Onde Elastiche Taiwan data : 20/09/1999 tempo : 17:47:19.0 GMT latitudine : 23.78 ° longitudine : 121.09 ° profondità : 33 km magnitudo : 6.5 Mb.

Onde Elastiche

Taiwan

data : 20/09/1999tempo : 17:47:19.0 GMTlatitudine : 23.78 °longitudine : 121.09 °profondità : 33 kmmagnitudo : 6.5 Mb

Foreword

• Equazioni del moto • Descrizione della sorgente sismica• Teoria che leghi la descrizione della

sorgente e le equazioni del moto

Ipotesi:Sovrapposizione lineare del motoIl moto sismico può essere determinato unicamente dalla combinazione delle proprietà della sorgente e del mezzo di propagazione

Propagazione delle onde sismiche

Ingredienti:•Sforzo, deformazione•Legge di Hooke (comportamento elastico)•Equazione del moto

Ipotesi semplificative:•gli spostamenti associati alla propagazione delle onde sono di piccola entità•Il comportamento meccanico delle rocce è di tipo “elastico” (ritorno alla posizione di equilibrio una volta rimossa la sollecitazione esterna)

corpo elastico e isotropo

'

d d

u r r r

u r r u u

ii j

j

d d scritta per componenti:

u du dx

x

u r u

Tensore gradiente di spostamento

i

j

u 1 d d

x

u r

Regime di elasticità lineare

1 1 1

2

1 1 1 1

Espandendo in serie di Taylor una delle componenti

u d u d u

du u d u d u trascurando d

r r r r r

r r r r r

Spostamento di P in P’

Spostamento di Q in Q’

Tensore delle deformazioni infinitesime

jiij

j i

u1 1 uε ε

2 2 x x

u u u

Tensore delle deformazioni infinitesime

Per ogni coppia di indici i,j i

j ji i i

j j i j

u uu 1 u 1 u

x 2 x x 2 x x

jii j i

j i

u1 u 1du dx d

2 x x 2

u x

rotazione rigidadeformazioneinfinitesima

Il tensore delle deformazioni è simmetrico

L’effetto di una deformazione infinitesima su di un elemento linea dxi è quello di cambiare la posizione relativa dei suoi estremi di una quantità pari a ijdxj

Definizione di Sforzo

ΔS 0lim

ΔSτ

f

n

t

n

t

Forze di superficie

Forze agenti tra particelle adiacenti

Forze di volumef(x,t)

Forze tra particelle non adiacenti (es. forza gravitazionale)Forze dovute all’applicazione di un processo fisico esterno al corpo stesso (es. effetto di un magnete sulle particelle di ferro)

Tensore degli Sforzi

x y z

x xx x xy y xz z

y yx x yy y yz z

z zx x zy y zz z

, , sforzi applicati sulle facce del cubetto

ˆ ˆ ˆτ n τ n τ n

ˆ ˆ ˆτ n τ n τ n

ˆ ˆ ˆτ n τ n τ n

T T T

T

T

T

Volume infinitesimo

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

τττ

τττ

τττ

τ τ ji,j direzione della componente di sforzoi direzione della normale alla superficie considerata

La condizione di elasticità lineare equivale a supporre il cubetto in uno stato prossimo all’equilibriodi conseguenza il momento associato agli sforzi agenti sul cubetto deve essere nullo: ij,τ ji,τ

Il tensore degli sforzi è un tensore simmetrico

Qualunque forza applicata su di una generica superficie può essere scritta come combinazione lineare delle componenti del tensore degli sforzi

Legge di Hooke

elas

tico

plasticorottura

Legge di Hooke

ij ijkl klτ c ε

Relazione Costutiva

Un corpo che obbedisce alla relazione costitutiva è lineare e elastico

Per un materiale omogeneo e isotropo:

ij ij kk ijτ λδ ε 2με

ij ij k,k i,j j,iτ λδ u μ u u

in termini di deformazione

in termini di spostamento

Equazioni del moto

2

2V V S

ˆρ dV dV n dSt

u

f T

Cerchiamo una relazione tra accelerazione, forze di volume e sforzi agenti su di un volume V racchiuso da una superficie S.

