Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים

Topics in Algorithmic Game Theory

נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים

Iחלק

Knapsack Problemבעית התרמיל –



האופטימלי הפתרון = *V 240הוא ערך

משפחה צריכה להחליט אלו מוצרים לקנות מתוך רשימת ●.C, בהתייחס למגבלת תקציב Sקניות

si היא iעלות המוצר ●

vi למשפחה הוא iערך המוצר ●

מפרסם צריך להחליט איזה מודעות/מילות חיפוש לרכוש ●.Cבהתייחס למגבלת תקציב

בעית התרמיל – שימושים

משפחה צריכה להחליט אלו מוצרים לקנות מתוך רשימת ●.C, בהתייחס למגבלת תקציב Sקניות

si היא iעלות המוצר ●

vi למשפחה הוא iערך המוצר ●

מפרסם צריך להחליט איזה מודעות/מילות חיפוש לרכוש ●.Cבהתייחס למגבלת תקציב

בעית התרמיל – שימושים

מוצרים זהים. לאיזה ספקים כדאי למפעל Cמפעל מייצר ●לשלוח סחורה?

si היא iגודל ההזמנה של ספק ●

vi מוכן לשלם הוא iהמחיר שספק ●

בעית התרמיל – עוד שימושים

חמדןאלגוריתם

אלגוריתם חמדן בסדר יורד ואז vi ערך נמיין את הפריטים ע"פ :1רעיון ●

נכניס לתרמיל ככל שנוכל.

בסדר יורד si / vi צפיפות : נמיין את הפריטים ע"פ 2רעיון ●ואז נכניס לתרמיל ככל שנוכל.




ונתבונן בקלטים הבאים: C=2נניח שגודל התרמיל הוא ●

גודל ערך מס' פריט

2 40 1

1 21 2

1 1 3






2 40 1

1 30 2

1 30 3






2 40 1

1 30 2

1 30 3


2 40 1

1 21 2

1 1 3

אלגוריתם חמדן בסדר יורד ואז נכניס ערך נמיין את הפריטים ע"פ :1רעיון ●

לשק ככל שנוכל ע"פ הסדר החדש. צפיפות: כמו קודם, אך נמיין את הפריטים ע"פ 2רעיון ●

)ערך לחלק לגודל( בסדר יורד. ונתבונן בקלטים הבאים: C=2נניח שגודל התרמיל הוא ●


2 40 1

1 30 2

1 30 3


2 40 1

1 21 2

1 1 3

אלגוריתם חמדן נמיין את הפריטים ע"פ ערך בסדר יורד ואז נכניס :1רעיון ●

לשק ככל שנוכל ע"פ הסדר החדש.: כמו קודם, אך נמיין את הפריטים ע"פ צפיפות 2רעיון ●

)ערך לחלק לגודל( בסדר יורד.

מסקנה: הגישה ה"חמדנית" לא תמיד מצליחה לבחור את ●הפתרון האופטימלי.

אלגוריתמים לבעית התרמיל

לא ידוע אלגוריתם יעיל לפתרון בעית התרמיל.:בעיה●


לא ידוע אלגוריתם יעיל לפתרון בעית התרמיל.:בעיה● )"פסאודו-פולינומי"(O(nC)קיים אלגוריתם בסיבוכיות ●


לא ידוע אלגוריתם יעיל לפתרון בעית התרמיל.בעיה:● )"פסאודו-פולינומי"(O(nC)קיים אלגוריתם בסיבוכיות ●

נתעניין באלגוריתמים שנותנים פתרונות מקורבים.●

האופטימלי הפתרון 240הוא ערךV = * אלטרנטיבי פתרון V 230הוא ערך

=

V > V* / 2

אלגוריתמי קירוב, גישת המקרה הגרוע

אלגוריתמי קירוב - הגדרה

קירוב לבעית c. נאמר שאלגוריתם הוא -c > 1 יהי הגדרה:●, ערך הפתרון של פלט לכל קלטמקסימיזציה, אם

האלגוריתם הוא לפחות ערך הפתרון האופטימלי לבעיה .cלחלק ל-

לכל קלט-קירוב מבטיח 2, אז אלגוריתם c=2לדוגמא אם ●פתרון שערכו הוא לפחות חצי מהערך האופטימלי.

קטן יותר האלגוריתם נותן קירוב טוב יותר.cככל ש-●

אלגוריתמי קירוב - הגדרה

קירוב לבעית c. נאמר שאלגוריתם הוא -c > 1 יהי הגדרה:●, ערך הפתרון של פלט לכל קלטמקסימיזציה, אם

האלגוריתם הוא לפחות ערך הפתרון האופטימלי לבעיה .cלחלק ל-

לכל -קירוב מבטיח 2, אז אלגוריתם c = 2לדוגמא, אם ● פתרון שערכו הוא לפחות חצי מהערך האופטימלי. קלט

