Matematika és a művészetek kapcsolata (Aranymetszés)
Post on 11-Jan-2016
60 Views
Preview:
DESCRIPTION
Transcript
Matematika és a művészetek kapcsolata
(Aranymetszés)Verebély László Szakközépiskola és Szakiskola csapataTagok:Tagok: Gáll Patrik (12.B)
Grenyó Dávid (12.B)
Nagy Herda Dániel (12.B)
Felkészítő tanár:Felkészítő tanár: Nagyné Bodó Beatrix
Budapest, 2011. február 2.
Az aranymetszésAz aranymetszés• A matematika, a
művészetek és egyes természeti jelenségek között teremt igen szoros kapcsolatot az aranymetszés néven ismert egyszerű aránypár
• Egy szakasz vagy mennyiség aranymetszés szerinti felosztásakor a keletkező kisebb darab úgy aránylik a nagyobbhoz, mint a nagyobb az egészhez
• Képlettel felírva: a/b=b/(a+b)
• Igazolható, hogy ez csak egyetlen felosztás esetén állhat elő
• a·(a+b)=b·b • A kifejezést
másodfokú egyenletté alakítva kapjuk a következőt: a2+a·b-b2=0
• Ezt általában Φ-vel (fi) szokták jelölni
Az aranyszögAz aranyszög• Aranyszögnek nevezik
azt a szöget, melynek cosinusza éppen az aranymetszés hányadosával egyenlő: cosα=0,618034. . .
• A szög értéke: 51°49’43”
• Az aranyszög körzővel és vonalzóval való megszerkesztését visszavezethetjük az aranymetszésre
Az aranyszög szimbolikájaAz aranyszög szimbolikája• Az aranyszöggel sok
más, jelképet hordozó relikvián, emléken találkozunk
• Aranyszöget zárnak be az ismert Krisztus-monogram X jelének szárai a P betű szárával, és szintén aranyszöget fedezhetünk fel Szent István királyunk REX ST (Rex Stephanus) betűjeleit tartalmazó ligatúrás kézjegyén is
• Ugyanez fedezhető fel a korai keresztény időből származó Krisztus-monogrammal egyesített (az életet jelképező) ankh-kereszten
• A kereszt rajza az V. századból származó kopt gnosztikus papirusz-kódexben szerepel, mely felfedezőjéről, James Bruce-ról (XVIII. sz.) Codex Brucianus néven vált ismertté
Aranymetszés a Aranymetszés a matematikábanmatematikában
• Az aranymetszéssel szoros kapcsolatba hozható a püthagoreusok által misztikus tisztelettel övezett, az univerzum jelképének tekintett szabályos ötszög
• Bizonyítható, hogy e síkidom bármely két metsző átlója az aranymetszés szabályának megfelelően osztja egymást két-két részre, sőt: az összes átlót megrajzolva a keletkező újabb osztópontok is az eredeti szakaszok Φ-szeresénél találhatók
• Az átlók a Pithagorasz csillagot határolják körül
A pentagramA pentagram• Az ábrán látható ABCDE
csúcspontú csillagötszöget (pentagram) úgy kapjuk meg, hogy a szabályos HIKFG ötszög oldalait a metszéspontjukig meghosszabbítjuk
• A püthagoreusok ezt a jelet használták egymás üdvözlésére és felismerésére, lerajzolva azt a homokba
• A pentagram szögeinek összege: 5·36°=180°, ugyanannyi, mint egy háromszög belső szögeinek összege
Az aranymetszés szerkesztéseAz aranymetszés szerkesztése
• Legyen adott az EP=a szakasz, az E pontban állítsunk merőlegest EP-re, és mérjük rá az EP szakasz felét, kapjuk az O pontot, az O pont körül OE=PE/2=a/2 sugárral kört rajzolunk
• A szakasz másik (P) pontjából húzzunk egy szelőt a kör középpontján át, ez metszi a kört az A (közelebbi) és B (távolabbi) pontokban, és a PA szakaszt P körül PE-re leforgatva kapjuk az M pontot
• PE2=PA·PB (érintőszakasz tételéből)
• Bevezetjük az ábra szerinti jelöléseket: EM=p, MP=q, EP=a AP=MP=q, AB=a, és PB=a+q
• A szelő tételt ezekkel a jelölésekkel átírva: a2=q·(a+q)
• A jobb oldalon felbontva a zárójelet: a2=aq+q2
