Square matrix (정방행렬) 에대하여 A ajk AT Aocw.snu.ac.kr/sites/default/files/NOTE/7335.pdf · 2018. 1. 30. · Symmetric, Skew-Symmetric, and OrthogonalMatrices(Orthogonal
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Symmetric, Skew-Symmetric, and Orthogonal Matrices (대칭 반대칭Orthogonal Matrices (대칭, 반대칭,직교행렬)
• Square matrix (정방행렬) 에 대하여
– Symmetric:
jkaA
AA TSymmetric:
– Skew-Symmetric:
O h l
AA
AA T
– Orthogonal:
• 실수 정방행렬 A는 대칭행렬 R과 반대칭행렬 S의
1 AAT
실수 정방행렬 는 대칭행렬 과 반대칭행렬 의합으로 표현할 수 있다.
TT AASAAR 11
– Ex. 2
TT AASAAR 21 ,
21
51510535309259
00.65.10.605.15.15.10
0.30.25.30.20.35.3
5.35.30.9
345832
259SRA
Symmetric, Skew-Symmetric, and Orthogonal Matrices (대칭 반대칭Orthogonal Matrices (대칭, 반대칭,직교행렬)
• Eigenvalues of Symmetric and Skew-Symmetric Matrices (8.5)
– 대칭행렬의 고유값은 실수 (8.2 Ex. 1)
– 반대칭행렬의 고유값은 순 허수이거나 영 ii 25 ,25 ,0 0201220091290
• Orthogonal Transformation (직교변환): 직교행렬 는AAxy
E ) 각 θ 만큼의 평면회전은 직 변환이다
11 sincos xy
내적값
Ex) 각도 θ 만큼의 평면회전은 직교변환이다.
2
1
2
1
cossin xy y
1b
• 내적값 b a,baba 221 벡터 임의의 의nnT Rb
baaa
– 길이 또는 노름(Norm) : nb
aaaaa T
Symmetric, Skew-Symmetric, and Orthogonal Matrices (대칭 반대칭Orthogonal Matrices (대칭, 반대칭,직교행렬)
• Invariance of Inner Product– 직교변환은 벡터의 내적값을 보존,
– 또한 벡터의 길이 또는 노름(norm)도 보존함.
babaIbaAbAaAb(Aa)vuvu TTTTTT
• Orthonormality of Column and Row Vectors실수 정방행렬이 직교일 필요충분조건은 열벡터 aa
( )
– 실수 정방행렬이 직교일 필요충분조건은 열벡터(또한 행벡터들)이 정규직교계(Orthonormal System)를 형성하는것임.
naa , ,1
kjT 0aaaa 1 AAT
kjkjkj 1aaaa
aaaaaaaa n
T2
T1
T
T
T1111
AA
aaaaaa
aaa
a
aAAAAI
nT
2T
1T
n21
T
T1-
nnnn
2
Symmetric, Skew-Symmetric, and Orthogonal Matrices (대칭 반대칭Orthogonal Matrices (대칭, 반대칭,직교행렬)
• Determinant of an Orthogonal Matrix
– 직교행렬의 행렬식의 값은 +1 또는 -1직교행렬의 행렬식의 값은 1 또는 12TT-1 A)(det Adet A det )(AAdet )(AAdet Idet 1
• Eigenvalues of an Orthogonal Matrix
– 직교행렬의 고유값은 실수 또는 공액복소수이고직교행렬의 고유값은 실수 또는 공액복소수이고절대값은 1
212
6/)11(5 ,6/)11(5 1,- 31
32
32
333ii
32
32
31
Eigenbases. Diagonalization. Quadratic FormsQuadratic Forms
• Basis of Eigenvectors
,가지면고유값을다른서로개의가행렬만일 nnn A된다. 기저가 의 은 , , 고유벡터 의 행렬 이
,가지면유값을다른서개의가행렬 만일n
n Rnnn
xxAA
1ccc xxxx 2211
nn
nn
cccccc
AAA)xxxA(Axy
xxx x
2211
2211
nnn
nn
cccccc
xxx AxAxAx
222111
2211
임의의 x에 대한 A의 연산 (복잡!)스칼라의 곱의 합 (간단!)
• Basis (기저):
– 벡터공간내의 최대로 가능한 수의 일차독립인 벡터로구성되는 집합이며, 기저가 되는 벡터의 수는 차원
Eigenbases. Diagonalization. Q d ti FQuadratic Forms
• Ex.1 Eigenbasis, Nondistinct Eigenvalues. Nonexistence
5 33 5
A
2 2 32 1 6 A 2 1 6
1 2 0
A
0 10 0
A0 0
Eigenbases. Diagonalization. Quadratic FormsQuadratic Forms
• Symmetric Matrices
– 대칭행렬은 고유벡터로 구성된 정규직교 기저를 가짐.대칭행렬은 고유벡터로 구성된 정규직교 기저를 가짐.
