Top Banner
Topics in Algorithmic Game Theory תתתתתת תתתתתתתתתתת תתתתת תתתתתתת
69

Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים

Jan 05, 2016

Download

Documents

fineen

Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים. Game Theory. What is it about ? Games are thought experiments to help us learn how to predict rational behavior in situations of conflict . Rational: The players want to maximize their own expected utility. - PowerPoint PPT Presentation
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים

Topics in Algorithmic Game Theory

נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים

Page 2: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים

Game Theory

● What is it about ?

● Games are thought experiments to help us learn how to predict rational behavior in situations of conflict.

● Rational: The players want to maximize their own expected utility.

● Situation of conflict: Everybody's actions affect others. This is captured by the tabular game formalism. 

● Predict: We want to know whant happens in a game. Such predictions are called solution concepts (e.g., Nash equilibrium).

Page 3: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים

Game Theory

● What is it about ?

● Games are thought experiments to help us learn how to predict rational behavior in situations of conflict.

● Rational: The players want to maximize their own (expected) utility.

● Situation of conflict: Everybody's actions affect others. This is captured by the tabular game formalism. 

● Predict: We want to know whant happens in a game. Such predictions are called solution concepts (e.g., Nash equilibrium).

Page 4: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים

Game Theory

● What is it about ?

● Games are thought experiments to help us learn how to predict rational behavior in situations of conflict.

● Rational: The players want to maximize their own expected utility.

● Situation of conflict: Everybody's actions affect others. This is captured by the tabular game formalism. 

● Predict: We want to know whant happens in a game. Such predictions are called solution concepts (e.g., Nash equilibrium).

Page 5: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים

Game Theory

● What is it about ?

● Games are thought experiments to help us learn how to predict rational behavior in situations of conflict.

● Rational: The players want to maximize their own expected utility.

● Situation of conflict: Everybody's actions affect others. This is captured by the tabular game formalism. 

● Predict: We want to know what happens in a game. Such predictions are called solution concepts (e.g., Nash equilibrium).

Page 6: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים

Game Theory

● What is it about ?

● Games are thought experiments to help us learn how to predict rational behavior in situations of conflict.

● Rational: The players want to maximize their own (expected) utility.

● Situation of conflict: Everybody's actions affect others. This is captured by the tabular game formalism. 

● Predict: We want to know whant happens in a game. Such predictions are called solution concepts (e.g., Nash equilibrium).

Page 7: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים

דוגמאות למשחקים

Page 8: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים

ומספריים, נייר אבן

2 : עמודה ושחקן שורה שחקן שחקנים

יש שחקן לבחירה( actions )פעולות 3לכל אפשריות

אפס סכום משחק

Page 9: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים

צ'יקן

שחקנים2

פעולות2לכל שחקן

Page 10: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים

פעולות לכל 2 שחקנים, עם 3דוגמא למשחק של שחקן

Page 11: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים

שחקנים, לכל שחקן יש אינסוף nדוגמא למשחק של פעולות

Page 12: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים

:משחק פורמלית, כאשר , ידי על מוגדר•N = {1, 2, …, n} של קבוצה .שחקנים nהיא•Ai הפעולות היא שחקן קבוצת של iהאפשריותשחקן התועלת • " iשל הפונקציה י ע מוגדרת

ui: A1 x A2 x A3 ··· x An R

תלויה בפעולות i)ז"א התועלת של שחקן • וע"י שאר השחקנים(iשנבחרו על ידי

היא קבוצה N אם משחק סופימשחק ייקרא •.i היא קבוצה סופית לכל שחקן Aiסופית ואם

Page 13: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים

בשבוע שעבר ...

Page 14: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים

אם שחקן העמודות בוחר עו"ד רגיל, אז כדאי לשחקן השורות לבחור ●עו"ד מומחה.

אם שחקן העמודות בוחר עו"ד מומחה, אז כדאי לשחקן השורות ●לבחור עו"ד מומחה.

