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MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Analizamos de la siguiente manera:
)(t
)(re
)( re
1
)( e
e
e
eee rr
Por definición de límite:
...(1)
MECÁNICA DINÁMICA 2
Coordenadas Polares
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Coordenadas Polares
θ(t)
P
o x
Línea radial
Línea o eje fijo
La posición de la partícula P, en coordenadas polares respecto del origen O , sería:
Vp
Nos fijamos en este término,
¿Qué es?
MECÁNICA DINÁMICA 3
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
)(t
)(re
)( re
1
)( e
e
e
eee rr
Por ser un arco muy pequeño
Magnitud:
Por otro lado: (Por suma de vectores)
Reemplazando en (I):
L = r x Δθ
Por tanto:
MECÁNICA DINÁMICA 4
Coordenadas Polares
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
)(t
)(re
)( re
1
)( e
e
e
eee rr
MECÁNICA DINÁMICA 5
Coordenadas Polares
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Inscribiendo las coordenadas polares dentro de los ejes cartesianos fijos:
re
e y
xcos
sen
sen
cos 11
MECÁNICA DINÁMICA 6
Método alternativo para obtener las derivadas de los vectores unitarios polares
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
re
e
y
xcos
sen
sen
cos 11
De modo que:
Si derivamos el vector er:
MECÁNICA DINÁMICA 7
Método alternativo para obtener las derivadas de los vectores unitarios polares
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
re
e
y
xcos
sen
sen
cos 11 De igual forma para el otro vector:
MECÁNICA DINÁMICA 8
Método alternativo para obtener las derivadas de los vectores unitarios polares
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
)(t
)(re
)( re
1
)( e
e
e
eee rr
MECÁNICA DINÁMICA 9
Coordenadas Polares
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Entonces:
MECÁNICA DINÁMICA 10
Coordenadas Polares
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
En el caso especial de Movimiento Circular: r = cte
O
P
MECÁNICA DINÁMICA 11
Coordenadas Polares
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Coordenadas Rectangulares
v
Δr
vy
vx ax
ay a
rp(t + Δt)
rp(t)
x
y
Coordenadas Normales y
Tangenciales
v Δs
a
x
y
Coordenadas Polares
v
Δr
a
rp(θ + Δ θ)
rp(θ)
x
y
θ
Comparación de los diferentes sistemas coordenados :
MECÁNICA DINÁMICA 12
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
En el caso especial de Movimiento Circular: r = cte
O
P
MECÁNICA DINÁMICA 13
Coordenadas Polares
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Problema 1: Un mecanismo que consiste en un brazo ranurado, está fijado en un pivote O . El pivote O se encuentra a 0.4 m a la izquierda del centro C, sobre el diámetro horizontal de un anillo de radio igual a 0.5 m . El brazo rota a velocidad angular constante de 4 rad/s en sentido antihorario y arrastra una esferita P, dentro de la ranura, sobre el borde circular del anillo . Analizar la cinemática de la esfera P para la posición de θ = 37o
θ (t)
C O
0.4m
MECÁNICA DINÁMICA 14
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Solución:
0.5
0.4
MECÁNICA DINÁMICA 15
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Solución:
Entonces, reemplazando datos:
MECÁNICA DINÁMICA 16
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
O
r
θ
B
A
Problema 2: La rotación del brazo OA de 0.9 m alrededor de O puede definirse como θ = 0.15 t2, donde θ se expresa en radianes y t en segundos. El collarín B desliza a lo largo del brazo, de tal modo que su distancia desde O es r = 0.9 – 0.12 t2 , donde r está metros. Determine la magnitud de la velocidad y aceleración del collarín cuando el brazo OA ha girado 30º.
MECÁNICA DINÁMICA 17
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Solución:
θ r
B
O
er eθ
Podemos hallar el tiempo para el cual θ = 30º = 0.524 rad, de la expresión:
Reemplazamos dicho valor en las expresiones:
Entonces, la velocidad del collarín B es:
MECÁNICA DINÁMICA 18
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Solución:
θ r
B
O
er eθ Luego, la aceleración del collarín B, será:
MECÁNICA DINÁMICA 19
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Problema 3: En el mecanismo mostrado, la distancia d mide 150 pulg; la barra AB tiene 0.7 rad/s de velocidad angular en sentido antihorario y 0.3 rad/s2 de aceleración angular en sentido horario. Utilizando coordenadas polares encontrar la velocidad y la aceleración del punto A en cuando Ө =60° .