• Az aq tagot a bal oldalra átvíve: a2-aq=q2
• Itt a-t kiemelve: a(a-q)=q2 • Mivel: a-q=p, ezért: ap=q2 • Az a=p+q jelölést is
felhasználva: (p+q)p=q2 • Ezt aránypárba átírva: p:q=q:
(p+q)• Tehát az M pont valóban az
aranymetszésnek megfelelő arányban osztotta fel a PE=a szakaszt
• Aranymetszéssel lehet szabályos öt és tízszöget szerkeszteni
• Az r sugarú körbe írt szabályos 10 szög oldala a kör sugarának aranymetszéssel kapott hosszabbik szelete
• Szabályos 10 szögből természetesen könnyű szabályos ötszöget szerkeszteni
Aranymetszés a Aranymetszés a művészetekben, építészetben művészetekben, építészetben
és a természetbenés a természetben• Már az ókorban is ismerték az aranymetszést, és
előszeretettel használták• Rájöttek ugyanis, hogy az aranymetszéssel
osztott távolságok általában kellemes benyomást keltenek a mű szemlélőjében
• Az ókori Egyiptomban még valószínűleg nem tudatosan alkalmazták a módszert, bár a gizai piramisokon felfedezhetők az aranymetszésre jellemző arányok
• Kairótól nem messze, Giza városában található a világ talán leghíresebb, legtöbbet tanulmányozott építménye: a Kheopsz-piramis
A Kheopsz piramisA Kheopsz piramis(i.e. 2500)
• Az ókorban nem volt toronydaru, sőt, Egyiptomban a vasat sem ismerték
• E hatalmas monstrumok elkészítése pedig (egyes vélemények szerint) még a mai technológiával is lehetetlen lenne
• A Kheopsz-piramis eredetileg 146 méteres magasságával, 230×230 méteres alapterületével és 31 millió tonnás súlyával mindenesetre kemény kihívást jelentene bármely mai építésznek is
• A Rhind-papírusz tekercsek betekintést engednek a kor matematikai eszköztárába
• Az egyiptomiak ismerték a felszín- és térfogatszámítás alapvető módszereit, igen jó közelítéssel ki tudták számolni adott sugarú kör területét, használták a törtszámokat, és meg tudtak oldani egyszerűbb egyenleteket
• Bizonyosan tisztában voltak a Pitagorasz-tétellel, ám a trigonometrikus függvények közül valószínűleg csak a cotangenst ismerték (bár egyes vélemények szerint azt sem)
• Mindazonáltal a piramisok elhelyezkedése és méretei meghökkentően pontos számításokat sejtetnek a háttérben
• A Kheopsz például pontosan a Baktérítőre épült, sarkai pedig minimális (3 ívperces) eltéréssel a négy égtáj felé mutatnak. A különbség az építés idején akár nulla is lehetett, mivel a földrajzi északi pólus – ahol a Föld forgástengelye metszi a felszínt – néhány évezred alatt akár több fokot is fordulhatott
• További érdekesség, hogy a piramis négy sarkának tengerszint feletti magassága maximum 1 cm-es eltérést mutat
• Írásos emléket a piramisokról elsőként (a történetírás atyjaként tisztelt görög utazó) Hérodotosz hagyott ránk
• Lejegyezte az építmények elbűvölő geometriai tulajdonságait, többek között, hogy a piramis magasságának négyzete megegyezik az egyes oldallapok területével
• Elképzelése szerint nem rabszolgabrigád, hanem megközelítőleg 100 000, a földeken éppen munkát nem találó paraszt végezte az építkezés javát
• Egy részük az Arábiai-hegységből követ fejtett és juttatott el a Nílusig, a többiek pedig a folyótól a Líbiai-hegységig vonszolták a többtonnás tömböket
• Tíz évig tartott, amíg az építő-anyag szállítására szolgáló út elkészült, majd az építkezés további húsz évet vett igénybe
• A simára faragott kőtömböket lépcsőzetesen, mérleghintához hasonló emelők alkalmazásával juttatták a rendeltetési helyükre