ראינו שתחת הנחת ה"רציונליות"●

כל שחקן יבחר בעו"ד מומחה

בלי קשר לבחירת השחקן האחר.

”E“". 0, 0התוצאה תהיה "● 0 , 0

“R” “E”

4 , 4

5- , 1

-1 , 5“R”

Page 15: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים

במשחק הצ'יקן, לא קיימת אסטרטגיה שהיא מועדפת בלי כל קשר לבחירת השחקן האחר.

לדוגמא אם שחקן העמודות בחר לעצור אז לשחקן השורות כדאי יותר להאיץ, ואם שחקן העמודות בחר

להאיץ אז כדאי לשחקן העמודות לעצור.

Page 16: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים

פתרון = תוצאת המשחק

E,E" שמתייחסת לזוג הפעולות 0, 0התוצאה "

:שיווי משקלמהווה

בהינתן שכל אחד מהשחקנים

, Eמתכוון לבחור את

אף שחקן לא ירצה לשנות

חד צדדיאת דעתו באופן

.Rולבחור את

“E” 0 , 0

“R” “E”

4 , 4

5- , 1

-1 , 5“R”

Page 17: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים

PNE

DSE

DSE "לא משנה איזה עו"ד בוחר השחקן האחר, לי כדאי לשכור עו"ד מומחה" ≈

PNE"אם השחקן האחר בוחר עו"ד מומחה, לי כדאי גם לשכור עו"ד מומחה" ≈

Page 18: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים

E,E יחידהוא שיווי משקל

E,Eבדוגמא זו, קל לראות שכל זוג פעולות שאינו

כלומר תמיד יהיה שחקן שיעדיף לסטות אינו מהווה שיווי משקל, באופן חד צדדי:

“E” 0 , 0

“R”

“E”

4 , 4

5- , 1

-1 , 5“R”

Page 19: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים
Page 20: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים

אסטרטגיה טהורה

היא הפעולה שאותה בחר השחקן אסטרטגיה טהורה הגדרה:●לשחק מתוך אוסף הפעולות האפשריות.

לדוגמא, הראינו שזוג ●

E,Eהאסטרטגיות הטהורות ●

מהווה שיווי משקל כאשר ●

השחקנים פועלים באופן רציונלי●“E” 0 , 0

“R” “E”

4 , 4

5- , 1

-1 , 5“R”

Page 21: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים
Page 22: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים
Page 23: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים

מלחמת המינים

)שבכל אחד יש שני שיוויי משקל באסטרטגיות טהורות מהם לאף שחקן לא כדאי לסטות באופן חד צדדי(

Page 24: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים
Page 25: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים

מהו שיווי המשקל כאן?

Page 26: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים

איך משחקים צ'יקן?

משחק באסטרטגיות טהורות בנוסח הוליווד

http://www.youtube.com/watch?v=YDSj6ptcwbw&feature=related

22:40

Page 27: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים
Page 28: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים

במשחק זוג או פרט לא קיים שיווי משקל :בעיה●נאש באסטרטגיות טהורות

Page 29: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים
Page 30: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים

אסטרטגיה מעורבת - דוגמא

: הגרל כל פעולה שורותדוגמא לאסטרטגיה מעורבת לשחקן ה●בהסתברות ½

הגרל כל פעולה :עמודותדוגמא לאסטרטגיה מעורבת לשחקן ה●בהסתברות ½

נשים לב: כעת תהיה לנו התפלגות אחידה על התוצאות האפשריות:●

-( תיבחר בהסתברות ¼.1, 1לדוגמא התוצאה )●

התועלת )ביחס תוחלתבנוסף: נגדיר את תועלת השחקן להיות ●להתפלגות על התוצאות(.