B
A
O
d
θ
r
MECÁNICA DINÁMICA 20
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Solución: Datos:
Del gráfico tenemos que:
Para θ = 60°:
Luego:
Además tenemos:
Por tanto:
ar
60° 30°
MECÁNICA DINÁMICA 21
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Problema 4: La partícula P se mueve en una trayectoria como la señalada en la figura. Determine el vector aceleración, magnitud y dirección, además dibuje dicho vector con su correspondiente dirección en el punto correspondiente de la trayectoria cuando Ө = 30° (v0 = constante ).
b
y
O A
x θ
R P
R = b cos 3θ v0
MECÁNICA DINÁMICA 22
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Solución:
y
O A x P
v0
30°
30°
Datos:
Para θ = 30° :
Luego:
Por otro lado:
Reemplazando:
MECÁNICA DINÁMICA 23
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Problema 5: El cable AB, conectado a un motor que va enrollándolo sobre un eje-cilindro de acero (“winche”), arrastra ( tracciona) al vagón de la figura mostrada, a quien le imprime una velocidad de 5 pies/s. Para la posición de Ө = 60°, se pide: a) La velocidad de B y la velocidad angular del cable de tracción. b) La aceleración de B y la aceleración angular del cable AB.
A
12 pies
B
R
θ
MECÁNICA DINÁMICA 24
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Solución:
60°
5 pies/s B
Entonces:
Del gráfico, tenemos que:
Por tanto:
Luego:
Del gráfico vectorial:
Entonces:
MECÁNICA DINÁMICA 25
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Problema 6: La manivela OA de 15 cm, de un mecanismo oscilante de retroceso rápido gira en sentido antihorario, con una velocidad constante de 10 rad/s. Para las posiciones indicadas, hallar la aceleración angular del brazo BD.
D
A
B
O
32.5 cm
15 cm
ω = 10 rad/s θ
MECÁNICA DINÁMICA 26
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
**Gráfica de todas las posiciones del seguidor A y de la barra AD:
MECÁNICA DINÁMICA 27
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Videos demostrativos de dos prototipos desarrollados en MDI:
Prototipo 1 Prototipo 2
MECÁNICA DINÁMICA 28
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
MECÁNICA DINÁMICA 29
Antes de resolver debemos analizar el movimiento del mecanismo:
D
B
A
O
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
MECÁNICA DINÁMICA 30
Antes de resolver debemos analizar el movimiento del mecanismo:
D
B
A
Podemos darnos cuenta que la barra BD está subiendo y bajando en un movimiento oscilante. La distancia BD no cambia en el tiempo.
Debido al movimiento del pin A (hacia adentro y hacia afuera), la distancia BA sí cambia.
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
MECÁNICA DINÁMICA 31
Antes de resolver debemos analizar el movimiento del mecanismo:
El movimiento de la barra OA es MCU, por lo tanto la distancia OA no cambia en el tiempo, es constante e igual a 15 cm.
Debido al acoplamiento del pin A con la barra OA, el movimiento del pin sobre la barra AD está limitado por la barra OA y no al revés.
O
A
Primero debemos completar nuestros datos. Del gráfico tenemos que:
Para θ (AOC )= 60º
Podemos hallar ф por su tangente:
En el triángulo ABC, aplicamos ley de senos:
º18
cm5.32
º42
º6015sen
º60cos15
º60θ
15sradθ /10
B
D
O C
A
ф
MECÁNICA DINÁMICA 32
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Aislamos la barra OA de nuestro sistema y la analizamos:
Para θ (AOC )= 60º
La barra OA se mueve con MCU, con radio cte = 15cm
Hallamos la velocidad del punto A:
º48
º42
cm15
sradθ /10
D
O C
A
º60ф ree
MECÁNICA DINÁMICA 33
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Aislamos la barra OA de nuestro sistema y la analizamos:
Para θ (AOC )= 60º
- Ahora hallamos las aceleraciones del pin A:
Recordemos:
En el 1º término, como el radio no cambia en el tiempo, = 0 ; lo que nos deja:
La cual tiene dirección radial hacia adentro.