Bilancio delle forze agenti sul volume V

V

jji,

S

jji

S

ijjii dVτdSnτdST nτT

Teorema della divergenza

V

jji,i

V

i dV τfdVuρ

jji,ii τfuρ

Bilancio delle forze scritto per componenti

Equazione del moto

Equazione d’onda

Legge di Hooke ij ij k,k i,j j,iτ λδ u μ u u

jji,ii τfuρ Equazione del moto

i i i,jj i,jiρu f μu λ μ u 2ρ μ λ μ u f u u

ρ λ 2μ μ u f u u

Teorema di Lamè

ρ λ 2μ μ u f u u

Φ ; x,0 A ; x,0 C f Ψ u B u D

soddisfa la condizione:Se il campo di spostamento x,tu u

E se le forze di volume e i valori iniziali di u euvengono espressi in termini di potenziali di Helmotz

Con , , Ψ B D nulli

Allora esistono due potenziali e per u con le seguenti proprietà:

2 2 2

2 2 2

i)

ii) 0

Φ λ 2μiii) α con α

ρ ρ

μiv) β con β

ρ ρ

u ψ

ψ

Ψψ ψ

Onda P Onda S

Il teorema del Betti non coinvolge condizioni iniziali per . È dunque valido anche se le quantità vengono valutate in un tempo t1=t e le quantità vengono valutate in un tempo t2=τ-t

ˆ ,nv v g T v ˆ ,nu u f T u

e u v

ˆ= ,t ,n

ˆ= , t ,n

u u x f T u

v v x g T v

Teorema di Reciprocità (Betti)

condizioni al bordo su S condizioni iniziali t=0

condizioni al bordo su S condizioni iniziali t=0generalmente diverse

V S

V S

ˆ-ρ dV+ ,n dS

ˆ = -ρ dV+ ,n dS

f u v T u v

g v u T v u

Il teorema di reciprocità stabilisce una relazione tra una coppia di soluzioni per lo spostamento generate da diverse forze applicate

se esiste un tempo τ0 in cui sono ovunque nulli attraverso il volume V e quindi allora :0 = =0 per u v

e u v

Integriamo il Betti in un intervallo temporale (o,τ)

ττ

00

ρ t t-τ - t -t ρ t τ-t t τ-t dt

=ρ 0 - 0 + 0 - 0 τ

t

u v u v u v u v

u v u v u v u v

Il termine di accelerazione si riduce ad un termine che dipende solo dal valore iniziale e finale del sistema

τ

0

ρ t t-τ - t -t 0 u v u v

+

-V

+

-S

dt ,t ,τ-t , -t ,t dV

ˆ ˆ dt , -t ,t , n ,t , -t , n dS

u x g x v x f x

v x T u x u x T v x

Campo di spostamento in condizione di passato quiescente

Funzione di Green per l’elastodinamica

2

in in ijkl kn2j l

ρ G δ δ - δ t-τ c Gt x x

x ξ

Il campo di spostamento generato da una sorgente impulsiva unidirezionale è la funzione di Green per l’elastodinamica .

ReciprocitàSe le condizioni al bordo sono indipendenti dal tempo, il tempo origine può essere traslato:

,t; ,τ = ,t-τ; ,0 = ,-τ; ,-tG x ξ G x ξ G x ξ

Se G soddisfa condizioni al bordo omogenee su S, sfruttando il teorema di Betti è possibile dimostrare che:

nm 1 2 mn 2 1G ξ ,τ;ξ ,0 =G ξ ,τ;ξ ,0

Impulso unitario applicato in direzione

Gin(x,t;ξ,τ) la i-esima componente dello spostamento generato

e= =τtξx

La funzione di Green è un tensore che dipende sia dalle coordinate sia della sorgente sia del ricevitore, e soddisfa l’equazione:

n̂

Teorema di Rappresentazione

+

n i in-V

+

in i i ijkl j kn,l-S

u ,t = dτ f ,t G ,τ-t; ,0 dV+

ˆ + dτ G ,τ-t; ,0 T ,t ,n -u ,t c n G ,τ-t; ,0 dS

x x x ξ

x ξ u x x x ξ

Il teorema di rappresentazione è uno strumento che consente di sintetizzare lo spostamento generato da sorgenti realistiche a partire dallo spostamento generato dalla sorgente più semplice: un impulso unidirezionale, localizzato nello spazio e nel tempo

+

-V

+

-S

dt ,t ,τ-t , -t ,t dV

ˆ ˆ dt , -t ,t , n ,t , -t , n dS

u x g x v x f x

v x T u x u x T v x

Campo di spostamento in condizione di passato quiescente

in

in

δ δ - δ t-τ

G ,t; ,τ

g x ξ

v x ξ

Teorema di Rappresentazione

Continuità delle trazioni sulla superficie Σ , 0 T u ν

Assenza di forze di volume

Σ è scelta in modo tale che G sia continua su di essa assieme a tutte le sue derivate