קטן יותר, האלגוריתם נותן קירוב טוב יותר.cככל ש-●

-קירוב לבעית התרמיל2אלגוריתם

" מיין● יורד בסדר צפיפות פ ע הפריטים את

● : ש להניח s3 / v3 < s2 / v2 < s1 / v1 > ... ניתן

●i 1בצע: ●

● , פריט את הכנס פנוי מקום יש ,iאם ++ iלתרמיל ●. מהלולאה, צא אחרת

את ● V = max {v1 + v2 + ··· + vi-1, vi }החזר

-קירוב לבעית התרמיל2אלגוריתם

" מיין● יורד בסדר צפיפות פ ע הפריטים את

● : ש להניח s3 / v3 < s2 / v2 < s1 / v1 > ... ניתן

●i 1בצע: ●

● , פריט את הכנס פנוי מקום יש ,iאם ++ iלתרמיל ●. מהלולאה, צא אחרת

את ● V = max {v1 + v2 + ··· + vi-1, vi }החזר

סיבוכיות האלגוריתם? ●

-קירוב 2אלגוריתם

●21/1 < 40/2 < 1/1●V = max { 21, 40 } = 40

●V = V*


2 40 1

1 21 2

1 1 3


●21/1 < 40/2 < 1/1●V = max { 21, 40 } = 40

●V = V*


2 40 1

1 30 2

1 30 3


2 40 1

1 21 2

1 1 3

●30/1 = 30/1 < 40/2●V = max { 60, 40 } = 60

●V = V*


●2K =C ●K+1 = V ≠ V* = 2K שואף לאינסוף:Kכאשר ●

2 = V / V*


K+1 K+1 1

K+1 K+1 2

2K 2K- ε 3

-קירוב - הוכחה2אלגוריתם

-קירוב לבעית 2 האלגוריתם שראינו הוא :טענההתרמיל.

:הוכחה●max { a, b } > ½ (a+b)

●V = max {v1 + v2 + ··· + vi-1, vi } ץ V > ½ V *

●v1 + v2 + ··· + vi-1 + vi > V* {

IIחלק

מודל הרחוב הראשי של הוטלינג( (HOTELLING, 1929

IIIחלק

וריאציה של דילמת האסיר

“E” 0 , 0

“R” “E”

4 , 4

5 , -1

-1 , 5“R”

פונקצית פוטנציאל

“E” 0 , 0

“R” “E”

4 , 4

5- , 1

-1 , 5“R”

2

“R” “E”

0

1

1“R”

“E”


“E” 0 , 0

“R” “E”

4 , 4

5- , 1

-1 , 5“R”

2

“R” “E”

0

1

1“R”

“E”


“E” 0 , 0

“R” “E”

4 , 4

5- , 1

-1 , 5“R”

2

“R” “E”

0

1

1“R”

“E”

:משחק פורמלית, כאשר , ידי על מוגדר•N = {1, 2, …, n} של קבוצה .שחקנים nהיא•Ai הפעולות היא שחקן קבוצת של iהאפשריותשחקן התועלת • " iשל הפונקציה י ע מוגדרת

ui: A1 x A2 x A3 ··· x An R

תלויה בפעולות i)ז"א התועלת של שחקן • וע"י שאר השחקנים(iשנבחרו על ידי

אם מספר השחקנים משחק הוא סופי נאמר ש•הוא סופי ומספר הפעולות שיש לכל שחקן הוא

סופי.

משחק משחק פונקציה פוטנציאלהוא קיימת אם Φ: A1 x A2 x A3 ··· x An R

כך שלכלai, a’i

:מתקיים Φ(ai, a-i) – Φ(a’i, a-i) = ui(ai, a-i) – ui(a’i, a-i)

משקל :טענה שיווי יש סופי פוטנציאל למשחקטהור.

משקל :טענה שיווי יש סופי פוטנציאל למשחקטהור.

נקודה: הוכחה יש ולכן סופי הוא ( a*i, a*-i)המשחקהפונקציה מקבלת . Φשבה מקסימום

Φ(a*i, a*-i) > Φ(a’i, a*-i)כעת,

: ונקבל, נציבΦ(a*i, a*-i) – Φ(a’i, a*-i) = ui(a*i, a*-i) – ui(a’i, a*-i) > 0

לשחקן לבחור iכלומר כדאי a*iבמקום a’iלא

בחרו השחקנים שאר כל הנקודה, a*-iכאשר בפרט (a*i, a*-i. טהור( משקל שיווי היא

. :הערה פוטנציאל משחק הוא משחק כל לא

טהור, משקל שיווי לו שאין משחק כל לדוגמא) , פרט) או זוג למשל

במשחק זוג או פרט לא קיים שיווי משקל נאש ●באסטרטגיות טהורות, לכל בחירה של זוג פעולות תמיד

יהיה שחקן שיעדיף ל"סטות" ולבחור משהו אחר באופן חד צדדי, ולכן המשחק אינו משחק פוטנציאל.

● K 2+K● 2-K?

במשחק זוג או פרט לא קיים שיווי משקל נאש תזכורת:●לכל בחירה של זוג פעולות תמיד באסטרטגיות טהורות,

יהיה שחקן שיעדיף ל"סטות" ולבחור משהו אחר באופן חד , ולכן המשחק אינו משחק פוטנציאל.צדדי

● 10 12● 8 ?

Bibliography

, אגדות הכלכלה, הוצאת כנרת, אריאל רובינשטיין2009זמורה-ביתן,

Steven S. Skiena, The Algorithm Design Manual, Springer, 1998

Noam Nisan, Tim Roughgarden, Eva Tardos, and Vijay Vazirani, Algorithmic Game Theory, Cambridge University Press, 2007.

David Easley and Jon Kleinberg, Networks, Crowds, and Markets, Cambridge University Press, 2010

Wikipedia

Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים

Documents