ui: A1 x A2 ··· x An R לעומת Ui: )A1( x )A2( ··· x )An( R

Page 31: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים

אסטרטגיה מעורבת - דוגמא

: הגרל כל פעולה שורותדוגמא לאסטרטגיה מעורבת לשחקן ה●בהסתברות ½

הגרל כל פעולה :עמודותדוגמא לאסטרטגיה מעורבת לשחקן ה●בהסתברות ½

נשים לב: כעת תהיה לנו התפלגות אחידה על התוצאות האפשריות:●

( תיבחר בהסתברות ¼.T, Hלדוגמא התוצאה )●

התועלת )ביחס תוחלתבנוסף: נגדיר את תועלת השחקן להיות ●להתפלגות על התוצאות(.

ui: A1 x A2 ··· x An R לעומת Ui: )A1( x )A2( ··· x )An( R

Page 32: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים

u1)H, T( = 1, u1)T, H( = 1, u1)H, H( = -1, u1)T, T( = -1

u2)H, T( = -1… ,

לעומתU1 ))1/2, 1/2(, )1/2, 1/2(( =

=? ¼ u1 )H, H( + ¼ u1 )H, T( + ¼ u1 )T, H( + ¼ u1 )T, T(

U2ובאופן דומה נגדיר את הפונקציה ●

Page 33: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים

אם כל שחקן יגריל כל פעולה בהסתברות ½

שיווי משקל נאש באסטרטגיות מעורבות נקבל

במשחק זוג או פרט

Page 34: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים

NE

PNE

DSE

Page 35: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים

Dominant Strategy Equilibrium :

(a1, a2, …, an ) A1 x A2 ··· x An is a DSE if

ui)ai, b-i( > ui)a’i, b-i(

for every b-i and every a’i Ai

Pure Nash Equilibrium :

(a1, a2, …, an ) A1 x A2 ··· x An is a PNE if

ui)ai, a-i( > ui)a’i, a-i(

for every a’i Ai

Page 36: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים

Nash Equilibrium :

(p1, p2, …, pn ) )A1( x )A2( ··· x )An( is a NE if Ui)pi, p-i( > Ui)p’i, p-i(

for every p’i   )Ai(

Page 37: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים

ראינו ששיווי משקל באסטרטגיות טהורות PNE לא תמיד קיים במשחקים סופיים

)למשל, זוג או פרט(

?NEמה לגבי

נ

Page 38: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים

: JOHN NASH, 1951) )משפטNE משחק סופי קיים שיווי משקל כלל

Page 39: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים

1994ג'ון נאש זכה בפרס נובל בשנת על תרומתו לתורת המשחקים

Page 40: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים
Page 41: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים

נראה את הוכחת משפט נאש, בשלבים ...

Page 42: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים

נתחיל בחידה:

נזיר יצא בשמונה בבוקר לצעוד על שביל המוביל ממורד ההר לפסגת ההר, מדי פעם הוא נח והתפלל, ולבסוף

הגיע לפסגת ההר בשמונה בערב.

למחרת, צעד הנזיר במהירות קבועה וללא עצירה במורד השביל החל משמונה בבוקר עד שמונה בערב.

הוכיחו שיש נקודה על השביל שבה ביקר הנזיר בדיוק באותה שעה, יום אחרי יום.

Page 43: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים

נזיר יצא בשמונה בבוקר לצעוד על שביל :חידההמוביל ממורד ההר לפסגת ההר, מדי פעם הוא נח והתפלל, ולבסוף הגיע לפסגת ההר בשמונה בערב.

למחרת, צעד הנזיר במהירות קבועה וללא עצירה במורד השביל החל משמונה בבוקר עד שמונה בערב. הוכיחו שיש נקודה על השביל שבה ביקר הנזיר בדיוק באותה

שעה, יום אחרי יום

: נדמיין שתי נזירות שמתחילות לצעוד בשמונה פתרוןבבוקר על השביל בכיוונים מנוגדים: הנזירה הראשונה

"מסמלצת" את מסלול הנזיר ביום הראשון, והשנייה את מסלול הנזיר ביום השני. שתי הנזירות בהכרח ייפגשו.

Page 44: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים
Page 45: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים
Page 46: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים

?