º42
º48
º42
cm15
srad/10
D
O C
A
º60ф
ree
MECÁNICA DINÁMICA 34
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Aislamos la barra OA de nuestro sistema y la analizamos:
Para θ (AOC )= 60º
Entonces, la aceleración del pin A (en el sistema de la barra OA) es:
º48
º42
cm15
srad/10
D
O C
A
º60ф
º42
ree
MECÁNICA DINÁMICA 35
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Regresamos a nuestro sistema inicial (barra BA):
Para θ (AOC )= 60º
Escribimos los nuevos datos calculados
cm5.32
º48
º42
15
srad/10
D
O C
A
º60Ф =18º
º42
B
º60cos15
º6015sen
re
e
MECÁNICA DINÁMICA 36
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
cm5.32
º48
º42
15
srad/10
D
O C
A
º60Ф =18º
º42
B
º60cos15
º6015sen
re
e
Regresamos a nuestro sistema inicial (barra BA):
Para θ (AOC )= 60º
Nos fijamos en la velocidad del pin A. Descomponiendo:
Rpta
MECÁNICA DINÁMICA 37
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
cm5.32
º48
º42
15
srad/10
D
O C
A
º60Ф =18º
º42
B
º60cos15
º6015sen
re
e
Regresamos a nuestro sistema inicial (barra BA):
Para θ (AOC )= 60º
Podemos también descomponer la aceleración:
a
ra
MECÁNICA DINÁMICA 38
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Regresamos a nuestro sistema inicial (barra BA):
Para θ (AOC )= 60º
Reemplazando datos en (I):
Rpta
cm5.32
º48
º42
15
srad/10
D
O C
A
º60Ф =18º
º42
B
º60cos15
º6015sen
re
e
a
ra
MECÁNICA DINÁMICA 39
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Para θ = 180º
Primero completamos nuestros datos: Al girar en sentido antihorario, la distancia BA será de: 32.5 – 15 = 17.5 cm
A B
O
θ
Esta posición corresponde a:
O
cm15
A 0 º180
B s
rad10
ree
ree
cm5.17
MECÁNICA DINÁMICA 40
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Para θ = 180º
Analizamos la barra OA: OA se sigue moviendo en MCU , por lo tanto su velocidad tangencial es la misma del caso anterior. Lo mismo para su aceleración, que sólo es normal.
Esta posición corresponde a:
A B
O
θ
cm5.17
O
cm15
A 0 º180
B s
rad10
ree
ree
MECÁNICA DINÁMICA 41
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Para θ = 180º
Ahora analizamos la barra BA En la barra BA, la velocidad:
En cuanto a la aceleración, hemos dicho que no hay aceleración tangencial respecto a OA, por lo tanto aθ es igual cero.
Rpta
Rpta
cm5.17
O
cm15
A 0 º180
B s
rad10
ree
ree
MECÁNICA DINÁMICA 42
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Para θ = 90º
Completamos nuestros datos: El brazo AB, ahora mide:
D
A
B O θ Esta posición corresponde a:
Luego, aplicamos ley de senos en BOA:
B O
A
cm5.32
º90
cm15
srad10
º8.24
MECÁNICA DINÁMICA 43
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
D
A
B O θ
Para θ = 90º
Analizamos la barra OA:
En A, tenemos los mismos valores de aceleración (no hay componente tangencial) y velocidad.
scmv /150
2/1500 scma
º8.24
re
eB O
A
cm5.32
º90
cm15
srad10
º8.24
MECÁNICA DINÁMICA 44
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
B O
A
cm5.32
º90
cm15
srad10
º8.24
scmv /150
2/1500 scma
ree
º8.24
Para θ = 90º
Ahora analizamos la barra BA: Podemos descomponer la velocidad:
Además, sabemos que:
Luego, la otra componente será:
Rpta
rv
v
MECÁNICA DINÁMICA 45
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Para θ = 90º
Ahora analizamos la barra BA:
Descomponemos la aceleración:
Despejando:
Rpta B O
A
cm5.32
º90
cm15
srad10
º8.24
scmv /150
2/1500 scma
ree
rv
v
º8.24
a
ra
º8.24
MECÁNICA DINÁMICA 46
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Problema 4 (Software): En el mecanismo mostrado, la barra OA mide 15cm y rota en sentido antihorario a razón de 10 rad/s de modo constante. El seguidor A, como se ha observado y explicado en clase se desliza sobre la barra AD.
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MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
MECÁNICA DINÁMICA 48
a) Graficar la variación de la velocidad relativa del seguidor A con respecto al brazo BD versus el ángulo β, a escala, con incrementos de 90o para β de cero a 360o
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
MECÁNICA DINÁMICA 49
b) Graficar la variación de la velocidad angular de la barra BD versus el ángulo β, a escala, con incrementos de 90o para β de cero a 360o
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
MECÁNICA DINÁMICA 50
c) Graficar la variación de la aceleración de Coriolis versus el ángulo β, a escala, con incrementos de 30o para β de cero a 90o
MECÁNICA DINÁMICA 51
d) Graficar la variación de la aceleración angular de la barra BD versus el ángulo β, a escala, con incrementos de 45o para β de cero a 360o
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
MECÁNICA DINÁMICA 52
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
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