+ kpn i ijpq j-

q

G ,t-τ; ,0u ,t = dτ u ,τ c ν d

ξ

x ξ

x ξ

Piano di fagliaSuperficie terrestre

Se lo scorrimento avviene su Σ, il campo di spostamento è discontinuo e l’equazione del moto non viene soddisfatta all’interno di S.Tuttavia è soddisfatta all’interno della superficie

+ -S+Σ +Σ

+

n p np-V

+ kpi ijpq j np p-

q

u ,t = dτ f ,τ G ,t-τ; ,0 dV +

G ,t-τ; ,0ˆ + dτ u ,τ c ν G ,τ-t; ,0 T ,τ ,ν d

ξ

x η x η η

x ξξ x ξ u ξ

Campo d’onda generato da una sorgente puntiforme con simmetria sferica

2 22

δ t-c1

=δ δ t +c ,t =4πc

x

u x u u xx

2 22

-f t-

c1=δ - f t +c ,t =

4πc

x ξ

u x ξ u u xx

Se la sorgente si estende su di un volume V:

2

2 22 2

V

-Φ ,t-

α, 1α ,t dV

t ρ 4πα ρ

x t

x ξξ

xx - ξ

Tempo di ritardo

22 2

V

, Φ1 ,t dV

α ρ 4πα ρ -

t

x ξx

x ξ

Equazione di Poisson

Soluzione per la funzione di Green per l’elastodinamica in un mezzo omogeneo illimitato e

isotropo

i 0 i1

n 0 n1

f X δ δ

u ,t X G

t

x

x Teorema di rappresentazione

Troviamo i due potenziali per la forza tali che:

0 1ˆX t δ x con 0 x Ψ Ψ

Usiamo la soluzione dell’equazione di Poisson per costruire i potenziali

0 01

V

X t δ dV -X tˆ=- 1,0,0 = x

4π - 4πξ

Wx ξ x

0

1

0

3 2

X t 1, =-

4π x

X t 1 1 , = 0, ,

4π x x

t

t

x Wx x

Ψ x Wx x

Il secondo passo per trovare lo spostamento è quello di risolvere l’equazione d’onda per i potenziali di Lamè

0 2 2

1

0 2 2

3 2

X t 1 +α

4πρ x

X t 1 1= 0, ,-

4πρ x x

x

ψ ψx x

La soluzione è data da:

/ α

001

/β

003 2

1 1, τX t-τ dτ

4 x

1 1 1, 0, , τX t-τ dτ

4 x x

t

t

x

x

xx

ψ xx x

La funzione di Green per lo spostamento dovuta ad una forza di volume X0(t) nella direzione x1 è dunque:

2 r/α

i 0r/βi 1

0 i1 02 2i 1 i 1

1 1u ,t τX t-τ dτ

4 x x r

1 r r r 1 r r r X t- δ - X t-

4πρα x x α 4πρβ x x β

x ψ

Introducendo i coseni direttori:2

i j ijii 3

i i j

3γ γ -δx r 1γ =

r x x x r r

r/α

i i j ij 03 r/β

i j 0 i j ij 02 2

1 1u ,t = 3γ γ -δ τX t-τ dτ

4πρ r

1 1 r 1 1 r γ γ X t- γ γ -δ X t-

4πρα r α 4πρβ r β

x

Far-Field onde P Far-Field onde S

Termine di near field

Proprietà del campo far-field onda P

Pi i j 02

1 1 ru ,t γ γ X t-

4πρα r α

x

Si attenua come r-1 Ha una forma d’onda che dipende dalla combinazione spazio-temporale t-r/α, si propaga con una velocità pari ad αLa forma d’onda è proporzionale alla forza applicata al tempo di ritardoLa direzione dello spostamento uP in x è parallela alla direzione γ dalla sorgente. Il campo d’onda far-field per l’onda P è longitudinale: il moto delle particelle ha la stessa direzione del verso di propagazione

Proprietà del campo far-field onda S

Si attenua come r-1 Ha una forma d’onda che dipende dalla combinazione spazio-temporale t-r/β, si propaga con una velocità pari ad βLa forma d’onda è proporzionale alla forza applicata al tempo di ritardoLa direzione dello spostamento uS in x è perpendicolare alla direzione γ dalla sorgente. Il campo d’onda far-field per l’onda S è trasversale: il moto delle particelle è normale alla direzione di propagazione

Si i j ij 02

1 1 ru ,t γ γ -δ X t-

4πρβ r β

x