• Hérodotosz történetének némiképp ellentmond, hogy a tudomány mai állása szerint az egyiptomiak sem a csigákat, sem az emelőket nem ismerték
• Modernebb elméletek szerint Kheopsz kezdetben mindössze egy szerény, csonkagúla-alapú, földszintes síremléket (masztabát) tervezett magának, és csak később építtetett erre további szinteket
• Észrevehető, hogy egy oldallap magassága (s) és az alapjának fele (b) között fennáll az s/b=(s+b)/s összefüggés, ami éppen az aranymetszés
• Bár szinte biztos, hogy Egyiptomban ezt nem ismerték
• A piramis magasságának négyzete az oldalak területével azonos
• Az ábra jelöléseivel: h2=s·b• A Pitagorasz-tételből következően: h2=s2-b2 • A két egyenletből: s·b=s2-b2
• Némi átrendezés után: s2=b·(s+b), amiből pedig mindkét oldal s·b-vel való osztása után megkapjuk az s/b=(s+b)/s összefüggést
• Rejtély persze még így is maradt bőven…• Többen a Föld alapvető fizikai adatait vélik
felfedezni a piramis paraméterei között, mások bibliai utalásokat találtak bennük, sőt: némelyek földönkívüli lények munkáját sejtik a sokat látott építmények falain
Az athéni AkropoliszAz athéni Akropolisz
• Főépítésze (Pheidias) a Tympanon tervezésekor rengeteg helyen élt az aranymetszés lehetőségével
• Már az oszlopcsarnok homlokzatának alakja is egy ún. aranytéglalapra épül
• Ennek az a speciális tulajdonsága, hogy az oldalait a-val és b-vel jelölve teljesül rájuk az aranymetszés
Egyéb építészeti remekművek Egyéb építészeti remekművek az aranymetszés jegyébenaz aranymetszés jegyében
• A római Szent Péter Bazilika, mely több évszázadon keresztül épült, alaprajzától a kupola tervezéséig számos méretviszonyában hordozza az aranymetszésnek megfelelő arányokat
• A Firenzében ma is látható Santa Maria Novella homlokzata
• A firenzei Strozzi palota• Gustav Eiffel Párizsi
világkiállításra készült híres tornya
• A világhíres francia építész, Le Corbusier épületei
• Lechner Ödön tervezte budapesti épületek homlokzatai
Leonardo da Vinci: Mona Leonardo da Vinci: Mona LisaLisa• Leonardo da Vinci
leghíresebb műve, a Mona Lisa több „láthatatlan”, aranytéglalapot tartalmaz
• A festő (a reneszánsz mesterek hagyományait követve) több évig dolgozott a képen, így nem kizárt, hogy a kompozíció kialakításakor szántszándékkal alkalmazott matematikai eszközöket
Leonardo da Vinci:Leonardo da Vinci: Angyali üdvözlet Angyali üdvözlet
• A képen a könyvtámasz alatti asztalka középvonalán áthaladó függőleges vonal a kép terét pontosan aranymetszés szerint osztja
• Mária, illetve az angyal alakjának a középvonala az osztással kapott részeken belül szintén az aranymetszésnek megfelelően helyezkedik el úgy, hogy mindkettő az adott térrész ugyanazon oldalára esik
• Ezzel olyan aszimmetria jön létre, mely a kép egyensúlyát biztosítja
Jan Wildens: MocsárvidékJan Wildens: Mocsárvidék
• A Rubens nyomdokain haladó flamand festő, Jan Wildens 1629-ben alkotott Mocsárvidék címet viselő hangulatos képén az előtérben játszó gyermek pontosan a kép szélességének rövidebb aranymetszetében van
• A kép másik oldalán álló facsoport alacsonyabb, egyenes törzsű fája jelöli ki a hosszabbik aranymetszetet
• A horizontvonal, mely egyúttal az épület előtt álló kőkapu tetejét is érinti és átmegy az épület egyik alacsonyabban fekvő tetősíkján, a kép magassági méretének aranymetszete
August Renoir: Nő a August Renoir: Nő a BékástanyánBékástanyán
