא

: הגרל כל פעולה שורותדוגמא לאסטרטגיה מעורבת לשחקן ה●בהסתברות ½

הגרל כל פעולה :עמודותדוגמא לאסטרטגיה מעורבת לשחקן ה●בהסתברות ½

נשים לב: כעת תהיה לנו התפלגות אחידה על התוצאות האפשריות:●

( תיבחר בהסתברות ¼.T, Hלדוגמא התוצאה )●

התועלת )ביחס תוחלתבנוסף: נגדיר את תועלת השחקן להיות ●להתפלגות על התוצאות(.

ui: A1 x A2 ··· x An R לעומת Ui: )A1( x )A2( ··· x )An( R

u1)H, T( = 1, u1)T, H( = 1, u1)H, H( = -1, u1)T, T( = -1

u2)H, T( = -1… ,

לעומתU1 ))1/2, 1/2(, )1/2, 1/2(( =

=? ¼ u1 )H, H( + ¼ u1 )H, T( + ¼ u1 )T, H( + ¼ u1 )T, T(

U2ובאופן דומה נגדיר את הפונקציה ●

אם כל שחקן יגריל כל פעולה בהסתברות ½

שיווי משקל נאש באסטרטגיות מעורבות נקבל

במשחק זוג או פרט

NE

PNE

DSE

Dominant Strategy Equilibrium :

(a1, a2, …, an ) A1 x A2 ··· x An is a DSE if

ui)ai, b-i( > ui)a’i, b-i(

for every b-i and every a’i Ai

Pure Nash Equilibrium :

(a1, a2, …, an ) A1 x A2 ··· x An is a PNE if

ui)ai, a-i( > ui)a’i, a-i(

for every a’i Ai

Nash Equilibrium :

(p1, p2, …, pn ) )A1( x )A2( ··· x )An( is a NE if Ui)pi, p-i( > Ui)p’i, p-i(

for every p’i   )Ai(

ראינו ששיווי משקל באסטרטגיות טהורות PNE לא תמיד קיים במשחקים סופיים

)למשל, זוג או פרט(

?NEמה לגבי

נ

: JOHN NASH, 1951) )משפטNE משחק סופי קיים שיווי משקל כלל

1994ג'ון נאש זכה בפרס נובל בשנת על תרומתו לתורת המשחקים

נראה את הוכחת משפט נאש, בשלבים ...

נתחיל בחידה:

נזיר יצא בשמונה בבוקר לצעוד על שביל המוביל ממורד ההר לפסגת ההר, מדי פעם הוא נח והתפלל, ולבסוף

הגיע לפסגת ההר בשמונה בערב.

למחרת, צעד הנזיר במהירות קבועה וללא עצירה במורד השביל החל משמונה בבוקר עד שמונה בערב.

הוכיחו שיש נקודה על השביל שבה ביקר הנזיר בדיוק באותה שעה, יום אחרי יום.

נזיר יצא בשמונה בבוקר לצעוד על שביל :חידההמוביל ממורד ההר לפסגת ההר, מדי פעם הוא נח והתפלל, ולבסוף הגיע לפסגת ההר בשמונה בערב.

למחרת, צעד הנזיר במהירות קבועה וללא עצירה במורד השביל החל משמונה בבוקר עד שמונה בערב. הוכיחו שיש נקודה על השביל שבה ביקר הנזיר בדיוק באותה

שעה, יום אחרי יום

: נדמיין שתי נזירות שמתחילות לצעוד בשמונה פתרוןבבוקר על השביל בכיוונים מנוגדים: הנזירה הראשונה

"מסמלצת" את מסלול הנזיר ביום הראשון, והשנייה את מסלול הנזיר ביום השני. שתי הנזירות בהכרח ייפגשו.

?

משפט נקודת השבת הערה חשובה: של בראואר הוא משפט קיום

:הערה חשובהמשפט נאש הוא משפט קיום

דילמת האסיר ומשחקים אחרים

דילמת האסיר

“E” 0 , 0

“R” “E”

4 , 4

5- , 1

-1 , 5“R”

“C” -5- , 5

“NC” “C”

-1- , 1

0- , 6

-6 , 0“NC”

Interpretations of the Prisoner's Dilemma

Using drugs is a strictly dominant strategy for every athlete, and so we have a situation where the players use drugs even though they understand that there's a better outcome for both of them.

Interpretations of the Prisoner's Dilemma

מסקנות "מהמשחק המחשבתי" הזה:

צריך אולי להגדיל את תדירות בדיקות הפתע לגילוי סמים משפרי ●ולא לבצע בדיקות רק לפני תחרויות.ביצועים,

וכו' וכו' ●

באופן כללי: לנסות לשנות את התועלות, ו/או להוסיף "פעולות" ●ו"שחקנים" חדשים למשחק.

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Frankfurt_Airport_tunnel.JPG

כל שחקן צריך לבחור משחק "מחשבתי": נקודה )פיקסל( בתמונה, אם כולם בוחרים

את אותה נקודה אז כל משתתף מקבל דולר, אחרת כל אחד מקבל אפס

כל שחקן צריך לבחור נקודה משחק: בתמונה, אם כולם בוחרים את אותה

נקודה אז כל משתתף מקבל דולר, אחרת אפס

נשים לב שכל נקודה בתמונה :פתרוןהיא שיווי משקל נאש, אבל סביר ששיווי

המשקל שייבחר הוא "נקודת המגוז"

משחקי מלחמת המינים שייך למשפחת , שבהם כדאי לשחקן לבחור את מה הקואורדינציה

ששאר השחקנים בחרו.

יש שני שיוויי משקל באסטרטגיות טהורות, איזה בעיה:מהם ייבחר?

לא תמיד יש קונבנציה חברתית מתאימה שתנחה את השחקנים, בסגנון "זכות קדימה לרכב הבא מימין"

Two Drivers / Focal Point

Two drivers are approaching each other at night

on an undivided country road :

England vs. the U.S.

Real World Interpretations of Mixed Strategy Equilibria

כנראה שהמוח האנושי מסוגל לפעול בצורה הסתברותית ולהטיל מטבעות "מדומיינות", במיוחד אצל ספורטאים.

האם זה אומר בהכרח שעבור משחק עם שיווי משקל יחיד, שהוא שיווי משקל באסטרטגיות מעורבות )למשל אבן נייר

ומספריים, זוג או פרט(, אנשים יפעלו בהכרח על פי

?אסטרטגיית שיווי המשקל

The 2009 World Rock-Paper-Scissors Championship, Toronto

Bibliography

Lecture notes by Chandra Chekuri, CS 573: Algorithmic Game Theory, 2008, UIUC

Lecture notes by Constantinos Daskalakis, 6.853: Topics in Algorithmic Game Theory, 2011, MIT

Lecture notes by Dov Monderer, 096750, Non-cooperative Game Theory, 2002, Technion

Lecture notes by Christos H. Papadimitriou, CS294-P29, Algorithmic Game Theory, 2011, UC Berkeley

David Easley and Jon Kleinberg, Networks, Crowds, and Markets, Cambridge University Press, 2010