Page 47: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים

משפט נקודת השבת הערה חשובה: של בראואר הוא משפט קיום

Page 48: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים
Page 49: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים
Page 50: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים
Page 51: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים

:הערה חשובהמשפט נאש הוא משפט קיום

Page 52: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים
Page 53: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים

דילמת האסיר ומשחקים אחרים

Page 54: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים

דילמת האסיר

“E” 0 , 0

“R” “E”

4 , 4

5- , 1

-1 , 5“R”

“C” -5- , 5

“NC” “C”

-1- , 1

0- , 6

-6 , 0“NC”

Page 55: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים

Interpretations of the Prisoner's Dilemma

Using drugs is a strictly dominant strategy for every athlete, and so we have a situation where the players use drugs even though they understand that there's a better outcome for both of them.

Page 56: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים

Interpretations of the Prisoner's Dilemma

מסקנות "מהמשחק המחשבתי" הזה:

צריך אולי להגדיל את תדירות בדיקות הפתע לגילוי סמים משפרי ●ולא לבצע בדיקות רק לפני תחרויות.ביצועים,

וכו' וכו' ●

באופן כללי: לנסות לשנות את התועלות, ו/או להוסיף "פעולות" ●ו"שחקנים" חדשים למשחק.

Page 57: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים
Page 58: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Frankfurt_Airport_tunnel.JPG

Page 59: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים

כל שחקן צריך לבחור משחק "מחשבתי": נקודה )פיקסל( בתמונה, אם כולם בוחרים

את אותה נקודה אז כל משתתף מקבל דולר, אחרת כל אחד מקבל אפס

Page 60: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים

כל שחקן צריך לבחור נקודה משחק: בתמונה, אם כולם בוחרים את אותה

נקודה אז כל משתתף מקבל דולר, אחרת אפס

נשים לב שכל נקודה בתמונה :פתרוןהיא שיווי משקל נאש, אבל סביר ששיווי

המשקל שייבחר הוא "נקודת המגוז"

Page 61: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים
Page 62: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים

משחקי מלחמת המינים שייך למשפחת , שבהם כדאי לשחקן לבחור את מה הקואורדינציה

ששאר השחקנים בחרו.

יש שני שיוויי משקל באסטרטגיות טהורות, איזה בעיה:מהם ייבחר?

לא תמיד יש קונבנציה חברתית מתאימה שתנחה את השחקנים, בסגנון "זכות קדימה לרכב הבא מימין"

Page 63: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים

Two Drivers / Focal Point

Two drivers are approaching each other at night

on an undivided country road :

England vs. the U.S.

Page 64: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים
Page 65: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים

Real World Interpretations of Mixed Strategy Equilibria

כנראה שהמוח האנושי מסוגל לפעול בצורה הסתברותית ולהטיל מטבעות "מדומיינות", במיוחד אצל ספורטאים.

האם זה אומר בהכרח שעבור משחק עם שיווי משקל יחיד, שהוא שיווי משקל באסטרטגיות מעורבות )למשל אבן נייר

ומספריים, זוג או פרט(, אנשים יפעלו בהכרח על פי

?אסטרטגיית שיווי המשקל

Page 66: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים

The 2009 World Rock-Paper-Scissors Championship, Toronto

Page 67: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים
Page 68: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים

Bibliography

Lecture notes by Chandra Chekuri, CS 573: Algorithmic Game Theory, 2008, UIUC

Lecture notes by Constantinos Daskalakis, 6.853: Topics in Algorithmic Game Theory, 2011, MIT

Lecture notes by Dov Monderer, 096750, Non-cooperative Game Theory, 2002, Technion

Lecture notes by Christos H. Papadimitriou, CS294-P29, Algorithmic Game Theory, 2011, UC Berkeley

David Easley and Jon Kleinberg, Networks, Crowds, and Markets, Cambridge University Press, 2010

Page 69: Topics in Algorithmic Game  Theory נושאים  אלגוריתמיים בתורת המשחקים