11
5335
212
1
,
212
1
Eigenbases. Diagonalization. Quadratic FormsQuadratic Forms
• Similarity Transformation (상사변환)
PAPPA ˆ 1 정칙행렬nn
• Eigenvalues and Eigenvectors of similar matrices
갖는다. 고유값을 같은 와 는 상사이면 에 가 AAAA ˆˆ
된다. 고유벡터가 의 대응되는 고유값에 같은 는 고유벡터이면 의 가 AxPyAx ˆ1
xPx)(PÂxAPPPAIxPAxP 111111 xPAxPxAx 11
• Diagonalization of a matrix (행렬의 대각화)
)(
Diagonalization of a matrix (행렬의 대각화)
AXXDAnn
1 가지면 기저를 고유벡터의 가 행렬 만일
XAXDX
A
mm 1 또한
행렬이다. 하는 열벡터로 고유벡터들을 이들 는 여기서
된다. 원소가 주대각선의 고유값들이 의 되고, 대각행렬이 는
Eigenbases. Diagonalization. Q d ti FQuadratic Forms
• Ex.
31
P3-6
A
03ˆ
41
P ,1-4
A
2003
A
Eigenbases. Diagonalization. Quadratic FormsQuadratic Forms
• Diagonalization of a matrix (행렬의 대각화)
AXXDAnn
1 가지면 기저를 고유벡터의 가 행렬 만일
XAXDX
A
mm 1또한
행렬이다. 하는 열벡터로 고유벡터들을 이들 는 여기서
된다. 원소가 주대각선의 고유값들이 의 되고, 대각행렬이 는
XAXD mm 또한
Eigenbases. Diagonalization. Quadratic FormsQuadratic Forms
• Ex.4 Diagonalize
5.50.15.11
7.32.03.7A
3.98.17.17
7.02.03.13.02.07.0
,113211
12
11
31
043 012
1
23
XX,-,-
, λ-, λλ
:고유벡터
: 고유값- : 특성방정식
2.02.08.0
7.02.03.1 ,431113
41
31
13 XX, , -
고유벡터
003043302070
000040003
0123049043
2.02.08.07.02.03.13.02.07.0
1AXXD
Eigenbases. Diagonalization. Q d ti FQuadratic Forms
• Quadratic Forms (2차 형식).
:2n n
T xxaQxx Axxx 차형식구성된으로성분의벡터
2112112
2111
1 11
: 2
nn
j kkjjkn
xxaxxaxa
xxaQ, x, x
Axxx 차형식구성된으로성분의벡터
22211
222
2221221
nnnnnnn
nn
xaxxaxxa
xxaxaxxa
• Principal Axes Theorem (주축정리)
– 치환 에 의하여 2차 형식은 주축형식 또는 표준형으로 변환될 수있음
2211 nnnnnnn xaxxaxxa
Xyx 있음.
고유값의대칭행렬행렬
표준형
)(
: 22222
11 nnT yyyQ
A
Dyy
직교행렬하는열벡터로을고유벡터대응하는고유값에
고유값의대칭행렬행렬
, , , :
)( : , , ,
21
21
n
n
xxx
X
A
Eigenbases. Diagonalization. Q d ti FQuadratic Forms
• Ex.5 Quadratic form. Symmetric Coefficient Matrix
2221212
121 210326
43xxxx
xx
xxT
Axx
21 551064 A 대칭행렬대응하는에행렬하는로이므로 kjjkjk aac
2553
2
C
2221212
121 210325
53xxxx
xx
xxT
Cxx
2
Eigenbases. Diagonalization. Q d ti FQuadratic Forms
• Ex.6 Transformation to Principal Axes. Conic Sections
– Find out what type of conic section (원뿔곡선) the following quadratic form represents and transform it to principal axes:
128173017 22212
1 xxxxQ 1
2
2
17 15,
15 17xx
A x
2 22 2
1 2
: 17 15 0
: 2, 32 2 32
-
Q y y
특성방정식
고유값Parabola Circle or H b l2 2
1 22 2
18 2y y
Parabola(포물선)
Circle or Ellipse(원 혹은타원)
Hyperbola(쌍곡선)
http://en.wikipedia.org/wiki/Conic_section
Eigenbases. Diagonalization. Q d ti FQuadratic Forms
• Definiteness
– and symmetric matrix A are called( ) TQ x x Ax and symmetric matrix A are called– Positive definite if Q(x)>0 for all x≠0
N i d fi i if Q( ) 0 f ll 0
( )Q x x Ax
– Negative definite if Q(x)0 and Q(x)
Eigenbases. Diagonalization. Q d ti FQuadratic Forms
• Example) compliance matrix of elastic material
– Positive strains energy requires the PositivePositive strains energy requires the Positive definiteness of matrix. constraints of elastic parameters (elastic modulus and Poisson’s ratio)
1 0 0 0
1E E E
1 0 0 0
1 0 0 0
x x
y y
z z
E E E
E E E
0E 12
TW S 10 0 0 0 0
10 0 0 0 0
yz yz
xz xz
xy xy
G
112
2
W: strain energy intensityS: compliance matrix
0 0 0 0 0
10 0 0 0 0
xy xyG
G
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