• August Renoir: Nő a Békástanyán című képe valódi impresszionista festmény, ám üde színfoltjai és elmosódott kontúrok keltette könnyedsége mellett is jól átgondolt kompozíciós törvények szerint készülhetett
• Az ábrázolt nő arcának középvonalán áthaladó egyenes pontosan a kép szélességi méretének az aranymetszetébe kerül
• Az erkély korlátjának felső széle, melyen a hölgy karja, illetve keze is nyugszik, a kép széléhez annak aranymetszetében illeszkedik, az e ponton áthaladó, a kép hosszával párhuzamos egyenes egyúttal a másik karnak az asztalra támaszkodó pontján is áthalad
De divina proportioneDe divina proportione (Az isteni arány)
• Az elvont tudományok kutatása mellett természetesen nem feledkezett meg „tanult szakmájáról” sem
• A festészetben sok társához hasonlóan a reneszánsz művészetek elsődleges témáját, az ember ábrázolását tekintette fő feladatának
• Ehhez az időszámításunk előtti első században élt római tudós, Vitruvius megfigyeléseire támaszkodott
• „Az emberi test középpontja természetesen a köldök. Ha egy kinyújtott karral és lábbal háton fekvő ember köré egy körzővel a köldökét középpontnak véve kört húzunk, akkor a kéz- és lábujjai érinteni fogják az így megadott kört. Ha pedig megmérjük a távolságot a talptól a fejtetőig, majd ezt összevetjük a kinyújtott karok hosszával, úgy találjuk, hogy a szélesség megegyezik a magassággal.” – írta Vitruvius
• A tétel igazolását Leonardo egyik legismertebb vázlatán láthatjuk
• A Vitruviánus ember egy idealizált férfialakot ábrázol, az emberek nagy részére természetesen nem teljesülnek a fenti arányok
• A fejtető és köldök távolsága úgy aránylik egymáshoz, mint a köldök és a talp távolsága a testmagassághoz, 3:5:8
• A fejtető és a köldök, valamint a köldök és térd között azonos a távolság
• Ugyancsak egyenlő messze van egymástól a köldök és a szeméremdomb; az állcsúcs és mellbimbók vonala; a köldök és a mellbimbók vonala
• Hasonlóképpen egyenlő a távolság szeméremdomb és a térd; a fejtető és a mellbimbók vonala, a térd és a talp között
• Ezt az arányt annyira szépnek tartották, hogy nagyon sok műemléken is felfedezhető
• Így például a Belvederei Apollón szobron, amely Kr. e. 350 körül készült
• Az "I" vel jelölt vonal az egész testet az aranymetszés arányának megfelelően osztja fel, azaz:
• AI:IB=IB:AB
Aranymetszés a Aranymetszés a természetbentermészetben
• Tipikus példa a napraforgó tányérján elhelyezkedő magok
• De az állat- és növényvilág számtalan lehetőséget nyújt az aranymetszés megfigyelésére
• Az ábrán látható csigaház soron következő eleme például mindig Φ-szerese az előzőnek
• A juharlevél formája is több helyen rejtegeti a nevezetes arányt
• A fenyőtoboz pikkelyei
A nautilius• A nautilius egy - a
Csendes-óceán nyugati részén élő, a puhatestűek törzsébe, a fejlábúak osztályába tartozó - csigaházas polip, amelynek csodálatosan szabályos héja van
• Bárhogyan is húzunk vonalat a középponton áthaladva, mindegyik metszés - (AC:DB=FG:EG) arány aranymetszés
Aranymetszés egyéb Aranymetszés egyéb műalkotásokbanműalkotásokban
• Dante Isteni színjátéka, amelynek 100 énekéből a 62.-ben (amelyet lehet 100 aranymetszetének felfogni) válik el Dante Vergiliustól, és itt csatlakozik hozzá Beatrice, hogy a Paradicsomon végigkísérje
• Kodály Zoltán Psalmus Hungaricusa 395 ütemből áll, a 245. (vagyis a 395∙0,618-adik) taktus kezdetével esik egybe a mű eszmei mondanivalójának kimondása: "Istenbe vessed bizalmadat."
• A Szonáta két zongorára és ütőhangszerekre című teljes Bartók-mű aranymetszete az első és második tétel határvonala, a 78 taktusból álló bevezetés és főtéma kisebbik aranymetszete a 32. taktusnál van, a visszatérő főtag a 61. taktus, mely a főtémát 3 : 5 arányban osztja
• Az ötfokozatúság az ember ősi zenei hagyományaihoz kapcsolódik, és kialakulásában az élő szervezetre vonatkozó legáltalánosabb törvényszerűségek is szerepet játszottak
• Számos ősi kultúrához tartozó hangszeren öt húr található, vagy a hangszer maga ötfokozatú hangolású
• A magyar népzene legősibb rétegei is ötfokozatú skálára épülnek, és főként a lá-pentatónia nyomait őrzik
• A pentatónia más népek zenéjében is megtalálható, de elemeiből műzenei alkotásokban is gyakran építkeznek
• A pentatónia az aranymetszés zenei hordozója
• A lá-pentatónia tiszta megjelenését illusztrálja Kodály gyűjtéséből a Sej Dunáról fúj a szél kezdetű jól ismert népdal
A Fibonacci sorozatA Fibonacci sorozat• A pizzai Leonardo a XII. és XIII. század fordulóján élt
matematikus egyike volt azoknak, akik a hindukhinduktól származó, de az akkori világban arab közvetítéssel elterjedő tízes alapú, helyi értékes rendszerre épülő számírási módot Európában meghonosították
• Leonardo Pisano, ismertebb nevén Fibonacci kora matematikai ismereteit Liber Abaci címen ismert munkájában foglalta össze, melyben megtalálható a következő probléma, amit Fibonacci nyulaiként is gyakran emlegetnek:
• Hány pár nyúlra szaporodik egy év alatt a kezdeti pár, ha tudjuk, a nyulak két hónap alatt válnak ivaréretté, és ezután minden pár minden hónapban egy új párnak ad életet és mindegyikük életben marad?
• Az első hónapban egy nyúl-párunk van, és ugyanannyi lesz a másodikban is; a párok száma csak a harmadik hónapban változik egyről kettőre
• A következő hónapban a szülők újabb párnak adnak életet, így a párok száma háromra nő, az ötödik hónapban azonban már az új pár is szaporulatképes, így az új párok száma kettővel nő, és az összes párok száma ötre gyarapodik
• A következő hónapban már mindkét ifjabb generáció hoz létre utódokat, és a párok száma hárommal növekedve nyolcra változik
• Az egyes hónapokhoz tartozó nyúl-párok számát leíró: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … számsor Fibonacci-sorozat néven vonult be a matematika történetébe
• A sorozat előállításának alapja az a tulajdonság, mely szerint a harmadik elemtől kezdve bármely elem az előző kettő összege
• A sorozat első két elemét azonban meg kell adni; ezek értéke a Fibonacci-sorozat esetén 1
• A sorozat definíciója ennek megfelelően: a1=1, a2=1 és an=an-1+an-2, ha n>2
• A Fibonacci-sorozat elemei azonban nem alkotnak mértani sorozatot, az egymást követő elemek hányadosa nem állandó
• Az elemek számának növelésével azonban ez a hányados egy állandó számhoz, a Φ-hez közelít
• Írjuk fel a Fibonacci sorozat első néhány elemét és vizsgáljuk meg a szomszédos elemek hányadosát
• A hányados értéke a 10. elemtől közelít a 0,618-hoz, azaz az aranymetszési állandóhoz, a Φ-hez
n an an+1/an
1 1 1
2 1 2
3 2 1,5
4 3 1,667
5 5 1,6
6 8 1,625
7 13 1,615
8 21 1,619
9 34 1,617
10 55 1,618
Fibonacci négyzetekFibonacci négyzetek• Azokat a négyzeteket,melyek
oldalainak mérőszámai a Fibonacci-sorozat elemei, Fibonaccinégyzeteknek nevezik
• Az első n négyzet egymáshoz illesztésével olyan téglalapokat kapunk, melyek oldalhosszai megegyeznek az n-edik és (n+1)-edik négyzet oldalának hosszával
• Vegyünk két egységnyi oldalhosszúságú négyzetet, (F1 és F2), és ezek fölött helyezzük el a 2 egységnyi odalhosszúságú F3 négyzetet
• Az így kapott alakzathoz illesszünk (jobbról) olyan négyzetet, melynek odalhossza megegyezik az előző két négyzet oldalának összegével (F4)
• Az így kapott téglalap fölé illesszük az F5, majd ezekhez ismét jobbról az F6 négyzetet, és így tovább…
top related